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Series de términos no negativos

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• Una serie se dice de términos no negativossi  n N , a > 0

• Veremos distintos criterios que permitendeterminar si una serie de términos nonegativos converge o no.

n

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La serie armónica:

• Si bien esta serie cumple con la condición

necesaria de convergencia ( lím n an = 0 )veremos que no es convergente.

Sn  ya que:

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Consideremos las siguientes sumas parciales de S 2n

S 22 = S4 = 1+ 1/2+ 1/3 +1/4 > 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4 )

S 22 = S4 > 4/2

S 23

  = S8 = 1+ 1/2+ 1/3 +1/4+….. + 1/8 > 4/2+(1/8 +1/8+1/8 +1/8)

S 23 = S8 > 5/2

S 24 = S16 = 1+...+1/16 > 5/2+(1/16+……+1/16) (8 veces)

S 24 = S16 > 6/2

.

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Observar que

S 22 = S4 > 4/2

S 23 = S8 > 5/2

S2

4

= S16 > 6/2

S 2n > (n+2)/2Las sumas parciales tienden a  cuando n

crece

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Para tener en cuenta

• Si una sucesión es creciente y está acotada,entonces converge.

• La sucesión de sumas parciales de unaserie de términos no negativos escreciente.

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Criterios de comparación

COMPARACIÓN DIRECTA

a) Sean an y  bn dos series de términos no negativos.

Si 0 < an < bn  y  bn converge

entonces

an

  converge

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Demostración:

Sea Tn= a1 +a2 ….+anSn= b1+b2+….+bn 

Como  bn

  converge, Sn

  C cuando n y es creciente.

Es decir, Sn está acotada

Al ser 0 < an < bn    0 < Tn < Sn < C

Luego Tn  está acotada y es creciente, luego converge

entonces   an  converge

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b) Sean an y  bn dos series de términos no negativos.

Si 0 < an < bn  y  an  no converge

entonces

bn  no converge

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Demostración:

Realizamos la demostración por el método del absurdo.

Supongamos que bn

  converge ,entonces

por el inciso a) an  converge y contradice la hipótesis!

Luego bn  no converge

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Nota:

La utilidad de este criterio dependerá de la cantidad deseries conocidas que tengamos para comparar.

Las series que utilizaremos para realizar la comparación

• Series geométricas

• La serie armónica• La serie “p” 

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Ejemplos

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Criterios de comparación 

COMPARACIÓN POR LÍMITE

Sean an y  bn dos series de términos no negativos.

Si límn

 

an  = C y C > 0

bnentonces ambas series son convergentes o ambas son no conv.

•  Si C=0 y  bn  converge entonces

 an  converge

•  Si C= y  bn  no converge entonces  an  no converge 

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La serie “p” 

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Ejemplos

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Ejercicios

1) Utilizando el criterio de comparación por límite y la serie«p» determinar la convergencia o no de las siguientesseries

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