CÓNICAS - Matemática para Diseño Industrial - Homematematicaunc.weebly.com/.../3/7/0/6/37062349/07conicas.pdfSi el plano es perpendicular al eje, la figura cónica es una circunferencia

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila – Ing. Moll

CÓNICAS

Una superficie cónica está gene- rada por una recta (generatriz) que se mueve apoyándose en una curva fija (directriz) y que pasa por un punto fijo (vértice).

Si la directriz es una circunferencia y el eje perpendicular a ella y

Generatriz

Directriz

pasa por su centro, esa superficie es llamada cono circular recto Las cónicas se obtienen de la intersección de un plano con un cono circular recto.

Si el plano es perpendicular al eje, la figura cónica es una circunferencia. En cuanto el plano se inclina, la circunferencia se deforma, transformándose en una elipse. Si el plano es paralelo a la generatriz, se obtiene la parábola. Cuando el plano es paralelo al eje, corta a la superficie cónica en ambos lados respecto del vértice, y se obtiene la hipérbola. Si el plano corta a la superficie cónica en ambos lados respecto del vértice, pero sin ser paralelo al eje, también se forma una hipérbola, pero sus ramas no serán simétricas. Nosotros estudiaremos el caso de hipérbola con ramas simétricas.

1


CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro c y de radio R al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a c es igual a R.

Radio

C

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

C

P1 (x; y)

k

y

(0;0) x h

(h; k)

Radio

Y

X

Si observamos el triángulo rectángulo donde el radio es la hipotenusa, valiéndonos del teorema de Pitágoras podemos calcular el radio de la circunferencia, donde un cateto mide (x - h) y el otro cateto mide (y – k), por lo que será:

Ecuación canónica de la circunferencia 222 )()( Rkyhx =−+−

Donde h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia.

2


Ejemplo: Dadas las coordenadas del centro C (3 ; -2) y el Radio = 4 expresar la ecuación canónica de la circunferencia. Respuesta:

222 4))2(()3( =−−+− yx

222 4)2()3( =++− yx Ecuación canónica de la circunferencia Y

R=4

(0;0)

-2

3

C(3;-2 )

X

Ejemplo: Dada la ecuación determinar valores de h, k y radio.

222 3)5()2( =++− yx

Respuesta: De comparar la ecuación dada con la ecuación

222 )()( Rkyhx =−+−

Se deduce que h = 2 k = - 5 y Radio = 3

3


Cuando el centro de la circunferencia coincide con el origen del sistema de coordenadas, los valores de h y k son: h = 0 k = 0 y la fórmula queda:

222 Ryx =+ que se denomina Ecuación Canónica Reducida de la Circunferencia.

Centro

P1 (x; y)

R

y

x(0;0)

Y

X

Ejemplo: Dadas las coordenadas del centro C (0 ; 0) y el Radio = 4 expresar la ecuación canónica de la circunferencia. Respuesta:

222 4)0()0( =−+− yx

222 4=+ yx Ecuación canónica reducida de la circunferencia

4


X

Y

C(0;0 )

R=4

Ejemplo: (el camino inverso al del ejercicio anterior) Dada la ecuación X2 + y2 = 16 Deducir los valores de h , k y Radio Respuesta: de comparar la ecuación dada con la ecuación genérica:

222 )()( Rkyhx =−+−

Se deduce que h = 0 k = 0 416 ==Radio Es decir que el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas. Ecución general de la circunferencia Partiendo de la ecuación canónica

222 )()( Rkyhx =−+− y resolviendo los cuadrados de los binomios se llega a la siguiente expresión: x2 – 2h x + h2 + y2 – 2k y + k2 = R2

5


Ahora, si reordenamos los términos e igualamos a cero: x2 + y2 – 2h x – 2k y + h2 + k2 - R2 = 0

D E F Si al término (- 2 h) lo llamamos “D” al término (- 2 k) lo llamamos “E” y a al término (h2 + k2 - R2) lo llamamos “F” la expresión queda de la forma genérica: x2 + y2 + D x + E y + F = 0 Ecuación general de la circunferencia Ejemplo: Dada la ecuación x2 + y2 – 6x + 10y + 18 = 0 Determinar los valores de h, k y Radio Comparemos las dos ecuaciones (la que tenemos como dato y la genérica):

x2 + y2 – 6x + 10y + 18 = 0 x2 + y2 + D x + E y + F = 0

Podemos observar que: D = - 6 E = +10 F = +18

Si D = - 2h ⇒ - 6 = - 2 h ⇒ 326=

−−

=h

Si E = - 2k ⇒ 10 = - 2 k ⇒ 52

10−=

−=k

Si F = 18 = h2 + k2 - R2 ⇒ 418)5(3 22=−−+=R

Con esos datos podemos escribir la ecuación canónica de la circunferencia: (x – 3)2 + (y + 5)2 = 42

6


Es decir que podemos pasar de la ecuación general a la canónica y viceversa. Ejemplo: dada la ecuación: (x – 3)2 + (y + 5)2 = 42 Hallar la ecuación general. Solución: De obsevar la ecuación deducimos que h = 3 k = -5 y Radio = 4 Si D = - 2h ⇒ D = - 2 x 3 = - 6 Si E = - 2k ⇒ E = - 2 x (-5) = 10 Si F = h2 + k2 - R2 F = 32 + (-5)2 – 42 = 9 + 25 – 16 = 18 ⇒ De donde será:

x2 + y2 – 6x + 10y + 18 = 0 Nota: observemos que el término F = 18 está en el primer miembro. En caso de que la ecuación se presentara de la forma:

x2 + y2 – 6x + 10y = - 18 con el término (– 18) en el segundo miembro, antes de darle valor a F, debemos pasarlo al primer miembro, ya que caso contrario variará el signo.

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ELIPSE

P1 (x; y)

X

Y

(0;0)

F’ F

Es el conjunto de puntos del plano, tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

acteFPFPFPFPFPFP nn 2´´´ 2211 ==+=+=+ Siendo “2a” la longitud del diámetro mayor de la elipse. Elementos de la elipse

a

Y P1 (x; y)

X O

F1 0V1 V2

W1

W2

b

c

2c

8


V1 , V2 , W1 , W2 = vértices de la elipse F1 , F2 = focos de la elipse O = centro de la elipse = punto medio del segmento 21FF Segmento 21VV = diámetro mayor = 2a Segmento 21WW = diámetro menor a = semidiámetro mayor b = semidiámetro menor c = semidistancia focal 2c = distancia focal = segmento 21FF Como el vértice V1 es un punto de la elipse, se debe dar que la suma de las distancias desde este punto a los focos sea igual a 2a. Es decir que: V1 V2 F1 F2

O

a a

acteFVFV 22111 ==+ Pero: 2211 FVFV = Entonces: aFVFVFVFV 221222111 =+=+ El vértice W1 también es un punto de la elipse, por lo que aFWFW 22111 =+ Eso quiere decir que la distancia desde W a cualquiera de los focos debe ser igual a “a” Y

XO

F1 0V1 V2

W1

W2

c

a b

Por el teorema de Pitágoras será: a2 = b2 + c2

a

9


Excentricidad de la elipse Se entiende por excentricidad a la relación entre c y a.

aba

ace

22−

==

Como “a” es mayor que “c”, el valor de la excentricidad estará entre 0 y 1.

Si e = 0 ⇒ 0=ac

c = 0 ⇒ a = b es una circunferencia ⇒ ⇒

Si e = 1 implica que los focos se alejan entre sí y “c” tiende a igualarse con “a”, de modo que la elipse se estira hasta convertirse en una recta.

a a

c c

Ecuación de la elipse (cuando el centro coincide con el origen

de coordenadas)

12

2

2

2

=+by

ax

Esta ecuación representa a cualquier punto perteneciente a la elipse, es decir que para un semieje “a” y otro semieje “b” conocidos, cualquier punto cuyas coordenadas (x:y) verifiquen esta ecuación (es decir que operando la ecuación se iguale a 1) pertenecerá a la elipse. En caso de que la ecuación de un valor distinto de 1, el punto no pertenecerá a la elipse.

10


Ejemplo: Verificar si para la ecuación dada los puntos A (4:0) y B (5;0) pertenecen a la elipse.

124 2

2

2

2

=+yx

Punto A (4;0): Reemplazamos en la ecuación los valores x = 4 y = 0 (coordenadas del punto A).

12

0

4

42

2

2

2

=+

Operamos en la ecuación y obtenemos: 1 + 0 = 1 Vemos que la igualdad se verifica, es decir que ( 1 = 1), que implica que el punto A si pertenece a la elipse. Punto B (5;0): Reemplazamos en la ecuación los valores x = 5 y = 0 (coordenadas del punto A).

12

0

4

52

2

2

2

=+

Operamos en la ecuación y obtenemos: 1,5625 + 0 = 1 Vemos que la igualdad no se verifica, es decir que ( 1,5625 ≠ 1 ), que implica que el punto B no pertenece a la elipse.

11


Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse, determinar los valores de “a”, “b”, “c”, excentricidad de la elipse y las coordenadas de los cuatro vértices y de los dos focos.

1416

22

=+yx

Comparando la ecuación dada con la ecuación genérica: 12

2

2

2

=+by

ax

Podemos deducir que a2 = 16 ⇒ 416 ==a

b2 = 4 ⇒ 24 ==b

X

Y

O

F1 0V1 V2

W1

W2

c

a b

a

Por el teorema de Pitágoras será: a2 = b2 + c2

De observar el dibujo, vemos que, por el teorema de Pitágoras, será:

46,31224 2222==−=−= bac

La excentricidad será:

865,0446,3

===ace (la elipse tiende a estirarse)

12


Coordenadas de los vértices: Vértice V1: Según el eje X, el vértice está desplazado una distancia “a = 4” hacia la izquierda del origen de coordenadas, por lo tanto será la coordenada X = - 4. Según el eje Y, por estar el vértice situado sobre el eje X, su elevación sobre el eje Y será nula, por lo tanto será Y = 0. De este modo las coordenadas del vértice serán: V1 (-4 ; 0 ) Vértice V2: Según el eje X, el vértice está desplazado una distancia “a = 4” hacia la derecha del origen de coordenadas, por lo tanto será la coordenada X = + 4. Según el eje Y, por estar el vértice situado sobre el eje X, su elevación sobre el eje Y será nula, por lo tanto será Y = 0. De este modo las coordenadas del vértice serán: V2 (+4 ; 0 ) Vértice W1: Según el eje Y, el vértice está desplazado una distancia “b = 2” hacia el sentido positivo del eje (respecto del origen de coordenadas), por lo tanto será la coordenada Y = +2. Según el eje X, por estar el vértice situado sobre el eje Y, su desplazamiento sobre el eje X será nula, por lo tanto será X = 0. De este modo las coordenadas del vértice serán: V1 (0 ; +2 ) Vértice W2: Según el eje Y, el vértice está desplazado una distancia “b = - 2” hacia el sentido negativo del eje (respecto del origen de coordenadas), por lo tanto será la coordenada Y = -2. Según el eje X, por estar el vértice situado sobre el eje Y, su desplazamiento sobre el eje X será nula, por lo tanto será X = 0. De este modo las coordenadas del vértice serán: V1 (0 ; -2 ) Coordenadas de los Focos Foco F1: Según el eje X, el vértice está desplazado una distancia “c = 3,46” hacia la izquierda del origen de coordenadas, por lo tanto será la coordenada X = - 3,46 Según el eje Y, por estar el vértice situado sobre el eje X, su elevación sobre el eje Y será nula, por lo tanto será Y = 0. De este modo las coordenadas del vértice serán: V2 (-3,46 ; 0 )

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Foco F2 Según el eje X, el vértice está desplazado una distancia “c = 3,46” hacia la derecha del origen de coordenadas, por lo tanto será la coordenada X = + 3,46 Según el eje Y, por estar el vértice situado sobre el eje X, su elevación sobre el eje Y será nula, por lo tanto será Y = 0. De este modo las coordenadas del vértice serán: V2 (+3,46 ; 0 ) Ecuación de la elipse (cuando el centro NO coincide con el

origen de coordenadas) Se incorpora en la ecuación las coordenadas del centro de la elipse, para tener en cuenta la ubicación de la misma en el sistema coordenado:

1)()(2

2

2

2

=−

+−

b

ky

a

hx

Siendo “h” y “k” las coordenadas del centro de la elipse. Esta ecuación representa a cualquier punto perteneciente a la elipse, es decir que para un semieje “a” y otro semieje “b” conocidos, y para coordenadas del centro (h ; k) también conocidos, cualquier punto cuyas coordenadas (x:y) verifiquen esta ecuación (es decir que operando la ecuación se iguale a 1) pertenecerá a la elipse. En caso de que la ecuación de un valor distinto de 1, el punto no pertenecerá a la elipse.

X

Y

(0;0)

x

y

a -a

b

-b

c -c (h;k)

W1

W2

V1 V2

14


Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse, determinar los valores de “h”, “k", “a”, “b”, “c”, excentricidad de la elipse y las coordenadas de los cuatro vértices y de los dos focos.

14

)2(16

)3( 22

=+

+− yx

Comparando la ecuación dada con la ecuación genérica:

1)()(2

2

2

2

=−

+−

b

ky

a

hx

Podemos deducir que a2 = 16 ⇒ 416 ==a

b2 = 4 ⇒ 24 ==b

46,31224 2222==−=−= bac

La excentricidad será: 865,0446,3

===ace

Vemos que, respecto del ejercicio anterior donde el centro de la elipse coincidía con el origen de coordenadas, los valores de “a”, “b” , “c” y la excentricidad no varían, es decir que la elipse no se deforma al cambiar de posición, solo se modifican los valores de “h” y “k”, que antes eran iguales a cero y ahora tienen cada una un valor específico. En cuanto a identificar los valores de “h” y “k” Para que (x - h)2 sea igual a (x – 3)2 debe ser h = 3 Para que (y - k)2 sea igual a (x + 2)2 debe ser k = - 2

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(0;0)

a -a

b

-b

c -c

X

Y

(h;k)

W1

W2

V1 V2

Gráfico sin escala

Coordenadas de los vértices: Vértice V1: Para ubicar la coordenada X del vértice, debo desplazarme una distancia “h=3” hacia la derecha del eje Y, para luego retroceder una distancia “a=4” (hacia la izquierda), resultando X = 3 – 4 = -1 Para la coordenada Y del vértice, debo descender una distancia “k=2” por debajo del eje X, es decir que será Y = - 2 De modo que las coordenadas del vértice V1 serán (-1 ; -2) Vértice V2: Para ubicar la coordenada X del vértice, debo desplazarme una distancia “h=3” hacia la derecha del eje Y, para luego agregar una distancia “a=4” (hacia la derecha), resultando X = 3 + 4 = + 7 Para la coordenada Y del vértice, debo descender una distancia “k=2” por debajo del eje X, es decir que será Y = - 2 De modo que las coordenadas del vértice V1 serán (+7 ; -2) Vértice W1: Para ubicar la coordenada X del vértice, debo desplazarme una distancia “h=3” hacia la derecha del eje Y, resultando X = 3

16


Para la coordenada Y del vértice, debo descender una distancia “k=2” por debajo del eje X, para luego subir una distancia “ b=2 “ , es decir que será Y = - 2 + 2 = 0 De modo que las coordenadas del vértice W1 serán (+3 ; 0) Vértice W2: Para ubicar la coordenada X del vértice, debo desplazarme una distancia “h=3” hacia la derecha del eje Y, resultando X = 3 Para la coordenada Y del vértice, debo descender una distancia “k=2” por debajo del eje X, para luego continuar descendiendor una distancia “ b=2 “ , es decir que será Y = - 2 - 2 = - 4 De modo que las coordenadas del vértice W1 serán (+3 ; - 4) Coordenadas de los Focos Foco F1: Para ubicar la coordenada X del foco, debo desplazarme una distancia “h=3” hacia la derecha del eje Y, para luego retroceder una distancia “c=3,46” (hacia la izquierda), resultando X = 3 – 3,46 = -0,46 Para la coordenada Y del vértice, debo descender una distancia “k=2” por debajo del eje X, es decir que será Y = - 2 De modo que las coordenadas del vértice V1 serán (-0,46 ; -2) Foco F2 Para ubicar la coordenada X del vértice, debo desplazarme una distancia “h=3” hacia la derecha del eje Y, para luego agregar una distancia “c=3,46” (hacia la derecha), resultando X = 3 + 3,46 = + 6,46 Para la coordenada Y del vértice, debo descender una distancia “k=2” por debajo del eje X, es decir que será Y = - 2 De modo que las coordenadas del vértice V1 serán (+6,46 ; -2) Hasta aquí hemos contemplado el caso en que la elipse es a eje paralelo al eje X (o coincidente con el eje X). Caso en que la elipse es a eje paralelo al eje Y En este caso la ecuación cambia levemente de forma:

1)()(2

2

2

2

=−

+−

a

ky

b

hx Nótese que “b” está en coincidencia con “X”

y que “a” está en coincidencia con “y”

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PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta y un punto fijos fuera de ella. Denominándose a la recta directriz y al punto foco. Directriz

Foco

Vértice Ecuación de la parábola Para definir una ecuación que represente a todos los puntos de la parábola debemos primero referirla a un sistema de ejes cartesianos. P (x; y)

F

X

Y

h

k V

18


Donde: V es el vértice de la parábola, con coordenadas ( h ; k ) F es el foco de la parábola La ecuación que representa a todos los puntos de la parábola (con eje paralelo o coincidente con el eje X) es:

)(4)( 2 hxpky −=− Donde p es el parámetro, y es la distancia existente entre el vértice y el foco, que es la misma que existe entre el vértice y la directriz. La ecuación que representa a todos los puntos de la parábola (con eje paralelo o coincidente con el eje Y) es:

)(4)( 2 kyphx −=− El signo que tenga el parámetro p nos indicará hacia donde se orienta la parábola:

F X

Y

F

X

Y

X

Y

F

X

Y

F

Signo de p positivo

Signo de p ositivo

Signo de p negativo

Signo de p negativo

p

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Ejemplo:

Dada la ecuación: )3(4)2( 2−=+ yx

Hallar el valor del parámetro “p”, coordenadas del vértice, coordenadas del foco y ecuación de la recta directriz. Si comparamos la ecuación dada con la ecuación genérica de la parábola:

)(4)( 2 kyphx −=− Podemos deducir que:

Para que ( x + 2 )2 sea igual a ( x – h )2 debe ser: h = - 2 Para que ( y - 3 ) sea igual a ( y – k ) debe ser: k = + 3 Es decir que las coordenadas del vértice de la parábola son V (-2 ; 3) Del hecho que ( x + 2 ) esté al cuadrado se desprende que la parábola es a eje vertical, es decir con eje focal paralelo al eje “y”. Para saber si sus ramas se orientan hacia arriba o hacia abajo debemos calcular el signo del parámetro “p”.

Para que 4 sea igual a 4p se debe verificar 14444 ==⇒= pp

Vemos que el parámetro p tiene signo positivo, por lo tanto las ramas de la parábola se orientarán hacia arriba. Coordenadas del foco: En el sentido de las X, vemos que

tiene la misma coordenada que el vértice, es decir x = - 2.

En el sentido de las Y, vemos que

está elevado una distancia igual a k + p, es decir 3 + 1, por lo tanto será y = 4.

La recta directriz es horizontal y

Y

F(-2;4)

está elevada una distancia igual a k – p, es decir 3 – 1 = 2, por lo tanto su ecuación será y = 2.

X

k=3 V

y = 2

h= - 2

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Ejemplo:

Dada la ecuación: )4(8)2( 2−−=+ xy

Hallar el valor del parámetro “p”, coordenadas del vértice, coordenadas del foco y ecuación de la recta directriz. Si comparamos la ecuación dada con la ecuación genérica de la parábola:

)(4)( 2 hxpky −=− Podemos deducir que:

Para que ( x - 4 ) sea igual a ( x – h ) debe ser: h = + 4 Para que (y + 2 )2 sea igual a ( y – k )2 debe ser: k = - 2 Es decir que las coordenadas del vértice de la parábola son V (+ 4 ; - 2) Del hecho que ( y + 2 ) esté al cuadrado se desprende que la parábola es a eje horizontal, es decir con eje focal paralelo al eje “x”. Para saber si sus ramas se orientan hacia la derecha o hacia la izquierda debemos calcular el signo del parámetro “p”.

Para que -8 sea igual a 4p se debe verificar 24884 −=

−=⇒−= pp

Vemos que el parámetro p tiene signo negativo, por lo tanto las ramas de la parábola se orientarán hacia la izquierda. Coordenadas del foco:

En el sentido de las X, vemos que

está desplazado una distancia igual a h - p, es decir 4 – 2=2 , por lo tanto será x = 2. En el sentido de las Y, vemos que tiene la misma coordenada que el vértice, es decir y = - 2.

La recta directriz es vertical y

Y

F(2;-2) k = -2

h = 4 X

V

x = 6

está desplazada una distancia igual a h + p, es decir 4 + 2 = 6, por lo tanto su ecuación será x=6.

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Veremos ahora el caso en que el vértice de la parábola coincide con el origen del sistema cartesiano.

P1 (x; y)

x

y

F (p;0) X

Y En este caso h = 0 y k = 0 con lo cual la ecuación se reduce a: La ecuación que representa a todos los puntos de la parábola (con eje paralelo o coincidente con el eje X) es:

pxy 42= Donde p es el parámetro, y es la distancia

existente entre el vértice y el foco, que es la misma que existe entre el vértice y la directriz.

La ecuación que representa a todos los puntos de la parábola (con eje paralelo o coincidente con el eje Y) es:

pyx 42=

22


Ejemplo: Dada la ecuación yx 82−=

Hallar el valor del parámetro “p”, coordenadas del vértice, coordenadas del foco y ecuación de la recta directriz. Comparando la ecuación dada con la ecuación genérica de la parábola:

)(4)( 2 kyphx −=− Podemos deducir que:

Para que ( x )2 sea igual a ( x – h )2 debe ser: h = 0 Para que ( y ) sea igual a ( y – k )2 debe ser: k = 0 Es decir que las coordenadas del vértice de la parábola son V (0 ; 0)

Con lo que la ecuación se reduce a: pyx 42=

Del hecho que ( x ) esté al cuadrado se desprende que la parábola es a eje vertical, es decir con eje focal paralelo al eje “y”. Para saber si sus ramas se orientan hacia arriba o hacia abajo debemos calcular el signo del parámetro “p”.

Para que -8 sea igual a 4p se debe verificar 24884 −=

−=⇒−= pp

Vemos que el parámetro p tiene signo negativo, por lo tanto las ramas de la parábola se orientarán hacia abajo. Coordenadas del foco: En el sentido de las X, vemos que

tiene la misma coordenada que el vértice, es decir x = 0.

En el sentido de las Y, vemos que

está elevado una distancia igual a k - p, es decir 0 – 2=-2, por lo tanto será y = -2.

La recta directriz es horizontal y

Y

F(0;-2)

y = 2 V(0;0)

X

está elevada una distancia igual a k + p, es decir 0 + 2 = 2, por lo tanto su ecuación será y = 2.

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HIPÉRBOLA Es el conjunto de puntos del plano tales que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. acteFPFPFPFP 222122111 ==−=−

x

y

F2(c;0) F1(-c;0)

P(x; y)

a -a 0 V1 V2

Donde: F1 y F2 : son los focos de la hipérbola Eje focal: recta que contiene a los focos

21FF : Distancia focal = 2 c

cOFOF == 21 = Semidistancia focal Centro de la hipérbola: (O) punto medio entre 21FF

21VV : Eje real, principal o transverso de la hipérbola

aOVOV == 21

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Excentricidad de la hipérbola

Si observamos la figura, vemos que la distancia “a” es menor que “c”, por lo tanto la relación:

1>=

ace

0 V2 V1 2 F1 F

a a

c c

Si el foco se aleja del vértice, la distancia “c” será mucho mayor que la distancia “a”, por lo tanto será grande la excentricidad y se abrirán las ramas de la hipérbola. Si el foco se acerca al vértice, la excentricidad tenderá a 1 y las ramas de la hipérbola se cerrarán. Representemos en la gráfica: La ubicación del eje imaginario (o no transverso) queda determinada rebatiendo la distancia “c” hasta cortar a la perpendicular al eje X que pasa por el vértice de la hipérbola, formándose así la distancia “b”. Esta distancia, medida desde el centro de la hipérbola, nos da los vértices “W1“ y “W2”. El segmento 21WW se denomina eje imaginario. Y

c

b

F2(c;0) F1(-c;0) a -a

c

V1

W1

W2

b

O x

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Si observamos la gráfica anterior, podemos notar que se forma un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es la distancia “c”, y los catetos son las distancias “a” y “b”. Utilizando el teorema de Pitágoras podemos calcular cualquiera de esos valores si conocemos los otros dos:

22 bac +=

22 bca −= 22 acb −=

SIMETRÍA DE LA HIPÉRBOLA

P2(x ; -y)

-a O x

Y

P1(-x ; -y)

P3(-x ; y) P(x ; y)

Vemos en el gráfico que el punto P de coordenadas (x ; y) tiene puntos simétricos: P1 = simétrico respecto del centro O P2 = simétrico respecto del eje real P3 = simétrico respecto del eje imaginario

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ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Caso 1: Cuando el centro de la hipérbola coincide con el origen de coordenadas. La ecuación que representa a los puntos pertenecientes a la hipérbola es:

12

2

2

2

=−by

ax

Ecuación canónica de la hipérbola

Esta ecuación se utiliza cuando el centro de la hipérbola coincide con el origen de coordenadas cartesianas. Para que un punto pertenezca a la hipérbola, es decir que esté situado sobre la curva de la hipérbola, debe satisfacer esa ecuación. Ejemplo: Dada un punto A de coordenadas ( 4 ; 5) verificar si pertenece a la hipérbola de ecuación:

143 2

2

2

2

=−yx

Para averiguarlo debemos reemplazar en la ecuación los valores de X e Y por las coordenadas del punto dado:

145

34

2

2

2

2

=− 11625

916

=− 156,178,1 ≠− 0,22 ≠ 1

Como vemos, al reemplazar los valores de X e Y en la ecuación, no se mantiene la igualdad, esto quiere decir que el punto A (4 ; 5) no pertenece a la hipérbola representada por la ecuación dada. Si el resultado del reemplazo hubiese sido 1 = 1 el punto A si hubiese pertenecido a la curva.

27


ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

a -a

cc

aa

bb

X

Y

0,0 F(c;0) F’(-c;0)

W1

W2

V1 V2

Por los vértices V1 y V2 trazamos las perpendiculares al eje X. Por los vértices W1 y W2 trazamos las perpendiculares al eje Y. Se generan dos rectas cuyas ecuaciones son:

xaby = x

aby −=´

Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola. Las ramas de la hipérbola se aproximan indefinidamente a las asíntotas, pero nunca se tocan. En ellas la distancia entre curva y recta tiende a cero cuando x, y o ambas tienden a infinito.

Ejemplo: Dada la ecuación 1169

22

=−yx

determinar: Semieje real, semieje

imaginario, coordenadas del centro, vértices y focos, excentricidad y ecuación de las asíntotas. Semieje real: Si a2 = 9 39 ==⇒ a Semieje imaginario: Si b2 = 16 416 ==⇒ b

28


Coordenadas del centro: Como el centro coincide con el origen de coordenadas, será: O (0 ; 0) Coordenadas de los vértices: V1 (-a ; 0) = (-3 ; 0) V2 (+a ; 0) = (+3 ; 0) W1 (0 ; +b) = (0 ; +4) W2 (0 ; -b) = (0 ; - 4) Coordenadas de los focos:

Por teorema de Pitágoras: 52516943 2222==+=+=+= bac

F1 (-c ; 0) = (-5 ; 0) F2 (+c ; 0) = (5 ; 0)

Excentricidad: 66,135===

ace

Ecuación de las asíntotas:

xaby = xy

34

=

xaby −=´ xy

34

−=

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Caso 2: Cuando el centro de la hipérbola NO coincide con el origen de coordenadas. La ecuación que representa a los puntos pertenecientes a la hipérbola es:

1)()(2

2

2

2

=−

−−

b

ky

a

hx Ecuación canónica de la hipérbola

Esta ecuación se utiliza cuando el centro de la hipérbola NO coincide con el origen de coordenadas cartesianas. “h” y “k” son las coordenadas del centro de la hipérbola, y deben ser incluídas en la ecuación para representar el corrimiento de la hipérbola respecto del origen de coordenadas.

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El hecho que la hipérbola se halle desplazada respecto del origen de coordenadas no deforma la hipérbola, por lo tanto no variará su excentricidad, es decir que las ramas de la hipérbola tendrán la misma apertura sea donde fuere que ubiquemos el sistema de ejes cartesianos, ya que éstos son solo un punto de referencia.

c

b

F2(c;0) F1(-c;0) a -a

V1

c

W1

W2

b

O

x

Y

h

k

Ejemplo: Dada la ecuación 19

)2(25

)3( 22

=−

−− yx

determinar: Semieje real,

semieje imaginario, coordenadas del centro, vértices y focos, excentricidad y ecuación de las asíntotas. Semieje real: Si a2 = 25 525 ==⇒ a Semieje imaginario: Si b2 = 9 39 ==⇒ b Coordenadas del centro: Como el centro NO coincide con el origen de coordenadas, debemos identificar los valores de “h” y “k”. Para que (x – h) sea igual a (x - 3) debe ser h = 3 Para que (y – k) sea igual a (y - 2) debe ser y = 2 será: O ( h ; k) = (3 ; 2)

30


Representemos gráficamente: Y Coordenadas de los vértices: V1 (h-a ; k) = (3-5 ; 2) = (-2 ; 2) V2 (h+a ;k) = (3+5 ; 2) = (8 ; 2) W1 (h ; k+b) = (3 ; 2+3) = (3 ; 5) W2 (h ; k-b) =(3 ; 2- 3) = (3 ;-1) Coordenadas de los focos:

Por teorema de Pitágoras: 83,53492535 2222==+=+=+= bac

F1 (h-c ; k)=(3-5,83 ; 2)=(-2,83 ; 2) F2 (h+c ; k) = (3+5,83 ; 2) =(8,83;2)

Excentricidad: 166,1583,5

===ace

Ecuación de las asíntotas: Aquí, por no pasar las rectas por el origen, no podemos emplear las ecuaciones vistas anteriormente, Debemos plantear la ecuación de la recta que pasa por un punto:

(y – k) = +/- m (x – h)

donde “h” y “k” son las coordenadas del centro de la hipérbola y m es la pendiente de la recta

b F2 F1

a -a

c

V1

W1

W2

b

O

x h=3

k=2 V2

-b

8 -2

31


Resumiendo: h = 3 k = 2 abm −+=−+ //

Con estos datos formamos las ecuaciones Para la primer asíntota:

)()( hxabky −+=− )3(

53)2( −+=− xy

)3.53

53)2( −+=− xy 2

59

53

+−+= xy 51

53

++= xy

Para la segunda asíntota:

)()( hxabky −−=− )3(

53)2( −−=− xy

)3.53

53)2( +−=− xy 2

59

53

++−= xy 5

1953

+−= xy

CASO EN EL QUE EL EJE FOCAL ES PARALELO O COINCIDENTE CON EL EJE “y” Hasta ahora hemos visto la hipérbola con el eje focal paralelo o coincidente con el eje “x”, es decir con el eje focal horizontal. Cuando el eje focal es vertical, es decir paralelo, o bien, coincidente con el eje “y” debemos modificar las ecuaciones. Si observamos las ecuaciones consideradas hasta el momento, podremos advertir que la distancia “a” estaba en correspondencia con “x”, y la distancia “b” estaba en coincidencia con “y”. Para el nuevo caso que nos toca, la distancia “a” estará en coincidencia con “y” y la distancia “b” estará en coincidencia con “x”. Por otro lado, hasta ahora al termino en “x” se le restaba el término en “y”, cuando en este nuevo caso al termino en “y” se le resta el término en “x”.

32


ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Caso 3: Cuando el centro de la hipérbola coincide con el origen de coordenadas. La ecuación que representa a los puntos pertenecientes a la hipérbola es:

12

2

2

2

=−b

x

a

y Ecuación canónica de la hipérbola

Caso 4: Cuando el centro de la hipérbola NO coincide con el origen de coordenadas. La ecuación que representa a los puntos pertenecientes a la hipérbola es:

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

Ecuación canónica de la hipérbola

F(0;-c)

X

Y

F’(0;c)

a cc

aa bb

0,0

-a

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CÓNICAS - Matemática para Diseño Industrial - Homematematicaunc.weebly.com/.../3/7/0/6/37062349/07conicas.pdfSi el plano es perpendicular al eje, la figura cónica es una circunferencia