M.Sc. Norbil Tejada Campos
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA
CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2013
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
CINTICA DE UNA PARTICULA:
Mtodo del Trabajo y Energa
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DEFINICION: Cuando una fuerza acta
sobre una partcula, realiza un trabajo
cuando sta desplaza a dicha partcula
en la direccin de la fuerza. As, la
fuerza desplaza a la partcula P
segn .
El trabajo es una magnitud fsica
escalar, y se define como:
F
rd
rdFW
dsFW cos
Segn la definicin de producto
escalar, tenemos:
TRABAJO y ENERGIA
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
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dsFrdFW cos
Anlisis:
1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0 90). 2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90 180). 3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( = 90).
Unidades:
1. (W) = 1 N.m = 1 J (julio)
2. (W) = 1 din. cm = 1 erg (ergio)
3. (W) = 1 kgf.m
4. (W) = 1 lb.pie
5. etc.
DEFINICION:
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
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cosFxxFW
Anlisis:
1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0 90). 2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90 180). 3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( = 90).
DEFINICION: Si el desplazamiento es horizontal; tenemos:
m m
(A) (B)
x
FN
P
f
x
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
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Conociendo Fc y constantes, el trabajo que realiza Fc cuando la
partcula se desplaza de S1 a S2, se
determina por medio de la ecuacin:
12coscos
2
1
SSFdsFW
S
S
Este trabajo se representa mediante una rea de un rectngulo, como se observa
en la figura:
Fccos
S1 S2 S
F
0
W = AREA
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
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Ejemplo 01.- Con una fuerza de 1200 N que forma un ngulo de 37 con la
horizontal se tira una caja de 200 kg, en una superficie spera horizontal. La caja
se mueve una distancia de 4 m con rapidez constante. Calcular: a) el trabajo
realizado por cada fuerza, b) el coeficiente de roce.
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
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Ejemplo 02.- Siendo el campo de fuerzas definido por , en newtons; Hallar el trabajo, que realiza dicho campo para llevar una partcula por la curva C en el sentido indicado en la figura.
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
F x y i y x j 2 3 42
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La partcula al desplazarse de S1 a S2,
en una posicin intermedia se tiene:
kdzjdyidxrd
kmgkPP
El trabajo que realiza la fuerza peso,
es:
2
1
r
r
rdPW
2
1
)()(
r
r
kdzjdyidxkPW
)( 12
2
1
zzPPdzW
z
z
ZmgZPW
3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)
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3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)
Ejemplo 03.- Un cuerpo puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado.
El coeficiente de rozamiento es de 0,05. Si la velocidad del bloque al llegar
al punto ms bajo es de 9 m/s. Determine, el trabajo de cada una de las
fuerzas durante el movimiento del cuerpo.
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2. Si la masa (m) experimenta un
desplazamiento arbitrario des x = xi hasta
x = xf, el trabajo realizado por el resorte
est dado por:
22
2
1
2
1)(
fi
fx
ix
resorte xkxkdxxkW
F
xi xf
k
m
1. Si la masa (m) experimenta un
desplazamiento arbitrario desde x = xi
hasta x = xf, el trabajo realizado por un
agente externo (que realiza la fuerza F);
est dado por:
22
2
1
2
1)(
if
fx
ix
xkxkdxxkW
4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
Ejemplo 04.- Una masa de 4kg se mueve del punto A al punto B
sobre una varilla de gua lisa de un cuarto de crculo, como se
ilustra. La masa est sujeta a un resorte de longitud no estirado de
200 mm y una constante de resorte de 10 kN/m. Determine el
trabajo total efectuado en la masa.
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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
Ejemplo 05.- Un collarn de 0,25 lb se desliza en la barra circular AB que
se encuentra en un plano vertical. El resorte unido al collar tiene una
longitud libre de 9 pulgadas y su rigidez es 0,1 lb/pulg. Si el collarn se
suelta desde el reposo en A, determine: a) el trabajo realizado por el
resorte, b) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, c) la rapidez del
collarn cuando llega al punto B.
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Si actan ms de una fuerza sobre el cuerpo, el
trabajo resultante es el realizado por la componente de
la fuerza resultante en direccin del desplazamiento,
entonces en trminos del producto escalar en tres
dimensiones, el trabajo total es:
2
1
2
1
2
1
cos)(
S
S
T
S
S
r
r
TOTAL dsFdsFrdrFW
Fcos
S 0 S1 S2 ds
Fcos
Dicho trabajo representa el rea bajo la curva Fcos versus s, segn la figura:
5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
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Si una fuerza variable F est moviendo a un objeto a lo largo del eje x desde una
posicin inicial a otra final, ya no se puede usar la expresin anterior para calcular el
trabajo realizado por la fuerza. En este caso se puede hacer que el cuerpo
experimente pequeos desplazamientos dx, entonces la componente Fx de la fuerza
en la direccin del desplazamiento se puede considerar aproximadamente constante
en ese intervalo dx y se puede calcular un trabajo dW en ese pequeo
desplazamiento como:
f
i
x
x
xdxFW
Dicho trabajo representa el rea bajo la curva Fx versus x, segn la figura:
5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
ENERGIA CINETICA : K = mv2
ENERGIA POTENCIAL : EP = EP (x,y,z)
ENERGIA MECANICA TOTAL : E = K + EP
6. ENERGIA MECANICA
TEOREMA: TRABAJO ENERGIA CINETICA
El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actan sobre una partcula, es igual al cambio de la energa cintica de la
partcula:
KKKmvmvW ififn 22
2
1
2
1
Observaciones:
1. W y K son cantidades escalares, de iguales unidades.
2. W (+ o -) y K (+)
3. W y K dependen del marco de referencia elegido; pero Wn = K
6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA
6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA
Ejemplo 06.- Los bloques estn unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorte est indeformado. Los coeficientes de rozamiento esttico y cintico valen 0,3 y 0,2, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar: a) la mxima velocidad de los bloques y el alargamiento que, en esa condicin sufre el resorte, b) la mxima distancia que recorrer el bloque de 10 kg, hacia abajo, por el plano inclinado.
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gradF
12
2
1
2
1
)21( rdgradrdFW
0)21( rdFW
Campo de fuerzas conservativas:
a. La fuerza es funcin de la posicin, dada en Coordenadas espaciales.
F=F(x,y,z).
b. La fuerza se expresa como el gradiente de una funcin escalar
denominada Potencial de Fuerza, de la siguiente forma:
c. El trabajo efectuado por una fuerza de este tipo sobre una partcula que se
mueve del punto 1 al punto 2 es independiente de la trayectoria y depende solamente de los puntos extremos de estudio.
d.- Si la trayectoria recorrida por la partcula es cerrada, entonces el trabajo
efectuado es nulo, porque coinciden los puntos inicial y final.
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la
trayectoria y de la rapidez con la que se mueve la partcula. En este caso el
trabajo es slo funcin de las coordenadas, por lo que se puede asociar con
una variacin de energa funcin de la posicin, similar al caso de la energa
cintica que es funcin de la velocidad.
fpipp
r
r
EEErdFW
f
i
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de energa potencial asociada con la fuerza:
TEOREMA: TRABAJO ENERGIA POTENCIAL
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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Ejemplo 1.- Fuerza de un resorte
ikxF
Fuerza de un resorte:
ikxkx
jx
ix
De donde:
kxx
2
2
1kx
pE
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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Ejemplo 2.- Fuerza de gravedad
kmgF
Fuerza de gravedad:
kmgkx
jx
ix
De donde:
mgz
mgz
pE
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
31/
