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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

Modelado de Sistemas Din�amicos

�BOND GRAPH�

Jos�e Ces�areo Raim�undez �Alvarez

octubre de ����

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

� Introducci�on

� Tetraedro de Estado

� Elementos de Un puerto

� Elementos Resistivos

� Elementos Capacitivos

� Elementos Inductivos

� Fuentes

� Elementos de Dos Puertos

� Transformadores

� Giradores

� Elementos de Uni�on

� Causalidad

� Funciones de Transferencia

� Discretizaci�on de Sistemas Continuos

� Ejemplo de Aplicaci�on

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

Introducci�on

El formalismo del BOND GRAPH permite el modelado de sistemas de ingenier��a

en diversos campos

� Mec�anica

� Electricidad

� Hidr�aulica

� Termolog��a

� Etc

El primer paso consiste en fraccionar el sistema en sub sistemas teniendo por

base la transferencia de potencia entre ellos La transferencia se describe

gr�a�camente por los puertos

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

Partici�on

S

S1S2

S3

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO

Sub Partici�on

C

RI

e f

S3

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

Puertos de Energ��a

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

Algunos Tipos de Interfases

Dominio Esfuerzo e�t� Flujo f�t�

MEC�ANICA �ROT� torque � �t� rotaci�on ��t�

MEC�ANICA �LIN� fuerza F �t� velocidad V �t�

EL�ECTRICA voltaje e�t� corriente i�t�

HIDR�AULICA presi�on P �t� caudal Q�t�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

NOMENCLATURA

Variables Dominio Unidades

MEC�ANICA �LIN�

Esfuerzo e Fuerza F �N�

Flujo f Velocidad V �m�s�

Momento p Momento P �N�s�

Desplazamiento q Desplazamiento X �m�

Potencia P F �t�V �t� �N�m�s�

Energ��a E

RXFdX�

RPV dP �N�m�

MEC�ANICA �ROT�

Esfuerzo e Torque � �N�m�

Flujo f Vel Angular � �rad�s�

Momento p Momento Angular p �N�m�s�

Desplazamiento q �Angulo � �rad�

Potencia P ��t���t� �N�m�s�

Energ��a E

R��d��

Rp�dp �N�m�

EL�ECTRICA

Esfuerzo e Voltaje e �V� �N�m�C�

Flujo f corriente i �A� �C�s�

Momento p Flujo Concatenado � �V�s�

Desplazamiento q Carga q �C� �A�s�

Potencia P e�t�i�t� �V�A��W��N�m�s�

Energ��a E

Rqedq�

R�id� �V�A�s� �W�s� �N�m�

HIDR�AULICA

Esfuerzo e Presi�on P �N�m��

Flujo f Caudal Q �m��s�

Momento p Momento pP �N�s�m��

Desplazamiento q Volumen V �m��

Potencia P P �t�Q�t� �N�m�s�

Energ��a E

RVPdV �

RpP

QdpP �N�m�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

Motor de Corriente Continua

ia

ef

if

ea

if

ef

ia

ea

τ

ωωτ

MOTOR

MOTOR MOTORτ τ

ω ω iaia

eae

a

if

ifef

ef

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Tetraedro de Estado

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Resistivos ��R�

El elemento resistencia t��pico es el elemento en el que las variables esfuerzo��ujo

est�an relacionadas entre s�� a trav�es de una funci�on est�atica

ER �

Z t

e�t�f�t�dt

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Resistencia ���puerto�

Variables General Lineal

Esfuerzo e e � ��f� e � Rf

Flujo f f � ����e� f � Ge � e�R

MEC�ANICA �TRANS�

fuerza F F � ��V � F � bV

velocidad V V � ����F �

MEC�ANICA �ROT�

torque � � � ���� � � c�

rotaci�on � � � ������

EL�ECTRICA

tensi�on e e � ��i� e � Ri

corriente i i � ����e� i � Ge

HIDR�AULICA

presi�on P P � ��Q� P � RQ

caudal Q Q � ����P �

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Resistivos

R

F F

Q Q

P1 P

2

e

f

Re

iR

F

VR

P

Q

f

e

X

(V = dX/dt) (P = P1-P

2)

e

i

e = R(f)

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Capacitivos ���C�

Los elementos capacitivos se caracterizan por tener relacionadas las variables

esfuerzo��ujo a trav�es de una relaci�on del tipo

e � e�q�

donde q �Rfdt Conforme puede observarse� la relaci�on que une ahora las

variables esfuerzo��ujo� no es m�as est�atica y s�� din�amica

EC �

Z t

e�t�f�t�dt �

Z q

q

����q�dq � E�q�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Capacitancia ���puerto�

Variables General Lineal

Desplazamiento q q � ��e� q � Ce

Esfuerzo e e � ����q� e � q�C

MEC�ANICA �TRANS�

desplazamiento X X � ��F � X � CF

fuerza F F � ����X� F � kX

MEC�ANICA �ROT�

�angulo � � � ���� � � C�

torque � � � ������ � � k�

EL�ECTRICA

carga q q � ��e� q � Ce

tensi�on e e � ����q� e � q�C

HIDR�AULICA

volumen V V � ��P � V � CP

presi�on P P � ����V � P � P�V

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Capacitivos

C

F F

e

f

Ce

iC

F

VC

P

Q

q

e

X

(V = dX/dt)

e

i

q = C(e)

P

Q

g

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Inductivos �inercias����I�

Los elementos inductivos se caracterizan por tener relacionadas las variables

esfuerzo��ujo a trav�es de una relaci�on del tipo

f � f�p�

donde dp � edt Conforme puede observarse� la relaci�on que une ahora las

variables esfuerzo��ujo� tambi�en es din�amica

EI �

Z t

e�t�f�t�dt �

Z p

p

����p�dp � E�p�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Inductancia ���puerto�

Variables General Lineal

Momento p p � ��f� p � If

Flujo f f � ����p� f � p�I

MEC�ANICA �TRANS�

momento lin� p p � ��V � p � mV

velocidad F V � ����p� V � p�m

MEC�ANICA �ROT�

momento ang� p p � ���� p � J�

torque � � � ����p� � � p�J

EL�ECTRICA

�ujo conc� � � � ��i� � � Li

tensi�on e i � ������ i � ��L

HIDR�AULICA

momentum p p � ��Q� p � IQ

caudal Q Q � ����p� Q � p�I

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Elementos Inerciales

I

F

e

f

Ie

iI

F

VC

P

Q

p

f

V

e

i

p = I(f)

Q Q

P1 P

2

(P = P1- P

2)

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Fuentes S��

Los elementos considerados como elementos fuente son modelos de dispositivos

que imprimen potencia� ya sea a esfuerzo constante Se�� o a �ujo constante

Sf �� Una pila en electricidad podr��a� en su representaci�on simpli�cada con la

resistencia interna nula� ser representada por un elemento Se�� donde el

esfuerzo est�a asociado a la tensi�on constante y lo variable es el �ujo o corriente

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Fuentes

Se = E

i

R

Se = h

P

PE

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Transformador ���TR���

El transformador se caracteriza por poseer las relaciones constitutivas que siguen

e��t� � ke��t�

kf��t� � f��t� ���

���TR��TR�� � ��TR���

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Transformadores

TFe1

f1

e1

i1

e2

f2

F1 F2

V1 V

2

e2

i2

F

V

P

Q

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Girador ���GI ���

El girador se caracteriza por las relaciones constitutivas

e��t� � rf��t�

rf��t� � e��t� ���

���GI���GI��� �� ��GI���GI����

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Giradores

GIe1

f1

e2

f2

ω

Te

i

T = Kt i

e = Kt ω

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Uniones tipo � � esfuerzo e com�un�

Considerando una uni�on tipo ��puertos se puede representar como

j

�� ���o alternativamente

j

�� e��

Aqu�� valen las relaciones

e��t� � e��t�

e��t� � e��t�

e��t� � e��t�

f��t� � f��t� � f��t� � � ���

lo que implica en

e�f� � e�f� � e�f� � �

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Uniones de esfuerzo com�un

e

PQ1

Q3

Q2

e

e e

i1

i3

i2

1 2

3

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Uniones tipo � � �ujo f com�un�

Considerando una uni�on tipo ��puertos se puede representar como

j

�� ���o alternativamente

j

�� f ��

Aqu�� valen las relaciones

f��t� � f��t�

f��t� � f��t�

f��t� � f��t�

e��t� � e��t� � e��t� � � ���

lo que implica en

e�f� � e�f� � e�f� � �

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Uniones de �ujo com�un

f

e2

e1

e3

i i

1 2

3

i

F2

F3

F1

V

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Estructura General

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Causalidad

La marca de causalidad se sit�ua en la extremidad del puerto que recibe el

esfuerzo �respetada la formulaci�on integral�

SISTEMA A

SISTEMA A

SISTEMA B

SISTEMA B

e

f

e

fA

A

B

B

e

e

f

f

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Causalidades T��picas

Capacitancias

Ce

��jf

o tambi�ene

j��f

C �e�t� � C��

Z t

f�� �d� �

Indutancias

Ie

j��f

o tambi�ene

��jf

I �f�t� � L

Z t

e�� �d� �

Resistencias

Re

��jf

o tambi�ene

j��f

R

Re

j��f

o tambi�ene

��jf

R

Fuentes �Esfuerzo�

Se

��jf

o tambi�ene

j��f

S

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Fuentes �Flujo�

Se

j��f

o tambi�ene

��jf

S

Transformadores

��jTR��j o bien j��TR j��

Giradores

��jGI j�� o bien j��GI ��j

Uniones tipo � � esfuerzo e com�un�

��j e��j

j�� e��j

j�� e j��

Uniones tipo � � �ujo f com�un�

j�� f j��

��j f j��

��j f ��j

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Funciones de Transferencia

Para sistemas lineales invariantes en el tiempo e�� f� y e�� f� son variables de

salida y entrada siendo F una transformaci�on lineal Si ahora

�e�

f�

�� F

��e�

f�

���e��f ��

�� F

��e��f ��

��

principio de superposici�on

�e� � e��f� � f ��

�� F

��e� � e��f� � f ��

��

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Uniones de Flujo com�un

R

C

L

e1

e1

e1

e2

e2

e2

f2

f2

f2

f1

f1

f1

f

f

f

L

C

R

Figure � Elementos El�ectricos Lineales con �ujo com�un

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Resistivos

e� � e� � Rf�

f� � f�

�e�

f�

��

�� R

� �

��e�

f�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Capacitivos

e� � e� � q��C

q� �

Z t

f�dt

f� � f�

�e�

f�

��

��

R t�����C

� �

��e�

f�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Elementos Inerciales

p� � p� � Lf�

pi �

Zeidt

f� � f�

�e�

f�

��

�� Ld���

dt

� �

��e�

f�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Transformada de Laplace

�E��s�

F��s�

��

�� G�s�

� �

��E��s�

F��s�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Uniones de Esfuerzo com�un

R

C

L

e1

e1

e1

e2

e2

e2

f2

f2

f2

f1

f1

f1

e

e

e

L

C

R

Figure � Elementos El�ectricos Lineales con Esfuerzo com�un

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Resistivos

e� � e�

f� � f� � e��R

�e�

f�

��

�� �

R�� �

��e�

f�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Capacitivos

e� � e�

q� � q� � Ce�

qi �

Z t

fidt

�e�

f�

��

�� �

C d���dt

��e�

f�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Elementos Inerciales

e� � e�

f� � f� � L�� deidt

�e�

f�

��

�� �

L��R t����dt �

��e�

f�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Transformada de Laplace

�E��s�

F��s�

��

�� �

Y �s� �

��E��s�

F��s�

donde Y �s� � G���s�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Propiedades

�k

�� Gk�s�

� �

��

��

PkGk�s�

� �

�k

�� �

Yk�s� �

��

�� �P

k Yk�s� �

matrices del mismo tipo conmutan

�� G��s�

� �

��� G��s�

� �

��

�� G��s�

� �

��� G��s�

� �

matrices de tipo distinto no conmutan

�� G�s�

� �

��� �

Y �s� �

��

�� �G�s�Y �s� G�s�

Y �s� �

��

� �

Y �s� �

��� G�s�

� �

��

�� G�s�

Y �s� � � Y �s�G�s�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Ejemplo

C�s�

j�� f ��

I�s�

j�� f ��

R�s�

j�� f ��

G�s�

j�� f ��

G�s� � R� sI ��

sC

o tambi�en

C�s�

j�� e��

I�s�

j�� e��

R�s�

j�� e��

Y �s�

j�� e��

Y �s� ��

R�

sI� sC

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

��

Celdas GI

G�s�

j�� f ��

Y �s�

j�� e��

Page 48: c:latexproyecto docenteclase magistral seminar · 2020. 8. 24. · camp os Mec anica Electricidad Hidr aulica T ermolog a Etc El primer paso consiste en fraccionar el sistema sub

INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

Discretizaci�on de Medios Continuos

R1

R2 R

3

C1

C2

C1 C

2

R1 R

2R3

C1

C2

C3

C1

C2

R1 R2R3

R4

R3

R2

e1

f1 e

6f6

e1

f1 f

8

e8

e1

f1

e6

f6

f6

e6

f1

e1

R1

Figure � L��neas de Transmisi�on de energ��a

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO ��

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M

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� �R� � R� � R�� � �C�R�R� � C�R�R� � C�R�R��

C�R�R��s � C�C�R�R�R�s�

�C� � C��s � C�C�R�s� � � �C�R� � C�R� � C�R��s � C�R�C�R�R�s

Se desea que para �nalidades de transmisi�on de energ��a� se veri�que lo mejor

posible� la igualdad

M � I

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

�e��s�

f��s�

��

�m���s� m���s�

m���s� m���s�

��e��s�

f��s�

�f��s� � g�s�e��s�

e��s��e��s� �m���s� �m���s�g�s�

��s�

f��s��e��s� �m���s�g�s� �m���s�

��s�

��s� � m���s�m���s� �m���s�m���s�

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Modelado T��pico

b2

k2b1

k1m

M

Par�ametros

T��picos

M � � �� kg

m � ��� kg

k� � �����N�m

b� � �� N�s�m

k� � �����N�m

b� � ����� N�s�m

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Pseudo BOND GRAPH

b 2

k 2

b 1

k 1 m

M

PARED PARACHOQUES

COCHE

CINTURÓNPASAJERO

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Conexiones tipo � ��ujo com�un�

b 2

k 2

b 1

k 1 m

M

Vpared Vcoche Vpasajero

Vs

Vr

Vs = V coche -Vpasajero

Vr = V coche -Vpared

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Conexiones tipo � �esfuerzo� y tipo � ��ujo com�un�

b 2

k 2

b 1

k 1 m

M

Vpared VcocheVpasajero

Vs

Vr

Vs = V coche -Vpasajero

Vr = V coche -Vpared

0 0

parachoques

cinturón

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO

��

BOND GRAPH del sistema

b 2

k 2

b 1

k 1 m

M

1 1 1

1

1

0 0

parachoques

cinturón

I

SF

C

C

R

R

I

: M

: m

: b 1

: b 2 : 1/k 2

: 1/k 1

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

BOND GRAPH nal reducido

b 2

k 2

b 1

k 1 m

M

1

1

1

0 0

parachoques

cinturón

I

SF

C

C

R

R

I

: M

: m

: b 1

: b 2: 1/k 2

: 1/k 1

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INTRODUCCI�ON AL MODELADO F�ISICO �

��

Resultados de Simulaci�on

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Choque a 30 km/h