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SEM0104 SEM0104 -- Aula 13Aula 13Cinemática e Cinética de Corpos Cinemática e Cinética de Corpos RígidosRígidosRígidosRígidos
Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP
•• IntroduçãoIntrodução
• Cinemática de Corpos Rígidos
• Cinética de Corpos Rígidos
Sumário da AulaSumário da Aula
• Cinética de Corpos Rígidos
• Métodos Newton-Euler
• Exemplos
EESC-USP © M. Becker 2009 2/67
IntroduçãoIntrodução• Conceito de corpo rígido: é um
conjunto de infinitas partículas de
massa infinitesimal;
• Existem algumas situações onde as • Existem algumas situações onde as
dimensões de um corpo rígido não
podem ser desprezadas;
• Aparece a rotação de corpo rígido.
EESC-USP © M. Becker 2009 3/67
IntroduçãoIntrodução• Apresentação de algumas grandezas
físicas importantes:
– v* e a* - velocidade e aceleração linear;
– ω e - velocidade e aceleração ω&– ω e - velocidade e aceleração
angular;
– J e H – quantidade de movimento linear e
angular.
ω&
EESC-USP © M. Becker 2009 4/67
IntroduçãoIntrodução• Equações diferenciais que descrevem o
movimento de um corpo:
– Newton (sistema Inercial):
n
⋅+⋅=⋅=
– Euler (sistema móvel Bn solidário ao corpo):
oBnBnBnoBnBn
Bndtd
oBn
n
ioBnBnoBndt
dioBn
axmIx
IHxHM
*0
1
).(
)(.)(
ρω
ω
+Ω
+∑ =Ω+==
***)(1
amvmvmF IIIdtd
n
iiI ⋅+⋅=⋅=∑
=
&
EESC-USP © M. Becker 2009 5/67
•• IntroduçãoIntrodução
•• Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
• Cinética de Corpos Rígidos
Sumário da AulaSumário da Aula
• Cinética de Corpos Rígidos
• Métodos Newton-Euler
• Exemplos
EESC-USP © M. Becker 2009 6/67
Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos• Quando existem forças que não estão
aplicadas no centro de massa de um
corpo, deve-se considerá-lo corpo
rígido.rígido.
• No estudo dos corpos rígidos,
trabalha-se:
– 3D: seis eq. de equilíbrio: 3R e 3T;
– 2D: três eq. de equilíbrio: 1R e 2T.
EESC-USP © M. Becker 2009 7/67
Cinemática de Corpos Cinemática de Corpos RígidosRígidosSistema móvel B fixo ao corpo (translação e rotação em torno de Z)
T00 θω &= T
I 00 θω &=
EESC-USP © M. Becker 2009 8/67
Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
• As velocidades e acelerações (lineares e angulares) podem ser obtidas por diferenciação direta das equações de deslocamento:equações de deslocamento:
)( OBIdtd
BI rv = )(2
2
OBIdt
dBI ra =
EESC-USP © M. Becker 2009 9/67
Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
• Utilizando sistemas móveis de referência:
– Velocidade:
vrvv +×+= ω
– Aceleração:
lIlIIABIIIABIIAIBI avrraa ReRe2 +×⋅+××+×+= ωωωω&
lIABIIAIBI vrvv Re+×+= ω
EESC-USP © M. Becker 2009 10/67
Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
• Corpo rígido significa, matematicamente, que a distância entre dois pontos A e B pertencentes a um corpo permanece constante.um corpo permanece constante.
• Considerando:
0)(Re =⋅= ABBdtdT
lI rTv θ0)(
2
2
Re =⋅= ABBdt
dTlI rTa θ
EESC-USP © M. Becker 2009 11/67
Cinemática de Corpos Cinemática de Corpos RígidosRígidos
EESC-USP © M. Becker 2009 12/67
Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
• No caso de um corpo flexível, a distância não permanece mais constante e passa a ser descrita em função da elasticidade do material do função da elasticidade do material do corpo.
• A velocidade relativa e a aceleração relativa não são nulas.
EESC-USP © M. Becker 2009 13/67
Cinemática de Corpos Cinemática de Corpos RígidosRígidos
EESC-USP © M. Becker 2009 14/67
Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
• Então, as equações que descrevem, com auxílio do sistema móvel solidário ao corpo, são:
rvv ×+= ω ABIIAIBI rvv ×+= ω
ABIIIABIIAIBI rraa ××+×+= ωωω&
EESC-USP © M. Becker 2009 15/67
•• IntroduçãoIntrodução
•• Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos
Sumário da AulaSumário da Aula
•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos
• Métodos Newton-Euler
• Exemplos
EESC-USP © M. Becker 2009 16/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Já sabemos que corpo rígido pode ser idealizado como um conjunto de partículas;
• Então, faremos a dedução das equações
Introdução
• Então, faremos a dedução das equações para forças e momentos resultantes;
• Serão introduzidos conceitos de quantidade de movimento linear e angular.
EESC-USP © M. Becker 2009 17/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Para achar o centro de massa:
Quantidade de Movimento Linear
∑
∑=⇒=∑ ∑=
=
=
= =ni i
ni iIi
III
n
i
n
iiiIi
m
rmrrmrmrm
1
1
1 1
)(***)(
• Usando o centro de massa para obter o vetor de
quantidade de movimento linear:
( )**)(11
rmdt
drm
dt
drm
dt
dJ I
n
iIi
n
iiIiI =
∑=
∑=
==
∑ ===
n
iIiIiI vmvmJ
1
*)(
EESC-USP © M. Becker 2009 18/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosQuantidade de Movimento Linear
Partículas livres Corpo rígidoEESC-USP © M. Becker 2009 19/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Baseado na segunda Lei de Newton, temos que a quantidade de movimento linear de um corpo rígido só se altera se for aplicado a ele forças externas.
Variação da Quantidade de Movimento Linear
a ele forças externas.
∑ ==
s
jIjI vm
dt
dF
1
*)(
EESC-USP © M. Becker 2009 20/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Expandindo-se a equação anterior, tem-se:
Variação da Quantidade de Movimento Linear
***)(*)( amvmvdt
dmvm
dt
dF III
s
IjI +=∑ += &
• Quando não se tem variação de massa ao
longo do tempo, a equação se resume a:
***)(*)(1
amvmvdt
mvmdt
F IIIj
IjI +=∑ +==
&
*1
amF I
s
jjI∑ =
=
EESC-USP © M. Becker 2009 21/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• A quantidade de movimento angular de uma
partícula i, em relação a um ponto A qualquer, é
o produto vetorial entre o vetor ρi e o vetor de
quantidade de movimento linear J:
Quantidade de Movimento Angular
quantidade de movimento linear J:
)()( iIiiIiIiIAI vmJH ×=×= ρρ
EESC-USP © M. Becker 2009 22/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosQuantidade de Movimento Angular
Uma única partícula Sistema de partículasEESC-USP © M. Becker 2009 23/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Quando se tem um sistema com npartículas, a equação fica:
Quantidade de Movimento Angular
∑ ×=n
vmH )]([ ρ
• Cuja equação de velocidade linear de cada partícula é dada por:
∑ ×==i
iIiiIAI vmH1
)]([ ρ
3210
Re
=
+×+= lIiIIAIiI vvv ρω
EESC-USP © M. Becker 2009 24/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• A quantidade de movimento angular para o caso de rotação e translação simultânea fica:
Quantidade de Movimento Angular
n
• Expandindo:
)]([1
iI
n
iIAIiiIAI vmH ρωρ ×∑ +×=
=
∑ ××∑ +××===
n
iiIIiiI
n
iAI
massadecentro
iiIAI mvmH11
)]([][ ρωρρ43421
EESC-USP © M. Becker 2009 25/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Re-escrevendo a equação:
Quantidade de Movimento Angular
∑ ××+×==
n
iiIIiiIAIaIAI mvmH
1
*)]([ ρωρρ
• Colocando o sistema móvel de referência sobre o centro de massa do sistema:
=i 1
∑ ××+×==
=
n
iiIIiiIAIaIAI mvmH
10
*)]([ ρωρρ
43421
EESC-USP © M. Becker 2009 26/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Então, a equação fica:
Quantidade de Movimento Angular
∑ ××==
n
iiiIIiIAI mH
1
)( ρωρ
• Representando no sistema móvel:
=i 1
∑ ××==
n
iiiBnBniBnABn mH
1
)( ρωρ
EESC-USP © M. Becker 2009 27/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Descrevendo o vetor ρi nos sistemas inercial e móvel:
Quantidade de Movimento Angular
x
==
)(
)(
)(
tz
ty
tx
rIiI ρ
==
z
y
x
rBniBn ρ
EESC-USP © M. Becker 2009 28/67
• Descrevendo o vetor velocidade angular ωi nos sistemas inercial e móvel:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
=
z
y
x
I
ω
ω
ω
ω
=
z
y
x
Bn
ω
ω
ω
ω
EESC-USP © M. Becker 2009 29/67
• Para um corpo rígido, trocam-se os símbolos de somatório para integral e de mi por dm. Então, as equações nos sistemas inercial e móvel ficam:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
móvel ficam:
∫ ××= dmrrH IIIAI )( ω
∫ ××= dmrrH BnBnBnABn )( ω
dzdydxdVdm µµ ==
EESC-USP © M. Becker 2009 30/67
• Substituindo os valores de Bnr , Bnω e dm
na equação da quantidade de movimento angular, tem-se:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
∫∫∫
×
= dzdydx
zyx
kji
z
y
x
H zyx
nnn
ABn µωωω
EESC-USP © M. Becker 2009 31/67
• Efetuando-se o produto vetorial, tem-se:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
kji
∫∫∫
−−−−
= dzdydx
xyxzyz
zyx
kji
H
yxzxzy
nnn
ABn µ
ωωωωωω )()()(
EESC-USP © M. Becker 2009 32/67
• Que também pode ser descrito como:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
−+− xzzxyy ωωωω )(22
∫∫∫
+−+−
+−−−
−+−
= dzdydx
yzyxzx
yzzxyx
xzzxyy
H
zyzx
zyyx
zxyx
ABn µ
ωωωω
ωωωω
ωωωω
)(
)(
)(
22
22
22
EESC-USP © M. Becker 2009 33/67
• Re-ordenando os termos do vetor de quantidade de movimento angular:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
∫∫∫
+−−
−+−
−−+
= dzdydx
yxzyzx
yzyxyx
xzxyzy
H
z
y
x
ABn µ
ω
ω
ω
)(
)(
)(
22
22
22
EESC-USP © M. Becker 2009 34/67
• Mas as velocidades angulares ωx, ωy e ωz independem de x, y e z. Colocando a integral pra dentro da matriz, tem-se:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
se:
∫∫∫ +∫∫∫−∫∫∫−
∫∫∫−∫∫∫ +∫∫∫−
∫∫∫−∫∫∫−∫∫∫ +
=
z
y
x
ABn
dzdydxzxdzdydxzydzdydxzx
dzdydxyzdzdydxzxdzdydxyx
dzdydxxzdzdydxxydzdydxzy
H
ω
ω
ω
µµµ
µµµ
µµµ
)(
)(
)(
22
22
22
EESC-USP © M. Becker 2009 35/67
• Efetuando-se a integral de cada termo da matriz, chega-se:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
ω
ω
ω
ω
BnABnABn
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ABn IH
III
III
III
H =⇒
−−
−−
−−
=
EESC-USP © M. Becker 2009 36/67
• Onde aparecem:
– Os momentos de inércia de massa:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
– Os momentos de inércia de massa:
• Ixx , Iyy e Izz
– Os produtos de inércia de massa:
• Ixy , Ixz e Iyz
EESC-USP © M. Becker 2009 37/67
• Em que:
Quantidade de Movimento Angular
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
∫∫∫=
∫∫∫ +=
dzdydxxyI
dzdydxzyI xx
µ
µ)(22
∫∫∫ += dzdydxzxI yy µ)(
22
∫∫∫=
∫∫∫=
dzdydxxzI
dzdydxxyI
xz
xy
µ
µ
∫∫∫=
∫∫∫=
∫∫∫
dzdydxyzI
dzdydxyxI
yz
yx
yy
µ
µ
∫∫∫=
∫∫∫=
∫∫∫ +=
dzdydxzxI
dzdydxzyI
dzdydxyxI
zx
zy
zz
µ
µ
µ)(22
EESC-USP © M. Becker 2009 38/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Quando deseja-se obter informações sobre os momentos e produtos de inércia em relação a um determinado ponto D, distante do centro de massa de D , D e D .
Teorema dos Eixos Paralelos
distante do centro de massa de Dx, Dy e Dz.
• Utiliza-se o Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner.
EESC-USP © M. Becker 2009 39/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Equações dos momentos e produtos de inércia ficam:
Teorema dos Eixos Paralelos
22 ++= DDmII +=
)(
)(
)(
22''
22''
22''
yxzzzz
xzyyyy
zyxxxx
DDmII
DDmII
DDmII
++=
++=
++=
zyyzzy
zxxzzx
yxxyyx
DDmII
DDmII
DDmII
+=
+=
+=
''
''
''
EESC-USP © M. Becker 2009 40/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Assim, o novo tensor de inércia calculado em relação ao ponto D fica:
Teorema dos Eixos Paralelos
−−
−−
−−
=
''''''
''''''
''''''
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
DBn
III
III
III
I
EESC-USP © M. Becker 2009 41/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Quando o corpo tiver simetria em relação à distribuição de massa, tem-se a seguinte equação de inércias diagonais:
Direções Principais de Inércia
diagonais:
=
zz
yy
xx
OBn
I
I
I
I
00
00
00
EESC-USP © M. Becker 2009 42/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Diz-se que o sistema móvel escolhido coincide com os três eixos principais de inércia do corpo.
• Usando a teoria dos Auto-valores e Auto-
Direções Principais de Inércia
• Usando a teoria dos Auto-valores e Auto-vetores, tem-se a seguinte equação:
0
)(
)(
)(
=
−−−
−−−
−−−
λ
λ
λ
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
III
III
III
EESC-USP © M. Becker 2009 43/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Chega-se a uma equação polinomial de terceira ordem em λ:
Direções Principais de Inércia
0012
23
3 =+++ CCCC λλλ
• Resolvendo a equação:
00123 =+++ CCCC λλλ
=+
3
2
1
1
00
00
00
λ
λ
λ
oBn I
EESC-USP © M. Becker 2009 44/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Para o cálculo da direção Bns1
(usando o maior momento de inércia de massa λ1), resolve-se a equação:
Direções Principais de Inércia
=
−−−
−−−
−−−
0
0
0
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
1
c
b
a
III
III
III
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
λ
λ
λ
EESC-USP © M. Becker 2009 45/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Obtém-se valores a1, b1 e c1 diferentes da solução trivial. Então, o vetor Bns1
fica:
Direções Principais de Inércia
1a
++
++
++
=
21
21
21
1
21
21
21
1
21
21
21
1
1
cba
c
cba
b
cba
a
sBn
EESC-USP © M. Becker 2009 46/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Para o cálculo da direção Bns2
(usando o momento de inércia de massa intermediário λ2), resolve-se a equação:
Direções Principais de Inércia
equação:
=
−−−
−−−
−−−
0
0
0
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
c
b
a
III
III
III
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
λ
λ
λ
EESC-USP © M. Becker 2009 47/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Obtém-se valores a2, b2 e c2 diferentes da solução trivial. Então, o vetor Bns2
fica:
Direções Principais de Inércia
2a
++
++
++
=
22
22
22
2
22
22
22
2
22
22
22
2
2
cba
c
cba
b
cba
a
sBn
EESC-USP © M. Becker 2009 48/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Para o cálculo da direção Bns3
(usando o menor momento de inércia de massa λ3), resolve-se a equação:
Direções Principais de Inércia
=
−−−
−−−
−−−
0
0
0
)(
)(
)(
3
3
3
3
3
3
c
b
a
III
III
III
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
λ
λ
λ
EESC-USP © M. Becker 2009 49/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Obtém-se valores a3, b3 e c3 diferentes da solução trivial. Então, o vetor Bns3
fica:
Direções Principais de Inércia
3a
++
++
++
=
23
23
23
3
23
23
23
3
23
23
23
3
3
cba
c
cba
b
cba
a
sBn
EESC-USP © M. Becker 2009 50/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Então, a matriz de transformação de coordenadas T entre as bases móveis Bn
e Bn+1 (onde se tem as direções principais) pode ser dada por:
Direções Principais de Inércia
principais) pode ser dada por:
STS
cba
c
cba
b
cba
a
cba
c
cba
b
cba
a
cba
c
cba
b
cba
a
T BnBn =⇒
++
++
++
++
++
++
++
++
++
= +1
23
23
23
3
23
23
23
3
23
23
23
3
22
22
22
2
22
22
22
2
22
22
22
2
21
21
21
1
21
21
21
1
21
21
21
1
EESC-USP © M. Becker 2009 51/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos
• Baseado na Lei de Euler, temos que a quantidade de movimento angular de um corpo rígido só se altera se for aplicado a ele momentos externas.
Variação da Quantidade de Movimento Angular
aplicado a ele momentos externas.
∑ =×Ω+==
s
iABnBnABnABn HH
dt
dM
1
)(
EESC-USP © M. Becker 2009 52/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosVariação da Quantidade de Movimento Angular
=×+×Ω+×+= )()(**
vmIvmId
ρωρω
• Explicitando melhor a equação anterior, chega-se:
=×+×Ω+×+= )()(**
ABnABnBnABnBnABnABnBnABn vmIvmIdt
dρωρω
+×+×++=
===
ABnABnABnABnBnABnBnABn vdt
dmvm
dt
d
dt
dII
dt
d
43421321434210
**
00
)()()()( ρρωω
=×+×Ω+×+ )()(**
ABnABnBnABnBnABnABn vmIvdt
dm ρωρ
EESC-USP © M. Becker 2009 53/67
Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosVariação da Quantidade de Movimento Angular
4444 34444 21ABnBnABnABnBnABnBnBnABn vv
dt
dmI
dt
dI
×Ω+×+×Ω+= )()()(
*ρωω
• Cujo resultado pode ser visto abaixo:
4444 34444 21ABn a
dtdt
ABnABnBnABnBnBnABn
s
iABn amI
dt
dIM
i×+×Ω+=∑
=
*
1
)()( ρωω
• Simplificando:
EESC-USP © M. Becker 2009 54/67
•• IntroduçãoIntrodução
•• Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos
Sumário da AulaSumário da Aula
•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos
•• Métodos Métodos NewtonNewton--EulerEuler
• Exemplos
EESC-USP © M. Becker 2009 55/67
Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
• Os produtos finais do método são as equações diferenciais de movimento e as reações dinâmicas;
• Existem algumas etapas básicas a serem seguidas:
EESC-USP © M. Becker 2009 56/67
Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinemática:
1. Definição de sistemas de referência (I e Bn);
2. Definição das matrizes de transformação dos sistemas móveis para o inercial e vice-
2. Definição das matrizes de transformação dos sistemas móveis para o inercial e vice-versa;
3. Cálculo das grandezas físicas: (velocidade e angular e aceleração absoluta dos sistemas móveis):
iBniBn e ΩΩ &
EESC-USP © M. Becker 2009 57/67
Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinemática:
4. Determinação das equações de vínculo com base em equações vetoriais fechadas;
5. Cálculos das grandezas físicas:
(velocidade e aceleração angular absoluta dos corpos)
iBniBn e ωω &
EESC-USP © M. Becker 2009 58/67
Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinemática:
6. Cálculo das grandezas físicas (velocidade e aceleração linear absoluta do centro de massa dos corpos, na base inercial e na base móvel)base móvel)
iIiI aev iBiiBi aev
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Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinética ou Dinâmica:
7. Determinação das propriedades geométricas dos vários corpos (massa total mi e o tensor inércia IO);
8. Cálculo dos vetores de quantidade de movimento linear J (função de mi e Bnvi);
9. Cálculo dos vetores de quantidade de movimento angular H (função Biωi e I);
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Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinética ou Dinâmica:
10. Determinação de todas as forças exercidas atuantes;
11. Newton (no sistema I ou no Bn):
12. Euler (necessariamente no sistema Bi):
iIiiIiiIidtd
iIdtd
p
jjI amvmvmJF ⋅+⋅=⋅==∑
=
&)()(1
∑ ×⋅+⋅×Ω+⋅==
m
jOBiOBiiBiOiBiBidt
dOOBi iiiii
armIIM1
)()( ωω
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Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinética ou Dinâmica:
13. Cálculo das equações diferenciais de movimento e das reações dinâmicas pelo método Newton-Euler;
14. Resolução numérica das equações de movimento e análise dos movimentos com grande amplitudes;
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Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler
Cinética ou Dinâmica:
15. Linearização das equações diferenciais de movimento e obtenção das matrizes de massa, rigidez e amortecimento. Análise dos movimentos com pequenas dos movimentos com pequenas amplitudes: análise de vibração, estabilidade, análise modal, etc.
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•• IntroduçãoIntrodução
•• Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos
•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos
Sumário da AulaSumário da Aula
•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos
•• Métodos Métodos NewtonNewton--EulerEuler
•• ExemplosExemplos
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ExemplosExemplos
• Geometria simples Momento de inércia:
∫ += dmzyI xx )(22
∫ += dVzyI xx ρ)(22
∫ dVzyI xx )(
Onde:
222
2xrrdx
rdV o
o −=⇒=π
dxxr
dV2
)(22 −
=π
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ExemplosExemplos
• Geometria simples Equação da esfera:
Resolvendo a integral:
22222222xrzyzyxr −=+⇒++=
Resolvendo a integral:
=∫ −= −
r
rxx dxxrI ρπ2
222)(
=∫ −=r
dxxr0 2
222)(2 ρπ
=∫ +−=r
dxxxrr0
4224)2(ρπ
=
+−= 5
0
5324
15
8
53
2r
xxrxr
r
ρπρπ
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ExemplosExemplos
• Geometria simples Substituindo-se ρ:
2
3
4r
m
π
ρ =
67/67
Então, o momento de
inércia fica:
2
5
2mrII yyxx ==
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