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简介COMSOL Multiphysics
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comsol_introduction_note.fm Page 1 Friday, December 25, 2015 10:47 AM
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如需联系技术支持，可访问 COMSOL Access 页面 cn.comsol.com/support/case，在线填写申请表。
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• 技术中心： cn.comsol.com/support
• 产品下载： cn.comsol.com/product-download
• 产品更新： cn.comsol.com/support/updates
• COMSOL 社区： cn.comsol.com/community
• 活动： cn.comsol.com/events
• 视频集锦： cn.comsol.com/videos
• 知识库： cn.comsol.com/support/knowledgebase
Part number: CM010004
C O M S O L M u l t i p h y s i c s 简 介 © 1998–2015 COMSOL
受 cn.comsol.com/patents 中列出的美国专利和美国专利 7,519,518、 7,596,474、 7,623,991、8,457,932、 8,954,302、 9,098,106 及 9,146,652 的保护。
本文档和本文所述的程序根据 COMSOL 软件许可协议 (cn.comsol.com/comsol-license-agreement) 提供，且仅能按照许可协议的条款进行使用和复制。
COMSOL、 COMSOL Multiphysics、 Capture the Concept、 COMSOL Desktop、 LiveLink 和COMSOL Server 为 COMSOL AB 公司的注册商标或商标。所有其他商标均为其各自所有者的财产， COMSOL AB 公司及其子公司和产品不与上述商标所有者相关联，亦不为其正式认可、赞助或支持。 相关商标所有者的列表请参见 cn.comsol.com/trademarks。
版本：COMSOL 5.2
comsol_introduction_toc.fm Page 3 Friday, December 25, 2015 10:44 AM
目录
引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
COMSOL Desktop® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
示例 1：扳手的结构分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
示例 2：母线板 — 多物理场模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
高级主题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
参数、函数、变量和耦合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
材料属性和材料库 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
增加网格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
增加物理场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
参数化扫描 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
并行计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
附录 A— 构建几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
附录 B— 键盘和鼠标快捷键 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
附录 C— 语言元素和保留名称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
附录 D— 文件格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
附录 E— 使用 LiveLink™ 模块进行连接 . . . . . . . . . . . . 176
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引言
首次使用 COMSOL Multiphysics® 软件前，请仔细阅读本书。本书提供了 COMSOL® 环境的概述，其中附带的示例显示了如何使用 COMSOL Desktop® 用户界面和模型开发器，并简要介绍了如何使用 App 开发器来创建多物理场仿真 App。
如果您尚未安装 COMSOL 软件，请先按照操作说明进行安装，下载地址：
cn.comsol.com/product-download
除本书外，您还可以在软件安装完成后获取内容丰富的文档集；此外，COMSOL 网站还提供了许多教程供您学习，例如，您可以单击 cn.comsol.com/videos 访问 COMSOL 视频集锦页面；还可以单击cn.comsol.com/blogs 阅读 COMSOL 博客。
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COMSOL Desktop®
模型开发器 — 带有模型树和相关工具栏按钮，用户可以在此窗口纵览模型。通过右键单击某个节点，可以访问上下文相关菜单，从而控制建模过程。
模型开发器 工具栏
快速访问工具栏 — 使用这些按钮可访问各种功能，例如文件打开 / 保存、撤消 /重做、复制 / 粘贴、删除。
功能区 — 通过功能区选项卡中的按钮和下拉菜单可以控制建模流程的所有步骤。
模型树 — 在模型树中可以纵览整个模型，包括在建模、求解以及结果处理中所需的所有功能和操作。
设定窗口 — 单击模型树中的任一节点，模型开发器右边将会显示对应的设定窗口。
App 开发器 — 单击该按钮，切换至 App 开发器，并开始基于您的模型构建 App。
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信时
图形窗口 — 图形窗口可显示几何、网格和结果节点的交互式图形，可在此窗口进行旋转、平移、缩放和选择等操作。
图形窗口工具栏
息窗口 — 信息窗口可显示仿真过程中重要的模型信息，例如求解间、求解进度、网格统计、求解器日志，以及可用的结果表格。
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当您首次使用 COMSOL Multiphysics 中的模型开发器开始建模时，会看到如上页屏幕截图所示的图形化操作界面。COMSOL Desktop® 为物理场建模和仿真以及 App 设计提供了一个完整的集成环境，当您需要为模型创建一个友好的用户界面时，就可在此访问所需的全部工具。您可以根据自己的需要对桌面进行定制。桌面窗口支持调整大小、移动、停靠和分离等操作。当您关闭会话时，COMSOL Multihpysics 会自动保存您对窗口布局所做的任何更改，并将在下次启动时再次使用。在构建模型时，将会自动增加一些其他的窗口和控件
（参见第 24 页以获取更完善的桌面示例）。目前可用的窗口和用户界面组件 包括：
快速访问工具栏快速访问工具栏可供您访问各种功能，例如打开、保存、撤消、重做、复制、粘贴及删除。可以从定制快速访问工具栏列表定制其内容。
功能区桌面顶部的功能区可供您访问用于完成大多数建模任务的命令。功能区只能在Windows® 系统下的 COMSOL Desktop 环境中使用，在 OS X 和 Linux® 系统中，将表现为菜单和工具栏形式。单击 App 开发器按钮，可以从模型开发器切换至 App 开发器，并开始基于您的模型构建 App。
设定窗口这是用于输入模型的所有规格信息的主窗口，包括几何尺寸、材料属性、边界条件、初始条件以及在运行仿真时求解器需要的其他信息。
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下图为几何节点对应的设定窗口。
绘制窗口绘制窗口是图形输出窗口。除图形窗口外，绘制窗口也可用于对结果进行可视化。您可以使用几个绘制窗口来同时显示多个结果。收敛图窗口是一个特例，它是自动生成的绘制窗口，可显示模型运行时求解过程收敛的图形表示。
信息窗口 信息窗口是非图形信息的显示窗口，包括：
• 信息：显示当前 COMSOL 会话的各种信息。
• 进度：显示求解器的进度信息，以及停止按钮。
• 日志：显示来自求解器的信息，例如自由度数、求解时间，以及求解器迭代数据。
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• 表格：以表格形式显示结果分支中定义的数值数据。
• 外部进程：提供集群、云计算和批处理任务的控制面板。
其他窗口• 增加材料和材料浏览器：访问材料属性库。材料浏览器可供编辑材料属性。
• 选择列表：显示当前可供选择的几何对象、域、边界、边和点的列表。
通过功能区主屏幕选项卡中的窗口下拉列表，可以访问所有 COMSOL Desktop 窗口。( 对于 OS X 和 Linux® 系统，可以在窗口菜单中找到它们。）
带取消按钮的进度条进度条位于 COMSOL Desktop 界面的右下角，包含用于取消当前计算 （如果有）的按钮。
动态帮助帮助窗口提供有关窗口与模型树节点的上下文相关帮助文本。在桌面打开帮助窗口后 （例如按下 F1 键），当您单击某个节点或窗口时，就会自动获得相关的动态帮助文件 （目前只有英文）。此外，您还可以在帮助窗口中搜索其他主题，例如菜单项。
模型开发器和 App 开发器
COMSOL Desktop 环境的两个主要组成部分是模型开发器和 App 开发器。
模型开发器是定义模型及其组件的工具，包括模型的求解方式、结果分析和报告。您可以通过构建模型树来实现这些操作。模型树可反映底层数据结构和模型对象，其中存储的模型状态包括对以下项的设置：几何、网格、物理场、边界条件、研究、求解器、后处理及可视化。
App 开发器支持您通过易于使用的专业用户界面基于使用模型开发器创建的模型快速创建 App。 App 开发器中提供了两个重要的 App 创建工具：表单编辑器及方法编辑器。此外， App 还可包含菜单栏或功能区。表单编辑器包含的拖放功能可用于轻松访问各类用户界面控件并将其加入 App，例如输入框、图形窗口及按钮。方法编辑器是一个编程环境，支持您修改以模型对象数据结构为
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表征的模型。
我们将在 《COMSOL Multiphysics 简介》一书中向您详细介绍模型开发器的使用，同时还将简要介绍如何使用 App 开发器。有关如何使用 App 开发器的详细信息，请参阅 《App 开发器简介》。
运行 App 和 COMSOL Server
Windows® 系统下的 COMSOL Multiphysics 中内置了 App 开发器。通过COMSOL Multiphysics 许可证，您将能在 COMSOL Desktop 中运行 App ；通过 COMSOL Server 许可证，您将能在各类操作系统及硬件平台的主流网络浏览器中运行 App ；此外，您还可以通过易于安装的 Windows® 版 COMSOL Client 连接 COMSOL Server 来运行 App。
Windows® 版 COMSOL Client 还支持用户运行需要 CAD LiveLink™ 产品的 App。
在网络浏览器中运行 App 时无需进行任何安装，也不需要安装任何浏览器插件。支持一维、二维及三维交互式图形操作。在网络浏览器中，三维图形渲染主要基于主流网络浏览器所采用的 WebGL™ 技术。
要基于模型创建 App 时，可通过访问功能区主屏幕选项卡中的 App 开发器进行操作。
有关创建 COMSOL App 的更多信息，请参阅第82 页的 “ 使用新建表单向导创建 App” 以及
《App 开发器简介》 一书。
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首选项
首选项是一些会影响建模环境的设定，大部分设定不会因建模会话发生变化，但有一些则会随模型一起保存。可从文件菜单访问首选项。
在首选项窗口中，您可以更改很多设定，例如图形渲染、结果的显示位数、用于计算的最大 CPU 内核数，或用户自定义 App 库的路径。请花些时间浏览当前设定，以便快速熟悉各种选项。
有三个图形渲染选项可供使用： OpenGL®、DirectX® 和软件渲染。DirectX® 在 OS X 或 Linux® 中不可用，但对于 Windows® 系统，如果在安装过程中选择了安装 DirectX® 运行库，则可以使用。如果计算机不具有专用显卡，则可能需要切换至软件渲染，此时仍可使用完整的绘图功能，只是速度较慢。以下链接列出了建议使用的显卡列表：
cn.comsol.com/system-requirements
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创建新模型
如下图所示，您可以通过模型向导或空模型来创建一个新模型。
通过模型向导创建模型模型向导可指导您设置空间维度、物理场和研究类型，步骤如下：
1 首先，选择模型组件的空间维度：三维、二维轴对称、二维、一维轴对称或零维。
2 接下来，添加一个或多个物理场接口。物理场接口根据不同的物理场分支进行组织，以便快速定位。这些分支并不直接与产品相对应。当 COMSOL
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Multiphysics 安装中新增产品时，一个或多个物理分支下会自动增加相应的物理场接口。
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3 选择研究类型，即用于计算的求解器或求解器组。
最后，单击完成。此时桌面会显示根据模型向导中的设定来配置的模型树。
创建空模型单击空模型选项会打开不含任何组件或研究的 COMSOL Desktop 界面。您可以右键单击模型树，添加含特定空间维度、物理场接口或研究的组件。
功能区和快速访问工具栏
COMSOL Desktop 环境中的功能区选项卡反映了建模工作流程，并提供了每个建模步骤所需的功能概述，包括基于模型构建仿真 App。
主屏幕选项卡包含更改模型、运行仿真 , 以及创建和测试 App 所需的大部分常规操作按钮。例如，更改模型参数以便执行参数化几何，检查材料属性和物理场，构建网格，运行研究和可视化仿真结果。
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建模过程中的每个主要步骤均有对应的标准选项卡，按工作流模式 （从左至右）依次为：定义、几何、材料、物理场、网格、研究和结果。
情景选项卡仅在需要时显示，例如三维绘图组选项卡仅在添加相应绘图组或在模型树中选中相应节点时显示。
模式选项卡用于非常特殊的操作，此时功能区中的其他操作会暂时变得无关紧要。工作平面就是这样一类选项卡，在操作工作平面时，不会显示其他无关操作选项卡。
功能区 VS. 模型开发器功能区用于快速访问各种命令，并对模型开发器窗口中的模型树进行补充。功能区提供的大部分功能还可通过右键单击模型树节点弹出的上下文菜单进行访问。某些操作只能通过功能区实现，例如选择显示哪个桌面窗口。 OS X 和 Linux® 平台中的 COMSOL Desktop 界面通过工具栏来代替功能区提供此功能。也有一些操作只能在模型树中实现，例如重排和禁用节点。
快速访问工具栏快速访问工具栏包含一组独立于当前所显示功能区选项卡的命令。可以定制快速访问工具栏；可以添加文件菜单中提供的大部分命令，如撤消和重做最近的操作、复制、粘贴、复制并粘贴，以及删除模型树中的节点等命令。您也可以将快速访问工具栏置于功能区的上方或下方。
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OS X 和 LINUX®
在 OS X 和 Linux® 系统的 COMSOL Desktop 环境中，一组菜单和工具栏代替了功能区的功能：
本书中主要以 Windows® 系统下的 COMSOL Desktop 环境为例展开说明。不过，在 OS X 和 Linux® 系统中， COMSOL 的运行方式非常相似，您只需记住可以在对应的菜单和工具栏中找到功能区用户界面组件即可。
模型开发器和模型树
当使用模型开发器时，您可以首先使用缺省的模型树来构建模型，即添加节点和编辑节点设定。
缺省模型树中的所有节点均为最高级父节点。右键单击节点可查看这些父节点下可增加的子节点或下一级节点列表。这是用于向模型树添加节点的常用方法。
当单击某个子节点时，可以在设定窗口查看节点设定并进行编辑。
请注意：如果已打开帮助窗口 （选择文件菜单中的帮助或按功能键 F1），则在单击某个节点时，即可获取动态帮助 （仅英文版）。
根节点、全局定义和结果节点模型树始终包含一个根节点 （初始标签为 Untitled.mph）、一个全局定义节点和一个结果节点。根节点标签是多物理场模型文件
（或 MPH 文件）的保存名称。根节点中包含作者姓名、缺省单位制等设定。
全局定义节点包含一个缺省的材料子节点。全局定义节点用于定义可在整个模型树中使用的参数、变量、函数及耦合。 例如，可用于定义材料属性、力、几何及其他相关特征的值与函数依赖关系。全局定义节点本身没有任何设定，但其子节点包含许多设定。全局定义 > 材料节点中存储有材料属性信息，可以被模型的组件节点引用。
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您可以通过结果节点访问仿真计算结果，其中还提供了相关数据处理工具。结果节点最初包含五个子节点：
• 数据集：包含可以使用的解的列表。
• 派生值：定义要从使用大量后处理工具求得的解进行派生的值。
• 表格：方便地显示探针生成的派生值或结果的目标文件，该探针在运行仿真时实时监视仿真过程。
• 导出：定义要导出为文件的数值数据、图像和动画。
• 报告：包含自动生成或定制的模型报告，格式为 HTML 或 Microsoft® Word®。
除了这五个缺省子节点，用户还可以添加更多绘图组子节点，用于定义在图形或绘制窗口中显示的图形。其中一部分会根据所执行的仿真类型自动创建，用户也可以右键单击结果节点，从绘图类型列表中添加更多的图像。
组件和研究节点除以上介绍的三个节点之外，还有两类最高等级的节点：组件节点和研究节点。这些节点通常在创建新模型时由模型向导创建。使用模型向导指定要建模的物理场类型、要执行的研究类型 （如稳态、瞬态、频域或特征频率分析）之后，向导会自动为每种类型创建一个节点，并显示其内容。
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此外，您还可以在开发模型时继续增加更多的组件和研究节点。一个模型中可以包含多个组件和研究节点，如果它们的名称全部相同，可能会引起混乱。因此，可以根据这些节点的各自用途对其重新命名。
如果一个模型中包含多个组件节点，则可以将这些节点耦合在一起，形成一个更有条理的仿真序列。
请注意，每个研究节点都可以执行不同类型的计算，所以每个节点均设有一个单独的计算按钮 。
具体来说，假设您要构建一个模拟线圈装配体的模型，该装配体由线圈和线圈外壳两部分组成，则可以创建两个组件节点，其中一个对线圈建模，另一个则对线圈外壳建模。然后，可以根据对象的名称对每个节点重命名。同样，您也可以创建两个研究节点，第一个模拟装配体的静态或稳态行为，第二个模拟频率响应。可将这两个节点重命名为稳态和频域。模型完成后，以 Coil Assembly.mph 名称保存文件。此时，模型开发器中的模型树将如下图所示。
图中的根节点命名为 Coil Assembly.mph，即模型的保存文件名。全局定义节点和结果节点则保留其缺省名称。此外，还有两个组件节点和两个研究节点，使用前面段落中定义的名称。
键盘快捷键
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参数、变量和作用域
参数参数是用户定义的常数标量，可在整个模型中使用。换言之，它具有 “ 全局 ”性质。参数的重要用途包括：
• 参数化几何尺寸。
• 指定网格单元尺寸。
• 定义参数化扫描 （即仿真过程中针对不同的频率或载荷参数值反复运行仿真）。
参数表达式可以包含数字、参数、内置常数、以及由自变量、一元和二元算子等参数表达式所组成的内置函数。请参阅第 156 页的 “ 附录 C— 语言元素和保留名称 ” ，查阅可用算子列表。由于这些表达式会在仿真前开始计算，因此参数不能依赖于时间变量 t。同样，参数也不能依赖于空间变量 （例如 x、 y 或z）或是方程要求解的因变量。
注意：参数名称区分大小写。
在模型树中，您可以在全局定义下定义参数。
变量您可在全局定义节点或任意组件节点的定义子节点下定义变量。通常，选择在何处定义变量取决于希望变量是全局性的 （即在整个模型树中可用），还是在
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单个组件节点内进行局部定义。同参数表达式类似，变量表达式同样可以包含数字、参数、内置常数，以及一元和二元算子；不过，变量表达式中还可以包含变量 （如 t、 x、 y 或 z）；以变量表达式为自变量的函数；以及待求解的因变量及其空间和时间导数。
App 中的变量模型参数和变量可用于 App。例如，您可以设置支持 App 用户更改参数值。另外，可以在 App 开发器中的声明节点定义将在 App 中使用的变量。
作用域参数或变量的 “ 作用域 ” 说明了该参数或变量在表达式中的使用位置。所有参数都在模型树的全局定义节点中定义，这意味着它们的作用域是全局性的，可以在整个模型树中使用。
也可以在全局定义节点中定义变量，此时变量具有全局作用域，但同时还会受到另外一些限制。例如，不能在几何、网格或研究节点使用变量 （在确定仿真停止时间的表达式中使用变量的情况除外）。
一般而言，在组件 > 定义子节点中定义的变量具有局部作用域，仅供在特定组件中使用 （同样，几何和网格节点不在此列）。例如，这些变量可用于指定组件中材料子节点的材料属性，或用于指定边界条件或相互作用。有时需要将变量的作用域限定为仅针对几何的特定部分，例如某些边界。为此，变量的设定中还提供了一些预设值，可以选择是将定义应用于整个组件几何，还是仅应用于某些特定域、边界、边或点。
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左图显示了两个变量 q_pin 和 R 的定义，作用域限制为第 15、 19 边界。
可对此类选择进行命名，之后将能在模型的其他位置引用，例如，在定义将使用变量的材料属性或边界条件时。用户可以单击选择列表右侧的创建选择按钮 ( ) 对选择进行命名。
尽管在组件 > 定义子节点中定义的变量已指定为局部作用域，但在模型树中该组件节点外仍可通过详细名称标识对其进行访问。这可以通过 “ 点表示法 ”来实现，即在变量名称前加上定义该变量的组件节点的名称，两者之间通过 “.” 来连接。也就是说， 对于在组件节点 MyModel 中定义的名为 foo 的变量，可通过名称 MyModel.foo 在组件节点外进行访问。例如，要在结果节点中使用该变量绘图时，这项功能非常有用。 App 开发器中声明节点下定义的变量可全局应用，从对象到方法均可用，但不可应用于模型开发器。
内置常数、变量和函数
COMSOL Multiphysics 内置了许多常数、变量和函数。这些对象具有的保留名称不能被用户重新定义。如果将保留的名称用于用户定义的变量、参数或函数，则输入的文本会变为橙色 （警告）或红色 （错误），并在选择文本字符串时，将看到一条工具提示消息。
部分重要示例：
• 数学常数，如 pi (3.14...)、或虚数单位 i 或 j
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• 物理常数，如 g_const （重力加速度）、 c_const （光速）或 R_const （通用气体常数）
• 时间变量 t
• 因变量 （解）的一阶和二阶导数，其名称从空间坐标名称和因变量名称（用户定义变量）派生而来
• 数学函数，例如 cos、 sin、 exp、 log、 log10 及 sqrt
如需了解更多信息，请参阅第 156 页的 “ 附录 C— 语言元素和保留名称 ” 。
下图为带有附加窗口的定制桌面示意图。
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模型开发器 窗口
模型树
绘制窗口 — 用于可视化结果数量、探针和收敛图。 可以使用几个绘图窗口同时显示多个结果。
快速访问工具栏
功能区设定窗口
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动态帮助 — 不断更新，可联机访问知识库和案例集锦。帮助窗口可以轻松浏览，并提供扩展的搜索功能。
带取消按钮的进度条
图形窗口
信息窗口
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App 库
App 库是 MPH 文件的集合，包含教程模型、可运行的 App 及随附文档。教程模型的文档包括案例理论背景介绍和逐步说明文档。可运行的 App 附带有如何使用 App 的说明，您可以编辑所有教程模型和 App，并据此创建您自己的App。每个基于物理场的插件模块都附有一组特定于其应用和物理领域的 App库示例。您可以使用其中的逐步说明文档和 MPH 文件作为模板建立自己的模型。要打开 App 库窗口，可以在主屏幕工具栏的窗口菜单中选择 App 库 ，或选择文件 > App 库 ，然后按 App 名称搜索或按模块文件夹名称浏览。
单击打开 App 可以打开 App 模型，单击运行 App 来运行 App 模型，或单击打开 PDF 文档 可打开模型的说明文档。您还可以在 COMSOL Multiphysics 中选择文件 > 帮助 > 文档，按 App 名称搜索或按模块浏览。请注意，运行 App 选项仅适用于可运行 App 的 MPH 文件。
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COMSOL App 库中的 MPH 文件可具有两种文件格式，完整 MPH 文件或精简 MPH 文件：
• 完整 MPH 文件中包含所有的网格和解。在 App 库窗口中，这些模型前带有 图标。如果 MPH 文件大小超过 25 MB，当光标悬停于 App 库树中的
模型节点上时，会出现 “ 大文件 ” 文本提示标识，并包含文件的大小信息。
• 精简 MPH 文件包含模型的所有设定，但不包含已构建的网格和得到的解数据，以节省 DVD 空间 （一些 MPH 文件由于其他原因不包含解）。您可以打开这些模型来研究设定，并对 App 进行网格剖分和重新求解。此外，还可在更新 App 库时下载其中大多数模型的完整版本 （含网格和解）。在App 库窗口中，此类精简文件前显示 图标。如果在 App 库窗口中将光标悬停于精简文件上，将会显示一条消息，提示 “ 没有存储解 ”。如果有完整 MPH 文件可供下载，相应节点的上下文菜单中会包含一个下载完整模型的选项 。
COMSOL 会定期更新 App 库。要查看所有可用的更新， Windows® 用户请单击菜单文件 > 帮助 > 更新 COMSOL App 库 ，OS X 和 Linux® 用户可直接从帮助菜单中查看。本操作可使您连接到 COMSOL 网站，您可以在此访问新的 App 和最近的更新。
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工作流程和操作序列
在模型开发器窗口中，建模流程中从定义全局变量到最终结果报告的每一个步骤都显示在模型树中。
模型树从上到下定义了一个有序的操作序列。
在模型树的以下分支中，节点顺序很重要，您可以在模型树中上下移动子节点来更改操作序列：
• 几何
• 材料
• 物理场
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• 网格
• 研究
• 绘图组
在模型树的组件定义分支中，对以下节点类型顺序的调整也会产生不同的操作序列：
• 完美匹配层
• 无限元
可通过如下方法对节点重新排序：
• 拖放
• 右键单击节点，选择上移或下移
• 组合键：Ctrl+ 上箭头或 Ctrl+ 下箭头
在其他分支中，节点的顺序对操作序列没有影响，但用户可通过对某些节点重新排序来提高可读性，例如全局定义中的子节点。
单击菜单文件 > 压缩历史后，可将模型保存为 MATLAB® 模型文件或 Java® 模型文件，从而查看以程序代码语句呈现的操作序列。请注意，用户在构建模型时对模型所做的更改都将保存在模型历史中。因此，代码中将包含您所做的所有修正，包括对参数和边界条件的更改以及对求解器方法的修改。压缩该历史记录会移除所有相互覆盖性的更改，并保留建模步骤最新格式的原始副本。在App 开发器中，还可以使用方法编辑器中的记录新方法选项来查看并编辑程序代码语句。
在 COMSOL Desktop 界面和模型开发器的使用过程中，您会逐渐喜欢上这种非常有条理的精简操作方法。不过，我们这里对用户界面的介绍远比不上您亲身操作的体验。因此，在接下来的章节中，我们将邀请您完成两个仿真示例，通过亲自动手操作来熟悉软件。
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示例 1：扳手的结构分析
本示例无需额外安装 COMSOL Multiphysics® 的任何专业模块。如果您希望了解结构力学模型的更多功能，请参阅结构力学模块 App 库。
在日常生活中，您是否用扳手紧过螺栓？本次练习将向您介绍基本的结构力学模型，用于分析扳手能否在最大载荷作用下继续保持结构的完整性。
一般而言，扳手由钢这种延展性很好的材料制成。如果施加的扭矩过大，当扭力超过其屈服应力水平时，扳手会因为钢的弹塑性行为发生永久变形。要分析扳手的手柄尺寸是否合理，可检查其机械应力水平是否在屈服应力极限内。
本教程快速介绍了 COMSOL 工作流程。首先打开模型向导，并添加固体力学物理场选项。然后导入几何体，并选择 Steel 作为材料。其他关键建模步骤包括：定义载荷的参数和边界条件、在图形窗口中选择几何实体、定义网格和研究，以及最终通过数值和可视化来检查结果。
如果您希望使用更高级的模型进行练习，请先阅读本章以熟悉一些关键特征，然后阅读本教程第 53 页的 “ 示例 2：母线板 — 多物理场模型 ” 部分。
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模型向导
1 双击计算机桌面上的 COMSOL 图标以启动软件。您将看到新建窗口，其中提供两个新建模型的选项：模型向导和空模型。
如果选择空模型，可以在模型树的根节点处右键单击，手动添加组件和研究。在本教程中，我们将单击模型向导按钮。
如果 COMSOL 软件已经打开，则可以通过选择菜单文件 > 新建来启动模型向导。然后选择模型向导。
模型向导会指导您完成最初的建模步骤。接下来出现的窗口可供您选择建模空间的维度。
2 在选择空间维度窗口中，选择三维。
3 在选择物理场中，选择结构力学 > 固体力学 (solid) 。单击增加。
在未安装任何插件模块的情况下，固体力学 (solid) 是结构力学文件夹中唯一可用的物理场接口。右图所示的结构力学文件夹是在所有插件模块可用时显示的情况。
单击研究 继续。
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4 单击预置研究 > 稳态 。操作完成后单击完成 。
预置研究包含适合所选物理场 （本例中为固体力学）的求解器和方程式设定。本例使用稳态研究类型 — 无时变载荷或材料属性。
从定制研究 分支中所作的任何选择均需手动设定。
几何
本教程将使用先前创建并以 COMSOL 自己的 CAD 格式 .mphbin 存储的几何。如需了解如何构建您自己的几何，请参阅 第 137 页的 “ 附录 A— 构建几何 ” 部分。
文件位置包含本练习中所用文件的 App 库的位置根据软件安装和操作系统的不同而改变。在 Windows® 系统中，文件路径类似于：
C:\Program Files\COMSOL\COMSOL52\Multiphysics\applications。
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1 在模型开发器窗口的组件 1 节点下右键单击几何 1 ，并选择导入 。
或者，也可以在功能区中单击几何选项卡下的导入 。
2 在导入的设定窗口中，从源列表中选择 COMSOL Multiphysics 文件。
3 单击浏览，并在 COMSOL 安装文件夹的 App 库文件夹中查找 wrench.mphbin 文件。在 Windows® 系统中，缺省路径为：
C:\Program Files\COMSOL\COMSOL52\Multiphysics\applications\COMSOL_Multiphysics\ Structural_Mechanics\wrench.mphbin
双击进行添加，或单击打开。
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4 单击导入以在图形窗口中显示该几何。
5 单击图形窗口中的扳手几何，并试着移动该对象。当鼠标指向或单击几何时，颜色会发生变化。单击图形窗口工具栏中的图像放大 、图像缩小 、切换到缺省三维视角 、缩放到视窗大小 和透明度 按钮，并观察几何的变化：
- 要旋转模型，可在图形窗口中的任意位置单击并拖动。- 要移动模型，可右键单击并拖动。- 要放大与缩小，可单击 （并按住）鼠标滚轮并拖动。- 要返回原始位置，可单击工具栏上的切换到缺省三维视角按钮 。
有关更多信息，请参阅第 152 页的 “ 附录 B— 键盘和鼠标快捷键 ” 。
导入的模型具有两个部分或域，分别对应螺栓和扳手。本练习将重点分析扳手中的应力。
旋转 ：单击并拖动
平移 ：右键单击并拖动
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材料
材料节点 中存储了组件节点中所有物理场和域的材料属性。螺栓和工具使用相同的通用钢材料。下面将介绍如何在 COMSOL 中选择该材料。
1 打开增加材料窗口。
您可以通过以下两种方法打开增加材料窗口：
- 在模型开发器中，在组件 1 下右键单击材料 ，并选择增加材料 。
- 从功能区选择主屏幕选项卡，然后单击增加材料。
2 在增加材料窗口中，单击展开基本材料目录。向下滚动以找到Structural steel，然后右键单击并选择增加到组件 1。
3 在设定窗口中检查材料属性目录栏，查看可用的属性。带绿色复选标记的属性将由物理场用于仿真。
4 关闭增加材料窗口。
如需了解有关材料使用的更多信息，还可参阅第 61 页的 “ 材料 ” 部分和第 98 页的 “ 定制材料 ” 部分。
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全局定义
现在，您可以定义要对扳手施加的载荷的全局参数。
参数1 在模型开发器中，右键单击全局定义 并选择参数 。
2 前往参数的设定窗口。在参数表的参数下或表格下方的编辑框中输入以下 设定：
- 在名称栏或编辑框中，输入 F。- 在表达式栏或编辑框中，输入 150[N]。方括号表示法用于将一个物理单
位与一个数值关联。在本例中，力的单位是牛顿。在您离开该编辑框或按回车键时，值栏将基于输入的表达式自动更新。
- 在描述栏或编辑框中，输入 Applied force。
如果参数表包含多个条目，可通过单击相应栏的表头，对表格进行 排序。
有关参数使用方面的更多信息，请参阅第 57 页的 “ 全局定义 ” 以及第 94 页的“ 参数、函数、变量和耦合 ” 部分。
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至此，您已经完成物理场和研究的添加、几何导入、材料添加以及参数定义。现在模型开发器节点的序列应与右图相对应。固体力学的缺省特征节点会在节点图标 左上角以 ‘D’ 来表示。
固体力学的缺省节点包括：线弹性材料模型、自由边界条件 （允许所有边界在没有约束或载荷的情况下自由移动）以及用于在非线性或瞬态分析中指定初始位移和速度的初始值 （本例中不适用）。
您可以随时保存模型，随后再以保存时的状态将其打开。
3 在文件菜单中，选择文件 > 另存为。浏览至您拥有写权限的文件夹，并将文件保存为 wrench.mph。
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域物理场和边界条件
定义几何与材料后，现在可以开始设定边界条件。
1 在模型开发器中，右键单击固体力学 (solid) ，并选择固定约束 。
此边界条件可将边界表面上每个点在所有方向的位移均约束为零。
您也可以使用功能区从物理场选项卡中选择边界 > 固定约束。
2 在图形窗口中，通过单击窗口中的任意位置可旋转几何，然后将扳手拖动到如图所示的位置。单击部分建模的螺栓前表面，当该边界变蓝时表示已选中。在选择列表中，对应的边界编号应为35。
3 在图形工具栏上单击切换到缺省三维视角按钮 ，将几何恢复为缺省视图。
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4 在模型开发器中，右键单击固体力学 (solid) ，然后选择边界载荷。一个边界载荷节点 将添加到模型开发器序列。
5 在图形窗口中，单击工具栏上的缩放框按钮 ，并拖动鼠标选择如右图所示的方形区域。释放鼠标按钮，将所选区域放大。
6 单击边界以选择顶部套接面（边界 111），将其突出显示为蓝色，并添加到选择列表。
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7 在边界载荷的设定窗口中，在力下选择总力作为载荷类型，并在 z 分量的文本编辑框中输入 -F。其中的负号表示负 z方向 （向下）。通过这些设定， 150 N 的载荷将均匀分布在选定的表面上。
注意：为简化建模过程，我们使用材料界面边界条件来近似描述螺栓和扳手之间的机械接触。这种内部边界条件由 COMSOL 自动定义，可确保法向应力和位移在整个材料界面上的连续性。如需对机械接触进行更详细的分析，可使用结构力学模块。
网格
网格设定可确定用于离散模型的有限元网格的解析度。有限元方法可将模型分割为几何形状简单的小单元，本例中为四面体。在每个四面体中使用一组多项式函数来近似得到结构位移场，即几何对象在三个坐标方向上的变形程度。
本例中由于几何包含较小的边和面，因此需定义比建议的缺省设置更细的网格。这将能更好地解析应力场的变化，并得到更精确的结果。但通过细化网格大小来提高计算精度的同时会牺牲计算速度，且通常需要增加内存用量。
1 在模型开发器中，单击组件 1> 网格 1 。在网格的设定窗口的网格设定下，从单元尺寸列表中选择细化。
2 单击设定窗口或网格工具栏上的全部构建按钮 。
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3 几秒钟之后，图形窗口中将显示网格。旋转扳手以查看单元尺寸的分布。
研究
在开始设定模型时，您选择了稳态研究，即意味着 COMSOL 将使用稳态求解器。在稳态求解中，需假定载荷、变形和应力不随时间变化。如果计算机内存
（RAM）大于 2 GB，则可在本次仿真中使用缺省求解器设定。如果内存不足，可按照下述步骤使用求解器速度较慢但内存占用较少的求解器设定。求解器启动步骤：
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1 右键单击研究 1 并选择计算 （或按 F8 键）。
如果计算机内存低于 2 GB，可能会收到一条错误消息：“LU 因式分解时内存溢出 ”。 LU 因式分解是 COMSOL 用于求解由有限元方法生成的大型稀疏矩阵方程组的一种数值计算方法。
通过允许求解器使用硬盘、而非使用内存执行所有计算，您将能在内存有限的计算机上轻松求解该示例模型。以下步骤说明了如何执行操作。如果计算机内存大于 2 GB，则可在以下步骤 5 之后跳至本节末尾。
1 如果尚未开始计算，可以从研究节点中访问求解器设定。在模型开发器中，右键单击研究 1 ，并选择显示缺省求解器。
2 在研究 1> 求解器配置下，展开解 1 节点。
3 展开稳态求解器 1 节点，并单击直接 。
直接求解器是一种快速且非常稳定的求解器，可求解各应用领域的物理问题，无需或几乎无需手动调节，但缺点是可能需要大量内存。
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4 在直接的设定窗口的通用栏中，选中核外复选框。将常驻内存法改为手动，常驻内存 (MB) 设定保留缺省值 512 M。该设定可确保如果计算机在计算期间内存不足，求解器将开始使用硬盘作为RAM 的补充。允许求解器使用硬盘而非仅使用 RAM，这会略微降低计算速度。
5 右键单击研究 1 并选择计算 （或按 F8 键）。
经过几秒钟的计算后，缺省绘图会显示在图形窗口中。您可以在信息和日志窗口中找到与计算相关的其他有用信息；单击图形窗口下的信息和日志选项卡，可查看此类信息。此外，还可在功能区主屏幕选项卡的窗口下拉列表中打开信息窗口。
显示结果
图形窗口的缺省表面绘图将显示 von Mises 应力，位移使用变形子节点进行了可视化。按照以下步骤，您可以将缺省单位 (N/m2) 更改为更合适的 MPa。
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1 在模型开发器中，展开结果 > 应力 (solid) 节点 ，然后单击表面 1 。
2 在设定窗口的表达式栏，从单位列表中选择 MPa （或在编辑框中键入 MPa）。
如果希望更精确地研究应力，可以展开质量栏，从恢复列表中选择域内。该设定将基于单元集合而非单独基于每个单元来恢复有关应力水平的信息。缺省不会启用这项设定，因为它会使可视化变慢。域内设定将单独处理每个求解域，且应力恢复不会跨越材料界面。
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3 在表面绘图设定窗口的工具栏中，单击绘制按钮 ，然后在图形窗口工具栏上单击切换到缺省三维视角按钮 。
此时将使用更新的单位重新生成绘图，并使用域内恢复设定。结果显示了在垂直载荷作用下，螺栓和扳手中的 von Mises 应力分布。
对于如扳手等工具的典型钢材，屈服应力约为 600 MPa，这意味着在 150 N 载荷 （约 34 磅力）作用下，扳手可能会发生塑性变形。您可能还希望了解系数为三的安全裕度。要快速评估扳手的哪些部分存在塑性变形风险，可以绘制诸如 solid.mises>200[MPa] 之类不等式表达式的图形。
1 右键单击结果节点 并添加三维绘图组 。
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2 右键单击三维绘图组 2 节点 并选择表面 。
3 在表面的设定窗口中，单击替换表达式按钮 ，并通过双击选择模型 >组件 1> 固体力学 > 应力下的solid.mises-von Mises 应力。如果预先知道变量名称，也可在表达式编辑框中直接输入 solid.mises。现在将表达式编辑为：solid.mises>200[MPa]。
这是计算结果为 1 （真）或 0 （假）的布尔运算表达式。表达式计算结果为1 的区域表示超出了安全裕度。此处还使用了前面提到的恢复特征。
4 单击绘制按钮 。
5 在模型开发器中，单击三维绘图组 2。按 F2 键，并在弹出的重命名三维绘图组对话框中，输入 Safety Margin。单击确定。 结果图显示螺栓中的应力很高，不过本练习主要关注扳手。如希望扳手能在
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150 N 的载荷下保证系数为三的安全裕度，则需要稍微更改手柄设计，例如增加手柄宽度。
您可能已经注意到，制造商出于各种原因选择了非对称的扳手设计。因此，翻转扳手时，应力场可能不同。现在您可以试一下从其他方向施加相同的力，并将最大 von Mises 应力可视化，以查看是否有所差异。
收敛性分析
要检查计算得到的扳手中最大 von Mises 应力的精度，现在可继续进行网格收敛性分析。为此，使用更细化的网格，从而使用更大的自由度 (DOF) 数。
本节将说明一些更深入的功能，首次阅读时可以跳过以下步骤。要运行下面的收敛性分析，建议您使用至少具有 4 GB 内存 (RAM) 的计算机。
计算最大 von Mises 应力
1 要研究扳手中的最大 von Mises 应力，在模型树的结果栏中，右键单击派生值 节点，并选择最大 > 体最大值 。
2 在体最大值的设定窗口中，将选择设为手动，在图形窗口中单击扳手将其选中，即求解域 1。我们将仅考虑扳手域中的值，而忽略螺栓中的值。
3 在表达式文本编辑框中，输入函数 ppr(solid.mises)。函数 ppr() 对应于第 44 页上关于表面绘图注释说明的恢复设定。使用 ppr 函数的恢复设定
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用于提高应力场结果的质量。它使用多项式守恒恢复 (ppr) 算法，得到的解是在每个网格顶点周围一簇网格单元上的高阶插值。缺省情况下未激活这项设定，因为它会使结果计算变慢。
4 在表达式下，选择或输入 MPa 作为单位。
5 在体最大值的设定窗口中，单击计算来计算最大应力。结果将显示在表格窗口中，约为 364 MPa。
6 要查看在何处获得最大值，可以使用体中最大 / 小绘图。右键单击结果节点 并添加三维绘图组 。
7 右键单击三维绘图组 3 节点 ，并选择更多图 > 体中最大 / 小 。
8 在体中最大 / 小的设定窗口中，在表达式文本编辑框输入函数 ppr(solid.mises)。
9 在表达式的设定窗口中，从单位列表中选择 MPa （或在编辑框中输入MPa）。
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10 单击绘制按钮 。此类绘图可同时显示最大值和最小值的位置，并在下表中显示其坐标位置。
参数化网格现在，我们将定义一个参数化扫描，在求解时连续细化网格尺寸，最终绘制最大 von Mises 应力与网格尺寸之间的关系图。首先，我们来定义用于控制网格密度的参数。
1 在模型开发器中，单击全局定义 > 参数 。
2 前往参数的设定窗口。在参数表中 （或在表下方的编辑框中）输入以下设定：
- 在名称栏或编辑框中，输入 hd。该参数将用于在参数化扫描中控制单元尺寸。
- 在表达式栏或编辑框中，输入 1。- 在描述栏或编辑框中，输入 Element size divider。
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3 接着输入另一个参数，名称为 h0，表达式为 0.01，描述为 Starting element size。该参数将用于定义参数化扫描开始时的单元尺寸。
4 在模型开发器中，单击组件 1> 网格1 。在网格的设定窗口中，从序列类型列表中选择用户控制网格。
5 在网格 1 下，单击尺寸节点 。
6 在尺寸的设定窗口中，在单元尺寸下选择定制。
在单元尺寸参数下，输入：
- 在最大单元尺寸编辑框中输入 h0/hd。- 在最小单元尺寸编辑框中输入 h0/(4*hd)。
- 在最大单元生长率编辑框中输入 1.3。- 在曲率因子编辑框中输入 0.1。- 在狭窄区域解析度编辑框中输入 0.2。有关单元尺寸参数的更多信息，请参阅第 72 页。
参数化扫描和求解器设定接下来，添加对应于参数 hd 的参数化扫描。
1 在模型开发器中，右键单击研究 1 并选择参数化扫描 。参数化扫描节点将添加到模型开发器序列中。
2 在参数化扫描的设定窗口中，在研究设定栏的表格下方，单击增加按钮 。从表中的参数名称列表中选择 hd。
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3 输入要扫描的参数值范围。单击范围 按钮，并在范围对话框中输入值。在开始编辑框中输入 1 ；在步长编辑框中输入 1；并在停止编辑框中输入 6。单击替换。参数值列表此刻将显示 range(1,1,6)。
上述设定可确保随着扫描的进行，参数 hd 的值会增大，而最大和最小单元尺寸会减小。
有关定义参数化扫描的更多信息，请参阅第 124 页。
对于 hd 的最大值， DOF 数将超过 100 万。因此，我们需要切换为内存效率更高的迭代求解器。
4 单击研究 1> 求解器配置 > 解 1，展开稳态求解器 1 节点，右键单击稳态求解器 1 并选择迭代。通常，迭代求解器选项可降低内存的使用，但求解器设定需要特定于物理场进行定制，以实现高效计算。
5 在迭代的设定窗口中，从通用栏将预条件设为右。（这是一个底层求解器选项，在本例中可以在一些情况下避免出现警告消息。该设定不会影响所产生的解。预条件是一种数学变换，用于在使用迭代求解器时准备有限元方程组。）
6 右键单击迭代 1 节点 并选择多重格点 。多重格点迭代求解器使用由不同密度的网格和不同阶次的有限元形函数构成的多重层次。
7 单击研究 1 节点，并在设定窗口中单击计算 ，或右键单击该节点进行选择。也可以单击功能区主屏幕或研究选项卡中的计算按钮。计算过程大约会持续几分钟 （具体取决于计算机硬件），内存使用量约为 4 GB。
结果分析最后一步，在表格中显示最大 von Mises 应力，从而分析参数化扫描的结果。
1 在模型开发器中，单击结果 > 派生值，并选择体最大值 1 节点 。
参数化扫描的解存储在名为研究 1/ 参数化解 1 的新数据集中。现在需要相应更改体最大设定：
2 在体最大值的设定窗口中，将数据集更改为研究 1/ 参数化解 1。
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3 在体最大值的设定窗口顶部，单击计算按钮旁边的箭头，选择在新表格中进行计算。计算将持续一分钟 左右。
4 要在表格中绘制结果，单击表格窗口顶部的表图 按钮。
我们更希望能绘制最大值与 DOF 数之间的关系，可通过内置变量 numberofdofs 实现。
5 右键单击派生值节点 ，并选择全局计算 。
6 在全局计算的设定窗口中，将数据集更改为研究 1/ 参数化解 1。
7 在表达式编辑框中，输入 numberofdofs。
8 在全局计算的设定窗口中，单击计算按钮旁边的箭头，并选择在表格 2 中进行计算。这样可以在先前计算的数据旁显示每个参数的 DOF 值。
该收敛性分析表明，扳手手柄中最大 von Mises 应力的计算值将从原来的 355 MPa （对应于约 60,000 DOF 的网格）升至 370 MPa （对应于约 1,100,000 DOF 的网格）。该分析同时还表明， 300,000 DOF 得到的精度基本上与 1,100,000 DOF 相同；具体参见下表。
扳手教程到此结束。
自由度 计算得到的最大 VON MISES 应力 (MPA)
58,899 354.8
177,918 364.3
314,181 368.5
585,849 369.0
862,509 369.6
1,126,380 369.8
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示例 2：母线板 — 多物理场模型
母线板中的电加热本教程演示了 COMSOL 的多物理场建模概念。我们通过依次定义不同的物理场设定来进行。最后，您会构建一个真正的多物理场模型。
要创建的模型用于分析负责将直流电传导至电力设备的母线板 （见下图）。当电流从母线板中的螺栓 1 传导至螺栓 2a 和 2b 处时，会由于电阻损耗而发热，即焦耳热现象。母线板由铜制成，而螺栓则为钛合金材质。在正常工作条件下，电流主要在铜内传导。不过，本示例将演示母线板螺栓部分多余电流负荷的影响。材料的选择非常重要，因为钛的电导率比铜低，因此电流密度较高。
仿真目标是精确计算母线板中产生的热量。掌握了基本的多物理场现象后，您将可以开始研究母线板由于热膨胀而产生的结构应力和应变，以及气流的冷却效应。
焦耳热效应由电流和能量守恒定律描述。求解过程中将通过这两个守恒定律分别得到温度场和电场。所有表面 （螺栓接触表面除外）都通过母线板周围的空气自然对流进行冷却。您可以假定螺栓的外露部分不会影响设备的冷却或加热。
钛螺栓 2b 钛螺栓 1
钛螺栓 2a
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右上螺栓垂直表面的电势为 20 mV，下方螺栓的两个水平表面的电势为 0 V。相应地，会在这类母线板中产生相对较高且潜在不安全的负载。 AC/DC 模块中提供了更多用于电磁分析的高级边界条件，例如，可给出某一边界的总电流大小。
母线板模型概述本教程将介绍一些更加深入和高级的主题，以展示 COMSOL 提供的部分选项。涉及以下主题：
• 定义函数和组件耦合，具体参见第 94 页的 “ 参数、函数、变量和耦合 ” 。
• 定制材料，并将其添加到您自己的材料库，具体参见第 98 页的 “ 材料属性和材料库 ” 。
• 添加并定义两种不同的网格，然后在图形窗口中进行比较，具体请参见第100 页的 “ 增加网格 ” 。
• 向母线板模型中添加固体力学和层流，借此探索多物理场功能，具体请参见第 102 页的 “ 增加物理场 ” 。
• 使用参数改变母线板的宽度，并针对一系列参数值进行求解，从而得到不同宽度母线板的平均温度图，具体请参见第 124 页的 “ 参数化扫描 ” 。
• 使用集群计算求解模型，具体请参见第 133 页的 “ 并行计算 ” 。
模型向导
1 双击桌面上的 COMSOL 图标以打开软件。
软件打开后，单击模型向导按钮。您也可以随时选择菜单文件 > 新建来启动模型向导。 .
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2 在选择空间维度窗口中，单击三维。
3 在选择物理场窗口中，展开传热 > 电磁热文件夹，然后右键单击焦耳热 并选择增加物理场。单击研究 按钮。
也可以双击或单击增加按钮来添加物理场。
另一种添加物理场的方法是打开增加物理场窗口，方法是在模型开发器中右键单击组件节点，然后选择增加物理场 。
注意：右图为所有插件模块均已安装时的物理场列表。您的物理场列表中的项可能会有所减少，具体取决于安装的插件模块。
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4 在选择研究窗口中，单击以选择稳态 研究类型。
单击完成按钮。
预置研究包含适合所选物理场的求解器和方程设定；本例中物理场为焦耳热。
对于从定制研究分支 中进行的所有选择，都需要手动微调。
注意，您的研究列表中的研究类型可能会少一些，具体取决于您安装的插件 模块。
焦耳热多物理场接口包含两个物理场接口：电流和固体传热，以及多物理场分支中的多物理场耦合：即电磁热源和温度耦合。这个多物理场分支非常灵活，可使用户充分利用参与物理场接口的各项功能。
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全局定义
为节省时间，建议直接从文件加载几何，此时您可以直接参阅第 58 页的 “ 几何 ” 。
另一方面，如希望自行绘制几何图形，可以在全局定义节点定义参数。首先按照以下步骤 1 至 3 定义模型的参数列表。完成步骤 4 后跳转到第 137 页的 “ 附录 A— 构建几何 ” 。
模型开发器中的全局定义节点 可存储适用于全局范围的参数、变量和函数。模型树可以同时包含多个模型组件，全局范围的定义可用于所有组件。在本例中，只有一个组件节点会用到参数，因此如果您希望将作用域限制为仅针对该组件，可直接在相关组件 > 定义子节点下定义变量和函数。不过，不能在此定义任何参数，因为参数始终是全局性的。
由于本例稍后会运行几何的参数研究，因此需要首先使用参数来定义几何。在本步骤中，请输入以下参数：母线板下面部分的长度 L、钛螺栓的半径rad_1、母线板的厚度 tbb，以及设备宽度 wbb。
此外，还需添加以下参数：控制网格的参数 mh、自然对流冷却的传热系数htc、以及跨越母线板的电压值 Vtot。
1 右键单击全局定义 并选择参数 。在参数表中，单击名称下的第一行并输入 L。
2 单击表达式下的第一行，并输入 L 的值 9[cm]。您可在方括号内输入单位。
3 根据以下参数列表继续添加其他参数：rad_1、 tbb、 wbb、 mh、 htc 和Vtot。
2 x rad_1
wbbL
tbb
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您还可输入变量描述，方便后续参考或与其他人分享模型。
4 单击快速访问工具栏上的保存按钮 ，并将模型命名为 busbar.mph。然后前往第 137 页的 “ 附录 A— 构建几何 ” 继续阅读。
几何
本节描述如何从 App 库打开模型的几何。将打开的模型文件中包含物理场、研究、参数和几何等。
1 在主屏幕选项卡的窗口下拉列表中，选择App 库 。
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2 在App库树的 COMSOL Multiphysics > Multiphysics 下，选择 busbar geom。
您可以通过以下方法打开文件：
- 双击模型名称- 右键单击并从菜单中选择一个选项- 单击树形目录下的一个按钮
如果提示是否保存 untitled.mph，选择否。
该文件中的几何是参数化的。在接下来的几步中，我们会试验对宽度参数 wbb使用不同的值。
3 在全局定义 下，单击参数节点 。
在参数的设定窗口中，单击 wbb 参数的表达式栏，然后输入 10[cm] 以更改母线板的宽度值。
4 在模型开发器的 Component 1 > Geometry 1 下，单击 Form Union 节点 ，然后在设定窗口中，单击全部构
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建 按钮，以重新运行几何序列。也可以使用功能区，在主屏幕选项卡的几何组中单击全部构建。
5 在图形工具栏中，单击缩放到视窗大小按钮 ，以在图形窗口中查看加宽的母线板。
wbb=10cmwbb=5cm
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6 试验在图形窗口中操作几何：- 要旋转母线板，可在图形窗口的任意位置单击并拖动指针。- 要进行移动，可右键单击并拖动。- 要放大与缩小，可单击 （并按住）鼠标滚轮并拖动。- 要返回原始位置，可单击工具栏上的切换到缺省三维视角按钮 。
7 返回参数表格，并将 wbb 的值改回5[cm]。
8 在模型开发器中，单击 Form Union 节点 ，然后单击全部构建按钮 以重新运行几何序列。
9 在图形工具栏上，单击缩放到视窗大小按钮 。
10 如果您在自行构建几何，应该正在使用busbar.mph 文件；如果是从 App 库 打开的文件，则请选择菜单文件 > 另存为，并将模型重命名为busbar.mph。
创建或导入几何后，接下来将定义材料。
材料
材料节点 存储了组件节点中所有物理场和几何域的材料属性。母线板由铜制成，而螺栓则为钛合金材质，这两种材料都可以在内置材料数据库中获取。
1 在模型开发器中，右键单击 Component 1 下的材料 ，并选择增加材料 。缺省情况下，增加材料窗口会在桌面右侧打开。您可以单击窗口标题并
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将其拖动到新位置，从而移动窗口。窗口拖动过程中，系统会提示窗口的多个停靠选项。
如果在未定义材料时就尝试求解，将在材料节点的左下角显示红色 ×。（接下来的几个步骤将定义材料。）
2 在增加材料窗口中，展开基本材料文件夹，找到 Copper。右键单击 Copper 并选择增加到 Component 1。
Copper 节点将添加到模型开发器中。
3 在增加材料窗口中，在基本材料文件夹列表中滚动鼠标，找到Titanium beta-21S。右键单击并选择增加到 Component 1。
4 在模型开发器中，折叠 Geometry 1 节点 ，以获取模型概览。
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5 在材料节点下，单击 Copper 。
6 在材料的设定窗口中，检查材料属性目录栏。
材料属性目录包含模型将用到的材料属性信息。其中，物理场需要且材料中可用的属性前会有一个绿色复选标记 。物理场需要、但材料中缺少的属性前会带有警告符号 。材料中可用但模型未使用的属性前无标记。
上表中的热膨胀系数未使用，但稍后在模型中添加热应力和热应变时需要该属性。
由于首先添加了铜材料，缺省情况下所有部分均指派为铜材料。下一步，会将钛属性指派给螺栓，代替这些部分的铜材料。
7 在模型开发器中，单击 Titanium beta-21S 。
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8 从选择列表中选择所有域，然后单击列表中的域 1。现在，从选择列表中移除域 1。
要从选择列表中移除某个域 （或任意几何实体，如边界、边或点），可以使用以下两种方法之一：
- 在材料的设定窗口的选择列表中，单击域 1，然后单击从选择中删除按钮 ，或按键盘上的 Delete 键。
- 或者，在图形窗口中，单击域 1 将其从选择列表中移除。
域 2、 3、 4、 5、 6 和 7 以蓝色突出显示。
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要按材料的实际颜色对铜组件进行渲染，可从文件菜单打开首选项窗口。然后，在图形和绘图窗口页面，选中显示材料颜色和材质复选框。这也将启用其他材料的真实材料渲染。
9 在材料的设定窗口中，请确保检查钛材料的材料属性目录栏。物理场使用的所有属性前都应有绿色复选标记 。
10 可以通过两种方式关闭增加材料窗口：单击右上角的关闭图标，或者在功能区主屏幕选项卡的材料组中单击增加材料开关按钮 。
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物理场
接下来，我们将检查物理场的域设定，并设定传热问题和电流传导的边界 条件。
在模型开发器窗口中，检查焦耳热多物理场接口中缺省的物理场节点。首先，折叠材料节点，然后分别单击 Electric Currents 、 Heat Transfer in Solids
和多物理场 节点旁边的箭头以展开节点。
节点图标 ( ) 左上角的 ‘D’ 表示缺省节点。
各个物理场节点设定窗口的方程栏将显示 COMSOL 求解的方程。
缺省的方程形式继承自模型向导中添加的研究。对于焦耳热， COMSOL 显示针对温度和电势求解的方程。
要在设定窗口中始终显示方程，可以单击模型开发器工具栏上的显示按钮 ( )，然后选择方程栏，该选项旁边会出现一个复选标记。
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Heat Transfer in Solids (ht) 和 Electric Currents (ec) 节点分别包含热传导和电流传导设定。
Electric Currents 节点下的 Current Conservation 节点表示域层级的电流守恒，而 Electric Insulation 节点则包含电流的缺省边界条件。
Heat Transfer in Solids 节点下的域层级 Heat Transfer in Solids 节点表示热量守恒，而 Thermal Insulation 节点则包含传热的缺省边界条件。焦耳热源在多物理场节点下的 Electromagnetic Heat Source 节点中设定。 Electric Currents 和 Heat Transfer in Solids 接口中的 Initial Values 节点包含稳态问题中非线性求解器的初始猜测值和瞬态问题的初始条件。
现在，定义边界条件。
1 右键单击 Heat Transfer in Solids 节点 ，在上下文菜单的第二栏 （边界 栏），选择热通量。
边界栏
分割线
域栏
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2 在热通量的设定窗口中，将选择列表设为所有边界。
假定周围环境既不会加热也不会冷却圆形螺栓边界。
在下一步中，将从热通量的选择列表中移除这些边界，仅保留传热接口缺省的绝缘边界条件。
3 旋转母线板来查看背面。移动鼠标指针，将其放在一个圆形钛螺栓表面上，使之以绿色突出显示。单击螺栓表面，从选择列表中移除该边界选择。重复该步骤，从选择列表中移除其他两个圆形螺栓表面。边界 8、 15 和 43 将被移除。
截面检查：边界 8、 15 和 43 将从选择列表中移除。
43
15
8
68 |
4 在热通量的设定窗口中，在热通量栏选择对流热通量。在传热系数编辑框 h 中，输入 htc。
该参数有两种定义方式：在第 57页的 “ 全局定义 ” 中的参数表中输入，或随几何导入。
接下来，我们将继续按照如下步骤设定电流的边界条件：
5 在模型开发器中，右键单击 Electric Currents 节点 。在上下文菜单第二栏（即边界栏），选择电势。电势 节点将添加到模型树中。
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6 将鼠标指针移到单个钛螺栓的圆形面上，使之突出显示，然后单击将其 （边界 43）添加到选择列表。
7 在电势的设定窗口中，在电势编辑框输入 Vtot。
最后一步是将剩余的两个螺栓表面设为接地。
8 在模型开发器中，右键单击 Electric Currents 节点 。在上下文菜单的边界栏中选择接地。接地节点 将添加到模型开发器中。此时模型树节点序列如下图所示。
43
70 |
9 在图形窗口中，单击余下的其中一个螺栓，将其添加到选择列表中。
重复上述步骤来添加最后一个螺栓。边界 8 和 15 已添加到接地边界条件的选择列表中。
10 在图形工具栏中，单击切换到缺省三维视角按钮 。
除了直接使用焦耳热中预置的多物理场接口，也可以手动组合电流和固体传热接口。例如，可以先设定和求解电流模型，然后再添加固体传热。此时，可以右键单击多物理场节点来添加所需的多物理场耦合。
网格
最简单的网格剖分方法是创建非结构化的四面体网格，非常适用于母线板模型。或者，您也可以创建多个网格剖分序列，如第 100 页的 “ 增加网格 ” 所示。
缺省情况下，会创建一个物理场控制网格。多数情况下，可直接前往研究分支对模型进行求解。在本练习中，我们将手动设定网格，以便参数化网格设定。
截面检查：边界 8 和 15。
15
8
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1 在模型开发器中，单击 Mesh 1 节点 。在网格的设定窗口中，从序列类
型列表中选择用户控制网格。
2 在 Mesh 1 下，单击 Size 节点 。
3 在尺寸的设定窗口中，在单元尺寸下选择定制。
在单元尺寸参数中，输入：
- 在最大单元尺寸编辑框中输入mh。请注意，之前输入的值作为全局参数， mh 为 6 mm。通过使用参数 mh，单元尺寸限制为该值。
- 在最小单元尺寸编辑框中输入 mh-mh/3。最小单元尺寸略小于最大尺寸。
- 在曲率因子编辑框中输入 0.2。曲率因子可确定弯曲边界上的单元数量；值越小，得到的网格越细。
其他两个参数保持不变。
最大单元生长率可确定一个域上的单元从小到大的生长速率。值越大，生长速率越高。值为 1 时，不会发生任何生长。
对于狭窄区域解析度，通常值越大，得到的网格越细。
Size 节点 右上角的星号 (*) 表示该节点处于编辑状态。
72 |
4 在尺寸的设定窗口中，单击全部构建按钮 ，创建如下图所示的网格：
您也可以在功能区主屏幕选项卡中单击构建网格。
研究
1 要运行仿真，可在模型开发器中右键单击研究 1 ，并选择计算 。也可以按 F8 键或单击功能区主屏幕选项卡中的计算按钮。
研究节点 会基于选定的物理场和研究类型自动定义仿真求解序列。本仿真仅需几秒便可完成求解。求解过程中会生成两个收敛图，可通过图形窗口旁边的选项卡访问。这些收敛图显示了研究中所用不同求解器算法的收敛进度。
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结果
在 Results 节点中，缺省会生成三个绘图组：电势的多切片图、温度表面图，以及包含温度等值面的等温线图。
单击 Results > 温度 可查看图形窗口中的温度图。由于铜和钛具有很高的热导率，设备中的温度差小于10 K。顶部螺栓的温度变化最大，因为此处传导的电流是底部两个螺栓所传导的电流之和。同时，温度也远高于环境温度 293 K。
1 单击并拖动图形窗口中的图像，以旋转母线板并查看其背面。
2 在图形工具栏中，单击切换到缺省三维视角按钮 。
现在，您可以手动设定颜色表范围，以可视化铜制部件上的温度差。
3 在模型开发器中，展开 Results > 温度节点 ，然后单击表面 1 节点 。
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4 在表面的设定窗口中，单击展开范围栏。选中手动控制颜色范围复选框，并在最大编辑框中输入 323 （替换缺省值）。在表面的设定窗口中，单击绘制
按钮。
5 在图形工具栏上，单击缩放到视窗大小按钮 ，以查看更新的绘图。
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6 在图形窗口中，单击并拖动以旋转母线板并查看其背面。
温度分布与下方两个钛螺栓之间的垂直镜面横向对称，该镜面还通过上方螺栓的中心。本例中的模型无需太多计算资源，您可以对整个几何建模。对于更复杂的模型，可以考虑使用对称性来降低计算要求。
选择图形窗口的工具栏上的切换到缺省三维视角 。
现在，让我们生成表面图来显示设备的电流密度。
1 在模型开发器中，右键单击 Results 并添加三维绘图组 。然后右键单击三维绘图组 4 并添加表面节点 。
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2 在表面的设定窗口的表达式栏下，单击替换表达式按钮 。单击模型 > Component 1 > Electric Currents > 电流和电荷 > ec.normJ - 电流密度模，然后双击或按回车键进行选择。
ec.normJ 是电流密度矢量的幅值或绝对值的变量。如果知道变量名称，也可在表达式编辑框中输入 ec.normJ。
3 单击绘制 按钮。
由于与螺栓接触边上的电流密度较高，图形窗口中显示的绘图颜色几乎相同。下一步是手动更改颜色表范围，对电流密度分布进行可视化。
4 在表面的设定窗口的范围栏下，选择手动控制颜色范围复选框。在最大编辑框中输入 1e6 来替换缺省值。
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5 单击绘制按钮 。
结果绘图显示，电流会选择母线板 90 度弯曲中的最短路径通过。注意，螺栓外部的母线板边缘几乎没有电流传导。
6 在图形窗口中，单击并拖动母线板以查看其背面。继续旋转图像，以查看每个螺栓接触表面周围的高电流密度。
完成后，单击图形工具栏上的切换到缺省三维视角按钮 。
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获取最高和最低温度您可以轻松获取母线板中的最高和最低温度值，及其在母线板中的位置。
1 右键单击 Results > 温度 ， 并选择更多图 > 体中最大 / 小。
2 在体中最大 / 小的设定窗口的表达式栏下，单击替换表达式按钮 。单击模型 > Component 1 > Heat Transfer in Solids > 温度 > T - 温度，然后双击或按回车键进行选择。还可以在后处理变量树上方的搜索编辑框中搜索温度。
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单击绘制。
图形窗口中将绘制最高与最低值，同时会在最高与最低值表中显示这些值及其位置。
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除了上方描述的最高与最低值的绘制方法之外，还可以使用派生值节点获取纯数值输出。
3 在模型树的 Results 栏，右键单击 Derived Values 节点并选择最大 > 体最大值 。
4 在体最大值的设定窗口的选择列表中，选择所有域。
5 在表达式文本编辑框中输入 T 代表温度，单击设定窗口上方的计算。
表格 1 显示了得到的最高温度值。
下一步，您将创建模型缩略图。
通过绘图创建模型图像对于任何求解，都可以创建图像，以在浏览模型文件时在 COMSOL 中显示。生成绘图后，在模型开发器 > 结果节点上单击绘制。然后单击根节点，即模型树的第一个节点。在根的设定窗口的模型预览图下，单击设定模型预览图。
您还可以通过以下两种方法从绘图中创建图像。一种是单击图形工具栏上的
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截屏按钮 来直接创建图像。另一种是，在导出节点中添加图象节点 ，以创建图像文件。右键单击感兴趣的绘图组，然后选择增加绘图数据到输出。
请确保在本阶段保存模型。此版本的模型 busbar.mph 将在接下来的几个教程中被重用并重新命名。
使用新建表单向导创建 App
本节将简要介绍如何基于母线板模型创建 App。该 App 将包含专用于和母线板模型交互的专业用户界面，并包含长度、宽度及施加电压的输入框。输出结果将包含最高温度和一张温度绘图。
您将学习如何使用新建表单向导快速创建一个 App。新建表单向导用于创建包含用户界面组件的表单，这些组件称为表单对象。该向导将指导您快速访问App 开发器中可用于创建 App 的所有表单对象的子集。在本示例中，您将学习如何使用向导来添加输入编辑框、数值输出、图形及按钮。有关构建 App 的详细信息，请参阅 《App 开发器简介》。
1 要从模型开发器切换至 App 开发器，可单击功能区主屏幕选项卡最左侧的App 开发器按钮。
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2 要创建新表单，可单击功能区中的新建表单按钮。
此时显示向导窗口。
其中包含三个选项卡：输入 / 出、图形和按钮。在输入 / 出选项卡，可以双击树中的节点使其在 App 的用户界面中可用。在本 App 中，我们将选择一些参数作为输入，并选择最高温度作为输出。
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3 双击以下每个参数：长度 (L)、宽度 (wbb)、施加电压 (Vtot)。同时，双击派生值下的体最大值。
右侧的预览栏将显示用户界面布局。
4 单击向导中的图形选项卡，然后双击温度绘图。预览区域将出现一个图形对象占位符。
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5 单击向导中的按钮选项卡，然后双击计算研究 1。计算按钮将出现在预览区域图形对象的下方。
6 最后，单击确定以接受设定并关闭向导。
关闭新建表单向导后，打开表单编辑器，可供您拖放及新增表单对象。
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7 如下图所示，通过将图形对象置于输入编辑框的右侧，并将按钮置于输入编辑框的正下方，可以重新排列用户界面。蓝色指导线有助于对齐对象。
您可以拖动蓝色手柄来放大图形对象。
8 可以单击功能区的测试 App 来对 App 进行测试。
这会创建 App 的运行时副本，可供您在开发 App 的过程中快速尝试不同的 设计。
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9 现在，尝试输入不同的长度值，并单击计算。
您可能希望在开始计算前先预览几何，这可以通过添加按钮轻松实现。可以通过两种方式添加按钮：使用功能区的插入对象菜单 （如下图所示），或使用编辑器工具窗口。在本示例中，我们将使用第二种方法。
1 首先，通过选择功能区中的对应按钮确保编辑器工具窗口可见。
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2 在编辑器工具树中，右键单击几何节点并选择按钮。
3 将绘制几何按钮拖动到计算按钮的左侧。
每个按钮都对应一个命令序列，用于控制按下该按钮时要执行的操作。命令序列在按钮的设定窗口中定义，可以双击按钮打开设定窗口 （如果尚未打开）。
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4 双击绘制几何按钮来查看其设定窗口。命令序列显示在选择运行的命令栏中的树下方。
在本示例中，绘制几何的命令序列包含一个绘制几何的命令。输入参变量包含有关将几何绘图发送至哪个图形窗口的信息。本示例中为图形对象 graphics1。
如果要自动调整轴设定，可以增加缩放到视窗大小命令。
5 在选择运行的命令栏中，在 GUI 命令 > 图形命令下找到缩放到视窗大小命令。双击该命令将其添加到命令序列。
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6 现在，为缩放到视窗大小命令创建输入参变量。单击缩放到视窗大小旁的空白编辑框，然后单击编辑参变量按钮。
7 将打开一个包含可用输入参变量的对话框。选择 form1> graphics1。
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8 命令序列现已完整。
9 为了确保新的绘制几何按钮可以正常工作，现在可以单击功能区的测试 App 再次测试 App。
如果要执行命令序列可能无法实现的更高级的操作，可以使用方法编辑器来编写代码，定义用户单击按钮时将执行的操作。有一种轻松学习方法编辑器的入门方法是，可以将现有命令序列转换为一种方法。
1 再次找到或打开绘制几何按钮的设定窗口。单击命令序列下的转换成新方法按钮。
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2 要在方法编辑器中打开此方法，单击命令序列下的切换到方法按钮。
方法编辑器现在将打开 method1 的代码，对应于先前命令序列中的绘制几何和缩放到视窗大小命令。
App 开发器提供了多个自动生成代码的工具。例如，除了可将命令序列转换成方法外，还可以单击功能区的记录代码。
这将自动切换回模型开发器，并针对在此执行的每一项操作生成代码。单击功能区的停止记录，可停止记录并返回方法编辑器。
如希望学习有关使用表单编辑器和方法编辑器的更多信息，请参阅 《App 开发器简介》。
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母线板示例到此结束。单击功能区中的模型开发器按钮，可以切换回模型开发器。
在接下来的章节中，我们希望能帮您加深对当前这些仿真步骤的理解，并扩展仿真内容，增加对诸如热膨胀和流体流动等其他效应的仿真。您可以在以下页面阅读这些附加主题：
• 第 94 页的 “ 参数、函数、变量和耦合 ”
• 第 98 页的 “ 材料属性和材料库 ”
• 第 100 页的 “ 增加网格 ”
• 第 102 页的 “ 增加物理场 ”
• 第 124 页的 “ 参数化扫描 ”
• 第 133 页的 “ 并行计算 ”
• 第 137 页的 “ 附录 A— 构建几何 ”
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高级主题
参数、函数、变量和耦合
本节将探讨如何使用参数、函数、变量及组件耦合。
全局定义和组件定义包含的功能有助于准备模型输入和组件耦合，以及组织仿真。在第 57 页的 “ 全局定义 ” 部分，您已使用全局定义中的功能，通过添加参数组织了模型输入。
函数可用于全局定义和组件定义，其中包含一系列预定义的函数模板，这在创建多物理场仿真时非常有用。例如，阶跃函数模板可以创建平滑的阶跃函数，定义不同类型的空间或时间过渡。
为了演示函数的使用方法，我们假定您希望在母线板上施加一个会在 0.5 秒内从 0 V 升至 20 mV 的电势，并在模型中添加瞬态研究。为此，可以使用一个阶跃函数乘以参数 Vtot。在本节中，您将在模型中添加一个在 0.5 秒内从 0 平滑上升至 1 的阶跃函数，从而学习如何定义并验证函数。
定义函数在本节中，您可以继续使用在上一节创建的模型文件。如果该文件尚未在桌面上打开，请找到并打开 busbar.mph 文件。
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1 右键单击全局定义节点 并选择函数 > 阶跃 。
2 在阶跃的设定窗口中，在位置编辑框中输入 0.25，设定阶跃为 0.5 的中心点的位置。
3 单击展开平滑栏，在过渡区尺寸编辑框中输入 0.5，设定平滑间隔的宽度。保留缺省的连续导数阶次为 2。
4 在阶跃的设定窗口中，单击绘制按钮 。
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如果得到的图像与下图一致，则说明您已正确定义该函数。
还可以添加注释和重命名函数，使描述信息更为具体。
5 右键单击模型开发器中的阶跃 1 节点，并选择属性 。
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6 在属性窗口中，输入任何所需的信息。完成后，右键单击属性选项卡并选择关闭。
在本练习中，假设您希望引入另一个组件来表示通过钛螺栓连接至母线板的电气设备。
第一步是重命名 Component 1，指定它表示母线板。
1 右键单击 Component 1 节点 并选择重命名 （或按 F2 键）。
2 在重命名组件窗口中，输入 Busbar。单击确定并保存模型。
定义组件耦合右键单击 Busbar (comp1) 下的定义节点 ，引入组件耦合，可计算螺栓与电气设备接触边界上任意 Busbar (comp1) 变量的积分。例如，可以使用这种耦合在全局定义节点定义一个计算总电流的变量。该变量随后可全局访问，例如，还能为供给电气设备的电流形成边界条件，该电气设备作为第二个组件建模。
定义中组件耦合的用途很多。平均 、最大 和最小 耦合的应用包括生成结果，以及可在边界条件、源、汇、属性或其他任何对模型方程有贡献的项中使用。探针 用于
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监视求解进度。例如，您可以用它来跟踪瞬态仿真中某个关键点的解、或参数化研究中每个参数的值。
您可以在第 124 页的 “ 参数化扫描 ” 部分找到使用平均算子的示例。还可以参阅第 161 页的 “ 函数 ” 部分以获取可用的 COMSOL 函数列表。
要了解更多关于定义的信息，可在模型开发器中单击定义 或全局定义节点 ，并按 F1 键打开帮助窗口 。该窗口会显示有关桌面上选定项的帮助信息，并提供文档链接。首次激活时，窗口的加载时间较长 （最多可能需要一分钟），但下次打开时窗口会快速完成加载。
材料属性和材料库
您已使用材料节点中的功能来访问母线板模型中铜和钛的属性。在材料中，您也可以定义自己的材料，并将其保存在材料库中。还可以添加现有材料的材料属性。如果定义的属性为其他变量的函数 （通常为温度），则绘图功能可帮助您验证所需范围内的属性函数。此外，还可以使用 LiveLink™ for Excel® 来加载 Excel® 电子表格，并定义材料属性的插值函数。
材料库插件包含 2,500 多种材料，以及上万个温度相关的属性函数。
首先，我们来学习如何在现有材料中添加属性。假设您希望在铜的属性中添加体积模量和剪切模量。
定制材料让我们继续使用母线板。
1 在模型开发器中，单击材料 >Copper 。
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2 在材料的设定窗口中，单击展开材料属性栏，其中包含所有可定义属性的列表。
展开固体力学 > 线弹性材料栏。右键单击体积模量和剪切模量，并选择 增加到材料。
这样，即可在模型中定义铜的体积模量和剪切模量。
3 回到材料属性目录栏。此时可在表格中看到体积模量和剪切模量行。警告符号 表示尚未定义值。要定义值，单击值栏。在体积模量行，输入 140e9 ；在剪切模量行，输入 46e9。
通过添加这些材料属性，您更改了铜材料。可以将此信息保存到您自己的材料库，但不能保存到只读的固体力学材料库中。
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4 在模型开发器中，右键单击 Copper 并选择增加到用户定义库 。
增加网格
模型组件可以包含不同的网格剖分序列，以按照不同的设定生成网格。这些序列可通过研究步骤访问。研究时，您可以选择在特定的仿真中使用哪个网格。
在母线板模型中，现在添加另一个网格节点，以创建在螺栓和弯曲的周围区域进行细化的网格。
添加网格1 打开先前创建的模型 busbar.mph。
2 如果要在单独的文件中保留该模型以便稍后使用，可选择文件 >另存为，并将模型重命名为 busbar_I.mph。
3 右键单击 Component 1 (com1) 节点 ，并选择增加网格 ，添加另一个网格节点。
通过添加另一个网格节点，会创建一个同时包含 Mesh 1 和网格 2 的网格父节点。
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4 单击网格 2 节点。在网格的设定窗口的网格设定栏下，从序列类型中选择用户控制网格。
尺寸和自由剖分四面体节点会添加到网格 2 下。
5 在模型开发器的网格 2 下，单击尺寸 。
节点图标右上角的星号 (*) 表示该节点正处于编辑状态。
6 在尺寸的设定窗口的单元尺寸下，单击定制按钮。
7 在单元尺寸参数栏中输入：
- 在最大单元尺寸编辑框中输入 mh/2，其中mh为 6 mm，是先前定义的网格控制参数。
- 在最小单元尺寸编辑框中输入 mh/2-mh/6。- 在曲率因子编辑框中输入 0.2。
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8 单击全部构建 。然后保存文件 busbar_I.mph。
通过单击网格节点来比较 Mesh 1 和网格 2。网格会在图形窗口中更新。另一种使用许多不同网格的方法是对最大网格尺寸的参数 mh 运行参数化扫描，
该参数已在第 57 页的 “ 全局定义 ” 部分定义。
增加物理场
向现有模型添加物理场时， COMSOL 极具适应性与兼容性的显著特征会更加突出。在本节中，您将了解如何轻松地处理这种看似难以解决的问题。按照这些步骤操作，可以在母线板模型中添加结构力学和流体流动分析。
结构力学完成母线板焦耳热仿真之后，我们知道母线板会升温。那么热膨胀会带来哪些机械应力呢？要回答这个问题，让我们展开模型，引入与结构力学相关联的物理场。
Mesh 1 网格 2
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要完成这些步骤，需要结构力学模块或 MEMS 模块 （这些模块增强了核心固体力学接口）。
如果您希望添加流体流动产生的冷却效应，或者没有结构力学模块或MEMS 模块，可在阅读完本节后前往第 110 页的 “ 添加流体流动进行冷却 ” 部分。
1 打开之前创建的模型 busbar.mph。从主菜单中选择文件 > 另存为，并将模型重命名为 busbar_II.mph。
2 在模型开发器中，右键单击 Component 1 节点 并选择增加物理场 。
3 在增加物理场窗口中，选择结构力学 > 固体力学 。
要添加此接口，可以右键单击并选择增加到组件，或单击窗口顶部的 增加到组件按钮。
4 关闭增加物理场窗口并保存文件。
添加其他物理场时，需确保材料节点中包含的材料具有所选物理场所有必需的属性。在本例中，您已知晓所有属性均可用于铜和钛。
可以先在结构分析中添加热膨胀效应。
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5 在模型开发器中，右键单击多物理场节点 ，并选择热膨胀
。
热膨胀节点会添加到模型开发器中。
也可以使用功能区，从物理场选项卡选择多物理场 > 热膨胀。
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6 在热膨胀的设定窗口中，从选择列表中选择所有域。即可在铜和钛螺栓中启用热膨胀。
此窗口的热膨胀属性栏显示了有关热膨胀系数和应变参考温度的信息。热膨胀系数采用材料节点中的属性值。应变参考温度的缺省值为 293.15K （室温），并定义无热膨胀的温度。设定窗口底部的耦合接口栏显示哪两个物理场接口用于定义传热和固体力学的物理场。当模型组件中包含多个传热或固体力学的物理场接口时，此设定非常有用。保留此窗口中的所有缺省设定。
下一步，在钛螺栓位置约束母 线板。
7 在模型树中，右键单击固体力学 ，然后从边界级别中选择固定约束 。同名的节点会添加到模型树中。
8 单击固定约束节点 。在图形窗口中，旋转母线板来查看背面。单击一个螺栓的圆形表面，并将其添加到选择列表中。
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9 对其余螺栓重复该步骤，以添加边界 8、 15 和 43。
为方便管理多个边界选择，可以将这些边界分组到用户定义的选择中。选定边界 8、 15 和 43后，单击创建选择按钮 ，可对其命名，如 Bolt top surface。
然后，该选择会作为节点添加到 Component 1> 定义下，并可通过所有边界条件类型的选择列表进行访问。您也可以使用此方法为域、边界、边和点分组。
接下来将结合添加的物理场来更新研究。
求解焦耳热和热膨胀假定结构变形很小，且不考虑电接触压力效应，母线板中的焦耳热效应将独立于应力和应变。这意味着您可以将温度用作结构分析的输入来运行仿真。换句
4315
8
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话说，扩展后的多物理场之间为弱耦合。因此，可以分别在两个单独的步骤中求解以节省计算时间：第一步计算焦耳热，第二步进行结构分析。
1 在模型开发器中，右键单击研究 1 ，并选择研究步骤 > 稳态 > 稳态 ，以添加另一个稳态研究步骤。
添加研究步骤时，需手动连接正确的物理场及对应的研究步骤。我们将首先禁用第一步中的结构分析。
2 在研究 1 下，单击步骤 1：Stationary 节点 。
3 在稳态的设定窗口中，找到物理场和变量选择。
4 在固体力学 (solid) 行对应的求解列中，单击将复选标记 更改为 ，以从研究的步骤 1 中移除固体力学。
重复上述步骤，从研究的步骤 2 中移除 Electric Currents (ec) 和 Heat Transfer in Solids (ht) 。
5 在研究 1 下，单击步骤 2：稳态 2 。
6 在物理场和变量选择栏，在 Electric Currents (ec) 和 Heat Transfer in Solids (ht) 行，单击将复选标记 更改为 ，以从研究的步骤2 中移除焦耳热。
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7 右键单击研究 1 节点 ，并选择计算 （或按 F8 键，也可以单击功能区中的计算）进行求解。
保存文件 busbar_II.mph，现在文件中包含固体力学接口和附加的研究 步骤。
产生的变形现在添加位移绘图。
1 在 Results > 三维绘图组 4 下，单击表面 1 节点 。
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2 在表面的设定窗口的表达式栏中，单击替换表达式按钮 。
从上下文菜单中，选择模型 > Component 1 > Solid Mechanics > 位移 > solid.disp - 总位移。
也可以在表达式编辑框中输入 solid.disp。
现在，改为更合适的单位。在设定窗口的表达式栏，从单位列表中选择 mm（或在编辑框中键入 mm）。
3 单击展开范围栏。然后单击以清除手动控制颜色范围复选框。
由热膨胀引起的局部位移在 COMSOL 中显示为表面图。接下来，我们将添加母线板变形的相关信息。
4 在模型开发器中的 Results > 三维绘图组 4 下，右键单击表面 1 节点 并添加变形节点 。软件会自动在图形窗口中更新绘图。单击切换到缺省三维视角按钮 ，此时您的视图看上去与下图相似。
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下图所示的变形经过极大比例的放大，使实际发生的极小扭曲更加 明显。
5 保存 busbar_II.mph 文件，现在文件中包含带有变形的表面图。
您还可以绘制 von Mises 应力和主应力，以评估母线板与螺栓的结构完整性。
添加流体流动进行冷却在分析母线板中生成的热以及可能导致的热膨胀后，您可能还希望研究通过使空气流过母线板表面将其冷却的方法。由于该模型仅包含焦耳热 （不含先前的热膨胀分析），因此这些步骤不需要任何附加模块。
如果您有 CFD 模块，则可以使用非等温流多物理场接口；如果有传热模块，则可以使用共轭传热多物理场接口。这两个接口都自动定义了固体和流体中的耦合传热，包括层流和湍流，不过在本例中，我们将手动进行这些设定，且实现的功能也较少。
在焦耳热模型中添加流体流动时，可形成新的多物理场耦合。要模拟流动域，需要在母线板周围创建空气框。您可以在第一个模型中改变几何来手动完成，也可以通过打开 App 库文件来完成。在本例中，将打开一个已创建空气框的 文件。
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载入几何后，您将学习如何根据下图模拟空气流动：
定义入口速度首先载入几何，并为入口流速添加新参数。
1 如果您刚重新打开软件，则单击取消按钮 关闭自动打开的新建窗口。
空气出口
空气入口
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2 单击主屏幕选项卡，从窗口菜单选择 App 库 。导航至 COMSOL Multiphysics > Multiphysics > busbar box。
双击以打开文件，其中包含几何以及截止第 98 页的 “ 定制材料 ” 章节末尾的所有物理场建模步骤。
3 在全局定义下，单击参数节点 。
4 在参数的设定窗口中，单击 Vtot 行下方的空行。在名称栏中，输入 Vin ；在表达式栏中输入 1e-1[m/s]，并在描述栏中输入选择的描述，如 Inlet velocity。
5 选择文件 > 另存为，并使用新名称 busbar_box_I.mph 保存模型。
添加空气下一步是添加空气的材料属性。
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1 在主屏幕选项卡中，选择增加材料 （或右键单击材料节点并选择增加 材料）。
2 在增加材料窗口中，展开基本材料节点。右键单击 Air，并选择增加到 Component 1。关闭增加材料 窗口。
3 在模型开发器下的材料中，单击 Air节点 。
4 在图形窗口工具栏中，单击缩放到视窗大小 。
5 在图形窗口中，单击空气框 （域 1）将其添加到选择列表中，其颜色会变为蓝色。此操作可将空气材料属性指派给空气框。
添加流体流动现在添加流体流动物理场。
1 在模型树中，右键单击 Component 1 并选择增加物理场 。
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2 在增加物理场窗口的流体流动 >单相流下，右键单击层流 并选择 增加到组件。层流节点将出现在模型开发器的 Component 1 下。关闭增加物理场窗口。
3 在图形工具栏上，单击透明度按钮 。然后单击线框渲染 按钮。这两个设定使我们更容易查看该框的内部结构。在建模过程中，可根据需要来打开或关闭这些设定，以控制所用的渲染类型。
由于您已在模型中添加了流体流动，因此需要从 Electric Currents (ec) 接口中移除空气域 （域 1）（我们假定空气不导电，因此不含任何电流），然后需要将焦耳热多物理场接口的传热部分与流体流动进行耦合。
4 在模型开发器中，选择 Electric Currents (ec) 节点 。在图形窗口中，在空气域上移动鼠标指针，并单击将其从选择列表中移除。此时，只有母线板应被选中，且以蓝色突出显示。
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5 在模型开发器中，右键单击 Heat Transfer in Solids 。在上下文菜单的第一栏 （域级别 ），选择流体传热。
6 在图形窗口中，单击空气域（域 1）将其添加到选择列表。
现在，耦合流体流动与传热现象。
7 在流体传热的设定窗口的模型输入下，从速度场列表中选择速度场 (spf)。接着，从绝对压力列表中选择绝对压力 (spf)。
该设定可标识层流接口中的流场和压力，并将其耦合到传热接口。
现在，通过在流体域中指定传热的入口和出口来定义边界条件。
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8 在模型开发器中，右键单击 Heat Transfer in Solids 。在上下文菜单第二栏 （边界级别
）选择温度。
温度节点将添加到模型开发器中。
9 在图形窗口中，单击入口边界 （边界 2），将其添加到选择列表。
这会将入口温度设为缺省设定 293.15 K。
此时，图形应如右图所示。（根据您是否打开透明度和线框渲染，显示可能会略有差异。）继续定义出口边界。
10 在模型开发器中，右键单击 Heat Transfer in Solids 。在边界栏，选择流出。流出节点 将添加到模型开发器中。
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11 在图形窗口中，单击出口边界 （边界 5），将其添加到选择列表。选择前，可以使用鼠标滚轮 （或使用键盘上的上下箭头）来选择边界并将其突出显示。
即使为空气域添加了框几何，母线板、螺栓、电势 1 和接地 1 等边界设定也均保留了正确的选择。要确认这一点，可在模型开发器的 Electric Currents 节点下单击 Electric Potential 1 和 Ground 1 节点，验证它们是否对应正确的边界选择。
让我们继续进行流动设定。您需要指明流体流动仅发生在流体域中，然后设定入口、出口及对称条件。
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1 在模型树中，单击层流节点 。在层流的设定窗口中，单击清除选择 按钮 。
2 在图形窗口中，单击空气框 （域 1），将其添加到选择中。
验证材料节点下的空气材料是否具有当前多物理场组合所需的所有属性，这也是一种良好的操作习惯。在模型树中，单击材料下的 Air。在材料的设定窗口的材料属性目录下，确认是否缺少任何属性，即带有警告符号 的项。请参阅第 61 页的 “ 材料 ” 部分，了解更多相关信息。
让我们继续操作边界。
3 在模型开发器中，右键单击层流 ，并在边界级别选择入口。入口节点 将添加到模型开发器中。
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4 在图形窗口中，单击入口（边界 2）将其添加到选择列表。
5 在入口的设定窗口中，在速度的 U0 编辑框中，输入 Vin，以设定法向流入速度。
6 右键单击层流 ，并在边界级别选择出口 。在图形窗口中，单击出口 （边界 5），将其添加到选择列表中。选择前，可以使用鼠标滚轮或键盘上的箭头来选择边界，并将其突出显示。
最后一步是添加对称边界。可以假定空气在通道面外部的流动情况与面内部的流动类似。该假定可以通过对称条件正确表示。
7 右键单击层流 并选择对称。对称节点 将添加到序列中。
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8 在图形窗口中，单击下图所示的每个蓝色面 （边界 1、 3、 4 和 48），将 其全部添加到选择列表中。您可能需要使用鼠标滚轮或旋转几何将其全部 选中。
保存 busbar_box_I.mph文件，现在文件包含了空气材料和层流接口设定。
如果已知边界的对应编号，则可以单击粘贴选择按钮 ，并输入信息。在本例中，需要在粘贴选择窗口中输入 1,3,4,48。单击确定，这些边界将自动添加到选择列表。
粗化网格为了快速得到解，我们将略微更改网格，使其变得粗化一些。在当前网格设定下，求解时间相对较长，以后您总有机会加以细化。
1 在模型开发器中，展开 Mesh 1 节点 ，然后单击 Size 节点 。
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2 在尺寸的设定窗口的单元尺寸下，单击预定义按钮，并确保选中标准。
3 单击全部构建按钮 。图形窗口中将显示带网格的几何。（您可能需要关闭透明度才能看到下图。）
可以假定空气流速足够大，以忽略流场中升温的影响。
因此，可以先求解流场，然后再将流场的求解结果用作输入来求解温度。这可以通过研究序列来实现。
求解流体流动和焦耳热如果先求解流场再求解温度场，则会产生一个弱耦合的多物理场问题。本节介绍的研究序列可以自动求解这类弱耦合。
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1 在模型树中，右键单击 Study 1 ，选择研究步骤 > 稳态 > 稳态 ，将另一个稳态研究步骤添加到模型开发器。
接下来，需要将正确的物理场连接至对应的研究步骤。首先禁用第一步中与焦耳热相关的 Electric Currents (ec) 和 Heat Transfer in Solids (ht) 接口。
2 在 Study 1 下，单击步骤 1：Stationary 。
3 在稳态的设定窗口中，找到物理场和变量选择栏。在 Electric Currents (ec) 和 Heat Transfer in Solids (ht) 行对应的求解列中单击，将复选标记 更改为 ，从而在步骤 1 中移除焦耳热。
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4 重复上述步骤。在 Study 1 下，单击步骤 2：稳态 2 。在物理场和变量选择下的层流 (spf) 行中，单击求解列，将复选标记 改为 。
5 右键单击 Study 1 节点 ，并选择计算 （或按 F8 键，也可以单击功能区中的计算）。现在，将自动创建新的求解器序列，并依次对层流和焦耳热进行求解。
6 求解完成后，在模型开发器中，选择 Results 节点下的 Temperature (ht) 绘图。如果您尚未打开透明度，可单击图形工具栏上的透明度按钮 ，将框内
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的温度场进行可视化。如果要进行缩放，可使用鼠标中键单击并按住鼠标按钮 （或滚轮），同时拖动鼠标。
图形窗口中显示的温度表面图展示了母线板和周围空气框中的温度。还可以看到，由于网格相对较粗，温度场不是很平滑。要获得更平滑的解，最简便的方法是通过细化网格来提高计算精度。
7 保存 busbar_box_I.mph 文件，以便日后使用。接下来的步骤将使用原始的 busbar.mph 文件。
参数化扫描
扫描几何参数为满足特定约束条件，生成多个设计实例通常会很有帮助。在前面的母线板示例中，设计目标可能是降低操作温度或减小电流密度。在本节中，我们将演示第一个目标。由于电流密度取决于母线板的几何形状，改变宽度 wbb 会改变电流密度，这反过来又会影响操作温度。让我们对 wbb 运行参数化扫描来研究这种变化。
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添加参数化扫描1 从文件菜单打开模型文件busbar.mph。如果未保存该模型，也可以从 App 库中打开：文件菜单 > App 库 > COMSOL Multiphysics > Multiphysics >
busbar。在模型开发器中，右键单击 Study 1 并选择参数化扫描 。参数化扫描节点将添加到模型开发器序列。
2 在参数化扫描的设定窗口中，在空参数表下，单击增加按钮。从表格的参数名称列表中选择 wbb。
参数名称上方的扫描类型用于控制包含多个参数的参数化扫描。您可以选择是扫描给定参数的所有组合，还是扫描指定的组合子集。
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3 输入一组参数值，对母线板宽度以 1 cm 的增量从 5 cm 扫描至 10 cm。可以通过以下方式输入该信息：
- 在参数值列表编辑框中复制并粘贴，或输入 range(0.05,0.01,0.1)。- 单击范围 按钮，并在范围对
话框中输入值。在开始编辑框中输入 5e-2。在步长编辑框中，输入 1e-2，并在停止编辑框中，输入 1e-1。单击替换。
- 对于任一种方法，还可以使用长度单位来代替缺省的 SI 单位制
（米）。举例来说，可以输入5[cm] 来代替 5e-2， 1[cm] 代替 1e-2， 10[cm] 代替 1e-1。也可以在模型树根节点的设定窗口中更改缺省单位制。
接下来，定义一个平均组件耦合，稍后可用于计算母线板中的平均温度。
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4 在 Component 1 下，右键单击定义 ，并选择组件耦合 > 平均 。
5 在平均的设定窗口中，从选择列表中选择所有域。
这会创建一个称为 aveop1 的算子，可用于计算在所选域上定义的任意量的平均值。稍后将用于计算平均温度，而且也可用于计算平均电势、电流密度等。
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6 选择文件 > 另存为，用新名称 busbar_III.mph 保存模型。
7 右键单击 Study 1 ，并选择计算 以运行扫描，或在主屏幕选项卡中单击计算。
参数化扫描结果在模型开发器 > Results 节点下，单击温度 (ht) 1 节点。
图形窗口中显示的绘图展示了较宽母线板中的温度，即使用最后一个参数值 wbb=0.1[m] (10[cm]) 时的温度。选择图形窗口工具栏中的缩放到视窗大小
，以便查看整张绘图。结果绘图的颜色变化不大，因此我们需要更改最大颜色范围。
1 在温度 (ht) 1 节点下，单击表面节点 。
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2 在表面的设定窗口中，单击展开范围栏。选择手动控制颜色范围复选框。在最大编辑框中输入 309.4 （替换缺省值）。
3 图形窗口中会更新对应于wbb=0.1[m](10[cm]) 的温度 (ht) 1 绘图。
比较一下较宽母线板与 wbb=0.05[m](5[cm]) 时的温度图。
1 在模型开发器中，单击第一个 Temperature (ht) 节点 。
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2 在三维绘图组的设定窗口中，从数据集列表中选择 Study 1/ 参数化解 1。该数据集包含参数化扫描的 结果。
3 在参数值列表中，选择 0.05（表示 wbb=5 cm）。单击绘制按钮 。单击图形窗口工具栏上的缩放到视窗大小按钮 。
温度 (ht) 绘图会根据 wbb=0.05[m] (5[cm]) 进行更新。请注意，如果您 已更新该绘图的颜色范围，则绘图应与下图相似。否则，请按照以下后续步骤操作。
同较宽母线板类似，绘图的颜色可能相当一致，因此需要更改最大颜色范围。
1 在第一个 Temperature (ht) 节点下，单击表面节点 。
2 在表面的设定窗口中，单击展开范围栏 （如果尚未展开）。选择手动控制颜色范围复选框。
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3 在最大编辑框中输入 323 （替换缺省值）以绘制 wbb 为 5 cm 时的情况。
图形窗口中会更新对应于 wbb=0.05[m] (5[cm]) 的温度 (ht) 绘图。
单击第一个和第二个温度绘图节点，在图形窗口中比较绘图。绘图显示，随着母线板宽度从 5 cm 增至 10 cm，最高温度从 331 K 降至了 318 K。
添加更多绘图要进一步分析这些结果，可以绘制每个宽度的平均温度。
1 右键单击 Results 节点 ，并添加一维绘图组 。
2 在一维绘图组的设定窗口中，从数据集列表中选择 Study 1/ 参数化解 1。
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3 在模型开发器中，右键单击一维绘图组 8，并添加一个全局 节点。
4 在全局的设定窗口的 y- 轴数据下，单击表达式列中的第一行，然后输入 aveop1(T)。该算子是之前在第 127 页定义供后续使用的算子。您可以使用类似语法来计算其他量的平均值。
如果要在未求解的情况下使用耦合算子，可通过右键单击 Study 节点来选择可用的更新解选项。
5 单击以展开图例栏，并选中表达式复选框。 这会在图形右上角添加一个图例。
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6 单击绘制按钮 ，并将这些使用参数化扫描结果的附加绘图保存到 busbar_III.mph 模型。
在绘图中，平均温度也会随着宽度的增加而降低。这表明可通过使用较宽的母线板实现降低操作温度的目标。
参数化扫描这一操作引出了并行计算问题；如果能同时求解所有参数，则可以极大提高计算效率。
并行计算
COMSOL 支持绝大多数形式的并行计算，包括多核处理器的共享内存并行以及集群和云的高性能计算 (HPC)。所有 COMSOL 许可证均支持多核计算。对于集群或云计算 （包括并行扫描），则需要网络浮动许可证。
您可以使用集群或云计算进行集群扫描或集群计算。如果您有网络浮动许可证，则可以通过右键单击研究节点来调用这两个选项。不过，需要先启用
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高级研究选项，方法是单击模型开发器工具栏上的显示按钮 ，并选择高级研究选项。
集群扫描集群扫描用于并行求解多个模型，每个模型都具有一组不同的参数。这可以视为广义的参数化扫描。右键单击 Study 1 节点来添加 Cluster Sweep 节点。
Cluster Sweep 的研究设定类似于参数化扫描，但还需要一些额外设定才能使用集群或云计算。上图显示了与第 124 页的 “ 参数化扫描 ” 中定义的扫描相同时， Cluster Sweep 的设定窗口顶部的显示情况。
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集群计算您还可以利用集群或云计算，使用分布式内存来求解单个大型模型。为使性能最大化， COMSOL 集群实现可利用每个节点上的共享内存式多核处理，并结合基于分布式内存模型的消息传递接口 (MPI)。这也称为混合式并行，可以最大程度地利用计算能力，从而带来显著的性能提升。
右键单击 Study 节点以添加 Cluster Computing 节点。 Cluster Computing节点不能与 Cluster Sweep 结合使用。计算机将提示您是否在计算前移除 Cluster Sweep，选择是。
Cluster Computing 的设定窗口 （如下所示）有助于通过集群或云的设定来管理仿真。
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从 Cluster type 列表中选择要执行的集群作业的类型。 COMSOL 支持 Windows® Compute Cluster Server (WCCS) 2003、 Windows® HPC Server (HPCS) 2008、Open Grid Scheduler/Grid Engine (OGS/GE)、SLURM 或者不分布。
如需了解 COMSOL 并行运行的更多信息，请参阅 《COMSOL Multiphysics 参考手册》。
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附录 A— 构建几何
本节将详细介绍如何使用 COMSOL 内置的几何工具来创建母线板几何。在逐步说明部分，我们将带您使用全局定义栏中设定的参数完成几何构造。参数化尺寸的使用有助于进行各种假设分析 与几何参数化扫描。
除了在 COMSOL 软件中构建几何，也可以从 CAD 包中导入几何。可选的CAD 导入模块支持多种 CAD 文件格式。此外，多个插件产品还提供了与通用CAD 软件包的双向接口，以便用户进行选择。相关列表，请参阅第 176 页的“ 附录 E— 使用 LiveLink™ 插件连接 ” 。
建议您先阅读第 53 页的 “ 示例 2：母线板 — 多物理场模型 ” 部分。按照模型向导中的步骤添加物理场和研究，并按照全局定义中的步骤来添加参数。然后返回到本节，继续学习几何建模。创建几何序列的第一步是绘制母线板的剖面图。
1 在组件 1 下，右键单击几何 1 并选择工作平面 。在工作平面的设定窗口中：
- 从面列表中选择 xz- 平面。- 单击设定窗口工作平面工具栏上的
显示工作平面按钮 。继续编辑工作平面 1 中的轴和格点 设定。
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2 在模型开发器中，展开视图 2 节点 并单击轴 。
3 在轴的设定窗口中：
在轴部分：
- 在最小 x 和最小 y 编辑框中，输入-0.01。
- 在最大 x 和最大 y 编辑框中，输入0.11。
在格点部分：
- 选中手动间隔复选框。- 在 x 间距和 y 间距编辑框中，输入5e-3。
4 单击工具栏上的更新按钮 。
请注意，单击更新后，键入的值将自动轻微调整，以适应屏幕纵横比。
在图形窗口中移动单击鼠标，然后使用功能区工作平面选项卡中的绘图工具，便能以交互式绘图方式来创建几何。
还可以右键单击工作平面 1 下的面几何节点 ，将几何对象添加到几何序列中。
在接下来的几个步骤中，我们将创建母线板的剖面图。
工作平面选项卡
几何图元
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5 在模型开发器的工作平面 1 下，右键单击平面几何 并选择矩形 。
在矩形的设定窗口的尺寸栏输入：
- 在宽度编辑框中，输入 L+2*tbb。- 在高度编辑框中，输入 0.1[m]。单击构建选定按钮 。
6 创建另一个矩形。在工作平面 1 下，右键单击平面几何 并选择矩形 。
在尺寸栏输入：
- 在宽度编辑框中，输入 L+tbb。- 在高度编辑框中，输入0.1[m]-tbb。
在位置栏输入：
- 在 yw 编辑框中输入 tbb。单击构建选定 按钮。
使用布尔差集运算从第一个矩形中减去第二个矩形。
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7 在工作平面 1 下，右键单击平面几何 ，并选择布尔运算和分割 > 差集 。在图形窗口中，单击 r1 （较大的矩形），将其添加到差集的设定窗口的增加对象列表中。
为便于选择几何，可以在图形窗口中显示几何标签。在模型开发器中的几何 1> 工作平面 1 下，单击视图 2 节点。前往视图的设定窗口，选中显示几何标签复选框。
8 单击差集节点。在差集的设定窗口中，单击减去对象列表左侧的激活选择按钮。选择较小的矩形 r2，方法是使用鼠标滚轮或箭头键以循环切换重叠的矩形，先将其突出显示，然后单击将其选中。
单击构建选定 。
也可使用选择列表功能在图形窗口中选择 r2。前往功能区主屏幕选项卡，选择窗口 > 选择列表。在选择列表中单击以突出显示 r2 （实体）。然后在列表中右键单击 r2 （实体），并选择
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增加到选择将其添加到减去对象列表。右键单击选择列表窗口标题，并选择关闭。
构建选定的几何后，您将得到一个反 L 形的剖面。继续对这个反 L 形剖面的角进行圆角操作。
9 在工作平面 1 下，右键单击平面几何 并选择圆角 。
选择点 3，将其添加到圆角的顶点列表中。可以通过几种不同的方式来添加点：
- 在图形窗口中，单击点 3 （右下角内侧），将其添加到圆角的顶点列表中。- 在主屏幕选项卡中，选择窗口 > 选择列表。在选择列表窗口中，单击 3，
对应的点会在图形窗口中突出显示。
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在圆角的设定窗口中单击增加到选择按钮 ，或在选择列表中单击右键。
10 在半径编辑框中输入 tbb。单击构建选定 。
这将完成内角的圆角操作。
11 对于外角，右键单击平面几何 并选择圆角 。
12 在图形窗口中，单击点 6 （外角），将其添加到圆角的顶点列表中。
13 在半径编辑框中输入 2*tbb。单击构建选定 。
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结果应与下图相符：
下一步，将拉伸工作平面来创建三维母线板几何。
1 在模型开发器中，右键单击工作平面 1 并选择拉伸 。在拉伸的设定窗口中，在到面的距离表格中输入 wbb （替换缺省值）作为拉伸剖面的宽度。
表格支持输入多个值，以创建包含不同材料的夹层结构。在本例中，只需要拉伸一个层。
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2 单击构建选定 ，然后单击图形工具栏上的缩放到视窗大小 按钮。如果尚未保存模型，请单击保存按钮 ，并将模型命名为 busbar.mph。
下一步，通过拉伸两个工作平面中绘制的两个圆来创建钛螺栓。
3 在模型开发器中，右键单击几何 1 ，并添加工作平面 。此时将添加 工作平面 2 节点。在工作平面的设定窗口的平面定义下，选择面平行作为 面类型。
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4 在图形窗口中，单击面 8 （如下图所示），将其添加到工作平面设定窗口的平面列表中。
面 8 现在以蓝色突出显示，工作平面将定位到该面上。
5 单击显示工作平面按钮 来绘制第一个圆，表示第一个螺栓的位置。单击图形工具栏上的缩放到视窗大小按钮 。
6 在工作平面 2 下，右键单击平面几何 并选择圆 。
在圆的设定窗口中：
- 在尺寸与形状栏的半径编辑框中，输入 rad_1。
- 在位置栏，可以使用 xw 和 yw 的缺省坐标 (0,0)。
单击构建选定 。
面 8
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通过添加一个拉伸操作，继续创建螺栓。
1 在模型开发器中，右键单击工作平面 2 并选择拉伸 。在拉伸的设定窗口中，在到面的距离表格的第一行，输入 -2*tbb 来拉伸圆。
2 单击构建选定按钮 ，以创建钛螺栓穿过母线板的圆柱形部分。
绘制其余两个螺栓。
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3 右键单击几何 1 并选择工作平面 。此时将添加工作平面 3 节点。在工作平面的设定窗口中，从面类型列表中选择面平行用于工作平面 3。
4 在图形窗口中，单击面 4 （如图所示），将其添加到工作平面的设定窗口的平面列表中。
5 单击工作平面的设定窗口中的显示工作平面按钮 ，同时单击图形工具栏上的缩放到视窗大小 按钮，以更好地观察几何对象。
为参数化两个剩余螺栓的位置，添加圆以形成螺栓的横截面。
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6 在工作平面 3 下，右键单击平面几何 并选择圆 。
在圆的设定窗口中：
- 在尺寸与形状栏的半径编辑框中输入 rad_1。
- 在位置栏的 xw 编辑框中输入-L/2+1.5[cm]，在 yw 编辑框中输 入 -wbb/4。
单击构建选定 。
复制刚创建的圆，在母线板中生成第三个螺栓。
7 在工作平面 3 下，右键单击平面几何 ，并选择变换 > 拷贝 。
8 在图形窗口中，单击圆 c1 将其选中并添加到拷贝的设定窗口的输入对象列表中。
9 在拷贝的设定窗口中，在位移栏的 yw 编辑框中输入 wbb/2。
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10 单击构建选定 ，并单击图形工具栏上的缩放到视窗大小按钮 。
现在，工作平面中显示的几何应与下图相符。
继续对圆进行拉伸操作。
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11 在模型开发器中，右键单击工作平面 3 并选择拉伸 。在拉伸的设定窗口中，在到面的距离表格的第一行输入 -2*tbb （替换缺省值）。单击构建所有对象 。
几何及相应的几何序列应与下图匹配。单击保存按钮 ，并将模型命名为busbar.mph。
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创建零件和使用零件库构建好母线板或其他几何后，可以方便地将其保存供后续使用，避免不必要的重复操作。在刚刚完成的操作步骤中，几何直接存储在 COMSOL 模型文件中，该几何也将用于设定完整的母线板模型。当然，您也可以创建一个可重用的零件，作为更复杂 COMSOL 模型几何的构件，该零件存储在单独的文件中，可通过零件库进行访问。
在构建母线板几何时，您使用了几何与工作平面选项卡上的一些功能。零件菜单位于这些选项卡的其他组里。
通过零件菜单，您可以选择创建或加载零件，也可以通过从零件库中选择一个零件将其添加到模型几何中。缺省情况下，软件提供了多个零件库。创建新零件时，它们会添加到模型树全局定义部分的零件父节点下。有关使用零件和零件库的更多信息，请参阅 《COMSOL Multiphysics 参考手册》。
要继续母线板教程，请返回第 61 页的 “ 材料 ” 部分。
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附录 B— 键盘和鼠标快捷键
快捷键 (WINDOWS, LINUX) 快捷键 (OS X) 操作F1 F1 显示选定节点或窗口的帮助信息Ctrl+F1 Command+F1 在外部窗口中打开 COMSOL 文档
首页F2 F2 重命名选定节点、文件或文件夹F3 F3 禁用选定节点
F4 F4 启用选定节点
F5 F5 根据任何新的全局定义和定义更新数据集解，而不重新求解模型
F6 F6 在几何分支下构建前节点
F7 F7 在几何与网格分支中构建选定节点，计算选定的研究步骤，或计算求解器序列中的选定节点
F8 F8 构建几何、构建网格、计算整个求解器序列、更新结果数据或更新绘图
Del Del 删除选定节点左箭头 (Windows) ； Shift + 左箭头 (Linux)
左箭头 折叠模型树中的分支
右箭头 (Windows) ； Shift + 右箭头 (Linux)
右箭头 展开模型树中的分支
上箭头 上箭头 移动至模型树中的上方节点
下箭头 下箭头 移动至模型树中的下方节点
Alt + 左箭头 Ctrl + 左箭头 移动至模型树中的上一个选定 节点
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Alt + 右箭头 Ctrl + 右箭头 移动至模型树中的下一个选定 节点
Ctrl+A Command+A 选择所有域、边界、边或点；选择表格中的所有单元格
Ctrl+C Command+C 复制编辑框中的文本Ctrl+D Command+D 清除域、边界、边或点的选择Ctrl+F Command+F
[[check]]查找搜索字符串
Ctrl+N Command+N 新建模型Ctrl+O Command+O 打开模型文件Ctrl+P Command+P 打印绘制窗口内容Ctrl+S Command+S 保存模型文件Ctrl+V Command+V 粘贴复制的文本Ctrl+Y Ctrl+Shift+Z 重做上一个撤消的操作Ctrl+Z Command+Z 撤消上一个操作Ctrl + 上箭头 Command + 上箭头 将定义节点、几何节点、物理场
节点 （缺省节点除外）、材料节点、网格节点、研究步骤节点或结果节点上移一步
Ctrl + 下箭头 Command + 下箭头 将定义节点、几何节点、物理场节点 （缺省节点除外）、材料节点、网格节点、研究步骤节点或结果节点下移一步
Ctrl+Tab Ctrl+Tab 将焦点切换到桌面上的下一个 窗口
Ctrl+Shift+Tab Ctrl+Shift+Tab 将焦点切换到桌面上的上一个 窗口
Ctrl+Alt+A 不可用 切换至 App 开发器
Ctrl+Alt+M 不可用 切换至模型开发器
Ctrl + Alt + 左箭头 Command + Alt + 左箭头
将焦点切换到模型开发器窗口
快捷键 (WINDOWS, LINUX) 快捷键 (OS X) 操作
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Ctrl + Alt + 右箭头 Command + Alt + 右箭头
将焦点切换到设定窗口
Ctrl + Alt + 上箭头 Command + Alt + 上箭头
将焦点切换到设定窗口中的上一个部分
Ctrl + Alt + 下箭头 Command + Alt + 下箭头
将焦点切换到设定窗口中的下一个部分
Shift+F10 或( 仅适用于 Windows) 菜单键
Ctrl+F10 打开上下文菜单
Ctrl + 空格 Ctrl + 空格 打开预定义量的列表，用于插入表达式编辑框进行绘图和结果计算
左键单击并按住鼠标按钮，同时拖动鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
将场景绕平行于屏幕 X 和 Y 轴的轴旋转，原点位于场景旋转点
右键单击并按住鼠标按钮，同时拖动鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
在图像平面上朝任意方向移动可见框
中键单击并按住鼠标按钮，同时拖动鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
绕鼠标操作开始的位置放大 / 缩小场景
按下 Ctrl 键并左键单击。同时按住键和按钮，并拖动 鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
绕图像平面的 X 轴和 Y 轴旋转来倾斜或平移相机
按下 Ctrl 键并右键单击。同时按住键和按钮，并拖动 鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
在与图像平面平行的平面上移动相机
按下 Ctrl 键并单击中键。同时按住键和按钮，并拖动 鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
移动相机使其靠近和远离对象（推近 / 拉远）
按下 Ctrl+Alt 键并左键单击。同时按住这些键和按钮，并拖动鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
绕轴旋转相机
按下 Alt 键并左键单击。同时按住键和按钮，并拖动 鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
绕相机与场景旋转点之间的轴旋转相机 （滚动方向）
快捷键 (WINDOWS, LINUX) 快捷键 (OS X) 操作
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按下 Alt 键并右键单击。同时按住键和按钮，并拖动 鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
在与相机和场景旋转点之间的轴正交的平面上移动场景
按下 Alt 键并中键单击。同时按住键和按钮，并拖动 鼠标。
与 Windows 相同，仅对双键鼠标可用。
沿相机与场景旋转点之间的轴移动相机
快捷键 (WINDOWS, LINUX) 快捷键 (OS X) 操作
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附录 C— 语言元素和保留名称
在 COMSOL 中构建模型树等同于对操作序列进行图形化编程。保存为MATLAB® 或 Java® 模型文件可将操作序列输出为传统编程语句的列表。本节中，我们将概述由底层 COMSOL 语言定义的以下元素类别：
• 常数
• 变量
• 函数
• 算子
• 表达式
这些语言元素是软件内置或用户定义的。算子不能由用户定义，而表达式始终由用户定义。
关于保留名称内置元素具有保留名称，且这些名称不能由用户重新定义。如果尝试将保留名称用于用户定义的变量、参数或函数，则输入该名称的文本将变为橙色，如果选择该文本字符串，则会看到一条工具提示错误消息。保留函数名称仅针对函数名称保留，即此类名称可用于变量和参数名称，反之亦然。以下页面中，我们列出了最常用的内置元素，以及相应的保留名称。有关更详细的内置元素列表，请参阅 《COMSOL Multiphysics 参考手册》。
App 中使用的变量模型参数和变量可在 App 中使用。例如，您可以设置支持 App 用户更改参数值。此外，可在 App 开发器的声明节点下定义要在 App 中使用的变量。此类变量可以在表单对象和方法中全局使用，但不能用于模型开发器。
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常数和参数
有三种不同类型的常数：内置数学和数值常数、内置物理常数及参数。参数是
用户定义的常数，可随参数扫描而发生变化。常数是标量值。下表列出了内置的数学和数值常数，以及内置物理常数。常数和参数可以具有单位。
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内置的数学和数值常数
内置的物理常数
描述 名称 值双浮点数的浮点相对精度，也称为机器最小数
eps 2-52(~2.2204·10-16)
虚数单位 i, j i, sqrt(-1)
无穷大 , ∞ inf, Inf 大于可用浮点表示法处理的值
非数 NaN, nan 未定义或无法表示的值，例如 0/0 或 inf/inf 的结果
π pi 3.141592653589793
描述 名称 值重力加速度 g_const 9.80665[m/s^2]
阿伏伽德罗常数 N_A_const 6.02214129e23[1/mol]
玻尔兹曼常数 k_B_const 1.3806488e-23[J/K]
真空特性阻抗 （自由空间阻抗）
Z0_const 376.73031346177066[ohm]
电子质量 me_const 9.10938291e-31[kg]
基本电荷 e_const 1.602176565e-19[C]
法拉第常数 F_const 96485.3365[C/mol]
精细结构常数 alpha_const 7.2973525698e-3
重力常数 G_const 6.67384e-11[m^3/(kg*s^2)]
理想气体摩尔体积 （在273.15 K 和 1 atm 下）
V_m_const 2.2413968e-2[m^3/mol]
中子质量 mn_const 1.674927351e-27[kg]
真空磁导率 （磁常数） mu0_const 4*pi*1e-7[H/m]
真空介电常数 （电常数）
epsilon0_const 8.854187817000001e-12[F/m]
普朗克常数 h_const 6.62606957e-34[J*s]
普朗克常数除以 2 pi hbar_const 1.05457172533629e-34[J*s]
质子质量 mp_const 1.672621777e-27[kg]
真空中光速 c_const 299792458[m/s]
158 |
参数参数是模型树的全局定义分支中用户定义的常数标量。使用的示例包括：
• 参数化几何尺寸
• 参数化网格单元尺寸
• 定义要在参数化扫描中使用的参数
参数可根据数字、参数、内置常数，以及参数和内置常数的内置函数定义为表达式。除非参数是无量纲的，否则应使用 [] 指派一个单位。
变量
有两种类型的变量：内置和用户定义。变量可以为标量或场，并可具有单位。
注意：有一组特别的用户定义变量：空间坐标变量和因变量。这些变量具有缺省名称，分别基于几何空间维度和物理场接口。根据为这些变量选择的名称，COMSOL 会创建一系列内置变量：相对于空间和时间的一阶和二阶导数。
斯蒂芬 - 玻尔兹曼常数 sigma_const 5.670373e-8[W/(m^2*K^4)]
通用气体常数 R_const 8.3144621[J/(mol*K)]
维恩位移定律常数 b_const 2.8977721e-3[m*K]
描述 名称 值
| 159
内置变量
用于生成内置变量的用户定义变量
示例：T 是温度在二维瞬态传热模型中的名称， x 和 y 是空间坐标名称。在这种情况下，将生成以下内置变量：T、 Tx、 Ty、 Txx、 Txy、 Tyx、 Tyy、Tt、 Txt、 Tyt、 Txxt、 Txyt、 Tyxt、 Tyyt、 Ttt、 Txtt、 Tytt、Txxtt、Txytt、Tyxtt 及 Tyytt。其中，Tx 对应于温度 T 对 x 的偏导数，Ttt 对应于 T 的二阶时间导数，以此类推。如果空间坐标变量具有其他名称
（例如， psi 和 chi），则 Txy 将变为 Tpsichi， Txt 将变为 Tpsit。（时间变量 t 是内置的；用户不能更改其名称。）
名称 描述 类型t 时间 标量freq 频率 标量lambda 特征值 标量phase 相角 标量numberofdofs 自由度数 标量h 网格单元尺寸 （单元最长边的长度） 场meshtype 网格单元的网格类型索引；它是单元中的
边数。场
meshelement 网格单元编号 场dvol 体积比例因子变量；这是从局部 （单元）坐
标映射到全局坐标的雅可比矩阵的行列式。场
qual 介于 0 （质量差）和 1 （质量完美）之间的网格质量测量
场
缺省名称 描述 类型x, y, z 空间坐标 （笛卡尔） 场r, phi, z 空间坐标 （圆柱） 场u, T, etc. 因变量 （解） 场
160 |
函数
有两种函数类型：内置和用户定义。函数可以是赋值的标量或依赖于输入自变量的赋值的场。某些函数的输入和输出自变量都可以具有单位。
内置数学函数这些函数的输入或输出变量不具有单位。
名称 描述 语法示例abs 绝对值 abs(x)
acos 反余弦 （以弧度为单位） acos(x)
acosh 反双曲余弦 acosh(x)
acot 反余切 （以弧度为单位） acot(x)
acoth 反双曲余切 acoth(x)
acsc 反余割 （以弧度为单位） acsc(x)
acsch 反双曲余割 acsch(x)
arg 相角 （以弧度为单位） arg(x)
asec 反正割 （以弧度为单位） asec(x)
asech 反双曲正割 asech(x)
asin 反正弦 （以弧度为单位） asin(x)
asinh 反双曲正弦 asinh(x)
atan 反正切 （以弧度为单位） atan(x)
atan2 四象限反正切 （以弧度为单位） atan2(y,x)
atanh 反双曲正切 atanh(x)
besselj 第一类贝塞尔函数 besselj(a,x)
bessely 第二类贝塞尔函数 bessely(a,x)
besseli 第一类修正贝塞尔函数 besseli(a,x)
besselk 第二类修正贝塞尔函数 besselk(a,x)
ceil 向上舍入得到最近的整数 ceil(x)
conj 复共轭 conj(x)
cos 余弦 cos(x)
cosh 双曲余弦 cosh(x)
cot 余切 cot(x)
coth 双曲余切 coth(x)
| 161
内置算子函数
这些内置函数的行为与内置数学函数不同。它们不能归入介绍性文本，但将在此列出，以确保保留名称列表的完整性。
csc 余割 csc(x)
csch 双曲余割 csch(x)
erf 误差函数 erf(x)
exp 指数 exp(x)
floor 向下舍入得到的最近整数 floor(x)
gamma Gamma 函数 gamma(x)
imag 虚部 imag(u)
log 自然对数 log(x)
log10 以 10 为底的对数 log10(x)
log2 以 2 为底的对数 log2(x)
max 两个自变量的最大值 max(a,b)
min 两个自变量的最小值 min(a,b)
mod 模除算子 mod(a,b)
psi Psi 函数及其导数 psi(x,k)
range 创建一个数列 range(a,step,b)
real 实部 real(u)
round 舍入为最接近整数 round(x)
sec 正割 sec(x)
sech 双曲正割 sech(x)
sign 正负号函数 sign(u)
sin 正弦 sin(x)
sinh 双曲正弦 sinh(x)
sqrt 平方根 sqrt(x)
tan 正切 tan(x)
tanh 双曲正切 tanh(x)
名称 描述 语法示例
162 |
请参阅 《COMSOL Multiphysics 参考手册》，了解有关更多信息。
名称 名称 名称 名称adj dtang linsol sens
at emetric lintotal shapeorder
ballavg env lintotalavg side
ballint error lintotalpeak sphavg
bdf fsens lintotalrms sphint
bndenv fsensimag linzero subst
centroid if mean sum
circavg integrate noenv test
circint isdefined nojac timeavg
circumcenter pd timeint
d isinf ppr try_catch
depends islinear pprint up
dest isnan prev var
diskavg jacdepends reacf with
diskint lindev realdot
down linper residual
linpoint scope.ati
| 163
用户定义的函数用户定义的函数可以在模型树的全局定义或组件定义分支中定义，方法是从函数菜单中选择模板，然后输入设定来定义函数的名称和详细形状。
模板名称 自变量和定义 语法示例解析 函数名称是其标识符，例如
an1。该函数是其自变量的数学表 达式。示例：给定自变量 x 和 y，其定义为 sin(x)*cos(y)。该函数可具有任意数量的自 变量。
函数名称与括号内逗号分隔的自变量。例如：an1(x,y)
高程 函数名称是其标识符，例如elev1。用于从数字高程模型中导入地理空间高程数据，并将高程数据映射为 x 和 y 的函数。 DEM 文件包含地球表面一部分的高程数据。结果函数的行为基本上类似于基于格点的内插函数。
函数名称与括号内逗号分隔的自变量。例如：elev1(x,y)
高斯脉冲 函数名称是其标识符，例如gp1。高斯脉冲函数会根据表达式定义钟形曲线
由均值参数 x0 和标准差 s 定义。该函数具有一个自变量。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：gp1(x)
y x( ) 1σ 2π--------------e
x x0–( )2–2σ2
-----------------------
=
164 |
图像 函数名称是其标识符，例如im1。用于导入图像 （BMP、 JPEG、PNG 或 GIF 格式），并将图像的RGB 数据映射为一个标量 （单通道）函数输出值。缺省情况下，该函数的输出使用映射(R+G+B)/3。
函数名称与括号内逗号分隔的自变量。例如：im1(x,y)
内插 函数名称是其标识符，例如int1。内插函数由包含离散点函数值的表格或文件定义。文件格式如下：电子表格、格点或逐节。该函数具有一到三个自变量。
函数名称与括号内逗号分隔的自变量。例如：int1(x,y,z)
分段 函数名称是其标识符，例如pw1。分段函数通过将多个函数 （每个函数定义在一个间隔中）拼接在一起进行创建。定义自变量、外推和平滑方法，以及函数及其间隔。该函数具有一个自变量，在不同间隔上具有不同的定义，它们不得重叠或有任何间断。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：pw1(x)
斜坡 函数名称是其标识符，例如 rm1。斜坡函数呈线性增加，其用户 定义的斜率在某个指定的时间 开始。该函数具有一个自变量。它也可以进行平滑。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：rm1(x)
模板名称 自变量和定义 语法示例
| 165
随机 函数名称是其标识符，例如 rn1。随机函数可生成具有均匀或正态分布的白噪声，并包含一个或多个自变量来模拟白噪声。该函数具有任意数量的自变量。
函数名称与括号内逗号分隔的自变量。例如：rn1(x,y)
自变量 x 和 y 用作随机函数的随机种子。
方波 函数名称是其标识符，例如rect1。矩形函数在某个间隔中为 1，而在其他所有位置均为 0。该函数具有一个自变量。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：rect1(x)
阶跃 函数名称是其标识符，例如step1。阶跃函数会在某个位置从 0 突变为其他某个值 （幅值）。该函数具有一个自变量。它也可以进行平滑。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：step1(x)
三角波 函数名称是其标识符，例如tri1。三角形函数在某个间隔内呈线性增加或线性下降，而在其他所有位置均为 0。该函数具有一个自变量。它也可以进行平滑。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：tri1(x)
波形 函数名称是其标识符，例如wv1。波形函数是周期函数，具有以下多个特性形状之一：锯齿波、正弦波、方波或三角波。该函数具有一个自变量。它也可以进行平滑。
函数名称与括号内的单个自变量。例如：wv1(x)
模板名称 自变量和定义 语法示例
166 |
外部 （仅全局定义）
外部函数可定义以 C 语言编写的一个或多个函数的接口 （可以为诸如 Fortran 等编写的封装函数接口源代码）。例如，可以使用此类外部函数来接口用户创建的共享库。请注意，共享库文件的扩展名取决于操作平台：.dll (Windows)、 .so (Linux) 或 .dylib (OS X)。
函数名称与括号内相应数量的自变量。例如：myextfunc(a,b)
MATLAB® （仅全局定义）
MATLAB® 函数对接一个或多个以 MATLAB® 语言编写的函数。此类函数可用作 COMSOL 中定义的其他任何函数，前提是已安装 LiveLink™ for MATLAB® 和 MATLAB®。（MATLAB® 函数由MATLAB® 在运行时计算。）
函数名称与括号内相应数量的自变量。例如：mymatlabfunc(a,b)
模板名称 自变量和定义 语法示例
| 167
一元和二元算子
表达式
参数参数表达式可以包含：数字、参数、内置常数、参数表达式的内置函数、一元和二元算子。参数可以具有单位。
优先级 符号 描述1 () {} . 分组、列表、范围2 ^ 幂3 ! - + 一元：逻辑非、差、和4 [] 单位5 * / 乘法、除法6 + - 二元：加法、减法7 < <= > >= 比较：小于、小于等于、大于、大于
等于8 == != 比较：等于、不等于9 && 逻辑与10 || 逻辑或11 , 列表中的元素分隔符
168 |
变量变量表达式可以包含：数字、参数、常数、变量、变量表达式的函数、一元和二元算子。变量可以具有单位。
函数函数定义可以包含：输入自变量、数字、参数、常数、包含输入自变量的参数表达式的函数、一元和二元算子。
| 169
附录 D— 文件格式
COMSOL 文件格式
COMSOL 模型文件类型 （扩展名为 .mph）是包含整个模型树的缺省文件类型，其中同时包含二进制和文本数据。网格和解数据以二进制数据形式存储，而其他所有信息均以纯文本形式存储。
扩展名为 .mph 的文件还可能包含一个可在 COMSOL Multiphysics、Windows® 下的 COMSOL Client 或网络浏览器中运行的 App。请参阅
《COMSOL Multiphysics 参考手册》和 《App 开发器参考手册》，了解有关更多信息。
COMSOL 二进制和文本文件类型 （扩展名分别为 .mphbin 和 .mphtxt）包含几何对象或网格对象，这些对象可直接导入模型树中的几何或网格分支。
物理场开发器文件类型 （扩展名为 .mphphb）包含可以从模型向导中访问的一个或多个物理场接口。《物理场开发器手册》，有关更多信息请参阅。
有关 COMSOL 支持的所有其他格式的更多信息，请参阅 “ 支持的外部文件 格式 ”。
文件类型 扩展名 可读 可写COMSOL 模型和 App .mph 是 是二进制数据 .mphbin 是 是文本数据 .mphtxt 是 是物理场开发器 .mphphb 是 是
170 |
支持的外部文件格式
CADCAD 导入模块、设计模块及针对 CAD 的 LiveLink 产品可用于导入一系列行业标准的 CAD 文件类型。其他文件类型可通过针对 CAD 的 LiveLink 产品的双向功能和 CATIA® V5 插件的文件导入来进行导入。
DXF （二维）、 VRML （三维）和 STL （三维）文件类型可以使用COMSOL Multiphysics 来导入，而不需要任何插件产品。除非下表中另行说明，在 Linux®、 Mac OS X 和 Windows® 操作系统下的 COMSOL 版本中，均支持对下表所列文件类型的导入。
文件类型 扩展名 可读 可写AutoCAD®1,2,3 .dwg 是 是 9
Inventor®1,2,3 .ipt, .iam 是 是 9
NX®1,4 .prt 是 否PTC® Creo® Parametric™1,3 .prt, .asm 是 是 9
PTC® Pro/ENGINEER®1,3 .prt, .asm 是 是 9
Revit® Architecture3,5 .rvt 是 9 是 9
Solid Edge®3,6 .par, .asm 是 9 是 9
SOLIDWORKS®1,2,3 .sldprt, .sldasm 是 是 9
DXF （3D1,2 和 2D） .dxf 是 是 10
Parasolid®1 .x_t, .xmt_txt, .x_b, .xmt_bin 是 是ACIS®1 .sat, .sab, .asat, .asab 是 是STEP1 .step, .stp 是 否IGES1 .iges, .igs 是 否CATIA® V52,7 .CATPart, .CATProduct 是 否VRML, v18 .vrml, .wrl 是 否
| 171
ECADECAD 导入模块可以导入二维布局文件，并自动转换为三维 CAD 模型。Touchstone 文件类型用于导出来自并行端口和频率扫描的 S 参数、阻抗和导纳值。 SPICE 电路网表文件类型在导入时会转换为电路节点下的一系列集总电路单元节点。
STL8 .stl 是 是1 需要以下任一款 LiveLink™ 产品：AutoCAD®、 Revit®、 PTC® Creo® Parametric™、Inventor®、 PTC® Pro/ENGINEER®、 Solid Edge®、 SOLIDWORKS® ；或 CAD 导入模块；或设计模块2 仅支持 Windows® 操作系统下的导入3COMSOL 和链接的 CAD 程序之间的同步仅支持 Windows® 7、 8 和 8.1 操作系统4 仅支持 Windows® 和 Linux 操作系统下的导入5 需要 LiveLink™ for Revit® 6 需要 LiveLink™ for Solid Edge®
7 需要 CAD 导入模块 （或设计模块，或以下任一款 LiveLink™ 产品：AutoCAD® 、 PTC® Creo® Parametric™、 Inventor®、 PTC Pro/ENGINEER®、 Solid Edge® 或 SOLIDWORKS®），以及 CATIA® V5 文件导入8 限制为单个几何域9 使用链接的 CAD 包读取或写入文件，前提是原始 CAD 几何已在该 CAD 包中创建10 仅二维几何支持写入文件
文件类型 扩展名 可读 可写NETEX-G1 .asc 是 否ODB++1 .zip, .tar, .tgz, .tar.gz 是 否ODB++(X)1 .xml 是 否GDS1 .gds 是 否Touchstone2 .s2p, .s3p, .s4p, ... 否 是SPICE Circuit Netlist3 .cir 是 否1 需要 ECAD 导入模块2 需要 AC/DC、 RF、 MEMS 或波动光学模块中的任意一个3 需要 AC/DC、 RF、 MEMS、等离子体或半导体模块中的任意一个
文件类型 扩展名 可读 可写
172 |
材料数据库化学反应工程模块可以读取 CHEMKIN® 文件，以模拟复杂气相化学反应。等离子体模块可以读取 LXCAT 文件，用于设定电子碰撞截面数据。
网格NASTRAN® Bulk Data 文件类型用于导入体网格。 VRML 和 STL 文件类型用于导入三角形曲面网格，不能用于创建体网格。如果导入文件为几何，则VRML 和 STL 文件可用作创建单个几何域体网格的基础。
图像和动画结果可视化可以导出为一些常见的图像文件类型，请参见下表。还可以读取图像并将其用作物理场建模的内插函数。动画可以导出为动画 GIF、 Adobe® Flash® 及 AVI 文件类型。
文件类型 扩展名 可读 可写CHEMKIN®1 .dat, .txt, .inp3 是 否CAPE-OPEN1 （直接连接） n/a n/a n/a
LXCAT 文件 2 .lxcat, .txt 是 否1 需要化学反应工程模块2 需要等离子体模块3 允许任何扩展名，这些是最常用的扩展名
文件类型 扩展名 可读 可写NASTRAN® Bulk Data .nas, .bdf, .nastran, .dat 是 是VRML, v1 .vrml, .wrl 是 否STL .stl 是 是
文件类型 扩展名 可读 可写JPEG .jpg, .jpeg 是 是PNG .png 是 是BMP .bmp 是 是TIFF .tif, .tiff 否 是GIF .gif 是 是
| 173
编程语言和电子表格Java® 模型文件是一种可编辑的脚本文件 （扩展名为 .java），以 Java® 代码的形式包含 COMSOL 命令序列，可在文本编辑器中编辑文件以添加更多命令。可以将这些 Java® 文件编译成为 Java® 类文件 （扩展名为 .class），并将其作为单独的 App 运行。
MATLAB® 模型文件是可编辑的脚本文件 （M 文件 )，类似于 Java® 模型文件，供 MATLAB® 使用。这些模型文件 （扩展名为 .m）以 MATLAB® M 文件的形式包含 COMSOL 命令序列。像其他任何 M 文件脚本一样，您可以在 MATLAB® 中运行这些模型文件。此外，也可以在文本编辑器中编辑这些文件，以包含更多的 COMSOL 命令或一般的 MATLAB® 命令。运行 M 文件格式的模型文件时需要 COMSOL LiveLink™ for MATLAB®。
EPS （仅支持一维图形 ) .eps 否 是动画 GIF .gif 否 是Adobe® Flash® .swf 否 是AVI1 .avi 否 是1 仅适用于 Windows®
文件类型 扩展名 可读 可写
MATLAB®: MATLAB® 模型文件 .m 否 是MATLAB®: 函数 1 .m 是 否Java®: Java® 模型文件 .java 否 是Java®: 已编译的 Java® 模型文件 .class 是 否C: 函数 .dll3, .so4, .dylib5 是 否Excel®2 .xlsx 是 是1 需要 LiveLink™ for MATLAB®
2 需要 LiveLink™ for Excel®，仅用于 Windows® 3 仅用于 Windows®
4 仅用于 Linux® 5 仅用于 OS X
文件类型 扩展名 可读 可写
174 |
数值和内插数据格式格点、逐节和电子表格文件类型可被读取并用于定义内插函数。逐节和电子表格文件类型可以进一步读取，并用于定义内插曲线和写入导出结果。此外，表格可以复制粘贴为电子表格格式。
参数和变量可以导入和导出为纯文本文件、逗号分隔的值或数据文件类型。
连续和离散色表文本文件类型用于用户定义的结果可视化色表。
数字高程模型 (DEM) 文件可以进行读取，并用作定义几何的参数化表面。
文件类型 扩展名 可读 可写复制和粘贴电子表格格式 n/a 是 是Excel® 电子表格 1 .xlsx 是 是表格 .txt, .csv, .dat 是 是格点 .txt 是 是逐节 .txt, .csv, .dat 是 是电子表格 .txt, .csv, .dat 是 是参数 .txt, .csv, .dat 是 是变量 .txt, .csv, .dat 是 是连续和离散色表 .txt 是 否截点数据集的点数据 .txt 是 否DEM .dem 是 否1 需要 LiveLink™ for Excel®，仅用于 Windows®
| 175
附录 E— 使用 LiveLink™ 插件连接
下表显示 COMSOL 的启动选项，以及使用 LiveLink 插件的不同连接合作伙伴软件。
1 从 Excel® 打开 COMSOL 模型时，COMSOL 模型窗口会启动并自动创建链接。COMSOL 模型窗口是显示几何、网格和结果的输出窗口。2 如果 COMSOL 模型包含一个引用 Excel® 电子表格的表，则当该模型在 COMSOL Desktop环境中运行时，会在后台自动启动 Excel® 进程。3 可以使用 system 命令从 MATLAB® 会话中启动 COMSOL Multiphysics Server，然后在MATLAB® 命令提示符中使用 mphstart 来连接它。
COMSOL®
软件可以从合作伙伴软件启动 COMSOL
可以从 COMSOL 启动 合作伙伴软件
可以连接正在运行的会话
LiveLink™ for Excel®
是 1 是 2 否
LiveLink™ for MATLAB®
是 3 是 4 是 5
LiveLink™ for AutoCad®
否 否 是
LiveLink™ for Revit®
否 否 是
LiveLink™ for PTC®Creo® Parametric™
否 否 是
LiveLink™ for Inventor®
- 双向模式 否 否 是- 共窗口模式 是 否 否LiveLink™ for PTC®
Pro/ENGINEER®
否 否 是
LiveLink™ for Solid Edge®
否 否 是
LiveLink™ for SOLIDWORKS®
- 双向模式 否 否 是- 共窗口模式 是 否 否
176 |
4"COMSOL 5.2 with MATLAB®" 桌面快捷方式可启动 COMSOL Multiphysics Server 和MATLAB®，然后自动连接它们。在 COMSOL Desktop 界面中运行包含 MATLAB® 函数 （全局定义 > 函数）的 COMSOL 模型时，将自动启动 MATLAB® 引擎和数据连接。5 可以在 MATLAB® 命令提示符中使用 COMSOL 命令 mphstart，将 MATLAB® 会话连接到正在运行的 COMSOL Multiphysics Server。
| 177
索引 | 178
索引
AC/DC 模块 53
CAD 导入模块 153
APP 8, 19, 22, 29, 139
App 开发器 6, 139
busbar 76
CAD 31, 120
CFD 93
精简 MPH 文件 23
COMSOL Desktop 环境Linux 15
OS X 15
情景标签 14
数据集 16
派生值 16
DirectX 11
DOF 50
物理场 7
ECAD 导入模块 154
电磁热 51
Excel 158
导入节点 16
信息窗口 9
完整 MPH 文件 23
数学函数 21
几何建模 55
几何节点 27
全局定义节点 19， 55
边界选择 38
固体传热 64
HPC 116
图像截屏按钮 77
导入几何 31
有限元 28
信息窗口 9
Java 28, 156
层流接口 97
LiveLink 158
LU 41
模型树 27
MATLAB 156
MEMS 86
网格 27
信息窗口 9
几何 27
材料节点 27
研究节点 28
模型向导预制研究类型 54
MPH 23
MPI 118
OpenGL 11
参数节点 78
参数扫描 48
焦耳热 64
层流 97
物理接口层流 97
模型树 28
进度窗口 9
报告 16
参数与变量 19
选择列表窗口 10
结构 34
用户界面 COMSOL Desktop
变量 19
工作流 27
不等式的图形 44
专有名称 21
主应力 93
云计算 116
仿真 71
179 | 索引
传热 93
传热问题和电流传导 64
作用域 18, 19
保存模型 76
全局范围 55
共享内存 116
内存有限 41
内存溢出 41
内置变量 50
冷却效应 51
几何对象 56
几何尺寸 8, 18
函数 21, 55, 78
分析 45, 49
创建新的模型 15
创建模型树 15
初始值 36
初始条件 8
剖分 39
功能区 10, 37, 123
化学反应工程模块 155
单位 42
单位列表 92
单位系统 109
单位选择列表 46
参数 35, 55
参数化扫描 18, 47
参数化求解 55
参数化 57
参数化网格 47
参数化网格设定 69
可以包括数字 18
取消按钮 10
变形子节点 42
变量 75
变量名称 20
变量和函数 21, 55
变量和组件耦合 78
变量表达式 19
可视化 9
启动步骤 40
启动软件 30
四面体 39
四面体网格 69
固体力学接口 86
图像 77
图形渲染选项 11
图形窗口 72
塑性变形 44
增加到组件 60
多切片图 72
多核处理器 116
多物理场模拟概念 51
多物理场 51
完美匹配层 28
定义模型 15
螺栓 61
对象建模 74
导数 21
屈服应力极限 29
屈服应力 44
布尔运算表达式 44
帮助窗口 10
常数 21
并行计算 116
序列类型 48
应力和主应力 93
应力和应变 51
应变参考温度 88
快速访问工具 15
恢复列表 43
恢复功能 44
恢复设定 46
打开 30
扭矩 29
操作序列 27
索引 | 180
操作步骤 27
收敛 45
收敛性分析 45
收敛性分析表明 50
放大视图 107
数学常数 21
文件 28
方程 64
日志 9
最大 46
有限元的解析度 39
机械接触 39
材料属性 8
材料界面 39
树根节 109
模块 39, 54, 86, 93
二维布线文件 154
模块 155
模型 76
模型历史 28
模型向导 17
模型文件 28
模型标签 14
模型树 6
研究方式 15
求解器 40
求解器设定 48
求解域 65
混合式并行 118
参数 55
温度 72
温度场分布 107
温度差 72
热应力或应变 61
热膨胀 51
热膨胀系数 61
焦耳热 69
物理场接口 13
物理场类型 17
生成绘图 43
电势 51
电压值 55
电流传导 64
电流密度 74
直接求解器 41
研究 13
稀疏矩阵 41
空间维度 12, 30, 53
窗口 123
等值面 72
等离子体模块 155
系数缺省 88
组件 60
细化网格尺寸 47
结构位移场 39
结构分析 29
结构力学模块 39, 89
结果 42
图形窗口 42
恢复设置 43
绘图窗口 9
绘图组 16
绝缘边 66
缺省三维视角 43
缺省求解器 40, 41
缺省节点 64
网格 45, 47
网格密度 47
网格尺寸 18
网络浮动许可证 116
自动定义 39
自然对流冷却 55
自由度 45
节点 15
父节点 15
范围 49
菜单 65
表达式 46
181 | 索引
表面图 72
表面绘图 42
计算机内存 40
解析度 39
质量栏 43
软件 52
软件渲染 11
边 37, 64, 66
边或点 20
边界 20, 68
边界条件 8, 36, 69
边界选择 66
边界部分 65
进度条 10
迭代求解器 49
物理场 30, 53
配置 41
重新排序 28
钛合金材质 51
钢材 44
铜 51
集群或云计算 116
集群扫描或集群运算 116
集群运算 116
频域 17
颜色表范围 75
高级专题 78
