UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO: Matemática Intermedia 1 JORNADA: Vespertina SEMESTRE: 2do. Semestre AÑO: 2013 TIPO DE EXAMEN: 2da Retrasada NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: Edgar Salguero NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Glenda García

TEMARIO

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS ESCUELA DE CIENCIAS

FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MATEMATICA INTERMEDIA 1 SEGUNDA RETRASADA

TEMARIO B

TEMA 1 ( 21 PUNTOS)

Encontrar: a) (7 puntos) b) (7 puntos) c) (7 puntos)

3

4xdx

x x

3 1

xdx

x

2

01 cos

senxdx

x

TEMA 2 ( 14 PUNTOS)

Plantear la integral del área de la región dentro de cos1r & fuera de

senr 23 . (trace la gráfica de la región indicando puntos de intersección)

TEMA 3 ( 15 PUNTOS)

Gráfique en R3 e identifique las siguientes superficies: i) 422 yx ( 3 pts.) ii)

04 22 yxz ( 3 pts) iii) 2 (3 pts)

iv) xeyz 222 ( 3 pts.) v) r sen ( 3 pts.)

TEMA 4 ( 25 PUNTOS)

a) Dada la sucesión:

12

432

2

n

nnan i) Encuentre los primeros tres términos. (3 pts.)

ii) Determine si converge. (3 pts.) iii) Encuentre la cota superior e inferior. (4 pts.)

b) Halle el radio y el intervalo de convergencia de la serie:

04

)3(

n

n

nx (5 puntos)

c) Encuentre un valor aproximado para 𝑒𝑥 utilizando un polinomio de Maclaurin de n=3 de la función. (10 puntos.)

TEMA 5 ( 25 PUNTOS)

a) Encuentre la solución de: 44

04

wvzyx

wvzyx (8 pts.)

b) Grafique en R3 y encuentre el área del paralelogramo con vértices en (1,2,4) , (2,3,5) , (2,5,5) & (3,6,6) (7 puntos)

c) Encuentre la ecuación del plano que perpendicular al plano yz y contiene a la recta

tztytx 1;28;4 (10 puntos.)

SOLUCIÓN DEL EXAMEN

TEMA 1

a) 3

4xdx

x x

Factorizando el denominador para poder aplicar fracciones parciales

𝑥 + 4

𝑥(𝑥2 + 1)=

𝐴

𝑥+

𝐵𝑥 + 𝑐

𝑥2 + 1 𝑑𝑥

𝑥 + 4

𝑥(𝑥2 + 1)=

𝐴 𝑥2 + 1 + 𝐵𝑥2 + 𝑐𝑥

𝑥(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥

Encontrando las Constantes

𝑥 + 4 = 𝐴𝑥2 + 𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝑐𝑥 Ecuaciones resultantes

0 = 𝐴 + 𝐵 1 = 𝐶 4 = 𝐴

Por lo tanto

𝐴 = 4, 𝐵 = −4, 𝐶 = 1 Sustituyendo

4

𝑥−

4𝑥

𝑥2 + 1+

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

Integrando

4

𝑥−

4𝑥

𝑥2 + 1+

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 4 ln 𝑥 − 2 ln 𝑥2 + 1 + tan−1 𝑥 + 𝑐

b) 3 1

xdx

x

Utilizando sustituciones diversas para resolver la integral

𝑥 = 𝑢6 𝑑𝑥 = 6𝑢5𝑑𝑢

Sustituyendo

𝑢3 6𝑢5 𝑑𝑢

𝑢2 − 1=

6𝑢8𝑑𝑢

𝑢2 − 1

Se realiza la división de polinomios

6𝑢8

𝑢2 − 1= 6𝑢6 + 6𝑢4 + 6𝑢2 +

6

𝑢2 − 1

6𝑢6 𝑑𝑢 + 6𝑢4𝑑𝑢 + 6𝑢2 𝑑𝑢 + 6

𝑢2 − 1𝑑𝑢

Integrando

6𝑢7

7+

6𝑢5

5+ 2𝑢3 +

6

𝑢2 − 1𝑑𝑢

Resolviendo por fracciones parciales

6

𝑢2 − 1𝑑𝑢 =

𝐴

(𝑢 + 1)+

𝐵

(𝑢 − 1)

6 = 𝐴𝑢 − 𝐴 + 𝐵𝑢 + 𝐵

𝐴 + 𝐵 = 0

−𝐴 + 𝐵 = 6

𝐴 = −3, 𝐵 = 3

6

𝑢2 − 1𝑑𝑢 =

−3

(𝑢 + 1)𝑑𝑢 +

3

(𝑢 − 1)𝑑𝑢

6

𝑢2 − 1𝑑𝑢 = −3 ln 𝑢 + 1 + 3 ln(𝑢 − 1)

Integrando

6𝑢8

𝑢2 − 1𝑑𝑢 =

6𝑢7

7+

6𝑢5

5+ 2𝑢3 − 3 ln 𝑢 + 1 + 3 ln 𝑢 − 1 + 𝑐

Sustituyendo

𝑥 = 𝑢6

𝑢 = 𝑥16

6𝑥76

7+

6𝑥56

5+ 2 𝑥 − 3 ln 𝑥

16 + 1 + 3 ln 𝑥

16 − 1 + 𝑐

c)

2

01 cos

senxdx

x

Integral impropia

Resolviendo por sustitucion

𝑢 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

lim𝑎→𝜋/2−

−𝑑𝑢

𝑢

𝑎

0

= −2 −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎0

= −2 1 − 0 = −2

TEMA 2

Plantear la integral del área de la región dentro de cos1r & fuera de

senr 23 . (trace la gráfica de la región indicando puntos de intersección) Graficando

𝑟 = 1 + cos 𝜃

𝑟 = 3 − 2 sin 𝜃

Encontrando los puntos de intersección

1 + cos 𝜃 = 3 − 2 sin 𝜃

1 − 3 + cos 𝜃 = 2 sin 𝜃

(−2 + cos 𝜃) 2 = (2 sin 𝜃)2

4 − 4 cos 𝜃 + cos2 𝜃 = 4 sin2𝜃

4 − 4 cos 𝜃 + cos2 𝜃 = 4(1 − cos2𝜃)

4 − 4 cos 𝜃 + cos2 𝜃 = 4 −4cos2𝜃

−4 cos 𝜃 − 5 cos2 𝜃 = 0

5 cos 𝜃 = 4

𝜃 = cos−14

5

𝜃1 = 0.6435 𝑟𝑎𝑑

𝜃2 = 1.571 𝑟𝑎𝑑

Área de la región dentro de 𝑟 = 1 + cos 𝜃 fuera de 𝑟 = 3 − 2 sin 𝜃

Área de polares entre curvas

𝐴 =1

2 𝑟2𝑑𝜃

Planteando la integral de la región

𝐴 =1

2 1 + cos 𝜃 2 −

1.57

0.6435

(3 − 2 sin 𝜃)2 𝑑𝜃

TEMA 3

Grafique en R3 e identifique las siguientes superficies:

i) 422 yx

Cilindro de radio 2

ii) 04 22 yxz

Paraboloide elíptico

iii) 2

Plano xy

iv) xeyz 222

Superficie cilíndrica con proyección en el eje x

Las trazas verticales son circunferencias

En el eje x se proyectan las circunferencias sobre la curva 𝑒2𝑥

v) r sen

Cilindro eliptico

TEMA 4

a) Dada la sucesión:

12

432

2

n

nnan

i) Encuentre los primeros tres términos.

𝑎1 = 3 1 2 − 1 + 4

2 1 2 + 1 = 2

𝑎2 = 3 2 2 − 2 + 4

2 2 2 + 1 = 1.55

𝑎3 = 3 3 2 − 3 + 4

2 3 2 + 1 = 1.47

ii) Determine si converge.

lim𝑛→∞

3 𝑛 2 − 𝑛 + 4

2 𝑛 2 + 1=

∞

∞= 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎

Aplicando ley de L´Hopital

lim𝑛→∞

6𝑛 − 1

4𝑛=

∞

∞= 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎

Aplicando ley de L´Hopital

lim𝑛→∞

6

4=

3

2

Converge a 3/2

iii) Encuentre la cota superior e inferior.

b) Halle el radio y el intervalo de convergencia de la serie:

04

)3(

n

n

nx

Una serie converge si

lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 < 1

lim𝑛→∞

𝑥 − 3 𝑛+1

4𝑛+1

𝑥 − 3 𝑛

4𝑛

< 1

lim𝑛→∞

4𝑛 𝑥 − 3 𝑛+1

4𝑛+1 𝑥 − 3 𝑛 < 1

Simplificando

lim𝑛→∞

(𝑥 − 3)

4 < 1

(𝑥 − 3) lim𝑛→∞

1

4 < 1

𝑥 − 3 < 4

Radio = 4

Intervalo

−1 < 𝑥 < 7

d) Encuentre un valor aproximado para 𝑒𝑥 utilizando un polinomio de Maclaurin de n=3 de la función.

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1

𝑓𝐼 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1

𝑓𝐼𝐼 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1

𝑓𝐼𝐼𝐼 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0𝑥 = 𝑒0 = 1

𝑃 = 𝑓 𝑎 +𝑓´ 𝑎 𝑥

1!+

𝑓´´ 𝑎 𝑥 2

2!+

𝑓´´´ 𝑎 𝑥 3

3!

Sustituyendo los valores de la función 𝑒𝑥

𝑃 = 1 +𝑥

1!+

𝑥2

2!+

𝑥3

3! =

𝑥𝑛

𝑛!

3

𝑛=0

TEMA 5

a) Encuentre la solución de: 44

04

wvzyx

wvzyx (8 pts.)

Se denota el sistema de la forma matricial A x = b

1 1 −11 −1 1

4 −1 04 1 4

Para convertir en 0 el valor de la fila 2 y columna 1 se resta la f2-f1

1 1 −10 −2 2

4 −1 00 2 4

Luego se multiplica la fila 2 por -1/2 para cambiar a 1 el valor de la fila2 y columna 2

1 1 −10 1 −2

4 −1 00 −1 −2

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 4𝑣 − 𝑤 = 0

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = −2

Sustituyendo la ecuación 2 en la 1 obtenemos

𝑥 + 4𝑣 − 2 = 0

𝑣 =1

2−

𝑥

4

Se necesitan más ecuaciones para resolver el sistema

b) Grafique en R3 y encuentre el área del paralelogramo con vértices en (1,2,4) , (2,3,5) , (2,5,5) & (3,6,6)

Se definen los puntos

P(1,2,4) Q (2,3,5) R (2,5,5) S (3,6,6)

Se Encuentran los vectores

PQ<1,1,1> RS <1,1,1> PR <1,3,1> QS <1,3,1>

El área del paralelogramo 𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝐴 𝑋 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝐵 Encontrando el área con los vectores PQ y PR

𝐴 = 𝑖 𝑗 𝑘1 1 11 3 1

= 𝑖 1 − 3 − 𝑗 0 + 𝑘 3 − 1 = −2𝑖, 0𝑗 + 2𝑘

= −2 2 + 0 2 + 2 2 = 8

d) Encuentre la ecuación del plano que perpendicular al plano yz y contiene a la recta

tztytx 1;28;4

Plano YZ vector < 1, 0, 0 > Vector director de la recta < 1, 2, -1 > Encontrando el vector n < a, b, c > del plano

𝑛 = 𝑖 𝑗 𝑘1 0 01 2 −1

= 𝑖 0 − 0 − 𝑗 −1 − 0 + 𝑘 2 − 0 = 0 𝑖, + 1𝑗 + 2𝑘

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑎 𝑋 − 𝑋𝑜 + 𝑏 𝑌 − 𝑌𝑜 + 𝑐 𝑍 − 𝑍𝑜 = 0

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 < 0,1,2 > 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 (4, 8,1)

Sustituyendo los valores en la ecuación del plano

0 𝑥 − 4 + 1 𝑦 − 8 + 2 𝑧 − 1 = 0

𝑦 − 8 + 2𝑧 − 2 = 0 Ecuación del plano

𝑦 + 2𝑧 = 10