ISBN 978-957-43-3690-6 財務管理原理(七版) 謝劍平 著

第二章 貨幣的時間價值

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本章大綱

2.1

終值與現值

2.2

年金終值與年金現值

2.3 應用實例

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終值與現值(1/3)

終值

世界上最強大的力量不是星球撞擊的力量，也不是核子爆

發的威力，而是複利效果！

~~~~Albert Einstein

定義：

–

貨幣在未來特定時點的價值，包括了貨幣的時間價值，

簡言之即為複利的結果。

–

複利為定期以本利和計算一次利息的計息方式。

–

現今的歐洲、日本等合計超過全球GDP1/4的國家已陷

入負利率，「複利」變成「負利」，貨幣原有的時間價

值已由正變零、再轉為負的價值。

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終值與現值(2/3)

例如：若現在存入1萬元，利率8%的3年期定期存款，3年 後的終值為12,597.12元：

$10,000×(1+8%) ×(1+8%) ×(1+8%)

= $10,000×(1+8%) 3=$12,597.12

終值的計算公式

FVn

=PV0

×(1+k%)n=PV0×FVIF(k%, n)PV0表示目前的貨幣價值

FVn表示PV0以k%為複利單位，在長達n年（或n期）

投資期間結束時的終值

FVIF(k%, n)其實相當於(1＋k%)的n次方值，稱為終

值利率因子

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牛刀小試 2-1

若年初時您在P2P鄉民貸借了1萬元，年利率為20%，借期為2年6 個月，半年計息一次，則2年半後您必須償還多少本利和呢？

ANS：

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終值與現值(3/3)

現值

指未來的貨幣在今日的價值。

「未來的貨幣」即在未來的時點上「確定」或「預期」會

收到的現金流量。其計算公式如下：

PV0

終值轉換成現值的過程稱為折現，折現的意義在於將未來

不同時點的貨幣價值轉換到今日的價值，有助於在相同的

時點上進行價值大小的比較。

)n%,k(PVIFFV)n%,k(FVIF

FV%)k1(

FVn

nn

n

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牛刀小試 2-2

延續上例，如果在2年6個月後您有能力償還的金額僅有15,000 元，則今日您最多只能夠向P2P業者借多少呢？

ANS：

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腦力激盪

當您還可以每個月向爸爸媽媽伸手要零用金時，您希望零用金

發放的日期是在月初，還是月底？數年後您成家立業了，打算

每個月「孝敬」父母親1萬元，又您將會在月初給，還是月底

給呢？

為什麼期間愈長（其他條件不變），現值利率因子就愈小，而

終值利率因子就愈大呢？請給一個「質的」理由。

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年金終值與年金現值(1/5)

年金

年金為一特定期間內，定期支付的等額現金流量。如下圖

所示：

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年金終值與年金現值(2/5)

年金隨著支付時點的不同，而有各種不同的名稱。

–

年金的開始支付時點在第1期期末者稱為普通年金。

–

在第1期期初者稱為期初年金。

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年金終值與年金現值(3/5)

年金終值

是一連串等額現金支付的「個別終值總和」。

例如：

–

老張在小明15歲時的小年夜與小明達成約定，從「明年

除夕」（即為普通年金）開始每年給小明1,000元的壓

歲錢，那麼小明到了20歲的除夕時，其終值總和為何？

若小明將每年拿到的1,000元馬上存入銀行的帳戶裡，

則壓歲錢會隨著時間而增加其名目價值。由於每次存入

1,000元的時點不同，將計算出不同的終值。因此若以

20歲時的除夕為計算終值的時點，在利率為10%的情形

下，小明每年所獲得的1,000元之個別終值及其總和將

如表2-1、圖2-4所示。

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表2-1 普通年金終值的求算過程

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圖2-4

普通年金終值是 「個別年金終值的總和」

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圖2-5

期初年金終值的概念

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牛刀小試 2-3

若您打算向金融機構開立「零存整付」帳戶，自今年年底起每年

存入1,000元，年利率為8%，且每年複利一次，則10年後本利和

共有多少？

ANS：FVOAn＝PMT ×

FVIFA(k%, n)

＝$1,000 ×

FVIFA(8%, 10)

＝$1,000 ×

14.487＝$14,487

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年金終值與年金現值(4/5)

年金現值

未來一系列等額支付現金之個別現值總和。

將上例中普通年金問題的時點轉移到「明天」，則小明所

有領到的壓歲錢之現值總和為何？

如表2-2及圖2-6所示。

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表2-2 普通年金現值的求算過程

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圖2-6

普通年金現值是個別現值的總和

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圖2-7

期初年金現值亦是個別現值的總和

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牛刀小試 2-4

有一個5年期的年金，每期1,000元，年利率10%，第一次付款日

是今年年底，請問此一年金現值是多少？

ANS：PVOAn＝PMT ×

PVIFA(k%, n)

＝$1,000 ×

PVIFA(10%, 5)

＝$1,000 ×

3.7908＝$3,790.8

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年金終值與年金現值(5/5)

永續年金

永續年金其意為沒有到期日的年金；應重視的為其現值。

–

永續年金現值

–

永續年金現值

利率

定期支付

%kPMT

%k111

%k1PMT

...)k1(

PMT...%k1

PMT%k1

PMTn2

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牛刀小試 2-5

若有一年金為無限期，每期1,000元，期末開始支付，年利率

10%，則該永續年金現值是多少？

ANS：

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腦力激盪

年金在保險實務上是經常被使用的工具之一，請問您知道有哪

些保險產品是利用年金的概念來設計的嗎？

普通年金與期初年金的主要差異何在？實務上這種差異存在的

合理性為何？請您一併思考。

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應用實例(1/3)

隱含利率的求算

老張購買新屋需借款50萬元，他目前有兩個選擇：一是向

銀行辦理利率9%的3年期貸款；二是向老王借50萬元，3年 後一次還65萬元，何者為佳？

利用終值公式求算：

FV＝$650,000＝$500,000

×(1＋k%)3

→(1＋k%)3＝1.3

→k%≈9.14%

表示老王借錢給老張的利率較銀行貸款利率9%還要高。因

此，老張應向銀行辦理貸款才是。

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牛刀小試 2-6

年初時您在兆豐銀行買了一張1萬元的2年期定存單，2年後您領

回12,000元，如果利息是以每半年複利一次的方式計算，則此定

存單之年利率為何？

ANS：

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應用實例(2/3)

有效年利率的使用

有效年利率說明了特定付息條件下的真正利率水準，此有

助於比較複利期間不同的金融資產所提供的實際報酬率。

k%表示名目利率（年利率）

m表示在1年內的複利次數

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應用實例(3/3)

例：有一筆10萬元的存款（年利率12%並半年複利一

次），則1年後這筆存款的有效年利率為：

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牛刀小試 2-7

若您在P2P鄉民貸借了1萬元，約定2年後必須償還22,500元，您

知道這當中隱含的年利率是多少？

ANS：FV＝$10,000 ×

(1＋k%)2＝$22,500 →k＝50%

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腦力激盪

如果您看到元大銀行因慶祝成功合併大眾銀行而提供按季付息

的存款優惠，永豐銀行則按月付息，在掛牌利率同為5%的水

準，您會選擇去哪一家存款呢？為什麼？

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摘要(1/2)

本章係財務數學的基礎，說明了貨幣之所以具有時間價值（利

率為正的情形），係因「在金融體系運作下，利率的存在賦予

了今日的1塊錢可在未來產生額外的價值」。

終值乃是複利的結果，現值則是未來的貨幣在今天的價值；若

投資期間相同，利率愈高，終值愈高，現值愈低；若利率水準

相同，投資期間愈長，終值愈大，現值愈小。

年金係指定期、定額支付的現金流量。依支付時點不同，分為

普通年金及期初年金；又期初年金支付時點較普通年金早，享

有較多的時間價值，故無論是計算年金終值或年金現值，期初

年金均較普通年金來得大。至於永續年金，則是指沒有到期日

、無限多期的年金。

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摘要(2/2)

在應用方面，名目利率乃借貸雙方在契約上所約定的利率水準

，一般皆以年為單位；有效年利率則依實際所支付的利息推算

出的真正利率水準。因此，在相同的名目利率下，若複利次數

愈多，貨幣的終值愈高，有效年利率也就愈高。