Ing. Glenda Blanc, MAEJunio 23, 2008

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente,

a.Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b.Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c.Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel Fiesta Inn?

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición

En un concurso de televisión se le ofrece al concursante la posibilidad de elegir una entre 3 puertas (A;B;C) para quedarse lo que hay tras ella. El presentador le informa de que sólo una de ellas tiene un buen regalo (un carro Santa Fe), mientras que las otras dos están vacías.

El concursante opta por una y tras decirlo, el presentador (que conoce exactamente dónde está el regalo) le abre una de las otras dos puertas no elegidas por el concursante donde no está el regalo.

Luego le ofrece al concursante la opción de cambiar su decisión inicial eligiendo la otra puerta aún no abierta. ¿Qué debe hacer el concursante? Es decir, ¿debe el concursante aceptar la nueva posibilidad cambiando la puerta que eligió originalmente, o no?

Teorema de Bayes: Definición SoluciónEn el momento original donde el concursante debe tomar su primeradecisión, es evidente que la probabilidad de que escoja la puerta tras la quese oculta el regalo es igual a 1/3.

Supuesto que opta por una, se encuentra con que el presentador le ofrece una nueva información: le reduce las tres posibilidades iniciales a dos.

Esto cambia por tanto las probabilidades, ya que la puerta abierta por el presentador pasa a tener probabilidad 0, mientras que las otras dos se reparten el 1/3 que esa puerta pierde .

Pero, ¿de qué manera? Desde luego, no equitativamente, puesto que la puertaelegida por el concursante sigue teniendo probabilidad 1/3 y la otra queno abrió el presentador pasa a tener probabilidad 2/3.

Por tanto, el concursante sí debería cambiar su elección original, ya quecon ello duplica la probabilidad de obtener el regalo.

Obviamente, este consejo se basa únicamente en consideraciones matemáticas y no tiene presente de ninguna forma la afición o aversión al riesgo del concursante.

Teorema de Bayes: Definición

Ejercicio:Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a.Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b.Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Teorema de Bayes: Definición

Teorema de Bayes: Definición ejemplo clásico del uso del teorema de Bayes es un problema de oro y plata.

Hay tres bolsas que tienen, cada una dos monedas. Las de la primera son de oro, las de la segunda son de plata y las de la tercera son una de plata y otra de oro. Se escoje una bolsa al azar y de ella una moneda también al azar. Si la moneda es de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la otra moneda en la bolsa sea de oro también?

Primero notemos que la segunda bolsa no pudo haber sido elegida (porque no tiene monedas de oro), sólo pudo haber sido seleccionada la primera o la tercera. Si la bolsa elegida hubiese sido la tercera, el evento cuya probabilidad nos interesa no se realiza. De modo que el evento que nos interesa es equivalente a que se haya elegido la primera bolsa. Una vez establecido lo anterior, apliquemos el teorema de Bayes para calcular: P(1ª|Au) = [P(1ª)P(Au|1ª)] / [P(1ª)P(Au|1ª) + P(2ª)P(Au|2ª) + P(3ª)P(Au|3ª)]

Las probabilidades que entran al lado derecho de la igualdad las sacamos, inmediatamente, de las condiciones del problema y después de hacer cuentas tenemos:

P(1ª|Au) = 2 / 3

Teorema de Bayes: Definición Ejercicio :

Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?Solución:Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: