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Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Método deGauss.
En la vida real se presentan muchas situaciones complejas, que obligan a plantear
simultáneamente varias ecuaciones y así poder obtener las soluciones comunes a todas
ellas.
Central geotérmica banco de imagenes isftic
Las diferentes ciencias del conocimiento como la Física, la Química, las Ciencias Sociales, la
Economía, necesitan resolver sistemas con varias ecuaciones lineales.
Ya conocemos los conceptos elementales del Álgebra lineal (ecuación, inecuación, sistemas
de dos ecuaciones con dos incógnitas). Ahora vamos a centrarnos en resolver sistemas
formados por 3 ecuaciones con varias incógnitas.
El objetivo general de este tema es encontrar métodos para plantear, discutir y resolver
este tipo de sistemas.
Plantear un sistema es encontrar las relaciones que ligan a las incógnitas según las
condiciones del problema
Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, en caso de
tenerla, saber si es única o hay muchas soluciones
Resolver un sistema es obtener su solución (o soluciones).
El núcleo central del tema será el método de Gauss, para conseguir sistemas escalonados
que sean fáciles de resolver.
Se basa en una idea muy simple: dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, se
trata de obtener un sistema equivalente, cuya primera ecuación posea 3 incógnitas, la
segunda 2, y la última tendrá únicamente una incógnita. Se resuelve esta última ecuación,
después la anterior y finalmente la primera.
Este método se puede generalizar a otros sistemas con cualquier número de ecuaciones y
de incógnitas.
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Petroleo de lord cнernoвιll Licencia Creative Commons
1. Ecuaciones lineales: Sistema de 3 ecuaciones con 3incógnitas.
Ejemplo de problema que aprenderemos a resolver
Determinado
país compra 8
millones de
barriles de
petróleo en
tres fechas
diferentes del
año 2008. Lo
compra,
sucesivamente,
en Enero a
110, en Julio a
130 y en
Noviembre a 60
$ el barril. La
factura total
asciende a 785
millones de dólares. En la primera compra recibe tantos
barriles como entre las otras dos juntas.
Plantea un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que te permita determinar cuál es la
cantidad de barriles de petróleo comprada en cada fecha.
A lo largo de este tema obtendrás los conocimientos suficientes para resolver este
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Una ecuación lineal con n incógnitas x1,x2,x3,..,xn es una
ecuación de la forma: a1x1+a2x2+a3x3+....+anxn=h donde
a1,a2,a3,...,an y h son números reales fijos.
x1,x2,x3,...,xn son las incógnitas
Las ai son los coeficientes de las incógnitas y h el
término independiente.
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Incognitas de Lukas licencia Creative Commons
Se llaman lineales porque las incógnitas tienen
grado 1. No están elevadas a ningún exponente, ni
multiplicadas entre sí, ni bajo ningún radical, ni hay
incógnitas en los denominadores.
Tiene la forma:
Se llama solución de la ecuación lineal a los números x1=k1,
x2=k2, ..., que sustituidos en la ecuación satisfacen la igualdad
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un
conjunto formado por m ecuaciones lineales, cada una de ellas
con las mismas n incógnitas.
Los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las
ecuaciones, son la solución, o soluciones, del sistema.
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En la ecuación , tal como está escrita, se verifica
que
El coeficiente de x es
El coeficiente de y es
El término independiente es
Llamamos sistema homogéneo de ecuaciones lineales cuando
los términos independientes de todas las ecuaciones son cero.
Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, sea cual sea
el número de ecuaciones e incógnitas, poseen la propiedad de
que siempre tienen solución, ya que una de sus soluciones es
que todas las incógnitas valgan cero.
A esta solución la llamamos solución trivial es decir la solución
nula
Contesta a las preguntas
La ecuación ¿Es una ecuación lineal?
Verdadero Falso
La ecuación es de grado 2
Verdadero Falso
El sistema es un sistema lineal
Verdadero Falso
La ecuación es lineal
Verdadero Falso
El sistema es un sistema lineal homogéneo
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Equivalencias de Pro xd Alejandro licencia Creative Commons
1.1. Criterios de equivalencia.
La aplicación de los criterios de equivalencia a los
sistemas de ecuaciones lineales, tiene como
objetivo obtener otro sistema, equivalente al
original, pero que sea más fácil de resolver.
Para ello utilizaremos las siguientes propiedades.
Cuando dos sistemas son equivalentes:
La ecuación es equivalente a cualquiera de las dos ecuaciones
Verdadero Falso
El sistema no es un sistema lineal porque:
No tiene solución
En el numerador de la primera ecuación aparecen la x y laz
En la tercera ecuación, al operar aparece x por z
Si sumamos a los dos miembros de alguna de las ecuaciones
de un sistema, un número o una expresión algebraica, el
sistema resultante es equivalente
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es equivalente a
es equivalente a
equivale a
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de alguna de las
ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el
sistema resultante es equivalente
Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra
ecuación del mismo sistema, el resultado es otro sistema
equivalente
Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que
resulte de sumar dos ecuaciones del sistema previamente
multiplicadas o divididas por números distintos de cero, resulta
otro sistema equivalente al primero
Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es
proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede
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es equivalente a puesto que la tercera ecuación
es la segunda multiplicada por 2
es equivalente a puesto que la tercera ecuación es
la suma de la primera y la segunda
equivale a o también a
suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial
Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el
orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente
Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos una de las
ecuaciones lineales por un número distinto de cero, el sistema
resultante:
Tiene como soluciones las del sistema inicial multiplicadaspor ese número no-nulo.
Tiene las mismas soluciones que el inicial
No tiene solución
Tiene infinitas soluciones
Rellena los espacios en blanco →
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1.2. Sistemas escalonados
Vemos un ejemplo:
Partimos de un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
a través de operaciones con las ecuaciones del sistema,
que mantengan los criterios de equivalencia, vamos obteniendo sucesivamente:
El sistema
¿es equivalente al sistema? →
¿es equivalente a? →
¿es equivalente a? →
¿es equivalente a? →
¿es equivalente a? →
Sistemas escalonados:
Son sistemas en que cada ecuación tiene una incógnita menos
que la anterior.
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Elaboración propia
sistema que tiene,
ya, una estructura escalonada con una incógnita, la z, en la tercera ecuación; dos
incógnitas, la z y la y, en la segunda y las tres incógnitas originales en la primera
ecuación.
Pasa a forma escalonada el sistema anterior
A la segunda ecuación réstale la primera multiplicada por 2.
A la
tercera ecuación súmale la primera multiplicada por 3.
Con estos resultados:
A la tercera súmale la segunda.
Tenemos el sistema escalonado
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Carl Fried. Gaus Dominio público
2. Método de Gauss.
El método de Gauss es una generalización del
método de reducción que utilizamos para eliminar
una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Consiste en la aplicación sucesiva de este método,
utilizaremos los criterios de equivalencia de
sistemas (comentados anteriormente), para
transformar las ecuaciones originales en un
sistema escalonado, de modo que cada ecuación
tenga una incógnita menos que la inmediatamente
anterior. Se obtiene así un sistema en el que la
última ecuación es la que tiene menos incógnitas,
una única en el caso mas favorable, la penúltima
una incógnita más, la antepenúltima dos
incógnitas más, ..., y la primera todas las
incógnitas.
En primer lugar, empezaremos aplicando,
sucesivamente, el método de reducción para
eliminar en todas las ecuaciones, excepto en la
primera, la incógnita x, obteniendo, así, el primer
sistema equivalente.
En segundo lugar, aplicaremos nuevamente el método, para escalonar el sistema y
eliminaremos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita y,
obtendremos así el segundo sistema equivalente.
En tercer lugar, repetimos el método y eliminamos en todas las ecuaciones,
excepto en las tres primeras, la incógnita z, para obtener el tercer sistema
equivalente
Si hubiera mas incógnitas repetiríamos el proceso hasta eliminar todas las incógnitas
En el sistema lineal ¿Cuál es el número mínimo de
trasformaciones, con ecuaciones equivalentes, que es necesario hacer
para conseguir un sistema escalonado?
Ninguna, ya es escalonado
Verdadero Falso
Dos, una con la segunda ecuación y otra con la tercera
Verdadero Falso
Tres, una para conseguir que sea 0 el coeficiente de x en la segunda
ecuación, otra para que el coeficiente de x en la tercera sea 0 y otra para
que el coeficiente de y en la tercera se anule
Verdadero Falso
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posibles
Para resolverlo despejaremos, en primer lugar, la incógnita de la última ecuación. Luego
sustituiremos su valor en la penúltima ecuación y despejaremos la siguiente incógnita.
Después, sustituiremos las dos incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y
despejaremos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.
2.1. Sistemas de igual número de incógnitas queecuaciones
Gauss, niño prodigio.
Johann Karl Friedrich Gauss fue uno de los más grandes
matemáticos de la historia. Su precocidad en relación con las
matemáticas se pone de manifiesto en numerosas anécdotas:
Antes de cumplir 3 años se encontraba con su padre que
estaba preparando la nómina de los obreros que de él
dependían. El joven Gauss que seguía con gran atención los
cálculos del padre le dijo al terminar : "Padre has hecho mal la
cuenta, el resultado debe ser ... ". El padre al repasar los
cálculos comprobó con sorpresa que el hijo tenía razón. La
historia es todavía más sorprendente si tenemos en cuenta
que nadie le había enseñado a leer.
Puedes consultar la biografía matemática de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)“El príncipe de los matemáticos" en la Página Web de
Antonio Pérez Sanz catedrático de matemáticas del IES
Salvador Dalí de Madrid
Tenemos para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas
Vamos a conseguir que, en otro
sistema equivalente, los coeficientes
de la x en la 2ª y 3ª ecuación sean 0.
A la segunda ecuación le sumamos la
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Incognitas de fliegender
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primera multiplicada por -2
A la tercera ecuación le sumamos la
primera
Obtenemos el sistema equivalente
con cero como
coeficiente de la x en las dos últimas
ecuaciones.
Ahora para conseguir que sea 0 el
coeficiente de y en la 3ª ecuación, sumamos a la tercera la segunda
multiplicada por 2
Sistema escalonado
Ahora ya podemos despejar la incógnita z en la tercera ecuación
Sustituimos la z en la segunda ecuación para obtener el valor de y
Estos dos valores los sustituimos en la primera ecuación
para obtener el valor de x
Hemos llegado a la única solución de este sistema
Resuelve el problema, de los 8 millones de barriles de petróleo,
planteado al comienzo del tema
El sistema que hay que plantear sería
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2.2. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones
Después de escalonar con el método de Gauss
Con lo que la solución es z= 2,5 y=1,5 z=4 millones de barriles
Tres planos Licencia GNU Free
Dado el sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas
Los valores de lassoluciones son tresnúmeros impares
La suma de los valores dela solución es 8
El valor de y es triple queel de x
El sistema no tieneninguna solución
Vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas
Queremos conseguir otro
sistema equivalente con el
coeficiente de x cero en la 2ª.
Multiplicamos la primera
ecuación por 3 →
→
A la segunda ecuación la
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2.3. Sistemas con más ecuaciones que incógnitas
Abaco Dominio público
multiplicamos por 2 →
→
Resulta el sistema equivalente
Ahora a la segunda ecuación le
restamos la primera
→
En el siguiente paso despejamos la incógnita z en función de la y
Sustituimos, su expresión, en la primera ecuación
Hemos llegado a las múltiples soluciones del sistema
La incógnita z puede tomar cualquier valor y las otras dos incógnitas
vienen determinadas por el valor de z
Si un sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces, siempre
es cierto:
Puede tener infinitas soluciones
No tiene solución
Puede tener una única solución
Puede no tener solución
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Maquina Babbage's licencia Creative Commons
Vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas
Vamos a buscar otro sistema
equivalente con el coeficiente
de x cero en la 2ª y 3ª
ecuación.
Cambiamos el orden de las
ecuaciones para que el
coeficiente en x de la primera
ecuación sea divisor de los de
las otras dos.
La segunda pasa a primera, la
tercera a segunda y la primera a tercera
A la segunda le sumamos la primera
A la tercera le sumamos la primera multiplicada por 2
Conseguimos eliminar la incógnita x en la 2ª y 3ª ecuación
Ahora multiplicamos la segunda ecuación por 7 → →
La tercera ecuación la multiplicamos por 4 → →
Obtenemos A la tercera ecuación le sumamos la
segunda
Queda lo que permite eliminar la tercera ecuación
y se reduce a
Ahora despejamos la incógnita y en la segunda ecuación y
sustituimos en la primera ecuación →
Hemos llegado a la solución del sistema
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2.4. Resolución de problemas
Vamos ahora aplicar las técnicas estudiadas, para hallar la solución, de los sistemas de
ecuaciones lineales a la resolución de problemas concretos
La interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones lineales
con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones es:
Dos rectas paralelas y otra que las cortaTres rectas que se cortan en un punto
Tres rectas coincidentesDos rectas coincidentes y otra paralela a ellas
Heladode puzzlegaze licencia Creative Commons
Un día compramos 4 helados, uno de tamaño
pequeño, dos de tamaño mediano y otro
grande y pagamos 10,5€.. Al día siguiente
compramos 2 helados pequeños, dos helados
medianos y 3 grandes, por lo que pagamos
20€. Sabiendo que un helado grande cuesta lo
mismo que un helado pequeño y un helado
mediano juntos, ¿cuál es el precio de cada tipo
de helado?
Lee detenidamente el enunciado y determina, y
asigna nombre, a las incógnitas
x=precio del helado pequeño
y=precio del helado mediano
z=precio del helado grande
Escribe, mediante ecuaciones, las relaciones que se establecen entre las
tres incógnitas
Trasforma el sistema, siguiendo el método de Gauss en escalonado
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Resuelve las tres ecuaciones, empezando por hallar z en la tercera,
sustituyendo su valor en la segunda y hallando y, sustituyendo z e y
en la primera para hallar x
x= precio del helado pequeño=1,5€
y=precio del helado mediano=2,5€
z=precio del helado grande=4€
Mina cobre de Criterion licencia Creative Commons
Una empresa multinacional tiene
tres minas: una en
Ravensthorpe, Australia, otra en
Manitoba, Canadá y la tercera en
Piura, Perú.
Extrae Níquel, Cobre y Hierro de
tal manera que:
en Australia del mineral
obtenido se extrae el 2%
de níquel, el 4% de cobre y el 12% de hierro
en Canadá obtiene el 4% de níquel, el 10% de cobre y el 2% de
hierro
en Perú el 2% de níquel, el 6% de cobre y el 2% de hierro
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 26
toneladas de níquel, 68 de cobre y 40 de hierro?
Plantea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
El sistema será
Escalona el sistema
Resulta
Resuelve el sistema y acaba el problema
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3. Discusión de un sistema.
Solución:
Te proporcionamos, ahora, una colección de ejercicios que
debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo largo de
este tema.
Sistemas lineales → Soluciones
Sistema lineales de texto → Soluciones
Discutir un sistema es determinar, sin llegar a resolverlo, si
tiene solución y, en caso de tenerla, saber si ésta es única. Es
decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de
ser compatible, si es determinado o indeterminado.
Sistema compatible: tiene solución
Sistema compatible determinado: tiene una única
solución
Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas
soluciones
Sistema incompatible: no tiene solución
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El interés de esta discusión estriba en que, a
veces, puede interesar más el estudio del
problema que la posible solución.
En los sistemas lineales de tres ecuaciones con
varias incógnitas, para discutir el sistema
seguiremos los pasos del esquema
¿Cómo se llama un sistema que tiene infinitas soluciones?
Compatible determinadoCompatible indeterminado
Incompatible
Si la última ecuación de un sistema escalonado presenta, al menos, dos
incógnitas cuyos coeficientes son distintos de cero, el sistema es:
Compatible determinado
Verdadero Falso
Incompatible
Verdadero Falso
Compatible indeterminado
Verdadero Falso
Homogéneo que sólo tiene la solución trivial
Verdadero Falso
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¿Cuándo son dos sistemas de ecuaciones equivalentes?
Cuando tienen las mismas incógnitas
Cuando tienen una solución particular igualCuando tienen el mismo número de ecuaciones y deincógnitas
Cuando tienen la misma solución general
Si al efectuar el escalonamiento en un sistema de ecuaciones lineales se
obtiene alguna ecuación en la que todos los coeficientes de las
incógnitas son cero y el término independiente es no-nulo, el sistema
es:
Compatible determinado
Incompatible
Compatible indeterminado
Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son
números enteros
En un test de 20 preguntas se consiguen 3 puntos por cada respuesta
correcta, se pierden 2 por cada respuesta errónea, y 1 por cada
pregunta sin contestar. ¿Qué tiene que ocurrir para obtener una
calificación de 0 puntos?
Plantea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas
x= número de preguntas acertadas
y= número de preguntas erróneas
z= número de preguntas no respondidas
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Al necesitar que la solución sean números enteros, la posibilidad
para los valores de y sólo pueden ser y=0, y=4, y=8, y=12 que
corresponden a las soluciones del sistema:
El sistema algebraico, como tal, es compatible indeterminado:
infinitas soluciones.
El problema tiene solución determinada en los cuatro casos que
acabamos de ver.
Añade una tercera condición al problema para que el sistema resultante
sea compatible determinado: una única solución
Puede ser que el número de respuestas en blanco sea igual que
la suma de respuestas acertadas y erradas
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Método de Gauss Soluciones: (x=3, y=4, z=-2)
¿Es posible transformar el anterior sistema en uno
compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?
Si Cambiándola por una combinación lineal de la primera y
segunda ecuación por ejemplo:
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Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación
y obtener un sistema equivalente
Verdadero Falso
Todo sistema compatible indeterminado tiene otro equivalente con dos
ecuaciones iguales
Verdadero Falso
De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no
equivalente) eliminando ecuaciones
Verdadero Falso