Calcul Numeric

Cursul 6

2015

Anca Ignat

1

Algoritmul lui Householder Matrice de reflexie - n nP de forma:

22

=1= 2 , , || || = | | = 1

nT n

n jj

P I vv v v v

21 1 2 11

22 2 1 2 2

1 2

21 2

= ( , , , ) =

n

T nn

n n n n

v v v v vvv v v v v v

vv v v v

v v v v v v

.

2

Matricile de reflexie sunt : simetrice - = TP P i ortogonale - 2T T nPP P P P I .

= ( 2 ) = 2( ) = 2( ) = 2 =T T T T T T T T Tn n n nP I vv I vv I v v I vv P

2

22

2

= ( 2 )( 2 ) = 2 2 4( )( ) =

4 4 ( ) = 4 4 || || =

4 4 = (|| || = 1)

T T T T T Tn n n

T T T T Tn n

T Tn n

P I vv I vv I vv vv vv vv

I vv v v v v I vv v v v

I vv vv I v

3

21 1 0 1 1 0= 2, = , = 2 (1 , ,0 0 1 0 0 1

n v P x y Px

1 1 1 1

2 2 2 2

1 0= , = =

0 1x y x x

x yx y x x

Vectorul y=Px este reflectatul vectorului x n raport cu axa Ox2. Algoritmul ce folosete matricile de reflexie pentru a obine o

descompunere QR pentru o matrice n nA a fost descris de Alston S. Householder n articolul "Unitary triangularization of a

nonsymmetric matrix" aprut n Journal of the Assoc. of

Computing Machinery 5 (1958), 339-342.

4

Transformarea matricii A ntr-una superior triunghiular se face n

(n-1) pai, la fiecare pas folosindu-se o matrice de reflexie.

Pas 1: (1) 1=A P A (matricea P1 se alege astfel nct col. 1 s fie transformat n form superior triunghiular) Pas 2: (2) (1)2 2 1= ( )A P A P P A (P2 transform col. 2 n form sup. triunghiular, fr s schimbe col. 1) Pas r: ( ) ( 1) 1 1( )

r rr r rA P A P P P A

(se transform col r

n form sup. triunghiular fr s schimbe primele (r-1) coloane)

5

Descompunerea QR construit cu algoritmul Householder este urmtoarea:

1 2 1 = =n rP P P P A QA R unde

1 2 1= n rQ P P P P Q este matrice ortogonal ca produs de matrici ortogonale.

= = = =T T TQA R Q QA Q R A Q R QR

1 2 1 1 2 1= = ( ) =T T

n r r nQ Q P P P P P P P P

6

Pasul r La intrarea n pasul r matricea A are forma:

11 12 1 1

22 2 2

1 1

0

0 0= 0 0

0 0

0 0

r n

r n

rr rn

r r r n

ir in

nr nn

a a a aa a a

a aA a a

a a

a a

7

Pasul r const n:

2

:=

= 2 ( ) , , || || = 1r

r r T r n rr n

A P AP I v v v R v

unde vectorul v r se alege astfel ca matricea A s aib i coloana r n form superior triunghiular:

8

11 12 1 1

22 2 2

1

0

0 0= 0 0 0

0 0 0

0 0 0

r n

r n

rr rn

r n

in

nn

a a a aa a a

a aA a

a

a

9

Calculul matricii Pr Pentru simplitate vom nota Pr=P , vr=v.

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1

= ( ) =0

0

0

r r r

r r r

r r r r r r

rr rrr r r

r r

ir

nr

a a aa a a

a a aa a k

Ae PA e Aea

a

a

10

Aplicnd proprietatea matricilor ortogonale :

n nQ , nx , 2 2|| ||Qx x pentru matricea Q=P i vectorul x=Aer avem:

2 2 2 2 22 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1

|| || = =

|| || =r r r r r

r r r r r rr r r ir nr

PAe a a a kAe a a a a a a a

Din relaia de mai sus rezult:

2 2 2 2 2 21

== = = =

n

rr r r ir nr iri r

k a a a a a k

Determinarea vectorului v ce definete matricea P:

11

( ) = ( 2 )( ) = 2( )( ) =

2 ( ( )) = (2 ) =

T Tr n r r r

Tr r r r

PA e I vv Ae Ae vv Ae

Ae v v Ae Ae v Ae u

unde cu i u am notat:

12

1 1

2 2

1 1 2 2

:= ( ) = ( ), = ( , ) nn

r

r

Tr r

ir i

nr n

r r ir i nr n

a va v

v Ae Ae va v

a v

a v a v a v a v

13

1 1

2 2

1 1

11

00

0

:= (2 ) = ( ) = =0

0

0

r r

r r

r r r r

rrrrr r

r rr r

irir

nrnr

a aa a

a aa ka ku v Ae PA eaa

aa

aa

14

Cu aceste notaii matricea P devine:

2

2

1 1 1 1= 2( ) ( ) = ( )2 2 2

: 2

T T Tn n nP I u u I uu I uu

Pentru a cunoate matricea P trebuie s mai determinm constanta . Din condiia:

2 2 2 22 2 2 22

1 1|| || = 1 || || = 1 || || 1 2 =|| ||2 4

v u u u

15

2 2 2 2 2 22 2 1

1

2 2 2 2 21

00

0

|| || =|| || = ( ) =

2 =2 = 2( )

rrrr r r ir nr

r r

ir

nr

rr r r ir nr rr

rr rr

a ku a k a a a

a

a

a

a a a a ka kka ka

16

de unde obinem: = rrka

Vom alege semnul constantei k astfel nct s fie ct mai mare posibil deoarce constanta apare n operaia de mprire. Avem:

" " = ( 0)semn = semn

rr

rr

mare kak a

17

Ce nseamn =0 ? 2 22 2

1

1= || || = 0 || || = 0 = 02

= , 0, , = 0, , = 0rr r r ir nr

u u u

a k a a a

Cum arr=k i semn k = -semn arr obinem:

= 0, = , ,ira i r n adic avem coloana r deja n form superior triunghiular, se poate trece la pasul urmtor. n acest caz matricea A este singular. Ne intereseaz cum se efectueaz operaia A=PrA fr a face nmulire matricial. Vom pune n eviden schimbrile n raport cu coloanele.

18

1( ) = noua col. a matr. = ( )( ) =

1 1( )( ) ( ( )) =

Tj n j

T Tj j j j

jj

PA e j A I uu Ae

Ae uu Ae Ae u u Ae

Ae u

19

1

2

11

=1 =

00

:= ( ) = ( , ) =

( ) = =

( = 0, = 1, , 1 , = , = 1, ,

n

j

j

Tj j rj rr

r rr j

nrnj

n n

rj rr ij ir nj nr i ij i iji i r

i r rr i ir

a

a

u Ae a a kaa

aa

a a k a a a a u a u a

u i r u a k u a i r

)n

20

Noua coloan j se obine din vechea coloan j din care scdem

vectorul u nmulit cu constanta j. Ne intereseaz ca primelor (r-1)

coloane s nu li se schimbe forma superior triunghiular deja

obinut.

Pentru j=1,,(r-1) avem:

21

1

2

1

1

1

00

0:= ( ) = ( = 0 , ) =

= 0

= 0

0 0 0( ) 0 0 = 0

n

j

j

jjT

j j j jrr

r rrj

nr

nj

j jj rr ir nr

a

a

a

u Ae aa ka

a

aa

a a a k a a

22

Din faptul c 0, 1,..., 1j j r rezult c primele (r-1) coloane ale matricii A nu se schimb cnd facem operaia A=PrA, rmn

n form superior triunghiular.

Algoritmul de trecere de la matricea A la matricea PrA este

urmtorul:

23

1 2 1

pentru = 1, , 1

( ) = ( , , , , ,0, ,0) pentru =

pentru = 1, ,

j

Tr j r r r r

jj

Ae j r

P A e a a a k j r

Ae u j r n

== ( , ) =n

n

j j i iji r

Ae u u a

= 0, = 1, , 1 , = , = , = 1, ,i r rr i iru i r u a k u a i r n

24

Operaia de transformare a vectorului termenilor liberi b:=Prb:

1 1 1= ( ( )) = ( ) = ( ) =T T Tr nP b I uu b b uu b b u u b b u

== = ( , ) =n

nT

i ii r

u b b u u b

25

Algoritmul lui Householder

;for 1, , 1

calculeaz matricea (constanta i vectorul )* ;* ;

* ;

n

r

r

r

r

Q Ir n

P uA P Ab P b

Q P Q

La sfritul acestui algoritm, n matricea A vom avea matricea superior triunghiular R, n vectorul b vom avea initTQ b , initb este vectorul iniial iniial al termenilor liberi, iar matricea Q va conine matricea TQ din factorizarea QR a matricii A.

26

Algoritmul Householder detaliat

2

=

;for 1, , 1

construc ia matricii constanta i vectorul

= ;

if ( ) break ; / / 1 ( s

n

rn

iri r

r n

Q Ir n

P u

a

r r P I A

ingular )

= ;if ( 0 ) ;

;; , 1, , ;

rr

rr

r rr i ir

ka k k

k au a k u a i r n

27

=

*transformarea coloanelor 1, ,

for 1, ,

= ( / ) ( , ) / = ( ) / ;

for , ,

r

n

j j i iji r

A P Aj r n

j r n

Ae u u a

i r n

=

;

transformarea coloanei a matricii; 1, , ;

*

= ( / ) ( , ) / = (

ij ij i

rr ir

rn

ii r

a a u

r Aa k a i r n

b P b

b u u b

) / ;

for , , ;

i

i i ii r n b b u

28

=

*for 1, ,

= ( , ) / = ( ) / ;

for , ,

;

r

n

j i iji r

iij ij

Q P Qj n

Qe u u q

i r n

q q u

29

Numrul de operaii efectuate: A (adunri, scderi):

3 2

( 1)(2 1) ( 1)( 1)(2 3)( 1) 2 ( 1) =3 3

2 ( )3

n n n n n nn n n

n O n

M (nmuliri, mpriri ): 3 2( 1)(2 1) 24( 1) 3 ( 1) = ( )

6 3n n nn n n n O n

R (radicali ): (n-1)