Clase Fact

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FACTORIZACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Qu es Factorizar? Si un nmero est escrito como el producto de otros, entonces est factorizado, y cada nmero en el producto se llama factor del nmero original EJEMPLOS 1) 30 = 2 3 5 2) 12 = 3 4 2, 3 y 5 son factores de 30 3 y 4 son factores de 12

Si una expresin algebraica est escrita como el producto de otras expresiones, entonces est factorizada, y cada expresin en el producto es un factor de la expresin original EJEMPLOS 1) x2 4 = (x + 2)(x 2) 2) x2 + 4x + 4 = ( x + 2)2 y y (x+2) y (x-2) son factores de la expresin x2 4 (x+2) y (x+2) son factores de x2 + 4x + 4

Factorizar una expresin algebraica es expresarla como el producto de 2 o ms expresiones equivalentes a la original

Un polinomio se llama irreductible o primo cuando no se puede expresar en factores, en caso contrario decimos que es reducible o compuesto

EJEMPLOS 1) x + 7 es un polinomio primo, porque no podemos expresarlo como el producto de 2 o ms factores 2) x2 + 4 es un polinomio primo

EJERCICIOS Indica cul de las siguientes expresiones algebraicas est factorizada 1) 3x(x 5)

2) 4ab 3a 3) (a b)2 4) m(m-3) + 5m Cmo verificaras si una factorizacin es correcta?

Verifica las siguientes factorizaciones 1) x2 3x = x(x + 3)

2) x2 9 = (x+3)(x-3)

3) x2 6x + 8 = (x-4)(x-2)

4) Cul de las siguientes alternativas es la mejor factorizacin de la expresin 6x2 24x? a) 2x(3x 12) b) 3(2x2 8x) c) 6x(x 4)

5) El rea de un rectngulo es (x2 + 3x) cm2, y uno de sus lados mide x Cul es la medida del otro lado?

6) Puedes completar las siguientes factorizaciones? a) 3x2 + 6y 9 = 3(x2 + ........ - .......)

b) a2 25 = (a +5)(.... - ....) c) m + 5 =

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO factor comn monomio

Esta regla se usa cuando todos los trminos del polinomio tienen un factor comn. Este factor comn puede ser: Una letra Un coeficiente Un monomio Puede estar explcito o implcito Si es un nmero se saca el mayor nmero que contenga a todos los coeficientes de los trminos (el mximo comn divisor) Si es letra se saca la que tiene menor exponente y se repite en todos los trminos de la expresin a factorizar

EJEMPLOS Factoriza las siguientes expresiones 1) 2x + 2y = 2(x + y) 2) 3m + 6mp mn= m( 3 + 6p n) 3) 10b 30ab = 4) 4ax + 8xy = 5) 5xy2 + 10xy4 30xy5 = 6) 10a2 5a + 15a3 = 7) 18m2x2y2 + 36my2 54m2x2y2 =

EJERCICIOS Encuentra el factor comn entre los trminos de cada polinomio 1) 6ab + 5ac + 3ax 2) 3a + 9a3 + 6a2 3) a2x2 + a5x4 + a2x3 4) 7a2 + 9b 8c4

5) Al factorizar el polinomio 2a4b3 4a5b4. Guillermo obtiene 2ab(a3b2 2a4b3) y Daniela obtiene 2a4b3 (1 2ab) Qu factorizacin es mejor? por qu?

Factoriza las siguientes expresiones 1) a2 + ab = 2) b + b2 = 3) ab bc = 4) 5m2 + 15m3 = 5) 2a2x + 60x2 = 6) 15a - 27b + 9c =

7) 14x2y2 28x3 + 56x4 =

Factoriza las siguientes expresiones numricas 1) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 2) 22 + 24 + 26 + 28 + 210 =

factor comn polinomio

Esta regla se usa cuando todos los trminos del polinomio tienen un factor polinomio igual o comn EJEMPLOS Factorizar las siguientes expresiones 1) 3(a + b) + x(a + b) = (a + b)(3 + x) 2) 2x(a 1) y(a 1) = (a 1)(2x y) 3) m(x + 2) + x + 2 = (x+2) (m + 1)

4) a(x +1) - x 1 = a(x+1) (x +1) = (x+1)(a-1) 5) 2x(x+y+z) x y z = 6) (x-a)(y+2) + b(y+2) = 7) (x+2)(x-1) (x-1)(x-3) = 8) (4a-3)x (5x+2)(4a-3) 2(4a-3) =

EJERCICIOS Completa cada una de las siguientes factorizaciones 1) m(a+1) n(a+1) = (a+1)( 2) (x+y)(n+1) 3(n+1) = (n+1)( 3) x2 + 1 b(x2 + 1) = (x2 + 1)( 4) x(a+2) a- 2 + 3(a+2) = (a+2)( Factoriza las siguientes expresiones 1) x(4x-1) 4(4x-1) = 2) 4n(m2 + p + 1) +3m(p 1 + m2) = 3) (a2 + 1)(x-y) + 2(x-y) = 4) 4x2(x-3)3 6x(x-3)2 + 4(x-3) = 5) (a+b+1)(x2+1) x2 1 = ) ) ) )

RECORDEMOS el concepto de cuadrado perfecto, pues, lo usaremos en las siguientes factorizaciones Un cuadrado perfecto es un nmero o expresin que es igual al producto de dos factores iguales

EJEMPLOS de cuadrados perfectos 1) 16 , pues 16 = 44 2) 4x4, pues 4x4 = 2x22x2

FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Para factorizar binomios que sean una diferencia de cuadrados, usamos el producto notable suma por diferencia (a + b)( a - b) = a2 b2

diferencia de cuadrados perfectos

La diferencia de cuadrados perfectos, se factoriza como el producto notable suma por diferencia X2 y2 = (x+y)(x-y)

EJEMPLOS Factoriza las siguientes expresiones

1) 1 y2 = (1 + y)(1 y) 12 y2

2) x2 49 = (x + 7)(x 7) x2 (7)2

3) 225a6 81b4 = (15a3 + 9b2)(15a3 9b2) (15a3)2 (9b2)2

4) (x + y)2 z2 = [(x+y) + z][(x+y) - z]

EJERCICIOS Marca con una cruz los binomios que se pueden factorizar como suma por diferencia 1) x2 25 3) m2 16 5) 2) a2 7 4) ab2 16 6) m18 -

1 x 8 y 12 100

4 9

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados 1) x2 y2 = 2) 9 r2 =

3) a10 121b22 = 4) 4x2n -

36 = 25

5) (x + 4)2 - 64 =

6) El rea de un rectngulo es (x2 16) cm2. Si uno de sus lados mide x + 4 Cunto mide el otro lado?

Factoriza completamente las siguientes expresiones 1) 2x4y 2x2y3 =

2) 3m5 12mn7 =

3) x2 4a2 + ax2 2a2x =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADADO PERFECTO

Los trinomios cuadrados perfectos corresponden al desarrollo del cuadrado de un binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 trinomio cuadrado perfecto (a b)2 = a2 2ab + b2 trinomio cuadrado perfecto Cmo reconocemos un trinomio cuadrado perfecto? El trinomio debe estar ordenado ( Los trminos del trinomio estn ordenados en forma ascendente o descendente segn el exponente de una variable) El primer y tercer trminos son cuadrados perfectos (ambos positivos) El segundo trmino es el doble producto de las bases de estos cuadrados perfectos

Por lo tanto: Todo trinomio cuadrado perfecto, se factoriza como el cuadrado de un binomio a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2

IMPORTANTE Antes de factorizar un trinomio, es conveniente comprobar qu tipo de trinomio es

EJEMPLOS

Factoriza las siguientes expresiones

1) x2 14x + 49 x2 72 4 Son cuadrados perfectos El 2 trmino es igual al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos? 2 x7 = 14x S Luego el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como un cuadrado de binomio, en este caso del binomio ( x 7)2 o (7 x)2 Observa que el signo que separa los trminos del binomio es el signo del segundo trmino del T.C.P Luego x2 14x + 49 = ( x 7)2

2) x2 + 18x + 36 x2 62 4 Son cuadrados perfectos El 2 trmino es igual al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos? 2 x6 = 12x . Pero como 12x 18x . NO podemos factorizar el trinomio dado como un cuadrado de binomio

3) El trinomio 9x2 + 30xy + 25y2 Se puede factorizar como el cuadrado de un binomio? Comprubalo

4) x2 14x 49 El trinomio dado No es un trinomio cuadrado perfecto, porque el tercer trmino es negativo. Por lo tanto No se factoriza como el cuadrado de binomio

EJERCICIOS Marca con una cruz los trinomios cuadrados perfectos 1) x2 + 3x + 8 2) 25x2 30x 9 3) 25x2 30x + 9 4) x2 2x - 1 5) 4x2 + 8x + 16 6) 1 2a3 + a6

Factoriza los siguientes trinomios 1) a2 2a + 1 = 2) 9 6x + x2 = 3) 16 + 40x2 + 25x4 = 4) 1 + 402 14a = 5) x2y2 + 6ayx + 9a2 = 6)

4 2 16 a + 16 + a = 9 3

7) 9m2 + 16n10 + 24mn5 =

8) El rea de un cuadrado es x2y2 + 6axy + 9a2 Qu expresin algebraica corresponde a la medida de su lado?

Factoriza completamente las siguientes expresiones 1) 2x 12x2 + 18x3 =

2) x2 + 2x + 1 4z2 =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + px + qEste trinomio corresponde al desarrollo del producto de dos binomios con un trmino en comn (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab trinomio de la forma x2 + px + q donde p = a + b y q=ab

Luego Un trinomio de la forma x2 + px + q, se puede factorizar como el producto de dos binomios con un trmino en comn x2 + px + q = ( x + a) (x +b) a y b son tales que sumados den p, y multiplicados den q

EJEMPLOS Factoriza las siguientes expresiones 1) a2 5a - 24 El trmino en comn lo leemos en el segundo trmino del trinomio es a (a )(a ) El signo del primer binomio es igual al del segundo trmino del trinomio , y el signo del segundo binomio se obtiene multiplicando los dos signos del trinomio (a - )(a + ) Buscamos dos nmeros que multiplicados den -24 y restados den 5 Esos nmeros son -3 y 8, pues 3-8= - 24 y 3 8 = -5. El mayor de los nmeros (en valor absoluto) encontrados se ubica siempre en el primer binomio (a 8)(a + 3) Luego a2 5a - 24 = (a 8)(a + 3)

2) a2 10a + 21 El trmino en comn lo leemos en el segundo trmino del trinomio es a (a )(a ) El signo del primer binomio es igual al del segundo trmino del trinomio , y el signo del segundo binomio se obtiene multiplicando los dos signos del trinomio (a - )(a - ) Buscamos dos nmeros que multiplicados den 21 y sumados den 10 Esos nmeros son -3 y -7, pues -3-7= 21 y -3 7 = -10. El mayor de los nmeros (en valor absoluto) encontrados se ubica siempre en el primer binomio (a 7)(a - 3) Luego a2 10a + 21 = (a 7)(a - 3)

3) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 4) x6 7x3 + 12 = (x3 3)(x3 4) Leemos el trmino en comn en el 2 trmino de la expresin dada, y buscamos dos nmeros que multiplicados den 12 y sumados 7 5) a2 + a 20 = (a + 5 )(a - 4 ) Buscamos dos nmeros que multiplicados den 20 y sumados den 1, esos nmeros son 5 y4

IMPORTANTE Observa que el coeficiente de x2 en este tipo de trinomio es siempre 1

EJERCICIOS Completa las siguientes factorizaciones 1) x2 5x 14 = (x - 7)(x ..... 2) 2) x2 - 8x + 12 = (x 2)(x ..........) 3) b2 8b + 16 = (b 4)( b .........)

Factoriza las siguientes expresiones 4