CON REGLA Y COMPAS

CON

REGLA Y COMPAS

FIGURAS EQUIVALENTES

Las Matemáticas sin Letras Las Matemáticas sin Letras ni Númerosni Números

Las RELACIONES GEOMÉTRICAS entre dos figuras planas son:

Identidad.

Traslación.

Simetría.

Giro.

Homotecia.

Semejanza.

Equivalencia

Escalas.

De las Relaciones Geométricas De las Relaciones Geométricas ……

Dos FIGURAS EQUIVALENTES son aquellas que tienen la misma extensión.

Conviene diferenciar entre:

SUPERFICIE: es una varieda bidimensional del espacio

n-dimensional.

EXTENSIÓN: es una propiedad de las superficies cerradas que permite compararlas unas con otras.

ÁREA: es la medida de la extensión de una superficie cerrada, y su valor depende de la unidad de medida.

… … estudiaremos la Equivalenciaestudiaremos la Equivalencia

Demostrar que los dos rectángulos son equivalentes si U está en la diagonal

Construcciones con regla y compás…Construcciones con regla y compás…

La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla

y compás idealizados.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde.

Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse

directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la

circunferencia.

Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de

importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta, así que, a efectos prácticos

podemos utilizar el compás para trasladar distancias.

Se trata de construir figuras equivalentes o congruentesa una dada utilizando sólo la REGLA y el COMPÁS con la

condición de que tengan una forma determinada.

… … dos Construcciones Clásicasdos Construcciones Clásicas

CONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONES

Triángulos EquivalentesTriángulos Equivalentes

Cuadrado EquivalenteCuadrado Equivalentea Rectánguloa Rectángulo

Planteamiento del Planteamiento del Problema.Problema.

Buscamos la equivalencia (mediante Regla y Compás) de un polígono cualquiera y un triángulo equilátero.

Por ejemplo, tenemos el hexágono irregular ABCDEF…

A

C

B

D

E

F

Un Eterno y Grácil Bucle.Un Eterno y Grácil Bucle.

deldel

alalhastahasta

Reduciendo lados mediante…Reduciendo lados mediante…

… cuyas diagonales EA, EB, DB hemos dibujado, a la vez que dos rectas que salen de los vértices F y C, paralelas a las

diagonales EA y DB respectivamente, y que, a su vez, cortan a la base AB asentada sobre la recta r en los puntos

G y H.

A

C

B

D

E

F

HGr

……equivalencia de triángulos.equivalencia de triángulos.

A

C

B

F

D

E

G H

También podemos demostrar que el triángulo AEG es equivalente al AEF, puesto que tienen la misma base EA y la misma altura (porque se encuentran entre rectas paralelas.

Por la misma razón, los triángulos BDH y BDC son equivalentes. De esta forma se pueden sustituir, y lo que en

un principio era un hexágono irregular ABCDEF queda reducido a un cuadrilátero GHDE.

Reiterando el proceso…Reiterando el proceso…

Trazamos, ahora, la diagonal DG, y por E, la paralela EJ a DG. Igual que antes, el triángulo

EDG es equivalente al triángulo GDJ.

E

G

D

HJr

… … hasta tener tres lados.hasta tener tres lados.

D

HJ A

C

B

E

F

Procediendo de esta forma, podemos reducir el cuadrilátero GHDE al triángulo JHD; es decir, el cuadrilátero GHDE al

triángulo JHD son EQUIVALENTES o congruentes.

Infinitos triángulos Infinitos triángulos equivalentes.equivalentes.

Este triángulo escaleno JHD se puede transformar en un triángulo isósceles JHK con la misma área,

trazando la mediatriz de la base JH y dibujando por D una recta paralela a r. Pero lo que es imposible aquí es transformar directamente el triángulo escaleno

JHD en un triángulo equilátero.

D

HJr

K

Y ahora transitaremos...Y ahora transitaremos...

deldel

alalhastahasta

Una equivalencia clásica.Una equivalencia clásica.

Para poder proseguir con nuestro objetivo, transformaremos el triángulo escaleno JHD en un rectángulo JHLM equivalente. Para ello buscaremos el punto medio P de la altura OD del

triángulo , por el que dibujaremos una recta s que deberá ser paralela a la base JH del triángulo. Por los puntos J y H se

levantan perpendiculares que cortan a s en M y L

O J H

LM

D

P s

La equivalencia de JHD y JHLM se demuestra fácilmente ya que los triángulos JQM y QPD (lo mismo HLR y PRD) son iguales/equivalentes por tener los mismos ángulos

y un lado (el PD=JM) igual.

J H

LM

D

PQ R

Fórmula del área de un Fórmula del área de un triángulotriángulo

El Teorema de la Altura.El Teorema de la Altura.

Abatiendo EB sobre r, donde reposa la base DE, obtenemos el punto F. Después buscamos el punto medio O de DF y

dibujaremos, con centro en O, una semicircunferencia de centro O y diámetro DF. Prolongamos EB hasta que corte a

la semicircunferencia en G. De esta forma tendremos el triángulo rectángulo DFG, al que podemos aplicar el

Teorema de la Altura EG2 = DE x EF = DE x DA.

rF

BA

ED

G

Otra equivalencia clásica.Otra equivalencia clásica.

GH

De esta forma queda explicada la equivalencia del rectángulo ABCD y del cuadrado DEFG. Ya sólo nos queda transformar

el cuadrado DEFG en un triángulo equilátero equivalente.

F

BA

ED

Un Proceso en cuatro Un Proceso en cuatro pasos.pasos.

Para culminar nuestro objetivo de pasar de un polígono regular o irregular cualquiera, al

polígono regular de menos lados, haremos la construcción por pasos de la equivalencia de un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero AEF.

A B

CD

F

E

deldel alal

Primer paso.Primer paso.

I. Alargamos la base AB del cuadrado, y sobre esta recta r dibujamos un triángulo equilátero AEF arbitrario.

Encontramos el punto medio H de GE, la altura del triángulo equilátero. Por este punto H trazamos una recta s paralela a r. Esta recta s cortará al lado AD del cuadrado y a la recta perpendicular a r levantada por F, formado, así, un

rectángulo equivalente al triángulo AEF.

A B

CD

E

F G

H

r

s

Segundo Paso.Segundo Paso.

II. Procediendo como ya hemos visto, podemos encontrar el cuadrado AGHJ equivalente al triángulo AFE.

F A

E

G

HJ

r

Tercer paso.Tercer paso.III. Dibujamos la recta EJ, prolongamos la recta AE, y dibujamos una paralela a EJ que pase por D y corta a la

recta t en F.

J

E

D

F

A B

C

t

J

E

D

F

G A B

C

IV. Dibujamos la recta FG paralela a EH que corta a la recta r en G.

Hr

Cuarto paso.Cuarto paso.

El Teorema de Tales.El Teorema de Tales.

El Teorema de Tales nos asegura que el triángulo AFG es equivalente al cuadrado ABCD.

D

F

G A B

C

Aplicación: Área del TRAPECIO.Aplicación: Área del TRAPECIO.

A B

D C

E

Como aplicación de lo anterior, REDUCIMOS el trapecio ABCD a un triángulo equivalente AED.

Aquí se comprueba que los triángulos CDF y BEF son iguales pues las diagonales DE y CB del

paralelogramos BECD se cortan en el punto medio F.

F

A B

D C

E

Visto de otra forma, los triángulos CDB y BEC son EQUIVALENTES puesto que tienen la misma base y

se encuentran entre paralelas r y t.

r t

Primera MIRADA.Primera MIRADA.

A B

D C

E

h/2

h/2

Ahora, REDUCIMOS el triángulo AED a un rectángulo equivalente AEHJ. En resumen, ABCD Ξ ABD Ξ AEHJ

HJ

Segunda MIRADA.Segunda MIRADA.

A B

D C

E

h/2

h/2

Área Trapecio = (AB + BE) h/2 = (AB + DC) h/2Área Trapecio = (AB + BE) h/2 = (AB + DC) h/2

De donde se deduce la conocida fórmula del área del trapecio ABCD.

Tercera MIRADA.Tercera MIRADA.

Toda la Geometría Clásica se apoya en dos RESULTADOS:

El Teorema de TalesEl Teorema de Tales

El Teorema de PitágorasEl Teorema de Pitágoras

La importancia de estos dos resultados jamás será suficientemente ensalzada. Ni el uso que de ellos se hace en la Geometría.

Dos RESULTADOS clásicos.Dos RESULTADOS clásicos.

C

B

D

A

222 cba

Dadas dos rectas paralelas r y t, y dos paralelogramos ABCD y ABEF tales que AB esté sobre r, y DC y FE estén sobre t,

entonces son EQUIVALENTES. De lo que se deduce que el área del cuadrado ABCD es doble que la del triángulo BCD

por tener la misma base y estar entre dos paralelas r y t.

Interludio.Interludio.

r

t

BA

CD EF

Veamos ahora, en el marco de las EQUIVALENCIAS, la demostración clásica que da Euclides en sus ELEMENTOS

del Teorema de Pitágoras.

Demostración del Teorema de Demostración del Teorema de PitágorasPitágoras

I. Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en A. Trazamos los cuadrados BDEC, BFGA y CKHA. Trazamos AL paralela a BD y unimos AD y FC.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

Paso a paso… y DISFRUTANDOPaso a paso… y DISFRUTANDO

II Como el ángulo BAC y y el ángulo BAG son rectos, G, A y C están alineados.También lo están B, A y H.

A

CB

D E

G

F

K

H


III Como DBC y FBA son ambos ángulos rectos, al añadir a ambos el ángulo ABC, resulta que DBA y FBC son triángulos iguales.

A

CB

D E

G

F

K

H

L


IV El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


IV El cuadrado BFGA es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma base FB y están entre las mismas paralelas FB y GC.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


IV El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL. El cuadrado BFGA es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma base FB y están entre

las mismas paralelas FB y GC.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


V. Entonces el paralelogramo BDLI es EQUIVALENTE al cuadrado ABGB.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicu-larmente), el triángulo ACE es igual al triángulo BCK.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicu-larmente), el triángulo ACE es igual al triángulo LIE.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicu-larmente), el triángulo AHK es igual al triángulo BCK.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


VII. Por lo que rectángulo CILE es EQUIVALENTE al cuadrado CKHA.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

I


VI. Por tanto el cuadrado BDEC es la suma de los cuadrados BFGA y CKHA.

A

CB

D E

G

F

K

H

L

Aquí está… ¡ÉSTE ES!Aquí está… ¡ÉSTE ES!

DINÁMICAMENTE.DINÁMICAMENTE.

El RESUMEN... y la PROPINA.El RESUMEN... y la PROPINA.

Teorema de los catetos

Como todo triángulo, los triángulos rectángulos ABC tienen tres alturas. En este caso, dos coinciden con los catetos AB y AC, y la tercera AD, la que cae sobre la hipotenusa, divide al triángulo rectángulo ABC en otros dos, ACB y ABD, que tambien son rectángulos y SEMEJANTES entre sí.

A

C BD

LA CLAVE está en la alturaLA CLAVE está en la altura

bc

a

Por lo que tienen lados y las alturas proporcionales...

a b c 1 = = =

ha hb hc α


A

C BD

A

DD

hb = α bhc = α c

ha = α a

Así que sus áreas son proporcionales a la hitotenusa al cuadrado.


A

C B

A

DD

α b2α c2

α a2

bc

a

De donde se deduce el Teorema de Pitágoras.


A

C D

A

DD

Bα c2 + α b2 = α a2

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