Colegio Nacional de Buenos Aires · Sistemas de medición angular: ... Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. ... Página 4 de 26 c)

Colegio Nacional de Buenos Aires

PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA CUARTO AÑO - 2018

Unidad 1: Funciones exponenciales y logarítmicas

Función exponencial. Definición. Características. Representación gráfica. Logaritmo: definición. Propiedades. Cambio de base. Función logarítmica. Definición. Características Representación gráfica. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Unidad 2: Relaciones y funciones trigonométricas

Primera parte

Sistemas de medición angular: sistema sexagesimal y radial. Definición de las funciones trigonométricas. Teorema del seno y del coseno. Aplicaciones a la resolución de triángulos oblicuángulos. Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo. Signo de las funciones en los cuatro cuadrantes. Funciones de la suma y diferencia de dos ángulos. Funciones del ángulo duplo. Relaciones entre las funciones de los ángulos complementarios, suplementarios, que difieren en π y opuestos. Identidades.

Segunda parte

Ecuaciones trigonométricas. Representaciones gráficas de seno, coseno y tangente. Función armónica generalizada. Unidad 3: Vectores en el plano y en el espacio

Concepto de vector. Versores fundamentales. Expresión canónica y cartesiana de un vector. Adición de vectores. Multiplicación de un vector por un escalar. Propiedades. Ángulo entre dos vectores. Producto escalar de dos vectores: definición y propiedades Norma de un vector. Producto vectorial entre dos vectores: definición, propiedades e interpretación geométrica. Fórmula de cálculo. Producto mixto: definición, propiedades e interpretación geométrica. Fórmula de cálculo. Paralelismo y ortogonalidad entre vectores.

Unidad 4: Geometría lineal en 3ℝ . Sistemas de ecuaciones lineales.

Primera parte

Ecuación vectorial de una recta en 3ℝ . Intersección entre dos rectas. Rectas paralelas. Rectas

alabeadas. Ecuación general de un plano. Obtención de la ecuación de un plano conocidos un punto y un vector normal ; dados tres puntos no alineados; determinado por una recta y un punto exterior; determinado por dos rectas paralelas no coincidentes; determinado por dos rectas que se cortan. Segunda parte

Planos proyectantes de una recta. Intersecciones: recta –plano y plano-plano. Distancias: punto-punto; punto-recta; punto plano; recta - recta; recta – plano. Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Crámer y método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos. Sistemas con parámetros.

- Colegio Nacional de Buenos Aires - Matemática - 4º Año – Guía de Trabajos Prácticos

T.P. Nº1 – 4to Año Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Guía de T.P. - C.N.B.A Página 1 de 26

Unidad 5: Números complejos

Número complejo: definición. Parte real e imaginaria de un número complejo. Unidad imaginaria. Adición y multiplicación en ℂ . Forma cartesiana y binómica. Complejos conjugados. Propiedades. División de números complejos. Potencias de i Argumento y módulo de un complejo. Propiedades del módulo. Forma trigonométrica y polar de un complejo. Multiplicación y división de complejos en forma polar y/o trigonométrica. Representación gráfica de números complejos. Potenciación de números complejos. Fórmula de De Moivre.




TRABAJO PRÁCTICO 0 – Repaso de temas y conceptos vistos

1 Resolver en ℝ las siguientes ecuaciones.

a) ( )3

x 2 1− + = b) 3x x=

c) 4 24x 5x 1 0− + = d) ( ) ( )22 2x x 8 x x 12 0− − − + =

e) 4 24x 15x 4 0+ − = f) ( )2x 2 18 x 6+ + = −

g) ( ) ( )4 2

x 1 3 x 1 2− − − = − h) ( ) ( )2 2 2m 1 . m 3 2m− + =

i) ( )2 2 4 34a 1 a a a a− − = − + j) ( )( )4 3 23 x 16 x 2x x 0− − + =

k) ( )( )1437 75 10 3 91 y y 0− + = l) ( )( )( )( )3 3 2x 8 x 8 6x 7x 8 1 x 0− + + + − =

m) 9 7 9 79p 7p 6p 7p− = −

2 Encontrar el conjunto solución en ℝ de las ecuaciones siguientes:

a) =x + 5 x - 5 10

+x - 5 x + 5 3

b) 2

x + 11 9+ 4x= 7 -

x x c) − = +

2 354x 2x

x 3

d) 1

x 5x 3

+ =−

e) ( ) ( )2

x 5 x 10 x 5 x 24 0− + − + = f) +

=− −

2

t 1 1

t 1 t 1

3 Resolver en ℝ las siguientes inecuaciones:

a) ( )+ − + ≥15

x ( 3x 9) 0 b) ( )+ − <2x 1 (3x 2) 0 c) + ≥23x 15x 0

d) ( )+ ≥2x 10 4 e) ≤

4x 5 f) ( )− − ≥2x 2 . x 5 0

g) − <2x x 0 h) − ≤ −2 212

x 4 x i) ( ) ( )( )− > + +22x 3 4 x 1 x 2

j) + + ≤2x 2x 1 4 k) ≤3x x

4 Encontrar el conjunto solución en ℝ de las siguientes inecuaciones:

a) −

<+ −

2

2

25x 90

3 x 5 b) < −

2 3

x 5 c) − >

2 3

x 5 d)

−<

+

327 x0

x 3




e) 2

|x 2|0

x 5

−≤

− f)

2x 50

|x 2| 2

−≤

− − g)

2x 50

|x 2| 2

−≤

− + h)

2

2x 40

x 9

−≥

−

i) − < −2

3 1x

j) ≥1 6

x x k) < −

+

32

x 2 l)

+<

+

3x 21

x 1

5 Dadas las siguientes funciones definidas de su dominio D en ℜ :

i) = − +2f(x) x 2x 1 ii) = + −2f(x) x 5x 2 iii) = −f(x) x 3

iv) = −2f (x) x x v) =

−

1f(x)

x 2 vi) =

2

1f(x)

x

a) Hallar dominio e imagen.

b) Clasificarlas de D en ℜ y hallar sus conjuntos mayorantes en los que resultan biyectivas

c) En dichos conjuntos, definir la función inversa.

Conjunto mayorante: Máximo en sentido de inclusión.

6 Dada la recta 12r : y x 1= − + , obtener la ecuación de la recta s que cumple con la condición

establecida en cada ítem:

a) s // r y contiene al origen de

coordenadas. b) s ⊥ r y tiene ordenada al origen -3.

c) s ⊥ r e interseca al eje de abscisas

en -3. d) s // r y contiene al punto ( )= 2

3A ,9 .

7 ¿Para qué valor de m, las rectas ( )r : 5m 1 x y 2 0− − + = y s : 3x 6y 9 0− + = son perpen-

diculares?

8 Un auto circula por la ruta 2 y la distancia (en km) que lo separa de Buenos Aires en función

del tiempo (en hs) está dada por una función lineal. Se sabe que a las dos horas de haber

partido de la ciudad de origen se encontraba en el km 150 y que media hora más tarde se

encontraba a 100 km de Bs. As.

a) Encontrar la fórmula de la función lineal de la que habla el enunciado.

b) ¿Qué parámetro de la fórmula hallada en el ítem a), indica que el auto se acerca a Buenos

Aires? ¿Por qué?




c) ¿A qué distancia de Bs. As. se encontraba el automóvil en el momento de partir? ¿A qué

velocidad circula?

d) ¿En qué momento pasó por el km 225 de la ruta?

e) Graficar e indicar un dominio que dé cuenta de la situación.

9 Escribir la fórmula de una función cuadrática definida de ℝ en ℝ , que verifique lo pedido

en cada caso:

a) su vértice es el punto ( )=V 6,0 y tiene concavidad positiva.

b) su vértice es el punto ( )= − −V 1, 3 y contiene al punto ( )= − −A 1, 2 .

c) sus raíces son 0 y-2 y tiene concavidad negativa.

d) sus raíces son 3 y -1 y contiene al punto ( )=A 0,1 .

e) tiene un máximo = −x 3 , ( )− =f 3 6 y ( ) =f 0 0

f) es creciente en ( )−∞ −; 3 , ( )− =f 3 6 y ( ) =f 0 0

10 Se están haciendo pruebas desde un submarino lanzando misiles desde cierta profundidad y

registrando su altura, medida en metros respecto del nivel del mar, en función del tiempo,

medido en segundos. Un misil fue lanzado desde una profundidad de 160 m, atravesó la

superficie a los 2 seg. de haber sido lanzado y explotó contra el blanco que flotaba en el mar

6 seg. después.

a) ¿Cuál es la variable independiente del problema? ¿Y la dependiente?

b) Definir la función que permite calcular su altura en función del tiempo sabiendo que se

trata de una función cuadrática. (Nota: Dar un dominio que sea coherente con la

situación planteada.)

c) Cuál fue la máxima altura que alcanzó el proyectil? ¿En qué momento sucedió?

d) ¿A qué altura se encontraba 1 segundo después de haber sido lanzado? ¿Y a los 3

segundos.?

e) ¿En qué intervalo de tiempo estuvo por encima del nivel del mar? ¿Y por debajo?

11 Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:




a) =

= +

2y x

y x 2 b)

= − −

+ =

2y x x 6

y 10 3x c)

( )

( )( )

= − +

= − −

y 3x x 2

y 4 x 1 x 3

12 Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:

a) 3P(x) = x - x b) =1 3

27S(x) x - 8 c) 2Q(x) x 5= −

d) ( )=2

T(x) 2x + 1 - 9 e) 4 3 2R(x) = 4x -12x + 9.x f) 4U(x) = 25x -16

g) = + − −3 2P(x) 8x 6x 5x 3 h) = − − +

3 2Q(x) 4x 6x 6x 4 i) 1 4 3 2

2S(t) = - t - t + t + 2t

j) = + + −3 2T(x) x 5x 3x 9 k) = − − +3 2M(x) x x 8x 12 l) = − − +3 2N(x) x x 8x 12

13 Indicar para que valores están definidas las siguientes expresiones y simplificarlas.

a) −

− −

4

4 2

x 16

x 2x 8 b)

−

−

6

2

x 1

x 1 c)

+ + +

+

3 2

2

2 t 2 t 2 t 2

t t

d) 4 3 2

3 2

x - 2x - x + 2x

x - 2x e)

3 2

3 2

- x + 3x - 4

x + x - 6x f)

2

3 2

3x - 3x

2x - 2x

Respuestas

1 a) {1} b) {0; 1; -1} c) { }− −1 12 2

1; 1; ; ....d) { }− −3;2; 2 ; 1 e) { }−1 12 2; f) { }− −3 2 ; 2

g) { }+ −2;0; 1 2 ;1 2 h) { }−4 43 ; 3 i) + −

− −

5 73 5 730; ;

6 6 j) { }−2; 2; 0 ;1

k) { }−10 3;3 2

l) { }−2; 2; 1 m) { }−0; 3 ; 3

2 a) { }−10; 10 b) { }− 13;2

c) { }− 16;6

d) { }4 e) { }16; 1; 9 ;4 f) R - { }−1; 1

3 a) − 15; 3 b) ( )− 1 2

2 3; c) −∞ − ∪ + ∞( ; 5] [0; ) d) R e) ∅

f) ( ) −∞ − ∪ + ∞ ∪ ; 5 5 ; { 2} g) ( )0 ; 1 h) − 3 32 2; i) −∞ 1

24( ; ) j) [ ]−3 ; 1

k) − ∪ + ∞( 1; 0) (1; )




4 a) ∅ b) ( )− 103; 0 c) ( )− 10

3; 0 d) ( )+ ∞3 ; e) ( )− 5 ; 5 f) ) ) − ∪ 5 ; 0 5 ; 4

g) − 5 ; 5 h) ( ] ( )− ∪ + ∞3; 2 3; i) ( ) ( )−∞ ∪ + ∞; 0 1 ; j) ( )−∞ ; 0 k) ( )− 72; 2

l) ( )− − 12

1 ;

6 a) = − 12

y x b) = −y 2x 3 c) = +y 2x 6 d) = − +281

2 3y x

8 a) = − +Kmh

y 100 x 350km c) 350 km; 100 km/h d) A las 1,25 h (1 h 15 min.) de haber

partido.

9 a) Una respuesta posible es ( )= +2

y x 6 b) ( )= + −21

4y x 1 3

c) Una respuesta posible es ( )= − +y x x 2 d) ( )( )= − − +13

y x 3 x 1 e) y f) ( )= − + +22

3y x 3 6

10 b) ( )( )= − − −f(t) 10 t 2 t 8 ; [ ]=fD 0 ; 8 c) 90m a los 5seg. d) A 70m bajo el mar.

e) ( )2 ; 8 y [ )0; 2

11 a) ( ) ( ){ }−2 ; 4 ; 1 ; 1 b) ( ){ }−2 ; 4 c) ∅

12 a) ( ) ( )− +x x 1 x 1 b) ( ) ( )− + +21

27x 6 x 6x 36 c) ( ) ( )− +x 5 x 5 d) ( ) ( )− +4 x 1 x 2

e) ( )−22 3

24x x f) ( ) ( )( )− + +

22 5 2 5 45 5 5

25 x x x g) ( ) ( )( )+ + − 312 4

8 x x 1 x

h) ( ) ( )( )− + −12

4 x x 1 x 2 i) ( ) ( )( )− + + −12t t 2 t 2 t 2 j) ( ) ( )− −

2x 1 x 3 k) ( ) ( )+ −

2x 3 x 2

l) ( ) ( )( )− + +2x 1 x 2 x 9

13 a) { }∈ℜ ≠ ±x / x 2 ; +

+

2

2

x 4

x 2; b) { }∈ℜ ≠ ±x / x 1 ; ( ) ( )+ + − +

2 2x x 1 x x 1

c) { }∈ℜ ≠ ∧ ≠ −t / t 0 t 1 ; ( )+

22 t 1

t d) { }∈ℜ ≠ ∧ ≠x / x 0 x 2 ;

− +(x 1) (x 1)

x




Unidad 1 – Funciones Exponenciales y logarítmicas

Los siguientes problemas son un extracto de los “Aportes para la enseñanza. Nivel Medio”.

Ministerio de Educación. CABA 2007.

PROBLEMA 1: LOS CUADRADOS SOMBREADOS

Observen la siguiente figura:

“A partir de un cuadrado realizaremos una nueva construcción: se trazan las diagonales y por cada

vértice se dibuja una paralela a la diagonal. A esta construcción que da origen a otra figura la

denominaremos el paso.”

a) Comparen el área del cuadrado obtenido en el paso 1 con el área del cuadrado original.

b) Si se repite el paso varias veces ¿podrían indicar cómo serán las áreas de los cuadrados que se

van obteniendo respecto del cuadrado original?

c) Si llamamos A al área del cuadrado original, determinen qué área tendrá el cuadrado generado

en el paso 17.

d) ¿Se podría dar una expresión generalizada del área del cuadrado obtenido en el paso n?

(también en este caso el cuadrado original tiene área A).

PROBLEMA 2: LOS CUADRADOS SOMBREADOS

Observen la siguiente figura:

A un cuadrado, el más grande, que llamaremos inicial, cuya área es 1, se le trazaron las medianas y

se sombreó el cuadrado inferior derecho. En este caso se llama paso al trazado de las medianas y

al sombreado del cuadrado inferior derecho. Al cuadrado que queda determinado en la parte




superior izquierda se le trazan sus medianas y se sombrea el cuadradito que queda en la parte

inferior derecha. Y así se continúa.

a) ¿Cuál es el área del cuadrado que queda sombreado en el primer paso, en el segundo y en el

cuarto?

b) ¿Habrá algún paso en el que se obtenga un cuadrado de área 1/60?

c) Si sabemos que el área que quedó sombreada en el séptimo paso es 1/16384 ¿cuál será el área

sombreada en el cuadrado que se obtenga en el siguiente paso? ¿ y en el anterior?

d) ¿Habrá una expresión general que me permita saber el área de los sucesivos cuadraditos

sombreados según la cantidad de pasos que se hicieron?

e) ¿Podrían contestar la pregunta anterior si el área del cuadrado original fuera A en lugar de 1?

PROBLEMA 3: LOS PIOJOS

En la cabeza de un niño se coloca un número determinado de piojos a las 10 de la mañana del día

lunes 05-05-08 y se observa la evolución de la población de piojos mediante un sofisticado

procedimiento computarizado (o sea, los piojos se pueden contar ¡con precisión!). Transcurridos

10 días el niño convive con 180 piojos en su cabeza. Si se sabe que una población cualquiera de

piojos tarda 5 días en triplicarse,

a. ¿Cuántos piojos habrá transcurridos 20 días?

b. ¿Cuántos piojos había transcurridos 5 días?

c. ¿Cuántos piojos se pusieron en la cabeza?

d. ¿Cuántos piojos había el primer día?




1 Función Exponencial – Algunos conceptos teóricos

Una función f : A B / y f(x)→ = , decimos que es exponencial cuando responde a la fórmula:

xf(x) a.b c= +

Dicha expresión, está sujeta a las condiciones siguientes:

Al número “b” se le llama Base: b 0 b 1> ∧ ≠

“a” se denomina Factor: a 0≠

“c” es el término independiente y puede ser cualquier número real.

Las expresiones dadas a continuación, siempre hablando en variable real, son ejemplos de

funciones exponenciales:

x11 2f (x) .3= x1 2

2 2 3f (x) .3= −

( )x1

3 2f (x) 2. 4= − + x 1 14 2f (x) 2 += −

Gráficos de las funciones exponenciales - Ejemplos

Completar acorde con la expresión dada, la tabla de valores indicada y representar la curva

correspondiente en un sistema cartesiano de ejes.

a) x12f : / f(x) .2 1ℜ → ℜ = −

x y

0 12−

1 0

2 1

3 3

4 7

-1 34−




b) ( )x 31

2 4f : / f(x) 3.ℜ → ℜ = −

Observaciones:

• El Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales. Ello

significa que el trazado de la misma es a lo largo de todo el eje de abscisas.

• La gráfica es siempre una curva estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Ello

depende de la base.

Si a 0 y b 1> > , la curva asociada es creciente.

Si a 0 y 0 b 1> < < , la curva es decreciente.

Nota: Los conceptos de crecimiento y decrecimiento son muy intuitivos, por ello es que no los definimos

exhaustivamente

• La recta y c= es siempre asíntota horizontal, pero lo es sólo hacia los valores de “x”

crecientes o bien decrecientes.

• La intersección con el eje de abscisas, no siempre existe, y se logra igualando la expresión

de la función a cero.

• La intersección con el eje de ordenadas, siempre existe, y se obtiene otorgando a la

variable valor cero.

• Es inyectiva y no sobreyectiva.

x y

0 94

1 34

2 0

3 38-

4 916−

-1 214




Ecuaciones Exponenciales

Son como su nombre lo indica, igualdades que poseen al menos un valor incógnita como

exponente. Para su resolución es indispensable aplicar propiedades de la potenciación.

Dado que dichas propiedades están sujetas a condiciones de posibilidad, puede suceder que

la solución no exista, o bien el resultado logrado no satisfaga el enunciado.

Ejemplos:

i) 2x3x 1 2x2 16 . 2−

=

Resolución:

Expresando como potencia tenemos:

42x3x 1 3x 12x 2x2x2 16 . 2 2 2 . 2− −

= =

Entonces: ( ) ( )22

x x2x3x 1 3x 12x2 2 . 2 2 2

+− −= =




Dado que ambos miembros tienen la misma base podemos igualar los exponentes. Así

resulta:

2 2 2

x x3x 1 2x x 1 x x 2 0− = + − = − − =

Aplicando la fórmula resolvente tenemos que:

( )1 2

1 1 8x x 2 x 1

2

± − −= = ∧ = −

El resultado es válido solamente con la primera respuesta, ya que la segunda no verifica.

ii) x

1x 1 29 2 10 . 4

−+− =

Resolución:

Si aplicamos propiedades de la potencia, podemos escribir la ecuación de la siguiente

manera.

( )x2

x1 2. 1x 1 x 129 2 10 . 4 9 2 .2 10.2

− −+− = − =

Aplicando distributiva en el segundo miembro, tenemos:

xx x 2 x x x5

22

29 2.2 10.2 9 2.2 10. 9 2.2 .2

2−− = − = − =

De esto último, resulta:

x x929 .2 2 2 x 1= = =

Ello, efectivamente, es la solución a la ecuación.

Ejercitación

1) Hallar, si existe, el conjunto de ceros, la intersección con el eje de ordenadas, la ecuación

de la asíntota y graficar aproximadamente las funciones exponenciales cuyas fórmulas

están dadas por:

a) ( ) x13f : / f(x) 3. 1ℜ → ℜ = −

b) ( )x 34

3 2f : / f(x) 2.ℜ → ℜ = − +

c) ( )x5 1

2 2f : / f(x)ℜ → ℜ = +




2) En la función exponencial dada por la fórmula xf(x) a.b c= + , sabemos los siguientes

datos: { } ( )30 02C 1 ; y es A.H.; P 2;3= = − = pertenece al gráfico de “f”. Hallar los

valores de “a, b y c”

Ayuda: Acorde con los datos, sabemos que 32c = − porque el problema nos indica la

ecuación de la asíntota horizontal.

Dado que { }1C0 = 1 3 32 2f(1) 0 a.b 0 a.b = − = =

Además, como ( )0P 2;3= , pertenece al gráfico de “f”. Ello significa que:

2 23 92 2f(2) 3 3 a.b a.b= = − =

De estas dos expresiones: 32

2 92

a.b

a.b

=

=

Dividiendo miembro a miembro podemos calcular los valores de “a” y de “b”.

Nota: Si en una función exponencial conocemos tres puntos de su gráfica, ello es suficiente para hallar la

fórmula asociada a la misma.

Más en general: Si una función es estrictamente creciente (o estrictamente decreciente), y de ella

conocemos tres puntos, siempre existe una función exponencial asociada que contiene a esos tres puntos.

Ejercicio de examen:

La gráfica cartesiana de una función exponencial, cuya fórmula está dada por la expresión

xf(x) a.b c= + pasa por los puntos: ( )A 1;2= ; ( )72B 2;= ; ( )C 0;1= . Calcular los valores de “a,

b y c”. Realizar un gráfico aproximado de la misma mostrando allí las intersecciones con los

ejes. Escribir la ecuación de la recta asíntota.

Resolución:

Acorde con los datos debe ocurrir que: 2 27 72 2

0

2 a.b c 2 a.b c (1)

a.b c a.b c (2)

1 a.b c 1 a c (3)

= + − =

= + − = = + − =




2 372 2de (1) y (2) 2 a.b a.b a.b.(b 1) ( )

de (1) y (3) 2 a.b 1 a a.(b 1) 1

− = − − = ∗ − = − − =

Dividiendo miembro a miembro, resulta:

32a.b.(b 1)

a.(b 1) 1

−=

−

3b

2=

Acorde con la igualdad escrita en )(∗ debe ocurrir que:

3 3 312 2 2 2a.b.(b 1) a . .− = = a 2=

Volviendo a la igualdad expresada en )1( podemos calcular el valor de “c”:

322 a.b c c 2 2. 1− = = − = − c 1= −

El valor calculado nos permite afirmar que la recta asíntotas es y 1= −

Así llegamos a que la función solicitada cuya fórmula es: ( )x3

2f(x) 2. 1= −

Su gráfica resulta ser:

3) Hallar la función exponencial del tipo xf(x) a.b c= + si se sabe que pasa por los puntos:

( )A 1;2= ; ( )72B 2;= ; ( )1

3C 1;= −




4) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) x23 27= b) x x 52 4+

= c) x 1 x2 4 80+ + = d) x x17.6 12.6 5−− =

2 Logaritmos – Definición y propiedades

Definición

La pregunta es ¿A qué número, si existe, se debe elevar la base para que dé por resultado el

argumento?

Acorde con la definición, un logaritmo es la operación inversa de una exponencial. En ella,

dijimos anteriormente que el número llamado “base” debe ser positivo y distinto de 1. Si la

base es positiva, elevada a cualquier exponente siempre va a resultar un número positivo.

Ello hace que, en el campo real, los logaritmos sólo admiten argumentos positivos.

Ejemplos:

I) 3log 81 4= porque 43 81=

II) 12

log 8 3= − porque ( )31

2 8−

=

III) 3 25 3log 25 = porque ( )

23 35 125=

IV) blog b 1= porque 1b b=

V) blog 1 0= porque 0b 1=

Observación: En los ejemplos desarrollados anteriormente, la base y el argumento son

potencias de un mismo número. En ese caso, el cálculo del logaritmo es inmediato y se

yblog x y b x= ⇔ =

base

argumento

yblog x y b x= ⇔ =

b 0 b 1> ∧ ≠

x>0




puede realizar en forma algebraica. De no ser así habrá que aproximar la respuesta o dejarla

expresada sin hacer el cálculo.

Por ejemplo, queremos calcular: 827

81516log

Dado que la base y el argumento son ambos potencia de 23

el cálculo se puede realizar

aplicando la definición y propiedades de la potenciación:

Sea ( )827

p81 8 815 516 27 16log p= ⇔ = (Por definición de logaritmo)

Entonces: ( ) ( )p3 432 5

3 2 =

Dado que el primer miembro es una potencia de potencia y el segundo lo podemos expresar

como un exponente racional, resulta: ( ) ( )4

53p2 23 3

−=

Siendo la misma base, podemos igualar los exponentes.

4 45 153p p= − ⇔ = −

La base de un logaritmo, puede ser cualquier número mientras posea la condición de ser

positivo y distinto a 1. En particular, cuando la base es “10” la misma no se escribe y los

llamamos logaritmos decimales. Cuando la base es el número “e” ( e 2,71≅ es el Nro de

Euler) los llamamos logaritmos Naturales o Neperianos (debido a un científico escocés John

Napier que investigó profundamente sobre el tema).

10log x log x= Logaritmos decimales

elog x ln x= Logaritmos naturales o Neperianos

Función logarítmica

Una función f : A B / y f(x)→ = , decimos que es logarítmica cuando responde a la fórmula:

( )bf(x) log ax c d= + +

Dicha expresión, está sujeta a las condiciones siguientes:

Al número “b” se le llama Base: b 0 b 1> ∧ ≠

“ax+c” se denomina argumento y acorde con lo visto más arriba ax c 0+ >

“d” es el término independiente y es un número real que no posee ningún requisito.




Las expresiones dadas a continuación, siempre hablando en variable real, son ejemplos de

funciones exponenciales:

( )1 3f (x) log 2x 1= − ( )12

2f (x) log 1 x 1= − −

( )3f (x) log x 4= − ( )4f (x) ln x 2= −

Gráficos de las funciones logarítmicas - Ejemplos

Para graficar funciones logarítmicas, al igual que en las exponenciales, se puede hacer

mediante una tabla de valores, pero esos valores elegidos conviene que sean adecuados. De

no ser así, la representación gráfica se vería muy lejos de lo que queremos mostrar

Como podemos observar a continuación, los valores elegidos de variable son potencias de 3,

que es la base del logaritmo. Ello nos simplifica los cálculos.

a) 3f : / f(x) log x 1+ → = −ℝ ℝ

Si construimos una tabla de valores,

considerando que su dominio son los reales

positivos y eligiendo como argumento,

potencias de tres, resulta.

x y

1 1−

3 0

9 1

31 2−




b) ( ) ( )12

f : 1; / f(x) 2 log x 1− + ∞ → ℜ = + +

Observaciones:

• El Dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales donde su

argumento es positivo. Ello significa que aquel número que anula el argumento es la

asíntota vertical de la gráfica.

• La gráfica es siempre una curva estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Ello

depende de la base.

Si b 1> , la curva asociada es creciente.

Si 0 b 1< < , la curva es decreciente.

• El valor de variable que anula el argumento es siempre asíntota vertical correspondiente

a la curva, pero lo es sólo cuando nos acercamos a la misma con valores mayores o

menores.

• La intersección con el eje de abscisas siempre existe, y se logra igualando la expresión de

la función a cero.

• La intersección con el eje de ordenadas, puede nos existir y se obtiene otorgando a la

variable valor cero. Ello siempre y cuando se trate de un valor del dominio.

x y

0 2

12− 3

1 1

3 0




Cálculo de la función inversa

Como pudimos apreciar, la función exponencial y la logarítmica son una inversa de la otra.

Dado que las exponenciales tienen dominio real, pero su imagen no lo es, para poder

calcular la dicha inversa debemos aplicar restricciones que permitan su existencia. Es decir,

restringir para que sea biyectiva.

Ejemplos:

Dadas las funciones siguientes, aplicar las restricciones necesarias para que exista la

función inversa y definirla.

a) x 13f : A B / f(x) 3→ = −

Acorde con lo visto ℜ=fD e ( )1f 3Im ;= − + ∞ . Con esa definición, ”f” admite inversa.

( ) x1 13 3f : ; / f(x) 3ℜ → − + ∞ = −

Para el cálculo de su fórmula procedemos así: Cambiamos la “x” por la “y”

x y↔

( )y y1 1 133 3 3x 3 x 3 log x y= − ⇔ + = ⇔ + =

Luego:

( ) ( )1 11 133 3f : ; / f (x) log x− −− + ∞ → ℜ = +

Nota: Los gráficos de ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados, deben ser simétricos

respecto de la recta xy =




Propiedades de los logaritmos

I) ( )b b blog x.y log x log y• = +

Enunciado: El logaritmo de un producto (entre factores positivos) es igual a la suma de

los logaritmos de cada uno de ellos.

Justificación:

Sean: blog x p= y blog y q=

Acorde con la definición de logaritmo debe ocurrir que:

pblog x p b x= ⇔ =

qblog y q b y= ⇔ =

Si estas dos igualdades las multiplicamos miembro a miembro, resulta:

p q

p q p q

b

b .b x.y b x.y+

+= ⇔ =��

Y por definición de logaritmo tenemos que:

( )blog x.y p q= +

Reemplazando, resulta: ( )b b blog x.y log x log y= +

Ello es lo que queremos demostrar.

Consecuencia inmediata:

Considerando “n” un número natural podemos deducir que:

�n

b b b b b b

n veces n veces

log x log x.x...x log x log x ... log x n. log x = = + + + =

��

Esta propiedad, que dedujimos para “n” Natural, es extensible a cualquier exponente,

mientras existan los logaritmos de cada uno de los factores.

Observación: nn

b blog x log x≠

En el 1er miembro tenemos: ( )n

b blog x n.log x=

En el 2do miembro, en cambio: ( ) ( ) ( ) ( )n

b b b b

n veces

log x . log x .... log x log x=��




Así como demostramos la propiedad anterior, es posible demostrar las propiedades que

damos a continuación:

II) b b b

xlog log x log y

y

= −

Enunciado: El logaritmo de una división (si el dividendo y divisor son positivos) es igual a

la diferencia entre los logaritmos.

III) n

nb b

log x log x• =

Enunciado: Si en un logaritmo elevamos la base y el argumento a un mismo exponente

(no nulo), el valor de logaritmo, no se altera.

IV) ( ) ( )b xlog x . log b 1• =

Enunciado: El producto entre dos logaritmos donde la base pasa a ser argumento y

recíprocamente, es igual a 1.

V) ( ) ( )b x blog x . log c log c=

Enunciado: El producto entre dos logaritmos donde la base del segundo es el argumento

del primero, es un único logaritmo que tiene como base a la del primero y como

argumento al del segundo.

Justificación:

Sean: blog x p= y xlog c q=

Acorde con la definición de logaritmo debe ocurrir que:

pblog x p b x= ⇔ =

qxlog c q x c= ⇔ =

Reemplazando una igualdad en la otra resulta:

( )q

p p.qqx c b c b c= ⇔ = ⇔ =

Y por definición de logaritmo tenemos que:

blog c p.q=




Reemplazando, resulta: b b xlog c log x.log c=

Ello es lo que queremos demostrar.

Consecuencia in mediata: (Propiedad del cambio de base)

b b xlog c log x.log c= ⇔ bx

b

log clog c

log x=

Esta propiedad nos permite calcular un logaritmo pasando de una base a otra, mientras

cumpla el requisito de ser un número positivo y distinto a uno.

Ejemplo: Calcular 3log 7

La respuesta no se puede hallar algebraicamente y lo único que podemos afirmar es que

se trata de un número entre 1 y 2. Sin embargo, mediante la fórmula de cambio de base

podemos plantear la siguiente igualdad.

3

log7log 7 1,77124

log3= ≅

En efecto: 1,771243 6,99997 7≅ ≅

Nota: Acá lo hemos llevado a base 10, pero el resultado no depende de la nueva base. Además, hicimos una

aproximación con cinco decimales. El aproximar logaritmos con menos cifras significativas, conduce a un

error que no es menor.

VI) blog xb x=

Enunciado: El resultado de elevar una exponencial en base “b” a una logarítmica en la

misma base, es igual al argumento.

5) Hallar los valores de “a”, “b” y “c” en la función logarítmica cuya fórmula está dada por la

expresión ( )bf(x) log 2x a c= + + , si se sabe que pasa por los puntos:

( )A 0; 2= − ; ( )B 1; 3= − ; ( )C 3; 4= −

6) Resolver aplicando sólo propiedades, sin utilizar calculadora.

a) 52log 64 b) log 8000 log 8−

c) 2 log 6 log 2 log 5 log 36+ + − d) x 3 log 3 log 5 log 30 log 2 log9= + − + −

e) 4005x log 20 . log 125= f) ( ) 2log 51

2

g) 92.log 73−




7) Sabiendo, aproximadamente, los valores de log 2 0,30103= y log 3 0,47712= calcular:

a) log 6 b) log 60

c) 32log d) log 24

e) log 144 f) 274log

8) Sea la función “f” cuya fórmula está dada por la expresión: ( )4f(x) 1 2.log 2x 1= − + + .

Definirla de manera tal que admita inversa y graficar ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados.

9) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) ( )2 2 2log x 2 log 5 log 3 1− − + = b) ( )2 2log x log x=

c) ( ) 3

2 1x 3x

log 2 log 4+ = d) 22 xlog x 8 log 2 3− =

e) ( )23

3x 3xlog log x 1+ = f) ( )2

3 . log x 1 10 . log x+ =

g) ( )log x

log x 1= h) ( )

28

8 x

2

8

log3

log x=

i) x x3 81

xlog 3 . log 3 log 3 0+ = j) 2 2x 2x

log 4 log 8 5+ =

10) Resolver las ecuaciones dadas a continuación:

a) 3 32 log x log xf) 3 3 72− = b) x x25 124 . 5 125− =

c) 12d) log x log x+ = − d) 3

13 3 x

log x log 4 0− + =

e) 2

5 5log x log xx x 20− =

Problemas de aplicación

1) La intensidad “I” de un terremoto medida en la escala Richter está vinculada con la

energía liberada (en Kwh) en el mismo mediante la fórmula:

0

2 EI . log

3 E= Donde E0 = 7. 10-3 Kwh.

Calcular:

a) La energía liberada en un terremoto de intensidad 8 en esta escala.

b) En cuánto aumenta la energía liberada si se aumenta en una unidad la intensidad del

terremoto.




2) La fórmula de Ehremberg ln P ln 2,4 1,84 . A= + es una fórmula empírica que relaciona la

altura A (en metros) con el peso P ( en kg fuerza) para niños entre 5 y 13 años. Se pide:

a) Calcular el peso aproximado de un niño de 1,20m de altura.

b) Calcular la altura aproximada de un niño que pesa 40 kg.

3) La población N(t) (en millones) en Estados Unidos después de 1980 se puede aproximar

mediante la fórmula 0,007. tN(t) 227. e= .

Se pide:

a) Calcular para cuándo se espera que la población sea el doble de la que era en 1980.

b) Calcular, aproximadamente, para qué año se espera una población de 350 millones de

habitantes.

4) Un grupo de científicos estudió la cantidad de arboles jóvenes existentes en un bosque,

ya que notaron que la misma decrecía con el tiempo debido a la existencia en la zona de

residuos industriales. Llegaron a la conclusión que, la ecuación que mide la cantidad “q”

de árboles jóvenes a medida que transcurre el tiempo “t” medido en años es:

0,025.tq 200 . e−=

Si la investigación se realizó a comienzos de 2015 (t=0). Se pide:

a) Calcular aproximadamente la cantidad de árboles jóvenes presentes en ese instante.

b) Calcular se espera que haya a comienzos del año 2030?

c) Estimar para qué año se espera que cantidad de árboles jóvenes se haya reducido a la

mitad.

5) Los elementos radiactivos van descomponiendo su masa en energía muy lentamente a

medida que transcurre el tiempo. Si “Q” mide la cantidad de miligramos presentes en un

compuesto radiactivo a medida que transcurre el tiempo “t” (medida en años), la

ecuación que vincula a ambos es 0,0035.tQ 100 . e−=

Si la ecuación se dedujo a comienzos de 1970 (t=0) . Se pide:

a) Calcular en forma aproximada la cantidad que hubo a comienzos del éste año.

b) ¿Cuántos se espera que haya aproximadamente a comienzos del año 2025?

c) Calcular aproximadamente en qué año la cantidad de sustancia radiactiva se reducirá a

la mitad (se lo llama período de semivida).




6) En una ciudad se escaparon 10 parejas de conejos de una jaula, en una zona donde no

había predadores naturales de la especie. Al cabo de un tiempo empezaron a verse con

demasiada frecuencia. Alarmados con su voracidad los vecinos hicieron un recuento por

métodos aproximados y había unos 2400. Ya han pasado 6 meses y al volver a contarlos

hay 7000. Suponiendo que los recuentos han sido correctos y que ello sigue un modelo

exponencial, calcular:

a) Cuál es la tasa de crecimiento mensual de conejos en esa zona.

b) Cuánto hace que se escaparon las 10 primeras parejas de conejos.

c) Cuántos se espera que haya en tres años, a partir del instante inicial de escape,

suponiendo que el ritmo de crecimiento poblacional se mantiene.

Respuestas:

1) a) { }1C0 = ; 2)0(f = ; .H.A1y −=

b) { }1C0 −= ; 21)0(f −= ; .H.Ay

23=

c) ∅=0C ; 23)0(f = ; .H.Ay

21=

2) 23

21 c;3b;a −===

3) ( ) 1.2)x(fx

23 −=

4) a) 6 b) 5 c) 3 d) 0

5) 2a = ; 21b = ; 1c −=

6) a) 56 b) 3 c) 1 d) 0 e) 3 f)

51 g)

71

7) a) 77815,0 b) 77815,1 c) 17609,0 d) 38021,1 e) 15836,2

f) 82930,0

8) ( ) ( )1x2log.21)x(f/;:f 421 ++−=ℜ→∞+−

( )21x1

211 2)x(f/;:f −=∞+−→ℜ −−

9) a) 3

16 b) 1;100 c) 21;8 d)

21;16 e) 9;3;1

f) 9 10;10 g) 10 h) 81;2 i)

91;9 j) 5 4;1

10) a) 9 b) 9 c) ∅ d) 3 e) 51;5




Problemas de aplicación

1) a) 9E 7.10 Kwh≅ b) 31,6 veces

2) a) P 21,8 Kg≅ b) A 1,53m≅

3) a) Año 2080 b) Año 2042

4) a) 200 b) 137 b) Año 2043

5) a) 84 gr b) 82gr b) Año 2168

6) a) 119,5% b) 27meses b) 12200

Documents

Colegio Nacional de Buenos Aires · Sistemas de medición angular: ... Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. ... Página 4 de 26 c)