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CIENCIA TECNOLOGÍA PRODUCCIÓN
MatemáticasOperaciones algebraicas
3.° Secundaria
Contenido del libro
Operaciones algebraicasOperaciones con polinomiosProductos y potenciasDivisiónTeorema del resto y sus consecuencias
Factorización Generalización de casos de factorizaciónOtros métodos de factorizaciónMínimo común múltiplo y máximo común
divisor
Potencias y radicales Potenciación y radicación de números
realesTransformaciones algebraicas de los
radicalesOperaciones con radicalesRacionalización
Fracciones algebraicasFracción algebraicaOperaciones con fracciones algebraicas
Ecuaciones y números complejosFunciones, ecuaciones e inecuaciones lineales Función linealEcuaciones y función linealInecuaciones y función linealValor absoluto
Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones linealesMétodos algebraicos para resolver sis-
temasMétodo de determinantesSistemas de inecuaciones
Números complejos Los números imaginariosLos números complejos
GeometríaCongruencia de segmentos, ángulos y figuras planasElementos básicos de la geometríaCongruencia de polígonosCongruencia de triángulos
Razón, proporción y semejanza Razón y proporción en la geometríaSemejanza de polígonosTeoremas de Tales y sus consecuenciasTeoremas relativos a los lados de un
triángulo
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.4
Índice Operaciones algebraicas
Solucionario 112
Bibliografía 122
El peso de las ideas Productos notables y geometría 7• Productos y potencias 8• División 14• Teorema del resto y sus consecuencias 18Problemas resueltos de profundización 22Taller de Matemática División sintética generalizada 26Conexiones Polinomios en la economía 27Resumen y actividades finales 28
1 Operaciones con polinomios 6
El peso de las ideas: Diferentes caminos para una solución 33• Generalización de casos de factorización 34• Otros métodos de factorización 41• Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 45Problemas resueltos de profundización 50Taller de Matemática Factorización de polinomios por la regla de Ruffini 54Conexiones La matemática y el deporte 55Resumen y actividades finales 56
2 Factorización 32
El peso de las ideas Las potencias y las dimensiones 61• Potenciación y radicación de números reales 62• Transformaciones algebraicas de los radicales 65• Operaciones con radicales 68• Racionalización 73Problemas resueltos de profundización 76Taller de Matemática Potencias y raíces 80Paradojas La verdad (por simple observación) que resultó falsa 81Resumen y actividades finales 82
3 Potencias y radicales 60
El peso de las ideas El número áureo 87• Fracción algebraica 88• Operaciones con fracciones algebraicas 94Problemas resueltos de profundización 102Taller de Matemática Evaluación de fracciones 106Paradojas La paradoja de la repartición de la herencia 107Resumen y actividades finales 108
4 Fracciones algebraicas 86
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.5
1 Fracción algebraica
Problemas resueltos
1. Indica las restricciones que se deben aplicar para que las fracciones estén definidas.
a) x
x
2 3
4
-
+. El denominador debe ser distinto de 0. Entonces:
x2 3 0(!- x2
3! ; por tanto, x debe ser distinto a
2
3.
b) x y
3
+. El denominador debe ser distinto de 0. Entonces:
x y 0(!+ x y!- ; por tanto, x y y no deben tener valores opuestos: x y!- .
c) x 4
52+
. El denominador debe ser distinto de 0. Entonces:
x 4 02 (!+ x 42 !- ; por tanto, no existen restricciones reales, ya que ningún número real elevado al cuadrado es negativo.
1. Determina las restricciones para las siguientes fracciones.
a) x
x
5
3
-
+ b)
x2 6
1
- c)
x3 7
8
- d)
x
x3+ e)
x y2
6
-
Actividades
Actividad inicial. Escribe cada número como una fracción: , ; ; , ; , ; .0 5 4 3 7 4 5 3-!
1.1 Definición y características
Las expresiones n
n
2
2
-,
x
1,
a b
a b
-
+,
x y
x xy y23 3
2 2
+
+ + son fracciones algebraicas.
Una fracción algebraica es una fracción cuyo numerador y cuyo denominador son expresiones algebraicas, y donde el denominador se define de tal forma que no puede tomar un valor de 0.
Decimos que una fracción está definida cuando su denominador es diferente de cero.
Las condiciones que deben satisfacer las letras o variables de una fracción para evitar que el denominador sea igual a cero se llaman restricciones de la fracción algebraica.
1.2 Fracciones equivalentesActividad inicial. El papá de Ana preparó un pastel. Ana comió la cuarta parte del pastel y su hermana comió la tercera parte de lo que quedó. ¿Quién comió más pastel?
Cambio de signos. Todas las fracciones tienen 3 signos:
Signo de la fracción b
a--
- Signo del numerador
Signo del denominador
88©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
2. Cambia las fracciones con signo negativo a fracciones con signo positivo y expresa las fracciones que tienen signo positivo con signos cambiados en el numerador y en el denominador.
a) x
x 12
--
c) x
x x
4
2 12
2
-- +
e) x
x
1
2 13- -
+
_ i g) x x
x x
1 4
2 3-
+ -
- +__
__ii
ii i)
x x
x
1 4
2-- + -
- -
___iii
b) x
x
2 4
1
- -
- d)
x
x x
1
12
- -
- + f)
x
x
2 5
4 2-
+
- -_ i h)
x x
x
2 1 3 2
5 3
- -
+
___iii j)
x x
x
4 1
3
-
+
_ i
Actividades
Problemas resueltos
2. Cambia los signos en la fracción x a
a x 4-
-
- +.
Podemos cambiar el signo de la fracción y el signo del numerador:
x a
a x
x a
a x
x a
a x4 4 4-
-
- +=
-
- +=
-
- + -=+
- _ ix a
x a 4
-
- -
También podemos cambiar el signo de la fracción y el signo del denominador:
x a
a x
x a
a x
x a
a x4 4 4-
-
- +=
-
- +=- +
- +=+
- _ i a x
a x 4
-
- +
Y también podemos cambiar el signo del numerador y el signo del denominador:
x a
a x
x a
a x
x a
a x4 4 4-
-
- +=-
-
- +=-
- +
- + -=
-
- __ i
ia x
x a 4-
-
- -
3. Cambia signos al numerador y al denominador en x x
x
1 5
5 1
- -
-
___iii .
Como el numerador y el denominador están compuestos por factores, debemos cambiar el signo a un factor del numerador y a un factor del denominador. Probe-mos con el primer factor:
x x
x
x x
x
x x
x
1 5
5 1
1 5
5 1
1 5
5 1
- -
-=- - -
- -=- + -
- -=_
__ _
__ _
__i
ii i
ii i
ii x x
x
1 5
5 1
- -
- -
___iii
También podemos cambiar el signo al segundo factor:
x x
x
x x
x
x x
x
1 5
5 1
1 5
5 1
1 5
5 1
- -
-=
- - -
- -=
- - +
- +=_
`_ _
a _a _ _
__i
ji i
ikik i
ii x x
x
1 5
5 1
- -
-
___iii
Si a y b son dos números reales (con b 0! ), se pueden realizar los siguientes cambios de signos:
b
a
b
a
b
a
b
a=-
-=--=--
b
a
b
a
b
a
b
a- =-
-
-=-=-
Si en una fracción algebraica se cambian dos signos, la fracción no cambia. Si se cam-bian uno o tres signos, la fracción sí cambia de signo.
Ejemplos de cambio de signos:
3
2
3
2
3
2
3
2
6
7
6
7
6
7
6
7
=-
-=--=--
- =--
-=-=-
Más información
En un binomio, el signo negati-vo delante del paréntesis invier-te el orden de los términos.
x a x a
a x
- - =- +
= -
_ i
Más información
89©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
PROBLEMAS RESUELTOS DE PROFUNDIZACIÓN
17. Analiza críticamente las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas.
a) x
x
8
23+
+ b)
x y
62-
c) x x
22+
d)
x y
x3
2
2
-
+
Recordemos que el denominador de una fracción debe ser distinto de 0 ( porque la división entre 0 no está definida ) y que, en particular, una fracción algebraica es válida solo para aquellos valores de sus variables con los que el denominador es distinto de 0. Se trata, entonces, de indicar los valores que debemos excluir para que el denominador no tome el valor 0.
a) x x8 0 83 3(! !+ - Debemos excluir los valores que, elevados al cubo, son iguales a 8- . Luego, debemos excluir 2- , porque 2 83
- =-_ i .
Restricción: la variable x admite cualquier valor real con excepción del 2- .
b) x y x y02 2(! !- Debemos excluir todos los pares de números tales que el cuadrado de x sea igual a y. Estos pares son infinitos; por ejemplo: ( ; )x y0 0= = , ( ; )x y1 1= = , ( ; )x y2 4= = , f
Restricción: las variables x y y admiten cualquier par de valores reales en los que el cuadrado de x es distinto de y.
c) x x x x0 1 02 factorizando! !+ +_ i El producto de x y x 1+ debe ser distinto
de 0. Luego, cualquiera de estos factores debe ser distinto de 0. Por lo tanto, debemos excluir los casos en que: x 0= y x x1 0 1(+ = =- .
Restricción: la variable x admite cualquier valor real con excepción de 0 y 1- .
d) Se trata de una fracción algebraica compuesta. Su numerador x 2
2
+ pue-
de ser igual a 0, pero como es una fracción, x 2 0!+ ; entonces, x 2!- .
Su denominador x y
3
- debe ser distinto de 0. Además, como es una fracción,
x y x y0(! !- . Debemos excluir los pares de números reales iguales.
Restricción: las variables x y y admiten cualquier par de valores en los que x y! y, además, específicamente, x 2!- .
18. Simplifica las fracciones aplicando cambios de signo solo en el numerador.
a) y x
x y
5 5
2 2
-
-
y x
x y
5
2actorizamosf
-
-__ i
i
Como el numerador se compone de 2 factores, si cambiamos el signo en estos dos factores, la fracción no se altera. Entonces:
y x
x y
y x
y x
5
2
5
2
-
- - -=
-
- -=
a``
``
jjk
jj
5
2-
b) x
x x
5
3 5
-
+ -_ _i ix
x x
x
x xx
5
3 5
5
3 53=
-
- + - -=
-
- - -= - -
` _ ` _ _ _ij ij i i
102©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
19. Encuentra una fracción equivalente a x
x
2
5
-
- cuyo denominador sea x x2 102+ - .
Debemos encontrar una expresión algebraica E por la cual multiplicamos el nume-rador y el denominador de tal manera que:
x E x x
Ex
x x
x
x xx
2 2 10
2
2 10
2
2 2 52 5
2
2
$- = + -
=-
+ -=
-
- += +
__ _
ii i
La fracción buscada se consigue multiplicando el numerador y el denominador por x2 5+_ i.
x
x
x
x
2
5
2 5
2 5$
-
-
+
+=
__
__
ii
ii x x
x x
2 10
2 5 252
2
+ -
- -
20. Simplifica la fracción m
m m m
32 8
2 3 23 422
3 2
-
- - +.
A veces no es fácil determinar si el numerador o el denominador son factorizables (o si tienen divisores comunes). En estos casos, es necesa-rio probar con diferentes estrategias de factorización.
El numerador de la fracción es factorizable por la regla de Ruffini ( la síntesis del procedimiento se muestra en el margen ). El denomi-nador se puede factorizar fácilmente: primero, por factor común y, después, por diferencia de cuadrados perfectos:
m
m m m
m
m m m
m m
m m m
32 8
2 3 23 42
8 4
2 3 2 7
8 2 2
2 3 2 72
3 2
2-
- - +=
-
- - +=
+ -
- - +_ __
_ ___
__i i
ii i
ii
ii
Para obtener factores comunes en el numerador y en el denominador, debemos realizar un cambio de signos, pero, para que este cambio no altere la fracción, de-bemos realizar el cambio de signos en dos factores del denominador. Entonces:
m m
m m m
m m
m m m
8 2 2
2 3 2 7
8 2 2
2 3 2 7
+ -
- - +=
- + -
- - +=
___
__ _
__
__i
ii
ii i
ii
ii
m
m m
8 2
3 2 7-
+
- +___iii
21. Simplifica la fracción x
x x x x x
3
3 6 3 9 4 32 4
2 2 2 2
-
- - - - - -_ ___ _ _i i
ii i i
.
Para simplificar esta expresión será necesario factorizarla. Determinamos, enton-ces, el factor común en el numerador.
x
x x x x x
3
3 3 6 3 9 4
2 4 3
2 2 2
-
- - - - - -_ ___ _ _i i i
ii i9 C
Operamos:
x
x x x x
x
x x
3
6 18 12 36
3
6 542 3
3 3
2 3
3
=-
- + - - -=
-
+=
__
_ii
i x
x x
3
6 9
2 3
2
-
+
__
ii
m
m
2
3
2
2
2
34167
232
21210
42420 2
3
es factor
es factor
_
_
- -
-
-
-
-
m2 7 es factor+
1 2 344 44
103©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
TALLER DE MATEMÁTICA
El propósito de este taller es aprender a evaluar expresiones algebraicas con una calcu-ladora y utilizar este conocimiento para determinar si una simplificación o una operación de fracciones ha sido bien efectuada.
1. Si una igualdad algebraica P Q= es válida, esta se transforma en una igualdad nu-mérica verdadera para todos los valores numéricos de sus variables. Así, por ejem-plo, la igualdad x y x y x y2 2- = + -^ ^h h es válida porque genera una igualdad nu-mérica verdadera para cualquier asignación de valores que hagamos a sus variables x y y. Probemos con x 5= y y 2= . Vemos que resulta en una igualdad numérica verdadera:
5 2 25 4 215 2 5 2 7 3 212 2 , ,$= = =- -+ -^ ^h hSi una determinada evaluación de la igualdad P Q= genera una igualdad numérica falsa, entonces hemos demostrado que esa igualdad no es válida. Si una determi-nada evaluación genera una igualdad numérica verdadera, entonces podemos supo-ner, razonablemente, que la igualdad es válida; aunque no nos será posible demos-trarlo estrictamente porque no podemos realizar todas las evaluaciones posibles.
2. Analicemos si el miembro derecho de la siguiente igualdad es el resultado correcto de la operación de suma y resta de fracciones planteada en el miembro izquierdo:
x y
x xy
x y
y
x y
x
x y
x y
3
2
6 6 4 12
22 2
2
-
-+
--
+=
+
-
^ ^ ^h h hEvaluaremos la igualdad para cualquier par de valores que no esté prohibido por las restricciones de las fracciones; por ejemplo, para x 2= y y 5= .
Es conveniente usar las memorias de la calculadora: asignemos la variable x 2= a la memoria A y la variable y 5= a la memoria B (Guardar=STOre; Mostrar=ReCaLl).
• Guardamos 2 en la memoria A: 2 RCLSTO
A
.
• Guardamos 5 en la memoria B: 5 RCLSTO
B
.
• Para ver si el 2 está guardado en la memoria A: RCL A
(se ve en la pantalla: A 2).
3. Evaluamos el miembro izquierdo de la igualdad utilizando las teclas ALPHA A
para
escribir la variable x y las teclas ALPHA B
para escribir la variable y. Después de
escribir la operación, pulsamos = y en la pantalla vemos:
3
2
6 6 4 21
2
A B
A AB
A B
B
A B
A2 2
2
-
-+
--
+=-^ ^h h
4. De forma similar, evaluamos el miembro derecho de la igualdad: 12
2
21
2
A B
A B
+
-=-^ h .
Como la evaluación de ambos miembros genera la misma fracción, podemos con-cluir que las operaciones entre fracciones han sido bien realizadas.
Evaluación de fracciones
106©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
CONEXIONES
Polinomios en la economíaLa economía, considerada por muchos como una ciencia so-cial y por otros como una ciencia exacta, nos ofrece múltiples ejemplos de la aplicación de los procesos matemáticos.
Todos hacemos uso de la matemática y de los polinomios de forma básica todo el tiempo. Tú calculas el dinero que tienes para ir a un concierto; sabes que tienes un monto limitado y debes gastarlo en la entrada, en el transporte y en la comida. Las familias hacen cálculos con el fin de optimizar su presu-puesto para el mercado. La directiva del colegio calcula los costos de mantenimiento, los pagos de los profesores y los ahorros, teniendo en cuenta las pensiones y las becas. Mu-chas empresas emplean los polinomios para tomar decisiones sobre la distribución del dinero en sus costos: contratación de empleados, equipamiento, intereses, materia prima, etc.
En los libros de economía nos encontramos con la teoría de la producción, donde las funciones de producción se presentan como polinomios. El propósito consiste en hacer pronósticos de los ingresos, dependiendo de los gastos. El costo total se divide entre los productos y se les da un precio para obtener ganan-cias. Dependiendo del margen de las ganancias, se harán más o menos ventas, que lógicamente implican un esfuerzo de dis-tribución. Como ves, no es sencillo, pero es muy útil al momento de instalar un negocio.
Pongamos algunos de estos conceptos en fórmulas. Cuando se habla de los costos de producción de una empresa, el costo total CT depende de los costos fijos y los costos variables:
Costos fijos Costos variablesCT = +
Una función de costo total simple se ve así:CT q q20 4 82= + +
Este es un polinomio que tiene como variable q a la cantidad de producción.
Cuando se divide qCT
, se obtiene el costo medio, que es el cos-
to de producir cada unidad, y como este resulta de la división del CT entre la cantidad, será menor si la cantidad aumenta.
No solo los economistas y los matemáticos trabajan con po-linomios, sino también los ingenieros, los biólogos, los geó-logos e incluso los deportistas. Todos ellos trabajan con pro-gramas informáticos para optimizar sus esfuerzos calculando aproximaciones de raíces; los ingenieros los usan para tener construcciones más firmes, los biólogos para conocer el cre-cimiento de una población de animales, los deportistas para mejorar sus resultados.
22. El volumen de ventas (en miles de bolivianos) de una empresa está en función de la cantidad x (expresada también en miles de bolivianos) que la empresa in-vierte en publicidad.
Vx
75 13
42
$= -+_ i> H
a) Desarrolla la expresión con productos notables.
b) Calcula el volumen de ventas cuando el monto de publicidad es x 1= , x 5= y x 10= .
23. La cantidad demandada de cierto tipo de mochilas, está en función de los ingresos de las personas, los gustos, la moda y, principalmente, el precio. El si-guiente polinomio muestra la relación cantidad-precio de este producto.
q p50 6000D =- +
a) Halla la cantidad demandada cuando el precio es de Bs 60 y cuando el precio es de Bs 80.
b) ¿Por qué se deben ofrecer las mochilas a Bs 60 y no a Bs 58, 59, 61 o 62?
c) Si la empresa produjo solo 1 000 mochilas y quie-re tener la máxima ganancia al venderlas todas, ¿a qué precio debe ofertarlas?
Actividades
27©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
TALLER DE MATEMÁTICAACTIVIDADES FINALES
i) a
a
a
a
a
a
a a
a
1 2
1
2
1
1
2 3
2$ $ $
-
- -
+ +
j) x y
x y
x y
x y
1
1
1
12
2 2
2
2 2
$- -
- -
- +
- +__ _
_ii i
i
k) b
a a b
a
b a b
a b
ab
2
3 2
6
2
4
123
2
2 2 2$ $
- +
-
_ _i i
22. Realiza las siguientes operaciones:
a) x
x9
2
12'-
b) a a
a3
22'
+
c) a
a
a1
8 32
3 3
16'
+
-
+
d) x
x4
22'
--_ i
e) x
x
1
3
3
12
'-
+
f) a a
a
5 10
17
6 3
34 51'
- -
-
g) m
m n
m n
m m
2 1
2 5 32 2 2
$+
-
+
- -
h) a
a a
a
a
8
4 3
16
12
2
2
'- + -
i) y y
y y
y y
y y
2 3 2
2 7 3
3 5 2
6 5 12
2
2
2
'+ -
- +
+ -
- +
j) yz
x y
xy
z x
xy z
x y z
3
2
7
5
40
212
2
2
2
2 3 2
$ '
k) x
x
x
x x
x x
x
6
9 1
1 3
12 12
3 4 1
6 182
2
2
2
2$ $
-
-
+
+ +
-
_ i
l) b b
a ab
a a
ab
ax a51
6 55 32
2
2
2
2' $+
-
-
+ - +f p
m) x y
x xy y
x y
x y
x y
x y16 16
2 16
4 4
4
44 4
2 2
2 2' $
-
+ + -
+
+ -
+ +
+f p
23. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) a
a
a
aa
a
a
1 11
12
4
4
4
2
3
---
+ ++f fp p
b) a
a
a
a2
12
1++
-+f fp p
c) u v
u vu v
uv u v
u uv v22
2 2
2 2
' $+
+-
+ +_ i
d) xx
x x2
31
3- -
++f fp p
e) aa
a
a
a3
33
3'+ +
---
d dn n
f) b
b b
b
b1
1
11
2
11
1
1++
-+-
+-
+f f fp p p
g) x ax a
x a
x a
x ax
x a
x a x
a
x
x
a
22 2
4 4 2
2 2
5 2 3
' $ '- +
-
-
+
+
--f f dp p n
h) xx
12 33 5
1
17
12
2'-
+-_ ei o
i) x
x
x
x
xx
1
11
1
13
4
2'
-
--
++f f _
epi p o
j) x
x
x
x
x x
x x
1
3
1
2
1 1
3 32
2
'--+ + -
+e f _ _o
i i p
k) x xy y
x y
x xy y
x xy y
x xy
x xy y
3 2 2 3
6
2 22 2
3 3
2 2
2 2
2
2 2
$ '+ +
+
- -
- -
+
- +f p
24. Simplifica las siguientes fracciones compuestas:
a)
a a
a
a
1
1
1
1
11
1
--+
+-
+
e)
y x
x
y x
x
52
22
-+
-+
b) x
x
x1
1
1
1
1
+
+-
+
f) a
aa
a
a
a
2
1
2
2
12
+ -
-+
-
+
-
c)
a
a
a
aa
a
2
2 3
1
22
1
+
+-+
+-
g)
a
b
a
b
a b
a ba b
b
1 23
1
2
2
-
+
--
-
+-
d) c
b
a
c
a
a
b
a
1
1
-
+
-
+
h)
x
x
2
21
1
2
2
21
1
1
-
-
+
+
+
110©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
Modelos matemáticos
25. En una especie de iguana, la longitud de su cabeza es un tercio de la longitud de su tronco; asimismo, su cola es tan larga como su cabeza y su tronco juntos. Si designa-mos con T la longitud de su tronco, se puede expresar en términos de T la longitud total de la iguana. ¿Qué longi-tud tendrá una iguana cuyo tronco mide 25 cm? ¿Cuánto medirá la cola de otra que tiene un tronco de 62 cm?
26. El director de un colegio en cuya cancha se quiere colo-car césped sintético indicó las medidas de esta en forma de adivinanza:
“La relación del ancho y el largo aumentado en 33 metros es igual a un tercio. La suma del ancho y del largo es de 67 metros”.
Debemos determinar las medidas del campo, siendo x el
ancho y y el largo del mismo.
27. Observa los dos rectángulos y realiza las actividades.
b
y
x a
a) Escribe la fracción algebraica que indica a qué porcentaje del área de la hoja de dimensiones x a+ y y b+ equivale el área de la hoja de dimensiones x y y.
b) Utiliza la fracción deducida en el inciso anterior para calcular a qué porcentaje del área de la hoja tamaño carta equivale el área de la hoja tamaño A4 y a qué porcentaje del área de la hoja tamaño oficio equivale el área de la hoja tamaño carta. Pista: Observa que los valores de a y b pueden ser negativos o nulos.
Denominación Dimensiones
A4 210 297 mm#
Carta 216 279 mm#
Oficio 216 330 mm#
28. Determina la fracción algebraica, de variable x, que expresa el tiempo en que Rodrigo y Eduardo realizan una tarea trabajando juntos. Después, utiliza esa frac-ción para realizar los siguientes cálculos:
a) Rodrigo, trabajando solo, invierte x meses; Eduar-do, trabajando solo, invierte 2 meses más que Rodrigo. Si Rodrigo, trabajando solo, realiza la tarea en 8 meses, ¿en qué tiempo la podrían hacer juntos?
b) Eduardo, trabajando solo, invierte x horas; Rodrigo, trabajando solo, el doble de horas que Eduardo más 1 hora. Si Eduardo, trabajando solo, realiza la tarea en 3 horas, ¿en qué tiempo la podrían hacer juntos?
29. En un circuito eléctrico, la corriente está dada por una expresión con la forma de una fracción compues-ta. Simplifica las fracciones de los siguientes circuitos:
a) I
pp
q
p q
p
1 1
11
=
+ +
+
_
e
i
ob) I
u vuv
u
uv=
+ -
111©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
