TEORA LINEAL GENERALIZADA DE PARTICIN Y DESCOMPOSICIN DE
BENDERS
Campus Universitario del Puente del Comn, Cha, COLOMBIA
Telfono: (+57 1) 861 5555 - URL:
http://www.citad.unisabana.edu.coTEORA LINEAL DE PARTICIN Y DE
DESCOMPOSICIN DE BENDERSDOCUMENTO DE TRABAJO -
CITAD-DT-012-2003Ing. JESS M. VELSQUEZ BERMDEZ
([email protected])TEORA LINEAL DE PARTICIN Y DE
DESCOMPOSICIN DE BENDERSIng. JESS M. VELSQUEZ BERMDEZ
([email protected])
1.INTRODUCCINEn trminos generales la solucin de un problema de
optimizacin utilizando la teora de particin de Benders [1] se
fundamenta en la particin del problema en dos subproblemas que se
deben resolver coordinadamente. La particin se realiza de acuerdo
al tipo de variables: unas variables se denominan variables de
acople (o de control) y las restantes variables dependientes (o
coordinadas). La relacin entre los dos subproblemas es jerrquica,
en el nivel superior acta el subproblema correspondiente a las
variables de control como problema coordinador; en el nivel
inferior se resuelve el problema "primario" sobre las variables
coordinadas, este problema esta parametrizado como funcin de las
variables de control. El problema "primario" puede ser sujeto de
una nueva particin o de una descomposicin, para generar esquemas de
solucin multinivel. El proceso se puede definir como:
Se determinan las variables de acople, las cuales sern sujetas a
optimizacin en el nivel superior, que se denomina nivel de
coordinacin. Las variables de acople son aquellas que permiten la
integracin de los diferentes subproblemas del nivel inferior.
Se determinan los bloques matriciales que conforman el nivel
inferior, con el fin de establecer los subproblemas que se han de
resolver en este nivel. Estos problemas son funcin de las
denominadas variables de acople.
Se determina en el nivel superior la estructura del problema
coordinador, el cual fija valores para las variables de acople, que
son enviados al nivel inferior con el fin de que se resuelvan
problemas parametrizados con base en estos valores. La informacin
proveniente del nivel inferior se incorpora al problema coordinador
por medio de un proceso de generacin de planos cortantes basados en
el valor de las variables duales, precios sombra, de los
subproblemas del nivel inferior.
El proceso iterativo de solucin finaliza cuando la informacin
enviada del nivel inferior no produce cambios en el valor generado
por el coordinador para las variables de acople.
PARAMETROS GENERALESModelo CoordinadorNIVEL DE
COORDINACIONSolucin iterativa del modelo coordinador
En cada iteracin se inserta un corte por cada subproblema del
nivel inferior. El corte se generan por razones de optimalidad para
las variables de acople, o por razones de factibilidad para los
problemas del nivel inferior.
Se generan valores para las variables de acople
Clculo del valor de los parmetros como funcin de las variables
de acople. Se determinan los nuevos vectores de recursos y de cotas
para los diferentes subproblemasCon base en el valor de las
variables duales se determinan los cortes que se deben insertar en
el modelo coordinador para realizar una nueva iteracin
Se calcula el valor de las variables duales para cada
subproblema del nivel de descomposicin
PARAMETROS GENERALESSubproblemasNIVEL DE DESCOMPOSICIONSolucin
de los subproblemas desacoplados
Se solucionan los subproblemas del nivel inferior. En este
proceso se debe tener en cuenta las variaciones ocurridas en el
vector de recursos y en el vector de cotas debidas a los cambios en
los parmetros que afectan las zonas de factibilidad de los
subproblemas
FIGURA 1.1 COORDINACION DE LOS ESQUEMAS DE PARTICIN Y
DESCOMPOSICIONComo referencia general se enumeran los casos tpicos
en los cuales es posible aplicar esquemas de particin y de
descomposicin para resolver problemas de optimizacin de gran
tamao:
Planificacin de Inversiones: normalmente los problemas
orientados a determinar planes maestros de inversiones tienen una
estructura en la cual las variables de coordinacin estn
relacionadas con las variables asociadas a inversiones. Muchas de
estas variables son binarias, y la particin permite manejar dos
problemas con caractersticas matemticas diferentes. El modelo
coordinador ser del tipo de programacin binaria-mixta-lineal, o
simplemente de programacin binaria-lineal, en tanto que el(los)
subproblema(s) del nivel de descomposicin ser(n) del tipo de
programacin lineal, sobre variables continuas.
Planificacin Multisectorial: cuando se realizan optimizaciones
que integran varios sectores, la estructura matricial asociada
permite seleccionar como variables de coordinacin las
transferencias de productos entre sectores, y definir en el nivel
de descomposicin subproblemas asociados a cada uno de los
sectores.
Planificacin Multiperodo: cuando se realizan optimizaciones que
integran mltiples perodos de tiempo, la estructura matricial
asociada permite seleccionar como variables de coordinacin las
transferencias de productos entre perodos, o sea las variaciones de
inventario en un perodo, y definir en el nivel de descomposicin
subproblemas asociados a cada uno de los perodos. En muchos de
estos casos los subproblemas tienen la misma estructura matricial y
se pueden disear algoritmos eficaces para la solucin conjunta de
todos los subproblemas. En este caso, el modelo coordinador
presenta una estructura matricial diagonal en bloque, que permite
utilizar un enfoque de programacin dinmica dual [2] [2A] [3] para
una solucin mas eficaz.
Programacin Estocstica: un enfoque para desarrollar procesos de
optimizacin que consideren las posibles realizaciones de las
variables aleatorias que afectan a un sistema puede desarrollarse
con base en esquemas de particin y descomposicin. Las variables de
acople estn asociadas a las decisiones que deben tomarse
independientemente de las realizaciones del proceso estocstico que
afecta al sistema. Las variables coordinadas corresponden a la
operacin simulada del sistema, que depende de la realizacin del
proceso estocstico. En el nivel de descomposicin existen tantos
subproblemas como posibles realizaciones del proceso aleatorio. En
este caso normalmente, todos los subproblemas tienen la misma
estructura matricial, lo que permite disear algoritmos eficaces
para la solucin conjunta de todos los subproblemas.
En los casos multiperodo y/o de optimizacin estocstica, las
teoras de gran escala resultan ser eficaces, ya que el aumento del
nmero de subperodos del horizonte de planificacin y/o de las
realizaciones sintticas de un proceso estocstico, simplifican el
manejo de sistemas de gran dimensionalidad. Se podra decir que los
enfoques de gran escala crecen aritmticamente con respecto a la
complejidad, en tanto que los esquemas agregados crecen
exponencialmente. Esto se traduce en:
menor memoria en un computador, ya que se requiere una cantidad
constante independiente del nmero de perodos y o realizaciones del
proceso estocstico; y
en tiempos de respuesta sensiblemente menores
facilitan el paralelismo de la implementacin computacional.
2.TEORA DE PARTICIN
La Teora de Benders (TB) considera el problema de optimizacin P:
compuesto por dos tipos de variables: las y, correspondientes a las
variables de coordinacin, y las x, correspondientes a las
coordinadas.
P: = { Min Z = cTx + f(y) |
F0(y) = b0 ; Ax + F(y) = b ; xR+ ; yS }La TB restringe el modelo
sobre x a un problema lineal, en tanto que es flexible con respecto
a y. El espacio S de existencia de y puede ser continuo o discreto,
lo que permite que las componentes de y sean variables continuas,
enteras y/o binarias. Adicionalmente, las funciones asociadas a y
pueden ser no-lineales.
El problema P: puede partirse en dos subproblemas uno sobre y y
otro sobre x. Si se define Q(y) como el valor ptimo de la funcin
objetivo correspondiente al problema sobre x para un valor dado de
y:
Q(y) = {Min cTx | Ax = b - F(y); xR+ }es posible formular un
problema equivalente CY:
CY: = { Min Z = f(y) + Q(y) |
F0(y) = b0 ; yS ;
Q(y) = {Min cTx | Ax = b - F(y) ; xR+ } }
El subproblema SP(y): para evaluar Q(y) es
SP(y): = {Min Q(y) = cTx | Ax = b - F(y) ; xR+ }y el problema
dual de SP(y):
DSP(y): = {Max W(y) = T[b - F(y)] | TA cT }
donde corresponde al vector de variables duales de las
restricciones Ax=b-F(y). Con base en la teora de la dualidad se
sabe que la funcin objetivo del problema dual, W(y), es menor o
igual a la funcin objetivo del primal, Q(y), para cualquier valor
factible de
Q(y) W(y) = T [b - F(y)]cumplindose la igualdad solo para el
valor ptimo *, que es un punto extremo de la zona de factibilidad
dual. Dado que la zona de factibilidad de es independiente de y, la
anterior condicin debe cumplirse para todo y, y CY: puede
escribirse como
CY: = { Min Z = f(y) + Q(y) |
F0(y) = b0 ; yS ;
Q(y) T [b - F(y)] ;
TA c }Si se conocen todos los puntos extremos , es posible
obviar la formulacin explcita de las restricciones TAc, y CY: puede
formularse como
CY: = { Min Z = f(y) + Q(y) |
F0 (y) = b0 ; yS ;
Q(y) (k)T [b - F(y)] , kNP }donde NP representa el conjunto de
todos los puntos extremos de la zona de factibilidad dual TAc. El
problema CY: es exactamente igual al problema original P:, la
complejidad radica en que para problemas reales el nmero de puntos
extremos NP tiende a infinito y por lo tanto CY: corresponde a un
problema con infinito nmero de restricciones que no se pueden
definir explcitamente. El algoritmo propuesto por Benders define un
mtodo eficaz para generar valores extremos k de forma tal que, con
un nmero finito de ellos, se obtenga la solucin a CY:, y
simultneamente se solucione P:.
Benders propone la solucin de P: por medio de un algoritmo que
trabaja en dos niveles: en el nivel superior, nivel de coordinacin,
se resuelve el problema coordinador CY: que genera una secuencia de
valores yk. En el nivel inferior, los valores yk se utilizan como
parmetros del subproblema SP(y): para generar una secuencia de
puntos extremos factibles k, que son la base para incluir en CY: un
plano cortante que restringe la zona de optimalidad de y.
SP(yk): puede tener tres posibles soluciones: no acotada,
factible y ptima, y no factible. En caso de solucin no acotada en
SP(yk): se puede concluir que P: tambin tiene solucin no acotada.
En caso de solucin factible y ptima, SP(yk): proporciona un punto
extremo a la zona de factibilidad dual, TAc, y se genera un corte
en la zona de factibilidad de y por razones de optimalidad, es
decir se eliminan valores de y que no pueden ser ptimos. Este corte
tiene la forma
Q(y) (k)T[b-F(y)]En caso de que no exista solucin factible a
SP(yk): se debe generar el anterior corte, ya que, en un tablero
simplex, asociada a una solucin no factible en el primal, existe
una solucin factible en el dual pero no acotada. Adicionalmente, se
debe incluir un corte por razones de la relacin entre la zona de
factibilidad de y y la zona de factibilidad de x. De acuerdo con el
Lema de Farkas [2] para garantizar la factibilidad de x en SP(yk)
se debe satisfacer
0 vT[b - F(yk)]donde v es un rayo extremo de la regin de
factibilidad de . Al no existir factibilidad, la anterior condicin
no se cumple automticamente y por lo tanto se debe incluir
explcitamente en el modelo coordinador CY:. En cada ciclo del
modelo coordinador se debe resolver
CY: = { Min Z = f(y) + Q(y) |
F0(y) = b0 ;
Q(y) (k)T[b - F(y)] , k=1,ITE ;
0 (vk)T[b - F(y)] , kITN }donde ITE representa todas las
iteraciones realizadas, e ITN el conjunto de las iteraciones en que
no se ha conseguido la factibilidad. Cuando la formulacin del
problema P: garantiza la factibilidad de SP(y) para cualquier valor
de y el segundo tipo de corte se ignora.
La convergencia del mtodo propuesto por Benders se obtiene
cuando dos valores consecutivos yk y yk+1 son iguales, debido a que
el ltimo corte no proporciona informacin adicional. Existen otros
mecanismos para detener el proceso, basados en la calidad de la
solucin que se tiene. La funcin Q(yk) estima el costo asociado a x,
como consecuencia de tomar la decisin yk. Este valor acota al valor
real cTx(yk), donde x(yk) corresponde a la solucin ptima de
SP(yk):
valor estimado = Q(yk) cTx(yk) = valor realla diferencia entre
el valor real y el estimado determina la precisin de la solucin que
se tiene en el ciclo k. Si sta satisface la precisin definida para
la convergencia, se tiene una solucin.
3.TEORA DE DESCOMPOSICIONCuando un problema tiene una estructura
matricial dual-angular es posible el uso de la TB para su solucin.
Se dice que el problema P: tiene estructura dual angular cuando se
puede expresar como:
P: = { Min Z = i=1,S ciTXi + f(Y) |
F0(Y) = b0 ;
AiXi + Fi(Y) = bi , i=1,S ;
XiR+ , i=1,S ; YS }Matricialmente P: tiene la siguiente
estructura:
X1X2.. . ..XSY
A1F1
A2F2
..
. . ..
..
ATFT
F0
El subndice i esta asociado a un rea de influencia relacionada
con sectores industriales, zonas geogrficas, perodos, y/o
realizaciones de un proceso estocstico, Y est asociada al
consumo/produccin de recursos comunes, y/o a la transferencia de
recursos entre reas de accin, y Xi a la operacin dentro del rea de
accin del subndice i.
P: puede resolverse utilizando la TB directamente. Y corresponde
a las variables de coordinacin, y Xi a las variables coordinadas.
Sin embargo, se puede tomar ventaja de la estructura de P: con la
finalidad de disear un algoritmo mas eficaz que el resultante de
aplicar directamente la TB.
Definamos Q(Y) como el valor ptimo de la funcin objetivo
correspondiente al problema sobre las variables Xi para un valor
dado de Y
Q(Y) = {Min i=1,S ciTXi | AiXi = bi - BiY, i=1,S ; XiR+ , i=1,S
}Utilizando directamente la TB el problema coordinador es
CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |
F0(Y) = b0 ; YS ;
Q(Y) i=1,S (ik)T[bi - Fi(Y)] , k=1,ITE ;
0 i=1,S (Vik)T[b - F(Y)] , k=1,ITN }donde i representa las
variables duales del i-simo conjunto de restricciones y Vi a los
rayos extremos de las soluciones no factibles. El subproblema
asociado integra todas las Xi.
Es posible desacoplar el subproblema primario al formular la
funcin Q(Y) como la suma de S funciones Qi(Y) cada una de ellas
correspondiente a un subproblema sobre Xi
Qi(Y) = {Min ciTXi | AiXi = bi - Fi(Y), XiR+ }cumplindose
Q(Y) = i=1,S Qi(Y)
El problema SPi(Y) para evaluar Qi(Y) se formula como
SPi(Y): = {Min Qi(Y) = ciTXi | AiXi = bi - Fi(Y); XiR+ }y su
problema dual
DSPi(Y): = {Max Wi(Y) = iT [bi - Fi(Y)] | iTAiT ciT }Como en el
caso anterior, con base en la teora de la dualidad se sabe que
Qi(Y) iT [bi - Fi(Y)]cumplindose la igualdad solo para el valor
ptimo i*. La zona de factibilidad de i es independiente de Y y la
anterior condicin se debe cumplir para todo Y. El modelo
coordinador CY: se formula como
CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |
F0(Y) = b0 ; YS ;
Q(Y) = i=1,S Qi(Y)
Qi(Y) (ik)T[bi - Fi(Y)] , i=1,S, k=1,ITE(i) ;
0 (Vik)T[bi - Fi(Y)] , i=1,S, k1,ITN(i) }donde ITE(i) define el
conjunto de las iteraciones realizadas para el subproblema i, e
ITN(i) el de las iteraciones en que no se ha conseguido la
factibilidad.
Las ventajas del enfoque de descomposicin son:
la formulacin original no considera la posibilidad de
descomposicin asumiendo un problema integrado para las Xi. Bajo el
esquema de descomposicin en el nivel inferior se resuelve un
subproblema por cada elemento asociado al subndice i.
en el esquema original se genera un solo corte por cada iteracin
que integra las variables duales provenientes de todos los
subproblemas. En la formulacin propuesta se generan S cortes, uno
por cada SPi(Y): y se acoplan por medio de la ecuacin que define a
Q(Y). La diferencia es que un solo corte acta acotando el mximo de
una suma, en tanto que S cortes actan acotando la suma de los
mximos, que es una condicin ms exigente;
al desacoplarse el sistema, la informacin aportada por cada
subproblema es independiente de los dems y no existe una razn que
obligue en una iteracin, entre coordinador y subproblemas, a
resolver todos los subproblemas. Esta caracterstica permite
implementar esquemas de solucin que solo resuelvan aquellos
subproblemas que aportan "ms informacin".
TABLA 3.1. ALGORITMO BASICO DE BENDERS
Paso
Sub-pasoDESCRIPCIN
1a)k = 1
b)En el nivel de coordinacin se resuelve el problema coordinador
CY, sin considerar las restricciones sobre Wi, el cual genera Y1
factible a B0 Y b0
2a)En el nivel de descomposicin, se resuelve el conjunto de
problemas primarios SPi(Yk) los que generan puntos Wik factibles a
AiT Wi Ci
3a)
b)Se regresa al nivel de coordinacin y se introduce el corte
correspondiente a los valores generados para Wik : Qi(Y) (Wik)T [bi
- Bi Y].Para los SPi(Yk) que no tuvieron solucin factible se
introduce el corte correspondiente a los valores generados para
Vik: 0 (Vik)T [bi - Bi Y]
4a)Se resuelve el problema coordinador CY y se genera Yk+1. Si
el valor generado Yk+1 es igual a Yk se ha conseguido la solucin
ptima -> STOP.
b)k = k+1, y se regresa al paso 2 y se continua el proceso.
La figura 3.1 presenta un esquema de la interaccin entre
niveles.
C O O R D I N A C I O N
Coordinador CY(Wik , Vik | i=1,T ; k=1,ITE)
YkW1kV1kYkW2kV2kYkWikVikYkWTkVTk
SP1(Yk )SP2(Yk ). . . SPi(Yk ) . . .SPT(Yk )
D E S C O M P O S I C I O N
FIGURA 3.1. ALGORITMO DE PARTICIN Y DESCOMPOSICIN DE
BENDERS.
4.TEORA MULTINIVELExisten problemas en los cuales se puede
definir jerrquicamente ms de un nivel de coordinacin. Vale decir,
que al interior de un conjunto de variables subordinadas existe una
relacin tal que, unas funcionan como coordinadoras de las dems.
Para facilidad de la presentacin de la teora primero se analizar un
caso de tres niveles y posteriormente se generalizar para S
niveles.
En el desarrollo de esta teora, y en el de las siguientes, solo
se presentan los procedimientos relativos a los cortes que se
generan para limitar la zona de factibilidad de Y por razones de
optimalidad.
4.1.CASO DE TRES NIVELESConsideremos el problema P: el cual
puede ser particionado en tres niveles jerrquicos
P: = { Min cTX + eTZ + f(Y) |
F0(Y) = b0 ;
GZZ + FZ(Y) = bZ ;
AX + GZ +F(Y) = b ;
XR+ ; ZR+ ; YS }donde Y corresponde a las variables de
coordinacin general, y Z y X a las variables coordinadas por Y; a
su vez, Z acta como coordinadora de X, una vez se ha definido el
valor de Y. Si se aplica directamente la TB, el modelo coordinador
sobre Y es
CY: = { Min Z = Q(Y) + f(Y) |
F0(Y) = b0 ; YS ;
Q(Y) (Xk)T(b - F(Y)) + (Zk)T(bZ - FZ(Y)) , K=1,ITE }donde X
corresponde al vector de variables duales del conjunto de
restricciones AX+GZ=b-F(Y), Z al vector de variables duales del
conjunto de restricciones GZZ=bZ-FZ(Y), e ITE al nmero de cortes
que se han generado a partir del nivel inferior.
Q(Y) esta compuesta por la suma de dos funciones QX(Y) que
estima el valor del costo cTX(Y), y QZ(Y) para el costo de
eTZ(Y).
QX(Y) = (X )T(b - F(Y))
QZ(Y) = (Z)T(bZ - FZ(Y))
Consideremos el subproblema coordinado por Y para {X,Z} que
aporta valores factibles para X y Z
SP1(Y) = { Min Q(Y) = cTX + eTZ |
GZZ = bZ FZ(Y) ;
AX + GZ = b - F(Y) ;
XR+ ; ZR+ }
El dual de SP1(Y): es
DSP1(Y) = { Max XT(b - F(Y)) +ZT(bZ - FZ(Y)) |
XTA cT ;
XTG + ZTGX eT }Dado que Z coordina a X es posible resolver
SP1(Y): utilizando nuevamente la TB. Consideremos el problema
coordinador sobre Z condicionado en un valor de Y
CZ(Y): = { Min eTZ + W(Z|Y) |
GZZ = bZ - FZ(Y) ; ZR+ ;
W(Z|Y) = {Min cTX | AX = b - F(Y) - GZ ; XR+} }
La funcin W(Z|Y) corresponde al costo cTX(Z|Y) como funcin de Z
cuando se ha definido previamente Y. El subproblema coordinado para
X es
SP2(Z|Y) = { Min W(Z|Y) = cTX | AX = b - F(Y) - GZ ; XR+ }El
modelo coordinador CZ(Y): formulado con base en la TB es
CZ(Y): = { Min eTZ + W(Z|Y) |
GZZ = bZ - FZ(Y) ; ZR+ ;
W(Z|Y) (n)T(b - F(Y) - GZ) , n=1,ITEX }
donde n representa al n-simo vector de variables duales de las
restricciones AX=b-F(Y)-GZ que ha sido generado por SP2(Z|Y):, e
ITEX representa el total de cortes.El modelo coordinador CZ(Y): y
el problema coordinado SP1(Y): son equivalentes. Para efectos de la
coordinacin en CY: se debe determinar X y Z a partir de la solucin
de CZ(Y):. Para ello consideremos el problema dual de CZ(Y):DCZ(Y):
= { Max [n=1,ITEX (n) n]T(b - F(Y)) + ZT(bZ - FZ(Y)) |
[n=1,ITEX (n) n]TG + ZTGZ eT ;
n=1,ITEX (n) = 1 ;
(n)R+ , n=1,ITEX }donde (n) es una componente del vector y
corresponde a la variable dual del n-simo corte generado por el
subproblema SP2(Z|Y):
T = { (1), (2), ... ,(ITEX-1), (ITEX) }En notacin vectorial
DCZ(Y): se puede expresar como
DCZ(Y): = { Max T(ITEX)T (b - F(Y)) + ZT(bZ - FZ(Y)) |
T(IITEX)TG + ZTGZ eT ;
T 1 = 1 ; R+ }donde k representa la matriz que agrupa todos los
vectores de variables duales que han sido generados hasta la
iteracin k de CZ(Y):.
k = {1, 2, ... , k-1, k }y 1 corresponde a un vector con todas
sus componentes iguales a 1.
Dado que los problemas duales DSP1(Y): y DCZ(Y): son
equivalentes, se puede probar que Xk se calcula con base en una
ponderacin de los vectores de variables duales generados por
SP2(Z|Y):, utilizando como factor de ponderacin la variable dual
asociada en el coordinador CZ(Y):
Xk = n=1,ITEX(k) (n) n = T ITEX(k)donde ITEX(k) define el nmero
de cortes que ha generado SP2(Z|Y): en CZ(Y): hasta la iteracin k
de CZ(Y):.
Si se tiene en cuenta la teora de programacin subrogada
(Greenberg & Pierskalla [5], Velsquez [6]) es posible tomar
ventaja de esta relacin. En trminos generales, la programacin
subrogada prueba que un conjunto de restricciones puede
reemplazarse por una restriccin equivalente, generada a partir de
una combinacin lineal de todas las restricciones, siempre y cuando
los pesos de ponderacin sean colineales con los multiplicadores de
Lagrange de cada una de ellas. Con base en este hecho, los cortes
generados por SP2(Z|Y): pueden reemplazarse por uno equivalente con
base en la subrogacin de ellos, donde los pesos de ponderacin
corresponden a las variables duales asociadas a cada corte. Este
hecho ocurre cada vez que el coordinador CZ(Y): encuentra un punto
ptimo {X(Y), Z(Y)} y retorna un vector de variables duales al
coordinador CY:.
El corte subrogado sintetiza toda la informacin que hasta ese
momento ha sido procesada en CZ(Y):. De esta manera se evita que el
nmero de cortes provenientes del nivel inferior prolifere a medida
que transcurre el proceso de optimizacin, ya que cada vez que se
comienza un ciclo de optimizacin en CZ(Y): todos los cortes
generados son reemplazados por el corte subrogado equivalente que
preserva la memoria del sistema.
La definicin de Xk es general para el clculo en cualquier
coordinador de las variables duales de las restricciones que no
estn consideradas explcitamente en l y que son manejadas en niveles
jerrquicos inferiores. Las variables duales de estas restricciones
corresponden al vector subrogado de variables duales del problema
primario. Para el coordinador de mayor nivel correspondern a las
variables duales de la solucin del problema.
4.2.CASO GENERAL MULTINIVELLa extensin de la teora multinivel,
para casos en los cuales se tienen ms de dos niveles de coordinacin
es directa. Cada coordinador de un nivel inferior, al generar un
corte al coordinador de nivel superior, sintetiza la informacin con
base en la generacin del vector subrogado de variables duales, que
ser utilizado por el coordinador de nivel superior para generar un
corte, y reemplaza en el nivel inferior a todos los cortes que
hasta ese momento se han utilizado para generar la solucin ptima
parcial. Para el caso de S niveles consideremos el problema P:
P: = { Min i=1,S ciTXi + f(Y) |
F0(Y) = b0 ;
AiXi + q=1,i-1 Ei,qXq + Fi(Y) = bi , i=1,S ;
XiR+ , i=1,S ; YS }donde Y corresponde a las variables de
coordinacin de primer nivel, nivel 0, y Xi a las variables de
coordinacin del nivel i. XS corresponde al nivel inferior, o nivel
primario. Matricialmente P: tiene una estructura triangular en
bloques que se presenta a continuacin.
X1X2.. . ..XSY
A1F1
E2,1A2F2
E3,1 E3,2A3.
... . ..
ES-1,1ES-1,2ES-1,3. . .AS-1.
ES,1ES,2ES,3. . .ES,S-1ATFT
F0
El modelo coordinador de nivel 0 es
CY: = { Min Z = Q(Y) + f(Y) |
F0(Y) = b0 ; YS ;
Q(Y) i=1,S (i,1k)T(bi - Fi(Y)) , k=1,ITE }
El modelo coordinador asociado a las variables Xi , para i entre
1 y S-1, es
CXi(Y,X1,X2, ... ,Xi-1): = { Min ciTXi + Wi(Xi|Y,X1,X2, ...
,Xi-1) |
AiXi = bi - q=1,i-1 Ei,qXq - Fi(Y) ; XiR+ ;
Wi(Xi|Y,X1,X2,...,Xi-1) q=i+1,S (q,i+1)T(bq - Eq,iXq-1) ,
k=1,ITEX(i+1) }
donde el q,ik corresponde al vector subrogado de variables
duales en el nivel i asociado a las restricciones del nivel q, y
cumple con
q,ik = n=1,ITEX(i,k) i(n) q,i+1n = (ik)T q,ikdonde i(n) es una
componente del vector i y corresponde a la variable dual del n-simo
corte generado por el subproblema CXi+1(Y,X1,X2, ... ,Xi):
iT = { i(1), i(2), ... , i(ITEX(i+1)-1), i(ITEX(i+1)) }y la
matriz ik agrupa los vectores subrogados de variables duales se han
generado en el nivel i hasta la iteracin k de CXi(Y,X1,X2, ...
,Xi-1):, siendo ITEX(i,k) el total de cortes.
q,ik = {q,i1, q,i2, ... , q,iITEX(i,k)-1, q,iITEX(i,k) }Las
variables duales correspondientes a las restricciones funcionales
del nivel i en el coordinador i se denominaran i,i.
El subproblema primario SPS(Y,X1,X2, ... ,XS-1):SPS(Y,X1,X2, ...
,XS-1): = { Min cSTXS | ASXS = bS - q=1,S-1 ES,qXq - FS(Y) ; XSR+
}equivale a un coordinador de nivel i, evaluado para i igual a S,
sin incluir los cortes y la funcin W(). Dada la anterior
equivalencia la formulacin del algoritmo se realiza en trminos de
solo problemas coordinadores.
En la forma convencional de implementar la teora multinivel,
cada nivel jerrquico retorna al nivel superior solo cuando se ha
obtenido la solucin ptima al problema parametrizado por las
decisiones prefijadas en los niveles superiores, esto implica que
en los niveles inferiores se realizan ciclos enlazados para
resolver los diferentes niveles superiores. La sntesis por medio de
los vectores duales subrogados evitan la explosin de cortes a
medida que transcurre el proceso. Se pueden disear formas
alternativas de implementacin con la finalidad de acelerar el
proceso de solucin. Estas alternativas no se presentan en este
artculo.
En la literatura tcnica este enfoque multinivel tambin se conoce
como "Nested Benders" [7][8]. Cuando el ndice i est relacionado con
el tiempo, el enfoque multinivel corresponde a un enfoque de
programacin dinmica. [2][3].
5.CONSIDERACIONES COMPUTACIONALES.La solucin al problema P con
base en los esquemas de particin y descomposicin propuestos puede
ser optimizada desde el punto de vista computacional si se
establece un mecanismo coordinado de solucin de los subproblemas en
el nivel de descomposicin y si estudia la dinmica del problema
coordinador.
5.1ALGORITMOS DE PROGRAMACION LINEALDefinamos el problema
estndar de programacin lineal (PL) como:
PL: = { Min z =cTX | AX = b ; 0(X(U }Consideremos dos algoritmos
bsicos para la solucin de PL:PSRA(c, A, b, U, X):
Primal-Simplex-Revisado-Acotado: el cual resuelve PL: a partir de
un punto X el cual cumple con ser una solucin bsica factible a
PL:DSRA(c, A, b, U, X): Dual-Simplex-Revisado-Acotado: el cual
resuelve PL: a partir de un punto X el cual es una solucin bsica
que cumple con las condiciones de optimalidad de PL:, y por lo
tanto (=CBB-1 es una solucin bsica factible al dual de PL:
5.2SOLUCIN DE LOS SUB-PROBLEMAS SPi(Yk)Se analizaran dos
casos:
Cuando las matrices Ai son independientes de i, es decir Ai =
A.
Cuando las matrices Ai son diferentes para cada i.
5.2.1CASO Ai = A.
Normalmente este caso esta relacionado como sub-problemas
asociados a modelos multiperodo y/o de optimizacin estocstica.
Consideremos el sub-problema SPi(Yk):
SPi(Yk): = {Min Qi(Yk) = ciTXi | AiXi = bi - BiYk ; 0 ( Xi (Ui
}La solucin al anterior problema puede obtenerse utilizando el
algoritmo PSRA(ci, A, b*i(Yk), Ui ,X) donde X es un punto factible
al conjunto de restricciones A Xi = b*i(Yk). Definamos X*ik como la
solucin ptima a SPi(Yk) y analicemos el proceso a seguir para
obtener X*i+1k, solucin ptima a SPi+1(Yk), a partir de X*ik.
Dado el tipo de estructura del problema tenemos que una solucin
bsica a SPi(Yk) lo es tambin a SPi+1(Yk). Las caractersticas de Xik
se deben analizar desde dos punto de vista: factibilidad y
optimalidad:
Factibilidad: No se puede afirmar que Xik sea factible a
SPi+1(Yk) si se tiene en cuenta que el vector de recursos es
diferente en ambos sub-problemas.
Optimalidad: No se puede afirmar que Xik cumpla con las
condiciones de optimalidad ya que la funcin de costos es diferente
en ambos sub-problemas.
Consideremos un proceso de dos pasos para obtener X*i+1k a
partir de X*ik:
1)Se recobra la factibilidad utilizando el algoritmo
dual-simplex, DSRA, a partir de X*ik, obteniendo un punto Xfi+1k,
el cual es factible a SPi+1(Yk) mas no ptimo. Esto se puede
conseguir definiendo:
Xfi+1k = DSRA[ci, A, b*i+1(Yk), U, X*ik]2)Obtenemos X*i+1k
utilizando el Primal-simplex, PSRA, a partir de Xfi+1k, esto
es:
X*i+1k = PSRA[ci+1, A, b*i+1(Yk), U, Xfi+1k]Para la solucin
secuencial de los problemas SPi(Yk) se utiliza siempre el mismo
tablero solucin ya que la matriz A es comn a todos. Los vectores Xi
tienen la misma dimensin y contienen estructuralmente la misma
informacin para cada uno de los sub-sistemas.
5.2.2.CASO Ai AjNormalmente este caso esta relacionado con
sub-problemas asociados a los diferentes sectores de un
sistema.
En este caso dentro de una misma iteracin en el nivel de
descomposicin no se puede tomar ventaja de la solucin obtenida
SPi(Yk) al solucionar SPj(Yk), para i j. Sin embargo, es posible
utilizar la ultima solucin de una etapa k como punto de partida
para la reoptimizacin en la etapa k+1. La solucin X*ik tiene las
siguientes caractersticas:
Factibilidad: No se puede afirmar que Xik sea factible a
SPi(Yk+1) si se tiene en cuenta que el vector de recursos es
diferente en ambos sub-problemas.
Optimalidad: Se puede afirmar que Xik cumple con las condiciones
de optimalidad ya que la funcin de costos es igual en ambos
sub-problemas.
En este caso es posible conseguir la factibilidad utilizando el
algoritmo dual-simplex, pudindose determinar X*ik+1 a partir de
X*ik:
X*ik+1 = DSRA[ci, A, b*i(Yk+1), Ui, X*ik]5.3.SOLUCIN AL PROBLEMA
COORDINADOR.Se consideran dos casos para el modelo coordinador: el
primero cuando este es del tipo de programacin lineal; y el segundo
cuando es del tipo de programacin mixta o binaria.
5.3.1.CASO 1. MODELO COORDINADOR DE PROGRAMACIN LINEAL. En este
caso todas las variables YR+. Consideremos la solucin a un problema
coordinador lineal CY con base en la generacin de planos cortantes
por cada iteracin del proceso algortmico general. CY puede
escribirse como:
CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |
B0 Y b0; YS ;
Q - i=1,T Qi 0
Qi + [(ik)T Bi] Y (ik)T bi , i=1,T, k=1,ITE(i) ;
[(Vik)T Bi] Y (Vik)T bi , i=1,T, k1,ITN(i) }Matricialmente el
problema CY tiene la siguiente estructura:
QQiY
Unin de
Mximos1-100
Funcionales
de Y00B0b0
Iteracin
No. 101(i1)T Bi(ik)T bi
00(Vi1)T Bi(Vik)T bi
Iteracin
No. 201(i2)T Bi(ik)T bi
00(Vi2)T Bi(Vik)T bi
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
Iteracin
No. ITE01(iITE)T Bi(iITE)T bi
00(ViITE)T Bi(ViITE)T bi
Funcin
Objetivo10cT
El problema coordinador puede ser resuelto directamente en su
forma primal, o alternativamente en su forma dual. Si se considera
la solucin al primal tendramos que en cada iteracin del algoritmo
se incorporaran restricciones, lo que implica que la dimensin de la
solucin bsica cambia de tamao en cada iteracin. Si alternativamente
se soluciona el dual este crecera en variables, y no en
restricciones, mantenindose la dimensin de la solucin bsica
constante. Bajo la anterior consideracin es ms apropiado trabajar
el modelo coordinador en su versin dual. Consideremos el problema
dual DCY: de CY:
DCY: = { Min 0 1 + b0T 2 + kITE(i) [(ik)T bi ]T 3k + kITN(i)
[(Vik)T bi ]T 4k |
1 1 + 0 2 + kITE(i) 0 3k + kITN(i) 0 4k = 1;
-1 1 + 0 2 - kITE(i) 1 3k + kITN(i) 0 4k = 0 ;
0 1 + B0T 2 + kITE(i) [(ik)T Bi ]T 3k + kITN(i) [(Vik)T Bi ]T 4k
c }
Las caractersticas bsicas de este problema son:
La dimensin de 1 es 1, la de 2 la misma de b0, y la de 3k y 4k
es T.
Las variables 3k y 4k estn asociadas a las iteraciones del
algoritmo de Benders y se generan a medida que transcurren
iteraciones. Las variables 3 existirn para todas las iteraciones y
las variables 4 existirn para aquellos casos en que no se encontr
solucin factible al sub-problema correspondiente.
Matricialmente el problema DCY puede verse como:
12314132423ITE4ITE
Q100000 . . .001
Qi-101010 . . .100
Y0B0TBiT Wi1BiT Vi1BiT Wi2BiT Vi2 . . .BiT WiITEBiT ViITEc
0B0TbiT Wi1biT Vi1biT Wi2biT Vi2 . . .biT WiITEbiT ViITE
En la solucin del problema DCY se deben tener en cuenta las
siguientes caractersticas:
El hecho de generar variables, envs de restricciones, hace que
el esquema de trabajo sea del tipo de generacin columnas.
En una iteracin dada para cada subsistema i se genera una
variable del tipo 3, y si la solucin fue no factible,
adicionalmente, se genera una variable del tipo 4.
En una iteracin dada si la solucin actual no es la ptima entrar
a la base una de las nuevas variables. Esta variable puede
substituir en el tablero a la variable que sale de la base, ya que
esta no podra volver a entrar a la base en ninguna iteracin
posterior. Teniendo en cuenta este aspecto se tiene que el numero
de variables consideradas permanece constante, ya que las nuevas
variables reemplazan a las viejas que no estarn en la solucin
ptima.
En cada reoptimizacin se debe utilizar el algoritmo
primal-simplex dado que la anterior solucin k es factible, pero
puede no ser ptima, en caso de que al considerar las nuevas
variables se contine en la optimalidad se habr encontrado la
solucin al problema P. El algoritmo propuesto para la solucin del
problema P, para el caso de Ai = A, se presenta en la Tabla
5.1.
TABLA 5.1 ALGORITMO PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA P. CASO Ai =
A.
PASO
SUB-PASODESCRIPCION
DETERMINACION DE CONDICIONES INICIALES
1a)Se obtiene una solucin bsica factible para los sub-problemas
SPi (Y). Esto se realiza introduciendo variables de holgura y
artificiales a la estructura de los sub-problemas SPi (Y) y
utilizando el primal-simplex PSRA para conseguir la factibilidad
(Fase I del mtodo de las dos fases).
X* = PSRA(cA, A, b1, XA)Donde CA corresponde al vector de costos
para la Fase I y XA una solucin bsica factible al problema
incluyendo variables artificiales. Posteriormente a este paso se
eliminan las variables artificiales del problema.
b)Se obtiene una solucin bsica factible para el problema dual
del coordinador CY. Esto se realiza introduciendo variables de
holgura y artificiales a la estructura del dual DCY y utilizando el
primal-simplex PSRA para conseguir la factibilidad.
0 = PSRA(cA, A0, b, A)Donde CA corresponde al vector de costos
para la Fase I y A una solucin bsica factible al problema
incluyendo variables artificiales. Posteriormente a este paso se
eliminan las variables artificiales del problema. La matriz A0
corresponde a la matriz del problema coordinador con las columnas
correspondientes a 3 y 4 iguales a cero y b corresponde al vector
de recursos del dual del coordinador el cual es constante.
k = 1
Se calcula Yk como
Yk = CB B-1donde CB corresponde al vector de costos bsico del
problema dual del coordinador y B-1 a la inversa de la base
SEGUNDO NIVEL: DESCOMPOSICION
2a)I = 1
b)Realizar para todos los sub-problemas: Si i > T ir al paso
3
c)Recobrar la factibilidad:Xf = DSRA( Ci, A, b*i(Yk), X* )
d)Conseguir la optimalidad:
X* = PSRA( Ci+1, A, b*i(Yk), Xf )
X*ik = X*
Wik =cB B-1
Vik =
e)I = i + 1, e ir al paso 2 b)
PRIMER NIVEL: COORDINACION
3a)Se regresa al primer nivel y se introduce la restriccin
correspondiente a los valores generados para Wik y Vik . - Calculo
de los vectores y matrices correspondientes a la etapa k:
Ck y Ak.
k = PSRA*(Ck, Ak, b, k-1)Se calcula Yk+1 comoYk+1 = CB B-1
b)
c)Si el valor generado para Yk es igual a Yk-1 se ha conseguido
la solucin ptima -> STOP.
k=k+1. Se regresa al paso 2 y se continua el proceso.
Para el caso de Ai Aj el algoritmo detallado difiere del caso
anterior en el manejo del nivel de descomposicin, la Tabla 5.2
presenta este nivel para este caso.
TABLA 5.2 NIVEL DE DESCOMPOSICION.
ALGORITMO PARA LA SOLUCION DEL PROBLEMA P. CASO Ai Aj
PASOSUB-PASODESCRIPCION
SEGUNDO NIVEL: DESCOMPOSICION
2a)i = 1
b)Realizar para todos los sub-problemas:
Si i > T ir al paso 3
c)Recobrar la factibilidad:
Xf = DSRA(Ci, Ai, b*i(Yk), X*)
d)Conseguir la optimalidad:
X* = PSRA(Ci, Ai, b*i(Yk), Xf)
X*ik = X*
Wik = cB B-1
Vik =
e)i = i + 1
ir al paso 2 b)
5.2.2CASO 2. MODELO COORDINADOR DE PROGRAMACION LINEAL BINARIA
MIXTA. En este caso todas las algunas de las variables pertenecen a
R+ y las restantes toman valores binarios: 0 o 1. Consideremos la
solucin al problema coordinador CY con base en la generacin de
planos cortantes por cada iteracin del algoritmo. En este caso las
ventajas del caso anterior para trabajar en la zona dual se pierden
por la estructura no-lineal del problema, debida a las variables
binarias y por lo tanto debe resolverse en su forma primal.
Consideremos la solucin utilizando algoritmos genricos de
programacin entera del tipo de Branch and Bound. Una implementacin
efectiva de la teora de particin y descomposicin implica modificar
la lgica del algoritmo para incluir (embeber) los subproblemas del
nivel de descomposicin dentro del modelo coordinador. La
modificacin fundamental esta relacionada con el hecho de que despus
de enumerar una posible solucin inmediatamente se va al nivel de
descomposicin, sin esperar la convergencia del modelo
coordinador.
En el diseo del algoritmo integral es de fundamental importancia
la coordinacin de las reoptimizaciones, ya que cada vez que se
regresa del nivel de descomposicin y se incluye los cortes
generados la solucin actualmente enumerada es no factible. Si no se
tiene control directo del proceso de enumeracin es posible que se
deba recomenzar la optimizacin del coordinador en cada iteracin lo
que se traduce en la prdida de efectividad del algoritmo
integrado.
Se sugiere que se implemente una solucin utilizando una versin
modificada del algoritmo de Enumeracin Implcita de Balas [9], el
cual produce un alto rendimiento cuando es mejorado por medio de
artificios matemticos como son los cortes duales subrogados [10] y
la teora de Pivot & Complement [11]. La modificacin fundamental
radica en que se debe embeber la teora de particin y de
descomposicin dentro del algoritmo.
El modelo coordinador tiene una estructura igual a la del caso
anterior, o sea:
CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |
B0 Y b0; Y{0,1} ;
Q - i=1,T Qi 0
Qi + [(ik)T Bi] Y (ik)T bi , i=1,T, k=1,ITE(i) ;
[(Vik)T Bi] Y (Vik)T bi , i=1,T, k1,ITN(i) }Matricialmente el
problema CY tiene la estructura presentada en el caso del modelo
coordinador de programacin lineal.
El algoritmo detallado para este caso difiere en los aspectos
relativos al nivel de coordinacin, afectando directamente el paso
1.b) de la determinacin de las condiciones iniciales y el manejo
del primer nivel de coordinacin. La Tabla 4.3 presenta las
diferencias con el caso del modelo coordinador de programacin
lineal. El manejo del nivel de descomposicin se realiza como en el
caso del coordinador de programacin lineal.
TABLA 5.3 ALGORITMO PARA LA SOLUCIN DEL PROBLEMA P. COORDINADOR
BINARIO
PasoSub-PasoDESCRIPCION
DETERMINACION DE CONDICIONES INICIALES
1b)k = 1
Y1 = 0
PRIMER NIVEL: COORDINACION
3a)Se regresa al primer nivel y se introduce la restriccin
correspondiente a los valores generados para Wik y Vik . - Calculo
de los vectores y matrices correspondientes a la etapa k:
b)
c)Si Yk es factible a los cortes introducidos se ha conseguido
la solucin ptima
--> STOP.
Se realiza el proceso del algoritmo hasta enumerar una nueva
solucin factible Yk+1
d)k=k+1. Se regresa al paso 2 y se continua el proceso.
REFERENCIAS
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variables programming problems". Numer. Math 4, 238-252 (1962).
[2]Velsquez, J., "GDDP: Generalized Dual Dynamic Programming".
Submited to Annals of Operations Research (november 2000)
[2A]J. M. Velsquez, P.J. Restrepo, and R. Campo. Dual Dynamic
Programming: A note on Implementation. Water Resources Research Vol
35. No. 7 (July 1999).
[3]Pereira, M.V.F.. "Stochastic Operation Scheduling of Large
Hydroelectric Systems". Electric Power & Energy Systems, Vol
11(3-1989)
[4]Tucker, A.W. Dual Systems of Homogeneus Linear Relations.
Linear Inequalities and Related Systems (Annals of Mathematics
Studies 38), Princeton University Press, Princenton N.J., (1956)
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[5]Greenberg & Pierskalla. "Subrogate Programming".
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[6]Velsquez, J., "P.D.S. Subrogate Primal-Dual Algorithm".
Documento de Trabajo. Postgrado en Aprovechamiento de Recursos
Hidrulicos, Facultad de Minas, Universidad Nacional, Medelln,
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[7]A. Ruszczynski. Parallel decomposition of multistage
stochastic programming problems. Mathematical Programming 58 (1993)
201-228.
[8]J. R. Birge, et al. A parallel implementation of the nested
decomposition algorithm for multistage linear programs.
Mathematical Programming 75 (1996) 327-352.
[11]Balas, E. "An Additive Algorithm For Solving Linear Programs
With Zero-one Variables". ORSA Vol 13(1965- pp517-546)
[10]Parker, R. G. and Rardin. R. L.. "Discrete Optimization".
Academic Press. (1988).
[12]
20
_1108258234.doc
_1108258233.ppt
CONVERGENCIA DEL ALGORITMO DE BENDERS
Iteraciones
k
CT Xk
Q(Yk)
CTX*
RealPrimal
EstimadoDual
