complemento1

8/6/2019 complemento1

1/27

FACULTAD DE INGENIERIA UCA ALGEBRA Y GEOMETRIA Primer Cuatrimestre 2011

Complemento de la Practica 1

Indice

Ejercicio 1 (complecion de cuadrados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Ejercicio 2 (forma trigonometrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Apendice (Funciones trigonometricas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Ejercicio 3 (valor del argumento en un intervalo dado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Apendice (Unicidad del argumento en un intervalo de longitud2) . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ejercicio 4 (argumento del producto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Ejercicio 5 (distancia entre dos puntos del plano complejo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ejercicio 6 (races de numero complejo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Apendice (Races n

esimas de la unidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ejercicio 7 (subconjuntos del plano complejo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Ejercicio 8 (exponencial compleja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23


2/27


3/27

FAC. DE INGENIERIA UCA ALGEBRA Y GEOMETRIA P rimer Cuatrimestre 2011 Complemento de la Practica 1 1

1. a) En cada una de las siguientes expresiones aplique la complecion de cuadrados

(i) x2 + 4x + 7

(ii) t2

5t

(iii) 3x2 12x 3(iv) sen2 2 sen cos + 1

b) Sean u = x2 y2 y v = 2xy. Compruebe que u2 + v2 = w2 para algun w R.c) Utilice uno de los calculos anteriores para hallar las intersecciones entre la parabola

y = 3x2 12x 3 y el eje x.d) Utilice uno de los resultados obtenidos para mostrar que

sen2

2sen cos + 1 > 0

para todo R.

Inciso a)

(i)

x2 + 4x + 7 = x2 + 2.2x + 7 = (x + 2)2 4 + 7 = (x + 2)2 + 3

(ii)

t2

5t= t2

2 5

2t= (t

52

)2

( 5

2)2 = (t

52

)2

254

(iii)

3x2 12x 3 = 3[x2 4x] 3 = 3[(x 2)2 4] 3 = 3(x 2)2 15

(iv)

sen2 2sen cos + 1 = sen2 2sen cos + sen2+ cos2 = cos2 + sen2 2 sen cos + sen2= [cos sen ]2 + sen2

Inciso b)

u2 + v2 = (x2 y2)2 + 4x2y2 = x4 +y4 2x2y2 + 4x2y2 = x4 +y4 + 2x2y2

= (x2 +y2)2

Entonces,

u2 + v2 = w2 con w = x2 +y2


4/27

2 FAC. DE INGENIERIA UCA ALGEBRA Y GEOMETRIA P rimer Cuatrimestre 2011 Complemento de la Practica 1

Inciso c)

Utilizando el resultado obtenido en el inciso a)-(iii) la ecuacion de la parabola es

y = 3(x 2)2 15

La interseccion entre la parabola y el eje x esta dada por

y = 3(x 2)2 15 e y = 0

o sea,

3(x 2)2 15 = 0 e y = 0que equivale a

(x 2)2 = 5 e y = 0i.e.,

|x 2| = 5 e y = 0Por lo tanto los puntos de interseccion son

(2

5, 0) y (2 +

5, 0)

Inciso d)

A partir del resultado obtenido en el inciso a)-(iv)

sen2 2sen cos + 1 = [cos sen ]2 + sen2 0

Solo nos resta entonces ver que no puede ser cero. Supongamos, razonando por el absurdo,

que existe algun para el cual

[cos sen ]2 + sen2= 0

Siendo cada sumando mayor o igual que cero, esto implica que cada uno de ellos debe ser

cero

cos = sen y sen = 0

pero esto es decir

=

4+ k para algun k Z

m para algun m Zlo que es imposible. Luego,

sen2 2sen cos + 1 > 0

para todo R.


5/27


2. Escriba el numero complejo z = 2 3i en forma trigonometrica

Se trata de escribir a z en la forma

z = |z|(cos argz + i sen argz)

Por tanto, solo necesitamos hallar

| 2 3i| , arg(2 3i)

N Calculo del modulo

| 2 3i| =

(2)2 + (3)2 =

4 + 9 =

13

es decir,

| 2 3i| =

13

Con esto ya podemos decir que,

2 3i =

13(cos argz + i sen argz) =

13 cos argz + i

13 sen argz

N Calculo del argumento

Igualando las partes reales y las partes imaginarias de ambos numeros,

13 cos argz = 2 y

13 sen argz = 3

entonces,

cos argz = 2

13

y sen argz = 3

13

Para entender mejor la situacion es conveniente hacer un esquema grafico

-2

-3-2-3i

Nota: denota el valor del argumento de z que se encuentra entre 0 y 2

Como z esta en el tercer cuadrante, los valores

arcsen( 313

) y arccos( 213

)


6/27

4 FAC. DE INGENIERIA UCA ALGEBRA Y GEOMETRIA P rimer Cuatrimestre 2011 Complemento de la Practica 1

no pueden representar ningun valor de argz dado que

arcsen t [2

, 2

] y arccos t [0, ]cualquiera sea tentre 1 y 1; con lo cual

arcsen t solo puede ser argumento de puntos en el primero o cuarto cuadrante (nunca

del tercero)

arccos tsolo puede ser argumento de puntos en el primero o segundo cuadrante (nunca

del tercero)

Miremos el siguiente grafico,

= +

-2

2

-3

3

-2-3i

El seno y coseno de y satisfacen

cos = cos , sen = sen

por lo tanto,

cos =213

y sen =313

y como 0

2ahora s podemos decir que

= arccos2

13y por supuesto tambien que

= arcsen313

Finalmente, recordando que

= +

obtenemos:

= + arccos213

1

1por supuesto tambien podramos haber dicho que = + arcsen 313


7/27


Y entonces,

2 3i =

13(cos( + arccos 2

13) + i sen( + arccos 2

13))

Apendice

Es importante tener siempre presente la siguiente informacion sobre las funciones sen , cos

y tan y sus inversas arcsen , arccos y arctan

-1

1

/2

/2

sen(a) = b

a

b

-11

/2

/2

arcsen(b) = a

a

b

-1

1

/2

cos(a) = b

a

b

-1 1

/2

arccos(b) = a

a

b


8/27


9/27


y por consiguiente

5 2k < 2multiplicando miembro a miembro por el numero positivo

1

2

5

2 k

Documents

complemento1