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Mcanique Transmission de puissance

Mcanique Transmission de puissance............................................................................... 4 1. Introduction ................................................................................................................. 4 2. Quelques rappels ......................................................................................................... 4 3. Cration du mouvement.............................................................................................. 4 3.1 Moteurs courant continu...................................................................................... 4 3.2 Moteurs pas pas.................................................................................................... 6 3.3 Moteurs sans balais (Brushless)............................................................................. 6 3.4 Servomoteurs .......................................................................................................... 8 3.5 Moteurs linaires..................................................................................................... 8 3.6 Alliages mmoire de forme ................................................................................. 9 3.7 Energie pneumatique ............................................................................................ 10 4. R-R sans changement de vitesse .............................................................................. 10 4.1 Accouplements rigides ......................................................................................... 11 4.2 Accouplements semi-lastiques ........................................................................... 12 4.3 Accouplements lastiques .................................................................................... 13 4.4 Accouplements articuls....................................................................................... 13 4.4.1 Accouplements Oldham ................................................................................... 13 4.4.2 Joints de Cardan................................................................................................ 14 4.4.3 Double joints de Cardan................................................................................... 14 5. R-R avec changement de vitesse axes parallles ................................................. 15 5.1 Roues de friction................................................................................................... 15 5.2 Engrenages denture droite ................................................................................. 16 5.2.1 Cercle primitif................................................................................................... 17 5.2.2 Profil des dents.................................................................................................. 17 5.2.3 Fabrication ........................................................................................................ 18 5.2.4 Module .............................................................................................................. 18 5.2.5 Reprsentation .................................................................................................. 18 5.2.6 Relations sur les engrenages droits.................................................................. 19 5.2.7 Interfrence et usure ......................................................................................... 20 5.3 Engrenages denture hlicodale ........................................................................ 21 5.3.1 Intrt................................................................................................................. 21 5.3.2 Profil apparent et profil rel............................................................................. 22 5.3.3 Relations............................................................................................................ 22 5.3.4 Sens dinclinaison............................................................................................. 22 5.3.5 Effort axial ........................................................................................................ 23 5.4 Engrenages denture en chevrons....................................................................... 23 5.5 Engrenages internes ou couronnes....................................................................... 24 5.6 Roues rattrapage de jeu...................................................................................... 24 6. R-R renvois dangle .................................................................................................. 25 6.1 Engrenages droits denture conique ................................................................... 25 6.2 Engrenages spiro-coniques................................................................................... 26 6.3 Engrenages hlicodaux axes croiss................................................................ 27 6.4 Engrenage gauche ................................................................................................. 28 7. R-R Rducteurs ......................................................................................................... 30

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7.1 Rducteur tages ................................................................................................ 30 7.2 Rducteur plantaire ou picyclodal .................................................................. 31 7.2.1 Train picyclodal de type 1............................................................................. 31 7.2.2 Trains picyclodaux de types 2,3 et 4 ............................................................ 34 7.2.3 Condition de montage des trains picyclodaux ............................................. 35 7.3 Rducteurs trochodaux........................................................................................ 36 7.4 Harmonic drive ..................................................................................................... 36 8. R-R Poulies courroies............................................................................................... 37 8.1 Hypothses ............................................................................................................ 38 8.2 Rapport de transmission ....................................................................................... 38 8.3 Longueur de la courroie ....................................................................................... 39 8.4 Normalisation des courroies................................................................................. 40 9. Transformation de mouvement R-T ........................................................................ 40 9.1 Vis et crous trapzodaux (ou vis mre) ............................................................ 40 9.2 Pignon crmaillres .............................................................................................. 41 9.3 Cames-suiveurs ..................................................................................................... 42 9.3.1 Conception dune came.................................................................................... 43 9.4 Bielle manivelle .................................................................................................... 44 9.4.1 Mise en quations ............................................................................................. 45 9.4.2 Singularits........................................................................................................ 46

Table des figures Figure 1: vue clate de deux moteurs courant continu..................................................... 5 Figure 2: moteur pas pas. ..................................................................................................... 6 Figure 3: principe de fonctionnement dun moteur pas pas............................................... 6 Figure 4: vue clate de deux moteurs sans balais................................................................ 7 Figure 5: exemple de servomoteur ( gauche : servomoteur courant continu, droite :

Brushless) ........................................................................................................................ 8 Figure 6: servomoteur de modlisme dmont...................................................................... 8 Figure 7: vue en coupe dun moteur linaire......................................................................... 9 Figure 8: exemple de fils et vrin en alliages mmoire de forme. .................................. 10 Figure 9: pompes miniatures................................................................................................. 10 Figure 10: accouplement rigide: serrage par mchoires ..................................................... 11 Figure 11: accouplement rigide : serrage par vis de pression............................................. 11 Figure 12: vue clate dun assemblage par clavetage ....................................................... 11 Figure 13: accouplements Bendi-Flex et C-Flex................................................................. 12 Figure 14: exemple de caractristiques dun accouplement Rotex. ................................... 12 Figure 15: accouplement P-Flex........................................................................................... 13 Figure 16: accouplement Oldham. ....................................................................................... 13 Figure 17: vue clate dun joint de Cardan........................................................................ 14 Figure 18: double joints de Cardan ...................................................................................... 14 Figure 19: cration dune dveloppante de cercle............................................................... 17 Figure 20: point de contact et rpartition de leffort entre deux dents............................... 17 Figure 21: quelques procds de fabrication dune roue dente ........................................ 18 Figure 22: reprsentation normalise dun engrenage (dessin industriel et schma

cinmatique) .................................................................................................................. 18

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Figure 23: schma dun engrenage....................................................................................... 19 Figure 24: roue et engrenages droits hlicodaux................................................................ 21 Figure 25: reprsentation des profils apparents et rels...................................................... 22 Figure 26: direction des forces axiales dans les engrenages denture hlicodale........... 23 Figure 27: engrenage denture en chevrons qui a inspir le logo de la marque Citron . 23 Figure 28: engrenage interne ................................................................................................ 24 Figure 29: roues rattrapage de jeu ..................................................................................... 24 Figure 30: engrenage denture conique .............................................................................. 25 Figure 31: engrenages spiro-coniques.................................................................................. 26 Figure 32: vue intrieure dun diffrentiel de voiture ......................................................... 27 Figure 33: efforts axiaux dans les renvois dangle hlicodaux ......................................... 28 Figure 34: engrenage gauche ................................................................................................ 28 Figure 35: illustration des engrenages gauches dans les diffrentiels TORSEN (TORque

SENsor).......................................................................................................................... 29 Figure 36: rducteur tage.................................................................................................. 30 Figure 37: rducteurs plantaires.......................................................................................... 31 Figure 38: principe dun rducteur trochodal ..................................................................... 36 Figure 39: principe dun harmonic drive ............................................................................. 37 Figure 40: schma cinmatique dune liaison par poulie courroie..................................... 37 Figure 41: photo dun tendeur et illustration dune courroie crante arme. .................... 38 Figure 42: illustration des diffrents profils de denture des courroies............................... 40 Figure 43: de gauche droite : vis et crou standards, vis billes et vis rattrapage de jeu

........................................................................................................................................ 41 Figure 44: ensemble pignon-crmaillre.............................................................................. 41 Figure 45: Illustration dune came et de son suiveur .......................................................... 42 Figure 46: les diffrents types de cames et de suiveurs ...................................................... 42 Figure 47: exemple de diagramme permettant la conception dune came......................... 43 Figure 48: vue en coupe dun moteur thermique................................................................. 44 Figure 49: les diffrents types de singularits ..................................................................... 47

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Mcanique Transmission de puissance 1. Introduction

Comme son nom lindique, ce cours se place dans un contexte de transmission de puissance, au sens o les mouvements servent principalement transfrer de lnergie mcanique dune pice dun mcanisme une autre.

Ce cours sintresse principalement aux mcanismes inclus dans des systmes mcatroniques (nous ntudierons pas ici les variateurs de vitesse mcaniques, puisquils sont remplacs par un systme lectronique). Nous nous focaliserons plus particulirement sur les mcanismes de petites tailles (puissance max : quelques dizaines de watts), nanmoins les concepts thoriques prsents ici pourront tre gnraliss.

Mcatronique : dfinit un systme combinant la mcanique, llectronique et linformatique. Exemples : une imprimante, un disque dur, une machine-outil numrique, un distributeur de billets de banque, un robot manipulateur, etc

2. Quelques rappels

En mcanique :

Force : F [N] Couple : C [N.m] Masse : M [Kg] Moment dinertie : I [Kg.m] Vitesse : v [m.s-1] Vitesse angulaire : [rad.s-1] Energie : E=0.5.m.v2 [joules] Energie : E=0.5.I. 2 [joules] Puissance : P=F.v [W] Puissance : P=C. [W] Acclration : a=F/M [m.s-2] Acclration angulaire : d/dt=C/I [rad.s-2]

3. Cration du mouvement

Dans les systmes mcatroniques, le mouvement est gnralement issu de lnergie lectrique car le principal intrt de ces systmes est de commander la partie mcanique de faon intelligente grce llectronique. Le moyen le plus simple consiste crer un champ magntique qui va permettre de dplacer des pices (gnralement des aimants). Pour les moteurs, c'est--dire la cration dun mouvement rotatif, il existe plusieurs procds.

3.1 Moteurs courant continu

Dans cette famille de moteurs, les aimants sont solidaires du botier (fixs sur le stator). Sur laxe du moteur, sont disposes des bobines qui crent un champ magntique qui attire ou repousse le rotor vers les aimants. Pour obtenir une rotation complte, il est

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impratif dalterner la tension aux bornes des bobines. Cette inversion est faite mcaniquement laide des balais, sorte de patins qui glissent sur le collecteur. Lalimentation du moteur est constante do son nom.

Les frottements rpts entre les balais et le collecteur provoquent une usure des pices. Linversion brutale de polarit aux bornes dun lment inductif, la bobine, provoque des problmes de compatibilit lectromagntique.

La vitesse maximum de ce type de moteur est gnralement infrieure 10 000 tr.mn-1.

Figure 1: vue clate de deux moteurs courant continu.

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3.2 Moteurs pas pas

Le concept dun moteur pas pas consiste supprimer les balais et les remplacer par une lectronique de commande, ce qui simplifie la fabrication des moteurs. Les bobines peuvent tre places sur le stator et les aimants sur le rotor. Llectronique commande les bobines les unes la suite des autres pour faire tourner le champ magntique et par consquent les aimants du rotor. Il est possible de placer le rotor dans une position donne avec prcision et stabilit.

Les performances des moteurs pas pas restent faibles : consommation leve, couple et vitesse faibles (souvent infrieure 3 000 tr.mn-1). Il existe un problme supplmentaire : lorsque le couple et la vitesse sont leves le rotor na parfois pas le temps de tourner et revient sa position prcdente, on parle alors de dcrochage.

Figure 2: moteur pas pas.

Figure 3: principe de fonctionnement dun moteur pas pas.

Notez quil existe un fonctionnement en demi pas lorsque deux bobines sont alimentes simultanment, le rotor se place sur une position intermdiaire.

3.3 Moteurs sans balais (Brushless)

Le principe de ces moteurs est exactement le mme que celui des moteurs pas pas. Ils ne possdent gnralement que quelques ples (une dizaine pour le brushless contre

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quelques centaines pour le moteur pas pas) mais leur conception est optimise pour tourner des vitesses leves.

Pour viter les problmes lis au dcrochage, la commande de ces moteurs est faite en boucle ferme, une mesure de la vitesse relle de rotation du rotor est ncessaire afin dadapter la commande. Les capteurs peuvent tre des codeurs optiques, effet hall, ou bass sur une mesure du courant dans la bobine qui nest pas commande (les aimants en mouvement devant la bobine crent un courant dans celle-ci).

Ce type de moteur peut obtenir des rendements suprieurs aux moteurs courant continu. Ils peuvent en effet atteindre des vitesses suprieures 30 000 tr.mn-1. Linconvnient majeur rside dans la ncessit dutiliser une lectronique de commande. Notez que cette lectronique est parfois miniaturise et intgre dans le botier du moteur.

Figure 4: vue clate de deux moteurs sans balais.

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3.4 Servomoteurs

Servomoteur est la concatnation de moteur et asservissement. Le moteur comporte une lectronique intgre (gnralement un contrleur en boucle ferme) qui asservit la position du moteur (par exemple pour commander une ouverture de vanne).

Figure 5: exemple de servomoteur ( gauche : servomoteur courant continu, droite : Brushless)

Figure 6: servomoteur de modlisme dmont.

3.5 Moteurs linaires

Un moteur linaire est une sorte de moteur lectrique droul . Le stator est constitu de bobines disposes en ligne. Le champ magntique permet de faire avancer ou reculer laxe du moteur qui contient les aimants.

Le principal atout de ces moteurs est la rapidit et la prcision des dplacements. Les couples restent faibles, mais cette jeune technologie se dveloppe rapidement.

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Figure 7: vue en coupe dun moteur linaire.

3.6 Alliages mmoire de forme

Les alliages mmoire de forme (AMF) sont des alliages possdant la capacit de garder en mmoire une forme initiale et d'y retourner mme aprs une dformation. Le retour la forme mmorise se fait en franchissant une temprature critique. Lorsque le fil est travers par un courant lectrique la puissance dissipe permet le franchissement de la temprature critique. Cest ainsi que fonctionnent les vrins lectriques mmoire de forme.

Par exemple : un vrin de 76 mm au repos avec une course de 20 mm pse 10 grammes et peut gnrer une force de 450g. La puissance consomme est importante : 5 watts, les temps de sortie et rentre du piston sont relativement long : 2secondes. Notez que pour faire sortir le vrin, il faut attendre quil refroidisse !

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Figure 8: exemple de fils et vrin en alliages mmoire de forme.

3.7 Energie pneumatique

Il est possible dutiliser de lnergie pneumatique pour crer un mouvement. Il existe aujourdhui des pompes miniatures permettant la fois daspirer et de souffler. Ces pompes peuvent tre couples des vrins ou des ventouses. Il est ais de les embarquer: elles remplacent avantageusement les bonbonnes dair comprim.

Figure 9: pompes miniatures

4. R-R sans changement de vitesse

Cette premire catgorie de transmission de puissance est aussi appele accouplement.

Accouplement : se dit dune liaison tablie entre deux organes d'un systme, gnralement deux arbres, de telle manire que la rotation de l'un entrane celle de l'autre. Cest aussi le nom donn au dispositif permettant cette liaison (un accouplement peut tre rigide, semi-lastique, lastique ou articul).

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4.1 Accouplements rigides

Ce type de liaison consiste lier de faon rigide les deux arbres dun systme. Gnralement, une pice intermdiaire cre la liaison. Il existe de nombreux montages: vis de pression, serrage par mchoires, montage en force, clavetage

Figure 10: accouplement rigide: serrage par mchoires

Figure 11: accouplement rigide : serrage par vis de pression

Figure 12: vue clate dun assemblage par clavetage

Le principal inconvnient des accouplements rigides est quils ne tolrent pas de dfaut dalignement entre les arbres.

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4.2 Accouplements semi-lastiques

Il existe des accouplements dits semi lastiques qui permettent de rattraper de petits dfauts dalignement (typiquement les dfauts dusinage). Ces accouplements sont gnralement constitus de deux parties rigides solidaires des arbres et dune partie lgrement flexible qui rattrape les dfauts dalignement.

Figure 13: accouplements Bendi-Flex et C-Flex

Figure 14: exemple de caractristiques dun accouplement Rotex.

Il existe une multitude daccouplements de ce type. Les critres devant tre pris en compte lors du choix sont : le prix, lencombrement, la vitesse de rotation maximum, le dsalignement angulaire, le dsalignement axial et radial et la dure de vie.

Ces accouplements prsentent gnralement dexcellentes proprits homocintiques. C'est--dire que le mouvement de larbre de sortie est fidle au mouvement de larbre moteur.

Homocintique: se dit d'une liaison qui permet deux arbres, mme non aligns, de conserver une vitesse de rotation identique.

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4.3 Accouplements lastiques

Bass sur le mme principe que les accouplements semi-lastiques, ceux-ci supportent des dsalignements plus importants mais ne conservent pas les proprits homocintiques. Sur lexemple ci-dessous, on devine facilement un retard entre le mouvement des deux arbres. Ce retard est d la torsion de la partie flexible.

Figure 15: accouplement P-Flex.

4.4 Accouplements articuls

Cette dernire famille daccouplements permet de corriger des dfauts dalignement trs importants. Lutilisation de pices en mouvement dans les articulations prsentent deux inconvnients : lusure des pices et le cot de fabrication.

4.4.1 Accouplements Oldham

Un accouplement Oldham est constitu de 3 pices : 2 bagues solidaires des arbres 1 patin li aux bagues par deux liaisons prismatiques

La double liaison prismatique permet au patin de voyager dans un plan perpendiculaire aux arbres tout en transmettant les couples.

Figure 16: accouplement Oldham.

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4.4.2 Joints de Cardan

Un joint de Cardan est constitu de fourchettes (en bleu) lies rigidement aux arbres et dun croisillon (en rouge) li en liaisons pivots avec les fourchettes.

Figure 17: vue clate dun joint de Cardan Ce type de liaison accepte des angles importants entre larbre moteur et larbre de

sortie. Cet angle est appel angle de brisure. Langle de brisure maximum thorique dun joint de cardan est de 45. Ce type de liaison nest pas homocintique.

4.4.3 Double joints de Cardan

Pour rendre le systme homocintique, il est possible de combiner deux joints de Cardan condition de les dphaser. Soit la fonction qui lie la vitesse de larbre moteur et la vitesse de larbre de sortie dans un seul joint de Cardan : )( ms wF= . Lajout du second joint permet dobtenir la relation suivante: mms FF == ))((1 . Le systme redevient homocintique.

Figure 18: double joints de Cardan

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5. R-R avec changement de vitesse axes parallles

5.1 Roues de friction

Le principe consiste presser les roues l'une contre l'autre, c'est le frottement qui en assure la liaison (exemples : la dynamo, le Solex).

Modification de la vitesse

La figure ci-dessus reprsente une roue motrice (1) de diamtre D1 qui entrane une seconde roue (2) de diamtre D2. Lorsque la roue (1) effectue une rotation dangle 1, la distance parcourue au point de contact est de

2.1 1Dl = . Si lon nglige les glissements

entre les deux roues, on peut considrer que la roue entrane a parcouru la mme

distance au point de contact. Langle de rotation est donn par 12

1

22 .

.2

DD

Dl

== . En

drivant cette quation par rapport au temps, nous obtenons la relation qui lie les vitesses

angulaires : 12

12 . D

D= .

Rapport de transmission : cest un coefficient i sans unit qui lie les vitesses dentre et de sortie dune transmission avec changement de vitesse dfini par la relation suivante :

].[].[

1

1

=

sradsradi

entre

sortie

Dans le cas des roues de friction :

2

1

DDi =

1

2

D2

D1

2 1

l

Roue 1

Roue 2

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Transmission du couple

Couple : dsigne l'effort en rotation appliqu un axe. Le couple sexprime en Nm.

Soit le couple exerc par la roue (1) 1. Au point de contact entre les deux roues, la force exerce est perpendiculaire au rayon des roues et son module peut sexprimer par :

1

1.2D

F = . On peut ainsi en dduire le couple exerc sur laxe de la roue (2) :

11

222 2

. ==DDDF

On en dduit :

1

2

1

2

DD

=

.

Ou encore :

iNmNm 1

][][

1

2=

.

Le rapport couple de sortie sur couple dentre est inversement proportionnel au rapport des vitesses.

i1 Rducteur (de vitesse) Pas de changement de

vitesse Augmentation de la vitesse

Augmentation du couple Pas de changement de couple

Diminution du couple

Le rapport de transmission est aussi appel rapport de rduction. Il est frquemment prsent sous la forme : 20:1 (prononcer 20 par 1), ce qui signifie que 20 tours de larbre dentre quivalent 1 tour de larbre de sortie :

201

=i .

Ce mcanisme ne tolre aucun corps gras, il donne lieu des glissements importants ds que leffort tangentiel transmettre est trop lev.

5.2 Engrenages denture droite

Dans la transmission du mouvement, pour viter le glissement, nous utilisons des roues dentes. Lensemble de deux roues dentes est nomm engrenage. Quand deux roues dentes sont en prise, la petite sappelle le pignon et la grande conserve le nom de roue.

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5.2.1 Cercle primitif

Cercle primitif : cest un cercle imaginaire de mme centre que laxe de la roue dente permettant dappliquer aux engrenages les mmes relations que pour les roues de friction :

a

b

b

a

b

a

DDi

==

=

5.2.2 Profil des dents

Il existe un profil presque universel : la dveloppante de cercle. Cela assure un rapport de vitesse constant (liaison homocintique) et une transmission d'nergie optimum entre les engrenages. Au point de contact entre deux roues, la tangente au profil est commune aux deux dents. Langle form par cette tangente et la perpendiculaire au rayons des roues est appel angle de pression. Parmi les autres proprits remarquables des engrenages dveloppante, on peut citer les suivantes :

1. Cest une liaison homocintique mme quand on fait varier l'entraxe. 2. L'usure des surfaces actives est plus rgulirement rpartie. 3. Les vibrations sont plus faibles qu'avec un autre profil.

Figure 19: cration dune dveloppante de cercle

Dveloppante du cercle : aussi appele anti-clothode, cest une courbe plane dveloppante, c'est--dire que ses normales sont les tangentes du cercle. Cest la trajectoire dun point fixe dun fil que lon droule de sa bobine en conservant une tension constante du fil.

Figure 20: point de contact et rpartition de leffort entre deux dents.

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5.2.3 Fabrication

Il existe de nombreux systmes pour fabriquer les roues dentes. Nous noterons parmi les technologies rcentes : le moulage ou llectrorosion fil.

Figure 21: quelques procds de fabrication dune roue dente

Ce type de profil est complexe fabriquer, pour viter de multiplier loutillage et pour permettre la compatibilit entre les fabricants, les tailles des dents ont t standardises selon leurs modules.

5.2.4 Module

Module (m) : rapport du pas (p) divis par pi. Pour les engrenages denture droite, cela est quivalent au rapport entre le diamtre primitif et le nombre de dents (Z). Un module de 1 donne un diamtre primitif de 1 mm par dent.

Zmmdmmp

mmm][][][ ==

pi

Concrtement, le module reprsente la diffrence entre le rayon primitif et le rayon externe. Quelques modules standardiss : 0,5 0,6 0,8 1 1,25 1,5 50

5.2.5 Reprsentation

En dessin industriel, on ne reprsente pas toutes les dents dun engrenage. On le reprsente par son cercle primitif en trait discontinu.

Figure 22: reprsentation normalise dun engrenage (dessin industriel et schma cinmatique)

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Figure 23: schma dun engrenage

5.2.6 Relations sur les engrenages droits

Lorsque le module et le nombre de dents sont connus, tous les autres paramtres peuvent en tre dduit :

Diamtre primitif : Zmmmmmd ].[][ =

Pas : distance entre deux dents le long du cercle primitif :

Angle dune dent: Z

raddentpi .2][ = . On en dduit le pas : pipi ..2.

2.

2m

Zddp dent ===

pi].[][ mmmmmp =

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Diamtre de tte: mZmZmmdmmD ).2(.2..2][ +=+=+=

mZmmD ).2(][ +=

Creux : pour permettre au systme dengrener, il faut que le fond de la denture (le creux not hf) soit plus grand que le module. Par convention :

Modules jusqu 1.25 : mmmh f .40,1][ =

Modules suprieurs 1.25 : mmmh f .25,1][ =

Hauteur des dents : mhmmh f +=][

Modules jusqu 1.25 : mmmh .40,2][ =

Modules suprieurs 1.25 : mmmh .25,2][ =

Entraxe : cest la distance entre les deux axes des roues dentes

2][ BAf

ddmmh +=

Tolrance sur lentraxe : de manire gnrale, plus le module est petit, plus lentraxe doit tre prcis. Par exemple, un jeu de 0.5mm sur lentraxe exige un module minimum de 2. Si lentraxe est trop grand, un jeu va apparatre dans la transmission. A linverse, sil est trop court le systme va risque de se coincer , on parle dinterfrence entre les dents.

5.2.7 Interfrence et usure

Interfrence : phnomne parasite qui apparat lorsque le sommet de la dent dune roue rencontre le fond dune dent de lautre roue. Linterfrence peut avoir 3 causes :

un entraxe ne respectant pas la tolrance un dfaut de fabrication de la denture (interfrence de taillage) la diffrence du nombre de dents entre les deux roues est trop importante.

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Pour viter cette troisime cause, il est important de limiter la diffrence entre les deux roues :

Za 13 14 15 16 17 et plus Zb maximum 16 26 45 101 sans limite

Il est galement possible dutiliser des roues avec correction de denture, mais cela modifie lentraxe.

Pour limiter lusure des dents, les nombres de dents doivent tre si possible choisis premiers entre eux (ce qui permet chaque dent d'une roue de rencontrer toutes les dents de l'autre).

Durant le mouvement, quand deux dents commencent engrener il y a un lger choc, source de bruit et dusure. Pour viter ce phnomne, il existe des engrenages denture hlicodale.

5.3 Engrenages denture hlicodale

Pour permettre un mouvement continu entre deux roues dentes on utilise des dentures hlicodales.

Figure 24: roue et engrenages droits hlicodaux

5.3.1 Intrt

Avantages :

usure et niveau sonore rduit ; le choc d la flexion des dents pendant le passage dun profil lautre est trs attnu,

rgularit de la transmission haute vitesse due au fait quil y a toujours plus de deux dents en prise,

les couples transmis peuvent tre plus levs car le nombre de dents en prise est plus important.

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5.3.2 Profil apparent et profil rel

Figure 25: reprsentation des profils apparents et rels

Profil rel : profil de la denture contenu dans le plan rel, perpendiculaire laxe des dents. Profil apparent : profil de la denture contenu dans le plan apparent, perpendiculaire laxe du cylindre primitif.

On en dduit deux modules, le module rel mr (standardis) et le module apparent ma lis par la relation suivante :

cos.ar mm = 5.3.3 Relations

Module : pi

pmr =

Pas : pi

rmp =

Diamtre primitif : cos. rmZd =

Diamtre de tte : rmdD .2+=

Nombre de dents : rm

dZ cos.= Il est possible de conserver le mme entraxe entre deux paires de roues tout en

changeant le rapport de rduction en jouant sur langle dhlice (boites de vitesse).

5.3.4 Sens dinclinaison

Notez quun engrenage denture incline gauche engrne avec un engrenage denture incline droite. Le sens d'inclinaison de la denture se vrifie visuellement. Poser

Direction du plan apparent

Direction du plan rel

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l'engrenage plat sur une table, si les dents montent vers la droite, la denture est incline droite, si les dents montent vers la gauche, la denture est incline gauche.

5.3.5 Effort axial

Le principal inconvnient de ce type dengrenage est leffort axial cr par langle dhlice :

Figure 26: direction des forces axiales dans les engrenages denture hlicodale

Il existe un moyen dannuler la force axiale: utiliser des engrenages denture en chevrons.

5.4 Engrenages denture en chevrons

En plaant deux engrenages hlicodaux de sens dinclinaison opposs cte cte sur le mme axe, il est possible dannuler les efforts axiaux.

Figure 27: engrenage denture en chevrons qui a inspir le logo de la marque Citron

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5.5 Engrenages internes ou couronnes

Les couronnes sutilisent avec des roues dentes externes de diamtre plus petit. Les quations sont similaires celles prsentes ci-dessus. Notez que le sens de rotation en sortie est le mme quen entre.

Figure 28: engrenage interne

5.6 Roues rattrapage de jeu

Comme leur nom l'indique, ces roues permettent de rattraper le jeu de fonctionnement d'un couple de roues dentes droites classique. Des ressorts sont placs dans des gorges entre deux roues de mme dimensions, solidariss axialement par un circlips. Au montage, il faut dcaler les deux disques de quelques degrs pour comprimer les ressorts afin de pouvoir rattraper le jeu.

Figure 29: roues rattrapage de jeu

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6. R-R renvois dangle

6.1 Engrenages droits denture conique

Ces engrenages permettent un renvoie dangle 90. Ce type dengrenage ncessite un montage prcis : les sommets des deux cnes doivent tre confondus. .

Figure 30: engrenage denture conique

Comme pour les engrenages droits, le rapport des vitesses (et des couples) est donn par :

a

b

b

a

b

a

DDi

==

=

Angle primitif :

Langle primitif a est donn par : b

aa Z

Z=tan

Noter que langle primitif est une proprit de la roue a (la roue b aura un angle primitif de b=90-a). Cette proprit est lie par la relation ci-dessus au nombre de dents de la roue 2. Les engrenages coniques sont conus pour fonctionner par paire.

a

Zb

Za d

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Diamtre primitif : cest le diamtre de la base du cne primitif :

aa Zmd .=

Diamtre de tte : cest le diamtre extrieur de lengrenage (ncessaire pour calculer lencombrement) :

)cos(..2 aa mdD +=

6.2 Engrenages spiro-coniques

Le bruit gnr par des engrenages coniques denture droite peut tre attnu par lutilisation de coniques denture hlicodale (Spiro-coniques)

Figure 31: engrenages spiro-coniques

Comme pour les engrenages hlicodaux, un engrenage avec une denture gauche entrane avec une denture droite.

Ce type dengrenage est utilis dans lautomobile pour entraner la couronne des diffrentiels.

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Figure 32: vue intrieure dun diffrentiel de voiture

6.3 Engrenages hlicodaux axes croiss

Ce type d'engrenage permet de raliser un renvoi d'angle. L'engrnement est progressif grce l'inclinaison de la denture. Le nombre de dents en prise est important, ce qui assure une continuit de l'engrnement. Le renvoi d'angle obtenu est plus doux et plus silencieux que celui obtenu avec des engrenages coniques droits. Une roue hlicodale axes croiss denture incline droite s'engrne avec une roue hlicodale axes croiss denture incline droite.

Ce type de transmission prsente un faible rendement et cre des efforts axiaux.

Noter quici, les axes ne sont pas concourants.

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Figure 33: efforts axiaux dans les renvois dangle hlicodaux

6.4 Engrenage gauche

Vis sans fin : cylindre comportant une ou plusieurs cannelures hlicodales. Associe une roue dente, elle constitue un engrenage gauche, dans lequel elle se comporte comme une roue n dent (n tant le nombre de cannelures). On appelle aussi ce systme roue et vis sans fin.

Figure 34: engrenage gauche

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La roue rpond aux proprits prsentes prcdemment, concernant la vis sans fin :

Diamtre de primitif :

vis

visvisvis

Zpd pi tan..

=

avec : o pvis, le pas (pvis=proue) o Zvis, nombre de filets o vis, angle dhlice (vis+roue=90)

Diamtre de tte : visvis dxmD += )2(

Angle dhlice :

vis

visvis d

Zm ).(=

Entraxe nominal :

2visroue ddE +=

Rapport de transmission

vis

roue

roue

vis

roue

vis

DDi

==

=

La vis ayant gnralement 1 ou 2 filets cette transmission autorise gnralement des rductions importantes.

Utilisation classique : tension des cordes sur les instruments de musique.

La particularit de ce type de liaison rside dans la possibilit den faire une liaison irrversible. Selon langle dhlice : la vis peut entraner la roue, mais la roue ne peut pas entraner la vis. La liaison est rversible si vis > 6 10.

Figure 35: illustration des engrenages gauches dans les diffrentiels TORSEN (TORque SENsor)

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7. R-R Rducteurs

7.1 Rducteur tages

Les rducteurs tages sont constitus de plusieurs trains dengrenages (droit ou hlicodaux) placs en cascade. Dans un rducteur, la roue du train de ltage n est solidaire du pignon de ltage n+1.

Figure 36: rducteur tage.

Soit le schma cinmatique du rducteur tage suivant :

Larbre dentre est ncessairement constitu dun pignon, il sagit donc de larbre rouge. Le premier tage possde un rapport de 5:1 et le second tage 6 :1. Le rducteur prsente donc un rapport de 30 :1. Pour 30 tours de larbre dentre, larbre de sortie fait un tour.

De manire gnrale le rapport de rduction dun rducteur tage est donn par :

menes

menantesn

ZZ

e

s

= )1(

Z=12

Z=60

Z=15

Z=90

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avec n nombre de contacts extrieurs.

Pour diminuer les cots de fabrication, les premiers tages (supportant des couples moins importants) sont parfois proposs avec une pignonerie en plastique.

7.2 Rducteur plantaire ou picyclodal

A encombrement quivalent, les rducteurs plantaires peuvent supporter des couples et des rapports de rductions plus levs que les rducteurs tage.

Figure 37: rducteurs plantaires

Il existe 4 types de rducteurs picyclodaux.

7.2.1 Train picyclodal de type 1

Schma cinmatique gnral :

Pour fonctionner, au moins une des pices (porte satellite, plantaire central ou extrieur) doit tre fixe avec le bti.

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Calcul de la loi liant les vitesses des diffrentes pices :

Prenons comme repre de rfrence le porte satellite.

PE

S

S

C

ZZ

=

,

de mme : PC

S

S

PC

ZZ

=

,

on en dduit : CS

PCS

PC

PE

ZZZZ.

.

=

.

Le systme obit aux loi des trains tages (noter que les satellites sont la fois roues menantes et menes) :

menes

menantesn

PC

PE

ZZ

= )1(

Le porte satellite, le plantaire central et la couronne tournent autour du mme axe, nous pouvons donc effectuer un changement de repre pour ramener lquation ci-dessus dans un repre li au bti :

rZ

Z

menes

menantesn

PSPC

PSPE=

=

.)1(

Cette formule est la formule de Willis. r est appel la raison du train.

La formule de Willis est une quation 3 inconnues, pour obtenir le rapport de rduction du systme, il est ncessaire de supprimer une inconnue, c'est--dire rendre une pice solidaire du bti.

1er cas : plantaire extrieur bloqu

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Bloquer la rotation de la couronne revient crire : 0=Couronne

Le formule de Willis devient :

PES

PCS

PSPC

PS

ZZZZ.

.

=

La formule se simplifie :

PE

PC

PSPC

PS

ZZ

=

PCPSPCPCpePS ZZZ ... =

PCpe

PC

PC

PS

ZZZ+

=

Par exemple, un rducteur ayant les caractristiques suivantes : 40 dents sur le plantaire central 80 dents sur la couronne 20 dents sur les satellites

31

408040

=

+=

PC

PS

2me cas : porte satellite bloqu

Cela revient un train dengrenages classique dj tudi dans le repre li au porte satellite.

pe

PC

PC

pe

ZZ

=

Dans notre exemple :

21

8040

==

PC

pe

3me cas : plantaire central bloqu

Comme pour le premier cas, on peut calculer :

PCC

c

pe

PS

ZZZ

=

Dans notre exemple :

34/47

21

408080

=

=

C

PS

7.2.2 Trains picyclodaux de types 2,3 et 4

Dans les rducteurs de type 1, les satellites sont la fois roues menantes et menes. Dans les types 2,3 et 4, les satellites sont constitus de deux roues : une qui engraine avec la couronne et une avec le plantaire central

Type 2 :

Type 3 :

Type 4 :

Les trains de type 2,3 et 4 sont galement rgis par la formule de Willis (la dmonstration est similaire aux types 1):

menes

menantesn

PSPC

PSpe

ZZ

=

.)1(

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La seule diffrence est que les satellites ne pourront plus tre la fois menant et mens.

Remarque : avec un rducteur de type 4, il est possible dobtenir un rapport de rduction infini toutefois, cela est difficilement ralisable en pratique :

Le nombre de dents doit tre entier (sauf si cest un rducteur roues de frictions) Le rendement devient mdiocre lorsque le rapport de rduction augmente.

7.2.3 Condition de montage des trains picyclodaux

Condition sur le module

Comme pour tous les engrenages, deux roues ne peuvent engrener que si elles ont un module identique.

Condition dentraxe

Pour fonctionner, il faut que :

SPSpe ddd .2+= , or Zmd .= donc SPSpe ZZZ .2+= , on en dduit : SPSpe ZZZ .2=

Rgle dite du haricot

Le train picyclodal dispose de n satellites (en gnral 3). Pour que les satellites puissent engrener la fois avec la couronne et avec le plantaire central, il fait que le nombre de dents comptes sur le contour jaune (en forme de haricot) soit un nombre entier.

+++22

SSPSpe ZZn

Zn

ZN

++ SPSpe Zn

Zn

ZN

Le nombre de dents des satellites tant forcement entier :

+

n

ZZ PSpe N

Ze+ZPS doit tre un multiple du nombre de satellites.

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7.3 Rducteurs trochodaux

Ce sont des rducteurs constitus dune couronne et dune roue dente comportant une dent de moins que la couronne. La roue tourne autour dun palier excentr par rapport larbre dentre. A chaque tour de larbre dentre, la roue se dcale dune dent par rapport la couronne. Le rapport de rduction est donn par la formule :

Ce

s

Z1

=

Larbre dentre est larbre central, larbre de sortie est li avec la roue dente.

Figure 38: principe dun rducteur trochodal

7.4 Harmonic drive

Le principe de fonctionnement dun harmonic drive est le mme que pour le rducteur trochodal, sauf que la roue dente est souple. Elle se dforme en pousant la circonfrence du moyeu oval.

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Figure 39: principe dun harmonic drive

Ce type de rducteur prsente des caractristiques particulirement intressantes, notamment des rapports de rduction trs levs. Ils sont utiliss dans de nombreux domaines dapplication comme larospatiale, la robotique industrielle ou lindustrie automobile.

8. R-R Poulies courroies

Courroie : lien flexible destin assurer une transmission de puissance entre un arbre moteur et un arbre rcepteur dont les axes peuvent occuper diverses positions relatives.

Figure 40: schma cinmatique dune liaison par poulie courroie

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8.1 Hypothses

Les quations rgissant les systmes poulies courroies sont bases sur 3 hypothses :

La courroie est inextensible : en pratique, les courroies sont armes avec une tresse mtallique.

La courroie reste tendue: il faut prvoir un tendeur soit sur la courroie, soit prvoir un rglage sur une des deux poulies (modifier lentraxe).

Il y a non glissement entre la courroie et les poulies : en pratique, choisir des courroies crantes (on parle de courroie synchrone).

Figure 41: photo dun tendeur et illustration dune courroie crante arme.

8.2 Rapport de transmission

Sur la Figure 40, voici la relation liant les couples et les vitesses de rotation :

2

1

2

1

3/1

3/2

dd

=

=

avec :

i/3 : vitesse de rotation de la pice i par rapport au bti 3. i : couple exerc par/sur la pice i di : diamtre primitif de la poulie i

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8.3 Longueur de la courroie

La longueur totale de la courroie est donne par :

CDABBCL ++= .2

Langle est donn par :

==

a

dda

EF.2

sinsin 211

La longueur BC est donne par :

cos.cos aBCa

BC==

La longueur AB est donne par :

+=+= pipi

2.

2.2

2 111 dddAB

De mme la longueur CD est donne par :

== pipi

2.

2.2

2 222 dddCD

Le nombre de dents de la courroie est donn par :

pLZ = , p tant le pas.

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8.4 Normalisation des courroies

Il existe 4 types de courroies (classes par ordre de performance) : CTD, T/AT, HTD, et les courroies hautes performances (GT2). La rsistance est accrue selon les matriaux de la courroie (polymre, polyurthane), de larmature (fibre de verre, acier,kevlar) et surtout du profil de la denture (arrondi, trapzodal) . Notez que les courroies les plus rigides prsentent un diamtre d'enroulement minimum qui est relativement important, ce qui bride leur utilisation dans les petits mcanismes.

Figure 42: illustration des diffrents profils de denture des courroies

9. Transformation de mouvement R-T

9.1 Vis et crous trapzodaux (ou vis mre)

Il sagit dune vis (gnralement menante) tournant autour de son axe principal qui entrane un crou en translation. Pour un tour de la vis, lcrou avance du pas de lhlice, la vitesse davance linaire de lcrou est donne par :

visx

visz

ecrou

ZPsradPsmv

pi

pi.

.2.].[.

.2].[ 11 ==

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Figure 43: de gauche droite : vis et crou standards, vis billes et vis rattrapage de jeu Les proprits de la vis sont identiques celles des vis pour les engrenages gauches.

Les vis mres sont classes en 3 catgories : Les vis et crous standard qui prsentent gnralement un jeu consquent et un

rendement moyen. Les vis et crous billes prsentent un rendement suprieur et un jeu rduit.

Notez quil ne faut jamais sortir lcrou dune vis billes. Les vis rattrapage de jeu offrent une prcision leve : la noix est constitue

dun ressort comprim entre deux crous.

Rversibilit : dpend de langle dinclinaison des filets de la vis.

9.2 Pignon crmaillres

Une crmaillre est une barre garnie de dents. Dun point de vue mathmatique, elle peut tre assimil une roue dente ( denture droite ou hlicodale) de diamtre infini. Les crmaillres sont standardises et classes par module afin de pouvoir tre combin avec les roues dentes. La relation qui lie la vitesse linaire de la crmaillre avec la vitesse angulaire du pignon est donne par :

].[.2

].[ 11 = sraddsmv visreCrmaillr

Figure 44: ensemble pignon-crmaillre

Rversibilit : Ce systme est rversible. Les crmaillres sont utilises dans les directions de voitures.

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9.3 Cames-suiveurs

Une came est une pice tournante, gnralement disque non circulaire saillie ou encoche, servant transformer un mouvement de rotation en un mouvement de translation. La pice en contact avec le profil de la came, le suiveur, est alors mise en mouvement. Le suiveur est gnralement maintenu en contact par un ressort (Motos Ducati).

Figure 45: Illustration dune came et de son suiveur

Ce type de mcanisme permet de crer des mouvements linaires complexes. Lorsque plusieurs cames sont montes sur le mme arbre, on appelle cette pice un arbre came.

Figure 46: les diffrents types de cames et de suiveurs

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Le mouvement transmis au galet peut gnralement tre dcompos en 3 cycles lmentaires :

La monte M (Le rayon grandit) La descente D (Le rayon rduit) Le repos S pour stationnaire (Le rayon est constant)

La came de la Figure 46.a. est une came MDS, avec les cames SMSDS ce sont les plus courantes.

9.3.1 Conception dune came

Une came est gnralement dcrite par deux paramtres, les points de passages (haut et bas dans le cas dune came MDS) et la loi de leve. La loi de leve permet de relier les points de passage en assurant la continuit autour de ces points. Les lois de leve peuvent tre des polynmes, des courbes de Bzier, des lois uniformes (garantissant des vitesses constantes et des acclrations nulles)

Figure 47: exemple de diagramme permettant la conception dune came.

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Interfrence : si, sur une portion de la came, son rayon de courbure est ngatif et infrieur au rayon du galet, alors il y a deux points de contact entre la came et le galet. Le dplacement du suiveur est perturb, il convient d'tre vigilant lors de l'tablissement du profil de la came.

Rversibilit : sauf cas trs exceptionnel, ce systme nest pas rversible.

9.4 Bielle manivelle

Le systme bielle-manivelle est un modle de mcanisme qui doit son nom aux 2 pices qui le caractrisent. La manivelle est une pice entrane en rotation sur laquelle est li la bielle par une liaison pivot. Lautre extrmit de la bielle est gnralement relie une pice guide linairement appele loscillateur (par exemple un piston).

Figure 48: vue en coupe dun moteur thermique

Ce systme est utilis dans les moteurs explosions, vapeur, les pompes/compresseurs

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9.4.1 Mise en quations

La position de loscillateur y=OB=f()

La longueur de la bielle est donne par L=AB La rayon de la manivelle est donne par R=OA Lorientation de la manivelle est donne par langle

Dans le triangle OAH, on crit le thorme dAl-Kashi :

)90cos(...2 += OBOAOBOAAB

)sin(...2 yRyRL +=

0)sin(...2 =+ LRyRy

Cest une quation du second degr :

4cos.444sin..4 LRLRR +=+=

On obtient le couple de solutions :

cos.sin RLRy =

En drivant cette quation, on obtient le systme diffrentiel suivant :

'''

cos.

cos.sin.cos''

BAy

RLRRy =

=

avec cos. RLA = et )sincos.(cos RRLRB =

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9.4.2 Singularits

Une configuration singulire est une position du mcanisme engendrant des phnomnes particuliers, gnralement indsirables, comme des vitesses nulles ou des forces infinie.

Une singularit de type 1 apparat lorsque B=0 et R.cos=0 (si 0sincos. = RRL cest une sigularit de type 3)

R.cos=0 signifie que =pi ou =0.

Les positions obtenues correspondent lalignement de la bielle et de la manivelle sur laxe. Dans cette configuration :

une vitesse sur la manivelle ne produit pas de vitesse sur loscillateur, on peut appliquer une force infinie sur loscillateur sans quil ny ait de moment

dinduit sur la manivelle. (en pratique on ne peut pas prdire si la manivelle va partir vers le haut ou vers le bas)

Une singularit de type 2 apparat lorsque A=0

RLRL == cos0cos. , le triangle OAB est rectangle en B (cela nest possible

que si la bielle est plus courte que la manivelle). Dans cette configuration :

une vitesse sur loscillateur ne produit pas de vitesse sur la manivelle, on peut appliquer un moment infini sur la manivelle sans quil ny ait de force

induite sur loscillateur. (en pratique on ne peut pas prdire sur loscillateur va partir vers la gauche ou vers la droite)

Une singularit de type 3 apparat lorsque B=0 et 0sincos. = RRL sincos.sincos. RRLRRL ==

RLRRL =+= sincos.

Il sagit ici dune singularit architecturelle puisquelle est lie la conception du systme : bielle de mme longueur que la manivelle. A =pi/2 ou =-pi/2, les proprits sont identiques une singularit de type 1.

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Figure 49: les diffrents types de singularits