Fórmula integral de Cauchy

● Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C !

Fórmula integral de Cauchy

Otro resultado que se sigue de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente:

Sea C un camino cerrado simple, orientado positivamente y sea f una función analítica en el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en el interior de C, entonces:

(derivadas de funciones analíticas)

Fórmula integral de Cauchy

Mientras que para f ''

En general (extensión de la fórmula integral de Cauchy):

Fórmula integral de Cauchy

Una consecuencia importante de la extensión de la fórmula integral de Cauchy es la siguiente:

● Si una función es analítica en un punto, existen sus derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas son también funciones analíticas

Similarmente, si f=u+iv es analítica en un dominio D, entonces todas las derivadas parciales de u y v existen y son analíticas.

● Una consecuencia más de la extensión de la fórmula de Cauchy es el teorema de Liouville. Este último útil para demostrar el teorema fundamental del álgebra.

Lema: Se f(z) una función analítica en el interior y sobre los puntos de un círculo CR de

radio R. Si MR denota el máximo valor de |f(z)| en CR, entonces

conocida como desigualdad de Cauchy

Cotas de funciones analíticas y Teorema de Liouville

Teorema de Liouville

Teorema de Liouville:

Si f(z) es una función entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f(z) es constante en todo el plano.

Así, las únicas funciones enteras son las funciones constantes.

Teorema fundamental del álgebra

Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar el T. fundamental del álgebra:

Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero

● “Principio del modulo máximo” : Si f(z) es una función analítica no constante en un dominio D, entonces |f(z)| no tiene máximo en D.

● Corolario: Sea f(z) una función analítica en un dominio acotado y cerrado (incluye su frontera), entonces |f(z)| adquiere su valor máximo en la frontera.

● Así pues, si f(z) es una función analítica y |f(z)| alcanza su máximo valor en un dominio D, entonces f(z) es constante.

Cotas de funciones analíticas

Sucesiones y Series

Vamos a estudiar cómo se expandir una función analítica en una serie de potencias.

Preliminares (convergencia):

Se dice que una sucesión infinita de números complejos tiene como límite z, si para todo existe un entero tal que

siempre que

Como puede ser arbitrariamente pequeño, se sigue que zn se aproxima a z

Sucesiones y Series

El límite de z es único, si existe. Cuando el límite existe, se dice que la sucesión es convergente y que converge a z, es decir,

● Si la sucesión no tiene límite se dice que es divergente o que diverge. 

Sucesiones y Series

Teorema.

Sea

y . Entonces

si y sólo si  

                               y

Sucesiones y Series

Se dice que una serie de números complejos

es convergente, si la sucesión de sumas parciales

tiene un límite S, es decir,

Sucesiones y Series

Teorema.

Sea

y .

Entonces

si y sólo si  

                                      y

Sucesiones y Series

Comentario.

De forma similar a las series (reales), una condición necesaria para la convergencia de una serie de números complejos es que

Sucesiones y Series

Serie absolutamente convergente:

Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie de números reales

es convergente. Además, como

las series y son convergentes

● Por lo tanto la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie misma.

● Pero puede pasar que converge

y diverge. En este caso se dice que

la serie es condicionalmente convergente.

Sucesiones y Series

Algunos criterios de convergencia:● Criterio del resto:

Sea la diferencia (resto)

entonces la serie converge a un número S si y solo si la sucesión de restos tiende a cero.

● Criterio del cociente: sea l el cociente:

● Entonce la serie converge si l<1 y diverge si l>1

Sucesiones y Series

● Criterio de la raíz:

● Entonces la serie converge si l<1 y diverge si l>1

Sucesiones y Series

Series de Taylor

Similarmente al caso de funciones reales, supongamos que queremos encontrar un polinomio Pn(z) que se aproxime a una función

analítica f(z) en una vecindad del punto z0

Las series de Taylor nos dan una forma de construir dicho polinomio:

se busca que las derivadas (n derivadas) del polinomio sean iguales a las derivadas de f(z) en z0

Series de Taylor

Es decir,

De modo que:

Así tenemos el siguiente teorema:

Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias:

donde

conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la serie de Taylor es única