Circuitos Eletricos CC e CA - Otávio Markus (parte 2 - páginas 183 a 286)

Ate este momento, analisamos os circuitos CA, considerando o indutor e o capacitor como dispositivos ideais, isto e, o indutor como uma reatancia indutiva pura XL e o capacitor como uma reatancia capacitiva pura Xc. Porem, para determinadas condicoes de operacao, esses dispositivos apresentam desvios de comportamento que devem ser considerados em algumas aplicacoes, como as que envolvern dispositivos fortemente indutivos (motores e transformadores) e as que operam com elevadas frequencias (circuitos da area de telecomunicacoes).

Por isso, estabeleceremos tres modelos eletricos para eles, a saber: modelo ideal, modelo quase ideal e modelo quase real.A principal caracterfstica eletrica desses dispositivos a denominada parametro principal, e corresponde a indutancia L para o indutor e a capacitancia C para o capacitor. Os fatores que determinam a mudanca de seus comportamentos sao denominados parametros espurios, e surgem devido a caracterfsticas construtivas, ffsicas e eletricas. 0 inodelo ideal e formado apenas pelo parametro principal de cada dispositivo, de modo que ele se comporta como reatancia pura, tal como o consideramo nos capitulos anteriores. 0 modelo quase real e formado pelo parametro principal e por doffs parametros espurios, de modo que o comportamento do indutor e do capacitor chega a ser muito proximo do comportamento real. 0 modelo quase ideal e formado pelo parametro principal e apenas pelo parametro espurio de major relevancia. For isso, podernos chama-lo, tambem, de modelo simplificado. Adotando os modelos quase real e quase ideal, o indutor e o capacitor comportam-se nao mais como reatancias puras, mas como impedancias mistas, isto 6, corn componentes real e imaginaria.Z

Desses tres modelos, o ideal ja foi bastante detalhado nos capitulos anteriores, de forma que nos aplicaremos mais a analise dos modelos quase ideal e quase real do indutor e do capacitor.

Modelamento de Indutores e de Capacitores - Pontes de Impedancia

183

_1 .

Modelamento do Indutor

A tabela abaixo mostra os modelos ideal, quase ideal e quase real do indutor, bern como a representacao complexa de suas impedancias equivalentes. Modelo Quase Ideal (Modelo Sim p lificado)1

Modelo Ideal1

Modelo Quase Real[

L (XL) V

- . ( L.

VL' (X^)V

1L 11c LS VL^^ (XL) cP(xcP)

1

Vrs rs V. ( n

Parametro Principal: L -. indutancia

Parametro Principal: Ls -+ indutancia serie Parametro Espurio: rs -+ resistencia CA do fio

Parametro Principal: Ls - indutancia serie Parametros Espurios: rc -4 resistencia CA do fio cp --a capacitancia das espiras Z = (e, + jX c.., ) //(- jxc p )

Z = jXL

Z = r.,v + jX r_,v

(cp = +90

)

(0 < cp < +90

0)

(-90 < (p < +90)

Im

Im Z

Im

Z=XL

90Re

XrRe

Re Zycu V (ou l

V

VL

900I Ref. Vrs I Ref. I (ou V)

Ref.

No indutor ideal, a corrente I esta atrasada de 90 em relacao a tensao V, pois a face (p da impedancia vale + 90.Segundo o modelo quase ideal (simplificado), r, atua reduzindo o atraso da corrente I, pois a fase da impedancia pode assumir qualquer valor entre 0 e + 90. Por fim, se a capacitancia cp atua, conforme o modelo quase real, a corrente I nao so pode estar atrasada, como tambem entrar em fase ou adiantar-se em relacao a tensao V, pois a face da impedancia pode assumir qualquer valor entre - 90 e + 90.

184 Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Alternada

Analise dos Modelos Quase Real e Quase IdealA capacitancia cis do modelo quase real surge devido ao comportamento capacitivo das espiras, que funcionam como as placas paralelas separadas por um isolante (ar ou esmalte do fio), sendo, portanto, muito vulneravel as condicoes ambientais. Mas e possivel medi-la experimental mente, submetendo o indutor as mesmas condicoes eletricas e ambientais em que ele ira operar no circuito em que sera utilizado. Essa capacitancia tern um valor muito baixo, geralmente na faixa de unidades a dezenas de picofarad.Nas frequencias baixas, a reatancia xcp e extremamente elevada, podendo ser desprezada por estar em paralelo. Neste caso, o modelo passa a ser o quase ideal (simplificado). Assim, o modelo quase real c utilizado apenas quando a frequencia de operacao do circuito for muito elevada , como nas faixas de HF - high frequencies (3 MHz a 30 MHz), de VHF - very high frequencies (30 MHz a 300 MHz) e de

UHF - ultra high frequencies (300 MHz a 3 GHz).Nas faixas de SHF - super high frequencies (3 GHz a 30 GHz) e de EHF - extra high frequencies (30 GHz a 300 GHz), um modelo mais sofisticado deve ser utilizado , ja que outros parametros espurios podern passar a atuar de forma relevante.

A resistencia rs dos modelos quase real e quase ideal corresponde a resistencia CA do fio do indutor, ou seja, sob influencia de urna corrente alternada.Em baixas frequencias, o valor de rs e praticamente constante, podendo ser medido diretamente por urn ohmfinetro. A partir de uma determinada freqUencia ocorre o fenomeno denominado efeito pelicular (ou skin), isto e, a corrente alternada tende a se concentrar na periferia da secao transversal do fio, reduzindo a sua area util e, consequentemente, aumentando a sua resistencia. Neste caso, a resistencia r.< deve ser medida experimentalmente, submetendo o indutor a mesma frequencia em que ele ira operar no circuito em que sera utilizado, ou estimada por meio de um metodo matematico empirico, conforme mostraremos na pagina seguinte. Em frequencias baixas, a resistencia rc tem um valor pequeno, na faixa de unidades a centenas de ohm, mas pode assumir um valor elevado em altas frequencias por causa do efeito pelicular.

O mmdelo quase ideal pode ser modiiicado, substituindo o ramo RL serie por seu equivalente paralelo por meio das formulas:r-1, Cos (P

Z

=

e

XLP_

z

sen cp

Z'ZIp

O equivalente paralelo do modelo quase real pode ser obtido por meio das seguintcs formulas:

rp =

Z Z' XLJ'_ e cos (p' sen cp'

No modelo quase real, Z' e 'p' correspondem, respectivamente, ao modulo e a fase da impedancia referente apenas ao ramo RL.

Modelamento de Indutores e de Capacitores - Pontes de lmpedancia 185

NIetodo - Empirico para a Determinacao da Resistencia CA do Fio do Indutor Ha varios metodos empiricos para a determinacao da resistencia CA do fib de um indutor. 0 grau de complexidade desses metodos depende do nivel de precisao desejado e da aplicacao do indutor. E certo que os projetos eletronicos da area de telecomunicacoes, principalmente aqueles que operam em altissimas frequencias, sao os que exigem maior grau de precisao. Para os nossos propositos, apresentaremos um metodo relativamente facil, valido apenas para fios de cobre a temperatura ambiente, cujos resultados tcm um nivcl razoavcl de precisao. 1) Calculo da resistencia CC do fio do indutor (rcc): Conforme ja vimos. a Segunda Lei de Ohm estabelece a relacao entre a resistencia de um material coin a sua natureza e suns dimensoes. A formula para calcular a resistencia rcc, em ohm, de um condutor 6: em que: p= resistividade (para o cobre a 20C: p - 0,017.Q.mm2/m) Lc = comprimento do condutor, em [ni]

S = area da se4ao transversal do condutor, em [mum 21A tabela seguinte fornece uma relacao de condutores de cobre esmaltados coin as especifica4oes de area S [nun2] e de diametro D [mmn] (valores aproximados) segundo as normas brasileira (NBR) e americana (AWG). Instala oes Eletricas Residenciais NBR (*) / AWG S [mm_] D [nun] 5 16,77 4.62 Confec ao de Bobinas NBR (k) / AWG S [ mm2] 18 0,82

D [mm] 1.02

6 7 8 9O 10

13,30 10,55 8,37 6,636,00 5.26

4,11 3,67 3.26 2.912,76 159

(*) 19 20 (")21 22

0,75 0,65 0,52 0,500,41 0,33

0,98 0,91 0,81 0,800,72 0,64

11 (') 12 13 O 1415 (')

4,17 4,00 3,31 2,62 2.50 2.081,65 1,50

2.30 2,26 2,05 I ,83 1,78 1.631,45 1,38

23 24 25 26 27 (")28 29

0,26 0,20 0,16 0,13 0,10 0,100,08 0,06

0,57 0,5 i 0,45 0,41 0,36 0,360,32 0,29

1617 ('^) 2) Calculo da constante ki:

1.311.04 1,00

1.291.15 1,13

3031 32

0,050,04 0,03

0,250,23 0,20

ki = 0,0133. S. f

em que: S = area da se4ao transversal do fio, em [nwt2] f frequcncia de operacao, em [Hz]

186

Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Alternada

3) Determinacao da constante k2:

Entre com o valor ki na tabela de conversao dada abaixo e obtenha a constante k2.Obs.: Na maioria dos casos , a necessario adotar o k1 mais proximo do calculado e estimar o valor de k2 baseado nos valores imediatamente acima e abaixo do encontrado na tabela.

4) Calculo da resistencia CA do fio do indutor (rs):em que: rs resistencia CA, em [.f2] rcc = resistencia CC, em [.f1] Tabela de Conversao - kit k2

k1 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

k2 1,000 1,001 1,002 1,003 1,005 1,008 1,011 1,015 1,020 1,026 1,033 1,042 1,052 1,064 1,078

k1 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

k2 1,094 1,111 1,131 1,152 1,175 1,201 1,228 1,256 1,286 1,318 1,385 1,456 1,529 1,603 1,678

kl 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,3 5,7 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5

k2 1,752 1,823 1,899 1,971 2,043 2,149 2,289 2,394 2,560 2,743 2,884 3,095 3,271 3,446 3,622

k1 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 16,0 18,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 60,0

k2 3,799 4,151 4,504 4,853 5,210 5,915 6,621 7,330 9,097 10,867 12,221 14,395 16,163 17,930 21,406

Projeto de uma Bobina Cilindrica de uma CamadaAs formulas seguintes servem para calcular a indutancia L de uma bobina cilindrica de uma camada e o comprimento Lc do condutor. 0 resultado da indutancia e mais preciso quando o comprimento c da bobina e pelo menos dez vezes maior que o seu diametro d, e o resultado do comprimento do condutor e mais preciso quando as espiras estiverem proximas urna da outra.c

em que:

_ 0,785..N2 d2 11, c e

L = indutancia, em [H] Lc = comprimento do condutor, em [m] N = numero de espiras c = comprimento da bobina, em [m] d = diametro da bobina, em [m] ,u = permeabilidade magnetica do nucleo

A permeabilidade magnetica do vacuo vale: A, = 4.nx10-7 T.m/A. Para os demais materials, a permeabilidade magnetica p 6 um multiplo de fit,,, conforme a tabela ao lado:

Nucleo

Permeabilidade - [T.m/A]

Ar Materials diversos Ferro Ferrite

o o 10. o a 8000.o 10. o a 5000. o

Modelamento de Indutores e de Capacitores - Pontes de Impedancia 187

Fator de Qualidade do Indutor - QOfator de qualidade Q (ou indite de merito) de um indutor mostra a relagao entre a energia armazenada (potencia reativa) e a energia dissipada (potencia ativa), isto e, Q = XL.IZ/rs.12.O Q do indutor pode ser determinado, tambem, em funcao da sua reatancia a uma determinada frequencia e da sua resistencia CA, considerando tanto o modelo serie quanto o seu equivalente paralelo.

Modelo Quase Ideal - Serie

Modelo Quase Ideal - Paralelo

ou

Q=tP(p

No caso particular em que Q > 10, os parametros XLp e rp do modelo equivalente paralelo podem ser determinados mais facilmente por:

c

ou

Se o indutor estiver conectado a outros resistores , eventualmente necessitaremos determinar ofator de qualidade total do circuito, que denominamos QT. Para isso, basta usar o modelo que for mais conveniente , calculando QT pelas formulas acima , s6 que substituindo ns ou rp pela resistencia equivalente do circuito (R., ou Rp). Neste caso, a conversao serie / paralelo pode facilitar a analise desses circuitos. Em geral, o indutor precisa ter um Q elevado para nao comprometer o comportamento dos circuitos, conforme veremos em algumas aplicacoes nos modulos seguintes.

E considerado um fator de qualidade bom quando Q > 10 e otimo quando Q > 20. As bobinas de RF dc muitos sistemas de comunicacao tem um Q entre 20 e 400.Uma das excecoes e o alto-falante, cujo Q c extrernamente baixo nas frequencias de audio, sendo a sua impedancia resistiva e praticamente constante nessa faixa de frequencias.

ChoqueChoque ou bobina de choque sao denominacoes muito comuns para o indutor quando a sua funcao e apenas se opor a passagem da corrente alternada. Em sistemas de radiofrequencia, e comum tambem utilizar a denominacao choque de RF.

E considerado um choque o indutor com um fator de qualidade Q > 10.


16.3

Modelamento do Capacitor

A tabela abaixo mostra os modelos ideal, quase ideal e quase real do capacitor, been como a representagdo complexa de suas impedancias equivalentes.

Modelo Ideal

Modelo Quase Ideal (Modelo Sim lificado)

Modelo Quase Real

1llr lIc

1 it l isrp Cp (Xcp)

C

(Xc)

v (Xcp)

rp

CP

TParametro Principal : C -4 capacitancia Parametro Principal: Parametro Espurio:

TParametro Principal: C(, --k capacitancia Parametro Espurio:

e=(

X L.)

CC, -4 capacitancia

rp -^ resistencia do dicletrico

rp -* resistenciado dieletrico e., -^ indutancia dosclementos do capacitor

Z =-jXc

Z = 1-1,//(-jXcf,)

Z=[1 //(-jXcl, )J+ jxL, )

((p = -90)

(-90 < (p < 0

)

(-90 < (P < +90)

Im Re

[m Re

Im

Z=Xc (p=-90

Z* Re Z N Zco I (ou V)

TI Ic

Ref.

V Ref.

10

[r

V Ref.

V (ou 1)

No capacitor ideal, a corrente I esta adiantada de 90 cm relacao a tensao V, pois a fase (p da impedancia vale -90. Segundo o modelo quase ideal (simplificado), r(, atua reduzindo o avanco da corrente I, pois a fase da impedancia pode assumir qualquer valor entre 0 e -90. Por fim, se a indutancia f., atua, conforme o modelo quase real, a corrente I nao so pode estar adiantada, como tambem entrar em face ou atrasar-se em relacao a tensao V, pois a fase da impedancia pode assumir qualquer valor entre -90 e +90.


Analise dos Modelos Quase Real e Quase IdealA indutancia s do modelo quase real surge devido a influencia dos elementos construtivos do capacitor, isto 6, placas, terminais, eletrodos, etc. Os elementos internos estao imersos ou em contato com substancias quimicas a os terminais tern seus comprimentos alterados para serem soldados na placa de circuito impresso. Tudo isto torna diffcil prever o valor de s, mas 6 possfvel medi-lo experimentalmente, submetendo o capacitor as mesmas condicoes eletricas e ffsicas em que ele ira operar no circuito em que sera utilizado. Essa indutancia tem um valor muito baixo, geralmente de nanohenry a microhenry. Nas frequencias baixas, a reatancia xcs e extremamente baixa, podendo ser desprezada por estar em serie. Neste caso, o modelo passa a ser o quase ideal (simplificado).Assim, o modelo quase real a utilizado apenas quando a frequencia de operacao do circuito for muito clevada, corno nas faixas de HF - high frequencies (3 MHz a 30 MHz), de VHF - very high frequencies (30 MHz a 300 MHz) e de UHF ultra high frequencies (300 MHz a 3 GHz). Nas faixas de SHF - super high frequencies (3 GHz a 30 GHz) e de EHF - extra high frequencies (30 GHz a 300 GHz), outros parametros espurios podem atuar de forma relevante, como a resistencia de absorcao dieletrica. Neste caso, 6 necessario utilizar urn modelo mais sofisticado. A resistencia rt, dos modelos quase real e quase ideal corresponde a resistencia do dieletrico do capacitor. 0 seu valor 6 extremamente elevado, geralmente acima de centenas de megaohm, podendo chegar ate a teraohm, de modo que a corrente de fuga e normalmente desprezfvel. No entanto, um capacitor envelhecido pode apresentar um aumento na corrente de fuga pela diminuircao de rp, a ponto de comprometer o funcionamento do circuito do qual ele faz parte. Isso e muito comurn em Pontes de alimentacao de alta tensao de televisores, osciloscopios, monitores de computador e circuitos de acionamento de laser He-Ne. Se houver realmente fuga, o valor aproximado de rp pode ser medido por um ohmfinetro, emhora o instrumento mais adequado seja o megohmetro. O modelo quase ideal pode ser modificado, substituindo o ramo RC paralelo por seu equivalente serie por meio das formulas:ZLcp----------------, ZZp

r., = Z. COST

e Xcs = Z.sencpL T: T

O equivalente serie: do nrodelo quase real pode ser obtido por meio das Z,Ly , seguintes formulas

;

Z'Zcp' CS= ; rs

rp C`' r5 = Z'. cos cp' e Xcs = Z'.sen cp' T(XcP);

(XL')No modelo quase real, Z' e cp' correspondem, respectivamente, ao modulo e a fase da impedancia referente apenas ao ramo RC.

190


Fator de Perda do Capacitor - tg SOfator de perda tg S (ou de dissipacao ) de urn capacitor a analogo ao fator de qualidade Q do indutor, so que toma como referencia o angulo S (delta mimisculo ), que e o complemento da fase cp da impedancia.Esse fator e fornecido pelos fabricantes de capacitores por meio de seus catalogos e manuais, sendo uma especificacao importante nos projetos de alta tensao, pois ele da a dimensao da corrente de fuga e da potencia ativa que podera ser consumida pelo capacitor.

O tg S do capacitor pode ser determinado em funcao da sua reatancia a uma determinada frequencia e da resistencia de seu dieletrico, considerando tanto o modelo paralelo quanto o seu equivalente serie. Modelo Quase Ideal - Paralelo Modelo Quase Ideal - Serie

Im 1 Xcs

tgs-

r,X cs

ou

Re

ou

Xcs Z

No caso particular em que tg S < 0,1 (o que ocorre na maioria dos casos , dado o elevado valor de rp), os parametros Xcs e rs do modelo equivalente serie podem ser determinados mais facilmente por:

e

ou

Se o capacitor estiver conectado a outros resistores , eventualmente necessitaremos determinar ofator de perda total do circuito, que denominamos tg &r.Para isso, basta usar o modelo que for mais conveniente, calculando tg Jr pelas formulas acima, so que substituindo r., ou rp pela resistencia equivalente do circuito (R., ou R1,). Neste caso, a conversao serie / paralelo pode facilitar a analisc desses circuitos. Na pratica, o capacitor precisa ter um fator tg S muito pequeno para nao comprometer o comportamento dos circuitos. E considerado um fator de perda born quando tg S < 0,01 e otimo quando tg S < 0,001.


As pontes de impedancias sao largamente empregadas para a medida de impedancias, indutancias e capacitancias com grande precisao.

Essas medidas sao feitas por comparacao com valores previamente conhecidos. Por isso, sao utilizados padroes de resistencias, indutancias e capacitancias. Os padroes mais comuns sao as decadas resistivas e capacitivas, devido a precisao e a variedade de modelos comerciais. Por isso, e muito comum implementar pontes usando apenas padroes de resistencias e capacitancias, inclusive para medir indutancias. Para detectar o equilibrio da ponce, pode ser utilizado um osciloscopio, um galvanometro de vibracao ou um transdutor eletroacustico, sendo este ultimo limitado a pontes que operam nas frequencias de audio.

Condicoes de EquilibrioConsidere a ponce ao lado, formada por quatro impedancias alimentadas por um gerador CA entre os pontos C e D com um instrumento detector conectado entre os pontos A e B. V,f

As dual impedancias da esquerda (Zi e Z2) e as duas da direita (Z3 e Z4) formam dois divisores de tensao, sendo que:VA = Z2 . .V e Zi+Z2

VB = Z4 . .V Z3 + Z4

No equilfbrio, VAB = 0, isto e, VA = VB. Igualando as suns respectivas expressoes , temos:Z2 Z4Z2.Z3 + Z2.Z4 = Z/.Z4 + Z2.Z4

ZI +22 Z3 + Z Z2

V _ . .V , 4

Z/ _Z3 Z2 24

Como cada impedancia e um valor complexo Z = Z,Zcpi , no equilibrio deve haver igualdade entre as rela4oes dos modulos e entre as diferencas das fases, definindo as condicoes de equilibrio da ponte.

la Condicao de Equilihrio:

(Relacao entre Modulos)

2a Condicao de Equilibrio:

(Diferenca entre Fases)

Tcoricamente as expressoes acima sao validas para qualquer tipo de ponte. Porem, na pratica, ha outros fatores a serem considerados: Esse tipo de ponte deve operar com frequencias de no maximo algumas dezenas de quilohertz, ja que em frequencias elevadas, a inexistencia de um "terra" comum entre o gerador e o instrumento de medida pode causar varios problemas de ordem pratica. Em geral, as pontes sao implementadas substituindo duas impedancias por padroes do resistencias, sendo um variavel e outro fixo. Uma terceira impedancia e constitufda por um padrao capacitivo em paralelo com um padrao resistivo, ambos variaveis. A quarta impedancia e aquela a ser determinada. A posicao desses dispositivos na ponte depende da natureza da impedancia desconhecida.

192

Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Altei nada

A ponte de impedancias ao lado pode ser implementada para medir uma indutancia desconhecida Zx. Nesse caso:

Zi

e

Se considerarmos o equivalente serie da impedancia indutiva desconhecida 2x, isto e, formada por uma indutancia L, em serie com urna resistencia Rx, as formulas para o calculo das componentes de Zx tornarn-se bastante simples:

e

0 equili'brio da ponte e obtido por meio do ajuste de Ri, R2 e Cr. Adotando padroes adequados para Ri, R2, R.i e Ci, e possivel medir indutancias desde microhenry ate henry. A resistencia Rx pode ser a propria resistencia CA do fio do indutor no modelo serie (r,) na frequencia de operacao da ponte. Pordm, para medi-la, e necessario ajustar Ri e R2 com valores baixos, a fim de que a ponte entre em equilibrio.

No caso de se desejar medir apenas a indutancia L.v do indutor dcsconhecido, pode-se colocar em serie com elc urn resistor Rx bern maior do que a ordern de grandeza de rs, facilitando o equilibrio da ponte.

Modelamento de Indutores e Capacitores Pontes de Impedancias 193

A ponte de imped ancias ao lado pode ser implementada para medir uma capacitancia desconhecida Z. Nesse caso:V,f

e

Se considerarmos o equivalente paralelo da impedancia capacitiva desconhecida Zx, isto e, formada por uma capacitancia Cx em paralelo coin uma resistencia Rx, as formulas para o calculo das componentes de Zx tornam-se bastante simples:

=C2.

RiR3

C

O equili"brio da ponte e obtido por meio do ajuste de Ri, R2 e C2. Adotando padroes adequados para Ri, R2, R3 e C2, e possivel medir capacitancias desde nanofarad ate microfarad. A resistencia Rx pode ser a propria resistencia do dieletrico do capacitor no modelo paralelo (rl,).

Porem, para medi-la, e necessario ajustar R2 com um valor elevado e Ri coin um valor baixo, a fim de que a ponte entre em equilribrio.No caso de se desejar medir apenas a capacitancia Cx do capacitor desconhecido, pode-se colocar em paralelo corn ele um resistor Rx bern menor do que a ordem de grandeza de r1,, facilitando o equilibrio da ponte.


Exercicios PropostosModelamento do Indutor 16.1) Considere o circuito ao lado: a) Determine Z, I e rP usando o modelo ideal;b) Determine Z, I e (p considerando o modelo quase ideal, corn rs = IOD em 20kHz; V=100V f=20kHzL 22mH

c) Nessas condicoes de operacao, que modelo e o mais adequado, considerando a precisao dos resultados e asimplicidade de analise? 16.2) Considere o circuito ao lado: a) b)

Determine Z, 1 e (p usando o modelo ideal;Determine Z, I e cp considerando o modelo quase ideal,

V=100Vf=400kHz

L250H

corn r, = 2000 em 400kHz;c) Determine Z, I e (p considerando o modelo quasereal,com r.,=20052 e cp=2pF em 400kHz; d) Nessas condicoes de operag5o, que modelo e o mais adequado, considerando a precisao dos resultados e a simplicidade de analise? e) Se na frequencia de 4MHz a capacitancia c1 se mantiver em 2pF e a resistencia r., aumentar para 4505, quais sao os novos valores de Z, I e T? Adote o modelo que considerar mais adequado. 16.3) No circuito ao lado, a bobina de RF de 47H e ligada a um gerador corn frequencia de 1MHz. Nesta frequencia, r, = 7052. a) Determine o Q da bobina e classifiquc-o como ruim, born ou 6timo; b) Determine o novo Q da bobina se a frequencia aumentar para IOMHz, causando a eleva4ao de r, para 10052, e classifique-o como ruim, born ou 6timo; c) Se um resistor de 22k52 for ligado em paralelo corn essa bobina (operando em 10MHz), o que acontece corn o fator de qualidade QT do circuito? Sugestao : Substitua a bobina pelo equivalente paralelo do seu modelo quase ideal. 16.4) Uma bobina de ]OmH foi feita de um fib de cobre corn S = 0,5mni2. Corn um ohmimetro, mediu-se a resistencia do fio, obtendo rcc = 420. Determine: a) a resitencia r, e fator Q da bobina na frequencia de 50kHz; b) a resitencia r., e fator Q da bobina na frequencia de IOOkHz. 16.5) Deseja-se caracterizar o modelo quase ideal de um indutor corn valor nominal de IOOH, hem como verificar o seu comportamento na frequencia de IOkHz. Para isso, ele foi submetido a uma tensao de 400mV / IOkHz. Um miliamperimetro CA detectou uma corrente de 59,2mA nesse indutor. Determine r, e Q do indutor na

frequencia 1OkHz. 16.6) Qual e a potencia ativa dissipada pelo indutor do exercicio 16.5 nas condicoes do teste?

Modelamento de Indutores e Capacitores Pontes de Impedancias 195

16.7) Um t6cnico confeccionou uma bobina de 80 espiras usando um fio esmaltado 28 AWG, enrolando-o em um cilindro de papelao com diametro de 1cm (ndcleo de ar). As espiras ficaram encostadas uma na outra. Determine:a) o comprimento c da bobina e o comprimento Lc do condutor; b) a resistencia r +20=10.log PS 2=log PS = PS =102 Ps =100.PE PE PE PE PEAssim, para medir niveis absolutos de potencia, e necessario adotar um valor de referencia. A potencia de referencia mais utilizada e 1 mW, de forma que, agora, podemos medir a potencia de um sinal em [dBr]:

em que:

Pref = 1 MW

Neste caso, as potencias de entrada PE e de saida Ps de um sistema se relacionam por: Medida de Tensao em dBu

Ps(dBm) = PE(dBm) + Ap(dB)

Para medir niveis absolutos de tensao, a necessario, tambem, adotar urn valor de referencia. Uma tensao de referencia muito utilizada e 0,775V, que corresponde a potencia de 1mW aplicada a uma resistencia de 60052. Assim, a tensao e dada em dBu (ou dBV):

V(dBu) = 20. log

VVref

em que:

Vref = 0,775V

Neste caso, as tensoes de entrada e de saida de urn sistema se relacionam por:

VE(dBu) = VE(dBu) + t v(dB)

Obs.: 0 valor de 60052 e usado justamente por ser um padrao de resistencia de diversos sistemas de comunicacao.) Como ja afirmamos anteriormente, este e valor padronizado para a resistencia interna dos geradores de audio.Conversao de dBu em dBm Se a resistencia na qual e medida a tensao for igual a 60052, a relacao e: dBm = dBu.

Se a resistenc i a for diferente d e 60052, a re l acao e :

P (dem )= V(dBu) + 10 . log

600R

Gerador de Tensao CA Real e Decibel

Um sistema que opera em corrente alternada tem um comportamento variavel em funrcao da frequencia de operaâo, principalmente aqueles formados por dispositivos reativos. Este coin portamento 6 charnado de resposta em fregiiencia do circuito, e pode ser expresso graficamente, relacionando um determinado ganho (potencia, tensao ou corrente) em fun4i o da frequencia. Na maioria das aplicarcoes, o ganho de tensao Al e o mats utilizado.

Diagramas de Bode de Modulo e de FaseDenornina -se Diagrama de Bode o grafico que relaciona o ganho de tensao de urn circuito em funcao da frequencia de opcragao. A caracterfstica do ganho a ser representada pode ser tanto o modulo quanto a sua fase.O modulo do ganho informa o quanto a tensao de saida e maior ou menor do que a tensao de entrada. A face do ganho informa o quanto a tensao de saida e defasada em relagdo a tensao de entrada. Nas figuras abaixo, apresentamos, corno exemplo, dois Diagrarnas de Bode de Modulo (urn adimensional c outro em decibel) e um Diagrama de Bode de Fase. Dia( grama de Bode - Av x f Diagrama de Bode - Aq,m) x fOAt90

Diagrama de Bode - Oa x f

45

i Fase de corte

010 20 50 100 200 500 1k

f[Hz] 2k 5k 10k

f. Observe que o eixo vertical do ganho e da fase 6 graduado linearmente. JA, o eixo horizontal em que estao locadas as frequ ncias 6 graduado logaritmicamente, tornando possfvel a representacao do comportamento do circuito cm unia ampla faixa de frequcncias. O eixo em logaritmo causa a compressao das tiequencias. A folha padronizada Para este tipo de representacao 6 denominada monolog. Ela 6 encontrada em qualquer papelaria, ou pode ser confeccionada facilmentc por computador. Nestes graficos, podemos observar tres outros tipos de parametros importantes de um circuito: a banda passante (ou largura de faixa), as fregiiencias de Corte e a taxa de atenuacao.Folha Monolog

Graduacao Logaritlnica

Estes parametros baseiam-se na forma como o ser hurnano relaciona-se corn os sinais audfveis. O ouvido humano so e sensfvel as variaqoes da potencia sonora se ela, no mfnimo, dobrar de valor ou cair pela metade. Quaisquer varia4Oes menores do que estas nao afetam a percep4ao do ouvido humano.

204 Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Ada

Como vimos anteriormente , em decibel , o dobro e a metade do ganho de potencia correspondem , respectivamente, ao aumento e a diminuiqao do ganho de tensao e de corrente a uma razao de NF2 , pois estas variaqoes sao equivalentes, para os tres ganhos, a 3dB.

Banda Passante - BA faixa de frequcncias em que um circuito opera com um ganho aproximadamente constante e denominada banda passante (B) (ou largura de fai.va). E considerado urn ganho aproximadamente constante aquele cujas variacoes nao ultrapassam o limite de 3dB, independente de o ganho ser de potencia, tensao ou corrente.

Fregiiencias de Corte -fcA frequencia cm que o ganho de um circuito atinge o limite de variarcao de 3dB e denominada frequencia de corte f^. No exemplo anterior, o circuito possui duas frequcncias de corte, denominadas frequcncias de corte inferior f e superior f.,.

Taxa de Atenuacao - dB/decada ou dBloitavaUma decada de frequencia corresponde a sua variacao de urn nufltiplo de 10 (dez). A taxa de atenuacao representa o quanto o ganho em decibel varia cada vez que a frequencia aumenta ou diminui cm dez vezes.

A taxa de atenuacao dada em dB/decada e a mais utilizada, mas tambcm e possivcl encontra-la em dB/oitava.Uma oitava de frequencia corresponde a sua variacao de um intiltiplo de 2 (dois), isto e, representa o quanto o ganho em decibel varia cada vez que a frequencia dobra ou cai pela metade.

Gerador de Tensao CA Real e Decibel 205

Exercicios PropostosGerador de Tensdo CA Real17.1) Urn gerador possui impedancia interna de ZG =600L30[ S2 ] na frequencia de 1MHz. Ele foi ajustado em aberto para a tensao Zc

VG = 50L0 [V ] . Esse gerador sera alimentado por tres cargas diferentes, conforme mostra a figura ao lado. Determine:a) b) c) I , V e P na carga Zi e analise os resultados; I , V c P na carga Z2 e analise os resultados; I , V e P na carga Z3 e analise os resultados.

ZN

21=20Z-60[kS2] Z2 =10L45 [ S2 ] Z3 = 600L - 30 [ S2 ]

17.2) Considere o gerador do exercicio 17.1. Determine:a) a sua impedancia interna na frequencia do 10MHz; b) a impedancia da carga ( nas formas polar e retangular ) que possibilitaria receber a maxima potencia desse gerador; c) a potencia ativa maxima que o gerador transfere para essa carga. 17.3) Uma forte de sinal de RF possui impedancia interna de Zc = 50L - 60'[.(2 ] na frequencia de 20MHz e produz uma tensao em vazio de VG = 20L0[ mV ] . Determine: a) a impedancia da carga (nas formas polar e retangular) que possibilitaria receber a maxima potencia da fonte de sinal; b) a potencia maxima que a fonte de sinal transfere para a carga nas condicoes do item a. Decibel 17.4) Considere o sistema ao lado, que representa um circuito CA cuja resistencia de entrada vale RE _ 60052 e cuja carga vale R = 80. a) Se em uma determinada frequencia de operacao o ganho de tensao do sistema for AV = 1, determine Vs, PE, Ps e Ap quando e aplicada na entrada uma tensao VE = 5V.Vs

b) Na condicao do exercicio anterior, determine Av(dB), VE(dBu), PE(dBln), Vs(dBu), Ps(dBm) e A,,(dB). c) Se em urna outra frequencia de operacao o ganho de tensao do sistema cair para Av = 0,707, determine Vs, PE, Ps e A1, quando e aplicada na entrada a mesma tensao VE = 5V. d) Na condicao do exercicio anterior, determine Av(dB), VE(dBu), PE(dBm), Vs(dBu), Ps(dBm) e Ap(dB).

17.5) 0 ganho do um circuito e AV =

IXL R+ jXI

. Determine as expressoes do modulo At, e da fase On dente ganho.

17.6) No circuito do exercicio 17.5, a indutancia vale L = 15,92mH e a resistencia vale R = IkQ. Determine: a) os valores do modulo Av do ganho nas frequencias 100Hz, ]kHz, 10kHz e 100kHz; b) os valores do modulo Av(dB) do ganho nas mesmas frequencias do item a; c) os valores da fase OA do ganho nas mesmas frequencias do item a; d) a frequencia de corte do circuito, baseando-se nos resultados obtidos nos itens a e b; e) a taxa de atenuacao desse circuito, baseando-se nos resultados obtidos nos itens a e b. 206 Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Alternada

Circuitos RLC e de Sintonia

Considere o circuito RLC serie ao lado formado por dispositivos ideais. As reatancias XL e Xc estao, fasorialmente, sempre defasadas de 180" entre si, de modo que a reatancia predominante elimina o efeito da outra, reduzindo ou anulando o efeito reativo total do circuito. No circuito RLC serie, a reatancia predominante e a de major valor.

Analise da ImpedanciaA impedancia Z do circuito e a soma complexa da resistencia R com as reatancias indutiva jXi. e capacitiva jXc, ou seja:

Z=R+j(XL-Xc)

ou

Z=ZL(p

Na impedancia Z , a resistencia e a parte real e a resultante das reatancias e a parte imaginaria, de forma que a fase (p pode ser positiva, nula ou negativa (entre -90" e +90'), dependendo dos valores das reatancias XL e Xc na frequencia de operacao do circuito. Portanto, o circuito RLC serie pode ter tres comportamentos distintos em relacao a impedancia. XL > Xc Xc>XL Circuito Capacitivo ((p < 0') XL = Xc ( ressonancia) Circuito Resistivo ((p = 0")

Circuito Indutivo ((p > 0")Im

Im XLZ (indutiva)

Im XL.

X L,

XRe Re Re Xc Z (capacitiva)

XL-XC R Xc

XXcr'

Da representacao complexa e dos diagramas fasoriais acima, obtemos facilmente as formulas para o calculo do modulo e da fase da impedancia do circuito RLC serie:

Modulo de Z

(p = arctg

(XL - Xc) R Fase de Z

Circuitos RLC e

de

Sintonia

207

Analise das TensoesA tensao V do gerador e a soma complexa das tensoes na resistcncia R c nas reatancias XL e Xc, ou seja:

V=VR+Vc,+VcVc

Em rclacao a essas tensoes . a analise e similar. Supondo que a corrente I tenha fase inicial nula , isto e, I = ILOi = ILO " , pode nosusa -la c on lo

u rn fasor de

re fcren cla .

As sim, VR esta sempre em fasc

com

I , sendo a

componente real da tensao V . Porem, em relacao a corrente 1 , a tensao Vi, esta adiantada de 90 e a tensao Vc est5 atrasada de 90, de modo que a resultants cntrc clas c a componente imaginaria da tensao V Portanto, a defasagem cp entre a tensao do gerador e a corrente que ele fornece ao circuito pode ser positiva, nula ou negativa (entrc -90 c +90), dependendo dos valores das tensoes VL e Vc na fregiiencia de operacao. Abaixo, representamos os tres comportamentos distintos do circuito RLC serie. VL > VC Circuito Indutivo to > 0 Vc > VLVr_ = Vc ( ressonancia) Circuito Resistivo ((p = 0) VLco VL VL-VJ VL

Circuito Capacitivo ((p < 0)

VR I Apr VR I ref. Vc VC1 VC-VL { ref.

(P=0 VR I co ref.

Vc

Na fregii^ncia fo r/e ressontlncia , XL = Xc, VL = Vc, cp = 0 e o circuito 6 resistivo . Essa condicao especial sera analisada a partir do topi,:o 18.3. Da represe nt acao complexa e dos dlagramas fa sorlals a clm a, obtern os facllmente c da fase da tensao do ger actor:as formulas para o cd Iculo do modulo

V = VR2 +(VL -Vc )Z

Modulo de V

cp = arctg

VL -VCVR

rase de V

Generalizando a rase a da corrente (I = ILOi ), e aplicando a Lei de Ohm aos dispositivos do circuito RLC serie, tcrcmos: Gerador Resistor Indutor VL = X L.IL( 6i + 90 ) Capacitor Vc = X c. IL( 6i - 90" )

V =Z.IL( 0i +cp)

VR = R.ILOi

208


Considere o circuito RLC paralelo ao lado formado por dispositivos ideals. As reatancias XL e Xc estao, fasorialmente , sempre defasadas de 180 entre si, de modo que a reatancia predominante elimina o efeito da outra, reduzindo ou anulando o efeito reativo total do circuito. No circuito RLC paralelo. a reatancia predominante e a de menor valor.

Analise da ImpedanciaO inverso da impedancia Z do circuito e a soma complexa do inverso da resistencia R com o inverso das reatancias indutiva jXL e capacitiva -jXc, ou seja:

ou

Na admitancia I/ Z, a condutancia I /R e a parte real e a resultante das susceptdncias I /XL e I /Xc e a parte imaginaria, de forma que a fase cp pode ser positiva, nula ou negativa (entre -90 e +90), dependendo dos valores das reatancias XL e Xc na frequencia de operacao do circuito.Portanto, o circuito RLC paralelo pode ter tres comportamentos distintos em relacao a impedancia. XL > Xc Circuito Capacitivo (y < 0") Xc > XL Circuito Indutivo ((p > 0) XL = Xc ( ressonancia) Circuito Resistivo ((p = 0)

Im 1 Xc Z (capacitiva)cp

Im 1 Xc'

1 R -*IN`

Re

(p=0- Re 1 XA 1 __ 1 R

1 XL

b: - Re 1 R

1 XL

Z (indutiva)

Da representacao complexa e dos diagramas fasoriais acima, obtemos facilmente as formulas para o c5lculo do modulo e da fase da impedancia (ou admitancia) do circuito RLC paralelo:

Modulo de I/Z

Fase de Z

Circuitos

RLC

e

de

Sintonia

tom-

Analise das CorrentesA corrente I do gerador e a soma complexa das correntes na resistencia R e nas reatancias XL e Xc, ou seja:

E

I=IR+IL+Ic

Em relacao a essas correntes , a analise a similar. Supondo que a tensao V tenha fase inicial nula, isto e,V = VLOv = VLO , podemos usa-la como um fasor de referencia . Assim , IR esta sempre em fase com V , sendo a componente real da corrente I . Porem, em relacao a tensao V , a corrente IL esta atrasada de 90 e a corrente Ic esta adiantada de 90, de modo que a resultante entre elas e a componente imaginaria da corrente I Portanto, a defasagem (p entre a tensao do gerador e a corrente que ele fornece ao circuito pode ser positiva, nula ou negativa (entre -90 e +90), dependendo dos valores das correntes IL e Ic na frequencia de operacao.

Abaixo, representamos os tres comportamentos distintos do circuito RLC paralelo.IL>Ic Circuito Indutivo (c > 0") Ic>IL Circuito Capacitivo (rp < 01 IL = Ic (ressonancia)

Circuito Resistive ((p = 0)

Ic Ic IR IL-14IL' 2'2

V

01

=00

P+ ref.

LIPIR V

ref. IL

IR V ref. ' 1

/1

Na frequencia fo de ressonancia , XL = Xc, IL = !c, tp = 0 e o circuito e resistive . Essa condicao especial , conforme ja afirmamos anteriormente, sera analisada a partir do topico 18.3. Da representacao complexa e dos diagramas fasoriais acima, obtemos facilmente as formulas pars o calculo do modulo e da fase da corrente do gerador:

Modulo de 1IL -ICIR

(P = arctg

= Fase de I

Generalizando a fase 0ti da corrente (V =V-10v ), e aplicando a Lei de Ohm aos dispositivos do circuito RLC paralelo, teremos: Gerador Resistor Indutor Capacitor

1 =^L(0v-rp)

IR=RL9'

IL =

L L( 0v

-90 )

Ic= 40v+90 ) XC


18.3 Conceito Flisico de RessonanciaConsidere o circuito LC ao lado, alimentado por uma tensao continua E.As unicas resistencias do circuito sao, em principio, a do fio do indutor (rs) e a do dieletrico do capacitor (rp).v

Analisaremos esse circuito supondo que a chave S seja ligada a posicao B e depois volte a posigdo A. Na posicao B, o capacitor carrega-se quase que instantaneamente com a tensao E da fonte, armazenando energia eletrostatica.Na posicao A, o capacitor descarrega-se sobre o indutor, convertendo a energia eletrostatica em energia magnetica, auto-induzindo uma tensao com polaridade contraria ao sentido da corrente. Novamente, essa tensao e armazenada no capacitor, que converte a energia magnetica em eletrostatica, e assim sucessivamente.

0 resultado e uma corrente oscilatoria cuja frequencia depende apenas dost valores de L e de C. Porem , devido as resistencias espurias , cujo valor equivalente serie denominaremos Rs, ha dissipacao de potencia e, portanto, perda de energia , de modo que a osciladao reduzira a sua amplitude ate desaparecer. A celula LC e, portanto, um oscilador natural com uma frequencia natural de osciladoo.

Um oscilador eletronico nada mais e do que uma celula LC ligada a um amplificador que repoe a energia perdida pelas resistencias, de modo a manter a amplitude da osciladao constante.

Resistencia Natural de Ressonancia - poConsideremos as expressoes que relacionam a corrente e a tensao com a indutancia e a capacitancia.

No indutor, a tensao v(t) e proporcional a L e a variacao da corrente i(t) em relacao ao tempo t.Conforme ja vimos, matematicamente essa relagdo e dada por:

di(t)1L v(t)

v(t) = L. di(t dt )Analoga e dualmente, no capacitor, a corrente i(t) e proporcional a C e a variagdo da tensao v(t) em relacao ao tempo t. Conforme ja vimos, matematicamente essa relacao e dada por:

i(t)=C.d ( t dt Dividindo v(t) por i(t), obtemos:

)

v(t) _ L di v(t ).dv _ L i(t) C di, i(t).di C

Mas, v(t) e dv sao a mesma grandeza eletrica, ou seja, uma tensao v, o mesmo ocorrendo com i(t) e di, cuja grandeza eletrica e uma corrente i.

Circuitos RLC e

de

Sintonia

211

Assim, para analisarmos o significado da expressao anterior, podemos reduzi-la para:

v2 L v j2 C i

A relacao entre tensao e corrente, Segundo a Lei de Ohm, e uma resistencia. Portanto, dessa t ltima expressao, chegamos a seguinte formula:

Essa grandeza e denominada resistencia natural de ressonancia po. "Curiosamente", essa resistencia tern o mesmo valor numerico que as reatancias XLO e Xco na frequencia natural de oscilafao do circuito LC.

Frequi ncia Natural de Ressonancia - fo ou cooA frequencia natural de oscilacao de um circuito LC e uma caracteristica sua, independendo de qualquer parametro externo. E a frequencia em que o circuito ressoa naturalmente . Por isso, eta a denominada frequencia de ressonancia, sendo simbolizada por fo ou coo. Na frequencia de ressonancia fo, as reatancias do indutor e do capacitor se igualam a po e, portanto , sao iguais entre si. Como XL e diretamente proporcional a frequencia e Xc e inversamente proporcional , a frequencia de ressonancia corresponds a intersecao de sews graficos: XLO = Xco = po.

Xc 0)ouf Desna rela c ao , deduzimos a formula de coo e de fo: ^

Xco=Xco= axi.L= 1 =* coo2= 1 coo.C L.C

ou

As formulas de fo (ou coo) e de po sao validas tanto para circuitos LC em Sens quanto para LC em paralelo. Quanto a frequencia, por questoes praticas, trabalharemos mail corn fo, into 6, em hertz [Hz].

Aplicacoes da Ressonancia e os Circuitos de SintoniaPelas caracterfsticas naturals do circuito LC, veremos mail adiante que, se aplicarmos nele um sinal externo corn frequencia igual a de sua ressonancia natural, o circuito entrara em sintonia corn esse Sinai, comportando-se eletricamente de was forma bastante diferente em relacao a outran frequencies. Portanto, se aplicarmos muitos sinais de diversas frequencies, o Sinai na frequencia de ressonancia sera selecionado (ou sintonizado) pelo circuito LC, que rejeitara os demais. E claro que, na prance, havera main de uma frequencia sintonizada, pois os dispositivos nao sao ideals. Alem disso, um circuito de sintonia ideal teria muito pouca aplicaqao, ja que os sistemas de transmissao convencionais operarn sob o processo de modulacao de uma frequencia central fo, que e a frequencia de transmissao, resultando em um Sinai composto por diversas frequencies em torno dela, constituindo o que denominamos de canal.

Esse e caso, por exemplo, dos receptores de radio AM e FM em que cada estacao transmissora opera em uma frequencia central fo corn uma margem inferior e superior, constituindo o seu canal. Por mein de um circuito de sintonia, o receptor pods selecionar apenas uma estacao para que, nos blocos seguintes, seja extraida des frequencies de seu canal o Sinai de audio que module a frequencia central fo.

212 Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Alters

18.4Circuito Fisico

Circuito Serie de Sintonia

Urn circuito serie de sintonia e composto apenas por urn indutor em serie com um capacitor e alimentado por uma fonte dc sinal externa, conforme mostra a figura ao lado. Para efeito de analise, o sinal externo sera representado por urn gerador CA e a saida Vs sera a tensao no capacitor.

C

Circuito Eletrico RealVs

Na pratica, o circuito LC serie deve ser tratado como um circuito RLC serie, sendo R., o equivalente serie das resistencias espurias do circuito. Nessc circuito, R., e basicamente a resistencia serie do fio do indutor (rs). Assim:

Nesse caso , estamos desprezando diversas resistencias que poderiam interferir no circuito, como a do dieletrico do capacitor , dos terminais dos componentes , das soldas e das trilhas de cobre da placa de circuito impresso. Alem disso, ha a indutancia espuria do capacitor e a capacitancia espuria dos fios do indutor. Porem, esses fatorcs so sao relevantes nas frequencias extremamente elevadas. Na pratica, a capacitancia espuria de uma bobina e minimizada enrolando -a com as espiras bern separadas.

Impedancia em Funcao da FrequenciaO modulo e a fase da impedancia Z do circuito serie de sintonia sao dados por: R.s2+(XL-Xc) e

Na fequencia de ressonancia fo e no seu entorno o circuito tern o comportamento seguinte:Imt

Se f = fo XLo = Xco = po = Zo = R.,o

o circuito e resistivo (co = 0^;

Se fXL =Z=ZZrp- -*- o circuito e capacitivo (cp < O ; 0 Se f>fo=^ XL>XC=* Z=ZZco+ .. o circuito e indutivo (cp > O .Z (f Vco, pois a tensao na resistencia do fio do indutor passa a ser relevante.

Fator de Qualidade do Circuito - QTO indutor possui um fator de qualidade Q que e a relacao entre a sua reatancia XL e a sua resistencia r., a utna determinada frequencia, isto e, Q = Xt./r,. Porcm, o circuito de sintonia pode apresentar outras resistencias, cujo valor equivalente e R.,. Na ressonancia, a resistencia vale R.,o (pois, devido ao efeito pelicular, is varia com a frequencia) e a reatancia indutiva vale XLO = Xco = po.

Neste caso, o fator de qualidade QT do circuito na frequencia de ressonancia fo sera menor quc o fator de qualidade Q do indutor, sendo o seu valor dado por:

ou

Se a unica resistencia relevante do circuito for r., do indutor, QT=Q.Aplicando a formula do divisor de tensao no circuito LC serie real na frequencia de ressonancia e considerando o QT com valor elevado, chegamos a conclusao matematica ao lado: Isso significa que o fator de qualidade Qr do circuito informa o quanto a tensao nas reatancias e maior do que a tensao V do gerador na frequencia de ressonancia. Esse efeito "amplificador" da tensao da fonte de sinal e usado para selecionar a frequencia de ressonancia fo das demais. Portanto, a safda do circuito LC serie pode ser tanto a tensao sobre o indutor quanto sobre o capacitor.


Fregiiencias de Corte Inferior e Superior - f e fs0 modulo da corrente 1 e funcao da tensao V do gerador e da impedancia Z do circuito: I = ZObservando a curva da corrente I em funcao da frequencia f, vemos que ha I duas frequencias em que a amplitude da corrente cai ao nivel de corte, isto e: to

Ii=1s _ -

10

I

ou

It -= I., -= 0, 707. Io

Nessas frequencias, a potencia ativa dissipada por R.,o e a nietade da sua potencia Po em fo.

Na curva da impedancia mostrada na pagina 213 , esta condirâo ocorre, teoricamente, quando: Zi = Zs = ^.ZoNa pratica , essas frequencias sao consideradas a frequencia de corte inferior f, e a frequencia de torte superior f., do circuito de sintonia, e definem a banda passante ( ou largura defaixa) do circuito de sintonia.

Banda Passante - BA banda passante B (ou largura de faixa ), em hertz [Hz], corresponde a faixa de frequencias entre os cortes superior e inferior. Assim: Devido a natureza dos dispositivos reativos, as taxas de atenuacao da corrente I nas frequencias abaixo e acima do corte nao sao exatamente iguais, ou seja, fo nao e a frequencia media entre f e fl.

Na realidade , fo esta mais proximo de f do que de 1, e essa diferenca e de pelo menos 10%. Sendo assim, uma estimativa bastante razoavel de f e de fc a partir de B pode ser:

e

A banda passante B define o gran de seletividade do circuito de sintonia. Quanto menor e o valor de B, mail seletivo e o circuito.

Mas a sua qualidade e tambem dada por QT. Quanto maior e o valor de Qr, mais seletivo e o circuito.Essa relacao inversa entre B e QT e dada maternaticarnente por:

ou

Consideracoes PraticasPara finalizar este topico, apresentamos algumas consideracoes de ordem pratica que devem ser levadas em conta no projeto e na utilizacao de um circuito serie de sintonia: 1) Para um circuito de sintonia de faixa estreita, deve-se usar um indutor de otima qualidade, de modo que QT 2! 100; 2) 0 indutor deve suportar a corrente maxima Io e o capacitor deve suportar a tensao maxima Vco; 3) 0 circuito serie de sintonia e usado quando a fonte de sinal tiver baixa resistencia interna, pois so assim a corrente maxima to atingira um valor suficientemente maior do que as correntes abaixo e acima das frequencias de corte.

Circuitos RLC e

de

Sintonia

215

Circuito Paralelo de SintoniaCircuito FisicoUrn circuito paralelo de sintonia e composto apenas por um indutor em paralelo corn urn capacitor e alimentado por uma fonte de sinal externa, conforme mostra a figura ao lado. Para efcito de analise, o sinal externo sera representado por uni gerador CA e a saida Vs sera a tens5o no capacitor.

C

Circuito Fletrico RealNa pratica, o circuito LC paralelo deve ser tratado como urn circuito RL scrie em paralelo corn C, sendo Rs o equivalente das resistcncias esplirias do circuito. Em geral , a resistcncia mais relevante e a do fio do indutor (rv). Assim:

Do mesmo modo como fizemos na analise do sintonizador serie, desprezaremos diversas resistcncias que poderiam interferir no circuito, como a do dieletrico do capacitor, dos terminais dos componentes, das soldas e das trilhas de cobre da placa de circuito impresso, alem da Indutancia espuria do capacitor e a capacitlncia espUria dos fios do indutor, jfi clue estes fatores so sio relevances nas frcgiiencias extremamente altas.

No circuito LC paralelo real, a resistcncia interna RG do gerador e de fundamental import incia, pois, como veremos, ela pode alterar completamente o comportamento do circuito do ponto de vista da seletividade. Neste sentido, c apenas por uma questao de mctodo, ignoraremos inicialmente a inffuencia de RG para analisarmos o circuito LC paralelo real isoladamente.

Fregiiencia de RessonanciaPor principio , quando o circuito encontra -se na ressonancia fo, a impedancia equivalente Zo e puramente resistiva , de modo que a corrente Io entra em fase corn a tens5o V. isto c, (pi = 0. Neste caso, ILO > 1co, pois a corrente do ramo indutivo no se encontra a 180 da corrente do capacitor.

Ico

VRef.

Sc isto ocorrc . c porque Xco < Xco. Portanto, a condi45o . natural de ressonancia do um circuito de sintonia, quc e dada por Xco = Xco = po, so 6 satisfeita no circuito ideal, em que Rs = 0 (ou R.o f)

Se f < fo

Xc > XL

Sc f > fo XL > Xc

Este comportamento pode ser observado graficamente pelas figuras abaixo:

NIddulo da Impedancia x Frcgiiencia

Fase da lmpcdancia x Frequencia

Na ressonancia, a impcdancia Zo atinae o valor mciainlo e a fase (PO c nu/a. 0 valor de Zo podo scr dado de duns formas diferentes, confornlc mostramos ao Lido:

Zo = ` - Rpo C. R.,o

e

Corrente em Funcao da Frcgiienciato =A corrente 1 do gerador atinge o valor minimo Io na ressonancia, pois a impedancia atinge o valor Zo lwixinto Zo. 0 valor de I d dado por: Conslderenlos.agora, OS oulntes aspectos:

Nas fregiicncias muito baixas, Xt, tende a zero (curio) c Xc tends ao infinito (circuito aberto). Neste caso, I tcndc a urn valor nlaximo linlitado apenas por R., c pela resistcncia interna RG do gorador. Nas Ire d3ncias muito alias, Xi tends ao infinito (circuito aberto) c Xc tende a zero (curio). Neste caso, I tende a um valor nnixinlo limitado apenas pela resistcncia interna RG do Crador. Na fregii^,ncia de ressondncia, I atinge o valor mfnimo Io. Graflcaniente. tetnos:

Corrcnte x Frcgiiencia

Circuito Circuito capacitivo indutivo

f

Nesta analise . nno levatnos em consiclera4ao a tensao , pois, em principio, ela e senlpre igual a do gerador, ja que o circuito LC esta etn paralelo corn etc.E neste Ill onlen to que temos d o analisar a in fl uencla da reslstetlcl a in terna RG do gerador tanto na tensao Vs de saida do circuito de sintonia, corno no scu fator de qualiclade Qr e na sua Banda passante B, ou seja, no seu comportarnento seletivo.


Comportamento Seletivo do Circuito LC Paralelo Real em Funcao de RGCircuito com Rarno Indutivo SerieVamos considerar o gerador com uma tensao em vazio VG e uma resistencia interna RG.

A saida do circuito de sintonia e a tensao Vs no capacitor.Nesse circuito , fica dificil visualizar como RG interfere no seu fator de qualidade.

Circuito com Raino Indutivo Paralelo

Consideremos, agora, o mesmo circuito, so que substituindo o ramo indutivo s e r i e pe l o seu equ i va l ents paralelo.

RTh ---------------

Neste caso, o indutor e o capacitor enxergam uma resistencia equivalente Thevenin RTII dada por Rp em paralelo com RG quando o gerador esta em RG curto.L --------------- i

O fator de qualidade total do circuito sofre, portanto, influencia de RG. Se considerarmos que o circuito isoladamente tem um fator de qualidade QT = po/Rso, em que R.,o e o equivalente das resistencias espurias do circuito (principalmente rs do indutor), dencminaremos Q'T o fator de qualidade total do circuito sob influencia de RG.

Para o calculo de Q'T, ha tambem duas formulas, ambas obtidas do circuito equivalente Thevenin, conforme mostramos ao lado:

ou

em que:

o QT = P e RTA = Rpo//Rc Rso

As frequencias de torte inferior f e superior fv desse circuito de sintonia, been corno a sua banda passante B, podem ser observadas na curva da impedancia analisada na pagina 218. No corte, temos:

Z; - Zs=

Zo J2

(*)

(* ) Valida apenas quando RG >> Zo. Porem, e importante analisarmos qual e o comportamento seletivo desse circuito em termos de tensao e de corrente. Para isso, temos de considerar as tres condircoes possiveis de relacao entre RG e Zo.

Circuitos RLC e

de

Sintonia

219

Corrente e Tensao x Frequencia11' Condicao: Se RG > Zo, a corrente I e praticamente constante edefinida pelo gerador, mas a tensao de saida Vs e funcao da impedancia VS, I Z do circuito de sintonia. atingindo o valor maximo Vso na ressonancia. lo= VGAssim: RG

Vso =- Zo.Io e Vsi =- Vs i = c

Vso J

Io-Ii -I.,- =cte RG

VG

Nesta condircao , Q'T -. QT, de modo que o circuito de sintonia perde a seletividade do corrente , mas passa a ser seletivo em tensao. A banda passante B da curva de tensao e definida pelas frequencias de corte inferior e superior quando as respectivas tensoes assumem o valor: Vsi - Vst - Vso /' .

Neste caso, a banda passante e as frequencias de corte inferior e superior sao dadas por:

Esta condicao tem aplicacao pratica quando o circuito de sintonia atua como carga de um amplificador de alta frequencia.

220


Corrente e Tensao x Frequencia

3 Condicao: Se RG e Zo tiverem a mesma ordem de grandeza, tanto a corrente I como a tensao Vs dependerao de RG e da impedancia Z do circuito de sintonia. Assim: VG ZT em que: ZT impedancia equivalente entre RG e Z Z = impedancia do circuito de sintonia e Vs =Z.1

Na frequencia de ressonancia, como a impedancia do circuito de sintonia e puramente resistiva, o modulo de ZTO e dado por: ZTO = RG + Zo.Nas frequencias de corte inferior e superior, ZTi e ZTr tern modulos praticarnente iguais, cuja formula mostrada ao lado pode ser deduzida facilmente:

ZTi = ZT, =

R2 + RG.Zo +

^

Z2 2

Nesta condicao, Q'T < QT. 0 circuito de sintonia tem seletividade de corrente e de tensao, cujas bandas passantes nao sao iguais. Na pratica, considera-se apenas a sua banda de tensao.Neste caso, a banda passante e as frequencias de corte inferior e superior sao dadas por:

Circuitos Praticos de SintoniaNa pratica, podem ser encontrados diversos tipos de circuitos de sintonia em fun45o de suas aplica4oes. 0 objetivo deste topico e apresentar alguns exemplos desses circuitos, been como as suas principals caracterfsticas.

Circuitos de Sintonia FixaO circuito de sintonia fixa e aquele que opera com uma unica frequencia de ressonancia. No entanto, os seus dispositivos nao tem, necessariamente, valores fixos. Na pratica, e comum utilizar como capacitor ou como indutor um dispositivo ajustavel, permitindo que o circuito possa ser calibrado na frequencia de ressonancia desejada. O circuito ao lado e um exemplo, sendo que a indutancia Li e fixa, mas a capacitancia equivalente pode ser ajustada por C2. Os capacitores em paralelo resultam em uma capacitancia total dada por: CT = Ci + C2. Portanto, a frequencia de ressonancia fo e:

fo =

I

27r..J LI.CTO capacitor Ci, de maior valor, define a ordem de grandeza de fo, e o capacitor C2, de menor valor e ajustavel (trimmer), faz o ajuste fino da frequencia de ressonancia.Assim, CT varia entre CTn,in = CI + C2n ,in C CTmcix = Cl + C2max, podendo ajustar a frequencia de ressonancia entre fonrax ( para CTntin ) e fonan ( para CT ix).

Circuitos RLC e

de

Sintonia

221

ILi

Para melhorar a precisao do ajuste fino pode-se optar pela associacao serie entre os capacitores, conforme mostra a figura ao lado.Neste circuito, CTmin = Ci // C2mtn define fomrLr e CTno = Ci // C2nuix define fo

I

A vantagem deste circuito em relacao ao anterior e reduzir o valor de CTm ix sem alterar muito o valor de CTmin.

Urn outro exemplo de circuito de sintonia fixa e aquele formado por uma bobina ajustavel e por urn capacitor fixo. A variagdo da indutancia e obtida por meio de um parafuso externo acoplado ao nucleo de Li ferrite da bobina. CI

A alteracao da posircao do nucleo relativa ao enrolamento da bobina muda a sua indutancia.

L

7-T

Este ultimo tipo de circuito de sintonia fixa e amplamente usado na etapa de frcquencia intermediaria ( FI) de receptores AM - amplitude modulada - que opera com FI = 455kHz e com banda passante B = 10kHz e de receptores FM frequencia modulada - que opera com FI = 10,7MHz e banda passante B = 150kHz. So que, em vez de uma bobina ajustavel, e mais comum a utilizacao de um transforrnador de RF corn nucleo variavel, sendo a sintonia feita no primario. O trans forinad or, neste caso, tem a funcao de casar a impedancia da safda da ctapa do RF corn a entrada da etapa demoduladora.00

n

IV

Ao demodulador

Circuitos de Sintonia VariavelO circuito de sintonia variavel e usado para selecionar uma entre diversas frequencias disponfveis, sendo a frcquencia de ressonancia ajustada externamente pclo proprio usuario. Este c o caso do circuito de sintonia da etapa de RF dos receptores AM (535kHz a 1650kHz) e FM (88MHz a 108MHz). Para que a faixa de frequencias (fomin a foma r) fique been determinada, e comum utilizar trey capacitores associados, conforme a figura ao lado. Ci e um capacitor fixo que define a ordem de grandeza de fo. C2 e variavel e acessfvel externamente , sendo usado para sintonizar a frequencia desejada. C3 e ajustavel (trimmer) e nao acessfvel externamente , servindo apenas para calibrar a faixa de frequencias de operagdo.Assim, a capacitancia total e dada por CT = (Ci + C2) // Cr. 0 ajuste externo de C2 define CTmin e CTmax e, consegUentementc , fomax C fomin.


Nos receptores AM e FM, o circuito de sintonia variavel esta acoplado a antena.

Como exemplo, apresentamos o circuito ao ]ado, em que it anicna e ligada ao primario do transformador, sendo a frequencia de ressonancia determinada pela indutancia L2 do secundario e pela capacit:incia Cr.Neste circuito, e comum que o acoplamento a proxima etapa seja feito por uma derivacao do secundario do transformador. 0 motivo e que o circuito LC paralelo apresenta uma alta impedancia na ressonancia, enquanto a impedancia de entrada de estagios transistorizados no e tao elevada, de modo que a derivacao e feita para casar a impedancia entre essas etapas.

Consideracoes Finais sobre o Projeto de um Circuito de SintoniaPara finalizar este capitulo, e importante ressaltarmos que o projeto de urn circuito de sintonia deve prever nao apenas o LC que determina a frequencia de ressonancia, ja que esses dispositivos podem ter infinitos valores para uma mesma fo. E necessario, tambem, que a sua impedancia Zo seja compativel com a impedancia do circuito do qual o sintonizador fara parte e o seu fator de qualidade seja adequado a banda passante desejada.

Exemplo de Aplicacao: Radio GalenaO primeiro radio surgiu no final do seculo XIX, quando ainda nao existiam os dispositivos ativos, corno a valvula e o transistor. Ele era chamado de radio galena, pois o elemento basico era um cristal de galena, cujas propriedades sao muito semclhantes it do diodo semicondutor. Basicamente, ele e formado por uma antena conectada a um circuito ressonante Li // Cl que sintoniza apenas urn dos sinais transmitidos. Essa frequencia 6 ajustada por mein do capacitor variavel Ci.

O cristal, que hoje pode ser substituido por um diodo de germanio, como o IN34, IN60 ou equivalente, deixa passar apenas a parte positiva do sinal modulado. Esses pulsos de alta frequencia sao filtrados pelo capacitor C2, de modo que no fone de ouvido sobra apenas a envoltoria do sinal modulado, que corresponde a informacao. A curiosidade desse circuito esta no fato de que ele nao precisa de fonte de alimentacao, pois toda a energia do circuito 6 provenience do sinal captado pela antena. Para que ele tenha um desempenho razoavel na captacao das estacoes mais fortes, e necessario que a antena seja grande, com pelo menos 10ni de extensao e com isolacao nas pontas. Ela pode ser feita corn fib nu 16 ou 18 A WG. A bobina Li pode ser feita enrolando um fio esmaltado 28 ou 30 AWG (aproximadamente 100 espiras) em um cabo de vassoura. 0 capacitor variavel Cl deve ser de uma secao com capacitancia maxima de 410pF. 0 capacitor C2 deve to valor baixo e depende canto da frequencia da estacao captada como da impedancia do fone de ouvido. Este, por sua vez, deve ser de alta impedancia (magnetico ou de cristal).

Por fim, o terra do circuito deve ser conectado a uma barra de metal de 40 a 50cm enterrada no chao.


-----

ExercIcios PropostosCircuito RLC Serie 18.1) Considere o circuito ao lado: a) Determine Z quando o gcrador estiver operando na frequencia de 800Hz;V=4020[V]

L 200mH

b) Determine I , N, VL e Vc ; c) Esboce o diagrama fasorial e responda se o circuito e indutivo, capacitivo ou resistivo. 18.2) Considere o mesmo circuito do exercicio anterior.

120nF

a) Determine Z quando o gerador estiver operando na frequencia de 1200Hz; b) Determine I , VR, VL e Vc ; c) Esboce o diagrama fasorial e responda se o circuito 6 indutivo, capacitivo ou resistivo.18.3) Considerando os resultados de Z nas frequencias de 800Hz e 1200Hz (obtidos nos exercicios 18.1 e 18.2), estime o valor da frequencia de ressonancia fo do circuito. 18.4) Urn circuito RLC sdrie 6 formado por R = 2205, L = 3,3mH e C = 4,7nF e 6 alimentado por um gerador de tensao com V = 60L45[V ] . Determine:

a) Z na frequencia de 30kHz;b) I , VR , VL e Vc na frequencia de 30kHz; c) Z na frequencia de 50kHz; d) 1 , VR , VL e Vc na frequencia de 50kHz;

e) Z na frequencia de 40,4kHz;f) I , VR , VL e Vc na frequencia de 40,4kHz. circuito RLC Paralelo 18.5) Considers o circuito ao lado: a) Determine Z quando o gerador estiver operando na frequencia de 20kHz; V=100L60 [V] b) Determine I , IR, IL C Ic ; c) Esboce o diagrama fasorial e responda se o circuito 6 indutivo, capacitivo ou resistivo. 18.6) Considere o mesmo circuito do exercicio anterior. a) Determine Z quando o gerador estiver operando na frequencia de 30kHz; b) Determine I , IR, IL e Ic ; c) Esboce o diagrama fasorial e responda se o circuito 6 indutivo, capacitivo ou resistivo.

C 2n2F


18.7) Considerando os resultados de Z nas fregiiencias de 20kHz e 30kHz (obtidos nos exercicios 18.1 e 18.2), estime o valor da frequencia de ressonancia fo do circuito.18.8) Urn circuito RLC paralelo e formado por R = 56k52, L = I pH e C = 33pF e e alimentado por um gerador de tensao corn V = 60Z45' [ V I . Determine:

a) Z na frequencia de 20MHz;b) I , In , IL C Ic na frequencia de 20MHz; c) Z na frequencia de 40MHz; d) 1 , JR , IL C Ic na frequencia de 40MHz; e) Z na frequencia de 27,7MHz; f) I, IR, IL e Ic na frequencia de 27,7MHz. Conceito Fisico de Resson&ncia

18.9) Considere o circuito do exercicio 18.1.a) Determine fig c compare corn o valor estimado no exercicio 18.3. b) Determine po, XLo e Xco e compare-os entre si.

18.10) Considere o circuito do exercicio 18.5.a) Determine fo e compare corn o valor estimado no exercicio 18.7; b) Determine po, XLO e Xco e compare-os entre si. Circuito Serie de Sintonia 18.11) 0 circuito de sintonia ao lado e alimentado por um gerador de RF corn baixa resistencia interna. A bobina foi enrolada com urn fio de 0,5mm2, cuja resistencia CC, medida por urn ohmimetro, vale roc = 5Q. Sao desprezfveis as demais resistencias do circuito. a) Determine a frequencia fo e a resistencia po de ressonancia do circuito;

V=10L0[V]

C 250pF

b) Determine XLo, Xco, R.,o, Zo, (po e QT;c) For meio da Lei de Ohm, determine Io, VLO e Vco que seriam medidos no circuito com o gerador ajustado na frequencia de ressonancia; d) Determine VLo e Vco pelo valor de QT e compare com os resultados obtidos no item c; e) Determine B, f e f ; f) Determine a potencia ativa Po dissipada por R.,co.

Circuitos

RLC

e

de

Sintonia

225

18.12) Considere que o gerador do exercfcio anterior foi ajustado na frequencia de corte inferior. a) Determine XL;, Xci e R.,i na frequencia f ;b) Determine Zi, b, VLi e Vci; c) Determine a potencia ativa Pr dissipada por R.,i;

d) Verifiquese Ii/lo-=0,707, Z,/Zo-1,41 ese Pr/Po=0,5. 18.13) Usando o indutor do exercfcio 18.11, deseja-se projetar um circuito serie de sintonia para operar com frequencia de ressonancia de 3,25MHz. Determine:a) o valor do capacitor que viabilize esse circuito; b) a resistencia de ressonancia po;

c) o fator de qualidade do circuito; d) a banda passante e estime as frequencias de corte inferior e superior.18.14) Um circuito serie de sintonia a formado por um indutor de 12H, enrolado com um fio 26AWG e cuja resistencia CC vale 3652. Deseja-se implementar um circuito que opere com frequencia de ressonancia de aproximadamente 100kHz, com uma tolerancia maxima de 20%. Determine: a) o valor de um capacitor comercial que pode ser conectado em serie com esse indutor; b) a frequencia real de ressonancia em fun4ao do capacitor adotado e se ela esta dentro da margern desejada; c) o fator de qualidade, a banda passante e as frequencias de corte inferior e superior do circuito;

d) uma solucao para resolver o problema da banda passante desse circuito.Circuito Paralelo de Sintonia 18.15 ) Urn circuito LC paralelo 6 formado por uma bobina de 13H e por um capacitor de 120pF. 0 fio usado na bobina 6 o 28AWG e a sua resistencia CC vale 8,752. Determine: a) a frequencia de ressonancia ideal fo e a resistencia de ressonancia po; b) R.,o e o QT do circuito na frequencia fo, considerando como relevante apenas a resistencia do fio da bobina; c) a frequencia de ressonancia real fo e compare-a com o valor ideal calculado no item a; d) a impcdancia Zo;

e) R1,o (pela conversao do equivalente R.so) e compare o seu valor com Zo calculado no item d.18.16 ) Considere que o circuito de sintonia do exercfcio anterior esteja sendo analisado por um gerador com resistencia interna RG = 60kS2 e ajustado com VG = 20V. Determine: a) o fator de qualidade total resultante Q'T, a banda passante definida pela curva da tensao e as frequencias de corte inferior e superior;

b) as corrente lo, Ii e I.,;c) as tensoes Vso, Vsi e Vss.


18.17) Retome o exercfcio 18.15. Considere que o circuito de sintonia deste exercicio esteja sendo analisado por um gerador corn resistencia interna RG = 50Q e ajustado com tensao VG = 20V. Determine:a) o fator de qualidade Q 'r e a banda passante definida pela curva da tensao; b) as correntes lo, Ii e Is; c) as tensoes Vso, Vsr e Vs.,. 18.18) Retome o exercicio 18.5. Considere que o circuito de sintonia deste exercicio esteja sendo analisado por um gerador coin resistencia interna RG = 6005 e ajustado com tensao VG = 20V. Determine: a) o fator de qualidade Q'r, a banda passante definida pela curva da tensao e as frequencias de corte inferior c superior;

b) as correntes lo, Ii e I,; c) as tensoes Vso, Vsi e Vss.18.19) Um indutor de 25,uH, enrolado com um fio 32AWG, tem resistencia CC de 360. As suas espiras apresentam uma capacitancia de 4pF. Adotando o modelo quase real para esse indutor, determine:

a) a frequencia ideal de auto-ressonancia desse indutor;b) a sua frequencia real de auto - ressonancia em funcao da influencia que a sua resistencia CA exerce sobre ele; c) o fator de qualidade, a banda passante e as frequencias de corte inferior e superior do indutor se ele estiver sendo alimentado por um gerador de elevadissima resistencia interna.

Circuitos Praticos de Sintonia18.20) Uma bobina de 250pH e ligada em paralelo com um capacitor fixo de 470pF que, por sua vez, esta em paralelo com um trimmer que varia entre 10 e 50pF. Determine: a) as frequencias minima e maxima de ressonancia; b) o valor de ajuste do trimmer para que esse circuito sintonize a frequencia intermediaria de urn receptor AM comercial;

c) a impedancia Zo do circuito, considerando que a sua resistencia Rs na frequencia de ressonancia do item b e de 4552;d) o fator de qualidade e a banda passante do circuito, sabendo que a etapa da qual ele recebera o sinal tern uma impedancia de saida maior que LOOM. 18.21 ) Usando a bobina de 250pH e o capacitor fixo de 47OpF do circuito do exercfcio 18.20, deseja-se implementar um circuito de sintonia LC paralelo, so que o capacitor fixo deve estar em serie com um outro capacitor variavel. Determine a faixa de operacao do capacitor variavel para que as frequencias minima e maxima sejam as mesmas. Analise o resultado e encontre uma solucao para o problema surgido. 18.22) Deseja-se um circuito de sintonia que opere com frequencia de ressonancia de IOMHz e corn banda passante de 200kHz. 0 ideal e que esse circuito tenha uma impedancia Zo entre 70kS2 e 120U2. A etapa que the fornecera o sinal tern uma impedancia de saida de 50W. Projete esse circuito usando todos os recursos disponiveis neste livro.


18.23) Considere o circuito abaixo e determine:

a) as capacitancias totais minima e maxima; b) as frequencias de ressonancia minima e maxima.

Cl C2 6p8F 0 a 500pF Li 2,5mHe s 0

I


Filtros Passivos e Circuitos de Pulso

Idealmente, a funcao de urn filtro e permitir ou rejeitar a passagem de uma faixa de frequcncias presente em sua entrada, impondo forte atenuacao as frequcncias rejeitadas e nenhurna atenuacao as frequcncias perinitidas. Neste livro, nos analisaremos os filtros passivos, pois sao compostos apenas por resistores, indutores e capacitores. A tabela seguinte apresenta os quatro tipos de filtros ideais: Tipo de Filtro Caracterfstica Ideal Curva de Resposta em Fregiiencia

(Simbolo ) FPB

Ganho x Frec iienciaA, 1

Filtro Passa Baixas Permite a passagem de todas as frequcncias abaixo da

VE

^, V5 frequencia de corte fc, rejeitando as demais.f^ f

FPA

Filtro Passa AltasPermite a passagem de todas as frequcncias acima da vs frequencia de corte fc, rejeitando as demais.

A,1 -_________________

vE

^^ .

f

FPF

Filtro Passa Faixa

A 1 --

vE

Permite a passagem de todas as frequcncias acima da vs frequencia de corte inferior fci e abaixo da frequencia de corte superior fi,, rejeitando as dernais.f; f, f

FRF

Filtro Rejeita Faixa

Av1

Rejeita a passagern de todas as frequcncias acima davE

vs frequencia de corte inferior fci e ahaixo da frequencia de corte superior f lf, permitindo a passagem das dernais. fi f= f

Nos filtros reais mais simples. isto e, formados apenas por dois dispositivos, as expressoes do modulo A,, e da fase 9n do ganho de tensao podem ser deduzidas a partir da expressao do divisor de tensao. No filtros que possuern mais de dois dispositivos, essas formulas devem ser deduzidas de acordo com o modo como os dispositivos estao ligados entre si. A formula da frequencia de corte de um filtro pode se deduzida a partir da expressao do seu ganho. Ha dois metodos simples para isso: 12 Metodo - Na frequencia de corte f., o modulo Am do ganho vale Avc = -3dB ou Avc = 1/- . Nesse caso, a frequencia de corte e determinada igualando a expressao do modulo do ganho ao valor de Avg . 22 Metodo - Na frequencia de corte f, afase OAe do ganho vale 9Ac = 45. 0 sinal da fase depende do tipo de filtro. Nesse caso, a frequencia de corte e determinada igualando a expressao da fase do ganho ao valor de OAc. Ha, ainda, um terceiro mctodo que se aplica a impedancia equivalente do filtro. 0 que importa e que a aplicacao desses metodos a um mesmo filtro resulta na mesma formula da sua frequencia de corte.

Filtros Passivos e Circuitos de Pulso 229

19.2 Filt;i os Passa Baixas - RC a LROs filtros passa baixas (ou FPB) mais simples sao formados por um dispositivo resistivo R e por um dispositivo reativo L ou C. A disposicao desses dispositivos determina o comportamento dos filtros, conforme mostrarn as figuras abaixo: FPB - RCR

FPB - LRL

r-wVEVS

VE

VS

ZGanho dos FiltrosAs formulas do modulo Av e da fase OA do ganho de tensao dos filtros podem ser deduzidas a partir da expressao do divisor de tensao aplicada em suas saidas.No FPB - RC, ternos: V's = - jX c Vs = - c .VE = R - jXc VE R - jX cXr Xc Av = L - 9tf+arctg R VR2 + Xc2

No FPB - LR, temos:Vs = R VE VS = R R+jXL VE R+jXL

Av = R . - arctg -R2+XL2 R

Comportamento GeralNo FPB - RC, a saida e a tensao Vs sobre o capacitor. No FPB - LR, a saida e a tensao Vs sobre o resistor.

Se a frequencia de entrada tende a zero (f --) 0), a reatancia Se a frequencia de entrada tende a zero (f - 0), a reatancia do capacitor tende a um circuito aberto (Xc - oo) e o sinal do indutor tende a um curto-circuito (XL - 0) e o sinal de de entrada passa totalmente para a saida (Vs -^ VE). entrada passa totalmente para a saida (Vs - VE). Nos dois filtros, o modulo do ganho tende a unidade (Av - 1) c a fase do ganho tende a se anular (Ov ---> 0, pois a defasagem na tensao de saida e imposta, nos dois circuitos, apenas pelo resistor. No FPB - RC, se a frequencia de entrada tende ao infinito (f --> oo), a reatancia do capacitor tende a um curto-circuito (Xc - 0), de modo que o sinal de entrada Pica no resistor e a tensao de saida tende a zero (Vs -^ 0). No FPB - LR, se a frequencia de entrada tende ao infinito (f -- oo), a reatancia do indutor tende a um circuito aberto (XL - oo), de modo que o sinal de entrada fica no indutor e a tensao de saida tende a zero (Vs -4 0).

Nos dois filtros, o modulo do ganho tende a zero (At, -> 0) e a fase do ganho tende a quadratura (0v - -90), pois no FPB - RC, a defasagem na tensao de saida e imposta apenas pelo atraso que o capacitor de saida provoca na tensao e no FPB - LR, a defasagern na tensao de saida e imposta apenas pelo atraso que o indutor de entrada provoca na correntc. Portanto, nos dois circuitos as frequencias baixas passam para a safda e as altas sao aterradas pelo capacitor ou retidas pelo indutor, que nesse caso funciona como um choque.

230


Substituindo Xc por I / (27rf C) na expresso de Av do filtro RC e substituindo XL por 27rf.L na expressao de A, do filtro LR, obtemos as expressoes do modulo e da fase dos seus respectivos ganhos em fungdo dos scus dispositivos. No FPB - RC, obtemos: All = I e (27rf.R.C)22+I On = -arctg (21rf .R.C ) No FPB - LR, obtemos: Av = I27rf.L 2 +I R ) e On = -arctg 2nf I_ R

Fregiiencia de Corte dos FiltrosA frequencia de corte desses filtros passa baixas pode ser determinada por um dos metodos descritos no topico anterior. Apenas por questao didatica, usaremos um metodo diferente para cada um dos filtros em analise.

No FPB - RC, obteremos fc pelo modulo do ganho:1 I

No FPB - LR, obteremos fc pela fase do ganho: - arctg 2trf^.L = -45 R2trf .L = tg 45' 2trf .L = I R R

(2W, .R.C )2 + I 1 (21rfc.R.C )2 + I = 2 21rfc.R.C = I

Expressoes Gerais do Modulo e da Fase do GanhoAs expressoes gerais do ganho desses filtros sao funcoes apenas de uma frequencia f qualquer c da frequencia de corte fc, eliminando as vari iveis relativas aos valores dos dispositivos. Nas expressoes de A, e de On , podemos substituir o termo 27r.R.C por I /f. para o FPB - RC, e podemos substituir o termo 2ir.L /R por I /ft para o FPB - LR. Como resultado , obtemos as mesmas expressoes de At, e On em funcao de f c de fc, conforme mostramos abaixo:

c


231

Curvas de Respostas em Frequencia dos Filtros Passa BaixasPor mein dos diagrantas de Bode, podemos representar graficamente o comportamento do ganho e da fase dos filtros passa baixas RC e LR. A regiao de atenuacao sera analisada em dB para uma variacao de uma decada e de uma oitava em relacao a frequencia de corte f^.Atenuacao f

A.

Av1dB]

OA

fe / 100 fc / 10 f / 5 fe 5.ff 10.ff 100.t

10,995 0,981 0,707 0,196 0,100 0,010

00 0 -3 -14 -20 -40

00

-6 -11, -45 -79 -84 -90

oitava: de 5.f, para 10.fc decada: do 10.f: para 100.fcatenuacao : 20 dB atenuac5o :6dB

Diagramas de Bode do Modulo do Ganho Resposta em Frequencia do Modulo Av Resposta em Frequencia do Modulo Av [dB] fc fc100 10 fc 10.f^ 100.f' .fCorte

Ac(dB)t 0-3f

-20i----------------------20dB/decada-' \ L L fi 10 . f. 1001 100 10 -40 ---------------------------

Diagrama de Bode da Fase do Ganho Resposta em Frequencia da Fase BA f fC T 10 ()I ( ---------OAC

fC t

10.f

100. fc

f

-45 Corte -90 4-----------------

------

Portanto, os filtros passa baixas RC e LR tern uma atenuacao de 20dB/decada ou de 6dB/oitava.

232 Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente "!tern

Condicoes para o Projeto e Analise dos Filtros Passa Baixas RC e LRConsideramos como projeto de um filtro a determinacao dos valores dos dispositivos que provocam o corte na frequi ncia desejada. Consideramos como andlise de um filtro, a determinacao da frequencia de corte a partir dos dispositivos que o compoem.Em ambos os casos devemos considerar a resistencia interna RG da fonte de sinal, o valor da carga RL C, eventualmente, o valor da resistencia r., do fio do indutor. No caso do capacitor, a sua resistencia rp pode ser desprezada na grandc maioria das aplicacoes por ter um valor elevado. As figuras abaixo mostram como ficam os circuitos equivalentes dos filtros passa baixas RC e LR, quando consideramos a resistencia interna da fonte de sinal, a carga e, no caso do filtro LR, a resistencia do fio do indutor. Circuito Equivalents do FPB - RC Circuito Equivalente do FPB - LR

RL VG L

Simplificacao pelo Equivalente Thevenin Para facilitar o projeto ou a analise de um filtro, os circuitos equivalentes acima podem ser simplificados pela determinacao das resistencias equivalentes Thevenin RTn vistas pelo capacitor do FPB - RC e pelo indutor do FPB - LR. Para isso, basta substituir o gerador de tensao por urn curto-circuito e determinar a resistencia equivalente entre os pontos em que estao conectados o capacitor e o indutor. Circuito Simplificado do FPB - RC Circuito Simplificado do FPB - LR

R.

No FPB - RC. a carga RL fica em paralelo com RG + R.Portanto:

No FPB - LR , as resistencias RG e r.c estao em s6rie corn o equivalence paralelo de R //RL. Portanto:

Rrn=(R+ RG).R1. = R+RG +RL

RTn = R.RL + RG + r. R+RL

e

Assim, concluimos que a fregiiencia de corte real desses filtros pode ser major ou menor do que a ideal, dependendo da influencia major ou menor que RG, RL e r., exercem nos circuitos.

Filtros Passivos e Circuitos de Pulso 233

Filtros Passa Baixas - L, n e TUma forma de forgar uma atenuacao mais brusca nos filtros passa baixas acima da frequencia de corte e por meio da associacao dos dois elementos reativos (L e C) em um mesmo circuito.As figuras abaixo mostrarn esses circuitos nas configuracoes denominadas L, 7r e T. FPB - L

FPB - Jr

FPB - T

L

L

Li

L2

VE

c

T

Vs

Vs

VE

Vs

Emque: Cl=C2=C

Em que: Li = L2 = L

Estes tres filtros tern urn comportamento ressonante , de modo que as frequencias de corte fe sao um pouco superiores :ls suas frequencias de ressonancia fo. Ao lado, apresentamos a formula da frequencia de ressonancia fo e o fator que, multiplicado por fio. resulta em uma estimativa da frequencia de corte fc desses filtros, desde que os capacitores do filtro r sejam iguais , o mesmo ocorrendo corn os indutores do filtro T.

No filtro L, a atenua4 Th chega a 40dB/decada, enquanto nos filtros IT e T ela e maior, podendo chegar ate a 60dB/decada.Na frequencia de ressonancia fo, esses filtros apresentam um ganho acima de OdB, limitado pelas resistencias do circuito. Idealmente, o canho cm fo tenderia ao infinito. As figuras abaixo mostram as curvas de respostas em frequencia dosses filtros.

Resposta em Frequencia do FPB - L

Resposta em Frequencia dos FPB - 7r c T

234 Circuitos Eletricos - Corrente Continua e Corrente Alters::.

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19.3

Filtros Passa Altas - CR e RL

Os filtros passa altas (ou FPA) mais simples sao formados por um dispositivo resistivo R e por um dispositivo reativo L ou C. A colocacao desses dispositivos determina o comportamento dos filtros, conforme mostram as figuras abaixo:FPA - CR

FPA - RLR

IVe Vs VE

EL

Vs

a

Ganho dos FiltrosAs formulas do modulo Av e da fase On do ganho de tensao dos filtros podem ser deduzidas a partir da expressao do divisor de tensao aplicada em suas saidas. No FPA - CR, temos:= R .VE^Vs = R Vs =::, R -jXc VE R - jX c

No FPA - RL, temos:.VE VS = JX L

VS = jXL

R+ jXL VE R+jXLXL XL

At, = R Zarctg X C R2+Xc2 R

At, =

Z90-arctg

R2 + XL2

R

Comportamento Geral No FPA - CR, a saida e a tensao Vs sobre o resistor. Se a frequencia de entrada tende a zero (f - 0), a reatancia do capacitor tende a um circuito aberto (Xc - oo), de modo que o sinal de entrada fica no capacitor e a tensao de saida tende a zero (Vs --4 0). No FPA - RL, a saida e a tensao Vs sobre o indutor. Se a frequencia de entrada tende a zero (f -> 0), a reatancia do indutor tende a um curto -circuito (XL - 0) , de modo que o sinal de entrada fica no resistor e a tensao de saida tende a zero (Vs -4 0).

Nos doffs filtros , o modulo do ganho tende a zero (At. - 0) e a fase do ganho tende a quadratura ( O, - 90), pois no FPA - CR, a defasagem na tensao de saida e imposta apenas pelo avanco que o capacitor de entrada provoca na corrente e no FPA - RL, a defasagem na tensao de saida e imposta apenas pelo avanco que o indutor de saida provoca na tens,-o. No FPA - CR, se a frequencia de entrada tende ao infinito (f -4 co), a reatancia do capacitor tende a um curto-circuito (Xc -^ 0) c o sinal de entrada passa totalmente para a saida (Vs - VE). No FPA - RL, se a frequencia de entrada tende ao infinito (f -4 oo), a reatancia do indutor tende a um circuito ahe o (XL - oo) c o sinal de entrada passa totalmente para a saida (Vs - VE).

Nos dois filtros, o modulo do ganho tende a unidade (Av - 1) e a fase do ganho tende a se anular (O, -k 0), pois a defasagem na tensao de saida e imposta, nos dois circuitos, apenas pelo resistor. Portanto, nos Bois circuitos as frequencias altas passam para a saida e as baixas sao retidas pelo capacitor ou aterradas pelo indutor.


Substituindo Xc por 1 /(2nf.C) na expressao de AV do filtro CR e substituindo XL por 2irfL na expressao de AV do filtro RL, obtemos as expressoes do modulo e da fase dos seus respectivos ganhos em funcao dos seus dispositivos. No FPA - CR, obtemos:AV= 1 c 9n=arctg 1 27rf .R.C

No FPA - RL, obternos: AV = Ic 6.a = arctg2

R2irf .L

1 2^rf .R.C

dl

) +I 21rf .L )R

Fregiiencia de Corte dos FiltrosA frequencia de corte desses filtros passa altas pode ser determinada por urn dos metodos descritos no topico 19.1. Apenas por questao didfitica, usaremos um metodo diferente para cada urn dos filtros em amilise.

No FPA - CR, obteremos fic pelo modulo do ganho:

No FPA - RL, obteremos fc pela fase do ganho:

(

I 27rf,:.R.C

+I

arctg R = 45=> 27rfc.L

(2)rfc.R.C )2

+1=2=> 2z .R.C=I=>

R = tg 45 ==^ R =1 => 27rff .L 27rfc.L

Observe que as formulas sao iguais as dos respectivos filtros passa baixas.

Expressoes Gerais do Modulo e da Fase do GanhoAs expressoes gerais do ganho desses filtros sao funcoes apenas de uma frequencia f qualquer e da frequencia de come fc, eliminando as variOveis relativas aos valores dos dispositivos. Nas expressoes de A, e de 84, podemos substituir o termo I /(2)r.R.C) por f para o FPA - CR, e podemos substituir o termo R / (2ir.L) por fi para o FPA - RL.

Como resultado, obtemos as mesmas expressoes de AV e OA em funcao de f c de fc, conforme mostramos abaixo:

c


Curvas de Respostas em Frequencia dos Filtros Passa AltasPor meio dos diagramas de Bode, podemos representar graficamente o comportamento do ganho e da fase dos filtros passa altas CR e RL. A regiao de atenuarcao sera analisada em dB para uma variacao de uma decada e de uma oitava em relacao a frequencia de corte f^.Atenuacao f Av Av [dB]

decada: de fc / 100 para f / 10atenuacao : 20 dB

ff / 100 oitava: de fc / 10 para fc / 5atenuacao : 6 dB

0,010 0,100 0,196 0,707 0,981 0,995 1

-40 -20 -14 -3 0 0 0

OA 90 84 79 45 11 6 0

ff / 10 fc / 5 fc 5.fc 10.fc 100. fc

Diagramas de Bode do Modulo do Ganho

Resposta em Frequencia do Modulo Avt A0

Resposta em Frequencia do Modulo Av [dB]A0(dB) L fi 0 100 10 f^ 10.f^ 100.f^

1 0,707 A0 2

-3 ----, ---/C '-orte

f

0

fc 100 10

fc

t

10.E 100.1

0

f

/ '-20dB/decada

Diagrama de Bode da Fase do Ga

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Circuitos Eletricos CC e CA - Otávio Markus (parte 2 - páginas 183 a 286)