A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định với và một độ dài không đổi . Elip là tập hợp những điểm sao cho:

Ta gọi: : Tiêu điểm, : Tiêu cự, : Bán kính qua tiêu.

2. Phương trình chính tắc của Elip

Trong mặt phẳng tọa độ với :

Trong đó:

được gọi là phương trình chính tắc của

3. Hình dạng và tính chất của Elip}

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải

+ Các đỉnh:

+ Trục lớn: , nằm trên trục ; Trục nhỏ: , nằm trên trục

+ Hình chữ nhật cơ sở: Là hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng ,

Từ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là và chiều rộng là

+ Tâm sai: \fbox{ }

,F1 F2 = 2cF1F2 2a(a > c) M

M + M = 2aF1 F2

,F1 F2 = 2cF1F2 M, MF1 F2

Oxy (−c; 0), (c; 0)F1 F2

M(x; y) ∈ (E) ⇔ + = 1 (1)x2

a2

y2

b2

= −b2 a2 c2

(1) (E)

(−c; 0)F1 (c; 0)F2

(−a; 0), (a; 0), (0; −b), (0; b)A1 A2 B1 B2

= 2aA1A2 Ox = 2bB1B2 Oy

x = ±a y = ±b

2a 2b

e = < 1c

a

Chuyên đề Elip

+ Bán kính qua tiêu của điểm là:

+ Đường chuẩn của Elip:

Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm

Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm

Tính chất của đường chuẩn:

B - GIẢI TOÁN

I - VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

Các bước thực hiện:

Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip là:

Bước 2: Sử dụng các dữ kiện bài toán thiết lập các phương trình để tìm

Chú ý các kiến thức liên quan đến , chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai, ...

Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , đường elip đi qua điểm và khoảng cách giữa hai

đường chuẩn của là . Lập phương trình chính tắc của .

Nhận xét: Đây là bài tập cơ bản với các yếu tố đã được cho khá rõ ràng, để làm được bài toán chỉ yêu cầu thuộc các khác

khái niệm và kĩ năng biến đổi giải hệ phương trình cơ bản.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của là:

Hai đường chuẩn của có phương trình là:

Do đó khoảng cách giữa hai đường chuẩn là:

Mặt khác:

Thế vào và rút gọn ta được: .

Đáp số:

Ví dụ 1.2: Thi thử lần 1 - THPT Bỉm Sơn - Thanh Hóa

Trong mặt phẳng tọa độ , lập phương trình chính tắc của elip biết nó có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam

giác đều và chu vi của hình chữ nhật cơ sở của là .}

M( , ) ∈ (E)xM yM

M = a + e = a + , M = a − e = a −F1 xM

cxM

aF2 xM

axM

c

: x + = 0Δ1a

e(−c; 0)F1

: x − = 0Δ2a

e(c; 0)F2

= = e < 1, ∀M ∈ (E)MF1

d(M; )Δ1

MF2

d(M; )Δ2

+ = 1 (a > b > 0) (E)x2

a2

y2

b2

a, b

a, b = −b2 a2 c2

Oxy M(− ; 1)3√ (E) M

(E) 6 (E)

(E) + = 1 (a > b > 0)x2

a2

y2

b2

⇒ (E) : x + = 0; : x − = 0Δ1a

eΔ2

a

e

2 =a

e

2a2

c

⇒ = 6 ⇔ = 9 = 9( − ) ⇔ = (1)2a2

ca4 c2 a2 b2 b2 9 −a2 a4

9

M(− ; 1) ∈ (E) ⇔ + = 1 (2)3√3a2

1

b2

(1) (2) − 12 + 36 = 0 ⇔ ( − 6) = 0 ⇔ = 6 ⇒ = 2a4 a2 a2 a2 b2

(E) : + = 1.x2

6y2

2

Oxy (E)(E) 12(2 + )3√

Nhận định:

Dữ kiện: chu vi hình chữ nhật cơ sở và tam giác đều sẽ thiết lập được hai phương trình tìm a và b

+ Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là:

+ Các đỉnh là và các tiêu điểm là

và đều

+

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là:

Khi đó chu vi của hình chữ nhật cơ sở là

Do các đỉnh và cùng nằm trên nên theo giả thiết cùng với đỉnh

trên tạo thành một tam giác đều

Ta thấy: đối xứng nhau qua nên luôn là tam giác cân tại

Do đó:

Lại có:

Từ và suy ra: và

Đáp số:

Ví dụ 1.3:(B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình thoi có và đường tròn tiếp xúc với các

cạnh của hình thoi có phương trình . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua các đỉnh của

hình thoi. Biết điểm A nằm trên trục

Nhận định

- Các đặc điểm của hình thoi:

Đường tròn nội tiếp có phương trình: . (Tâm , bán kính )

Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của hình thoi Gốc tọa độ là tâm của hình thoi.

,

- nên là các đỉnh của !

- Như vậy ta đã xác định được mối liên hệ giữa đỉnh của elip với hình thoi, với hai điều kiện và đường tròn nội

tiếp hình thoi có bán kính ta sẽ thiết lập được hai phương trình để xác định tọa độ các đỉnh của elip.

2(2a + 2b)(−1; 0), (1; 0), (0; −b), (0; b)A1 A2 B1 B2 (−c; 0), (c; 0)F1 F2

→ ΔB1F1F2 ΔB2F1F2 → =F2B2 F1F2

− =a2 c2 b2

(E) + = 1 (a > b > 0)x2

a2

y2

b2

2(2a + 2b)

⇒ 2(2a + 2b) = 12(2 + ) ⇔ a + b = 3(2 + ) (1)3√ 3√

(−a; 0), (a; 0)A1 A2 (−c; 0), (c; 0)F1 F2 Ox ,F1 F2

(0; b)B2 Oy ⇔ = = (∗)B2F2 F1F2 B2F1

,F1 F2 Oy ΔB2F1F2 B2

(∗) ⇔ = ⇔ = 2c ⇔ = 3B2F2 F1F2 +c2 b2− −−−−−

√ b2 c2

− = ⇒ 3 = 4 (2)a2 c2 b2 a2 b2

(1) (2) a = 6 b = 3 3√

(E) : + = 1x2

36y2

27

Oxy ABCD AC = 2BD

+ = 4x2 y2 (E) A, B, C, D

Ox

+ = 4x2 y2 O(0; 0) R = 2→ O(0; 0)

A ∈ Ox → C ∈ Ox BD⊥AC → B, D ∈ Oy

A, B, C, D ∈ (E) A, B, C, D (E)AC = 2BD

R = 2

Lời giải:

Giả sử phương trình của elip là:

Ta có: Đường tròn : là đường tròn nội tiếp hình thoi , có tâm , bán kính

Vì tâm của là tâm của hình thoi nên và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà và

Lại có: là bốn đỉnh của

Nếu đổi chỗ A và C cho nhau hoặc B và D cho nhau thì Elip không thay đổi nên ta có thể giả sử lần lượt nằm ở nửa trục

dương của và , khi đó tọa độ của chúng là

. Vì nên

Kẻ vuông góc với tại H

Vì tam giác vuông tại

Vậy phương trình là:

(E) + = 1(a > b > 0)x2

a2

y2

b2

(C) + = 4x2 y2 ABCD O(0; 0) R = 2(C) AC BD O

A ∈ Ox ⇒ C ∈ Ox B, D ∈ Oy

A, B, C, D ∈ (E) ⇒ A, B, C, D (E)A, B

Ox Oy A(a; 0), B(0; b)⇒ OA = a, OB = b AC = 2BD OA = 2OB ⇒ a = 2b

OH AB ⇒ OH = R = 2ABO O

⇒ = + ⇔ = + ⇔ = 20 ⇒ = 51

OH 2

1

OA2

1

OB2

14

1a2

4a2 a2 b2

(E) + = 1x2

20y2

5II - TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP

2

9y2

(E)(E)

Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định các "từ khóa" liên quan đến điểm cần tìm, cố gắng chuyển chúng thành công thức tương ứng.

Bước 2: Từ giả thiết, thiết lập phương trình tìm tọa độ của điểm. Chú ý rằng điểm cần tìm luôn thuộc nên tọa độ của nó

luôn thỏa mãn phương trình , đây là một phương trình.

Ví dụ 2.1: Trong mặt phẳng tọa độ cho elip . Tìm trên những điểm thỏa mãn:(E)1

1. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia?

2. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

xOxy (E) : + = 1

Từ giả thiết suy ra:

Khai triển rút gọn ta được:

Lại có:

Đáp số:

Nhận xét:

Trong giải toán, ta thường chỉ quen với chiều biến đổi nhưng trong nhiều trường hợp biến đổi theo

chiều ngược lại sẽ giúp việc giải bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà bài toán trên là một ví dụ.

Ở bài toán này, việc biến đổi rút gọn cũng là một công việc khá vất vả nếu không có những nhận xét tinh tế, cần chú ý rằng

Khi kết luận cần chú ý lấy đủ nghiệm, nhiều bạn thường nhầm lẫn chỉ lấy hai nghiệm .

2. Từ khóa "góc vuông"

Với góc thì ta có các "công thức" tương đương:

;

;

[ M = 3MF1 F2

M = 3MF2 F1

⇔ [ ⇔ (M − 3M )(M − 3M )M − 3M = 0F1 F2

M − 3M = 0F2 F1F1 F2 F2 F1

= 0(1)

(1) ⇔ 16M . M − 3 = 0F1 F2 (M + M )F1 F22

⇔ 16(a + e )(a − e ) − 3(2a = 0xo xo )2

⇔ = = = ⇔ = ±x2o

a2

4e2

a4

4c2

8132

xo

9 2√8

M ∈ (E) ⇒ = 1 − = ⇔ = ± .y2o

x2o

92332

yo

46−−√8

( ; ); ( ; − ); (− ; );M19 2√

846−−√8

M29 2√

846−−√8

M39 2√

846−−√8

(− ; − )M49 2√

846−−√8

− AB = 0 ⇒ [ A = 0B = 0

−M + M = 2aF1 F2− ,M1 M4

=MF1 F2ˆ 90o

1)M + M =F 21 F 2

2 F1F 22

2)MO = = OF1F2

2F2

3) . = 0− →−− − →−−

Với từng "công thức" ta sẽ được các hướng làm khác nhau tương ứng, dưới đây tôi trình bày hai cách có thể nói là khá ngắn

gọn.

Gọi là điểm cần tìm. nên

Cách 1:

Chú ý rằng là bán kính qua tiêu, nên ta có:

Từ suy ra: .

Cách 2:

Điểm nhìn dưới một góc vuông nên vuông tại M.

Mà dễ thấy là trung điểm của nên

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Nhận xét: Ở cách 2 có thể giải thích theo cách khác như sau:

Do nhìn dưới một góc vuông nên nằm trên đường tròn nhận làm đường kính.

Tức là có tâm bán kính

là giao điểm của và . Do đó tọa độ là nghiệm hệ .

Đáp số:

Ví dụ 2.2: Thi thử Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho elip và các điểm . Tìm tọa độ các

điểm sao cho là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Lời giải:

3) . = 0MF1− →−−

MF2− →−−

M( ; )xo yo M ∈ (E) + = 1 (1)x2

o

9y2

o

M , MF1 F2

= ⇔ M + M = ⇔MF1 F2ˆ 90o F 21 F 2

2 F1F 22 (a + e )xo

2

+ = 32(a − e )xo2

⇔ = =x2 (16 − )a2 a2

c2

638

(1) =y2o

18

M ,F1 F2 ΔMF1F2

O F1F2 OM = ⇔ + = 8 (2)F1F2

2x2

o y2o

(I) ⇔ ⇔⎧⎩⎨ + = 1

x2o

9y2

o

+ = 8x2o y2

o

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

=x2o

638

=y2o

18

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= ±xo3 14

−−√4

= ±yo

2√4

M ,F1 F2 M (C) F1F2

(C) O = 2F1F2

22√

⇒ M (E) (C) : + = 8x2 y2 M (I)

( ; ); ( ; − ); (− ; );M13 14

−−√4

2√4

M23 14

−−√4

2√4

M33 14

−−√4

2√4

(− ; − )M43 14

−−√4

2√4

Oxy (E) : + = 1x2

9y2

4A(−3; 0), I(−1; 0)

B, C ∈ (E) I ABC

Gọi là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác , có tâm bán kính .

Phương trình .

Do nên tọa độ của là nghiệm hệ:

Với tức là trùng với hoặc trùng với (không thỏa mãn)

Với .

Đáp số:

III - BÀI TẬP TỔNG HỢP LIÊN QUAN ĐẾN ELIP

Ví dụ 3.1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip có các tiêu điểm . Đường thẳng đi qua

và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất cắt tại . Tính diện tích tam giác .

Lời giải:

Do giả thiết đã cho đủ để viết được ngay phương trình đường thẳng chứa ( đi qua một điểm đã biết và song song với

đường thẳng cho trước) nên ta định hướng tính diện tích theo công thức: .

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình là:

(C) ABC (C) I(−1; 0) IA = 2(C) : + + 2x − 3 = 0x2 y2

B, C ∈ (E) B, C

⇒⎧⎩⎨⎪⎪

+ + 2x − 3 = 0x2 y2

+ = 1x2

9y2

4

⎡⎣x = −3

x = −35

− x = −3 ⇒ y = 0 ⇒ B A C A

− x = − ⇒ y = ±35

4 6√5

(− ; ), (− ; − );B135

4 6√5

C135

4 6√5

(− ; − ), (− ; )B235

4 6√5

C235

4 6√5

Oxy (E) : + = 1x2

8y2

4,F1 F2 d

F2 (E) A, B ABF1

d A, B

= AB. d( ; d)SABF1

12

F1

(E) : + = 1 ⇒ = 8, = 4 ⇒ c = = 2x2

8y2

4a2 b2 −a2 b2− −−−−−

√

⇒ (−2; 0), (2; 0)F1 F2

Δ y = x

Ta có // và nên phương trình là: .

Khi đó tọa độ của và là nghiệm hệ:

hoặc .

Đáp số:

Ví dụ 3.2: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 02

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và elip . Viết phương trình

đường thẳng vuông góc với đường thẳng cắt tại hai điểm sao cho diện tích tam giác bằng .}

Lời giải:

Vì nên phương trình có dạng: . Khi đó, là nghiệm hệ:

Để cắt tại hai điểm phân biệt thì hệ phải có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

Gọi , trong đó là nghiệm

Đường cao

Đáp số:

d Δ ∈ dF2 d y = x − 2B C

⎧⎩⎨

y = x − 2

+ = 1x2

8y2

4

⇒ A(0; −2), B( ; )83

23

B(0; −2), A( ; )83

23

⇒ AB = , d( , d) = 28 2√

3F1 2√

=SABF1

163

Oxy d : 2x + y + 3 = 0 (E) : + = 1x2

4y2

1Δ d (E) A, B AOB 1

Δ⊥d d x − 2y + m = 0 A, B

⇔ {⎧⎩⎨

x − 2y + m = 0

+ = 1x2

4y2

x = 2y − m

8 − 4my + − 4 = 0 (∗)y2 m2

d (E) A, B

⇔ (∗)⇔ = 32 − 4 > 0 ⇔ m ∈ (−2 ; 2 ) (1)Δ′ m2 2√ 2√

A(2 − m; ), B(2 − m; )y1 y1 y2 y2 ,y1 y2 (∗)

⇒ A = 5( − = 5[( + − 4 ] = (8 − )B2 y2 y1)2y1 y2)2

y1y254

m2

OH = d(, Δ) = ⇒ =|OH|

5√S 2

OAB ( OH. AB)12

2

= (8 − ) = 1 ⇔ = 4 ⇔ m = ±21

16m2 m2 m2

: x − 2y + 2 = 0, : x − 2y − 2 = 0.Δ1 Δ2

Ví dụ 3.3: Thi thử lần 2 - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh

Trong mặt phẳng tọa độ cho elip và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua ,

sao cho cắt tại và thỏa mãn là trung điểm của đoạn .}

Lời giải:

Gọi là véctơ chỉ phương của .

Ta có đi qua nên phương trình có dạng:

Giả sử cắt tại

Vì là trung điểm của nên

Mặt khác: nên là nghiệm của phương trình:

Theo định lí Viet ta có:

Từ và suy ra . Chọn ta được là một VTCP của

là một VTPT của .

Vậy phương trình là:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Lập phương trình chính tắc của elip biết đi qua và có

hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn .

Đáp số:

Bài 1.2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng . Lập phương trình chính tắc của elip

, biết một cạnh hình chữ nhật cơ sở của nằm trên và hình chữ nhật đó có độ dài đường chéo bằng .

Đáp số:

Oxy (E) : + = 1x2

16y2

9I(1; 2) (d) I

d (E) A B I AB

= (a, b)u→

d

d I(1; 2) d { t ∈ Rx = 1 + at

y = 2 + bt

(d) (E) A(1 + a ; 2 + b ), B(1 + a ; 2 + b )t1 t1 t2 t2

I AB 2 = + ⇔ + = 0 (1)xI xA yA t1 t2

A, B ∈ (E) ,t1 t2

+ = 1 ⇔ ( + ) + 2( + )t(1 + at)2

16(2 + bt)2

9a2

16b2

9t2 a

162b

9

− = 071

144

+ = −2( + ) : ( + ) (2)t1 t2a

162b

9a2

16b2

9

(1) (2) + = 0a

162b

9a = 32, b = −9 = (32; −9)u

→d

⇒ = (9; 32)n→

d

d 9x + 32y − 73 = 0

Oxy A(0; 5) (E) (E) A

(C) : + = 41x2 y2

(E) : + = 1.x2

25y2

16

Oxy d : x − = 05√(E) (E) d 6

(E) : + = 1.x2

5y2

4

M(− ; 1)√

Bài 1.3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm đường elip tđi qua điểm và có khoảng cách giữa hai

đường chuẩn là . Lập phương trình chính tắc của .

Đáp số:

Tương tự với , khoảng cách giữa hai đường chuẩn là .\quad Đáp số:

Bài 1.4: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 04

Trong mặt phẳng tọa độ , một elip đi qua điểm và có phương trình một đường chuẩn là .

Viết phương trình chính tắc của .\\

Đáp số:

Bài 1.5: A-2012

Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn Viết phương trình chính tắc của elip , biết có độ

dài trục lớn bằng và cắt tại 4 điểm tạo thành một hình vuông.

Bài 2.1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho elip có độ dài trục lớn là và qua điểm .Điểm

nằm trên cách một đoạn có độ dài bằng . Tìm tọa độ ?

Đáp số:

Bài 2.2: Thi thử Diễn đàn Truonghocso - Lần 1

Trong mặt phẳng tọa độ cho elip Tìm tọa độ điểm nằm trên elip sao cho nhìn các tiêu

điểm dưới một góc .

Bài 2.3: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 01

Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip và đường thẳng Chứng minh rằng

đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt . Tìm điểm thuộc sao cho có diện tích bằng .

Đáp số:

Bài 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm di động trên elip . Gọi là hình chiếu của

lên các trục tọa độ. Xác định tọa độ của diện tích đạt giá trị lớn nhất.

Đáp số:

Bài 2.5: A-2011

Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip . Tìm tọa độ các điểm , có hoành độ dương sao

cho tam giác cân tại và có diện tích lớn nhất.

Oxy M(− ; 1)3√ (E) M

6 (E)

(E) : + = 1.x2

6y2

2

M(− ; 2)5√ 10 (E) : + = 1.x2

15y2

6

Oxy (E) M(−2; −3) x + 8 = 0(E)

( ) : + = 1, ( ) : + = 1.E1x2

16y2

12E2

x2

52y2

39/4

Oxy © : + = 8.x2 y2 (E) (E)8 (E) ©

Oxy (E) 6 M( ; )3 2√2

2√

N (E) O 5√ N

( ; ± ); (− ; ± )3 5√5

4 5√5

3 5√5

4 5√5

Oxy (E) : + = 1.x2

100y2

25K K

120o

Oxy (E) : + = 1x2

16y2

9d : 3x + 4y − 12 = 0.

d (E) A, B C (E) ΔABC 6

(2 ; − ), (−2 ; )C1 2√3

2√C2 2√

3

2√

Oxy M (E) : + = 1x2

9y2

4H, K

M M OHMK

( ; ± ); (− ; ± )3 2√2

2√3 2√

22√

Oxy (E) : + = 1x2

4y2

1A, B ∈ (E)

OAB O

Bài 3.1: Thi thử Diễn đàn K2pi - Lần 5

Trong mặt phẳng tọa độ cho elip có phương trình và điểm . Một đường thẳng qua

cắt tại hai điểm phân biệt . Tìm tọa độ các điểm sao cho độ lớn của tích đạt giá trị nhỏ nhất.\\

Bài 3.2: Trong mặt phẳng , cho elip . Viêt phương trình đường thẳng cắt tại hai điểm phân

biệt có tọa độ là các số nguyên.

Bài 3.3: Trong mặt phẳng cho elip và điểm . Lập phương trình đường thẳng đi qua

sao cho cắt tại hai điểm phân biệt sao cho .

Đáp số:

Bài 3.4: Trong mặt phẳng cho elip và đường thẳng . cắt tại hai điểm

. Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua . Tìm để là hình thoi.

Bài 3.5: B-2010

Trong mặt phẳng tọa độ cho và elip . Gọi là các tiêu điểm của ( có

hoành độ âm), là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng với , là điểm đối xứng của qua . Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .

------------------------------------oOo------------------------------------

Oxy (E) : + = 1x2

8y2

4I(1; −1) Δ

I (E) A, B A, B IA. IB

Oxy (E) : + = 1x2

8y2

2d (E)

Oxy (E) : + = 1x2

9y2

4M(1; 1) Δ

M Δ (E) A, B MA = MB

Δ : 4x + 9y − 13 = 0

Oxy (E) : + = 1x2

9y2

4d : y = x + m d (E)

P , Q ,P ′ Q′ P , Q O m P QP ′Q′

Oxy A(2, )3√ (E) : + = 1x2

3y2

2,F1 F2 (E) F1

M AF1 (E) N F2 M

ANF2