Matemtica Professor CCaaddeerrnnoo ddee AAttiivviiddaaddeess PPeeddaaggggiiccaass ddee AApprreennddiizzaaggeemm AAuuttoorrrreegguullaaddaa 0022 1 1 S S r ri ie e | | 2 2 B Bi im me es st tr re e DisciplinaCurso BimestreSrie MatemticaEnsino Mdio21 Habilidades Associadas 1. Resolver problema que envolva variao proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. 2. Resolver problema envolvendo uma funo polinomialdo 1 grau 3. Reconhecer o grfico de uma funo polinomial de 1 grau por meio de seus coeficientes 4. Reconhecer a representao algbrica de uma funo do 1 grau dado o seu grfico 5.Resolver problema que envolva razes trigonomtricas no tringulo retngulo (seno, cosseno, tangente). 6. Utilizar relaes mtricas do tringulo retngulo para resolver problemas significativos. 2

A Secretaria de Estado de Educao elaborou o presente material com o intuito de estimular o envolvimentodoestudantecomsituaesconcretasecontextualizadasdepesquisa,aprendizagem colaborativaeconstruescoletivasentreosprpriosestudanteserespectivostutoresdocentes preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. A proposta de desenvolver atividades pedaggicas de aprendizagem autorregulada mais uma estratgia pedaggica para se contribuir para a formao de cidados do sculo XXI, capazes de explorar suascompetnciascognitivasenocognitivas.Assim,estimula-seabuscadoconhecimentodeforma autnoma, por meio dos diversos recursos bibliogrficos e tecnolgicos, de modo a encontrar solues para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. Estasatividadespedaggicasautorreguladaspropiciamaosalunosodesenvolvimentodas habilidadesecompetnciasnuclearesprevistasnocurrculomnimo,pormeiodeatividades roteirizadas.Nessecontexto,otutorservistoenquantoummediador,umauxiliar.Aaprendizagem efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. Destarte,asatividadespedaggicaspautadasnoprincpiodaautorregulaoobjetivam, tambm, equipar os alunos, ajud-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-os a tomar conscincia dos processos e procedimentos de aprendizagem que podem colocar em prtica. Aodesenvolverassuascapacidadesdeauto-observaoeautoanlise,elepassaatermaior domnio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno j domina, ser possvel contribuir para odesenvolvimentodesuaspotencialidadesoriginaise,assim,dominarplenamentetodasas ferramentas da autorregulao. Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princpio da autorregulao, contribui-se paraodesenvolvimentodehabilidadesecompetnciasfundamentaisparaoaprender-a-aprender,o aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. AelaboraodestasatividadesfoiconduzidapelaDiretoriadeArticulaoCurricular,da SuperintendnciaPedaggicadestaSEEDUC,emconjuntocomumaequipedeprofessoresdarede estadual. Este documentoencontra-se disponvelem nosso sitewww.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os professores de nossa rede tambm possam utiliz-lo como contribuio e complementao s suas aulas. Estamosdisposioatravsdoe-mailcurriculominimo@educacao.rj.gov.brparaquaisquer esclarecimentos necessrios e crticas construtivas que contribuam com a elaborao deste material. Secretaria de Estado de Educao Apresentao 3 Caro Tutor,Nestecaderno,vocencontraratividadesdiretamenterelacionadasaalgumas habilidadesecompetnciasdo2BimestredoCurrculoMnimodeMatemticada1 SriedoEnsinoMdio.Estasatividadescorrespondemaosestudosduranteoperodo de um ms. Anossapropostaquevocatuecomotutornarealizaodestasatividades comaturma,estimulandoaautonomiadosalunosnessaempreitada,mediandoas trocas de conhecimentos, reflexes, dvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso.Estaumatimaoportunidadeparavocestimularodesenvolvimentoda disciplinaeindependnciaindispensveisaosucessonavidapessoaleprofissionalde nossos alunos no mundo do conhecimento do sculo XXI. NesteCadernodeAtividades,osalunosvoaprenderumpoucomaissobre funes, em especial a funo polinomial do primeiro grau. H um interesse especial em construiraideiadestafunosempreassociandoasituaesdiriasdoaluno. Reservamos as aulas de 1 a 6 para este fim. Nasaulasseguintes,vocencontrarumestudoinicialdatrigonometria.So apresentadasasrazestrigonomtricassobreumtringuloretngulo.Finalizando, apresentados uma parte envolvendo trigonometria em um tringulo qualquer. Paraosassuntosabordadosemcadabimestre,vamosapresentaralgumas relaesdiretascomtodososmateriaisqueestodisponibilizadosemnossoportal eletrnico Conexo Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedaggico para o Professor Tutor. Estedocumentoapresenta12(doze)Aulas.Asaulaspodemsercompostaspor umaexplicao-base,paraquevocsejacapazdecompreenderasprincipaisideias relacionadasshabilidadesecompetnciasprincipaisdobimestreemquesto,e atividadesrespectivas.Estimuleosalunosalerotextoe,emseguida,resolveras Atividades propostas. As Atividades so referentes a dois tempos de aulas. Para reforar a aprendizagem, propem-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliao sobre o assunto. Um abrao e bom trabalho!Equipe de Elaborao 4 Introduo...............................................................................................03 ObjetivosGerais ...................................................................................... Materiais de Apoio Pedaggico .............................................................. Orientao Didtico-Pedaggica ............................................................. Aula 1: Funo Polinomial do Primeiro Grau............................................ Aula 2: Situaes problemas sobre Funes ............................................ Aula 3 : Proporcionalidade e funo linear .......................................... Aula 4 :Grfico da funo polinomial do primeiro grau ......................... Aula 5 : Reconhecimento de uma funo a partir do grfico ................... Aula 6 : Estudo do sinal da funo polinomial do primeiro grau .............. Aula 7:Razes trigonomtricas no tringulo retngulo .......................... Aula 8:Alguns ngulos Notveis ............................................................. Aula 9:Lei dos Senos ............................................................................... Aula 10:Lei dos Cossenos ....................................................................... Avaliao................................................................................................. Avaliao Comentada .............................................................................. Pesquisa ................................................................................................... 05 05 06 07 11 15 19 27 3341 49 57 64 72 73 78 Referncias.............................................................................................. 80 Fonte das Imagens .................................................................................... 81 Sumrio 5 Comovistonoprimeirobimestre,na1sriedoEnsinoMdio,oscontedos maisimportantessooconhecimentodosconjuntosnumricoseoestudodas Funes. Neste bimestre vamos focar nossa ateno na funo polinomial do primeiro grau.Consequentemente,falaremostambmdeformaintrodutria,sobrea trigonometria no tringulo retngulo e em tringulos quaisquer. NoportaleletrnicoConexoProfessor,possvelencontraralgunsmateriais que podem auxili-los. Vamos listar estes materiais a seguir: Teleaulas Telecurso:Aula8-Descrio:Aquivocpodevisualizaraconstruo do sistema cartesiano a partir de uma situao problema.Endereo eletrnico:http://www.telecurso.org.br/matematica/ Telecurso:Aula30-Descrio:Aquivocpodevisualizaruma abordagem contextualizada de aplicaes em funo do primeiro grau. Endereo eletrnico: www.telecurso.org.br/matematica Telecurso:Aula 45 - Descrio: Aula nmero 45. Uma abordagem para a aplicao da funo do 1 grau. Endereo eletrnico: www.telecurso.org.br/matematica Orientaes Pedaggicas do CM Nome: Jogando e Conhecendo o Plano Cartesiano Descrio:Nestesitesoapresentadosjogosondeoalunopode construiraideiadosistemadecoordenadas.Atravsdejogos possvel dar significado ao assunto. Endereo Eletrnico: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1913 Materiais de Apoio Pedaggico Objetivos Gerais 6 A Funo Afim Um enfoque interdisciplinar Descrio:Nesteartigosopropostasvriasatividadesparaa construo da funo afim, sempre baseado em situaes cotidianas. Endereo Eletrnico:http://www.ccmn.ufrj.br/curso/trabalhos/pdf/matematica-trabalhos/funcoesem/trabalhos%20 %20aprovados/a%20fun%E7%E3o%20afim%20-%20um%20enfoque%20interdisciplinar.pdf Artigo sobre Funes Descrio:Nestesiteoalunopodeencontrarartigosediversas atividades sobre o estudo de funes. Endereo Eletrnico: http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm ParaqueosalunosrealizemasAtividadesreferentesacadadiadeaula, sugerimososseguintesprocedimentosparacadaumadasatividadespropostasno Caderno do Aluno:1-Expliqueaosalunosqueomaterialfoielaboradoparaqueoalunopossa compreend-lo sem o auxlio de um professor.2 - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na pgina 3. 3-Reproduzaasatividadesparaqueosalunospossamrealiz-lasdeforma individual ou em dupla.4 - Se houver possibilidade de exibir vdeos ou pginas eletrnicas sugeridas na seo Materiais de Apoio Pedaggico, faa-o.5-Peaqueosalunosleiamomaterialetentemcompreenderosconceitos abordados no texto-base.6 - Aps a leitura domaterial, os alunos devem resolver as questes propostas nas ATIVIDADES. 7- Asrespostas apresentadaspelosalunosdevemsercomentadas edebatidas comtodaaturma.Ogabaritopodeserexpostoemalgumquadrooumuralda Orientao Didtico-Pedaggica 7 sala para que os alunos possam verificar se acertaram as questes propostas na Atividade. Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementao. Nasaulasanteriores,estudamosoqueumafuno.Aprendemostambma representarogrficodediferentestiposdefunes.Nouniversomatemtico, existemalgumasfunesque,porsuacontnuautilizaonodiaadia,recebemum tratamento especial, isto , so estudadas com maior profundidade.Nesta aula, vamos aprender um pouco sobre uma destas funes. a chamada funo polinomial do 1 grau, tambm conhecida como funo afim.Esperamos que seja muito divertido e instrutivo para voc. Bom estudo. 1 FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU: Denotamosfuno polinomial do 1 grau ou funo afim a toda funo do tipo: F (x) =a x + b , com a 0. Vocdeveestarseperguntandoporqueatemdeserdiferentedezero?A resposta simples! Note que se a = 0temosy = 0 . x +b ,ou seja,y = 0 + b.Neste caso,anularamosavariveleficaramosapenascomaparteconstante:y=b. Afunodeixadeserpolinomialdoprimeirograu,epassaaserumafuno constante. Observe os exemplos: a)f(x) = 2x 3 ( a = 2 e b = - 3) b) f(x) = - 5x + 2 ( a = - 5 e b = 2) c) f(x)=- x( a = - 1 e b = 0) Aula 1: Funo Polinomial do primeiro Grau. 8 muito comum representar uma funo do 1 grau por:y = a x + b, com 0 a . Paracadavalordex,afunoassumeumvaloryouf(x),entopodemos escreverumparordenadocomo(x,y)ou(x,f(x)).Esteparordenadorepresentaum ponto no plano cartesiano (x, y).Ento usamos a notao f(x) = Y.Exemplos: a) f(x) =2x - 3 y =2x - 3, b) f(x) = 5x + 2 y = -5x + 2 OdomnioeaimagemdestafunosonmerosReais,isto,podemos atribuir qualquer valor Real para x e, automaticamente, ser encontrado um valor Real para y. interessanteatentarparaofatodocrescimentoedecrescimentonesta funo.O valor de y depende exclusivamente do valor atribudo a x, sendo assim, esta funopermitemodelarsituaestantodecrescimentocomodedecrescimento proporcional. Vamos analisar alguns exemplos para que voc compreenda melhor! EXEMPLO 01: UmtaxistacobraporcorridaR$10,00Reais(bandeirada)emaisR$1,50por quilmetro rodado. Qual a funo que representa uma corrida com este taxista? Resoluo: evidente que a cada quilmetro percorrido, o taxmetro marcar mais R$1,50. Veja a tabela: No h diferena entre escrever y ou f(x). Ambos representam a funo. 9 Km percorridoPreo 110 + 1 . 1,50 210 + 2 . 1,50 510 + 5 . 1,50 X10 +x . 1,50 Analisandoatabelo,possvelperceberqueafunoserdadaporf(x)=1,50x+10,ondef(x)ovaloraserpagoexaquantidadedequilmetros percorridos. Temos ento uma funo polinomial do primeiro grau, onde a = 1,50 e b = 10. Agora que tal exercitar um pouco? 01.Escrevatrsexemplosdesituaesreaisquepodemsermodeladasatravsde uma funo polinomial do 1 grau. Resoluo:Qualquerfunoconstrudanoformatof(x)=ax+b,mesmocomb=0deverser considerada. A nica restrio a diferente de zero. 02.Deacordocomadefinio,umafunopolinomialrepresentadapor:f(x) = ax + b, com a 0.Escreva as seguintes funes dadosa e b: a) a = 2, b = 3. b) a = -1, b = 5.c) a = 0, b = -3. d) a = -2, b = -7. Resoluo: a)f(x)= 2x + 3 ou y = 2x + 3 Atividade Comentada 1 10 b) f(x) = -x + 5 ou y = -x + 5 c) A funo no pode ser construda como funo polinomial do primeiro grau, pois a = 0. d) f(x) = -2x 7 ou y = -2x - 7 03. Dadas as funes, identifique o valor de a e b: a) f(x) = 2x 5. b)y = -x + c) y = 1 x d) f(x) =

Resoluo:a) a = 2 e b = -5 b) a = -1 e b = c) a = -1 e b = 1 d) a = e b = -6 04. Dadas as funes a seguir, defina quais so funes afim. Justifique suas respostas: a) y = x2 7. No afim, pois o expoente da varivel 2. b) y=

. funo afim. c) f(x) =

- 3. No funo afim, pois a varivel o inverso de x, assim o expoente -1. d) f(x) = 8. No funo afim, pois a = 0. Resoluo: a) No afim, pois o expoente da varivel 2. b) funo afim c) No funo afim, pois a varivel o inverso de x, assim o expoente -1. d) No funo afim, pois a = 0. 11 05. Dada a funo f(x) = 2x - 3, determine: a) f(1) b) f(-1)c) f(0) d) f(

) Resoluo:a) f(1) = 2.1 3 = 2 3 = -1 b) f(-1) = 2.(-1) 3 = -2 3 = -5 c) f(0) = 2.0 3 = -3 d) f(

) = 2. - 3 =

3 = 1 3 = -2 Nestaaulavamosaprenderamodelaralgunsproblemascomafuno polinomial do primeiro grau. Voc vai perceber que todos os dias nos deparamos com situaes onde essa funo se faz presente, e instintivamente, realizamos clculos com ela.Atravs de alguns exemplosde aplicao da funo polinomial do 1 grau, vamos lev-lo a compreender esse importante assunto: EXEMPLO 01: Ocustodafabricaodosbrincosdeumafbrica dado pela funo C(x) = 3x + 27, sendo x o nmero de brincos produzidos e C o custo em reais. Calcule: a) Qual o custo da fabricao de 200 brincos?b) E o custo da fabricao de 500 brincos? Aula 2:Situaes Problemas sobre Funes 12 Resoluo: a)Paracalcularocustodafabricaode200 brincos devemos calcular C(200), ou seja: C(x)=3x+27,esendox=200,temosqueC(200)=3.200+27,isto,C(200) = 600 + 27 = 627.Ento, conclui-se que C(200) = 627.Logo, o custo igual a R$ 627,00. b) Para calcular o custo da fabricao de 500 brincos devemos calcular C(500), ou seja: substituirx = 500 na funo dada:C(x) = 3x + 27. Ento, teremos: C(500) = 3 . (500) + 27.Assim, C(500) = 1500 + 27. Conclui-se quem C(500) = 1527 Logo, o custo igual a R$ 1.527,00. EXEMPLO 02:Emumasorveteria,oquilogramadosorvetevendidoaR$25,00,sendoqueo cliente,apspesarosorvete,pagandoumacrscimodeR$3,00podeacrescentar vriostiposdecobertura.Considerandoxaquantidadedesorveteeyovaloraser pago pelo sorvete, pede-se: a)Qualafunoquedefineovaloraserpagonacompradosorvete,levando-se em conta que no consumir cobertura. b)Qualafunoquedefineovaloraserpagonacompradosorvete,incluindoa cobertura. c)Quanto pagarei se consumir 300 gramas de sorvete utilizando cobertura? d)Com R$8,00, quanto sorvete poderei comprar, se utilizar cobertura. Resoluo:Inicialmente,vamosconstruirumatabelaexplicativaparaoconsumode sorvete: 13 PesoValor pago com coberturaValor pago sem cobertura 1 kg25 . 1 + 325 . 1 2 kg25.2 + 325 . 2 0,5 kg25. 0,5 + 325 . 0,5 a)Bastamultiplicaropreodosorvetepelaquantidadeconsumida,assim,teremos:y = 25.x b) Anlogoaoitemanterior,opreodadopelovalordoquilomultiplicadopela quantidadeconsumida,porm,acrescidodataxadeR$3,00dacobertura.Ento,a funo ser dada por y = 25.x + 3 c)Observeque300gramasdesorvetepodeserrepresentadopor0,3Kg.Comoa funo dada pory=25x+3,vamossubstituir x=0,3 nafuno. Ento,temosque y = 25 . 0,3 + 3. Conclui-se que o valor a ser pago de R$ 10,50. d) Nestecasotemosovaloraserpagoeprecisamoscalcularaquantidade.Como y=25.x+3,teremosque8=25.x+3.Vocselembracomofazessaconta?Vamos relembrar!! 1) y = 25.x + 3, teremos que 8 = 25.x+3. 2) Subtraindo 3 de cada membro teremos: 8 3 = 25x +3 3,5 = 25x X = 5= 02 25.Conclui-se que x = 0,2 Kg = 200 gramas de sorvete. OBSERVAO:: Nasfunespolinomiaisdoprimeirograu,quandob=0,teremosachamada funolinear.Observeaindaqueessafunoumcasotpicodeproporcionalidade, poisdependendodosentidodessafuno(crescenteoudecrescente)teremos grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 14 01. O custo de fabricao dos carrinhos de brinquedo de uma fbrica est relacionado com a quantidade de carrinhos de acordo com a funo C(x) = 2,5x + 50, calcule: a) O custo de fabricao de 50 carrinhos;b) O custo de fabricao de 80 carrinhos. Resoluo: a) Vamos calcular C(50) = 2,5 . 50 + 50, logo C(x) = 125 + 50 = 175.Ou seja, o custo na fabricao de 50 carrinhos de 175. b) Analogamente, faremos C(80) = 2,5 . 80 + 50, assim, C(80) = 200 + 50. Conclui-se que o custo na fabricao de 80 carrinhos de 250. 02.Olucrodeumartesoemfunodonmerodepeasvendidasdadopela funo L(x) = 6x - 3000. Pede-se: a) O nmero mnimo de peas vendidas para que no haja prejuzo igual a: b) Qual o lucro para a venda de 250 peas? Resoluo:a)BastacalcularL(x)=0.Vistoquepeloenunciado,olucronopodesernegativo. Calculandoaequaoobtidatemos6x3000=0.Logo,6x=3000,e,x=3000/6. Conclui-se ento que o nmero mnimo de peas vendidas para no ter prejuzo 500. b)Vamos calcular o lucro para 250 peas, ou seja L(250) = 6 . 250 -3000. L(250)=15003000,temosqueL(250)=-1500,conclui-sequecomavendade250 peas teremos lucro negativo, ou seja, prejuzo. 03. Paulo recebe mensalmente R$ 2.000,00 fixos e mais R$ 100,00 por cada coleo de livros que ele vender. Seja x a quantidade de colees de livros vendidas por Paulo e y Atividade Comentada 2 15 osalriototalquePauloirreceber.Qualafunoquerepresentaosalriofinalde Paulo. Resoluo: Y = 2000 + 100x 04.Emumrestaurante,foifeitaumapesquisaparasaberocustonaproduodo alimento.

Baseado nesta tabela, responda s questes: a)Qual o custo do restaurante caso no tenha produo de refeies? b)Escreva a funo que define o custo do restaurante. Resoluo: a) O custo para zero refeio, de acordo com a tabela de 500,00. b) Uma funo na forma y = ax + b. Quando x = 0, teremos y = b, no caso o valor de b para x = 0 500. Temos ento que y = ax +500. Vamos substituir os valores de x e y de acordo com a tabela: 650 = a. 50 + 500, conclui-se que 50.a=150, ou seja a = 3 800 = a.100 + 500, conclui-se que 100.a = 300, ou seja a = 3. Podemos observar que o valor de a igual a 3. Substituindo na funo, teremos: y = 3x + 500. UmadasideiasmaisinteressantesestudadasnoEnsinoFundamentala questo da proporcionalidade. Voc se lembra do conceito de proporcionalidade? Quantidade de refeies Custo 0500 50650 100800 150950 Aula 3:Proporcionalidade e funo linear 16 NaGrciaantiga,apartirdosestudosdoMatemticoTalesdeMileto comeamos a tomar conscincia da utilizao da proporcionalidade. Ele descobriu que dadasduasoumaisgrandezas,possvelqueelascresamoudiminuamdeforma constante. Vejamosumbomexemploquepodemosobservaremnossasaladeaula.Se cada aluno precisa de dois cadernos, dois alunos vo necessitar de quatro cadernos e assim por diante. Observe a tabela: evidente que o nmero de cadernos deve ser o dobro do nmero de alunos. Assim,podemosescreveraseguintefunopolinomialdoprimeirograu:y=2x. Observequenohvalordeb,sendoassim,chamaremosestetipodefunode funo linear. Seguem alguns exemplos para ilustrar esse conceito: EXEMPLO 01: Ummotoristamantmseucarronumaestradacomumavelocidadeconstantede60 km/h. Responda: a) Em quanto tempo ele percorrer 240 km? b) Quando quilmetros ele percorrer em 3h? Resoluo: Esseproblemaenvolveconceitosdeproporcionalidadeefunolinear.Observe a tabela a seguir: t (em horas)d (em km) 160 2120 3180 td = 60.t Nmero de alunos Nmero de cadernos 12 24 36 48 x2x 17 Quandoissoocorreentreduasgrandezasdizemosqueelassodiretamente proporcionais,enalinguagemmatemtica,podemosdizerqueduasgrandezasso diretamente proporcionais se para cada valor de x de uma delas corresponde um valor y na outra, satisfazendo as condies: i. Quanto maior for x, maior ser y ii. Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x, ento, o valor correspondente de y tambm ser aumentando na mesma quantidade. Essacorrespondnciadexeyquesatisfazessasduascondieschama-se proporcionalidade.Mas,eseovaloraoinvsdeaumentar,elediminuirnamesma proporo? Neste caso, dizemos que os valores x e y so inversamente proporcionais. Interessante, no ? Ento, vamos testar o que aprendemos nesta aula? 01.SejamLamedidadoladoePopermetrodeumquadrado.Verifiquesea correspondencia de L em P uma proporcionalidade. Justifique a sua resposta: Resoluo:Sabemosqueopermetrodadopelasomadoslados.Sendoassim,vamosanalisar quadrados com diferentes tamanhos: LadoPermetro 1cm1 + 1 + 1 + 1 = 4 cm 2 cm2 + 2+ 2 + 2 = 8 cm 3 cm3 + 3 + 3 + 3 = 12 cm X cmx + x + x + x = 4 x cm Obviamente, a correspondncia uma proporcionalidade direta. Quanto maior o lado do quadrado, maior ser seu permetro. Atividade Comentada 3 18 02.ConsidereLamedidadoladoeAamedidadareadeumquadrado.A correspondencia de L em A uma proporcionalidade? Justifique a sua resposta: Resoluo:Demaneiraanlogavamosinvestigararelaoentreladoerea,lembrandoquea rea deum quadrado de lado x dado por x . x, isto , x2. Ladorea 1cm1 . 1= 2 cm2 2 cm2 . 2 = 4 cm2 3 cm3 . 3 = 9 cm2 x cmx . x = x2 cm2 Ento, claro perceber que no h crescimento proporcional entre as grandezas lado e rea.Enquantooladoaumentaacadaumaunidade,ocrescimentodareano acompanha na mesma proporo. 03.Umalojadeeletrodomsticoslanaumapromoorelmpago.Nessapromoo, todas as notas fiscais recebero sobre o preo final um desconto de 10%. Pede-se: a) Afuno que representa o valor a ser pago aps o desconto de 10%? b) Quanto um cliente pagar se comprar R$5600,00? c) At que valor em mercadorias poderei comprar se tenho R$2.700,00 para gastar? Resoluo: a)Podemosrepresentar10%pelodecimal0,1,sendoassim,paracalcular10%sobre um montante, basta multiplicar esse montande por0,1.Como o total de 100%, aps descontar os 10% o cliente pagar apenas 90% da mercadoria. Este percentual por ser representado pelo decimal 0,9. Representaremosaquantidadevendidapelavarivelxeovaloraserpagopela varivel y. Fica ento y = 0,9 x 19 b)Lembrandoquey=f(x),podemosescreverentocomof(x)=0,9x.Calculando f(5600) teremos: f(5600) = 0,9 . 5600. Ento, F(5600) = 5040,00.c) Dada a funo y = 0,9x, como temos o valor de y, basta substituir e calcular x. 0,9x= 3000, isolando a varivel teremos: x =

, conclui-se que x = 3.000,00. 04. Em uma padaria o quilograma do po custa R$ 5,50. Detemine. a) O preo pago por 2 Kg de po. b) O preo pago por 500 gramas de po. c)Afunoquedefinearelaoentreopreodoquilogramadepoeovaloraser pago. Resoluo: a) 2 . 5,50 = 11,00 b) O preo pago por 500 gramas de po equivale a 0,5 quilograma, assim, teremos 0,5 . 5,50 = 2,75 c)Afunoquedefinearelaoentreopreodoquilogramadepoeovaloraser pago.Vamosconsiderarycomosendoovaloraserpagoexaquantidadedepo adquirida. Logo, a funo ser dada por y = 5,5 x. No plano cartesiano, o grfico da funo polinomial do 1 grau representado porumareta.Umaformadeconstruiressegraficoconhecerosdoispontos principais da reta: o ponto onde o grfico intersecta o eixo x e o ponto onde o grfico intersecta o eixo y. Aula 4: Grfico da funo polinomial do 1 grau 20 1 - INTERSEO COM O EIXO X: Na interseco com o eixo x, temos que f(x) = 0, ou seja, isso significa que y = 0 , logo,x ser a raiz da equao ax + b = 0.Se resolvermosa equao ax + b = 0, temosque:ax = b.Isolando a varivel temos:x =

. Podemos concluir que o ponto de interseco da reta com o eixo x dado por( b/a, 0). 2 - INTERSEO COM O EIXO Y: Naintersecodaretacomoeixoy,teremosquex=0,isto,nafunoy=ax+b,quandox=0teremosy=a.0+b,oqueimplicadizerquey=b. Concluimos ento, que a interseo da reta com o eixo y representada no ponto (0, b). claroquepodemosdeterminarinfinitosoutrospontosdareta,pormestes dois nos so satisfatrios para a funo afim. Nafunolinear,ogrficosempreintersectaoeixoxnoponto(0,0)e consequentementetambmintersectaoeixoynomesmoponto.Assimteremos apenas um ponto, o que no define uma reta. Como proceder nesses casos? simples! Sabendoqueodomniodafunopolinomialdoprimeirograuoconjuntodos nmeros Reais, podemos atribuir a x qualquer valor desse conjunto. EXEMPLO 01: Vamos construir o grfico da funo linear y = 2x. Resoluo:Vamoscomearcalculandoaraiz,queconformejestudamos,dadapor:x=b/a.Ento,considerandox=0,temosquex=0/2=0.Definimosassimoponto (0,0).Comoainterseaodaretacomoeixoxocorrenomesmopontoquea interseo com o eixo y, precisamos de um outro ponto qualquer para construir a reta. 21 Aleatoriamente escolhemos um valor Real qualquer. No desejo de no fazer um grfico muito grande, vamos atribuir um valor menor, 2 por exemplo. Calculando x= 2 temosy=2.2=4.Assim,quandox=2temosy=4.Temosentodoispontosconhecidos:(2,4) e ( 0,0).Basta agora, marcar os pontos no plano cartesiano e traar a reta. EXEMPLO 02:Faa um esboo do grfico da funo f(x) = 3x + 6. Resoluo:Paraconstruiressegrfico,vamosencontrarospontosdeinterseocomos eixos,ou seja,vamos calcularf(x) = 0ex = 0. 1)f(x) = 0 3x + 6 = 0 3x = -6 x = - 6/3 x = - 2 O ponto de interseo com x (-2, 0).Agora vamos calcularx = 0: 22 2) x = 0 f(x) = 3 . x + 6 f(0) = 3 . 0 + 6 f(0) = 6 Esse o ponto (0, 6). Paraconstruiareta,bastalocalizarospontos(0,6)e(2,0)nareta.O grfico, a reta que passa por esses dois pontos: 4 2 0 -2 -4151050-5xyxy3*x + 6 EXEMPLO 03:Faa um esboo do grfico da funo f(x) = -2x + 4. Resoluo:Fazendo f(x) = 0 temos: -2x+4 = 0 -2x = -4 x = -4/-2 x = 2 Esse o ponto (2, 0). Agora fazendo x = 0: f(0) = -2(0) + 4 f(0) =0 + 4 f(0) = 4 23 Esse o ponto (0, 4). Agora basta localizar os pontos no grfico: 3 2 1 0 -16420-2xyxy4 - 2*x Osexemplo01e02,representamgrficoscrescenteseoexemplo03, decrescente. Uma funo ditacrescente quando ao aumentarmos os valores de x, os valorescorrespondentesdeytambmaumentam,poroutrolado,umafuno decrescente quando ao aumentarmos os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem.Escrevendoemumalinguagemmatemticapodemosdizerque:uma funodo1graudotipof(x)=ax+bsercrescentequandoa>0edecrescente quando a < 0.Nafunodo1grauf(x)=ax+b,chamamosocoeficienteadecoeficiente angular,poiseleindicaainclinaodaretaemrelaoaoeixoxeocoeficienteb chamado de coeficiente linear, pois o valor de y onde o grfico intersecta o eixo das ordenadas (y). O valor de x para que f(x) = 0, ou seja, a raiz da equao ax+b = 0, chamado de zero da funo. 01. Faa um esboo do grfico das funes: a) f(x) = 2x 6 b) f(x) = x + 8 c) f(x) = 2xd) f(x) = -3x Atividade Comentada 4 24 Resoluo:a) A interseo com x dada por x = -b/a, segue que x = 6/2 = 3. Temos o ponto (3,0) Interseco com y (0,-6). Marcando os pontos no plano cartesiano, temos: b)AIntersecocomoeixoxdadaporx=-b/a,seguequex=-8/1=-8.Temoso ponto(-8,0).Aintersecocomy(0,8).Marcandoospontosnoplanocartesiano, temos: c) y = 2x xy = 2x 24 12 25 d) y = -3x xy = -3x 1-3 00 02. Dada a funo f(x) = kx+6, calcule o valor de k para que f(3) = 12. (DICA:Substitua os valores de x e y na funo dada.) Resoluo:Se f(3) = 12 teremos 3x + 6 = 12, logo, 3x = 12 6 Temos que 3x = 6, conclui-se que x = 2. 03. Dada a funo f(x) = 2x 1, determine: a)f(2) = 2.2 1 = 4 1 = 3 b)f(-1) = 2. (-1) -1 = -2 1 = -3 c)f(1) = 2.1 1 = 2 1 = 1 d)f(0) = 2.0 1 = 0 1 = -1 e)f( ) = 2.( ) 1 = 1 1 = 0 04. Determine a raiz e o coeficiente linear em cada funo: a)y = 2x 1 b)f(x) = x 3 c)f(x) = x d)f(x) = -3x +1 26 Resoluo: a)y = 2x 1 x = -b/a = Raiz = Coeficiente linear = -1 b) f(x) = x 3 x = -b/a = 3/1 = 3Raiz = 3 Coeficiente linear = -3 c) f(x) = x x = -b/a = 0/1 = 0 Raiz = 0 Coeficiente linear = 0 d) f(x) = -3x +1x = -b/a = -1/-3 = 1/3Raiz = 1/4 Coeficiente linear = 1 05. Verifique em cada caso quando a funo crescente ou decrescente. a) f(x) = -x + 4 b) y = 2 3x c) f(x) = x d) f(x) = 2x 1 Resoluo: a) a =-1, isto , a < 0 . A funo decrescente b) a =-3, isto , a < 0 . A funo decrescente c) a =1, isto , a > 0 . A funo crescente d) a = 2, isto , a > 0 . A funo crescente 27 Nasaulasanterioresaprendemosumpoucosobrefunes,especialmente sobreafunopolinomialdoprimeirograu.Aprendemosareconhecerumafuno afim e tambm a funo linear em sua forma algbrica. Estudamos como encontrar a raizdafunobemcomoaintersecocomoeixoy.Aprendemostambmsobreos coeficientes a e b da funo.Nestaaula,vamosinverteresseprocesso,poisatentonspartamosda representaoalgbricaparaconstruirogrfico.Agoraapropostainversa:apartir deumgrfico,vamosdefiniraexpressoalgbricadafuno,eanalisaroseu comportamento. Vamos l? Observe o grfico a seguir: EXEMPLO 01: 3 2 1 0 -16420-2xyxy4 - 2*x Como podemos determinar os valores dos coeficientes a e b? Muitosimples!Bastaobservarondeogrficodafunointersectaoeixoy. Temosentoovalordocoeficienteb,paraonossoexemplo1,temosqueb=4.E, para encontrar o coeficiente a, observamos a variao da funo. Note que, enquanto Aula 5: Reconhecimento de uma funo a partir do grfico 28 xestvariandoemduasunidades,emytemosumavariaodequatrounidades.J vimos quex=-b/ a . De forma equivalente podemos escrevera=- b/ x .Sabendo queb = 4e aplicando o ponto ( 0, 2 ), temos que: a = -4/2 = -2.Notequeessafunodecrescente,comisso,atribumososinalnegativoao valor de a. Conclumos assim que a funo que descrevero grfico f(x) = 2x + 4. EXEMPLO 02: Neste exemplo, vamos fazer uma anlise criteriosa da funo, observe: Inicialmenteprecisoconheceraformaalgbricadessafuno.Paraisso, vamoslembrar que todafuno polinomialdoprimeirograu umareta eseescreve algebricamente na forma y = ax + b. Precisamosidentificardoispontosnessareta,assimconsiderarospontosA(-1,1) eB(2,-1). Substituindo os valores de x e y na funo y = ax+b temos o sistema: 1 = a + b 1 = 2a + b 29 Vamos resolver esse sistema pelo mtodo da substituio. Caso no se recorde, no se preocupe, vamos explic-lo passo a passo! 1 Passo: Encontrar as equaes que formam o sistema. Na primeira equao, isolando b, temos: 1 = -a + b1+ a = bou b =( 1 + a ) 2 Passo: Substituir o valor de b na outra equao: 1 = 2a + b -1 = 2a + (1+a) -1 = 2a + 1 + a-1 = 1 + 3a -1-1=+ 3a -2 = 3aa= -2/3 3 Passo:Podemos agora substituir o valor encontrado para a na primeira equao: b = 1 + a b =1 + (-2/3)b =1- 2/3b = 3/3 2/3 b = 1/3 Como y = ax + b, temos que

Notequecomoafunodecrescenteosinaldeaobrigatoriamente negativo, pois a deve ser menor que zero. 30 01. Dados os grficos das funes reais, escreva a funo f(x) = ax + b correspondente. a) b) Atividade Comentada 5 Resoluo: O valor de b = 2. Como a raiz dada por x = b/a,e sabendo que a raiz 2, temos: 2 = -2/a, logo a = -1 Podemos escrever y= ax + , ou seja, y = x +2. Resoluo: O valor de b= 2 Como a raiz dada por x = b/a,e sabendo que a raiz -2, temos: -2 = -2/a, logo a = 1 Podemosescrevery=ax+b,ouseja, y = x +2 31 02. Em cada grfico identifique e escreva a raiz da funo, o valor de b, e se o valor de a positivo ou negativo. a)b)

c)d)

32 a) x = 1; b= -4 e a >0 b) x = -1; b = -1 e a 0 d) x = 1; b = 5 e a < 0 03. A seguir apresentado um grfico do espao em funo do tempo. Pede-se: a)A expresso que define o espao em funo do tempo. b)O espao inicial. c)O espao percorrido aps 5 segundos. d)O espao total percorrido em 10 segundos. Resoluo:a) A interseco da retacom o eixo y (aqui representado por s (espao) 50, logo, na funo, b=50. Em10segundosoespaopercorrido250,vistoquepartiudoespao50,ter percorrido200metrosem10segundos,oqueequivaleadizerqueacadasegundo, proporcionalmente, percorreu 20 metros. No caso, a = 20. Assim teremos: S = 20 t + 50 b)O espao inicial se d quando t=0, isto s = 50 metros c)Vamos calcular S(5) = 20.5 + 50 = 100 + 50 = 150 d)Vamos calcular S(10) = 20 . 10 + 50 = 200 + 50 = 250 33 04.Verifique se os pontos abaixo pertencem a funo definida no grfico: a)(-1,0) b)(-1,1) c)(2,4) d)(1,1) Resoluo:Inicialmente precisamos definir a forma algbrica da funo. O valor de b = 2. Como a raiz dada por x = b/a, e sabendo que a raiz -2, temos: -2 = -2/a, logo a = 1 Podemos escrever y=ax + b y = x +2 Para verificar se os pontos pertencem a reta, substituimos x e acharemos y. Se o ponto for pertencente a reta, encontraremos uma igualdade. Sendo assim, teremos que:a)(-1,0)0 = -1 +2 0 1. No pertence b)(-1,1) 1 = -1 + 2 1 = 1. Pertence c)(2,4)4 = 2 + 2 4 = 4. Pertenced)(1,1)1 = 1 + 2 1 3. No pertence 34 Umadasmuitasaplicaesdafunopolinomialdoprimeirograuna economia.Aprendemosnasaulaspassadascomoessafunoutilizadana modelagem de problemas envolvendo proporcionalidade. fcil entender que atravs dessafuno,podemosobservarocrecimentooudescrescimentodedeterminada atividade financeira, desde que essa atividade tenha como modelo a funo polinomial do primeiro grau. Como exemplo, vamos nos ater ao seguinte problema: EXEMPLO 01: OLucrodeumadeterminadaempresamodeladodeacordocomafuno L(x) = 5x 200. Sendo x a quantidade de material produzido poressa empresa, qual a quantidade necessria para que o lucro seja positivo? Resoluo: Inicialmenteprecisamosacharolucrozero,isto,quandoafunozero. Aprendemosqueafunotery=0nopontoquerepresentaaraizdafuno, assim,devemoscalcularqualovalordexqueanulaestafuno.Observequena funo temos:a = 5 eb = 200. Ento:x = b/a x = (200)/5 x = 40. Comoainterceodafunocomoeixoynoponto(0,200),podemos facilmente traar um grfico, pois sabemos que essa reta intersepta x em x=40 e y em y= 200. Aula 6:Estudo do Sinal da Funo polinomial do 1 Grau. 35 Notequequandox=40afunoestsobreoeixox,isto,valezero.Neste caso, no h lucro e nem prejuzo. Se a quantidade produzida for maior que 40, a reta est acima do eixo x, ou seja, o lucro positivo, e caso a produo seja menor que 40, teremos lucro negativo ou prejuzo. Fcil? Ento vamos ao prximo exemplo! EXEMPLO 02: PedrotemumafirmadereparosecobraR$50,00emaisR$10,00porhorade trabalho.SeuirmoJooofereceosmesmosserviosecomamesmaqualidade, porm, cobra a visita R$ 30,00 e R$ 15,00 a hora trabalhada. Qual destes profissionais devo chamar caso precise de seus servios tcnicos? Resoluo: Que dvida, chamo o Pedro ou o Joo?Sabe qual a resposta? Eladepende do tempogasto!Vamosconstruirumafunoparacadacaso,sabendoqueambasas expresses esto em funo do tempo, que chamaremos de h (hora). Pedro: P(h) = 50 + 10h ( R$50,00 de visita e R$10,00 por cada hora trabalhada) Joo: J(h) = 30 + 15h (R$30,00 de visita e R$15,00 por cada hora trabalhada) 36 Vamos descobrir quando os preos so iguais, para isso faremos J(h )= P(h). Observe os clculos a seguir: 30 + 15h = 50 + 10h 15h 10h = 50 30 5h = 20, h = 4 horas. Oqueissosignifica?Significaqueseoservioforde4horasdedurao, qualquer um dos profissionais cobrar o mesmo preo.E se nmero de horas for menor que 4? Qual devemos chamar? Porexemplo,seotrabalhoforde3horasdedurao?Vamossubstituirem cada funo: P(3) = 50 + 10 . 3 = 80 J(3) = 30 + 15 . 3 = 75 evidente que se o tempo de durao for menor que 4 horas, devemos chamar oJoo,vistoquecobrarumpreoinferioraocobradoporPedro,obviamente mantendoamesmaqualidadedeservio.Entretanto,seaquantidadedehoras trabalhadas for superior a 4 horas, melhor contratar os servios do Joo. Por exemplo, 5 horas de trabalho, implicam que: P(5) = 50 + 10 . 5 = 100 J(5) = 30 + 15 . 5 = 105 EXEMPLO 03: Outro exemplo de aplicao prtica simplesmente estudarmos o sinal da funo. Por exemplo, vamos estudar o sinal da funo f(x) = x +2. Resoluo:Inicialmenteprecisamosconheceraraizouzerodessafuno.Paraisso, considere que a = 1e b = 2. 37 x = b/a x = 2/1 x = 2 Como o grfico uma reta crescente (o sinal de a menor que zero), podemos analisarsobreoeixox.Parasaberqualosinaldafunoparavaloresmaiorese menoresque2,bastaatribuirmosumexemplodecada!Vamosconsiderarx=1ex = 4. Vamos verificar qual o sinal de y para cada caso: X = 4f(4) = 4 + 2. X = 1f(1) = 1 +2. f(4) = 2. f(1) = + 1. Para valoresde x maiores que 2, f(x) negativo (est abaixo do eixo x) Para valoresde x menores que 2, f(x) positivo (est acima do eixo x) Para x igual a 2, teremos a funo igual a zero. 01. Dada a funo afim definida pela expresso y = 2x 6, determine: a) A raiz da funo. b) A interseo da reta com o eixo y. c) O grfico. d) O estudo da variao do sinal da funo. Atividade Comentada 6 38 Resoluo:a) A raiz da funo dada por x = -b/a x = -(-6)/2 x =6/2 x = 3b) A interseo da reta com o eixo y ocorre em b = -6, ou seja, a interseco se dar no ponto (0,-6) c) O grfico: d) Se x =3 ento f(x) = 0 Se x > 3 ento f(x) > 0 Se x < 3 ento f(x) < 0 02. A academia BOA FORMA est em promoo. Oferece seus servios a partir de uma matrcula de R$70,00 e mensalidade no valor de R$40,00. Sua concorrente, a academia SADEDEFERRO,cobraapenasR$20,00dematrcula,pormamensalidadecusta R$65,00. Baseado nestas informaes, responda: a)Qualaexpressoquerepresentaovaloraserpagoemfunodotempoparaa academia BOA FORMA; b)Qualaexpressoquerepresentaovaloraserpagoemfunodotempoparaa academia SADE DE FERRO. c) Para malhar 6 meses, qual das academias ser vantajosa, levando em conta que os servios prestados so os mesmos? d) Em que condio o preo de ambas as academias ser o mesmo? 39 Resoluo: a)SejaBovaloraserpagoexaquantidadedemesesdeatividadenaacademia, teremos: B(x) =70 + 40x b)SejaSovaloraserpagoexaquantidadedemesesdeatividadenaacademia, teremos: S(x) =20 + 65x c) B(x) =70 + 40x B(6) = 70 + 40.6B(6) = 310 S(x) =20 + 65xS(6) = 20 + 65.6S(6) = 410 A academia BOA FORMA vantajosa, pois custa R$100,00 menos. d) S(x) = B(x) 20 + 65 x = 70 + 40x65x 40x = 70 20 25x = 50 Concluindo, malhando 2 meses o preo das academias igual. 03. Faa o estudo da variao do sinal em cada uma das funes a seguir: a) f(x) = 2x 4 b) f(x) = x 3 c) f(x) = -x +1 d) f(x) = 2x -3 Resoluo: a) f(x) = 2x 4 x = -b/a x = -(-4)/2 x = 2. Como a funo crescente, teremos: Se x = 2 ento f(x) = 0 Se x > 2 ento f(x) > 0 Se x < 2 ento f(x) < 0 b) f(x) = x 3 x = -b/a x = -(-3)/1 x = 3. Como a funo crescente, teremos: Se x = 3 ento f(x) = 0 Se x > 3 ento f(x) > 0 Se x < 3 ento f(x) < 0 40 c) f(x) = -x +1 x = -b/a x = -1/-1 x = 1. Como a funo decrescente, teremos: Se x = 1 ento f(x) = 0 Se x > 1 ento f(x) < 0 Se x < 1 ento f(x) > 0 d) f(x) = 2x -3 x = -b/a x = -(-3)/2 x = 3/2. Como a funo crescente, teremos: Se x = 3/2 ento f(x) = 0 Se x > 3/2 ento f(x) > 0 Se x < 3/2 ento f(x) < 0 04.Afunolucrodeumadeterminadaempresadefinidapelaexpresso L(x)=5x400.Sejaxaquantidadedematerialproduzido(emtoneladas)poressa empresa. Determine: a) Para que valor de x no h lucro e nem prejuzo? b)Nomnimoquantastoneladasdematerialaempresadeveproduzirparaterlucro positivo. c) represente o grfico da funo lucro; Resoluo:a) No haver lucro e nem prejuzo quando acontecer L(x) = 0,ento: 5x 400 = 0 5x = 400 x = 80 toneladas de material. b) Ser positivo se L(x) maior que zero. 5x -400 > 0 5x > 400 x > 80 toneladas de material. c) O grafico ao lado representa a Funo Lucro. 41 Muitas vezes nos deparamos com situaes que despertammuita curiosidade acercadesuascriao!Umbomexemploaconstruorepresentadanafigura abaixo.Comoocarpinteiromediuocomprimentodasmadeiras?Eainclinao (ngulo), que recursos ele utilizou? Observequepodemosformarvriostringulosnessaconstruo.Analiseo desenhoumpoucomaiseverifiquequantostringulosvocconsegueidentificar. Compare com seus colegas. Figura 1 Namatemticaexisteumrecursointeressantequenosajudaacalculartanto os ngulos quanto as medidas. a trigonometria no tringulo retngulo. Apalavratrigonometriavemdogregoepodeserdivididaemtrspartes: tri+gono+metria, ou seja, medida dos trs ngulos. Nesta aula veremos como encontrar lados e ngulos dos tringulos retngulos. 1 RAZES TRIGONOMTRICAS NO TRIANGULO RETNGULO: Observeafigura querepresenta o tringuloAADea posio dongulo.Ao aumentarmos os lados do tringulo, no significa que estamos aumentando o ngulo, pois ele se mantm constante. Aula 7: Razes trigonomtricas no tringulo retngulo 42 Osmatemticosdaantiguidadedescobriramqueaodividirmososladosdos tringulos, encontraremos valores constantes, isto , ao dividir um cateto do tringulo pela hipotenusa no tringulo menor encontraremos o mesmo valor dividirmos o cateto pela hipotenusa correspondente no tringulo maior. Mas como posso dividir nmeros maiores e menores e achar o mesmo resultado? uma questo de proporcionalidade. Atentosaessasrazes,digamos,especiais,osmatemticosnomearamcada umadelas.Nafiguraabaixovocpodeobservartrstringulosretngulos semelhantes, e assim fazer as seguintes razes relacionadas ao ngulo : Seno =

Cosseno =

Tangente =

Observecomoclassificarosladosdostringulosdeacordocomaposiodos ngulos e : Figura 2 Observequenodesenhootamanhodotringulo nointerferenovalordasconstantes,mas,a inclinaodasretassim.Almdisso,essasregras servem apenas para os tringulos retngulos. 43 De acordo com as figuras acima, podemos escrever as razes da seguinte: OBSERVAES IMPORTANTES: 1.Tendoconhecimentodosenoedocossenodeumdeterminadongulo,outra maneira prtica de calcular a tangente fazendo a diviso do seno pelo cosseno. Isto , seja um ngulo qualquer, temos que tg = . 2.Voc pode notar que sen = cos , de mesma forma, sen = cs . Isso se deve ao fato dosngulosebseremcomplementares, ouseja,asomadosngulosiguala 90. EXEMPLO 01: Encontrar estas razes em nosso dia a dia mais comum do que parece. No desenho abaixo, vemos um tringulo com as suas medidas.Baseado nessas medidas, calcule as razes trigonomtricas dos ngulos e . sen =

cos =

tg =

sen =

cos =

tg =

44 Figura 3 Resoluo: Observeque nafiguraahipotenusamede5m,eoscatetosmedemrespectivamente, 3cm e 4cm. Verifique ainda que, o cateto oposto ao ngulo mede 4cm, e o adjacente a , 3cm. Com relao ao ngulo , temos o inverso: cateto oposto a mede 3cm e o adjacente, 4cm.Analisada a figura, basta aplicar a formula: sen = 4/5 cos = 3/5 tg = 4/3 sen = 3/5 cos = 4/5 g = EXEMPLO 2:No tringulo abaixo vemos as seguintes medidas x cm e 50 cm, ento calcule o valor de x. Dado tg 20 = 0,37. Resoluo:Como a tangente de um ngulo dada pela razo entre cateto oposto e cateto adjacente, teremos: 45 tg 20= x / 50,substituindo tg 20 = 0,37 teremos: 0,37 = x/50.x = 0,37 . 50 x = 18,5 cm. EXEMPLO 03:Niemeyer foi um arquiteto que gostava muito de projetar prdios fora do comum, por essemotivoselesetornoumundialmenteconhecido.Afiguraabaixomostraumade suas obras com as seguintes medidas:Considere dados: sen = 0,8; cos = 0,5 e tg = 1,7. Figura 4 Calcule o valor de x e y? Resoluo: Como temos o cateto adjacente ao ngulo , vamos calcular a hipotenusa com a razo cosseno. Cosseno = cateto adjacente a hipotenusa. Substituindo os valores dados no exemplo, teremos: 0,5 = 30/y y = 30/0,5. y = 60 m. 46 Agora que sabemos o valor da hipotenusa, podemos utilizar a razo seno para calcular o lado x que oposto ao ngulo . Seno = cateto oposto a hipotenusa. Substituindo os valores dados, teremos: 0,8 = x/60 x =0,8 . 60. x = 48 m. Vamosverificarsevocaprendeu?Resolvaosexercciosabaixoeemcasode dvidas, retorne aos exemplos. 01.Sabendo-se que cos = 0,96, calcule a medida x do lado maior deste tringulo. Resoluo:Comonstemosapenasocatetoadjacenteeahipotenusa,vamosutilizararazo cosseno. 0,96 =

0,96 x = 15 x =

x = 15,625 m Atividade Comentada 7 47 02.Analiseafiguraabaixoeencontreamedidadey,emseguida,calculetambma medida x da parede. Dados os valores: tg = 0,83. Figura 5 Resoluo: Inicialmentevamoscalcularovalordey.Comotg=0,83,temosque0,83=

, consequentemente, y =

. Conclui-se que y = 1,2 m.Sendo assim, a medida do foro do telhado ser 1,2 + 3 = 4,2. Pelo mesmoprocesso, podemosagora calcular aaltura xda parede.Dessemodo,0,83=

,seguequex=4,2.0,83.Conclui-sequex aproximadamente 3,49 m. 03. Analise o tringulo abaixo e calcule cada valor pedido: a)sen b) cos c) tg d) ses e) cos f) tg Resoluo:Pararesolverestasquestes,bastasubstituirosvaloresdosladosdotringulonas razs que j estudamos. 48 b) sen =

b) cos =

c) tg =

d) sen =

e) cos =

f) tg =

04. Em umtringulo ABC, retngulo em A, o valor da hipotenusa 20 cm, se o sen

=

. Determine o valor AB e AC. Resoluo: Vamos calcular o valor de AC utilizando a razo seno. senB=

substituindoteremos:

.Aplicandooprincipiodaproporcionalidade teremos 5.AC = 4.20 5.AC = 80 AC =

. Conclui-se que AC = 16 cm. Para calcular o lado AB utilizaremos o teorema de Pitgoras: a2 = b2 + c2 202 = 162 + AB2 , calculando teremos: 400 = 256 + AB2

AB2 = 400 256 AB2 = 144, segue que AB = , concluindo, AB = 12 cm 05. No tringulo equiltero abaixo, calcule a medida x indicada. Dados sen 40 =

, cos 40 =

, tg 40 =

. 49 Resoluo: O segmento vertical perpendicular base, logo divide o tringulo equiltero em dois tringulos retngulo, cujos lados so 8, 4 e x. Vamosutilizararazoseno:sen40=

.Substituindoosdadosdo problema:

=

, aplicando a propriedade teremos:5.x = 3.8 5.x = 24, x =

x = 4,8 Dentrodoestudodatrigonometria,algunsngulossoutilizadoscommaior frequncia,poressemotivosochamadosdengulosnotveis,edevidoaesse constante uso, recebem ateno especial. Nesta aula, vamos conhecer esses ngulos e desenvolver algumas atividades com os mesmos. 1 NGULOS NOTVEIS: Paraodesenvolvimentodestaaula,destacamososngulosde30,45e60. Dadaafrequnciacomquesoutilizadosnaresoluodediversosproblemasdo Aula 8: Alguns ngulos notveis 50 cotidiano,osvaloresdeseno,cossenoetangentedessesngulospodemser memorizados, a fim de agilizar a aplicao dos mesmos em alguma atividade.Aseguirdadaa tabelacomosvaloresdasrazestrigonomtricaspara estes ngulos. Nafiguraaseguirvocveraimagemdeumhomemmedindoongulo formadoverticalmente.E,comessengulodadopodemoscalcularaalturaea distncia do homem a torre. Figura 6 Figura 7 304560 sen

cos

tg

1 Esse o teodolito. Um tipo de telescpio montado em cima de um trip, para ser usado de vrias formas, uma delas medir os ngulos verticais e horizontais. Como foi mostrado na figura acima. No esquea que o seno de um ngulo igual ao cosseno do seu complementar. 51 2 - RAZES TRIGONOMTRICAS: Usandoasrazestrigonomtricasabaixo,podemoscalcularqualquerladodo triangulo,tendoapenasumnguloeumdoslados,vejaasrazestrigonomtricas abaixo e leia os exemplos que se seguem: Vejanosexemplosaseguir,comoutilizaratabeladengulosparaencontrar valores nos tringulos: EXEMPLO 01:Usando a tabela de ngulos, descubra o valor de x: Resoluo: O valor de x o cateto oposto ao ngulo 30 . Desse modo, utilizaremos a razo seno: Sen 30 = x/10. = x/10, 2x = 10 x = 5. sen =

cos =

tg = 52 EXEMPLO 02:De acordo com o esquema abaixo calcule o valor de x e de y: Resoluo:Analisando o desenho da escada, observe que conhecemos o cateto adjacente ao ngulo. Vamos calcular o cateto oposto. Para isto, utilizaremos a razo tangente. tg 45= y/3, logo, 1 = y/3. Conclui-se que y = 3 m. Para determinar a hipotenusa (x), podemos utilizar o cosseno ou o seno, visto que j temos os dois catetos.Utilizaremos a razo cosseno. Pela formula apresentada, tem que:Cosseno 45 = 3/x.Sendocos 45=

. Basta igualar as razes: 22= 3x x =

Racionalizando o denominador: x =

=

.Dividindo 6 por 2, teremos que x = 3 m 53 EXEMPLO 03: Nafigura,temosdoisjovensmedindoongulonoteodolito.Paraencontraraaltura domuro,elesprecisamdeumdosladosdotriangulorosa.Encontre-oedescubraa altura x. Mais uma vez possvel utilizar a razo tangente, visto que temos a medida do cateto adjacente. Vamos calcular a medida do cateto oposto ao ngulo dado, para isso chamaremos o cateto oposto de z. Tg 30 = z/3. Como tg 30 =

=

3z = 3 . Conclui-se ento que z =Z aproximadamente igual a 1,73 m Como x a altura do muro somado com a altura do aparelho, teremos: X = 0,7 + 1,73 X = 2,43 m Vamos exercitar um pouco? Em caso de dvidas, retorne aos exemplos. 01. Usando a tabela de ngulos importantes, calcule o valor de x no tringulo: Atividade Comentada 8 54 Resoluo: Sen 30 =

. Substituindo, teremos:

X = 2 . 10, conclui-se que x = 20 cm. 02. No esquema abaixo temos duas velas e os seguintes ngulos 30 e 60, determine a altura das velas do barco. Resoluo:Em ambos os casos, como no temos a hipotenusa, iremos utilizar a razo tangente. Clculodavelamenor:Tg30=

substituindopelovalordatabelateremos:

,isolandoavarivelx,teremos:x=

.Precisamosracionalizar estafrao,paraistomultiplicaremostantoonumeradorquantoodenominadorpor . Temos ento:

. Segue que

conclui-se ento que a vela menor mede metros, que vale aproximadamente 1,73 metros. 55 Clculo da vela maior:Utilizaremos a mesma razo trigonomtrica para calcular aalturadavelamaior:atangente.Sendoassim,temos:tg60 =

,substituindopelo valorencontradonatabela,teremos:

segueque:y=

.Igualaoexerccio anterior,vamosracionalizarestafrao.Encontraremosquey=

.Paraacharo valor da altura da vela maior, vamos substituir por 1,73.Temos ento: y =

, calculandotemosquey=

conclui-seentoqueaalturadavelamaior aproximadamente 1, 86 metros. 03. Analise o tringulo abaixo e descubra a medida da altura: Resoluo:Aotraarmosaalturadividiremosabaseemduaspartesiguaiscom13cmcada. Teremos ento dois tringulos retngulos, onde a altura ser o cateto oposto. Como o cateto adjacente conhecido, podemos utilizar a razo tangente mais uma vez. Vamoschamaraalturadeh,entocalculandotg30=

,esubstituindopelovalor encontradonatabela,teremos:

=

.Resolvendoaproporo:3h=13,eIsolando a varivel teremos: h =

.Maisumavezprecisosubstituirovalorpor1,73.Lembre-sequeestamos trabalhandocomumnmeroirracional,isto,noumvalorprecisoesim aproximado. h =

=

= 7,5 cm. 56 04. No esquema abaixo vemos trs casas distantes entre si. Responda: Figura 8 a)Qual a distncia entre a casa de Ana e a escola? b)A distncia entre o Correio e a casa de Ana : Resoluo: a)Nesteexercciotemosocatetoadjacenteaonguloeprecisamoscalculara hipotenusadotringulo.Usaremosarazocosseno:cos45=

,comocos45=

, teremos que:

=

. Multiplicando teremos: x Isolando a varivel teremos x =

. Racionalizando a frao teremos: =

= 800AdmitindoTeremos:800 . 1,41 = 1128 metros. b)Agoraprecisamosencontrarovalordocatetooposto.Nestecaso,utilizaremosa razo seno. Sen 45 =

, substituindo temos:

2y = 1128 , isolando a varivel teremos: y =

Y = 564, substituindopor 1,41 teremos: y = 564 . 1,41 Conclui-se que a distncia entre o correio e a casa de Ana 795,24 m. 57 05.Determineaalturadatorrejqueonguloencontradopeloteodolitofoium ngulo especial. Usando a tabela descubra: Figura 9 Resoluo:Pararesolveresteexercciotemosocatetoadjacenteaonguloeprecisamos encontrarovalordocatetoopostoaestemesmongulo.Assim,utilizaremosarazo tangente. Tg 45 = 1 =

conclui-se que a altura da parte da torre representada 47 metros. Vamos agora adicionar a altura do teodolito e teremos a altura da torre. 47 m + 1,5 m = 48,5 metros. Caroaluno,nestaaulavocestudarumaimportantepropriedadeda trigonometria,aleidossenos.Estaleiestabeleceumaimportanterelaoentreas medidas dos lados de um tringulo qualquer e seno de ngulos agudos e obtusos. 1 SENO DE NGULOS OBTUSOS: Nasaulasanteriores,vimossenosdengulosagudos,nestasessoveremos comocalcularvaloresdesenosdosngulosobtusos,otrianguloabaixo,mostraa diferena entre os ngulos. Aula 9: Lei dos Senos. 58 Osenodeumnguloobtusoigualaosenodongulosuplementardesse ngulo. Resumindo, queremos dizer que:sen x = sen (180 - x) Ento se desejamos calcular o valor de sen 120, por exemplo, basta calcular: sen 120 = sen (180 - 120) sen 120 = sen 60sen 120 =

2 - LEI DOS SENOS: Observe a seguinte situao problema: A seleo da Argentina, no ano de 2011, sob o comando de Alejandro Sabella, usava a triangulao como ttica de jogo. Esse esquema facilita o jogo na hora de dar passesenamarcao.ComosaberadistnciaentreosjogadoresMessieGagona Os ngulos obtusosso os ngulos maiores que 90 e ngulos agudos, so os menores que 90. 59 horaquecongelaremaimagem,everemque,nessemomento,umtringulofoi formado por trs jogadores que representam os vrtices? Figura 10 Em qualquer tringulo as medidas dos lados do tringulo so proporcionais aos senos dos ngulos opostos. Veja:

EXEMPLO 01: No tringulo abaixo, determine o valor de x. 60 Resoluo:Substituindo os dados apresentados no tringulo na lei dos senos, temos:

Como os senos de 45 e senosde 30 so conhecidos, o problema est resolvido!! x22= 512 12 . x = 5 . 22 X = 5 EXEMPLO 02: Obtenha o seno do ngulo obtuso, e em seguida calcule o valor de x. Resoluo:Substituindo os valores do problema na lei dos senos, temos:

61 Noentanto,135noumngulonotvel.Comovamosdescobrirovalordesen (135)? simples!J estudamos nesta aula que: sen (135) = sen ( 180 - 135 )

X . = 2 X = Agora, que tal exercitar um pouco!!! 01. Encontre o valor de a no tringulo: Resoluo: Nesse tringulo temos, lado a oposto ao ngulo 45, 8 oposto ao ngulo 60.

Substituindo os senos pelas fraes:

Atividade Comentada 9 62 =a =

a =

02. Obtenha o valor de x no tringulo: Resoluo:Nesse tringulo temos: lado 5 ngulo 45, lado x ngulo 30.

03. Obtenha o seno do ngulo obtuso, e calcule o valor de x no tringulo: 63 Resoluo:Notringuloacimatemosumnguloobtuso,entoencontraremososuplemento desse ngulo para resolver a questo.

. 04. Maloca o nome que se d h vrias habitaes indgenas de uma mesma tribo. umnometambmempregadoparadesignarumaaldeiaindgena.Nafiguraabaixo vemosumadessashabitaes.Determineamedidadasmadeirasusadaspara construir essa Maloca. Figura 11 Resoluo:No desenho acima temos: lado x oposto ao ngulo 60, lado 3 oposto ao ngulo 60.

X = 3 64 05.AseleodaArgentina,noanode2011,sobocomandodeAlejandroSabella, usava a triangulao como ttica de jogo. Esse esquema facilita o jogo na hora de dar passesenamarcao.EncontreadistnciaentreosjogadoresMessieGagonahora que congelaram a imagem. Figura 12 Resoluo:

X = 2. Caroaluno,nestaaulavocestudarumaimportantepropriedadeda trigonometria: a lei dos cossenos. Essa lei estabelece uma importante relao entre as medidas dos lados de um tringulo qualquer e cosseno de ngulos agudos e obtusos. 1- COSSENO DE NGULOS OBTUSOS: Nas aulas anteriores, vimos cossenos de ngulos agudos, nesta sesso, veremos como calcular os valores dos cossenos dos ngulos obtusos. O triangulo abaixo, mostra a diferena entre os ngulos. Aula 10: Lei dos Cossenos. 65 Ocossenodeumnguloobtusoigualaocossenodongulosuplementar desse ngulo. Observe:cos x = - cos (180 - x) Ento, por exemplo, para calcular o valor de cos 135, basta fazer o seguinte: cos 135 = - cos (180 - 135) cos 135 = - cos 45 = -

2 - LEI DOS COSSENOS: Vamos explicar a lei dos cossenos, atravs da seguinte situao problema: Noramodaconstruocivil,asfigurasgeomtricasestocontinuamente presentes,masumadasfigurasbastante utilizadaotringulo,nesseprojetovemos umacasacomesseformato.NaLeidosCossenospodemoscalcularamedidade qualquerlado,tendoonguloopostoaoladoeasmedidasdossegmentosque formam o ngulo. 66 Figura 13 Emqualquertringulo,oquadradodamedidadeumladoigualsomados quadradosdasmedidasdosoutrosdoislados,menosduasvezesoprodutodas medidasdessesladospelocossenodonguloformadoporeles.Escrevendoemuma linguagem matemtica, temos: EXEMPLO 01: No tringulo abaixo, determine o valor de a. 67 Resoluo:Aplicando a lei dos cossenos, temos:

a = 36 + 100 2

a = 36 + 100 60 a = 76 a =a =

a = EXEMPLO 02: Calcule o valor de x no triangulo: Resoluo:Aplicando a lei dos cossenos, temos: 68 c = 36 + 25 2

c = 36 + 25 30 c = 61 - 30 c =

EXEMPLO 03: Obtenha o cosseno do ngulo obtuso e calcule o valor de x no triangulo. Resoluo:

a = 4 + 25 2

a = 4 + 25 + 10a = 39 a = Viu como simples!! Leia o problema, anote os dados informados e aplique na lei!Agora, vamos fazer alguns exerccios para testar seus conhecimentos! 69 01. Encontre o valor de x no tringulo: Resoluo:Aplicando a lei dos cossenos temos, a = x e seu ngulo oposto 60. , substituindo. a = 16 + 49 2

a =16 + 49 - 28a = 37 a = 02. Determine o valor de b no tringulo abaixo: AtividadeComentada 101010 Definindo Plano Cartesiano 70 Resoluo:No tringulo acima temos que encontrar o valor de b, sabendo que os valores de a e c so iguais e vale 6, aplicando a lei dos cossenos, , e substituindo. b = 36 + 36 2

b = 36 + 36 36b = 36 b =b = 6 03. Obtenha o cosseno do ngulo obtuso e calcule x no tringulo: Resoluo: Antesdecalcularosvaloresnafrmula,calculeosuplementodonguloobtuso,no esqueaqueovalordocossenodonguloobtusoigualaoangulomenososeu suplemento.. , substituindo.

a = 16 + 100 + 2

a = 16 + 100 + 40a = 156 a =a = 71 04.OTringulodasBermudasumadaspartesdomundomaistemidaspelos navegantes, esse territrio tem a fama de ser muito perigoso, pelo seu grande numero deacidentesregistrados.NessetrianguloascidadesdeMiamieSanJuanesto localizada nos vrtices A e B respectivamente. Descubra o valor de x no mapa abaixo: Figura 14 Resoluo: Usando a lei dos cossenos para calcular x no mapa acima. , substituindo. a = 64 + 49 2

a = 64 + 49 - 56a = 113 - 56 a =

05. Na construo desse casa tringular foi usado um grande caibro representado pela letra x na figura. Analise as medidas indicadas e descubra o valor de x: 72 Figura 15 Resoluo: Nodesenhoacimavemosumacasaemquequeremosmedirquantosmetrostemo telhado, para isso usaremos a lei dos cossenos. , substituindo. a = 25 + 49 2

a =25 + 49 - 35 a = 39 a = Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas que esto utilizando este material: uma avaliao e uma pesquisa. NasdisciplinasemqueosalunosparticipamdaAvaliaodoSaerjinho,pode-se utilizar a seguinte pontuao: Saerjinho: 2 pontos Avaliao: 5 pontos Pesquisa: 3 pontos Avaliao 73 NasdisciplinasquenoparticipamdaAvaliaodoSaerjinhopodemutilizara participaodosalunosdurantealeituraeexecuodasatividadesdocadernocomo uma das trs notas.Neste caso teramos: Participao: 2 pontos Avaliao: 5 pontos Pesquisa: 3 pontos Aseguirapresentaremosasavaliaespropostasnestecadernoparaeste bimestre. Abaixo voc encontrar o grupo de questes que serviro para a avaliao dos alunos. As mesmas questes esto disponveis para os alunos no Caderno de Atividades Pedaggicas de Aprendizagem Autorregulada 02. Segue o gabarito das questes da avaliao proposta no caderno de atividades do aluno: 01.Oproprietriodeumalanchonetedescobriuquenaproduodohambrguer comum gasta R$ 1,25 de material em cada unidade, alm disso, tem um gasto fixo de R$ 97,00 por conta de gs e outros materiais. Qual a funo que representa o custo (C) total na produo dos hambrgueres em funo da quantidade produzida (x). (A) C(x) = 1,25 + 97x (B) C(x) = (1,25 + 97).x(C) C(x) = 97 + 1,25x (D)C(x) = 1,25 x(E) C(x) = 97 1,25x Resoluo: A parte fixa 97 e a parte que estem funo da quantidade 1,25.Assim, C(x) = 97 + 1,25x Avaliao Comentada 74 02.Na funo polinomial do primeiro grau v(t) = 2t 4 e t(x) = 3x 4. Determine V(t) quando x = 1. (A) -2 (B) -1 (C) -6(D) -10(E)0 Resoluo:t(1) = 3.1 4 t(1) = 3 4 t(1) = -1 Como t = -1, vamos calcular v(t): v(-1) = 2 (-1) -4 v(-1) = -2 4 v(-1) = -6 03.Raquel emprestou R$ 500,00 a juros simples para um amigo na taxa de 6% ao ms. Qual a funo J(t) que define o total de juros a ser pago pelo amigo de Raquel aps um intervalo t de tempo. (A) J(t) =6t (B) J(t) = 500t (C) J(t) = 500 + 30t (D) J(t) = 30t (E) J(t) = 30 + 500t Resoluo:A cada ms Raquel pagar 6% de 500 de juros, como 6% de 500 igual a 30, temos que mensalmente o valor pago de juros 30. Como temos t meses, a funo ser: J(t) = 30t 75 04.No grfico a seguir correto afirmar que:

05. Qual a funo que melhor representa o grfico

(A) f(x) = x - 2 (B)f(x) = x + 2 (C) f(x) = -x + 2 (D) f(x) = -x - 2 (E) f(x) = -2x Resoluo: Afunodecrescente,isto , a 0; b=3; raiz 2 (C) a > 0; b= 2; raiz 3 (D) a < 0; b = 2; raiz 3(E)a < 0; b = 3; raiz 2; Resoluo:A reta decrescente, logo a