Clase Magistral 6 2012

Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas

Hemos visto que había una relación aproximadamente lineal entre

población y escaños. Buscamos una medida de la fuerza de la relación

3.2: Medidas numéricas

0

20

40

60

80

0 2E+06 4E+06 6E+06 8E+06 1E+07

Población

Escañ

os


• La covarianza mide la fuerza de la relación lineal entre dos

variables

• La covarianza muestral puede calcularse mediante:

– Una alta covarianza no implica efecto causal

La covarianza


Una fórmula alternativa para la covarianza

Si tenemos que calcular la covarianza a mano, esta

fórmula es más fácil.


Interpretación de la covarianza

La covarianza entre dos variables:

Cov(x,y) > 0: X e Y tienden a moverse en la misma

dirección

Cov(x,y) < 0: X e Y tienden a moverse en direcciones

opuestas.

Cov(x,y) = 0: X e Y no están relacionadas linealmente.


Inconveniente de la covarianza

En nuestro ejemplo, la covarianza es aproximadamente

36043027,5. ¿Indica una relación fuerte o no?

¿Cuáles son las unidades de la covarianza?

¿Cómo podemos corregir el problema?


La correlación

-1<= r <= 1

r = 1: hay una relación positiva perfecta

r = -1: hay una relación lineal negativa perfecta

r = 0: no existe relación lineal, datos incorreladas

En el ejemplo, r=0,967: una relación fuerte y

positiva


Y

X

Y

X

Y

X

Y

X X

r = -1 r = -.6 r = 0

r = +.3 r = +1

Y

X r = 0


Cálculo de la covarianza y correlación mediante la tabla de

frecuencias conjuntas

Cantidad de trabajo hecho

1 2 3 4 5 Total

Satisfacción

con el

profesor

1 2 2 0 1 2 7

2 5 3 1 2 3 14

3 2 2 8 1 3 16

4 1 2 4 6 2 15

5 0 1 4 7 8 20

Total 10 10 17 17 18 72

Los siguientes datos son resultados de una encuesta

de alumnos de políticas sobre la asignatura de

estadística.


Correlación y relaciones no lineales

En ambos gráficos se ha usado la relación y=x2. ¡Una fuerte relación no lineal!


Correlación y causalidad I


Correlación y causalidad II

Homero: No hay siquiera un oso a la vista. ¡La "patrulla anti-osos" funciona de

maravilla!

Lisa: Eso es un razonamiento falaz, Papá.

Homero [sin comprender]: Gracias, hija.

Lisa: Usando tu lógica, yo puedo afirmar que esta roca aleja a los tigres.

Homero: Hmmm, ¿y cómo funciona?

Lisa: No funciona. (pausa) ¡Es sólo una roca estúpida!

Homero: Ajá.

Lisa: Pero no veo ningún tigre alrededor, ¿y tú?

Homero: ( . . . pausa . . . ) Lisa, quiero comprar tu roca.


La recta de regresión

(x1, y1), (x2, y2),...,(xN, yN) : N pares de puntos observados

Hemos de encontrar una recta: y = α + β x que se ajuste “lo mejor

posible” a nuestros puntos:


• Queremos predecir la variable y en función de la variable x.

• Si usamos una recta y = + x, entonces los residuos o errores de

predicción son ri = yi - - xi para i = 1,…,N.

• Intentamos minimizar el error.

• Usamos el criterio de mínimos cuadrados: elegimos la recta que

minimiza ri2

• La recta de mínimos cuadrados es y = a + bx

donde b es la pendiente de la recta y a es el intercepto:

¿Cómo ajustar la recta?


Demostración


0

20

40

60

80

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000

Población

Escañ

os

Escaños y población:

La recta de regresión ajustada


Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple 0,96372808

Coeficiente de determinación R^2 0,928771813

R^2 ajustado 0,92458192

Error típico 4,544275594

Observaciones 19

Coeficientes

Intercepción 2,692069443

Variable X 1 6,68437E-06

La recta ajustada es y = 2,69+0,0000069x

Output de Excel

¿Cómo

predecimos el

número de

escaños en una

comunidad de

1000000 de

personas?

¿Y en una

comunidad sin

gente? ¿Tiene

sentido la

predicción?


Análisis de los residuos I: la media y varianza residual

Se puede demostrar que la media de los residuos es 0.


y se puede calcular la varianza residual

¿Cómo interpretamos esta expresión?


Curva de regresión ajustada

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2E+06 4E+06 6E+06 8E+06 1E+07

X

Y

Y

Pronóstico para Y

y


Análisis de los residuos II: gráficos

Si la recta de regresión se ajusta bien, los residuos deben aparecer como

ruido aleatorio sin relación ninguna con x o y.

Gráfico de los residuos frente a x

-10

-5

0

5

10

15

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000

X

Re

sid

uo

s

¿Parece bien

el ajuste?


Ejercicio (Test 2: 2008-2009)

Se ha realizado una encuesta a 474 empleados de una compañía multinacional. Entre

los datos recogidos consta el salario anual (en miles) y los años de educación. Al

realizar el diagrama de dispersión asumiendo que el salario depende de los años de

educación se observa la siguiente nube de puntos:

Diagrama de dispersión

0.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

140.000

160.000

0 5 10 15 20 25

Años de educación

Sa

lari

o a

nu

al (e

n m

ile

s)

Señala cual de las siguientes opciones

es la correcta:

a) La covarianza debe ser positiva y la

correlación negativa.

b) La covarianza debe ser positiva y la

correlación positiva.

c) La covarianza debe ser negativa y la

correlación negativa.

d) La covarianza debe ser negativa y la

correlación positiva.



Se ha realizado una encuesta a 474 empleados de una compañía multinacional. Entre

los datos recogidos consta el salario anual (en miles) y los años de educación.

Suponiendo Y=Salario, X=Años de educación

Señala cual es el valor correcto de la correlación:

a) -0,53

b) 0,066

c) -0,662

d) 0,662

Varianza X = 8,305 Varianza Y = 290,963 Covarianza = 32,471



En una oficina se desea conocer el grado de satisfacción de los empleados. Para ello

se realiza un cuestionario de satisfacción a 10 de ellos y se les pide que valoren, en una

escala continúa de 0 a 10, el ambiente en su puesto de trabajo. El valor 0 identifica un

pésimo ambiente de trabajo y el 10 identifica un inmejorable ambiente de trabajo.

Además se recoge la edad de los empleados.

Asumiendo que la valoración depende de la edad se ha estimado la recta de regresión

obteniéndose:

Ahora se desearía conocer cual es la valoración media para un nuevo trabajador cuya

edad es 43 años. Di cual de las siguientes opciones es la correcta:

a) 2.19 puntos

b) 2.39 puntos

c) 4.69 puntos

d) -2.05 puntos

ii x087.013.6y



Los siguientes gráficos muestran los niveles de satisfacción con el líder de la oposición

(lado izquierdo) y el primer ministro (lado derecho) como función del voto preferido.

¿Cuál de las siguientes frases es la correcta?

a) En ambos casos, la correlación entre satisfacción y voto preferido es negativa.

b) La correlación con el voto preferido es más alta para el líder de la oposición.

c) La correlación es más alta en el caso del primer ministro.

d) El pendiente es igual para ambas rectas de regresión.



El diagrama muestra el nivel de la deuda Americana como función del precio de oro.

La fórmula para la recta de regresión es:

PRECIO DE ORO (nominal) = -522,86 +

(0,1334 * deuda en $ billones)

Si la deuda Americana es de $19000 billones,

calcular la predicción para el precio de oro.

a) 2011,74

b) 3057,46

c) 2933,14

d) -520,3254


Ejercicio (Examen: 2010)

El siguiente gráfico muestra la relación ente el riesgo argentino (LPRI) y el PBI (LPBI).

¿Señala cuál de los siguientes es lo correcto?

a) La línea de regresión es LPRA = 3,15+2,5

LPBI.

b) La correlación entre LPRA y LPBI es igual a

cero.

c) La correlación entre LPRA y LPBI es

negativa.

d) Ninguno de los anteriores.


Ejercicio (Examen: 2009)

El gráfico siguiente muestra los niveles de conocimiento de Griego y de Latín para 10

jueces. Llamamos Y al nivel de conocimiento de Griego y X al nivel de conocimiento de

Latín. Si utilizamos la nota de Latín para determinar la nota en Griego mediante una

recta de regresión, observando el diagrama de dispersión, ¿cuál de las opciones

mostradas abajo podría ser la recta correcta?

a) Y=1.97+0.64X

b) Y=1.97-0.64X

c) Y=-1.97+0.64X

d) Y=-1.97-0.64X

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