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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA UNIDAD Nº IV

Circuitos trifásicos.

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Introducción En esta última semana se revisarán los cálculos asociados a sistemas balanceados y

desbalanceados, así como el comportamiento de la potencia en sistemas trifásico. Estos

temas son de mucha importancia cuando se analizan instalaciones eléctricas industriales,

puesto que cuando se realizan los llamados cuadros de cargas, se trata de poder balancear

las cargas por circuitos y fases, aunque en la realidad no siempre sucede y es muy

importante comprender como se afectan las relaciones entre las variables trifásicas en caso

de que las cargas no sean iguales, lo que puede traer como consecuencia efectos

indeseados y muchas veces, peligrosos para la instalación o las personas.

SEMANA 6

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Ideas Fuerza 1. Analiza circuitos eléctricos trifásicos mediante el uso de teoremas y leyes eléctricas.

A través de las leyes eléctricas en corriente alterna, es posible establecer las

relaciones entre las corrientes, así como los voltajes de línea y fases, para poder

aplicarlas a diferentes cargas trifásicas balanceadas y desbalanceadas, de tal forma

de poder resolver las redes eléctricas asociadas.

2. Cálculo el factor de potencia en sistemas de corriente alterna.

Aplica los conceptos del triángulo de potencia, a sistemas trifásicos, a través de las

relaciones de voltajes y corrientes de línea, así como de fase, de tal forma de poder

calcular el factor de potencia en este tipo de sistemas.

3. Realiza la corrección del factor de potencia.

Al igual que en sistemas monofásicos, es posible corregir el factor de potencia, esta

vez, a través de la incorporación de un condensador en cada una de sus fases.

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Desarrollo

Circuitos balanceados y desbalanceados

En la semana anterior, ya se vieron los tipos de conexiones, estrella y triángulo, así como

la conversión entre circuitos, ya sean balanceados o desbalanceados.

Además, se revisaron las definiciones básicas de una red trifásica, como corrientes y

voltajes de línea, así como las corriente y voltajes de fase. También, gracias al ejercicio de

la semana, se revisó un circuito trifásico balanceado puramente resistivo, el cual se

transformó a otra conexión y se midieron los mismos parámetros para ver las distintas

reacciones entre una conexión estrella/estrella y estrella/triángulo. Pero no fue posible

estimar estos valores antes de medirlos, es por ello que esta semana, veremos las

relaciones matemáticas para poder resolver una red trifásica.

CIRCUITOS BALANCEADOS

Recordemos que estos circuitos se dan cuando se cumplen las siguientes condiciones:

• En los generadores o fuentes, las tres tensiones son de igual valor eficaz y existe un

desfase de 120° (es decir, 2π/3 radianes) entre cada par de ellas.

• Las tres corrientes, también tienen el mismo valor eficaz y están desfasadas 120°

entre ellas.

• Las tres impedancias tienen el mismo valor eficaz y el mismo factor de potencia, es

decir, las impedancias (fasorialmente) son iguales.

Tensiones de línea y fase

Para un circuito estrella balanceado, donde tenemos tres fases que llamaremos a, b y c, los

voltajes de fases están referidos al neutro de la conexión y el voltaje entre sus líneas, será

la diferencia de las tensiones anteriores, por ende, analizando el siguiente diagrama

fasorial, se tiene:

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Considerando una secuencia de fase directa, además considerando que la diferencia es la

resta, vectorialmente implica que, por ejemplo, el fasor EBN mantendrá su magnitud, pero

se desplazará 180° (es decir, tiene la dirección contraria ENB), por lo tanto, podemos inferir

que el voltaje de fase resultará:

EAB = EAN – EBN = EAN + ENB

Donde definimos que EAB = VLinea o tensión de línea y EAN = VFase o tensión de fase. Ahora,

de un simple análisis geométrico, podemos concluir que la magnitud x del diagrama anterior

se obtiene como:

𝑥 =𝑉𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎2

= 𝑉𝐹𝑎𝑠𝑒 ∙ cos(30°) = 𝑉𝐹𝑎𝑠𝑒 ∙√3

2

De esto podemos decir que:

𝑉𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎 = √3 ∙ 𝑉𝐹𝑎𝑠𝑒

Extrapolando esto, y tomando en cuenta el diagrama fasorial, podemos expresar nuestros

voltajes de línea como:

EAB = 3 ERN 30º = VL 30º

EBC = 3 ESN - 90º = VL 270º

ECA = 3 ETN - 210º = VL 150º

Lo que se puede representar como:

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Ahora, debemos recordar que un circuito estrella, las corrientes de fase son las misma que

las corrientes de línea.

Corrientes de línea y de fase

Cómo las tres impedancias deben ser iguales, para que la red sea balanceada, al

conectarse a una alimentación trifásica balanceada, poseerán corrientes de fase diferentes

según si la configuración sea estrella o triángulo.

Claramente, se puede aplicar el mismo razonamiento realizado con las tensiones de línea

y de fase, pero esta vez considerando las corrientes de línea y de fase para una carga

conectada en estrella y en triángulo.

Consideremos el siguiente circuito:

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Aplicando la 1º Ley de Kirchhoff en los nodos R, S y T, las corrientes de línea pueden

expresarse en términos de las corrientes de fase, de la siguiente manera:

IR = IRS – ITR

IS = IST – IRS

IT = ITR – IST

Donde las corrientes de fase pueden calcularse por aplicación de la ley de Ohm sobre cada

impedancia que constituye la carga, es decir:

𝐼𝐹𝑎𝑠𝑒 =𝑉𝐿𝑍

Recordar que, en el triángulo, el voltaje de fase es igual al voltaje de línea.

Por lo tanto, representaremos el diagrama fasorial de las corrientes de fase y de línea para

una carga conectada en triángulo, dónde, se aprecian claramente la relación existente entre

ellas.

Por lo tanto, analíticamente podemos decir que:

IR = IRS - ITR = IRS + (- ITR)

IR = IRS 0º + IRS - 60º

IR = IRS [1 + (0,5 - j3/2) = IRS ( 1,5 – j 3/2) = IRS 3 - 30º

ILINEA = 3 IFASE - 30º

IL = 3 IFASE

Por lo tanto, podemos decir que:

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• En un sistema balanceado en Y, se verifica que Ilínea = Ifase y Vlínea = 3 Vfase

• En un sistema balanceado en , se cumple: Vlínea= Vfase ; Ilínea = 3 Ifase

Con esto podemos determinar las magnitudes de fase y línea, dependiendo de la conexión,

que puede ser aplicada tanto para las fuentes como para las cargas. Pero debemos tener

presente que podemos tener combinaciones de este tipo de circuitos, dependiendo como

estén conectadas las fuentes y las respectivas impedancias de carga, con lo que podemos

tener cuatro posibilidades de conexión de circuitos trifásicos:

• Sistemas con conexión Estrella-Estrella Y-Y

• Sistemas con conexión Triángulo-Triángulo Δ-Δ

• Sistemas con conexión Estrella-Triángulo Y- Δ

• Sistemas con conexión Triángulo-Estrella Δ -Y

A continuación, revisaremos cómo, con las relaciones anteriores, podemos aplicarlas a cada una de estas combinaciones. Recordemos que estamos bajo la premisa que es un circuito balanceado o equilibrado. Conexión Estrella-Estrella Y-Y Para este análisis, tomemos en cuenta el siguiente circuito, con fuentes y cargas balanceadas, con una secuencia de fase directa:

De esto tenemos que:

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Dónde el Van, Vbn, Vcn, es el voltaje referido al neutro y VP es el voltaje de fase (phase, en

inglés), por ende, podemos ver que se cumple el desfase correspondiente a una secuencia de fase directa.

Ahora, los voltajes entre líneas, para este caso, los denominaremos como Vab, Vbc y Vca y

debemos recordar que existe una relación entre esta magnitud y los voltajes de fase de la siguiente manera:

Y por lo tanto para las demás líneas se puede comprobar que:

Por lo tanto, se llega a la misma conclusión anterior que:

Además, se aprecia que la tensión de línea tiene un adelanto de 30° respecto a la tensión de fase. En el caso de las corrientes, se aprecia que la corriente que circula por cada línea es la misma que circula por cada fase, además que, al estar la carga balanceada, la corriente por el neutro debe ser cero. Por lo tanto, como las corrientes de fase y línea son iguales, su magnitud se obtiene de:

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Y como las tensiones son las mismas, pero desfasadas en 120°, las corrientes asumen los mismos desfases, por lo tanto:

Conexión Estrella-Triángulo Y- Δ Supongamos ahora el siguiente circuito trifásico:

En el lado de las fuentes, se tienen las mismas relaciones vistas anteriormente, donde, desde el punto de vista de la magnitud, se tiene que:

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Además de existir un adelanto de 30° para cada una de las cantidades fasoriales, pero en cada carga, el voltaje entre líneas, equivale al voltaje sobre la impedancia de carga, por lo tanto, como es sabido el voltaje de cada línea, la corriente sobre cada impedancia será:

Y cómo el desfase entre las tensiones es de 120°, este mismo ángulo de desfase se presentará para cada corriente. Ahora, aplicando lo visto anteriormente, de la relación entre las corrientes de línea y fase en un circuito triángulo, podemos deducir que:

Con un adelanto de 30°, respecto a las corrientes de fase. Donde la corriente de fase, representa la corriente sobre la carga y la corriente de línea, la corriente entregada por cada fuente y que se distribuye por la línea de distribución. Por lo tanto, representando lo anterior con la nomenclatura de nuestro circuito, tenemos que:

Y cómo hay un desfase de 120° entre las corrientes, las otras corrientes de líneas se obtienen sumando y restando estos 120° a la primera corriente encontrada, por ende:

Conexión Triángulo-Triángulo Δ-Δ

En este caso se considerará el siguiente circuito:

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De lo visto anteriormente, los voltajes de líneas y fases son iguales, pero las corrientes serán:

Por ser el lado de la carga una conexión triángulo, también se cumple que:

Con un adelanto de 30°, respecto a las corrientes de fase. Por lo tanto, también se tiene que:

Conexión Triángulo-Estrella Δ -Y Para este análisis, se utilizará el circuito:

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En este caso, desde el punto de vista de las fuentes, las tensiones de líneas son las mismas que las tensiones de fase en el triángulo y suponiendo una secuencia de fase directa, podríamos decir que estos voltajes serían:

Por otra parte, desde el punto de vista de la carga, la corriente que circula por la impedancia de carga, será la misma corriente que circula por la línea de la red. Ahora, si aplicamos la LKV en la malla M1de la figura anterior, tenemos que la sumatoria de las tensiones debe ser igual a cero, por lo tanto:

Lo que implica que, dado las relaciones de las tensiones, se puede simplificar como:

De lo anterior, al despejar las corrientes, podemos encontrar una relación entre las corrientes de línea y el voltaje de las fases de las fuentes, como:

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Pero de las corrientes de línea, sabemos que se desplazan en 120°, por lo tanto:

Que al reemplazarlo en la relación anterior:

Por ende, volviendo a la relación entre las corrientes de línea y el voltaje de fase, se tiene:

Despejando la corriente, se puede concluir que:

Como se indicó anteriormente, las corrientes se desfasan en 120°, por lo tanto, las otras corrientes serán:

Por lo tanto y a modo de resumen, podemos indicar que las corrientes y voltajes para cada combinación de circuitos, se podría expresar como:

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CIRCUITOS DESBALANCEADOS

Debemos recordar que un circuito desbalanceado, es cuando las impedancias no son

iguales y cuando las fuentes no tienen los mismos valores. Por lo tanto, las magnitudes y

sus respectivos ángulos no son simétricos, como los ejemplos vistos anteriormente.

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Por lo tanto, las suposiciones vistas en los circuitos balanceados ya no son válidas y no es

posible encontrar sólo una magnitud para poder resolver la red completa.

Para estos casos debemos utilizar ecuaciones de mallas y nodos, para plantear relaciones

y luego resolver éstas.

Por ejemplo, analicemos un caso genérico de una red estrella desbalanceada, conectada

a una fuente trifásica balanceada, de modo de poder comprender los efectos de las cargas

desbalanceadas, primeramente.

Es importante indicar, que, al estar el circuito desbalanceado, podría circular corriente por

el neutro y en esta ocasión la corriente sería distinta de cero. Este efecto dado por una

carga desbalanceada, es muy peligroso en la práctica, pues circulará energía por los

neutros de la red, que, por lo general, en los equipos eléctricos o electrodomésticos, está

conectado a la carcasa de los artefactos.

Esto quiere decir que, si la red diseñada se encuentra desbalanceada, por lo general esto

ocurre cuando se conectan más cargas eléctricas en una fase, superando los límites de la

potencia eléctrica para la cual fue diseñada, lo que hace que las fases tengan distintas

cargas, que, si son de carácter reactivo, pueden ocasionar efectos indeseados en la red.

En estos casos, se pueden producir electrificación de las carcasas de los equipos o que la

red active las protecciones de la instalación.

Si la red está balanceada, no hay peligro alguno de que suceda este fenómeno, de hecho,

sirve como protección en caso de algún problema en los equipos, ya que, si llega a

electrificarse la carcasa del dispositivo, la corriente se irá por el neutro a los sistemas de

protección de la red.

Consideremos la siguiente red eléctrica:

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Podemos evidenciar que en este caso las impedancias de carga no son iguales y al ser un

circuito estrella, las corrientes las podemos determinar por ley de Ohms de la siguiente

manera:

Ahora, aplicando la LKC en el nodo central de la red estrella (N), tenemos que:

Ahora, es muy importante tener presente las operaciones matemáticas fasoriales, ya que

en este sistema los ángulos no necesariamente tienen una relación constante como en un

sistema desbalanceado, sobre todo, si las fuentes tampoco están balanceadas, además

aquí la secuencia de fase es determínate, pues al no haber un desfase constante,

dependiendo la secuencia, la magnitud fasorial puede ser muy distinta si se analiza en la

secuencia incorrecta.

Potencia y Factor de Potencia Trifásica

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Potencia en sistemas balanceados

Consideremos el siguiente circuito estrella-estrella:

En este caso, las tensiones de fase de la carga, son las mismas que las tensiones de fase

del generador y las podemos expresar de la siguiente manera, considerando una secuencia

de fase directa.

Donde el factor √2𝑉𝑝 es el voltaje peack y por ende, Vp es el voltaje RMS de la tensión de

fase.

Ahora, para el caso de las cargas, si las expresamos en notación fasorial, tenemos que:

Si la impedancia Zy es inductiva, las corrientes de fase se atrasan respecto a las tensiones

de fase respectivas en un cierto ángulo θ. Por lo tanto, las podríamos expresar como:

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La potencia instantánea total P en la carga es la suma de las potencias instantáneas en las

tres fases y cómo ésta está balanceada, la podemos calcular como:

Donde Vp y Ip son las magnitudes RMS de los fasores del voltaje y la corriente de fase

respectivamente. Esto quiere decir, que la potencia instantánea total en un sistema trifásico

balanceado es constante, no cambia con el tiempo, como sí lo hace la potencia instantánea

de cada fase, en otras palabras, las variaciones de las potencias instantáneas se equilibran

en el sistema completo, lo cual se debe a que el sistema es balanceado y la única diferencia

es el desfase entre los fasores.

Es posible demostrar que la potencia instantánea total de una red trifásica es constante,

independientemente de que la carga esté conectada en Y o en Δ. Dado esta propiedad, es

que se utilizan sistemas trifásicos balanceados para generar y distribuir potencia eléctrica.

Ahora, la potencia promedio por fase Pp sería dividir el valor de la potencia instantánea total,

por tres, ya que son tres fases, es decir que sería P/3, por ende, lo podemos representar

como:

Por otra parte, la potencia reactiva promedio por fase, Qp, serpia:

Y, por último, la potencia aparente promedio por fase, Sp, sería:

Ahora, la potencia promedio total es la suma de las potencias promedio en las fases:

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Por lo que, expresado como magnitudes de línea, se tiene:

Recordemos que en una carga conectada en estrella, la corriente de línea es igual a la de

fase y 𝑉𝐿 = √3𝑉𝑃, mientras que en una carga conectada en triángulo, la corrientes se

relacionan como 𝐼𝐿 = √3𝐼𝑃, pero los voltejes de línea y fase son iguales. Así, la relación

anterior, se aplica tanto a cargas conectadas en estrella, como en triángulo. De igual forma,

la potencia reactiva total es:

Por ende, la potencia compleja total es:

Dónde:

Ahora, fasorialmente, la potencia aparente será:

En sistemas trifásicos podemos observar la relación entre los diferentes tipos de potencia

mediante el triángulo de potencias, que es similar al de los circuitos monofásicos y que

podemos apreciar en la siguiente figura:

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Del triángulo de potencias de la figura anterior, se deduce que el factor de potencia (llamado

también fdp o coseno de fi), se puede calcular como:

Para el caso de un sistema no balanceado, se requiere hallar la potencia en cada fase por

medio de las ecuaciones:

o

La potencia total no es sencillamente tres veces la potencia en una fase, sino la suma

fasorial de las potencias en las tres fases.

Corrección del factor de potencia en sistemas trifásicos

Como se explicó al analizar los circuitos monofásicos, el factor de potencia de una

instalación debe ser lo más cercano a la unidad, lo que significa reducir la potencia reactiva

que la instalación demanda a la red.

Normalmente el factor de potencia de un sistema eléctrico es inductivo, por lo que, dado el

comportamiento opuesto de las bobinas y de los condensadores con respecto a la potencia

reactiva, lo que se hace es conectar unos condensadores cerca de las cargas inductivas.

Así, las potencias reactivas de los condensadores y de las cargas inductivas se compensan

entre sí y no pierde energía reactiva, por los efectos inductivos de, por lo general,

maquinarias electromecánicas.

Es decir, la potencia reactiva es una medida de la energía que intercambian continuamente

los generadores y los elementos pasivos que almacenan energía (bobinas y

condensadores), pero no la consumen. Durante una mitad del tiempo una bobina consume

energía de un generador y la almacena en forma de campo magnético para luego

devolvérsela durante la otra mitad del tiempo. Lo mismo hace un condensador, aunque éste

almacena la energía en forma de campo eléctrico.

Los períodos están invertidos en bobinas y condensadores; en los momentos en que una

bobina consume energía del generador, los condensadores están devolviendo la energía

que almacenaron previamente y viceversa, cuando una bobina devuelve al generador la

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energía que almacenó anteriormente un condensador consume energía del generador y la

almacena en forma de campo eléctrico. Al colocar un condensador al lado de una carga

inductiva, las energías almacenadas en sus respectivos campos magnético y eléctrico se

intercambian entre sí y el generador sólo debe suministrar (y luego absorber en la otra mitad

del tiempo) una pequeña cantidad de energía, mucho menor que si no se hubieran instalado

los condensadores.

Siguiendo un razonamiento similar al utilizado en los sistemas monofásicos, la corrección

del factor de potencia se puede representar con la siguiente figura:

Aquí podemos ver que primeramente el factor de potencia es bajo (mucho menor a uno,

por lo general menor al 70%), de valor igual a cos φ, que consume una potencia activa P y

una potencia reactiva Q. Si se quiere aumentar el factor de potencia de forma que pase a

valer cos φ’ (luego, el ángulo φ se reduce y pasa a valer φ), por lo que la potencia reactiva

se reduce y pasa a valer Q’ mientras que la potencia activa sigue siendo P.

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Para conseguir esto se necesita introducir una potencia reactiva negativa de los

condensadores QC, cuyo valor absoluto se calcula cómo:

Por lo tanto, el condensador se podría calcular cómo:

Por lo tanto, según como se conecten los condensadores, en estrella o en triángulo, su

capacidad se calculará como:

En estrella:

En triángulo:

Luego se cumple que:

Ahora, sigue siendo válido el uso de tablas como lo usado en forma monofásica, para

obtener el factor (tan(𝜑) − tan(𝜑,)).Donde recordemos que se busca el coseno de fi actual,

en la segunda columna y al cual se desea llegar, con este, el valor de la intersección

corresponde al factor nombrado y con ello se puede obtener QC

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Conclusión En esta última semana hemos visto que las relaciones entre los parámetros de fase y línea, de un circuito estrella o un triángulo, se comportan similar, es decir, el comportamiento de la tensión es similar al de la corriente, en la conexión contraria. Además, con estas relaciones, podemos obtener los parámetros para las distintas combinaciones de conexión de las fuentes y las impedancias de carga de redes trifásicas, como estrella-estrella, estrella-triángulo, triángulo-triángulo y triángulo-estrella. Pudimos ver que la tensión de línea tiene un adelanto de 30° respecto a la tensión de fase en un circuito conectado en estrella y lo mismo pasa para las corrientes en un circuito conectado en triángulo, pero entre estos parámetros, siempre existirá el desfase de 120° de las fuentes balanceadas. Para las redes balanceadas, se puede concluir que, aunque los parámetros de la potencia instantánea varían, al ser un circuito balanceados, los efectos de cada fase se compensan con las otras, por lo tanto, la potencia promedio total, se mantiene constante y para un sistema balanceado será 3 veces el valor de la potencia en una fase. Cuando se trabaja con redes desbalanceadas, el análisis cambia y no es tan fácil poder encontrar los parámetros de línea y fase, además, tampoco se puede calcular el circuito equivalente monofásico, pues cada fase es distinta en amplitud y/o ángulo, dependiendo de que, si el desbalance se encuentra en las fuentes, en las cargas o en ambos. Para estos casos se utilizan las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohms, para cada carga y lo mismo con la potencia, se calcula la potencia en cada impedancia de carga y luego se suman fasorialmente para obtener la potencia total del sistema. Pudimos ver, además, que el factor de potencia o también llamado coseno de fi (cos φ), se puede calcular de la misma manera que en un sistema monofásico, sólo que se utilizaría el mismo valor para cada fase y en el caso de sistemas balanceados, se puede obtener el valor solamente dividiendo o multiplicando por el valor 3, dependiendo si la transformación es de una red en estrella o triángulo.

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Bibliografía Antonio Hermosa Donate (2003). Principios de Electricidad y Electrónica III. Barcelona:

Marcombo, S.A.

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