REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN SUPERIOR.UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDTMATERIA: MECANICA.

CINEMATICA DE LOS CUERPOS RIGIDOSYANALISIS DE ARMADURA

INTEGRANTE:Delce Luis C.I. 10.519.907

Profesor: Ing. segundo Regalado.

Caracas, 25 de Noviembre de 2015INDICE

INTRODUCCIN

Para comprender el material contentivo en este trabajo de investigacin, acerca de la cinemtica de los cuerpos rgidos y el anlisis de armaduras, es importante tener el dominio de ciertos trminos que nos permiten un mejor manejo y comprensin del tema. La cinemtica de cuerpos rgidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes partculas que forman un cuerpo rgido. Se puede decir, que cuerpo rgido es, un sistema de partculas, que mantienen fijas las distancias que los separan, bajo la aplicacin de una fuerza o momento.La fuerza ms corriente que acta sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo por irregular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en l concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de gravedad.El centro de gravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere.El conocimiento de la posicin de los centros de gravedad, es de suma importancia en la resolucin de problemas de equilibrio, porque son los puntos de aplicacin de los vectores representativos de los respectivos pesos. El centro de gravedad sirve para calcular el equilibrio de un sistema, este sistema puede ser infinidad de cosas, por ejemplo una casa, y aqu el centro de gravedad ayudara a calcular a la persona que gua la construccin, los puntos en los cuales poner las columnas y/o la columna principal.El centro de masas de un sistema discreto o contnuo es el punto geomtrico que dinmicamente se comporta como si en l estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera anloga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. El movimiento general en el plano es considerado como un movimiento plano que no es ni una traslacin, ni una rotacin. Sin embargo, un movimiento plano puede considerarse como la suma de una traslacin y una rotacin. El centro instantneo de rotacin es el punto en el cual el eje instantneo de rotacin es perpendicular al plano de movimiento y es fijo solo para la rotacin pura del cuerpo rgido.Las armaduras son estructuras compuestas por miembros de dos fuerzas, usualmente rectos. Constan generalmente de subelementos triangulares y estn apoyadas de manera que se impida todo movimiento. En este trabajo se analizarn estructuras sencillas cuyas aplicaciones van desde torres de tendido elctrico, cerchas para soportar la cubierta de un edificio o puentes. Su estructura ligera puede soportar una fuerte carga con un peso estructural relativamente pequeo.La comprensin y el manejo de los conceptos bsicos del tema a desarrollar en este trabajo nos facilita y nos garantiza un mejor desarrollar de los ejercicios prcticos que observaremos a lo largo del material investigado y analizado.

CINEMTICA DE LOS CUERPOS RGIDOS

Centro de masaEl Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. El centro de masa de cualquier objeto es en realidad una posicin definida matemticamente. Esta posicin se puede encontrar en la masa del objeto y accin de una fuerza externa resultante sobre el mismo. Aun si el objeto est en rotacin, el centro de masa se mueve como si fuera partcula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto slido. Por ejemplo, si usted equilibra una varilla de madera de un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera est localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ah. Esto quiere decir que, el centro de masa puede estar localizado fuera de un cuerpo. Ahora bien, es importante destacar que el centro de masa puede quedar dentro o fuera de un cuerpo, dependiendo de la distribucin de su masa. Como por ejemplo; para un anillo uniforme, el centro de masa est en su centro, en cambio para un objeto en forma de L, si la distribucin de la masa es uniforme y las ramas son de igual longitud, el centro de masa queda en la diagonal entre las ramas. El centro de masas coincide con el centro de gravedad slo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y direccin constante. El centro geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogneo (densidad uniforme) o si la distribucin de materia en el objeto tiene ciertas propiedades, tales como simetra. El centro de gravedad es la posicin donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posicin promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simtrico homogneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geomtrico, pero no para un objeto irregular. En otras palabras todo esto quiere decir que, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Y el centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. Los cuerpos rgidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, ms estables y menos propensos a voltearse. Esta relacin es evidente por ejemplo; en el diseo de los automviles de carrera de frmula uno de alta velocidad, que tienen neumticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo, esto permite que ese centro de masa en equilibrio sea parte importante del rendimiento del vehculo y que les permite obtener los mejores resultados. Tambin la posicin del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades fsicas. La posicin del centro de masas de un slido rgido discreto viene dada por:

Donde:n : Nmero de partculas del sistema. r CM, ri: Vector de posicin del centro de masas y de cada una de las partculas que componen el sistema respecto al mismo sistema de referencia. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m ) m total , mi : Masa total del cuerpo y de cada partcula respectiva que compone el sistema. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg )

Supongamos el siguiente sistema;

Se define la posicin del centro de masa (horizontal) como la posicin promedio de todas las masas del sistema:

Y es extensivo a las dems direcciones.Ahora la posicin del centro de masa tambin se puede dar en funcin del vector posicin:

Cmo hallar una expresin que permita dar la posicin del centro de masa de un cuerpo rgido?

Dividimos el cuerpo en elementos de masa. La masa total del cuerpo es una aproximacin a la posicin del centro de masa (horizontal) sera:

Y es extensible a las dems direcciones.MomentoMomento de una fuerzaSe denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posicin de la fuerza por el vector fuerza.La analoga de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado fsico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el mdulo, la direccin y el sentido del momento de una fuerza:

El mdulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de direccin de la fuerza).M=Fd La direccin perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo. El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.Momento angular de una partculaSe definemomento angularde una partcula al producto vectorial del vector posicin por el vector momento lineal

Momento angular de un slido rgidoLas partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describenEn la figura se muestra el vector momento angularde una partcula de masamicuya posicin est dada por el vectory que describe una circunferencia de radioRicon velocidadvi.El mdulo del vector momento angular valeLi=rimiviSu proyeccin sobre el eje de rotacin Z valeLiz=ricos(90-qi)mivi,es decir,

El momento angular de todas las partculas del slido vale

La proyeccinLzdel vector momento angular a lo largo del eje de rotacin es

El trmino entre parntesis se denomina momento de inercia

En general, el vector momento angularno tiene la direccin del eje de rotacin, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyeccinLza lo largo del eje de rotacin. Cuando coinciden se dice que el eje de rotacin es un eje principal de inercia.Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma direccin, la del eje de rotacin

El momento de inercia no es una cantidad caracterstica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posicin del eje de rotacin. El momento de inercia es mnimo cuando el eje de rotacin pasa por el centro de masa.Teorema de SteinerEl teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto de un eje de rotacin que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.El momento de inercia del slido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionarIOeIChay que relacionarriyRi.En la figura, tenemos que

El trmino intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posicinxCdel centro de masa desde el centro de masa.Mes la masa total del slido.Energa cintica de rotacinLas partculas del slido describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen. La energa cintica total es la suma de las energas cinticas de cada una de las partculas. Esta suma se puede expresar de forma simple en trminos del momento de inercia y la velocidad angular de rotacin

Ecuacin de la dinmica de rotacinConsideremos unsistema de partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partculas. Sobre la partcula 1 acta la fuerza exteriorF1y la fuerza que ejerce la partcula 2,F12. Sobre la partcula 2 acta la fuerza exteriorF2y la fuerza que ejerce la partcula 1,F21.Por ejemplo, si el sistema de partculas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.Para cada unas de las partculas se cumple que la variacin del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula considerada.

Sumando miembro a miembro y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton,, tenemos que

Como los vectoresson paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actan sobre las partculas del sistema.Consideremos ahora que el sistema de partculas es un slido rgido que est girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular, la ecuacin anterior la escribimos

Trabajo y energa en el movimiento de rotacinEnotro apartadorelacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula con la variacin de energa cintica de dicha partcula.Considrese un cuerpo rgido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exteriorFen el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimalds=rdqen el tiempodtes

Fsenfes la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. La expresin del trabajo la podemos escribir de forma alternativa

El trabajo total cuando el slido gira un nguloqes

En la deduccin se ha tenido en cuenta la ecuacin de la dinmica de rotacinM=Ia,y la definicin develocidad angularyaceleracin angular.Se obtiene una ecuacin anloga al teorema trabajo-energa para una partcula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actan sobre un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo modifica su energa cintica de rotacin.Principio de DAlembertEn prcticamente cualquier sistema mecnica, adems de las fuerzas que controlan su evolucin, existen cierto nmero de ligaduras que constrien su movimiento. Podemos imaginar algunos ejemplos sencillos de sistemas con ligaduras: dos cuerpos unidos por una barra rgida o un hilo inextensible, las cuentas de un baco o las molculas de un gas confinado en el interior de un recipiente.Tal como veremos, podemos incorporar estas ligaduras en la descripcin del sistema, sin necesidad de tener un conocimiento preciso de las fuerzas que las producen. Que un sistema est constreido por ligaduras indica que hay fuerzas presentes que no conocemos a priori. Para soslayar este desconocimiento, habremos de reformular la Mecnica de modo que estas fuerzas no aparezcan explcitamente.Para ello, comencemos analizando un ejemplo muy sencillo. Consideremos dos masas M1 y M2 sobre dos planos inclinados lisos de ngulos 1 y 2 y unidas por un hilo inextensible como se muestra en la figura. Las fuerzas aplicadas sobre cada masa son el peso Mig y dos fuerzas de ligadura, una producida por la reaccin del plano fi y otra ejercida por el hilo fi . La ecuacin de Newton para cada masa se escribeDpi/ dt = Mig + fi + fiConsideremos ahora que congelamos el tiempo y efectuamos un desplazamiento diferencial arbitrario de ambas masas r1 y r2. Sumando sobre las dos masas del sistema obtenemos

podemos exigir que este desplazamiento sea a lo largo del correspondiente plano inclinado. En este caso, como la reaccin entre el plano inclinado y la masa es perpendicular a aquella, fi .ri = 0. Por lo tanto, podemos eliminar las reacciones del plano inclinado en la ecuacin anterior,

Por otro lado, sabemos que las fuerzas de vnculo f1 y f2 ejercidas por el hilo sobre ambas masas son de igual magnitud, y ambas apuntan hacia arriba o hacia abajo de los planos inclinados. Para aprovechar este hecho, pedimos que el desplazamiento de ambas masas tambin sea de la misma magnitud, y que si uno apunta hacia abajo por el plano inclinado, el otro apunte hacia arriba. En otras palabras, estamos pidiendo que el desplazamiento no estire ni contraiga el hilo que conecta ambas masas. Con esta condicin adicional sobre el desplazamiento, tenemos que f1.r1 = f2.r2. Por lo tanto, podemos eliminar tambin la fuerza ejercida por el hilo en la ecuacin anterior, escribiendo finalmente

Vemos que con una eleccin adecuada del desplazamiento ri hemos logrado eliminar las fuerzas de ligadura en la ecuacin anterior. En realidad, la informacin sobre las fuerzas de ligadura permanece en el hecho de que el desplazamiento elegido es compatible con las ligaduras impuestas al sistema. Quiero decir que no intenta forzar las ligaduras, empujando las masas en direccin al plano inclinado, o contrayendo o estirando el hilo que las une. Este tipo particular de desplazamiento se denomina virtual. Por desplazamiento virtual infinitesimal de un sistema entendemos una variacin de su configuracin como resultado de cualquier cambio infinitesimal arbitrario ri de sus coordenadas, compatible con las ligaduras impuestas al sistema, en un instante t. El nombre de virtual distingue este desplazamiento de cualquier desplazamiento real que se produzca en el sistema en un intervalo de tiempo dt durante el cual pueden haber variado las fuerzas y las ligaduras.Generalizamos el resultado anterior. En la ecuacin de Newton para la isima partcula de un sistema mecnico cualquiera, separamos las fuerzas de vnculo responsables de las ligaduras, escribiendo dpi/dt = Fi + fi . Consideremos ahora un desplazamiento virtual ri . Sumando sobre todas las partculas del sistema obtenemos

Puesto que el trabajo virtual neto de todas las fuerzas de ligadura actuantes sobre el sistema es cero P i fi .ri = 0, obtenemos

Esta ecuacin se denomina Principio de DAlembert. Como veremos ms adelante, representa el primer paso en direccin a una muy importante simplificacin de la Mecnica Newtoniana, lograda pocos aos ms tarde por otro francs, El conde Joseph-Louis Lagrange.Interpretacin esttica de DAlembertTodos los cuerpos tienen una tendencia a permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme. Podemos pensar en esto como una resistencia inercial al cambio o -en otras palabras- en una fuerza inercial. La forma ms conocida de fuerza inercial es la fuerza centrfuga. En la ecuacin de dAlembert, la fuerza inercial dpi/dt aparece en un pie de igualdad con la fuerza aplicada Fi , reduciendo el problema dinmico a un problema esttico. Esta interpretacin fue ardientemente atacada por algunos autores, en particular por Heinrich Hertz quien en la introduccin a su texto de Mecnica se pregunta:...Es este modo de expresin admisible?. No esto que hoy llamamos fuerza centrfuga ms que la inercia de la piedra?. Debemos concluir que la clasificacin de la fuerza centrfuga como una fuerza no es adecuada; su nombre, tal como el de fuerza viva, debe verse como una herencia de tiempos pasados; y desde el punto de vista de la utilidad del uso de esta terminologa es ms fcil excusarse que justificarla.Por otro lado, Arnold Sommerfeld defiende el uso de esta terminologa afirmando que el trmino fuerza centrfuga no necesita justificacin puesto que descansa, como el concepto ms general de fuerza inercial, en una clara definicin.LigadurasUna ligadura se denomina holnomas cuando esta descrita por una ecuacin que relaciona las coordenadas de las partculas y el tiempo de la forma f(r1, r2, ..., t) = 0. En caso contrario se denomina no-holnomas. Un ejemplo sencillo de una ligadura holnoma lo constituye el caso de dos cuerpos unidos por una barra rgida de longitud `, donde |r2 r1| = `. Otro ejemplo obvio es el de una partcula obligada a moverse a lo largo de una curva o sobre una superficie. Por otra parte, las paredes de un recipiente conteniendo un gas es un ejemplo de una ligadura no-holnoma. Para un recipiente esfrico de radio a escribiramos la condicin de ligadura como r a. Esta inecuacin representa un buen ejemplo de un caso particular de ligadura no-holnoma, denominado anholnoma. Una condicin de ligadura dada por ecuaciones diferenciales no integrables (como las de un disco de radio r rodando por un plano horizontal: , dx = rcos d dy = rsen d) es otra forma de ligaduras no-holnomas, llamada diferencial.Las ligaduras tambin se clasifican atendiendo a si son independientes del tiempo (escleronomas) o lo contienen explcitamente (reonomas). Un ejemplo de este ultimo tipo de ligadura lo constituye una bolita deslizando por un alambre mvil.En lo que sigue trabajaremos casi exclusivamente con ligaduras holnomas, para las cuales el trabajo virtual es nulo. Mas adelante veremos algunas tcnicas para lidiar con ligaduras no-holnomas diferenciales.Principio de los Trabajos VirtualesPara un sistema en equilibrio, el Principio de DAlembert se reduce a la condicin de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero:

Esta ley se conoce con el nombre de Principio de los Trabajos Virtuales y representa una de las herramientas mas tiles para el estudio de tales sistemas. En el ejemplo, algo trivial, que analizamos en la seccin anterior, esta ley nos indica que para que el sistema este en equilibrio, debe darse una relacin muy particular entre las masas y los ngulos de los planos inclinados

Esta ecuacin, denominada Principio del Plano Inclinado, fue descubierta por Simon Stevin (Brujas 1548 - Leyden 1620) mucho aos antes que el desarrollo de la Mecnica Newtoniana. Este descubrimiento, notable para la poca, lo realizo de una manera muy ingeniosa: Imagin una cadena cerrada homognea alrededor de un prisma triangular tal como se muestra en la figura. Desde el reposo, es intuitivamente claro que esta cadena debe permanecer en equilibrio. Pero entonces, sin alterar el equilibrio, podemos suprimir la parte simtrica de la cadena que cuelga entre ambos extremos inferiores del prisma. De esta manera, los dos trozos de cadena sobre ambos planos inclinados deben permanecer en equilibrio. De ah que las masas deben estar en proporcin a las longitudes de ambos planos inclinados M1/M2 = `1/`2. Y como, por simple geometra, `1sen1 = `2sen2, obtenemos el Principio del Plano Inclinado.La deduccin de Stevin es uno de los ms valiosos documentos de la prehistoria de la mecnica y nos da un claro ejemplo sobre el proceso de formacin de la ciencia a partir del conocimiento intuitivo. El mismo Stevin estaba tan orgulloso de su descubrimiento que el dibujo de la cadena cerrada alrededor del prisma, que figura en la portada de su obra Hypomnemata mathematica (Leiden, 1605), est encabezado por la frase: La maravilla no es maravilla.Movimiento General en el Plano

Centro Instantneo de Rotacin (CIR)Punto en torno al cual gira un cuerpo en un instante determinado. Se define como la interseccin de las perpendiculares a las trayectorias que recorren los puntos del cuerpo en movimiento. Durante el movimiento rectilneo de un cuerpo, el centro instantneo de rotacin se halla en el infinito en direccin perpendicular al movimiento.Debido a que todo movimiento debe considerarse con relacin a un sistema de referencia, tambin la rotacin y su centro instantneo son relativos a dicho sistema. Por ejemplo, la rueda de un vehculo posee, respecto a ste, un centro instantneo de rotacin que coincide con su eje, mientras que, con relacin al suelo, el centro instantneo de rotacin se halla sobre la huella delneumtico.

Un cuerpo rgido unido al sistema de referencia por medio de un eje, posee un centro instantneo de rotacin, con relacin a este sistema, que coincide con dicho eje. Si est unido por medio de una varilla (por ejemplo, el brazo longitudinal de una suspensin), el centro instantneo de rotacin se halla sobre la recta que pasa por la varilla. Si est unido al sistema por medio de 2 varillas (por ejemplo, lassuspensionesde trapecio oscilante), su centro instantneo de rotacin deber pertenecer a las 2 rectas representadas por las varillas y, por tanto, se hallar en el punto de interseccin de las mismas.

Con razonamientos anlogos puede hallarse el centro instantneo de rotacin de cualquier sistema articulado, por complicado que el mismo sea.

ANALISIS DE ARMADURADefinicin de armaduraUna armadura es un ensamble triangular que distribuye cargas a lo soportes por medio de una combinacin de miembros conectados por juntas articuladas, configurados en tringulos, de manera que idealmente todos se encuentren trabajando en compresin o en tensin pura y que todas las fuerzas de empuje se resuelvan internamente.En la prctica, algunos esfuerzos de flexin pueden ocurrir como resultado de la friccin de las juntas y de las cargas distribuidas aplicadas a losmiembros entre las juntas; generalmente, estos esfuerzos son menores comparados con las fuerzas axiales y, por lo comn, se ignoran para propsitos analticos. El triangulo es la unidad geomtrica bsica de la armadura; es una forma nica, ya que no se puede cambiar sin que cambie la longitud de sus lados aun cuando las juntas estn articuladas. Todos los otros polgonos articulados son inestables.Los elementos de la armadura de arriba y de abajo se denominan cuerdas superiores e inferiores, respectivamente. Todos los elementos entre las cuerdas superiores e inferiores son elementos de red. las armaduras planas tienen todos sus elementos en un solo plano, mientras que las armaduras espaciales los tienen en una sola configuracin tridimensionales. Tanto las armaduras planas como las tridimensionales salvan claros solo en una direccin.

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