Circuits logiques combinatoires

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    Circuits logiques combinatoires e chapitre prcdent tait une introduction lalgbre de Boole. Les ingnieurs sarrtent rarement aux considrations purement mathmatiques de ces travaux. Ce qui les intresse au premier chef est de tirer parti de la thorie pour laborer des mthodes de conception de circuits logiques, et que ces

    mthodes soient pratiques et performantes. Nous sommes donc plus concerns par les travaux de Shannon que de ceux de Boole proprement parler. Aussi, il importe de prsenter les techniques et outils dvelopps dans cette perspective pour manipuler les circuits logiques. Nous nous attarderons dans le prsent chapitre dfinir le vocabulaire des circuits combinatoires et les concepts jugs importants pour les dveloppements suivre. Nous aurons ainsi tabli le corpus thorique mme de nous pourvoir des techniques doptimisation des circuits logiques que nous aborderons au chapitre suivant.

    3.1 Vocabulaire des circuits logiques combinatoires Les circuits logiques combinatoires (CLC) sont la premire forme de circuits que nous aurons tudier dans ce cours. Les circuits logiques combinatoires sont des circuits caractriss par leur proprit dterministe, associant toute combinaison dentres une seule et mme combinaison de sorties. Pour cette raison, les circuits combinatoires sont souvent vus comme des botes noires rgies par ce fonctionnement dterministe entres/sorties et dont limplmentation sera pour nous sujette discussion.

    3.1.1 Circuits MISO et MIMO Les circuits logiques que nous avons vus jusquici taient lquivalent dune fonction logique, et de ce fait ne possdaient quune seule sortie. Il est plus courant cependant de rencontrer des circuits possdants plusieurs sorties. Nous utiliserons lappellation MISO et MIMO pour dsigner respectivement les circuits combinatoires du type entres multiples, sortie unique et entres multiples, sorties multiples ; MISO et MIMO tant respectivement les acronymes anglais de Multiple Inputs, Single Output et Multiple Inputs, Multiple Outputs. Dans la plupart du temps, nous manipulerons des circuits de type MISO, respectant ainsi lassociation faite entre des entres et une sortie telle que dcrite par les tables de vrit vues jusquici. Les MIMO prendront de limportance pour nous lorsque nous aurons considrer des circuits plus volus, remplissant des fonctions utiles aux systmes logiques.

    Les circuits MIMO sont autant de MISO que de sorties quils comportent. Les circuits MIMO offrent un avantage important car ils permettent une conomie de portes logiques lorsque nombre des circuits MISO le composant partagent des entres. Cette question se posera au chapitre suivant lorsque nous nous intresserons loptimisation des circuits combinatoires.

    Chapitre

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    3.1.2 La bote noire et son implmentation. Il est dusage de faire la distinction entre le comportement dun circuit logique et sa ralisation. Le comportement dun circuit combinatoire est rgi par la table de vrit ou (de manire quivalente) par la fonction logique qui le dcrit. Ce comportement peut se rsumer au lien unissant les combinaisons dentres aux combinaisons de sorties, et cela sans quon ait se soucier de ce qui compose le circuit de lintrieur. On parle alors de bote noire pour sparer conceptuellement lextrieur (entres/sorties) du circuit de son intrieur (les portes logiques le composant).

    Prenons lexemple de circuit MISO suivant :

    Bote noire

    Ce circuit combine les entres A, B et C pour former la sortie F. Un carr a t ajout autour du circuit de faon illustrer le concept de bote noire. La fonction logique ralise par le circuit lintrieur de la bote noire est donn par la fonction F :

    F = AB+BC+ A+C

    Pour toute combinaison des entres A, B et C, il existe une seule valeur de sortie possible F. Ces valeurs de sortie sont dcrites par la table de vrit de la fonction F.

    A B C F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

    On notera que cette table de vrit est aussi celle des fonctions A C +B et A+C +B.

    Aussi, lintrieur de la bote noire peut tre ralis de diffrentes manires et il nexiste pas a priori de ralisation unique. La ralisation de la table de vrit lintrieur de la bote noire sera appele limplmentation de la fonction logique. Une fonction logique peut tre implmente de diffrentes manires et seul compte son comportement vu de lextrieur. Aussi, le concepteur libre jeu de faire preuve de virtuosit pour simplifier le circuit et en rduire le cot.

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    3.1.3 Circuits multiples niveaux Les circuits logiques combinatoires sont construits en mettant en cascade plusieurs portes logiques. Il est important, dun point de vue danalyse de circuit, de segmenter cette hirarchie de portes de sorte bien comprendre la progression des signaux logiques de lentre jusquaux sorties.

    La dlimitation des niveaux seffectue en commenant le compte depuis la sortie, et en voluant progressivement vers les entres. Le compte est incrment chaque porte rencontre. Lexemple de circuit MISO qui suit prsente un circuit trois niveaux, implmentant la fonction logique A+B :

    1er 2e 3e

    Les circuits logiques combinatoires deux niveaux sont ceux que lon rencontre le plus frquemment. La raison est quils dcoulent dun formalisme dit de Somme de produits (SOP1) et de produit de sommes (POS2) que nous allons exposer plus bas. Par convention, les inverseurs aux entres ne rentrent pas en

    ligne de compte dans le dnombrement des niveaux.

    Voici quelques exemples dune somme de produits et dun produit de sommes :

    3.2 Outils thoriques pour les CLC Toutes les notions prsentes jusquici tiennent davantage du vocabulaire que de la science. Ce lexique doit nanmoins tre assimil et devenir familier au futur ingnieur qui aura en faire usage plus dune reprise.

    1 Acronyme anglais de Sum Of Products. 2 Acronyme anglais de Product Of Sums.

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    La section qui suit comporte un contenu thorique dimportance. Ce contenu nous servira autant dans ce chapitre que dans les suivants et doit tre compris en profondeur. La notation dont nous ferons usage utilise la reprsentation binaire des nombres qui fut introduite au chapitre 1. Le lecteur est donc invit sy rfrer au besoin.

    3.2.1 Produit de somme et somme de produits Les tables de vrit ont t introduites dans le chapitre prcdent de manire relativement succincte. On tche gnralement, en prsentant lensemble des combinaisons des entres, les arranger par ordre croissant selon la reprsentation binaire des entiers telle que prsente la section 1.4.3 et illustre au tableau suivant :

    Table 3.1 Table de vrit gnrique pour une fonction logique trois variables f (x1, x2, x3)

    Ligne x1 x2 x3 f 0 0 0 0 f (0,0,0)1 0 0 1 f (0,0,1)2 0 1 0 f (0,1,0)3 0 1 1 f (0,1,1)4 1 0 0 f (1,0,0)5 1 0 1 f (1,0,1)6 1 1 0 f (1,1,0)7 1 1 1 f (1,1,1)

    Cette reprsentation nous permet de numroter les lignes de 0 7 pour une fonction de 3 variables, et plus gnralement de 0 2n-1 pour une fonction n variables. La numrotation prendra toute son importance dans lcriture des expressions canoniques qui suivent.

    Reprenons la dcomposition de Shannon prsente la section 2.1.5. Soit f une fonction logique de n variables x1, x2, xn. On note alors :

    f (x1, x2, , xn) = x1 f (0, x2, , xn)+ x1 f (1, x2, , xn)

    En appliquant la dcomposition de manire rcursive, cest--dire en considrant successivement lensemble des variables xi de i=1 i=n, on trouve progressivement :

    f (x1, x2, , xn) = x1 ( x2 f (0, 0, x3, , xn)+ x2 f (0, 1, x3,, xn) )

    + x1 ( x2 f (1, 0, x3,, xn)+ x2 f (1, 1, x3,, xn) )

    f (x1, x2, , xn) = x1 x2 ( x3 f (0, 0, 0, x4,, xn)+ x3 f (0, 0, 1, x4,, xn) )

    + x1 x2 ( x3 f (0, 1, 0, x4,, xn)+ x3 f (0, 1, 1, x4,, xn) )

    +x1 x2 ( x3 f (1, 0, 0, x4,, xn)+ x3 f (1, 0, 1, x4,, xn) )

    +x1 x2 ( x3 f (1, 1, 0, x4,, xn)+ x3 f (1, 1, 1, x4,, xn) )

    En continuant le processus jusqu xn, on aboutit une criture unique de la fonction logique f (x1, x2, , xn). Cette expression est dite canonique disjonctive (en rfrence la disjonction des termes opre par

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    loprateur logique (OU,+)). On lappelle galement forme canonique de somme de produits. Une somme de produits est sous forme canonique si toutes les variables apparaissent dans tous les termes des produits qui la composent. Cette criture est dite canonique car elle est unique pour chaque fonction. Une expression canonique nest cependant pas optimale ; nous verrons au chapitre suivant quelle sert de base aux mthodes de simplification.

    On identifie, selon le principe de dualit propre lalgbre de Boole, deux formes canoniques : la somme de produits (prsente plus haut) et le produit de sommes (appel forme canonique conjonctive). Un produit de sommes est sous forme canonique si toutes les variables apparaissent dans tous les termes de sommes qui le composent. Le produit de somme canonique peut tre obtenu en appliquant la forme duale de la dcomposition de Shannon de manire duale celle prsente plus haut.

    Afin dillustrer lcriture canonique, considrons lexemple dune fonction trois variables f (x1, x2, x3). Suivant la dcomposition rcursive de Shannon, nous avons la forme canonique disjonctive suivante :

    f (x1, x2, , xn) = x1 x2 x3 f (0, 0, 0)

    + x1 x2 x3 f (0, 0, 1)

    + x1 x2 x3 f (0, 1, 0)

    + x1 x2 x3 f (0, 1, 1)

    +x1 x2 x3 f (1, 0, 0)

    + x1 x2 x3 f (1, 0, 1)

    +x1 x2 x3 f (1, 1, 0)