Como enseñar matematica

Ciud

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9 788483 168226

ISBN 84-8316-822-7EDITORIAL

CCSAlcal, 166 / 28028 MADRID 91 725 20 00 / 91 726 25 70www.editorialccs.com / c.e.: sei@editorial ccs.com

CMO ENSEAR MATEMTICASPARA APRENDER MEJOR

El fracaso escolar en matemticas es escandalosamente alto: entorno a un 50% de escolares espaoles tienen problemas en ma-temticas. Este libro propone vas de solucin a esta dramtica si-tuacin educativa, socialmente inaceptable.

Escrito por docentes, matemticos, psiclogos de la educacin einvestigadores, parte de la idea de que para ensear bien hay queconocer cmo aprende el nio, tal como ya lo indicara Rousseau:Comenzad por estudiar a vuestros alumnos porque seguro queno los conocis. Ello supone cambiar la dinmica tradicional delaula de matemticas, proponiendo nuevos roles tanto del profe-sor, como del alumno, al igual que la presentacin de los conte-nidos matemticos en el aula, que ha de hacerse desde una pers-pectiva evolutiva. Asimismo resulta imprescindible modificar lasactitudes negativas de profesores y alumnos en torno a las ma-temticas, tales como no me gustan las matemticas, no sontiles las matemticas, etc.

Esta obra va dirigida a todos aquellos que de algn modo par-ticipan en la educacin matemtica de los nios: padres, orienta-dores, tutores, alumnos de psicologa y educacin, etc., y espe-cialmente a los profesores de Educacin Infantil y Educacin Pri-maria. A lo largo de sus pginas se ilustra de una manera prcticay sencilla cmo el nio aprende y cmo hay que ensearle conte-nidos matemticos concretos: contar, sumar, restar, etc.

Vicente Bermejo, que coordina la obra, fue discpulo de Piaget yprofesor durante varios aos en la Facultad de Psicologa de Gine-bra. Actualmente es catedrtico de psicologa evolutiva y de laeducacin en la Facultad de Psicologa de la Universidad Complu-tense de Madrid, en donde lleva investigando ms de dos dcadassobre la enseanza-aprendizaje de las matemticas en el nio. Hapublicado varios libros (El nio y la aritmtica, Aprendiendo a con-tar, PEI: Un programa de intervencin para la mejora del rendi-miento matemtico, etc.) y decenas de artculos en revistas nacio-nales e internacionales.

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CMO ENSEARMATEMTICAS PARAAPRENDER MEJOR

Serie EDUCADORES

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Vicente Bermejo (coord.)

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CMO ENSEAR MATEMTICASPARA APRENDER MEJOR

ColeccinCCII UUDDAADD DDEE LLAASS CCII EENNCC IIAASS

Serie EDUCADORES

1. La numeracin y las cuatro operaciones matemticas. J. A. Fernndez Bravo.2. Secuenciacin de contenidos matemticos I. J. A. Fernndez Bravo / S. Atrio / F. Bandera3. Hablando de inventos... A. Rodrguez / A. M Rodrguez / F. Lpez / M. Fernndez / M. Romera4. La naturaleza del conocimiento. J. M Lpez Sancho5. El nmero de dos cifras. J. A. Fernndez Bravo.6. Cmo ensear matemticas para aprender mejor. V. Bermejo (coord.).7. Procesos y tcnicas de trabajo en ciencias fsicas. J. Lahera / Ana Forteza.

Serie ALUMNOS

1. Numerator. J. A. Fernndez Bravo. 2. Un pez chiquitn llamado Benjamn. E. Daz / M. Snchez / N. Sanz.3. Las nubes del pas de la fantasa virtual. J. A. Fernndez Bravo.4. La tortuga Botarruga. J. A. Fernndez Bravo.5. El hipoptamo gracioso y fuerte. J. A. Fernndez Bravo.6. Los animales que se escaparon del circo. J. A. Fernndez Bravo.7. Tomatina del monte. J. M. Lpez lvarez / M Jos Gmez Daz.8. La caja de nmeros/1. J. A. Fernndez Bravo.9. La caja de nmeros/2. J. A. Fernndez Bravo.

10. Si te quieren, sers lo que eres. J. A. Fernndez Bravo.11. Vamos a aprender Nmeros. P. Pinheiro.12. Vamos a aprender Letras. P. Pinheiro.13. Vamos a aprender Formas. P. Pinheiro.

NOTA: = Juego, = CuentoCJ

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Vicente Bermejo (Coord.)

CMO ENSEAR MATEMTICAS

PARA APRENDER MEJOR

EDITORIAL CCS

Autores Varios

2004.

Queda prohibida, salvo excepcin prevista en la ley, cualquierforma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica ytransformacin de esta obra sin contar con autorizacin de lostitulares de la propiedad intelectual. La infraccin de los dere-

propiedad intelectual (arts. 270 y ss. del Cdigo Penal). El Cen-tro Espaol de Derechos Reprogrficos (www.cedro.org) velapor el respeto de los citados derechos.

Diseo de portada: Concepcin HernanzISBN-10: 84-8316-822-7 ISBN-13: 978-84-8316-822-6

Fotocomposicin: M&A, Becerril de la Sierra (Madrid)

Pgina web de EDITORIAL CCS: www.editorialccs.com

Printed by Publidisa

Depsito legal: SE-5181-2006 Unin Europea

EDITORIAL CCS, Alcal, 166 / 28028 MADRID

chos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la

ISBN eBook: 978-84-9842-386-0

ndice

Introduccin ........................................................................................................ 11

1. APRENDIENDO A CONTAR ......................................................................... 15V. BERMEJO, M. T. BERMEJO

1.1. Desarrollo numrico temprano ............................................................. 151.2. Subitizacin y conteo ........................................................................... 161.3. Adquisicin de la subitizacin .............................................................. 181.4. Adquisicin del conteo ......................................................................... 19

1.4.1. Correspondencia uno-a-uno ..................................................... 20

1.4.1.1. Errores tpicos del conteo ............................................ 21

1.4.2. La secuencia de numerales ....................................................... 261.4.3. Cardinal numrico ...................................................................... 291.4.4. Principio de abstraccin ............................................................ 311.4.5. Irrelevancia del orden ................................................................. 31

1.5. Bibliografa ............................................................................................. 32

2. ENSEANDO A CONTAR ............................................................................ 33V. BERMEJO, A. MARTN MANSILLA

2.1. Consideraciones didcticas generales ................................................. 332.2. Espacios, tiempos y materiales para aprender ..................................... 352.3. Ensear a cuantificar ............................................................................ 36

2.3.1. Procedimientos de subitizacin ................................................. 372.3.2. El conteo .................................................................................... 40

5

2.3.2.1. Correspondencia uno-a-uno ....................................... 402.3.2.2. La secuencia convencional .......................................... 432.3.2.3. Cardinal numrico ........................................................ 452.3.2.4. Abstraccin e irrelevancia del orden ............................ 47

2.4. Representacin grfica de los nmeros ............................................... 472.5. Algunas reflexiones sobre evaluacin ................................................... 482.6. Bibliografa ............................................................................................ 50

3. APRENDIENDO A SUMAR Y RESTAR ........................................................ 51V. BERMEJO, M. T. BERMEJO

3.1. Saben sumar y restar los bebs? ....................................................... 513.2. Concepto de suma y resta .................................................................... 533.3. Problemas verbales .............................................................................. 55

3.3.1. Problemas verbales de cambio ................................................. 563.3.2. Problemas verbales de combinacin ......................................... 573.3.3. Problemas verbales de comparacin ........................................ 583.3.4. Problemas verbales de igualacin ............................................. 59

3.4. Dificultad de los problemas verbales .................................................... 603.5. Estrategias infantiles ............................................................................. 623.6. Errores tpicos ....................................................................................... 663.7. Desarrollo de la capacidad de sumar y restar ...................................... 673.8. Bibliografa ............................................................................................ 70

4. ENSEANDO A SUMAR Y RESTAR ............................................................ 71V. BERMEJO, S. GARCA, M A. MARTN

4.1. Contenidos curriculares ........................................................................ 714.2. Aspectos metodolgicos ...................................................................... 724.3. Ensear a sumar y restar a travs de problemas ................................. 73

4.3.1. Cmo plantear y ensear problemas ......................................... 734.3.2. Problemas rutinarios y no rutinarios .......................................... 754.3.3. Factores que intervienen en la resolucin de problemas .......... 76

4.3.3.1. Comprensin ............................................................... 774.3.3.2. Motivacin ................................................................... 834.3.3.3. Flexibilidad ................................................................... 844.3.3.4. Interaccin con el profesor y los compaeros ............. 85

4.4. Ensear estrategias .............................................................................. 86

6

4.4.1. Estrategias de la suma .............................................................. 86

4.4.1.1. Modelado directo ......................................................... 864.4.1.2. Conteo ......................................................................... 874.4.1.3. Hechos numricos ....................................................... 88

4.4.2. Estrategias de la resta ............................................................... 89

4.4.2.1. Modelado directo ......................................................... 894.4.2.2. Conteo ......................................................................... 904.4.2.3. Hechos numricos ....................................................... 91

4.5. Bibliografa ............................................................................................ 92

5. APRENDIENDO A MULTIPLICAR Y DIVIDIR .............................................. 93ENRIQUE CASTRO, ENCARNACIN CASTRO, LUIS RICO

5.1. Multiplicacin y divisin ...................................................................... 935.2. Propiedades de la multiplicacin ........................................................ 955.3. Situaciones asimtricas y simtricas .................................................. 985.4. Desarrollo del concepto de multiplicacin.

Estrategias de los nios ...................................................................... 1045.5. Desarrollo del concepto de divisin. Estrategias ............................... 1075.6. Tipos de cantidades ............................................................................ 1105.7. Categoras de problemas de multiplicar o dividir ................................ 1115.8. Errores y dificultades de aprendizaje .................................................. 1135.9. El resto en una divisin entera ............................................................ 114

5.10. Bibliografa .......................................................................................... 115

6. ENSEANDO A MULTIPLICAR Y DIVIDIR ................................................. 117ENCARNACIN CASTRO, ENRIQUE CASTRO, LUIS RICO

6.1. La enseanza de la multiplicacin y la divisin ................................... 1176.2. Consideraciones de tipo curricular ..................................................... 1186.3. Sentido numrico ................................................................................ 1196.4. Representaciones y modelos .............................................................. 1196.5. Recursos ............................................................................................. 1246.6. Los conceptos de multiplicacin y divisin en la enseanza ............. 1286.7. Hechos numricos bsicos de la multiplicacin y la divisin ............. 1296.8. Enseanza del clculo mental ............................................................. 1316.9. Enseanza del clculo escrito ............................................................. 132

6.10. Estimacin y clculo aproximado ....................................................... 1346.11. Problemas de multiplicar y dividir ....................................................... 135

7

6.12. Modelizacin de situaciones reales .................................................... 1366.13. Dificultades .......................................................................................... 1386.14. Evaluacin del aprendizaje de la multiplicacin y la divisin .............. 1386.15. Bibliografa .......................................................................................... 140

7. APRENDIENDO FRACCIONES .................................................................... 141J. M. SERRANO

7.1. Introduccin .......................................................................................... 141

7.1.1. Conocimiento declarativo o conceptual .................................... 1417.1.2. Conocimiento procedimental ..................................................... 1427.1.3. Las relaciones entre conocimiento declarativo

y procedimental ......................................................................... 1447.1.4. Los esquemas operatorios ........................................................ 145

7.2. El aprendizaje de los nmeros racionales ............................................ 146

7.2.1. Primeras ideas sobre el nmero racional ................................... 1477.2.2. Del conocimiento informal al conocimiento formal ................... 1497.2.3. Influencia del contexto ............................................................... 1517.2.4. Influencia del conocimiento declarativo y procedimental

en la comprensin del nmero racional ..................................... 1537.2.5. La interconexin entre significado y funcin del aprendizaje

de los nmeros racionales ......................................................... 154

7.3. Bibliografa ............................................................................................ 158

8. ENSEANDO FRACCIONES ....................................................................... 161ANDRS NORTES CHECA

8.1. Introduccin ........................................................................................ 1618.2. Fracciones ........................................................................................... 1638.3. Fracciones equivalentes ...................................................................... 1718.4. Suma de fracciones ............................................................................ 1748.5. Resta de fracciones ............................................................................ 1758.6. Producto de fracciones ....................................................................... 1768.7. Propiedades de la suma y del producto ............................................. 1788.8. Divisin de fracciones ......................................................................... 1798.9. Fracciones decimales. Nmeros decimales. Porcentajes ................... 180

8.10. Operaciones con decimales exactos .................................................. 1848.11. Paso de nmero decimal a fraccin. Operaciones ............................. 1858.12. Juegos, ejercicios y problemas propuestos ........................................ 187

8

8.13. Bibliografa ......................................................................................... 1908.14. Solucionario ....................................................................................... 191

9. LOS ALGORITMOS ..................................................................................... 193V. BERMEJO, E. VELA, S. BETANCOURT

9.1. Introduccin ....................................................................................... 1939.2. Definicin de algoritmo ...................................................................... 1949.3. Evaluacin de los algoritmos inventados ........................................... 1949.4. Algoritmos alternativos para las cuatro operaciones bsicas ........... 198

9.4.1. La suma ................................................................................... 1989.4.2. La resta ................................................................................... 1999.4.3. La multiplicacin ..................................................................... 2029.4.4. La divisin ............................................................................... 205

9.5. Errores en los algoritmos ................................................................... 2089.6. Enseanza-aprendizaje del algoritmo tradicional .............................. 2109.7. Bibliografa ......................................................................................... 214

10. DIFICULTADES DE APRENDIZAJE EN MATEMTICAS .......................... 215M. BLANCO, V. BERMEJO

10.1. Introduccin ....................................................................................... 21510.2. Dificultades de aprendizaje ................................................................ 217

10.2.1. Dificultades de aprendizaje en matemticas ....................... 218

10.2.1.1. Tipologa clsica .................................................. 21910.2.1.2. Propuesta actual .................................................. 219

10.2.2. Dficits asociados ................................................................ 221

10.2.2.1. Dificultades de lenguaje escrito ........................... 22110.2.2.2. Dificultades de aprendizaje no verbal .................. 22210.2.2.3. Dificultades en funciones ejecutivas .................... 224

10.3. Intervencin educativa ....................................................................... 224

10.3.1. Ideas bsicas sobre el apoyo .............................................. 22510.3.2. Estrategias de intervencin .................................................. 225

10.3.2.1. Partir de la matemtica informal y de lo que conoce el nio ...................................... 225

10.3.2.2. Uso de lo manipulativo y concreto ...................... 22610.3.2.3. Aprendizaje cooperativo ...................................... 228

9

10.3.2.4. Ritmo de aprendizaje: prctica intensiva versus compensacin ...................................................... 229

10.3.2.5. Adaptarse a los puntos fuertes y dbiles de los alumnos ..................................................... 231

10.3.2.6. Motivar ................................................................. 23310.3.2.7. Autorregulacin y autoestima .............................. 234

10.4. Evaluacin y coordinacin entre todos los miembros del sistema educativo ............................................................................................ 236

10.5. Bibliografa ......................................................................................... 237

11. EL PEIM: UN PROGRAMA DE INTERVENCIN ....................................... 239V. BERMEJO

11.1. Introduccin ....................................................................................... 23911.2. Los pilares constructivistas del programa ......................................... 240

11.2.1. Los alumnos construyen sus propios conocimientos .......... 24011.2.2. El docente gua y apoya la construccin del conocimiento

por parte del alumno ............................................................ 24111.2.3. La comprensin y solucin de problemas constituye

el centro de la instruccin .................................................... 24311.2.4. El desarrollo de los contenidos especficos es

un buen indicador para secuenciar los objetivos instruccionales ..................................................................... 244

11.3. Descripcin del PEIM ......................................................................... 245

11.3.1. Los alumnos: Educacin personalizada .............................. 24511.3.2. El profesor: Formacin psicopedaggica y especfica

de los contenidos ................................................................. 24811.3.3. Los contenidos: Su seleccin y secuenciacin ................... 25111.3.4. El contexto del aula: Dinmica constructivista .................... 252

11.4. Aplicaciones del PEIM ....................................................................... 25311.5. Bibliografa ......................................................................................... 255

10

Introduccin

El alto fracaso escolar en Espaa es preocupante y socialmente inaceptable. El estu-dio comparativo realizado por Eurostat (Oficina Estadstica de la Unin Europea) enel ao 2001 y publicado en el ao 2002, revela que Espaa es el segundo pas conmayor ndice de fracaso escolar en la Unin Europea, despus de Portugal. Pero es-ta psima posicin de nuestros escolares en el ranking establecido en la UE empeo-ra manifiestamente en el rea de las matemticas. Desde la prensa espaola, que re-coge inquietantes titulares como: La mayora de los alumnos de selectividadsuspendi las matemticas, refirindose a las pruebas de junio de 2003, hasta lasdistintas evaluaciones realizadas, tanto nacionales como internacionales, insisten ma-chaconamente en las altas cotas de fracaso escolar en matemticas de los alumnosespaoles.

Las cuatro ltimas evaluaciones realizadas por el INCE (Instituto Nacional de Ca-lidad y Evaluacin) en 1995, 1997, 1999 y 2000 muestran en general que el 50 porciento aproximadamente de nuestros escolares no llegan a alcanzar la puntuacinmedia de suficiente en matemticas. Por ejemplo, en la evaluacin realizada en elao 2000 al final de la ESO (16 aos), los resultados en matemticas son francamentecontundentes (INCE, 2001). Mientras que en ciencias naturales los alumnos alcanzanuna media de 54% de aciertos, en ciencias sociales, geografa e historia un 60% yen lengua castellana y literatura un 64%, en matemticas slo obtienen una mediade 40% de aciertos. Si adems desglosamos esta media global, como se hace enINCE (2000), en los distintos tipos de operacin cognitiva, encontramos que en la re-solucin de problemas el porcentaje resulta an ms negativo: los alumnos slo lle-gan a alcanzar un 34% de aciertos (ver Fig. n 1).

Pero esta situacin se repite, o incluso llega a ser ms dramtica, en los estudiosinternacionales comparativos. As, por ejemplo, en el TIMSS (3 Evaluacin Interna-cional en Matemticas y Ciencias), nuestros alumnos no solamente no llegan a al-canzar globalmente la puntuacin media, sino que adems quedan situados en losltimos lugares del ranking establecido, de modo que casi todos los pases de nues-

11

tro entorno, y otros de nivel socioeconmico inferior al nuestro, estn situados pordelante de Espaa.

El papel de los estudiantes preuniversitarios espaoles en las Olimpiadas Inter-nacionales en Matemticas es igualmente desastroso. La situacin se repite una vezms en la 43 Olimpiada Internacional de Matemticas (IMO 43) celebrada en Glasgowen 2002. Asisten 84 pases y unos 500 participantes. Se concedieron 39 medallas deoro y 73 de plata, pero ninguna de ellas vino para Espaa. Slo una medalla de bron-ce, de las 119 concedidas, fue conseguida por un espaol. La puntuacin total delequipo espaol fue de 44 puntos, mientras que China, que alcanz el primer puestodel ranking mundial, obtuvo 212 puntos.

Finalmente, 6.214 estudiantes espaoles de 15 aos han tomado parte en el es-tudio Pisa (Programa para la Evaluacin Internacional de los Alumnos) llevado a ca-bo por la OCDE en 32 pases durante el mes de mayo de 2000. Los resultados, quese publican en diciembre de 2001, sealan que los escolares espaoles se encuen-tran por debajo de la media de la OCDE en lectura y cultura cientfica, pero sobre to-do la media de los alumnos espaoles es desastrosamente baja en matemticas. Unavez ms, pases de nivel socioeconmico inferior o similar a Espaa, como por ejem-plo Corea, Finlandia, Austria, Blgica, Francia, Irlanda, Rep. Checa, Hungra, etc., sesitan por encima de la media espaola.

12

PORCENTAJES MEDIOS DE ACIERTOS EN MATEMTICAS SEGN EL TIPO DE OPERACIN COGNITIVA

FIGURA 1

60

40

20

40

0Media global Conocimiento Destrezas

bsicasProcedimeintos Resolucin de

problemas

4145

40

34

A pesar de estos resultados, es cuanto menos sorprendente que esta lamentablesituacin de la educacin matemtica en nuestro pas no haya tenido, o apenas, reac-ciones constructivas en los distintos estamentos responsables de la educacin denuestros escolares. Aunque las soluciones no son fciles, pienso que slo un traba-jo y una colaboracin interdisciplinar sin exclusiones puede llevarnos a ofrecer a nues-tros estudiantes la educacin matemtica que se merecen.

Este libro pretende aportar su granito de arena en este reto difcil y complejo demejorar la educacin matemtica en nuestro pas. Con un talante claramente inter-disciplinar se ofrecen propuestas desde distintos puntos de vista: del profesor, del in-vestigador, del matemtico, del psiclogo educativo, etc. La idea central que recorrey estructura toda la obra es la siguiente: el protagonista del aula es el nio apren-diendo. Esta afirmacin, que puede parecer simplista a primera vista, supone todauna revolucin o cambio en la manera de enfocar la enseanza-aprendizaje de lasmatemticas. En concreto, supone cambios tanto en el rol del alumno, el rol del pro-fesor y la dinmica de la clase, entre otras variables.

En cuanto a lo primero, parece obvio que el centro de la clase es el nio apren-diendo, pero aprendiendo unos contenidos concretos: contar, sumar, solucionar unproblema, etc.; de modo que no basta, aunque es til, conocer el desarrollo generaldel nio (la teora piagetiana, por ejemplo) o las teoras generales del aprendizaje. Loque realmente importa, desde una perspectiva pragmtica y de optimizacin, es co-nocer el desarrollo matemtico especfico infantil, de modo que puedan seguirse lospasos que recorre el nio para pasar de su competencia matemtica actual a la com-petencia que se desea conseguir. En otras palabras, la eficiencia educativa ser ma-yor si se conoce el proceso de aprendizaje que sigue el nio en la adquisicin de loscontenidos concretos que se imparten en el aula, al menos de los contenidos funda-mentales.

En segundo lugar, la funcin del profesor cambia igualmente con respecto a su roltradicional. Para empezar cede el protagonismo del aula a favor del alumno, supedi-tando su labor de facilitacin y apoyo al aprendizaje del nio. Pero en consonancia conel prrafo anterior, su formacin requiere un conocimiento exhaustivo del aprendizajede los contenidos matemticos concretos que se imparten en el aula. Slo as estarcapacitado para ejercer su difcil labor de evaluacin, diagnstico e intervencin quecontinuadamente se lleva a cabo en el aula. Aqu suelen aparecer las lagunas ms no-torias en la formacin del profesorado, de modo que es bueno recordar las palabras deRousseau dirigidas a los docentes y recogidas en el prlogo de su Emilio: Comenzadpor estudiar a vuestros alumnos porque seguro que no los conocis.

Finalmente, la dinmica de la clase se orienta a favorecer la construccin del co-nocimiento por parte del alumno, siendo especialmente relevante la actitud activa, au-tnoma y creativa del nio, as como el trabajo cooperativo, el dilogo e interaccinentre todos los actores de la clase: profesor-alumno-otros alumnos.

Partiendo, pues, de la idea de que una buena instruccin tiene en cuenta el pro-ceso de aprendizaje infantil, esta obra plantea primero cmo aprende el alumno unoscontenidos especficos, para ocuparse despus de cmo ensearlos. As, los captu-

13

los 1 y 2 se ocupan sucesivamente del aprendizaje y de la enseanza del conteo, in-sistiendo en la relevancia de esta habilidad en el desarrollo matemtico posterior, ascomo en la complejidad de la misma: el nio suele necesitar unos tres aos paraaprender a contar correctamente. En los captulos 3 y 4 se estudian la suma y la res-ta desde esa doble perspectiva, resaltando la precocidad de estas operaciones en eldesarrollo infantil (aparecen incluso antes del 2 Ciclo de Educacin Infantil), la difi-cultad que suelen tener los alumnos en la resolucin de los problemas verbales, y seofrecen vas didcticas que facilitan su aprendizaje.

En los captulos siguientes se analiza cmo aprende el nio a multiplicar y dividir(cap. 5), proponiendo procedimientos didcticos eficaces que favorecen la compren-sin de estas operaciones (cap. 6), incluso en EI si se proponen situaciones concre-tas familiares. El aprendizaje y enseanza de las fracciones se recoge sucesivamen-te en los captulos 7 y 8, facilitando la dificultad de la comprensin y operacionalidadcon fracciones mediante la propuesta de un conjunto de situaciones prcticas.

El aprendizaje y enseanza de los algoritmos merece un trato especial (cap. 9),debido a la dificultad que presentan los escolares en su uso y comprensin. Los di-ferentes algoritmos alternativos inventados por los nios preparan el camino para lle-gar a la mxima abstraccin que requieren los algoritmos tradicionales, que slo de-ben ensearse al final del proceso adquisitivo de cada operacin. El captulo 10concreta muchas de las ideas propuestas a lo largo de los captulos anteriores parael caso de alumnos con dificultades de aprendizaje en matemticas. Dada la especi-ficidad de estos alumnos, se ofrece un conjunto de estrategias de intervencin espe-cialmente eficaces para el apoyo y facilitacin del aprendizaje de las matemticas.

Finalmente, en el captulo 11 se describe con brevedad el PEIM o Programa Evo-lutivo Instruccional para Matemticas, que persigue la mejora del rendimiento mate-mtico de los escolares. Basado en el enfoque constructivista sociocognitivo, sos-tiene que interviniendo adecuadamente sobre los cuatro pilares que lo fundamentan(alumnos, profesor, contenidos y contexto del aula), mejora significativamente el ren-dimiento matemtico de los escolares, tal como muestran los datos empricos obte-nidos en la aplicacin de este programa.

Esta obra va dirigida a todos aquellos que de algn modo participan o van a par-ticipar, directa o indirectamente, en la educacin matemtica de los nios: padres,orientadores, tutores, alumnos de educacin y psicologa educativa, etc., pero espe-cialmente ha sido concebida para los profesores de Educacin Infantil y EnseanzaPrimaria. Pienso que su lectura puede ofrecerles una visin diferente de cmo llevara cabo su quehacer cotidiano en el aula de matemticas de una manera eficaz quemotive al alumno, cambie sus actitudes ante las matemticas, facilite su comprensiny mejore, en definitiva, la educacin matemtica de nuestros escolares.

Vicente Bermejo

14

1Aprendiendo a contarV. Bermejo M. T. Bermejo

11..11 .. DESARROLLO NUMRICO TEMPRANO

Algunos animales, chimpancs y palomas entre otros, poseen ciertas capacidadesnumricas, como, por ejemplo, la discriminacin de pequeas cantidades. En los hu-manos, la competencia numrica parece estar presente desde los primeros mesesdespus del nacimiento. As, los bebs pueden determinar los objetos de un conjun-to, cuando ste no es superior a 3 objetos. Igualmente son capaces de emparejar elnmero de objetos que estn viendo con la cantidad de sonidos que oyen. Sin em-bargo, no est suficientemente probado que estos bebs sean capaces de sumar yrestar, como supona Wynn. Hacia el ao aproximadamente, los nios son capacesde relacionar conjuntos pequeos (hasta 4 elementos), determinando si son igualeso no, pero hay que esperar unos dos meses ms (14 meses) para que puedan tam-bin determinar que un conjunto es mayor o menor que otro. Por tanto, en torno a los14 meses, los nios seran capaces de representar los nmeros y de operar mental-mente con ellos, antes de lo que haba supuesto Piaget.

La competencia aritmtica se inicia tambin muy pronto. En torno a los dos aoslos nios empiezan a comprender los efectos de la transformacin de un conjunto,segn que se le aada o reste un elemento, de modo que saben que aadir implicams objetos, mientras que restar objetos conlleva a conjuntos ms pequeos. Peroincluso estos nios llegan a determinar con precisin el nmero de elementos resul-tante de la suma o resta de un objeto cuando se manejan conjuntos no superiores a3 unidades. Ms en concreto, el nio de 18 meses es capaz de resolver sumas y res-tas de objetos cuando se trata de 1 + 1 o 2 1; los nios de dos aos incluso pue-den resolver situaciones de resta cuando el minuendo tiene un mximo de 3 objetos,

15

mientras que a los 30 meses resuelven ambos tipos de situaciones (suma y resta) silos conjuntos son de 3 o menos elementos.

El primer uso que suelen hacer los nios con los numerales no es para contar, si-no ms bien para indicar el cardinal de conjuntos pequeos. As, hacia los dos aos,o incluso antes, los nios suelen utilizar el dos, usando tambin el uno y el tresmeses ms tarde ante pequeos conjuntos. De este modo, el nio indica con sus de-dos o mediante el numeral los aos que tiene, o seala los objetos que hay dentro deun crculo o recuadro mediante un numeral (Fig. 1.1).

16

CUNTOS GATITOS HAY?

FIGURA 1.1

En estos momentos, el nio no sabe todava contar. Pero poco despus apare-cer el cuatro en el repertorio numrico del nio y empieza a contar. Son los pri-meros instrumentos matemticos que el contexto sociocultural ofrece al nio.

11..22 .. SUBITIZACIN Y CONTEO

Subitizacin y conteo son dos procedimientos que empleamos y emplean los niospara determinar cuntos objetos hay en un conjunto. El trmino anglfono subitizingha sido utilizado de modos diferentes, pero en general podemos definirlo como el pro-ceso mediante el cual aprehendemos sbitamente la cantidad de objetos que hay enun conjunto, generalmente, pequeo (no ms de 5 o 6 objetos), emitiendo al mismotiempo un numeral que indica los objetos del conjunto. Igualmente sigue siendo po-lmica la aparicin de la subitizacin y del conteo en el desarrollo del nio. Aunquealgunos autores defienden que el conteo es la base que precede y en la que se fun-damenta el desarrollo numrico posterior, sin embargo, pensamos que la subitizacinaparece antes que la habilidad de contar en el desarrollo del nio. Efectivamente,cuando los nios aprenden los primeros numerales no lo hacen, o no suelen hacerlo

para contar, sino ms bien, para indicar cuntos objetos hay en un conjunto, es de-cir, para determinar el cardinal numrico de un conjunto. As aprenden el numeral 2para indicar los aos que tienen, o el nmero de caramelos que hay en la palma de lamano, o el nmero de muecos que hay delante de l, o los gatitos que hay en la Fi-gura 1.1.

Una vez aprendido el numeral con su significado cuantitativo, el nio lo utilizarpara responder a la pregunta cuntos objetos hay o cuntos hay en un conjunto.Y al proceso que sigue el nio para determinar que hay 2 elementos lo llamamossubitizacin, como hemos dicho. Pero en este momento evolutivo los nios an nosaben contar, o en todo caso no es necesario que sepan contar para determinar elcardinal numrico de conjuntos pequeos (de 1 a 3 elementos). Curiosamente, treses tambin el mximo de objetos que los bebs pueden discriminar cuantitativamen-te, como hemos visto. Por tanto, la subitizacin tiene primaca evolutiva sobre el con-teo, ya que antes de saber contar los nios la utilizan para cuantificar conjuntos pe-queos, y ms tarde, cuando ya son capaces de usar subitizacin y conteo, prefierenutilizar la primera para determinar los objetos que hay en conjuntos pequeos.

Una vez adquiridos los primeros numerales y su significado cuantitativo, es decir,los primeros nmeros cardinales, se inicia el aprendizaje del conteo propiamente di-cho: asignar los numerales en secuencia a cada uno de los elementos de un conjun-to, formando correspondencias biunvocas, de modo que si el conteo es correcto yconvencional el ltimo numeral utilizado indica los elementos del conjunto contado.Desde este punto de vista, la gnesis del conteo dependera de la subitizacin, demodo que sta dara sentido al conteo. Efectivamente, cuando el nio cuenta, porejemplo un conjunto de tres elementos, se da cuenta en un momento dado de que elltimo numeral empleado (3 en el ejemplo) indica precisamente el nmero de ele-mentos que hay en el conjunto y que el nio determina o determin anteriormente me-diante subitizacin (ver Fig. 1.2).

17

CARDINAL NUMRICO

FIGURA 1.2

01

02

03

La subitizacin da tambin sentido cuantitativo a los numerales y por tanto al con-teo. As, cuando el nio cuenta 1, 2, 3, etc., no seran slo palabras aprendidas dememoria, sin ms, sino que tendran un significado cuantitativo (ver Fig. 1.3).

El conteo parece una habilidad simple y fcil desde el punto de vista adulto; sinembargo, exige un gran esfuerzo a los nios para su completa adquisicin. Pruebade ello es el hecho de que en general los nios necesitan dos o tres aos para con-tar correctamente.

11..33 .. ADQUISICIN DE LA SUBITIZACIN

Algunos autores sostienen que al principio la subitizacin, y no el conteo, juega unpapel importante en el desarrollo numrico (Starkey y Cooper, 1995), ya que inter-vendra adems en la adquisicin de los primeros cardinales. Los nios suelen pre-sentar dificultades similares en la adquisicin de la subitizacin de conjuntos con 1,2 y 3 objetos; sin embargo, resulta especialmente difcil la subitizacin de conjuntosde 4 elementos. Por ejemplo, en algunos experimentos se ha observado que niosde 4 y 5 aos subitizan mejor conjuntos de tres elementos que de cuatro (con dife-rencias estadsticamente significativas). Igualmente, hay tambin diferencias impor-tantes en el comportamiento de estos nios segn que los modelos presentados se-an hileras de puntos o figuras de tringulos o cuadrados formados por puntos, demodo que la subitizacin se facilita usando configuraciones (ver Fig. 1.4). Cuando setrata de 3 elementos, las diferencias entre modelos lineales o geomtricos son me-nos significativas que cuando se utilizan cuatro elementos.

En general, los experimentos muestran que los nios de dos aos pueden deter-minar el nmero de elementos de conjuntos de 1 a 3 objetos con exactitud median-te subitizacin. Los nios de tres aos y medio lo hacen igualmente con conjuntos de1 a 4 elementos y, finalmente, entre cuatro y cinco aos los nios subitizan sin pro-blemas conjuntos de 1 a 5 elementos. No obstante, hay que sealar que aqu tam-bin existen diferencias interindividuales, de modo que puede haber nios que mues-tren competencias ms bajas o ms altas de las que acabamos de indicar. En cambio,no se han encontrado diferencias entre nios y nias (ver cmo ensear la subitiza-cin en 2.3.1).

18

SIGNIFICADO CARDINAL DE LOS NMEROS

FIGURA 1.3

0 00 000

1 2 3

123123123

11..44 .. ADQUISICIN DEL CONTEO

Para algunos autores el nio aprende primero a contar de memoria o mediante imi-tacin, prctica y refuerzo, antes de comprender los principios bsicos del conteo(teora de las habilidades primero). Otros, en cambio, defienden que los principiosson innatos y guiaran el desarrollo de los procedimientos propios de la habilidad decontar (teora de los principios primero), de modo que la comprensin sera anteriora la ejecucin correcta del conteo. Veremos despus estos principios. Una terceraposicin, intermedia entre ambas teoras, es la teora del desarrollo mutuo, que no-sotros compartimos. Segn esta teora, el nio poseera desde el nacimiento unaspredisposiciones generales que serviran de base para el desarrollo posterior num-rico y, por tanto, del conteo, de tal modo que comprensin y procedimientos se irandesarrollando ms o menos paralelamente y en constante interaccin a lo largo dela infancia.

Siguiendo la teora de los principios primero, Gelman y Gallistel (1978) propo-nen un modelo de contar, ya clsico, formado por cinco principios o componentes,de modo que los nios llegaran a contar perfectamente cuando sean capaces de in-tegrar esos principios:

1) Principio de correspondencia uno-a-uno.2) Principio de orden estable. 3) Principio de cardinalidad o cardinal numrico.4) Principio de abstraccin.5) Principio de orden irrelevante.

Los tres primeros principios se refieren a cmo contar, mientras que los dos res-tantes indican qu se puede contar y cmo contar los objetos de un conjunto. Par-tiendo de estos principios, en las pginas que siguen intentaremos analizar detalla-

19

MODELOS EXPERIMENTALES PARA LA SUBITIZACIN

FIGURA 1.4

Modelos lineales:

Modelos geomtricos:

* * * * * * *

* *

* ** *

*

damente lo que a primera vista parece tan sencillo, como es el conteo, pero que dehecho es extraordinariamente complejo y difcil para los nios.

11..44 ..11 .. Correspondencia uno-a-uno

Cuando contamos establecemos correspondencias biunvocas entre los objetos con-tados y los numerales utilizados, tal como puede observarse en la Figura 1.5.

20

CORRESPONDENCIA ENTRE OBJETOS Y MUMERALES

FIGURA 1.5

0

1

0

2

0

3

0

4

Por tanto, el primer requisito que el nio necesita para contar correctamente con-siste en tener la competencia para construir correspondencias uno-a-uno. Las investi-gaciones muestran que, a partir del primer ao, el nio es capaz de construir corres-pondencias entre conjuntos de 1 o 2 elementos, y a lo largo del segundo ao lo harigualmente entre conjuntos de 3 y 4 objetos. Ahora bien, no est claro si los nios se li-mitan a hacer emparejamientos entre los objetos, o si adems conocen la equivalencianumrica resultante de ese emparejamiento entre los dos conjuntos. No obstante, la co-rrespondencia entre objetos (ver Fig. 1.6) es ms sencilla y precoz en el nio que la co-rrespondencia establecida entre objetos y numerales (ver Fig. 1.5). Ello explica que elinicio del conteo aparezca algo ms tarde en el desarrollo infantil.

CORRESPONDENCIA ENTRE OBJETOS

FIGURA 1.6

0

0

0

0

Ahondando an ms en cmo aprenden los nios a contar, podemos observar conFuson (1988) que la ejecucin correcta del conteo no slo supone llevar a cabo una co-rrespondencia, sino dos correspondencias simultneas. Efectivamente, cuando el nioaprende a contar por tanto estamos hablando de nios pequeos, necesita indicaro incluso tocar con el dedo cada uno de los objetos que cuenta, de modo que el actode indicacin constituye un elemento necesario del conteo. Este acto de indicacindeja de ser necesario cuando el nio es mayor o en los adultos, que se transforma en-tonces en movimientos de cabeza o direccin de la mirada. La presencia del acto deindicacin en el aprendizaje del conteo implica la ejecucin de dos correspondencias,tal como podemos observar en la Figura 1.7 (acto de indicacin representado por unaflecha). Una correspondencia est formada por los objetos (estrellas) y los actos deindicacin (flechas), denominada correspondencia espacial, y la segunda est cons-tituida por los actos de indicacin y los numerales (correspondencia temporal). Ellosignifica que el aprendiz tiene que coordinar adecuadamente ambas corresponden-cias para que el conteo sea correcto, de modo que la violacin de cualquiera de ellasdara lugar a una serie de errores, que analizamos a continuacin.

21

DOS TIPOS DE CORRESPONDENCIA

FIGURA 1.7

1

2

3

4

Correspondenciaespacial

Correspondenciatemporal

123 123

11..44 ..11 ..11 .. Errores tpicos del conteo

El anlisis del comportamiento de los nios cuando estn aprendiendo a contar mues-tra la aparicin de una serie de errores tpicos interesantes que pueden afectar a lacorrespondencia espacial, a la temporal, o a las dos. Entre los errores que violan la correspondencia espacial destacamos los siguientes:

1) Omisin de objetos, de modo que no son sealados ni etiquetados con un nu-meral (ver Fig. 1.8).

2) Repeticin de objetos, que son sealados y etiquetados ms de una vez (verFig. 1.9).

22

EJEMPLO DE ERROR ESPACIAL DE OMISIN

FIGURA 1.8

1

0

2

0 0

3

0

4

0Objetos:Sealamiento:

Etiquetacin:

3) Sealamiento y etiquetacin de un lugar vaco entre dos objetos (ver Fig. 1.10).

EJEMPLO DE ERROR ESPACIAL

FIGURA 1.10

1

0

2

0

3

0

4 5

0

6


Etiquetacin:

EJEMPLO DE ERROR ESPACIAL DE REPETICIN

FIGURA 1.9

1

0

2

0

3

0

4 5

0

6


Etiquetacin:

Entre los errores que afectan a la correspondencia temporal, destacamos los si-guientes:

1) Se omite la etiqueta de un objeto correctamente sealado (ver Fig. 1.11).

23

EJEMPLO DE ERROR TEMPORAL DE OMISIN

FIGURA 1.11

1

0

2

0

3

0 0

4


Etiquetacin:

2) Se asignan dos etiquetas a un objeto correctamente sealado (ver Fig. 1.12).

EJEMPLO DE ERROR TEMPORAL DE REPETICIN

FIGURA 1.12

1

0

2

0

3

0

4 5

0

6


Etiquetacin:

3) Emisin de un numeral o etiqueta sin objeto ni acto de indicacin referencial(ver Fig. 1.13).

EJEMPLO DE ERROR TEMPORAL

FIGURA 1.13

1

0

2

0

3 4

0

5


Etiquetacin:

4) Fraccionamiento de un numeral entre dos objetos y actos de indicacin (verFig. 1.14).

24

EJEMPLO DE ERROR TEMPORAL

FIGURA 1.14

1

0

2

0

TRE

0

ES

0

4


Etiquetacin:

Los errores duales son aquellos que transgreden simultneamente las dos co-rrespondencias: espacial y temporal:

1) Se seala ms de una vez un objeto asignndole una sola etiqueta o numeral(ver Fig. 1.15).

EJEMPLO DE ERROR DUAL

FIGURA 1.15

1

0

2

0

3

0

4

0

5


Etiquetacin:

2) Se seala dos veces un objeto sin asignacin de etiqueta (ver Fig. 1.16).


FIGURA 1.16

1

0

2

0

3

0 0

4


Etiquetacin:

3) El nio seala de manera irregular los objetos, al tiempo que emite numeralessin conexin con los actos de sealar, ni con los objetos (ver Fig. 1.17).

25


FIGURA 1.17

1 2 3 4

0 0 0 0 0Objetos:Sealamiento:

Etiquetacin:

4) Los nios ms pequeos hacen un gesto rasante a lo largo de la hilera de ob-jetos, emitiendo simultneamente y de manera continua un conjunto de numerales(ver Fig. 1.18).


FIGURA 1.18

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0Objetos:Sealamiento:

Etiquetacin:

Finalmente, aparecen otros errores que consisten en que los nios cuentan dosveces dos o ms objetos, tal como ocurre, por ejemplo, en la Fig. 1.19. Aqu el niovuelve hacia atrs para contar un objeto olvidado, contando de nuevo los dos ltimosobjetos.

Ahora bien, la frecuencia de los tipos de errores no es la misma en los nios, demodo que suelen aparecer ms errores en la correspondencia espacial que en la tem-poral (83% vs. 61% segn Fuson, 1988). Y, ms en concreto, los errores ms fre-cuentes corresponden a los ejemplos recogidos en las Figuras 1.8, 1.9 y 1.11 (66%,71% y 58% respectivamente). Aunque no resulta fcil explicar las causas de estoserrores, algunos autores han supuesto que muchos de ellos podran deberse a la apli-cacin por parte de los nios de patrones de correspondencia evolutivamente ante-riores a la correspondencia biunvoca, como son las correspondencias uno-a-muchosy muchos-a-uno (ver Fig. 1.20).

26

EJEMPLO DE OTROS ERRORES

FIGURA 1.19

1

0

2

0

5

0

36

0

47


Etiquetacin:

CORRESPONDENCIAS UNO-A-MUCHOS Y MUCHOS-A-UNO

FIGURA 1.20

0 0 0 0 0 0

(Ver estrategias para ensear la correspondencia en 2.3.2.1.)

11..44 ..22 .. La secuencia de numerales

El principio de orden estable del modelo de Gelman y Gallistel establece que la se-cuencia de etiquetas o numerales debe ser repetible y estar integrada por etiquetas

nicas. Lo primero significa que el nio suele emplear esta secuencia para contar, ylo segundo hace referencia a que las etiquetas empleadas no se repiten en la se-cuencia, es decir, el mismo numeral no aparece en la secuencia ms de una vez. Portanto, la aplicacin de este principio sera correcta cuando el nio emplea secuenciasidiosincrsicas que no se ajustan a la secuencia convencional, pero que respetan lascondiciones mencionadas (ver Fig. 1. 21). Al mismo tiempo que el nio aprende la se-cuencia convencional, suele emplear tambin listas idiosincrsicas que le son tiles,personalmente, para cuantificar la realidad, pero que pueden crear problemas en con-textos sociales.

27

EJEMPLO DE LISTA DE IDIOSINCRSICA

FIGURA 1.21

1

0

2

0

4

0

6


Etiquetacin:

Por otra parte, los nios comprenden muy pronto que el conteo requiere una lis-ta especial de numerales nicos. Pero la construccin gradual de esta comprensinsupone tres pasos:

a) descubrir que la lista est constituida solamente por numerales;b) que esta lista tiene un orden determinado,c) y, finalmente, que cada numeral es nico y no se repite en la lista.

En el aprendizaje de la secuencia convencional de los numerales se han diferen-ciado dos fases que pueden solaparse a lo largo del tiempo: adquisicin y elabora-cin o consolidacin. En la fase de adquisicin, el nio aprende la secuencia estn-dar y la utiliza cuando cuenta, apareciendo frecuentemente errores que se localizansobre todo en la parte final de la secuencia. Efectivamente, en la adquisicin de la se-cuencia convencional de numerales podemos diferenciar tres partes o fragmentos ca-ractersticos, tal como puede observarse en el ejemplo de la Figura 1.22: la parte ini-cial, que en el ejemplo abarcara slo los dos primeros numerales, es estable yconvencional, de modo que el nio la usa siempre que cuenta. La segunda, que en elejemplo slo hace referencia a los dos siguientes numerales, sera estable pero noconvencional, ya que siempre se utiliza la misma secuencia, pero no se ajusta a la lis-ta convencional. Finalmente, la ltima parte no sera ni estable, ni convencional, en elsentido de que el nio cambia los numerales cuando cuenta y no se ajusta a la se-cuencia convencional.

En la fase de elaboracin y consolidacin de la secuencia se distinguen cinco ni-veles evolutivos en funcin de la comprensin y el uso que los nios son capaces dehacer de los numerales (Fuson, 1988):

1) El nio slo es capaz de emitir la secuencia de numerales empezando nece-sariamente por el 1, como si se tratara de una cuerda sin diferenciacin entrelos distintos elementos de la secuencia (nivel de hilera o cuerda).

2) La secuencia aparece como una cadena irrompible, pero ahora sus elemen-tos o numerales se conciben como diferenciados unos de otros (nivel de ca-dena irrompible).

3) Nivel de cadena rompible, ya que los nios pueden emitir fragmentos de lasecuencia de los numerales, sin empezar necesariamente por el 1. En otraspalabras, ahora la competencia numrica del nio le permite continuar la se-cuencia convencional aprendida a partir de cualquier numeral, como, por ejem-plo: 3-4-5-...

4) El grado de elaboracin y abstraccin es mayor, de modo que los nios pue-den incluso entender los numerales como elementos contables.

5) Finalmente, el nio puede emitir de manera fluida y con entera flexibilidad lasecuencia de los numerales tanto hacia adelante como hacia atrs, a partir deun numeral dado.

Por otra parte, algunos autores han propuesto que los pasos que siguen los ni-os para aprender la secuencia de los numerales seran fundamentalmente tres:

a) memorizar los trminos de las unidades;

b) generar las decenas a partir de los nombres de las unidades;

c) y aprender las reglas de generacin que combinan unidades y decenas paraconstituir nmeros mayores.

28

EJEMPLO DE LA FASE DE ADQUISICIN

FIGURA 1.22

1

0

2

0

4

0

6

0

9

0

7


Etiquetacin:

Ahora bien, cundo entienden los nios que los numerales y su secuencia sonconvencionales? Segn Saxe y otros (1989), esta comprensin requiere su tiempo,de modo que a los cuatro aos pocos nios comprenden esta convencionalidad, mien-tras que suele ser frecuente a los seis y sobre todo a los ocho aos. Incluso estosmismos investigadores encuentran que los nios bilinges comprenden antes la ar-bitrariedad de la secuencia numeral.

(Ver estrategias para ensear la secuencia de los numerales en 2.3.2.2.)

11..44 ..33 .. Cardinal numrico

El cardinal numrico indica el nmero de objetos que hay en un conjunto dado. Porejemplo, en la mano hay 5 dedos. Ahora bien, el principio de cardinalidad, tercerprincipio del modelo de Gelman y Gallistel, no se ajusta exactamente al concepto decardinal numrico antes mencionado. Efectivamente, este principio reza as: el ltimonumeral utilizado para contar los elementos de un conjunto representa e indica losobjetos que hay en ese conjunto (ver Fig. 1.2). Pero el cardinal numrico es un con-cepto ms amplio, en cierto sentido, que el principio de cardinalidad, ya que ste su-pone no slo el uso del conteo, sino adems que haya sido ejecutado correctamen-te empleando la secuencia convencional. En cambio, podemos determinar los objetosde un conjunto utilizando procedimientos diferentes al conteo, como por ejemplo, me-diante subitizacin o estimacin.

Por otra parte, al contar, no slo el ltimo numeral utilizado en la secuencia re-presenta los objetos contados, sino que cualquiera de los numerales empleados repre-senta los objetos contados hasta ese momento, debido al significado inherente de losmismos nmeros. As, tal como aparece en la Figura 1.23, el 2 indica los objetosque se han contado hasta ese momento, el 3 representa igualmente los objetos con-tados hasta ese momento, etc.

Ahora bien, el nio empieza a adquirir el cardinal numrico muy pronto. A lo lar-go del segundo ao, como vimos anteriormente, muchos nios utilizan ya el 2 pa-

29

VALOR CARDINAL DE LOS NMEROS

FIGURA 1.23

1

2

3

4

02

03

04

0Objetos:

Etiquetacin:

ra indicar cuntos elementos hay en un conjunto de dos objetos o dedos mediante eluso de la subitizacin (ver Fig. 1.1). Pero el uso del conteo para determinar cuntoselementos hay en un conjunto constituye una habilidad ms compleja que requiereun mayor desarrollo en los nios. Sin embargo, Gelman y Gallistel defienden que a losdos aos y medio los nios son capaces de usar correctamente el principio de cardi-nalidad, que se manifestara cuando los nios repiten o enfatizan el ltimo numeral dela secuencia de conteo empleada.

Pero estas respuestas no garantizan la comprensin por parte del nio de la no-cin de cardinal numrico. Efectivamente, como muestra el modelo de niveles de com-prensin de Bermejo (1996), los nios pasaran por las siguientes etapas:

1) Incomprensin de la situacin y respuestas al azar (hasta los 2, 6 aos).

2) Repeticin de la secuencia de conteo utilizada (2, 6 a 3, 0 aos).

3) Volver a contar: el nio vuelve a contar al preguntarle cuntos objetos hay (3,0 a 3, 6 aos).

4) Aplicacin de la regla del cuntos: ante la pregunta cuntos hay, la reac-cin mecnica de los nios consiste en dar el ltimo numeral utilizado en elconteo, sea ste correcto o incorrecto (3, 6 a 4, 0 aos).

5) Dar el numeral mayor utilizado en el conteo, sea o no el ltimo empleado (4,0 a 4, 6 aos).

6) Respuesta correcta de cardinalidad: comprensin del cardinal numrico (apartir de 4, 6 aos).

Aunque las edades sealadas son aproximadas y existen diferencias interindivi-duales importantes, no resulta difcil determinar el nivel de competencia de un niocon respecto al cardinal numrico. Existen diferentes procedimientos para ello, comopor ejemplo:

preguntar cuntos objetos hay en un conjunto dado despus o antes de contar; pedir al nio n objetos; preguntar al nio cuntos objetos hay despus de haber contado una mue-

ca aprendiz (puede cometer errores); etc.

Sin embargo, no es fcil diferenciar los niveles 4 y 6 cuando se utiliza la secuenciaconvencional, ya que en ambos casos la respuesta correcta es la misma. En cambio,se identifican fcilmente ambos niveles si pedimos al nio (o a una mueca), por ejem-plo, que utilice la secuencia numeral hacia atrs para contar (ver Fig. 1.24). En estecaso, a la pregunta cuntos hay, el nio del 4 nivel responder 2, mientras queel nio del 6 nivel dir 4 en el ejemplo propuesto. Otro procedimiento ms para di-ferenciar ambos niveles reside en utilizar secuencias convencionales con omisiones(ej.: 1-2-4-6 o 1-2-5-3, etc.).

Por tanto, parece claro que la adquisicin y comprensin del cardinal numricono se obtiene sbitamente, sino que supone un proceso ms o menos largo en el de-sarrollo numrico del nio. Adems, el momento evolutivo de su aparicin va a de-

30

pender del procedimiento empleado. Si se utiliza la subitizacin, aparece antes en eldesarrollo que cuando se emplea el conteo, tal como hemos visto. Ello se debe, noslo a la mayor precocidad de la subitizacin, sino tambin a que el conteo no tieneal principio un significado cardinal para el nio, es decir, no sabe que el conteo sirvepara determinar cuntos objetos hay en un conjunto. (Ver estrategias para ensear elcardinal numrico en 2.3.2.3).

11..44 ..44 .. Principio de abstraccin

Este principio establece que todos los objetos de un conjunto o coleccin, sean ho-mogneos o heterogneos, constituyen elementos contables o cosas que pueden con-tarse. A partir de los tres aos aproximadamente los nios cuentan con la misma faci-lidad conjuntos homogneos y heterogneos, como, por ejemplo, objetos de diferentesformas o colores (peras y manzanas). Pero antes, el nio contara primero las peras,por ejemplo, y despus las manzanas, como si se tratara de dos conjuntos diferentes.No obstante, el objetivo cuantificador perseguido por el conteo podra cambiar el mo-do de contar los objetos. Efectivamente, los nios de cuatro aos cuentan de mododiferente el conjunto de objetos que tienen delante formado por cucharillas, si algunasde ellas estn partidas por la mitad. Si se les pide que cuenten y nos digan cuntascucharillas hay, su modo de contar sera diferente que cuando se les pregunta cun-tos objetos hay. Por tanto, es importante que el nio identifique el tipo de unidad quesirve para contar o se va a contar.

11..44 ..55 .. Irrelevancia del orden

El ltimo principio del modelo de Gelman y Gallistel seala que el orden en que seasignen los numerales (o etiquetas) a los objetos resulta irrelevante, siempre y cuan-do se etiquete una sola vez cada uno de los objetos del conjunto. Si as es, el cardi-nal ser siempre el mismo independientemente del orden seguido en el conteo. Portanto, el conteo estndar permite empezar a contar por la izquierda, o por la derecha,

31

SECUENCIA DE CONTEO HACIA ATRS

FIGURA 1.24

0 0 0 0

5 4 3 2

o por el centro de la hilera de objetos, ya que el cardinal-resultado ser siempre elmismo. Sin embargo, esto no resulta tan fcil para los nios. Hasta los 4 o incluso 5aos los nios no admiten la irrelevancia del orden y, sobre todo, no aceptan que elresultado del conteo sea el mismo segn que empecemos a contar por la derecha,por la izquierda, o por el centro. Los nios pequeos afirman con seguridad que asno se cuenta o que est mal, si nos desviamos del procedimiento habitual de con-tar empezando por la izquierda.

Por otra parte, el dominio de este principio supone adems en el nio las siguientescompetencias:

a) la correspondencia uno-a-uno;b) el orden estable;c) el cardinal numrico.

(Ver estrategias para ensear el principio de abstraccin e irrelevancia del ordenen 2.3.2.4.)

11..55 .. BIBLIOGRAFA

Bermejo, V. (1996). Cardinality development and counting. Developmental Psycho-logy, 32, 263-268.

Fuson, K. (1988). Childrens counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag.

Gelman, R. y Gallistel, C. (1978). The childs understanding of number. Cambridge,MA: Harvard University Press.

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Starkey, P. y Cooper Jr, R. G. (1995). The development of subitizing in young chil-dren. British Journal of Developmental Psychology, 13, 399-420.

32

2Enseando a contar V. Bermejo A. Martn Mansilla

22..11 .. CONSIDERACIONES DIDCTICAS GENERALES

Hemos visto en el captulo anterior que el conteo no es precisamente una habilidadsencilla para los nios, de modo que su completa adquisicin supone un gran es-fuerzo para ellos, aunque frecuentemente los adultos no seamos conscientes de ello.

La Educacin Infantil es la etapa educativa en la que se ensea a contar y con-cretamente se desarrolla en el segundo ciclo (3-6 aos). La normativa legal recoge es-tos contenidos en el rea de Comunicacin y Representacin dentro del bloque VI:

CONCEPTOS El nmero

Unidad: Aspectos cardinales y ordinales del nmero. La serie numrica. Los primeros nmeros.

PROCEDIMIENTOS Construccin de la serie numrica mediante la adicin de la unidad.

Utilizacin de la serie numrica para contar elementos y objetos de la realidad.

Representacin grfica de la cuantificacin de las colecciones de objetosmediante cdigos convencionales y no convencionales.

ACTITUDES Gusto por explorar objetos, contarlos y compararlos, as como por activi-

dades que impliquen poner en prctica conocimientos sobre las relacionesentre objetos.

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Apreciacin de la utilidad de los nmeros en los juegos y problemas que sepresentan en la vida cotidiana.

Nos parece til, y quiz necesario, recordar brevemente algunas consideracionesmetodolgicas de esta etapa educativa.

Partimos de una perspectiva constructivista que entiende al nio como constructorde su propio conocimiento. Por tanto, se trata de un nio que desarrolla un papel ac-tivo en su aprendizaje, tanto por la intensa actividad cognitiva que desarrolla, comopor la actividad manipulativa.

Aunque no hay un mtodo nico para trabajar en esta etapa, la perspectiva glo-balizadora se perfila como la ms adecuada para que los aprendizajes que realizanlos nios y nias sean significativos. Esto supone que el aprendizaje resulta del es-tablecimiento de mltiples conexiones y relaciones entre lo nuevo y lo ya aprendido.

Por otra parte, los aspectos socioafectivos adquieren una importancia especialen EI. Los nios pequeos necesitan un clima que les transmita una confianza bsi-ca y la seguridad que precisan para su desarrollo. Cuanto mejor se siente un nio,ms se implica en la actividad, ms se desarrolla y aprende. Por eso, como veremos msadelante, estimulando y aprovechando la matemtica inventada por ellos mismos,estaremos fomentando no slo el aprendizaje significativo del que hablbamos an-tes, sino tambin su implicacin y su autoconfianza.

Hay que destacar tambin que la interaccin entre nios y nias es un recursometodolgico relevante. Las discusiones que surjan entre ellos, las opiniones y argu-mentos que se manejen y los reajustes que se generen en el grupo cuando estn con-tando facilitarn el progreso intelectual y socioafectivo de nuestros alumnos.

Con respecto a la funcin del profesor de EI, entendemos que es una labor demediador que intenta organizar actividades y experiencias favorecedoras del apren-dizaje, mostrando una actitud receptiva, observadora y positiva, alentando al nio adecir en cada momento lo que piensa, sin miedos a posibles errores. Actitud igual-mente positiva hacia el aprendizaje cooperativo y de valoracin de las cosas que pue-de aprender con sus compaeros.

Concluimos este apartado sealando algunas implicaciones educativas que con-viene tener en cuenta en nuestra prctica docente:

a) La enseanza significativa de las matemticas tiene que partir de la matem-tica informal de los nios y basarse en ella.

b) El juego es una herramienta valiosa para el aprendizaje, de modo que su usoresulta indispensable para desarrollar la competencia aritmtica de los nios.Su curiosidad y su inters natural para realizar recuentos habr que aprove-charlos al mximo.

c) Estructurar experiencias informales para fomentar el aprendizaje por descu-brimiento.

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22..22 .. ESPACIOS, TIEMPOS Y MATERIALES PARA APRENDER

No todos los nios tienen que resolver las mismas cosas al mismo tiempo. Adems,sabemos que lo que ms gusta y sirve para un nio no siempre es lo mejor para otros.Se hace necesaria una distribucin de tiempos y espacios que faciliten actividadescolectivas e individuales que tengan en cuenta estas diferencias evolutivas y de inte-reses.

Respetar estas diferencias ser tan importante como tener presente que en la es-cuela hay que aprovechar situaciones funcionales que ofrecen mltiples oportunida-des para que los nios cuenten.

Algunos de estos momentos ms ricos se producen en:

La entrada: Es un momento dedicado al intercambio de comentarios, de sustesoros y donde surgen o pueden surgir, habitualmente, momentos mate-mticos (cuntos cromos traes, cuntos me faltan, etc.).

El trabajo por rincones es una propuesta que ofrece gran diversidad de mate-riales y en cada uno de ellos se hace posible la construccin de diferentesaprendizajes. Por ejemplo:

En la cocinita se prepara la mesa poniendo igual nmero de vasos, deplatos y cubiertos. Se pregunta o se piden los objetos necesarios hasta con-seguir el objetivo deseado.

En el rincn de construcciones y coches: Se agrupan por colores o se re-parten utilizando expresiones como yo slo tengo tres y t tienes cinco,yo quiero dos azules o en el garaje vamos a meter cuatro.

El patio: Es el contexto ideal para los juegos tradicionales de persecucin, ocul-tacin y de puntera. En casi todos ellos interviene de alguna manera el nme-ro ya sea para desarrollar la secuencia numrica (contar para jugar al escondi-te) o bien para establecer correspondencias uno a uno (en el pasemis) oaveriguar el cardinal numrico (cuntos bolos se han cado).

Las sesiones de psicomotricidad: Aqu se trabaja con materiales que nece-sitamos contar, repartir, compartir (aros, pelotas, cuerdas, zancos, etc.) y conel propio cuerpo que tantas posibilidades nos brinda para desarrollar los prin-cipios del conteo.

En la Asamblea: Es el tiempo dedicado a la comunicacin en grupo, donde secuentan cosas, se organiza el juego o se resuelven conflictos, situaciones to-das ellas que aportan innumerables razones para cuantificar la realidad: con-tar los que estn en clase, los que se han quedado en casa, mirar en el calen-dario cunto queda para celebrar un cumpleaos, etc.

En la recogida de material: Es el momento de ordenar y colocar los materia-les y objetos utilizados (faltan 2 tapas de rotuladores, slo quedan 3 rodillos,se ha perdido una ficha roja, etc.).

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Por tanto, hay diversos modos de favorecer el aprendizaje en clase de EI:

Organizando distintos espacios bien equipados y ordenados con materiales va-riados y ricos que estimulen la exploracin.

Disponiendo los materiales al alcance de los nios para que puedan utilizarloscuando los necesiten.

Permitiendo la eleccin de actividades individuales o de grupo de forma aut-noma y voluntaria.

Planificando el tiempo y las condiciones necesarias para realizar las activida-des libres o sugeridas, proyectadas por los propios nios o programadas porel profesor en los rincones o reas de trabajo.

Fomentando relaciones de apoyo y colaboracin entre los nios.

En consecuencia, es bueno aprovechar los distintos momentos para el aprendi-zaje, ya que especialmente en Educacin Infantil todo el tiempo es educativo y no sepuede separar artificialmente el momento de aprender y el momento de vivir.

22..33 .. ENSEAR A CUANTIFICAR

Como hemos visto en el captulo anterior, la competencia numrica se inicia muy pron-to en el desarrollo infantil. Cuando los nios se incorporan a la escuela ya poseen cier-ta competencia matemtica (saben decir cuntos aos tienen, contar conjuntos pe-queos, etc.). Han aprendido con su familia, con otros nios, con la televisin, con losjuegos, etc. Si partimos de este bagaje de ideas, de conocimientos previos informa-les que traen los nios, estaremos consiguiendo que la enseanza sea significativa,aumentaremos la probabilidad de que el aprendizaje escolar tenga xito y, en conse-cuencia, que se incremente la autoestima y el desarrollo afectivo en general.

Todos tenemos ancdotas en nuestra prctica diaria de las actividades y mo-mentos de la escuela que favorecen el acercamiento del nio al nmero (coleccionis-mo, bolos, construcciones, etc.), y si tambin echamos una mirada matemtica ha-cia nuestra prctica docente descubrimos una gran riqueza de contenidosmatemticos en actividades que, de entrada, no parecen diseadas para trabajar esoscontenidos. Las actividades de lectoescritura son un buen ejemplo de lo que esta-mos diciendo. Desde los tres aos los nios y nias estn acostumbrados a ver susnombres con letras maysculas. El proceso de reconocimiento de su nombre es ex-traordinariamente rpido y comienza la comparacin con el resto de los nombres desus compaeros. Y lo hacen buscando diferencias y semejanzas: SARA - ANA - SU-SANA y, enseguida, les oyes decir: Yo tengo dos A, t tienes una, Las tres de tunombre estn en el mo, etc. Cuentan las letras que tiene cada uno en su nombre,quin tiene ms, quin tiene menos, etc.

Por lo tanto, la cuantificacin de la realidad se inicia muy pronto en el desarrollodel nio. Esta cuantificacin puede realizarse mediante distintos procedimientos. Vea-mos aqu dos de los ms importantes: la subitizacin y el conteo.

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22..33 ..11 .. Procedimientos de subitizacin

Hemos visto en el captulo 1 que la subitizacin o percepcin inmediata implica el re-conocimiento inmediato de pautas numricas y es anterior a la habilidad de contar.De hecho, los nios no necesitan saber contar para determinar el cardinal numricode conjuntos pequeos.

Veamos algunas actividades tiles para trabajar en el aula la subitizacin:

El reconocimiento de pautas regulares mediante el juego con dados o el domin.

Pautas digitales para los nmeros del 1 al 3 y del 1 al 5, segn la edad. Muchosnios aprenden pautas digitales automticas, incluso las manejan antes de en-trar a la escuela, por ejemplo, para indicar los aos que tienen. El profesor po-dr apoyar las cantidades usando tambin los dedos cuando va a repartir cual-quier material: al mismo tiempo que dice vamos a repartir dos a cada uno, sesacarn los dos dedos correspondientes.

Algunos juegos que estimulan el trabajo con pautas numricas seran para traba-jar en grupo pequeo y podran introducirse en el rincn de juegos de mesa, comopor ejemplo:

1) LA LOTERA: Cada jugador toma su cartn con tres pautas numricas (ver Fig.2.1). El profesor va sacando de una bolsa distintas tarjetas con las mismas pautas ylas va dejando sobre la mesa. Cada nio debe estar atento para identificar las suyas.Cuando sale alguna que tiene en su cartn, la rellena o seala. Les explicamos quevamos a ver quin rellena primero su tablero. El primer jugador que lo complete ganala partida. El material, que podemos elaborar nosotros, ser cada vez ms complejoen funcin de la edad de los nios.

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JUEGO DE LA LOTERA

FIGURA 2.1

2) EL DOMIN es otra actividad que se puede emplear para el reconocimientode pautas numricas. Puede ser el clsico o se puede jugar con variantes que exis-ten en el mercado. Tambin podemos fabricar nosotros mismos las fichas para em-

pezar con 1, 2, 3 y 4 con distintos formatos del mismo nmero como se puede apre-ciar en la Figura 2.2.

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JUEGO DEL DOMIN

FIGURA 2.2

JUEGO DE CARTAS CON DADOS

FIGURA 2.3

Los juegos de DADOS pueden ser muy tiles para trabajar con grupos grandes.Existen en el mercado varios modelos de dados de goma espuma o plstico de grantamao que nos servirn para numerosos juegos de recorridos o carreras con table-ro o en el suelo para participar individualmente o por equipos. Ir siendo ms com-plejo a medida que el momento evolutivo de los nios nos lo permita. Algunos ejem-plos podran ser en LA ASAMBLEA:

a) EL PROTAGONISTA de cada da elige un atributo, por ejemplo: objetos de co-lor azul, y lanza el dado. Despus de tirarlo, fomentaremos la percepcin in-mediata, eligiendo el aro que contiene la cantidad de elementos que haya sa-lido en el dado. Se puede empezar con dados que contengan slo hasta 4puntos.

b) CARTAS CON DADOS. Se reparten 4 fichas o cartas (con los mismos puntosque el dado) a cada equipo y va lanzando el dado. Les pedimos que entreguenla ficha que sea igual a la cantidad de la tirada. La profesora va recogindolasy gana el equipo que se quede sin cartas o fichas en primer lugar (ver Fig. 2.3).

c) BLOQUES LGICOS: Primero se usar el dado convencional, pero ms tardese introducen otros para que la tirada sea doble o triple en 5 aos. Se inicia eljuego con la caja llena de piezas y cada jugador tiene que coger la cantidad debloques que le sale en la tirada con el dado. La partida finaliza cuando se aca-ban las piezas y gana el jugador que consigue ms bloques (ver Fig. 2.4).

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JUEGO DE DADOS Y BLOQUES

FIGURA 2.4

JUEGO DEL 1,2 O 3

FIGURA 2.5

d) ADIVINA ADIVINANZA (Pautas digitales): UNO, DOS o TRES: Los jugadoresse colocan por parejas. Uno esconde una mano tras de s y estira 1, 2 o 3 dedos (ose guarda 1, 2 o 3 elementos dentro de una mano) preguntando a su compaero 1,2 o 3? El otro jugador contesta y ste le muestra la mano para verificar la respuesta.Si el jugador acierta intercambian los papeles. Tambin se puede jugar cerrando losojos. Se puede realizar con monedas, canicas, etc., y ms adelante se puede jugarcon ms de tres elementos (ver Fig. 2.5).

Por tanto, existen diversas situaciones ldicas que favorecen la adquisicin y de-sarrollo de la subitizacin. El uso de una u otra situacin depender del nivel evoluti-vo del nio (sus conocimientos previos) y del contexto.

22..33 ..22 .. El conteo

Hay razones que aconsejan el no aplazamiento de experiencias y de la enseanza delconteo:

1) Porque hemos visto, a lo largo del primer captulo, la complejidad que encie-rra esta tarea para nuestros alumnos.

2) Porque conocemos la importancia que tiene para la comprensin del nmero.

3) Porque se trata de una habilidad til e interesante para la vida cotidiana del nio.

El modelo clsico del conteo consta de cinco principios o componentes (ver cap.1). Veamos algunos recursos o estrategias para ensear cada uno de ellos.

22..33 ..22 ..11 .. Correspondencia uno-a-uno

El nio tiene que contar coordinando las palabras que emplea (numerales), los actosde indicacin o sealamientos con el dedo y los objetos que cuenta. La realizacinde las dos correspondencias que supone el conteo resulta extraordinariamente com-plejo. A los tres aos el nio no se da cuenta de que el proceso de enumeracin esun medio, vivindolo como un fin en s mismo. Por eso, ante la pregunta cuntos hay,se limitar a establecer la correspondencia uno-a-uno. Ahora bien, se trata de garan-tizar una correcta asignacin de cada palabra numrica a uno y slo un elemento con-table (ver cap. 1.4.1).

Sabiendo que la correspondencia entre objetos es ms precoz y sencilla que lacorrespondencia entre objetos y numerales, facilitaremos el aprendizaje, sobre todoen los primeros niveles de Educacin Infantil, con actividades y experiencias en losdistintos rincones del aula. Empezaremos presentando correspondencias entre obje-tos, tal como aparecen en la Fig. 2.6.

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CORRESPONDENCIA ENTRE OBJETOS

FIGURA 2.6

Precisamente una actividad tan cotidiana como la ASAMBLEA nos brinda la opor-tunidad de interesar a los nios en el conteo:

As, cada da, el protagonista despus de pasar lista, va contando uno a unoel nmero de nios que han acudido a clase. En un primer momento el maes-tro puede prestar las ayudas necesarias, para ir paulatinamente retirando es-tas ayudas.

Tambin puede establecerse una correspondencia uno-a-uno entre las tarjetasde los nios que han faltado para colocarlas en su lugar correspondiente, demodo que al tiempo que se nombran los nios que no han venido, se puede irsealizando con los dedos. Primero puede hacerlo el profesor y ms tarde elnio encargado.

En el calendario tenemos sealizadas actividades significativas, y aparecernpictogramas de los cumpleaos, excursiones, fin de semana, festivos, etc. Esel protagonista el que tambin se ocupa de ir contando uno a uno los das quefaltan para celebrar el cumpleaos, para ir a la Granja Escuela o para el fin desemana.

Puede surgir la polmica, con frecuencia, entre lo que dice el protagonistafaltan 5 nios y el recuento que hace otro miembro del grupo. En este con-texto, es importante aprovechar el conflicto que suscite cualquier recuento pa-ra poner en funcionamiento el pensamiento. La ayuda del adulto no debe con-sistir en darle la respuesta correcta, sino en invitarles a la reflexin.

El anlisis de los errores que cometen los nios cuando se enfrentan a esta tareapuede ser una importante fuente de informacin sobre los conocimientos que poseen,donde se produce la dificultad y qu es necesario volver a ensear especficamente.Por tanto, el examen de estos errores sistemticos es crtico para planificar la ense-anza adecuada (ver cap. 1).

Algunos recursos y materiales que podemos usar seran:

a) Plastilina o arcilla

El trabajo con este tipo de materiales nos proporciona innumerables situaciones pa-ra establecer correspondencias uno-a-uno. Primero se llevan a cabo corresponden-cias entre objetos que los mismos nios modelan (tres bolas azules y tres amarillas,cuatro caracoles y cuatro gusanos, etc.); y despus y casi de forma espontnea seinician los sealamientos con el dedo para cuantificar los conjuntos de cosas que es-t creando.

b) El dado

Lo introduciremos primero con juegos grupales, inicialmente con dados grandes, pa-ra recorridos por baldosas, por ejemplo, y despus empezaremos con los juegos demesa: la oca, el parchs, e incluso adaptaciones ms sencillas de tableros en los que

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aparecen menor nmero de casillas. Como existen tantas posibilidades de juego condados, nos limitaremos a sealar tan slo dos ejemplos de posibles aplicaciones enel aula:

Carrera de dados: Es un juego de parejas. Se tira un dado y un nio ha de mo-verse tantos pasos como indica el dado, su pareja va contndolos extendien-do sucesivamente los dedos de una mano. Se comprueba si coinciden los pa-sos con los dedos de la mano.

Tablero de 25 a 50 casillas segn queramos alargar la actividad. Se lanza eldado y se rellena con fichas. Se irn colocando tantas como indique el dado.Gana el jugador que rellene antes su tablero (ver Fig. 2.7).

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JUEGO DEL TABLERO

FIGURA 2.7

c) Juegos de puntera

Apuntar dejando caer, lanzando o empujando objetos: bolos, anillas, soltar pinzas,dianas, tragabolas, la rana, moneda en raya, etc. Son juegos muy atractivos para losnios. El recuento de los bolos cados o las anillas lanzadas se puede realizar con ayu-da de los dedos o con marcas sobre papel, suelo o pizarra segn el lugar donde va-yamos a jugar (ver Fig. 2.8). Este tipo de juegos hay que utilizarlos de forma sistem-tica y programndolos detalladamente segn el aspecto del conteo o tipo de errorque se pretende superar.

d) El ordenador en el aula de Educacin Infantil

El ordenador en Educacin Infantil es una herramienta valiosa y permite a los niosalcanzar unos contenidos y objetivos con un alto grado de motivacin. Para el prin-cipio que nos ocupa existen en el mercado numerosos juegos que ayudarn al nioa establecer la correspondencia uno-a-uno. Sirvan como ejemplo tres juegos:

1. Mis amigos de Fhiser Price: Cuando el mueco le pide ayuda para inflar glo-bos o hacer pompas, el nio comprueba que slo si hace clic (que sera el equi-valente del sealamiento) sale en pantalla el globo o la pompa.

2. Con las recetas de cocina del Pas de los juguetes comprueba igualmente queuno a uno van apareciendo en pantalla los ingredientes que necesita slo sihace clic.

3. En la Casa de las matemticas de Mili aparecen en la caja registradora un n-mero de animales u objetos a la vez que los enumera o nombra.

El juego con el ordenador permite desarrollar los distintos principios del conteo:se pueden construir correspondencias, enumerar objetos, cuantificar cantidades, com-parar cantidades, etc. En estas actividades existen diferentes niveles de dificultad,dependiendo frecuentemente de la longitud de la secuencia numrica.

22..33 ..22 ..22 .. La secuencia convencional

(Para informacin sobre su aprendizaje, ver 1.4.2. de esta obra.)

Las actividades y juegos de este bloque pretenden sobre todo introducir a los ni-os en la secuencia rtmica de palabras numricas. En Educacin Infantil muchas de

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EJEMPLO DE RECOGIDA DE PUNTOS

NIOS PARTIDA BOLOS (bolas, anillas) TOTAL

Pepe / / / / / / / / / / /

Ramn / / / / / / / / / /

Anabel / / / / / /

Luis / / / / /

Sara / / / / / / / / / / / /

Luca / / / / / / / / /

Juan / / / / / / / /

FIGURA 2.8

las canciones y ritmos que se utilizan habitualmente incluyen un tramo de la serie nu-mrica. Tienen la ventaja de que se pueden utilizar en diferentes espacios: en el pa-tio, en el aula, etc. Algunas de estas actividades son:

a) Juegos para echar a SUERTES

Se caracterizan por su funcionalidad y, adems, son altamente motivantes para losnios. Una vez que se introducen en el aula (con o sin marioneta) sern los propiosnios los que generalicen su uso a gran nmero de situaciones. Se pueden utilizar pa-ra elegir quin comienza una partida determinada o para ver quin la liga en algunosjuegos como el escondite. En los ejemplos que siguen se indica, entre parntesis, eltramo numrico que se recita:

Al pelotn (del uno al tres); en un caf se rifa un gato, al subir por la escalera (deluno al cuatro); en la casa de Pinocho (del uno al ocho); Te atreves? Pues cuenta has-ta nueve; etc.

b) Canciones y poesas

Que tienen una letra con la secuencia numrica. Sirvan de ejemplo las de Margaritatiene un gato, el barquito chiquitito, un elefante, la gallina turuleta, los esqueletos, etc.

c) El escondite

Primero ya hemos dicho que se sortea entre los nios para ver quin la liga con al-guna de las retahlas sealadas anteriormente y al que le toque tendr que contar,con los ojos cerrados, hasta 5 o 6 o 7 o 20, en funcin del desarrollo de los nios.

d) A la zapatilla por detrs

Sentados en crculo, los jugadores cantan la cancin mientras el nio que la liga ca-mina alrededor de ellos y tiene que contestar a la pregunta que le formulan sus com-paeros: A qu hora?. Todos juntos cuentan, con los ojos cerrados, hasta el n-mero que haya dicho y mientras deja detrs de alguno la zapatilla. Cuando terminande contar, el nio que ha sido elegido persigue hasta que ste ocupa el lugar que haquedado vaco.

Muy pronto los nios saben que para contar slo se usan numerales y que, ade-ms, existe una lista de numerales nicos: la secuencia convencional. Pero no todoslos nios se encuentran en el mismo nivel evolutivo, de modo que hay que adaptarlos recursos o juegos didcticos recogidos aqu a sus competencias especficas so-bre el principio de orden estable o secuencia de numerales.

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22..33 ..22 ..33 .. Cardinal numrico

Hasta ahora las actividades planteadas tenan como objetivo ms general la cons-truccin de la lnea numrica mental. Ahora, todas las destrezas aprendidas debenconfluir en que la ltima palabra del recuento representa a todos los elementos delconjunto contado. Un nio puede contar bien de uno en uno hasta cinco o ms y, sinembargo, cree que cada palabra (uno, dos, tres, etc.) corresponde a cada unode los objetos que va tocando con el dedo, sin darse cuenta de que cada nmero re-presenta tambin a la totalidad de los objetos ya contados. Por tanto, el objetivo quenos planteamos con las actividades y juegos de este bloque pretende que el nio lle-gue a saber que cada numeral representa no slo el objeto sealado, sino tambin latotalidad de los objetos contados hasta ese momento.

En este sentido, son tiles e interesantes los problemas que se plantean en con-textos de la vida cotidiana, tales como responder cada da, en la asamblea, a la pre-gunta de cuntos han faltado, cuntos han venido de cada equipo, etc. El Super-mercado, las Fiestas de Cumpleaos, las Recetas de cocina plantean numerososproblemas que ellos mismos quieren contestar. Igualmente, las situaciones de repar-ticin constituyen un contexto especialmente adecuado para el uso del nmero, yaque tienen que pensar en la cantidad total y en la que se da a cada nio, de modoque frecuentemente los mismos nios o grupos vuelven a contar lo que tienen, lo queles queda y lo compararn con lo de los dems.

El papel del adulto en estas actividades es determinante para hacer reflexionar yestimular el pensamiento del nio, bien:

Relanzando la pregunta, pero no dando respuestas. Ests seguro de queson? Pues tu compaero dice que son

Tomando o retomando las respuestas de otros nios para que expliquen cu-les son sus estrategias para averiguarlo. Y... cmo lo sabes?

Verbalizando y haciendo explcitas las explicaciones que dan los nios sobrelos caminos que han seguido para estar tan seguros.

En concreto, he aqu algunas actividades que se pueden desarrollar para facilitarel aprendizaje de este principio del conteo:

Los juegos de adivinanzas: Se pueden plantear para predecir la cantidad deelementos (bloques, fichas, monedas, etc.) o la tirada con dado.

Cascada de cartas: El que lleva el juego deja caer de su mano un puado decartas dentro de un cesto. Gana el que adivina el nmero de cartas cadas oms cercano.

Agrupamientos: Los nios permanecen de pie en el aula y el profesor pideque se agrupen en funcin de distintos criterios:

prendas del mismo color. color de los ojos, del pelo. con gafas, sin gafas.

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falda, pantaln. botas, deportivos. pelo largo, pelo corto, etc.

Despus se determina cuntos hay en cada grupo.

Como decamos con las actividades del apartado 2.3.2.2, puede resultar muy tilque el maestro, o mejor an, la propia marioneta de la clase demuestre el procesomientras piensa en voz alta: Cuntos dedos tengo levantados? Voy a contarlos:uno, dos, tres, cuatro. Vaya, el ltimo nmero que he dicho es cuatro, as que tengocuatro dedos levantados.

En la medida que adquiera el dominio del cardinal numrico podremos introducirtambin nosotros errores muy evidentes para que el propio nio vaya corrigiendo a lamueca que se equivoca y no se da cuenta.

Sera interesante introducir en la dinmica de clase actividades que nos p

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