WordPress.com€¦ · Concept Map การวัดค ากลาง ของข อมูล การวัดการกระจาย ของข อมูล การวิ

Concept Map

การวดคากลาง

ของขอมล

การวดการกระจาย


การวเคราะหขอมล

เบองตน

การวเคราะหขอมลเบองตนหนวยการเรยนรท1

ผลการเรยนร

เลอกวธวเคราะหขอมลเบองตนและอธบายผลการวเคราะหขอมลไดถกตอง

นาความรเรองการวเคราะหขอมลไปใชได

การวเคราะหขอมลเบองตน เปนขนตอนหนงของกระบวนการทางสถต เพอหาขอสรปหรออธบายลกษณะของขอมล

ซงเปนสวนหนงของสถตเชงพรรณนา ทเกบรวบรวมจากกลมตวอยาง (sample) หรอจากประชากร (population)

ทงหมด

การวดการกระจายสมบรณ

การวดการกระจายสมพทธ

ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง

และการกระจายของขอมล

มธยฐานเดไซล

ฐานนยมเปอรเซนไทล

คาเฉลยเรขาคณต

คาเฉลยฮารมอนก

คาเฉลยเลขคณต ควอรไทล

การวดตาแหนงท

ของขอมล ฉบบเฉลย

คณตศาสตร เลม 5 1

1 . 1 Ê¶ÔµÔáÅÐ¢ŒÍÁÙÅ Statistics and Data

ความหมายของสถต ความหมายของสถต สามารถจาแนกไดอยางกวางๆ 2 ลกษณะ คอ

1) สถต หมายถง ตวเลขทางสถต ซงอาจเกดจากการวด การคานวณจากขอมลทเกบ

รวบรวมไดตามหลกเกณฑทางสถต

2) สถต หมายถง ศาสตรทเกยวของกบหลกการและกระบวนการทางสถต ซงประกอบดวย

การเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการตความหมายขอมล

สถตเชงพรรณนาและสถตเชงอนมาน สถตเชงพรรณนา คอ สถตทมงศกษาเพออธบายลกษณะหรอเรองราวตางๆ ของประชากร

กลมใดกลมหนง โดยทาการเกบรวบรวมขอมลของสมาชกทกหนวยในกลมประชากรนน ซงผล

การศกษาทไดจะสามารถอธบายหรอสรปเกยวกบเรองราวของกลมประชากรททาการศกษาเทานน

ไมสามารถนาผลการศกษาทไดไปสรปอางองกบประชากรกลมอน

สถตเชงอนมาน คอ สถตทมงศกษาเพออธบายลกษณะหรอเรองราวตางๆ ของประชากร

กลมใดกลมหนง โดยทาการเกบรวบรวมขอมลจากกลมตวอยาง แลวนาผลทไดไปสรปอางองถง

กลมประชากรซงเปนกลมทตองการศกษา

ขอมลสถต จาแนกตามลกษณะของขอมล

1) ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทใชบอกลกษณะของการแบงเปนกลมหรอแบงเปนประเภท

ซงไมอาจวดคาเปนตวเลขหรอสอความหมายตามคาตวเลขไดโดยตรง

2) ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทวดเปนตวเลขหรอปรมาณและสอความหมายตามคา

ของตวเลขได ซงแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ

- ขอมลไมตอเนอง เปนขอมลทไดจากการนบ ลกษณะของขอมลเปนจานวนเตม

- ขอมลตอเนอง เปนขอมลทไดจากการวด ซงเปนขอมลทมคาไดทกคาในชวง

ทกาหนด

จาแนกตามแหลงทมาของขอมล

1) ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง

2) ขอมลทตยภม คอ ขอมลทผใชไดมาจากแหลงขอมลทมผเกบรวบรวมไวแลว

ฉบบเฉลย

2 คณตศาสตร เลม 5

คาศพททเกยวของกบสถต ประชากร คอ เซตของสงตางๆ ทเราตองการศกษาทงหมด

ตวอยาง คอ สวนหนงของประชากรทเราตองการศกษา

คาพารามเตอร คอ คาทคานวณไดจากขอมลทเกบรวบรวมจากสมาชกทกๆ หนวยในกลม

ประชากร

คาสถต คอ คาทคานวณไดจากขอมลทเกบรวบรวมจากกลมตวอยาง

1. พจารณาวาขอมลทกาหนดใหเปนขอมลเชงคณภาพหรอขอมลเชงปรมาณ

1) คะแนนสอบวชาคณตศาสตร ............................................................

2) จานวนผโดยสารทรอรถประจาทาง ............................................................

3) เลขทะเบยนรถสวนบคคล ............................................................

4) ราคารถยนต ............................................................

5) อาชพของผปกครองนกเรยน ............................................................

6) โรคของผปวยในโรงพยาบาล ............................................................

7) รหสไปรษณย ............................................................

8) ปรมาณผลผลตขาวตามภาคตางๆ ............................................................

9) ขนาดรองเทาของนกเรยน ............................................................

10) เลขประจาตวประชาชน ............................................................

2. พจารณาขอความตอไปน แลวใสเครองหมาย ✓ หนาขอความทถกตอง และใสเครองหมาย

✗ หนาขอความทผด

…………………. 1) สถตศาสตรเปนศาสตรทวาดวยการวเคราะหขอมล เพอหาขอสรปจากขอมล

ทเกยวของมาอธบายปรากฏการณหนง หรอประเดนปญหาทสนใจ

…………………. 2) สถตเชงอนมาน คอ วธการในการสรปและนาเสนอขอมลดวยตวเลขสถต

ชดหนง เชน คาวดแนวโนมเขาสศนยกลาง คาการกระจาย หรอแผนภมตางๆ

…………………. 3) สถตเชงพรรณนา คอ การนาเสนอขอมลเพยงบางสวนซงเรยกวาตวอยางมา

วเคราะห โดยใชความรทางคณตศาสตรและสถตขนสง

จดประสงค นกเรยนมความรความเขาใจในเรองขอมล ขาวสาร การเกบรวบรวมขอมล และการนาเสนอขอมล

Exercise 1.1


✓

✗

✗

ขอมลเชงปรมาณ


ขอมลเชงคณภาพ









…………………. 4) กระบวนการทางสถตประกอบดวย การกาหนดประเดนปญหาทางสถต การเกบ

รวบรวมขอมล การสรปสาระสาคญและการนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล

และการสรปผลเพอตอบคาถามหรอปญหาในประเดนทสนใจ

…………………. 5) ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทแสดงลกษณะ ประเภท รปแบบทไมสามารถ

วดคาออกมาเปนตวเลขและสอความหมายคาของตวเลขไดโดยตรง

…………………. 6) วธการเกบรวบรวมขอมลของการสารวจตวอยางอาจใชการสอบถาม การสมภาษณ

หรอการสงเกต แตตองเกบทกหนวยทใหขอมลนน

…………………. 7) การเลอกวธการเกบรวบรวมขอมลทเหมาะสมกบแตละเรอง หรอแตละสถานการณ

นนจะขนอยกบวตถประสงคหรอความตองการทจะนาขอมลไปใช

…………………. 8) นกวจยตองการขอมลเกยวกบความคดเหนดานการศกษาของนกเรยนชนมธยม

ศกษาปท 5 จงเกบรวบรวมขอมลโดยวธสมภาษณ ซงจะไดผลอยางรวดเรว

3. จากขอมลทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน

“สานกงานสถตแหงชาต ไดดาเนนการเกบรวบรวมขอมลแรงงานนอกระบบในไตรมาสท 3

(เดอนกรกฎาคม - กนยายน) พ.ศ. 2556 พบวามแรงงานนอกระบบซงเปนผททางานแตไมได

รบความคมครองหรอไมมหลกประกนทางสงคมจากการทางานถงรอยละ 64.2 ของผทางาน

ทงหมด 39.1 ลานคน และจากขอมลยงพบวา แรงงานนอกระบบเหลานอยในภาคเกษตรกรรม

เปนสวนใหญ และมการศกษาไมสงนก” จากขอความขางตน

1) กลมประชากร คอ ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) กลมตวอยาง คอ ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. พจารณาวาควรใชวธใดในการเกบขอมลตอไปน

1) รายไดเฉลยตอครวเรอนของคนในกรงเทพมหานคร

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) จานวนผใชบรการหองสมดโรงเรยน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) ผลการเคลอบฟลออไรดบนผวฟนทมผลตอการปองกนฟนผ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) การเปรยบเทยบประสทธภาพของยาแกปวด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) การสารวจความคดเหนกรณการเกดแผนดนไหวทางภาคเหนอ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


✗

✗

✗

✓

✗

การสมภาษณ

เกบรวบรวมขอมลจากบนทกการเขาใชบรการหองสมดโรงเรยน

การทดลอง

การทดลอง

การสมภาษณ

ผมงานทา

ตวอยางกลมผมงานทา



แนวคด ผลการประเมนทนกเรยนไดรบนนไดจากครสอนวทยาศาสตรโดยตรงจงจดเปนขอมล

แบบปฐมภม และผลการประเมนออกมาเปน ดเยยม ด พอใช และตองแกไข

เปนขอมลเชงคณภาพ

แนวคด กรณทขาดขอมลและสารสนเทศควรทาการกาหนดขอมลทจาเปนตองใชกอนเปน

ลาดบแรก จากนนจงเลอกวธเกบรวบรวมขอมล เกบรวบรวมขอมล และเลอกวธ

วเคราะหขอมล ตามลาดบ

Test for U1. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจ

รายงานโครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนตารางดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงาน

ดเยยม

ด

พอใช

ตองแกไข

3

20

12

5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด

1. ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2. ขอมลทตยภม เชงปรมาณ

3. ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4. ขอมลทตยภม เชงคณภาพ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ

ถาขาดขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน

1. เกบรวบรวมขอมล 2. เลอกวธวเคราะหขอมล

3. เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4. กาหนดขอมลทจาเปนตองใช

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3 ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4

เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4 กาหนดขอมลทจาเปนตองใช



แนวคด ขอ ก. ผด เพราะจากตารางแมวาอตราการวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของ

ป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 จะเทากน แตจานวนผวางงานในแตละป

ไมจาเปนจะตองเทากนกได

ขอ ข. ถก เพราะจานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551

เทากบ 429,0001.1

× 100 = 39,000,000 คน

Test for U3. จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน ตาราง

เปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน

พนทสารวจ

อตราการวางงานในเดอนกนยายน

(จานวนผวางงานตอจานวนผอยในกาลงแรงงานคณ 100)

ป พ.ศ. 2550 ป พ.ศ. 2551

ภาคใต

ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ

ภาคเหนอ

ภาคกลาง

(ยกเวน กรงเทพมหานคร)

กรงเทพมหานคร

ทวประเทศ

1.0

0.9

1.5

1.3

1.2

1.2

1.0

1.3

1.2

0.9

1.2

1.1

พจารณาขอความตอไปน

ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน

ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน

ขอใดถกตอง

1. ก. และ ข. 2. ก. เทานน

3. ข. เทานน 4. ก. และ ข. ผด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3 ข


1. 2 ¡ÒÃ¹ÓàÊ¹Í¢ŒÍÁÙÅ Presentation of data

ตวแปร หมายถง ลกษณะของประชากรทเราสนใจวเคราะห โดยทลกษณะนนๆ ของประชากร

สามารถเปลยนคาได ทงตวแปรทเปนเชงคณภาพและเชงปรมาณ เชน

- คะแนนสอบ เปนตวแปรเชงปรมาณ

- เพศ เปนตวแปรเชงคณภาพ

คาจากการสงเกตและคาทเปนไปได

ถา x เปนตวแปรทใชแสดงผลคะแนนสอบซงมคะแนนเตม 10 คะแนน คะแนนทนกเรยน

แตละคนสอบไดเรยกวา คาจากการสงเกตหรอคาสงเกต และเรยกคะแนนสอบทอาจเปนไปได

สาหรบการสอบไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 10 วา คาทเปนไปได

คาสงเกตทเกบรวบรวมมาได และยงมไดมการจดหมวดหมขอมลชนดนเรยกวา ขอมลดบ

การจดเรยงขอมลดบหรอคาสงเกตทเกบรวบรวมมาไดใหเปนหมวดหม เรยกวา การแจกแจง

ความถ ซงม 2 รปแบบ คอ การแจกแจงความถแบบตาราง และการแจกแจงความถแบบใชกราฟ

การแจกแจงความถแบบตาราง การสรางตารางแจกแจงความถโดยสวนใหญประกอบดวย ขอมล รอยขด ความถของ

ขอมล ความถสะสม ความถสมพทธ และรอยละความถสะสมสมพทธ ซงมขนตอนดงน

ตวอยาง ขอมลคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ม.6 จานวน 30 คน ดงน

45 56 76 85 45 34 65 76 86 65

76 70 53 82 61 73 87 88 60 89

74 48 51 54 76 68 93 97 53 72

สามารถสรางตารางแจกแจงความถไดดงน

1. หาคาพสยของขอมล

จาก พสย = คาสงเกตสงสด - คาสงเกตตาสด = 97 - 34 = 63

2. กาหนดจานวนอนตรภาคชนของขอมลตามความเหมาะสม ซงในทนจะกาหนดใหม

6 อนตรภาคชน

3. หาความกวางของอนตรภาคชน (I) จาก I = พสยจานวนอนตรภาคชน

= 636 ≈ 11กรณทหารแลวไมเหลอเศษใหบวกเพมอก 1 เสมอ

เชน 606

= 10 ใหปดเปน 11

กรณทหารแลวไมเหลอเศษใหบวกเพมอก 1 เสมอ Note

ปดขนใหเปนจานวนเตมเสมอ



4. เขยนชวงของขอมลแตละอนตรภาคชน อาจเรมจากอนตรภาคชนของขอมลตาสด

ไปหาขอมลสงสด หรอจากอนตรภาคชนของขอมลสงสดไปหาขอมลตาสด ตามความกวางของ

อนตรภาคชนทคานวณได

5. พจารณาวาคาสงเกตแตละคาอยในอนตรภาคชนใด แลวขดในชองรอยขด

6. นบจานวนรอยขดของแตละอนตรภาคชน แลวใสรวมในชองความถของขอมลใน

อนตรภาคชนนน และเมอรวมความถของขอมลในแตละอนตรภาคชนจะตองเทากบจานวนคา

สงเกตทงหมด ไดตารางแจกแจงความถดงน

คะแนนสอบ รอยขด ความถ ขอบลาง ขอบบนจดกงกลาง

ของอนตรภาคชน

34 - 44 � 1 33.5 44.5 39.0

45 - 55 �� 7 44.5 55.5 50.0

56 - 66 �� 5 55.5 66.5 61.0

67 - 77 �� 9 66.5 77.5 72.0

78 - 88 �� 5 77.5 88.5 83.0

89 - 99 �� 3 88.5 99.5 94.0

รวม 30

ขอบลาง = คานอยทสดของอนตรภาคชนนน + คามากสดของชนทอยตากวาหนงชน

2

เชน ขอบลางของอนตรภาคชนท 2 = 45 + 442 = 44.5

ขอบลางของอนตรภาคชนท 3 = 56 + 552 = 55.5

ขอบบน = คามากทสดของอนตรภาคชนนน + คานอยสดของชนทอยสงกวาหนงชน

2

เชน ขอบบนของอนตรภาคชนท 2 = 55 + 562 = 55.5

ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 = 66 + 672 = 66.5

การสรางอนตรภาคชนทมความกวางเทากน แตละคนอาจสรางแตกตางกน แตตองอย

ภายใตหลกการเดยวกนวา คาตาสดของขอมลตองอยอนตรภาคชนตาสด และคาสงสด

ของขอมลตองอยอนตรภาคสงสด

Note

+ 11 + 11 ความกวาง ของอนตรภาคชน

+ 11ฉบบเฉลย


จดกงกลางของอนตรภาคชน คอ คาทอยกงกลางระหวางขอบบนและขอบลางของชวง

ขอมลในอนตรภาคชน

จดกงกลางของอนตรภาคชน = ขอบบน + ขอบลาง2

ความกวางของอนตรภาคชน คอ ผลตางระหวางขอบบนและขอบลางของขอมลในแตละ

อนตรภาคชน

ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน - ขอบลาง

นอกจากนเรายงสามารถหาความถสะสม ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ และรอยละ

ของความถสะสมสมพทธไดดงตาราง

คะแนนสอบ ความถความถสะสม

ความถสมพทธ

ความถสะสมสมพทธรอยละของความถ

สะสมสมพทธ

34 - 44 1 1 1 ÷ 30 ≈ 0.033 1 ÷ 30 ≈ 0.033 0.033 × 100 = 3.3

45 - 55 7 7 + 1 = 8 7 ÷ 30 ≈ 0.233 8 ÷ 30 ≈ 0.267 0.267 × 100 = 26.7

56 - 66 5 5 + 8 = 13 5 ÷ 30 ≈ 0.167 13 ÷ 30 ≈ 0.433 0.433 × 100 = 43.3

67 - 77 9 9 + 13 = 22 9 ÷ 30 = 0.300 22 ÷ 30 ≈ 0.733 0.733 × 100 = 73.3

78 - 88 5 5 + 22 = 27 5 ÷ 30 = 0.167 27 ÷ 30 = 0.900 0.900 × 100 = 90.0

89 - 99 3 3 + 27 = 30 3 ÷ 30 = 0.100 30 ÷ 30 = 1.000 1.000 × 100 = 100.0

รวม 30 1.000

ความถสะสม คอ ผลรวมของความถของคานนหรอของอนตรภาคชนกบความถของคา

หรอของอนตรภาคชนทมชวงคะแนนตากวาทงหมด

ความถสมพทธ คอ อตราสวนระหวางความถของคานนหรอของอนตรภาคชนนนกบ

ผลรวมของความถทงหมด อาจอยในรปเศษสวน หรอทศนยม วตถประสงคในการสรางเพอหาวา

ความถของแตละคาทเปนไปไดหรอของแตละอนตรภาคชนมจานวนมากนอยเพยงใดเมอเทยบกบ

ความถทงหมด

ความถสะสมสมพทธ คอ อตราสวนระหวางความถสะสมของคานนหรอของอนตรภาคชนนน

กบผลรวมของความถทงหมด อาจแสดงในรปเศษสวน หรอทศนยม เพอหาวาแตละคาทเปนไปได

หรอแตละอนตรภาคชนทมความถสะสมเปนจานวนมากนอยเพยงใดเมอเทยบกบความถทงหมด

รอยละของความถสะสมสมพทธ คอ คาทไดจากการนาความถสะสมสมพทธคณดวย 100

ซงเปนการแสดงความถสะสมสมพทธในรปรอยละ



1. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง และตอบคาถามตอไปน

ขอมล ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน

นอยกวา 450 11

450 - 469 23

470 - 489 14

490 - 529 15

ตงแต 530 ขนไป 10

1) ความกวางของอนตรภาคชนท 3 เทากบ …………………………………………………


3) ผลตางระหวางจดกงกลางชนของชนท 2 และ 3 เทากบ …………………………………………………

4) อนตรภาคชนใดมความถสงทสด …………………………………………………

5) ขอมลในชวงใดทมความถนอยทสด …………………………………………………

6) อนตรภาคชนใดไมมจดกงกลางชน …………………………………………………

2. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง และตอบคาถามตอไปน

ขอมล ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน

0 ≤ x < 15 2

15 ≤ x < 30 15

30 ≤ x < 45 16

45 ≤ x < 60 2

60 ≤ x < 75 3



3) จากตารางขอมลขางตนมจานวนขอมลทงหมด เทากบ …………………………………………………

4) คาสงเกต 45.5 อยในอนตรภาคชนใด …………………………………………………

5) คาสงเกต 60.0 อยในอนตรภาคชนใด …………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถสรางตารางแจกแจงความถของขอมลได

1.2 A


-

449.5

469.5

489.5

529.5

-0.5

14.5

29.5

44.5

59.5

489.5 - 469.5 = 20

529.5 - 489.5 = 40

479.5 - 459.5 = 20

อนตรภาคชนท 2

ตงแต 530 ขนไป

อนตรภาคชนท 1 และ 5

29.5 - 14.5 = 15

59.5 - 44.5 = 15

2 + 15 + 16 + 2 + 3 = 38



449.5

469.5

489.5

529.5

-

14.5

29.5

44.5

59.5

74.5

-

459.5

479.5

509.5

-

7

22.5

37.5

52.5

57


3. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง

ขอมล ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน ความกวางของอนตรภาคชน

2.0 - 3.9 3

4.0 - 5.9 4

6.0 - 8.5 6

8.6 - 9.2 12

9.3 - 9.9 5

4. เตมขอมลลงในตารางแจกแจงความถใหถกตอง

ขอมล ความถความถสะสม


ความถสะสมสมพทธรอยละความถสะสมสมพทธ

41 - 45 5

46 - 50 2

51 - 55 14

56 - 60 10

61 - 70 9

รวม

5. จากตารางการสารวจอายของคนในหมบานแหงหนง ใหนกเรยนเตมขอมลลงในตารางแจกแจง

ความถใหถกตอง

อาย (ป) ความถ (คน) ความถสมพทธ

0 - 10 10

11 - 20 25

21 - 30 35

31 - 40

41 - 50 40

51 - 60 20 0.100

61 - 70 15

71 - 80 3

91 - 90 2

รวม


3.95

5.95

8.55

9.25

9.95

1.95

3.95

5.95

8.55

9.25

กาหนดใหจานวนคนในหมบานม x คน

จะได 20x = 0.10

x = 200 คน

2.95

4.95

7.25

8.90

9.60

5

5 + 2 = 7

7 + 14 = 21

21 + 10 = 31

31 + 9 = 40

40

5 ÷ 40 = 0.125

2 ÷ 40 = 0.050

14 ÷ 40 = 0.350

10 ÷ 40 = 0.250

9 ÷ 40 = 0.225

1.000

0.125

0.125 + 0.050 = 0.175

0.175 + 0.350 = 0.525

0.525 + 0.250 = 0.775

0.775 + 0.225 = 1.000

0.125 × 100 = 12.5

0.175 × 100 = 17.5

0.525 × 100 = 52.5

0.775 × 100 = 77.5

1.000 × 100 = 100

0.050

0.125

0.175

0.250

0.200

0.075

0.015

0.010

1.000

50

200

2.0

2.0

2.6

0.7

0.7


6. ขอมล จดกงกลางชน ความถ

a - b 12.5 4

c - d 16.5 5

e - f 20.5 2

g - h 24.5 9

จากตารางทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน

1) ชวงของขอมลในอนตรภาคท 3 และ 4 คอ ……………………………………………………..

2) คาสงเกตคาหนงคอ 15 คาสงเกตนจะอยในอนตรภาคชนใด ……………………………………………………..

3) คาของ h - a เทากบ ……………………………………………………..

7. ขอมล ความถสะสม

11 - 20 4

21 - 30 15

31 - 40 27

41 - 50 30

จากตารางทกาหนดให ตอบคาถามตอไปน

1) อนตรภาคชนใดมความถมากทสด ……………………………………………………..

2) ความถสมพทธของขอมล 31 - 40 เทากบ ……………………………………………………..

3) ความถสะสมสมพทธของขอมล 21 - 30 เทากบ ……………………………………………………..

8. ในการสารวจจานวนลกหมทแตละครอบครวเลยงไวในหมบานแหงหนงเปนดงน

จานวนลกหม (ตว) จานวนครอบครว

14 ตวหรอนอยกวา 50






จากตารางทกาหนดให ครอบครวทเลยงหมตงแต 4 ถง 11 ตว คดเปนกเปอรเซนตของจานวน

ครอบครวทงหมด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….


19 - 22 และ 23 - 26


26 - 11 = 15


0.4

0.5

8 + 15 + 750

× 100 = 60%

ขอมล

11 - 14

15 - 18

19 - 22

23 - 26

ความถ

4

15 - 4 = 11

27 - 15 = 12

30 - 27 = 3

ความถ จานวนลกหม

12 - 14 50 - 45 = 5

9 - 11 45 - 37 = 8

6 - 8 37 - 22 = 15

4 - 5 22 - 15 = 7

2 - 3 15 - 5 = 10

0 - 1 5


9. ขอมลรายไดตอวนของพนกงานโรงงานหลอเหลกแหงหนงจานวน 60 คน เปนดงน

330 306 296 314 284 336 348 302 312 316 302 296

312 308 328 322 316 318 286 298 316 290 298 332

314 308 324 318 306 328 322 330 304 314 296 290

340 330 330 336 308 296 306 284 334 324 302 344

280 314 326 336 294 300 302 314 306 334 328 294

1) สรางตารางแจกแจงความถ ความถสะสม ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ และ

รอยละความถสะสมสมพทธ ของขอมลรายไดตอวนของพนกงานโรงงานหลอเหลกแหงน

โดยกาหนดใหจานวนอนตรภาคชนของขอมลเทากบ 7 อนตรภาคชน

2) ขอมลในชวงใดทมความถสงสด

3) หารอยละของพนกงานทไดคาแรงระหวาง 320 - 329 บาท

4) หารอยละของพนกงานทไดคาแรงตงแต 300 บาทขนไป

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


1) สรางตารางแจกแจงความถ ไดดงน

หาความกวางของอนตรภาคชนจาก พสยจานวนอนตรภาคชน

= 687

= 9.71 ≈ 10

2) ขอมลทมความถสงสด คอ อนตรภาคชนท 4 รายได 300 - 309 บาท

3) รอยละของพนกงานทไดคาแรงระหวาง 320 - 329 บาท คอ 0.133 × 100 = 13.3%

4) รอยละของพนกงานทไดคาแรงตงแต 300 บาทขนไป คอ 100.1 - 23.4 = 76.6%

รายได (บาท) รอยขด ความถ ความถสะสมความถสมพทธ

ความถสะสมสมพทธ

รอยละความถสะสมสมพทธ

280 - 289 4 4 0.067 0.067 6.7

290 - 299 10 14 0.167 0.234 23.4

300 - 309 13 27 0.217 0.451 45.1

310 - 319 12 39 0.200 0.651 65.1

320 - 329 8 47 0.133 0.784 78.4

330 - 339 10 57 0.167 0.951 95.1

340 - 349 3 60 0.050 1.001 100.1

รวม 60 1.001


10. ขอมลแสดงนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนง

เปนดงน

43.4 63.7 47.8 56.8 71.0 63.2 57.8 53.7 58.9 61.1

77.3 82.4 49.9 51.2 63.4 65.2 77.3 55.6 48.7 59.0

65.1 64.4 76.3 45.5 88.5 69.8 53.6 69.2 84.6 78.9

57.2 72.6 57.3 63.2 67.2 80.2 41.9 74.6 66.8 82.6

43.6 81.0 62.4 59.2 53.7 68.9 81.7 74.2 70.3 56.5

1) สรางตารางแจกแจงความถ ความถสะสม ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ และ

รอยละความถสะสมสมพทธของขอมลแสดงนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนชนมธยม-

ศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงน โดยใหอนตรภาคชนแรกเปน 40.0 - 47.9

2) ขอมลในชวงใดทมความถสงสด

3) หาอตราสวนของนกเรยนทมนาหนกนอยกวา 80 กโลกรมตอจานวนนกเรยนทงหมด

4) หารอยละของนกเรยนทมนาหนก 56.0 - 79.9 กโลกรม

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


1) สรางตารางแจกแจงความถ ไดดงน

หาความกวางของอนตรภาคชนจาก ขอบบน - ขอบลาง = 47.95 - 39.95 = 8

2) ขอมลในอนตรภาคชนท 3 ทมนาหนก 56.0 - 63.9 กโลกรม มความถสงสด

3) อตราสวนของนกเรยนทมนาหนกนอยกวา 80 กโลกรมตอจานวนนกเรยนทงหมดเทากบ

43 : 50

4) รอยละของนกเรยนทหนก 56.0 - 79.9 กโลกรม เทากบ 86 - 24 = 62

นาหนก (กโลกรม)

รอยขด ความถ ความถสะสมความถสมพทธ


รอยละความถสะสมสมพทธ

40.0 - 47.9 5 5 0.10 0.10 10

48.0 - 55.9 7 12 0.14 0.24 24

56.0 - 63.9 14 26 0.28 0.52 52

64.0 - 71.9 10 36 0.20 0.72 72

72.0 - 79.9 7 43 0.14 0.86 86

80.0 - 87.9 6 49 0.12 0.98 98

88.0 - 95.9 1 50 0.02 1.00 100

รวม 50 1.00


การแจกแจงความถแบบใชกราฟ การใชกราฟแสดงการแจกแจงความถของขอมล สามารถทาใหเหนการกระจายของ

ขอมลไดชดเจนกวาการดจากตารางแจกแจงความถ

จากตวอยางขอมลคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ม.6 จานวน 30 คน

คะแนนสอบ ความถ ขอบลาง ขอบบนจดกงกลาง

ของอนตรภาคชนความถสะสม



34 - 44 1 33.5 44.5 39.0 1 0.033 0.033

45 - 55 7 44.5 55.5 50.0 8 0.233 0.266

56 - 66 5 55.5 66.5 61.0 13 0.167 0.433

67 - 77 9 66.5 77.5 72.0 22 0.300 0.733

78 - 88 5 77.5 88.5 83.0 27 0.167 0.900

89 - 99 3 88.5 99.5 94.0 30 0.100 1.000

รวม 30

ฮสโทแกรม หรอรปสเหลยมผนผาของความถ

เปนการแสดงความถโดยใชพนทสเหลยมผนผา

คลายกบการนาเสนอขอมลแบบกราฟแทง โดย

ทแตละแทงจะตดกน เพราะใชขอบเขตลางและ

ขอบเขตบนของขอมลแตละชน

รปหลายเหลยมของความถ เปนการแสดง

ความถซงสรางตอจากการทาฮสโทแกรมโดย

การแบงกงกลางทยอดของแตละแทงแลวลาก

เสนเชอมของจดแบง จะไดรปหลายเหลยมของ

ความถ

โคงของความถ เปนโคงทเกดจากการปรบเสน

ของรปหลายเหลยมของความถใหเรยบขน โดย

การปรบจะตองใหพนทภายใตเสนโคงทปรบใหม

มขนาดใกลเคยงกบพนทของรปหลายเหลยม

ของความถ

2

4

6

33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5

8

10

ความถ (คน)

คะแนนสอบ(คะแนน)


33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5 109.5

2

4

6

8

10

คะแนนสอบ(คะแนน)

2

4

6

8

10


33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5 109.5คะแนนสอบ(คะแนน)



โคงความถสะสม เปนโคงทแสดงความถสะสมของขอมลตงแตคาตาสด โดยใชแกน Y เปนความถ

สะสม และแกน X เปนขดจากดชนทแทจรงของขอมลแตละชน ตอจากนนจงลากเสนโยงจดแตละ

จดเหลานน

แผนภาพตน - ใบ เปนการจดขอมลเปนกลมอาจใชวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและ

วเคราะหขอมลเบองตนไปพรอมๆ กน

ตวอยาง ขอมลแสดงนาหนกของนกเรยนชน ม.6 จานวน 2 หอง

หอง 145 48 55 67 61 48 58 59 50 60

72 63 69 49 56 51 69 49 59 66

หอง 252 65 58 48 48 63 58 81 55 60

65 51 57 70 61 54 44 82 47 79

จากขอมลในตารางสามารถสรางแผนภาพตน - ใบ ไดดงน

หอง 1 หอง 2

5 8 8 9 9 4 4 7 8 8

0 1 5 6 8 9 9 5 1 2 4 5 7 8 8

0 1 3 6 7 9 9 6 0 1 3 5 5

2 7 0 9

8 1 2

33.5 44.5 55.5 66.5 77.5 88.5 99.5คะแนนสอบ (คะแนน)

ความถสะสม (คน)

5

10

15

20

25

30



1. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 50 คน เปนดงน

45 28 47 39 74 64 53 72 80 34 42 55 56 73 25 58 36 65

57 59 60 57 68 64 49 50 39 38 41 53 73 56 61 62 66 57

85 47 69 50 63 62 53 29 34 52 40 49 53 66

1) สรางตารางแจกแจงความถทมความกวางของอนตรภาคชนเทากน และอนตรภาคชนแรก

เปน 20 - 29

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) สรางฮสโทแกรม รปหลายเหลยมของความถ เสนโคงของความถ และเสนโคงความถสะสม

จากตารางแจกแจงความถทได

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนมความรความเขาใจเกยวกบการแจกแจงความถเพอนามาใชในการวเคราะหขอมลเบองตน

1.2 B


คะแนนสอบ ความถ จดกงกลางชน ความถสะสม

20 - 29 3 24.5 3

30 - 39 6 34.5 9

40 - 49 8 44.5 17

50 - 59 15 54.5 32

60 - 69 12 64.5 44

70 - 79 4 74.5 48

80 - 89 2 84.5 50

19.5 29.5

คะแนนสอบ(คะแนน)19.5 29.5

4

6

8

10

12

14

16

2

39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5


20

30

40

50

10

39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5คะแนนสอบ(คะแนน)



2. ความสง (เซนตเมตร) ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนง จานวน 40 คน

ดงน

157 167 154 162 164 166 178 180 185 148

156 158 160 166 163 159 158 170 174 171

159 165 158 163 170 176 167 160 155 182

172 162 179 169 173 158 153 156 170 167

1) สรางตารางแจกแจงความถทมอนตรภาคชนแรกเปน 140 - 149

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) สรางฮสโทแกรม รปหลายเหลยมของความถ เสนโคงของความถ และเสนโคงความถสะสม

จากตารางแจกแจงความถทได

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


คะแนนสอบ ความถ จดกงกลางชน ความถสะสม

140 - 149 1 144.5 1

150 - 159 12 154.5 13

160 - 169 14 164.5 27

170 - 179 10 174.5 37

180 - 189 3 184.5 40


40

30

20

10

134.5 144.5 154.5 164.5 174.5 184.5คะแนนสอบ (คะแนน)

คะแนนสอบ (คะแนน)


20

15

10

5

129.5 139.5 149.5 159.5 169.5 179.5 189.5 199.5


3. ขอมลระดบไขมนในเลอด (มลลกรมตอเดซลตร) ของผทเขารบการตรวจสขภาพจานวน 30 คน

เปนดงน

156 142 178 203 212 167 174 195 193 169

179 180 168 189 138 166 158 182 146 183

191 213 184 159 215 178 145 160 188 163

1) สรางแผนภมตน - ใบ แทนขอมลขางตน

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ผทเขารบการตรวจสขภาพสวนใหญมระดบไขมนในเลอดเทาไร

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ถาระดบไขมนในเลอดของคนปกตอยระหวาง 140 - 200 มก./ดล. ในกลมผทเขารบการ

ตรวจสขภาพนมกเปอรเซนตทระดบไขมนในเลอดผดปกต

........................................................................................................................................................................................................................................

4. แผนภาพตน - ใบ แสดงนาหนกของมะมวง (กรม) ทวางขายในแผงผลไมซงสมหยบ เปนดงน

1) มะมวงทงหมดทถกสมมาชงมทงหมดกผล

............................................................................................................................

2) มะมวงทงหมดทถกสมมาชงสวนใหญมนาหนก

เทาไร

............................................................................................................................

3) ในจานวนมะมวงทถกสมมาชงมกเปอรเซนต

ทหนกกวา 370 กรม

............................................................................................................................

4) มะมวงทงหมดทถกสมมาชงมนาหนกรวมกน

ทงหมดกกโลกรม

............................................................................................................................

32 3 8 9

33 2 3 7 9

34 3 3 3 6 8

35 5 8 9

36 2 6 6 8 9 9

37 0 1 2 4 6 7 8

38 2 3 7 8

39 1 3 4

40 0 2 5


13 8

14 2 5 6

15 6 8 9

16 0 3 6 7 8 9

17 4 8 8 9

18 0 2 3 4 8 9

19 1 3 5

20 3

21 2 3 5

160 - 189 มลลกรมตอเดซลตร

ผทเขารบการตรวจสขภาพมระดบไขมนในเลอดผดปกต จานวน 5 คน คดเปน 16.67%

38 ผล

370 - 378 กรม

ประมาณ 42.11%

13.859 กโลกรม


5. นกเรยนหองหนงมผลการสอบวชาท 1 และวชาท 2 ซงแตละวชามคะแนนเตม 100 คะแนน

เปนดงน

วชาท 130 34 45 83 100 75 72 73 90 81

74 56 69 93 76 87 65 72 70 94

วชาท 269 99 87 60 94 63 45 55 57 75

83 80 63 65 43 46 79 65 76 98

1) สรางแผนภาพตน - ใบ เพอแสดงคะแนนสอบของทงสองวชาน ใหใชเลขโดดจากหลกสบ

ของคะแนนแตละวชาสรางเปนลาตนรวมกน

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 1 อยในชวงใด

........................................................................................................................................................................................................................................

3) นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 2 อยในชวงใด

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 1 เทากบเทาใด

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 2 เทากบเทาใด

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 1 อยในชวง 70 - 76 คะแนน

นกเรยนสวนใหญไดคะแนนวชาท 2 อยในชวง 60 - 69 คะแนน

ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 1 เทากบ 100 - 30 = 70 คะแนน

ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดและคะแนนตาสดของวชาท 2 เทากบ 99 - 43 = 56 คะแนน

วชาท 1 วชาท 2

0, 4 3

5 4 3, 5, 6

6 5 5, 7

5, 9 6 0, 3, 3, 5, 5, 9

0, 2, 2, 3, 4, 5, 6 7 5, 6, 9

1, 3, 7 8 0, 3, 7

0, 3, 4 9 4, 8, 9

0 10



แนวคด เตมตวเลขลงในตารางใหสมบรณ โดยเรมจากอนตรภาคชนท 4

จากความสมพนธ ความถสมพทธ = ความถ

จานวนขอมลทงหมด

แนวคด ขอ 1. ผด เพราะนกเรยนทไดคะแนน 40 - 49 คะแนน เทากบ 1020

× 100 = 50%

ขอ 2. ผด เพราะนกเรยนสวนใหญไดคะแนน 40 - 49 คะแนน

ขอ 3. ถก

ขอ 4. ผด เพราะไมสามารถสรปไดวานกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนนมกคน

ความถ 1 10 7 2

กาหนดให N แทนจานวนขอมล

ทงหมด

จะได 6N = 0.3

N = 20

Test for U1. ขอมลชดหนงมบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ

2 - 6 7 7 0.35

7 - 11 4 11 0.2

12 - 16 3 14 0.15

17 - 21 6 20 0.3

ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด

1. 2 - 6 2. 7 - 11 3. 12 - 16 4. 17 - 21

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. กาหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน

ชวงคะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69

ความถสะสม 1 11 18 20

ขอสรปในขอความตอไปนถกตอง

1. นกเรยนทไดคะแนน 40 - 49 คะแนน มจานวน 22%

2. นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60 - 69 คะแนน

3. นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวานกเรยนทไดคะแนน 40 - 49

คะแนน

4. นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจานวนมากกวานกเรยนทไดคะแนนมากกวา

50 คะแนน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1 2

3 นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวานกเรยนทไดคะแนน 40


1. 3 ¡ÒÃÇÑ ¤‹Ò¡ÅÒ§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ Central Value

คากลางของขอมลเปนคาสถตหรอคาพารามเตอรทไดจากการวเคราะหขอมลชดหนง

แลวนาผลทไดมาสรปและตความหมายของขอมล ใชเปนตวแทนของขอมลทงหมดเพอความ

สะดวกในการสรปเรองราวเกยวกบขอมลนนๆ คากลางทเปนตวแทนของขอมลทนยมใชมอย 3 คา

ไดแก คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

สญลกษณแทนการบวก ใชสญลกษณ “Σ” แทนการบวก เชน

1) Σ xi = x1 + x2 + … + xN

2) Σ xi2 = x1

2 + x22 + … + xN

2

3) Σ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fN xN

สมบตของสญลกษณการบวก

กาหนดให c เปนคาคงท

1) Σ c = cN

2) Σ cxi = cΣ xi

3) Σ (xi ± yi) = Σ xi ± Σ yi

N

i=1N

i=1N

i=1

N

i=1N

i=1

N

i=1N

i=1

N

i=1

N

i=1

1. เขยนผลบวกของพจนตอไปนในรปของ Σ

1) 3x13 + 3x2

3 + 3x33 + … + 3x3

99 = ………………………………………………………………………………………………

2) (x1 - y1)2 + (x2 - y2)

2 + (x3 - y3)2 + … + (xn - yn)

2 = ……………………………………………………

3) f1x12 + f2x2

2 + f3x32 + f4x4

2 + … + fmxm2 = ………………………………………………………………………………

2. กาหนดให x1, x2, x3, x4 และ x5 มคาเทากบ 1, 3, 4, 8 และ 11 ตามลาดบ และ f1, f2, f3,

f4 และ f5 มคาเทากบ 2, 4, 3, 5 และ 7 ตามลาดบ หาคาในแตละขอตอไปน

1) Σ xi = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) Σ fi = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5

i=15

i=1

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถใชเครองหมายซกมาแทนการบวกและใชสมบตของซกมาแทนการบวกได

1.3 A


Σ 3xi3

Σ (xi - yi)2

Σ fixi2

99

i=1n

i=1m

i=1

1 + 3 + 4 + 8 + 11 = 27

2 + 4 + 3 + 5 + 7 = 21


3) Σ fi xi = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) Σ (xi + 5) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) Σ (xi - 11) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6) Σ (fixi - 1) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) Σ xi2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8) Σ (xi - 4)2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) Σ (xi + 1)2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10) Σ (fi + 2)(xi - 6) = ………………………………………………………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. กาหนดให Σ xi = 20, Σ xi2 = 110 และ Σ xi

3 = 235 หาคาในแตละขอตอไปน

1) Σ (-3xi ) = ……………………………………………………………………………………………………………………..

2) Σ (2xi2 + 4xi + 5) = ……………………………………………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………………………………………..

3) Σ (xi3 - xi

2 - 3xi + 17) = ……………………………………………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………………………………………..

4. กาหนดให Σ xi = 25, Σ (xi - 5)2 = 145 หาคาของ Σ xi

2

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

5. กาหนดให Σ xi = 10, Σ yi = 30 และ Σ xiyi = 65 หาคาของ Σ (xi + 3)(yi - 2) วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

5

i=15

i=15

i=15

i=15

i=15

i=15

i=15

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=110

i=110

i=1

10

i=1

12

i=1

12

i=1

12

i=1

40

i=1

40

i=1

40

i=1

40

i=1


2(1) + 4(3) + 3(4) + 5(8) + 7(11) = 143

Σ xi + Σ 5 = 27 + 5(5) = 52

Σ xi - Σ11 = 27 - 11(5) = -28

Σ fixi - Σ1 = 143 - 1(5) = 138

12 + 32 + 42 + 82 + 112 = 211

Σ (xi2 - 8xi + 16) = Σ xi

2 - 8Σ xi + Σ16 = 211 - 8(27) + 16(5) = 75

Σ (xi2 + 2xi + 1) = Σ xi

2 + 2Σ xi + Σ1 = 211 + 2(27) + 1(5) = 270

5

i=1

5

i=15

i=1

5

i=15

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=15

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=1

Σ (fixi + 2xi - 6fi - 12) = Σ fixi + 2Σ xi - 6Σ fi - Σ12

143 + 2(27) - 6(21) - 12(5) = 11

5

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=1

-3Σ xi = -3(20) = -60

2Σ xi2 + 4Σ xi + Σ 5

2(110) + 4(20) + 5(10) = 350

Σ xi3 - Σ xi

2 - 3Σ xi + Σ 17

235 - 110 - 3(20) + 17(10) = 235

10

i=110

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=1

จาก Σ (xi - 5)2 = Σ (xi

2 - 10xi + 25)

145 = Σ xi2 - 10Σ xi + Σ 25

145 = Σ xi2 - 10(25) + 25(12)

Σ xi2 = 95

12

i=1

12

i=112

i=1

12

i=1

12

i=112

i=112

i=1

จาก Σ (xi + 3)(yi - 2) = Σ (xiyi - 2xi + 3yi - 6)

= Σ xiyi - 2Σ xi + 3Σ yi - Σ 6

= 65 - 2(10) + 3(30) - 6(40)

= -105

40

i=1

40

i=140

i=1

40

i=1

40

i=1

40

i=1


คาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขคณต คอ คาของผลรวมของคาสงเกตของขอมลทงหมด หารดวยจานวน

ของขอมลทงหมด คาเฉลยเลขคณตเหมาะทจะนามาเปนคากลางของขอมลเมอขอมลนนไมม

คาใดคาหนงสงหรอตาผดปกต

การหาคาเฉลยเลขคณตกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ

คาเฉลยเลขคณตของประชากร (μ)

μ = Σ xi

N

i=1

N

เมอ xi แทน ขอมลตวท i

N แทน จานวนขอมลทงหมด

คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง (X )

X = Σ xi

n

i=1n

เมอ xi แทน ขอมลตวท i

n แทน ขนาดของตวอยาง

1. เตมคาตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

ขอท ขอมลจานวนขอมล

ผลบวกของขอมลทงหมด

คาเฉลยเลขคณต

1 1, 3, 5, 7, 9, 11 6 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 366 = 6

2 2, 4, 6, 8 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 204 = 5

3 5, 10, 15, 20 4

4 11, 13, 15, 17, 19 5

5 150, 152, 154, 156, 158, 160 6

6 0.5, 0.7, 0.9, 0.11, 0.13, 0.15 6

7 22, 24, 26, 28, 30, 32 6

8 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 8

9 3, 7, 11, 15, 19 5

10 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 7

จดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมไดแจกแจงความถได

Exercise 1.3 B


50

75

930

2.49

162

184

55

280

12.5

15

155

0.42

27

23

11

40


2. การแขงขนบาสเกตบอลของทมนกกฬาโรงเรยนแหงหนง จานวน 8 ครง คะแนนททาได มดงน

58, 70, 63, 59, 66, 52, 71 และ 69 คาเฉลยเลขคณตของคะแนนทนกบาสเกตบอลทมน

ทาไดในการแขงขนเทากบเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

3. ขอมลชดหนงม 6 จานวน คอ 35, 64, 72, 45, 69, x, 114 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมล

ชดนเทากบ 68 แลว x มคาเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

4. คาเฉลยเลขคณตของอายของนกศกษากลมหนงเปน 20 ป ถานกศกษาคหนงเปนพนองกน

ซงมอายหางกน 3 ป สวนนกศกษาทเหลออาย 18, 20, 23, 17 และ 19 ป อายของ

พนองคนนเทากบเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

5. ขอมลชดหนงม 5 จานวน กอยลอกขอมลชดนเปนดงน 30, 13, 32, 15 และ 43 ปรากฏวา

กอยลอกขอมลจานวนสดทายผดไป ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทถกตอง คอ 26 อยาก

ทราบวากอยลอกขอมลผดไปเทาใด และจานวนนนเปนเทาไร

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


คาเฉลยเลขคณต = 58 + 70 + 63 + 59 + 66 + 52 + 71 + 698

= 5088 = 63.5

ดงนน คะแนนเฉลยในการแขงขนททมนกบาสเกตบอลทาได เทากบ 63.5

คาเฉลยเลขคณต = 35 + 64 + 72 + 45 + 69 + x + 1146

68 = 399 + x6

408 = 399 + x

x = 9

คาเฉลยเลขคณต = 18 + 20 + 23 + 17 + 19 + x + (x + 3)7

20 = 100 + 2x7

140 = 100 + 2x

x = 20

ดงนน อายของพนองคนน คอ 20 ป และ 23 ป

คาเฉลยเลขคณต = 30 + 13 + 32 + 15 + (43 + x)5

26 = 133 + x5

130 = 133 + x

x = -3

ดงนน กอยลอกขอมลผดไป 3 แตม จานวนนน คอ 43 + (-3) = 40


6. ขอมลชดหนงม 10 จานวน หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนไดเทากบ 2 ตอมาปรากฏวา

ผคานวณอานขอมลผดไป 2 จานวน คอ 0.2 และ 0.4 แตเขาอานเปน 2 และ 4 ตามลาดบ

อยากทราบวาคาเฉลยเลขคณตทถกตองเทากบเทาไร

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

7. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 หองหนงม 45 คน คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของนกเรยน

หองน คอ 54 กโลกรม ตอมามนกเรยนยายเขามาใหม 1 คน มนาหนก 62 กโลกรม

คาเฉลยเลขคณตใหมของนาหนกของนกเรยนหองนเทากบเทาใด ถานกเรยนคนอนๆ มนาหนก

เทาเดม

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

8. กาหนดขอมล x1, x2, …, xn ถา Σ xi2 = 16 และ Σ (xi + 5)

2 = 311 แลวคาเฉลยเลขคณต

ของขอมลชดนเทากบเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

9

i=1

9

i=1


จะได X ผด =

Σ xผด

10

10

i=1

2 = Σ xผด

10

10

i=1

Σ xผด = 20

Σ xถก = 20 - 2 - 4 + 0.2 + 0.4 = 14.6

ดงนน X ถก =

Σ xถก

10

10

i=1 = 14.610 = 1.46

10

i=110

i=1

จะได X เกา =

Σ xเกาnเกา

45

i=1

54 = Σ xเกา

45

45

i=1

Σ xเกา = 2,430

Σ xใหม = 2,430 + 62 = 2,492

ดงนน X ใหม =

Σ xใหมnใหม

46

i=1 = 249246 = 54.17 กโลกรม

45

i=146

i=1

จาก Σ (xi - 5)2 = Σ (xi

2 + 10xi + 25)

311 = Σ xi2 + 10Σ xi + Σ 25

= 16 + 10Σ xi + 25(9)

Σ xi = 7

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน = Σ xin

9

i=1 = 79 = 0.78

9

i=1

9

i=19

i=1

9

i=1

9

i=19

i=19

i=1


คาเฉลยเลขคณตแบบถวงนาหนก คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก ใชในกรณทขอมลมความสาคญไมเทากน เชน การหา

ผลการเรยนเฉลย เนองจากแตละวชาอาจมจานวนหนวยกตไมเทากนจงจาเปนตองถวงนาหนก

ถาให w1, w2, w3, …, wk เปนความสาคญหรอนาหนกของคาจากการสงเกต x1, x2, x3,

…, xk ตามลาดบ แลว

คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกของประชากร (μ)

μ = w1μ1 + w2μ2 + … + wkμk

w1 + w2 + … + wk

= Σ wi μi

k

i=1

Σ wi

k

i=1

คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกของตวอยาง (X)

X = w1X

1 + w2X2 + … + wkXk

w1 + w2 + … + wk

= Σ wiXi

k

i=1

Σ wi

k

i=1

1. อรทยมผลการเรยนในภาคเรยนท 1 ดงน

วชา จานวนหนวยกต (wi) ผลการเรยน (xi)

คณตศาสตรพนฐาน 1.0 4.0

คณตศาสตรเพมเตม 1.5 3.5

วทยาศาสตรกายภาพ 1.0 3.0

ภาษาไทย 2.5 3.5

ภาษาองกฤษ 2.0 2.5

ประวตศาสตร 1.0 4.0

ระดบผลการเรยนเฉลยของอรทยเทากบเทาใด

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกได

1.3 Cฉบบเฉลย

จากสตร μ = Σ wixi

Σwi

6

i=16

i=1

จะได = 1.0(4.0) + 1.5(3.5) + 1.0(3.0) + … + 1.0(4.0)1.0 + 1.5 + 1.0 + … + 1.0 = 309 = 3.33

ดงนน ระดบคะแนนเฉลยของอรทยเทากบ 3.33

wixi

4.00

5.25

3.00

8.75

5.00

4.00


2. ในการสอบวชาคณตศาสตร 3 ครง กาหนดใหนาหนกในการสอบเปน 25%, 35% และ 40%

ตามลาดบ นกเรยนคนหนงสอบวชานไดแตละครงเปน 49, 72 และ 84 คะแนน ตามลาดบ

คาเฉลยในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนคนนเทากบเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

3. ในการสอบวชาภาษาองกฤษของนายสมศกด ซงมการสอบ 4 ครง เปนการสอบยอย 3 ครง

และสอบปลายปอก 1 ครง ปรากฏวาคะแนนทนายสมศกดสอบไดสาหรบการสอบยอย 3 ครง

เปน 65, 72 และ 80 ตามลาดบ อาจารยผสอนเกบคะแนนสอบยอยครงละ 20% และสอบ

ปลายป 40% ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของการสอบทง 4 ครง

ของนายสมศกด คอ 73 คะแนน แลวนายสมศกดสอบปลายปไดเทาไร

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................



Σwi

3

i=13

i=1

จะได = 25(49) + 35(72) + 40(84)25 + 35 + 40

= 7105100

= 71.05

ดงนน คาเฉลยในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนคนนเทากบ 71.05 คะแนน

ให x แทนคะแนนสอบปลายปของสมศกด


Σwi

4

i=14

i=1

73 = 20(65) + 20(72) + 20(80) + 40(x)20 + 20 + 20 + 40

2,960 = 40x

x = 74 คะแนน

ดงนน นายสมศกดสอบปลายปได 74 คะแนน


คาเฉลยเลขคณตรวม ในการวเคราะหขอมลหลายๆ ชดทหาคาเฉลยไวแลว หากตองการหาคาเฉลยเลขคณต

ของขอมลทงหมดโดยนบรวมเปนชดเดยว ตองใชการคานวณโดยคาเฉลยเลขคณตรวม

คาเฉลยเลขคณตรวมของประชากร (μรวม)

μรวม = μ1N1 + μ1N2 + … + μ1Nk

N1 + N2 + … + Nk

= Σ μiNi

k

i=1

Σ Ni

k

i=1

เมอ μi แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร

กลมท i

Ni แทนขนาดของประชากรในกลมท i

i = 1, 2, …, k

คาเฉลยเลขคณตรวมของตวอยาง (Xรวม)

X รวม =

X 1n1 + X

2n2 + … + X

knkn1 + n2 + … + nk

= Σ Xini

k

i=1

Σ ni

k

i=1

เมอ Xi แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง

กลมท i

ni แทนขนาดของตวอยางกลมท i

i = 1, 2, …, k

1. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนงมทงหมด 5 หอง ซงแตละหองมจานวน

นกเรยนและคะแนนเฉลยวชาคณตศาสตรพนฐาน ดงน

วชา หอง 1 หอง 2 หอง 3 หอง 4 หอง 5

จานวนนกเรยน (คน) 45 47 50 53 49

คะแนนเฉลย 94 73 84 92 80

คาเฉลยรวมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 เทากบเทาไร

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตรวมได

1.3 D ฉบบเฉลย

จากสตร μรวม = μ

1N1 + μ2N2 + μ3N3 + μ4N4 + μ5N5N1 + N2 + N3 + N4 + N5

= 94(45) + 73(47) + 84(50) + 92(53) + 80(49)45 + 47 + 50 + 53 + 49

= 20657244

= 84.66 คะแนน

ดงนน คาเฉลยรวมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 เทากบ

84.66 คะแนน


2. ในการแขงขนไตรกฬารายการหนงมผเขารวมการแขงขนทงหมด 130 คน เปนหญง 55 คน

เปนชาย 75 คน โดยอายเฉลยของผเขารวมแขงขนทงหมดเทากบ 37.5 ป ซงนอยกวาอายเฉลย

ของผเขารวมแขงขนทเปนชาย 2.5 ป แลวอายเฉลยของผเขารวมแขงขนทเปนหญงเทากบ

เทาไร

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

3. ในการทดสอบความสามารถทางเทคโนโลยของนกศกษา 3 กลม ปรากฏผลดงน นกศกษา

กลมท 1 จานวน 20 คน มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 17.8 คะแนน นกศกษา

กลมท 2 จานวน 24 คน มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 19.2 คะแนน นกศกษา

กลมท 3 มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 16.7 คะแนน และคานวณคาเฉลยเลขคณต

รวมได 17.2 คะแนน นกศกษากลมท 3 มจานวนเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................



ชNช + μญNญ

Nช + Nญ

37.5 = (37.5 + 2.5)(75) + μ

ญ(55)

130

1875 = 55 μญ

μญ = 34.09 ป

ดงนน อายเฉลยของผเขารวมแขงขนทเปนหญงเทากบ 34.09 ป


1N1 + μ2N2 + μ3N3

N1 + N2 + N3

17.2 = 17.8(20) + 19.2(24) + 16.7N3

20 + 24 + N3

17.2(44 + N3) = 356 + 460.8 + 16.7N3

756.8 + 17.2N3 = 816.8 + 16.7N3

0.5N3 = 60

N3 = 120

ดงนน จานวนนกศกษากลมท 3 เทากบ 120 คน


4. คาเฉลยเลขคณตของเงนเดอนของบรษทแหงหนงเทากบ 15,500 บาท เงนเดอนเฉลยของ

พนกงานชายและหญงเทากบ 16,700 บาท และ 14,800 บาท ตามลาดบ อตราสวนของ

จานวนพนกงานชายตอจานวนพนกงานหญงเทากบเทาไร

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

5. จากการสารวจรายจายตอวนของนกเรยนชาย 40 คน และนกเรยนหญง 50 คน รายจาย

ทงหมดตอวนคอ 12,380 บาท ถารายจายเฉลยตอวนของนกเรยนชายมากกวารายจาย

เฉลยตอวนของนกเรยนหญง 22.5 บาท รายจายเฉลยตอวนของนกเรยนชายเทากบเทาไร

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................



ชNช + μญNญ

Nช + Nญ

15500 = 16700Nช + 14800Nญ

Nช + Nญ

15500Nช + 15500Nญ = 16700Nช + 14800Nญ

700Nญ = 1200Nช

NชNญ

= 712

ดงนน อตราสวนของจานวนพนกงานชายตอจานวนพนกงานหญงเทากบ 7 : 12

จากสตร μรวม =

N

i=1Σ xi (รวม)

Nรวม

= 1238040 + 50 = 137.56 บาท


ชNช + μญNญ

Nช + Nญ

137.56 = μ

ช(40) + (μ

ช - 22.5)(50)

40 + 50

μช = 150.06 บาท

ดงนน รายจายเฉลยตอวนของนกเรยนชายเทากบ 150.06 บาท


6. นกเรยนหองหนงม 140 คน และอตราสวนของจานวนนกเรยนชายตอจานวนนกเรยนหญง

เทากบ 3 : 4 ปรากฏวาคาเฉลยของนาหนกของนกเรยนชายเทากบจานวนนกเรยนชาย

และคาเฉลยของนาหนกของนกเรยนหญงเทากบจานวนนกเรยนหญงพอด คาเฉลยของนาหนก

ของนกเรยนทงหองเทากบเทาไร

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

7. จากผลสอบของนกเรยน 30 คน ในหองหนง พบวาคาเฉลยของคะแนนของนกเรยนชาย

เทากบจานวนนกเรยนชายพอด และคาเฉลยของคะแนนของนกเรยนหญงกเทากบจานวน

นกเรยนหญงพอด ถาคาเฉลยรวมทงหองเปน 46.83 คะแนน และจานวนนกเรยนชายนอยกวา

จานวนนกเรยนหญง แลวจานวนนกเรยนชายเทากบเทาใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ใหจานวนนกเรยนชายเทากบ 3x คน และจานวนนกเรยนหญงเทากบ 4x คน


ชNช + μญNญ

Nช + Nญ

จะได 3x + 4x = 140

7x = 140

x = 20

ดงนน หองนมนกเรยนชาย 3(20) = 60 คน หองนมนกเรยนหญง 4(20) = 80 คน

และ μช = 60 , μญ = 80

μรวม = 60(60) + 80(80)140

= 71.43

ดงนน คาเฉลยของนาหนกของนกเรยนทงหองเทากบ 71.43 กโลกรม

ใหจานวนนกเรยนชายเทากบ x คน และจานวนนกเรยนหญงเทากบ 30 - x คน

จากสตร Xรวม = X

ชNช + XญNญ

Nช + Nญ

46.83 = x2 + (30 - x)2

30

468 = 2x2 - 60x + 900

2x2 - 60x + 432 = 0

(2x - 36)(x - 12) = 0

x = 12, 18

เนองจากจานวนนกเรยนชายนอยกวานกเรยนหญง

ดงนน จานวนนกเรยนชายเทากบ 12 คน


การหาคาเฉลยเลขคณตกรณทขอมลแจกแจงความถ

การคานวณหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธนใชสตรทานองเดยวกบการหาคาเฉลยโดยวธ

ถวงนาหนก โดยทความสาคญของนาหนกในทนคอความถของคาจากการสงเกตแตละคา หรอ

คาทเปนตวแทนของแตละอนตรภาคชน ซงเรยกวา จดกงกลางของอนตรภาคชน

ถาให x1, x2, x3, …., xk เปนจดกงกลางของอนตรภาคชนท 1, 2, 3, …, k และ f1, f2,

f3, …, fkเปนความถของขอมลแตละอนตรภาคชนตามลาดบ แลวจะไดคาเฉลยเลขคณต คอ

คาเฉลยเลขคณตของประชากร (μ)

μ = Σ fi xi

Σ fik

i=1

k

i=1 = Σ fi xi

N

k

i=1

คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง (X)

X = Σ fi xi

Σ fik

i=1

k

i=1 = Σ fi xin

k

i=1

1. หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทกาหนดใหตอไปน

คะแนน 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

ความถ 1 2 2 4 5 7 11 12 8 5 3

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถได

1.3 D

เมอ N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร

n แทนจานวนตวอยางทงหมด

xi แทนจดกงกลางของชนท i

fi แทนความถของอนตรภาคชนท i

k แทนจานวนอนตรภาคชน


จากสตร X =

k

i=1Σ fi xi

n

= 83860

= 13.97

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลเทากบ 13.97 คะแนน

fixi 20 38 36 68 80 105 154 156 96 55 30 838

รวม

60


2. หาคา a ททาใหคาเฉลยเลขคณตของขอมลทกาหนดให มคาเทากบ 54.43

xi 40 45 50 55 60 65 รวม

fi 2 3 12 a 8 6 31 + a

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ตารางแสดงความถของอายของคนกลมหนงจานวน 70 คน คาเฉลยเลขคณตของอายของ

คนกลมนเทากบเทาใด

อาย จานวนคน

11 - 15 1

16 - 20 7

21 - 25 9

26 - 30 13

31 - 35 14

36 - 40 26

รวม 70

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


fixi 80 135 600 55a 480 390 1685 + 55a

xi fixi

13 13

18 126

23 207

28 364

33 462

38 988

2160


k

i=1Σ fi xi

n

54.43 = 1685 + 55a31 + a

1687.33 + 54.43a = 1685 + 55a

a = 4.09

ดงนน a มคาประมาณ 4


k

i=1Σ fi xi

n

= 216070

= 30.86

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของอายของคนกลมนเทากบ 30.86 ป


4. นกเรยน 40 คน สอบวชาภาษาไทยไดคะแนนดงตารางตอไปน

คะแนน จานวนนกเรยน

40 - 49 2

50 - 59 7

60 - 69 8

70 - 79 18

80 - 89 5

รวม 40

คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบเทาไร

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดหนงทกาหนดใหตอไปน

ชวงของขอมล fi1.0 - 1.4 3

1.5 - 1.9 4

2.0 - 2.4 7

2.5 - 2.9 3

3.0 - 3.4 1

3.5 - 3.9 2

รวม 20

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


xi fixi

44.5 89.0

54.5 381.5

64.5 516.0

74.5 1,341.0

84.5 422.5

2,750.0

xi fixi

1.2 3.6

1.7 6.8

2.2 15.4

2.7 8.1

3.2 3.2

3.7 7.4

44.5

จากสตร μ =

k

i=1Σ fi xi

N

= 275040

= 68.75

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 68.75 คะแนน


k

i=1Σ fi xi

n

= 44.520

= 2.225

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลเทากบ 2.225 คะแนน


การหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธทอนคาขอมลหรอวธลด การหาคาเฉลยเลขคณตกรณทขอมลแจกแจงความถแลว โดยความกวางของแตละ

อนตรภาคชนเทากน

X = A + I (Σ fidi

Σ fik

i=1

k

i=1 )

เมอ A แทน จดกงกลางของอนตรภาคชนทมความถสงสด หรอชนทอยตรงกลาง

I แทน ความกวางของอนตรภาคชน

di แทน xi - AI เมอ xi คอ จดกงกลางชนท i

ตวอยาง หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลตอไปน โดยใชวธลด

ขอมล ความถ

110 - 129 11

130 - 149 10

150 - 169 21

170 - 189 18

รวม 60

วธทา เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 159.5

ขอมล ความถ di fidi

110 - 129 11 -2 -22

130 - 149 10 -1 -10

150 - 169 21 0 0

170 - 189 18 1 18

รวม 60 -14

A = 159.5

จากสตร

X = A + I (Σ fidi

Σ fik

i=1

k

i=1 )

= 159.5 + 20 (-1460 ) = 154.83

A เปนจดกงกลางของอนตรภาคชนใดกได แตเพอความสะดวกในการคานวณจงควรเลอก

อนตรภาคชนทมความถสงสด

Note



1. นกเรยนชน ม.3 ของโรงเรยนแหงหนง มความสงตามตารางแจกแจงความถตอไปน

ความสง จานวนนกเรยน

121 - 130131 - 140141 - 150151 - 160171 - 180

111417208

รวม 70

นกเรยนกลมนมความสงเฉลยเทากบเทาไร

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. บรษทแหงหนงใหอตราเงนเดอนของพนกงานตามตารางแจกแจงความถตอไปน

เงนเดอน จานวนพนกงาน

13,000 - 14,99915,000 - 16,99917,000 - 18,99919,000 - 20,99921,000 - 22,99923,000 - 24,99925,000 - 26,999

81531211596

รวม 105

คาเฉลยเลขคณตของเงนเดอนพนกงานเทากบเทาใด

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค สามารถหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธทอนคาขอมลได

1.3 E


เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 145.5

จากสตร X = A + I (Σ fidi

Σ fi5

i=1

5

i=1 ) = 145.5 + 10 ( 070) = 145.5

เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 19,999.5


Σ fi7

i=1

7

i=1 ) = 19,999.5 + 20,000 (-34105) = 13,523.31

di fidi

-2

-1

0

1

2

-22

-14

0

20

16

0 0

di fidi

-3

-2

-1

0

1

2

3

-24

-30

-31

0

15

18

18

-34


3. ฮสโทแกรมแสดงคาใชจายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

5

10

15

20

คาใชจาย (บาท)

20 25 30 35 40 45จานวนนกเรยน (คน)

คาเฉลยเลขคณตของคาใชจายเทากบกบาทตอวน

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ขอมล ความถ

12.1 - 13.013.1 - 14.014.1 - 15.015.1 - 16.016.1 - 17.0

7141153

รวม 40

จากตารางแจกแจงความถ คาของ N(μ - A) เทากบเทาไร เมอ A เปนจดกงกลางของ

อนตรภาคชนของชนทมความถมากทสด

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


จากฮสโทแกรมจะได

xi 20 25 30 35 40 45 รวม

fi 8 14 17 20 11 4 74

di -3 -2 -1 0 1 2

fidi -24 -28 -17 0 11 8 -50

เลอกอนตรภาคชนท 3 จะได A = 35


Σ fi6

i=1

6

i=1 ) = 35 + 5 (-5074 ) = 31.62

เลอกอนตรภาคชนท 2 จะได A = 13.55

จากสตร μ = A + I (Σ fidi

Σ fi5

i=1

5

i=1 ) = 13.55 + 1 (2340) = 14.125

ดงนน N(μ - A) = 40(14.125 - 13.55) = 23

di fidi

-1

0

1

2

3

-7

0

11

10

9

23


สมบตทสาคญของคาเฉลยเลขคณต

1. คาเฉลยเลขคณตเมอนามาคณกบจานวนขอมลทงหมดจะมคาเทากบผลรวมของ

ขอมลทกๆ คา

Σ xi = Nμ และ Σ xi = nX

2. ผลรวมของผลตางระหวางขอมลแตละคากบคาเฉลยเลขคณตเทากบศนย

Σ (xi - μ) = 0 และ Σ (xi - X) = 0

3. ผลรวมของผลตางกาลงสองระหวางขอมลแตละคากบจานวนจรง M ใดๆ จะมคา

นอยทสด เมอ M เทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน

Σ (xi - M)2 นอยทสด เมอ M = μ และ

Σ (xi - M)2 นอยทสด เมอ M = X

4. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใดๆ จะตองอยระหวางคาสงเกตทนอยทสด กบคาสงเกต

ทมากทสดในขอมลชดนน

xmin < μ < xmax และ xmin < X < xmax

5. ถาตวแปร Y สมพนธกบตวแปร X ในรปฟงกชนเชงเสน นนคอ ถา yi = axi + b

เมอ i = 1, 2, 3, …, N เมอ a และ b เปนคาคงตวใดๆ แลว

μy = aμx + b และ Y = aX + b

N

i=1

n

i=1

N

i=1

n

i=1

N

i=1

n

i=1



1. ขอมลชดหนงม 18 จานวน ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 8.5 แลวผลบวกของ

ขอมลชดนเทากบเทาไร

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ตารางแสดงการกระจายของจานวน a - 12 คาเฉลยเลขคณตของขอมล a เทากบเทาไร

a - 12 ความถ

357911

4816125

รวม 45

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กาหนดขอมล (xi) ดงน 18.2, 15.7, 21.4, 23.8, 19.6 หาคาจานวนจรง a ททาให

Σ (xi - a) = 0

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5

i=1

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถนาสมบตทสาคญของคาเฉลยเลขคณตไปใชได

1.3 F


จากสมบต Σ xi = nX

จะได Σ xi = 18(8.5) = 153

ดงนน ผลบวกของขอมลชดนเทากบ 153

n

i=1n

i=1

จากสตร X = Σ fixi

Σ fi5

i=1

5

i=1 = 32745

= 7.27

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของ a - 12 เทากบ 7.27

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของ a เทากบ 7.27 + 12 = 19.27

จากสมบต Σ (xi - X) = 0

จะไดวา a = X = Σxin

n

i=1

= 18.2 + 15.7 + 21.4 + 23.8 + 19.65

= 19.74

n

i=1

fixi

12

40

112

108

55

327


4. กาหนดให Σ (xi + yi) = 112 และ Σ (xi - yi) = 74 หาคาจานวนจรง M ททาให

Σ (xi - M) = 0

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. กาหนดขอมล 10, 20, 30, 40 และ 50 หาคาของจานวนจรง a ซงทาให Σ (x - a) = 0 เมอ x แทนคาในขอมลทกาหนดให

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. กาหนดขอมล 3, 5, 7, 9, 11 และ 13 หาคาทนอยทสดของ Σ (xi - a)2 เมอ a เปนจานวนจรง

และ x แทนคาในขอมลทกาหนดให

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

19

i=1

19

i=119

i=1

5

i=1

6

i=1


จาก Σ (xi + yi) = Σ xi + Σ yi

112 = Σ xi + Σ yi ……➊จาก Σ (xi - yi) = Σ xi - Σ yi

74 = Σ xi - Σ yi ……➋➊ + ➋ จะได 186 = 2 Σ xi

Σ xi = 93

จากสมบต Σ (xi - X) = 0

จะได M = X =

19

i=1Σ x19 = 9319 = 4.89

19

i=1

19

i=1

19

i=119

i=1

19

i=119

i=1

19

i=1

19

i=119

i=1

19

i=119

i=119

i=1n

i=1

จากสมบตขอท 1 ทวา Σ (x - X) = 0แสดงวา เมอ Σ (x - a) = 0 เมอ a = X

จะได X = 10 + 20 + 30 + 40 + 505

= 1505

= 30

ดงนน a = 30

5

i=15

i=1

จากสมบตขอท 2 ทวา Σ (x - a)2 มคาทนอยทสดกตอเมอ a = X

จะได X = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 136

= 486

= 8

ดงนน คาทนอยทสดของ Σ (x - a)2 คอ = (3 - 8)2 + (5 - 8)2 + (7 - 8)2 + (9 - 8)2 + (11 - 8)2 + (13 - 8)2

= 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25

= 70

6

i=1

6

i=1


7. กาหนดขอมล X ดงน 3, 4, 6, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10, 4, 2, 7, 11, 2 และ 10 หาคาเฉลย

เลขคณตของขอมล (Y) ซงมเงอนไขดงน

(1) Y = 2X + 3 (2) Y = 34 X - 11

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. ความสมพนธระหวางกาไร (Y) และราคาทน (X) ของสนคาชนดหนงคอ Y = 7 + 0.25X

ถาราคาทนของสนคา 5 ชน เปนดงน 32, 48, 40, 56 และ 44 บาท คาเฉลยเลขคณต

ของกาไรของสนคาทง 5 ชนน เทากบเทาใด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


หา X จาก X =

n

i=1Σ xin

= 3 + 4 + 6 + … + 1016

= 9616 = 6

จากสมบต Y = aX + b

ขอ (1) จะได Y = 2X + 3

= 2(6) + 3

= 15

ขอ (2) จะได Y = 34 X - 11

= 34 (6) - 11

= -6.5

หา X ของสนคา 5 ชน จาก X =

n

i=1Σ xin

= 32 + 48 + 40 + 56 + 445

= 44


จะได Y = 0.25X + 7

= 0.25(44) + 7

= 18

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของกาไรของสนคา 5 ชนน เทากบ 18 บาท


9. จากการวเคราะหความสมพนธระหวางนาหนก (กก.; W) กบสวนสง (ซม.; H) ของคน

15 คน พบวาเปนไปตามสมการ 3W = H - 15 ถาคาเฉลยของสวนสง 6 คนแรกเปน

159 ซม. และอก 9 คนทเหลอเปน 156 ซม. คาเฉลยของนาหนกคน 15 คนน เทากบเทาใด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. ให x1, x2, x3, …, x10 เปนจานวนชดหนง ซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 10A คาเฉลยเลขคณต

ของขอมลตอไปน 3x1 + 2, 3x2 + 4, 3x3 + 6, …, 3x10 + 20 เทากบเทาใด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


จากสตร Xรวม = n1X

1 + n2X

2n1 + n2

จะได Xรวม = 6(159) + 9(156)6 + 9

= 157.2


จะได 3W = H - 15

3W = 157.2 - 15

W = 47.4

ดงนน คาเฉลยของนาหนกคน 15 คนน เทากบ 47.4 กโลกรม

จากโจทย Σ xi = 10A

พจารณา 3x1 + 2, 3x2 + 4, 3x3 + 6, …, 3x10 + 20

จะได ai = 3xi + 2i เมอ i = 1, 2, 3, …, 10

และ Σ ai = Σ (3xi + 2i)

= 3 Σ xi + 2 Σ i = 3(10A) + 2(10)(10 + 1)2

= 30A + 110

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน เทากบ 30A + 110

10

i=1

10

i=1

10

i=110

i=1

10

i=1

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Hint

Σ i = n (n + 1)2

n

i=1


มธยฐาน (Median)

มธยฐาน คอ คาทมตาแหนงอยตรงกลางของขอมล เมอนาขอมลทงหมดมาเรยงลาดบ

จากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย ซงคานจะแบงขอมลชดนนออกเปน 2 สวนเทาๆ กน

การหาคามธยฐานในกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ มขนตอนดงน

1) เรยงลาดบขอมลทงหมด จากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย

2) นบจานวนขอมลวาเปนจานวนคหรอจานวนค

- ถาจานวนขอมลเปนจานวนค

มธยฐาน คอ คาของขอมลในตาแหนงท N + 12

เมอ N แทนจานวนขอมลทงหมด

- ถาจานวนขอมลเปนจานวนค

มธยฐาน คอ (คาของขอมลในตาแหนงท n) + (คาของขอมลในตาแหนงท n + 1)2

การหาคามธยฐานในกรณทขอมลแจกแจงความถ มขนตอนดงน

1) หาความถสะสม

2) หาตาแหนงทมธยฐานอย คอ N2

3) พจารณาวาตาแหนงทมธยฐานอยตรงกบขอมลตวใด โดยใชสตร

มธยฐาน = L + I ΣfL

fm

N2 -

เมอ L แทน ขอบลางของชนทมคามธยฐานอย (เรยกชนนวา “ชนมธยฐาน”)

I แทน ความกวางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

fm แทน ความถของขอมลในชนมธยฐาน

N แทน จานวนขอมลทงหมด

ΣfL แทน ผลรวมของความถของทกอนตรภาคชนทเปนชวงคะแนนตากวา



สมบตทสาคญของมธยฐาน

ผลรวมของคาสมบรณของผลตางระหวางขอมลแตละคากบมธยฐานของขอมลชดนนจะม

คานอยทสด

Σ � xi - มธยฐาน � มคานอยทสดn

i=1

1. หามธยฐานของขอมล 2, 6, 4, 8, 12, 10, 14

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. หามธยฐานของขอมล 1, 7, 5, 11, 13, 9, 15, 17

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหามธยฐานของขอมลทกาหนดใหได

1.3 G

ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางตวทมคาสงหรอตากวาขอมลอนมากๆ จะมผล

ตอคาเฉลยเลขคณต กลาวคอ อาจทาใหคาเฉลยเลขคณตมคาสงหรอตากวาขอมลสวนใหญ

แตจะไมมผลกระทบตอมธยฐาน ดงนน กรณเชนนควรเลอกใชมธยฐาน

Note

ฉบบเฉลยเรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

∴ ตาแหนงของมธยฐาน = N + 12

= 7 + 12

= 4

∴ มธยฐาน = คาทอยในตาแหนงท 4

= 8

เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

∴ ตาแหนงของมธยฐาน = N + 12

= 8 + 12

= 4.5

∴ มธยฐาน = คาทอยในตาแหนงท 4 และตาแหนงท 5

= 9 + 112

= 10


3. เวลาทนกเรยน 10 คน ใชทาขอสอบ 100 ขอ (หนวยเปนนาท) เปนดงน

45 62 73 69 65 75 105 82 87 90

หามธยฐานของขอมลชดน

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. หามธยฐานจากขอมลตอไปน

คะแนน 10 13 15 17 19

ความถ 12 14 10 8 6

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก จะได

45 62 65 69 73 75 82 87 90 105

ตาแหนงของมธยฐาน = 10 + 12

= 5.5

มธยฐาน = คาเฉลยของคาทอยในตาแหนงท 5 และตาแหนงท 6

= 73 + 752

= 74 นาท

หาความถสะสม ไดดงตาราง

คะแนน ความถ ความถสะสม

10 12 12

13 14 26

15 10 36

17 8 44

19 6 50

ตาแหนงของมธยฐาน คอ N + 12

= 50 + 12

= 25.5

มธยฐาน = คาเฉลยของคาทอยในตาแหนงท 25 และตาแหนงท 26

= 13 + 132

= 13

ตาแหนงของมธยฐานอยในชนน�


5. หามธยฐานของขอมลในตารางตอไปน

คะแนน 93 - 97 98 - 102 103 - 107 108 - 112 113 - 117

ความถ 8 2 14 6 10

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. หามธยฐานของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ดงน

คะแนน 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

นกเรยน (คน) 3 11 5 8 3

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………




93 - 97 8 8

98 - 102 2 10

103 - 107 14 24

108 - 112 6 30

113 - 117 10 40

ตาแหนงของมธยฐาน คอ N2 = 40

2 = 20

จากสตร มธยฐาน = L + I (N2 - ΣfLfm

) = 102.5 + 5 × (20 - 1014 ) = 102.5 + 3.57 = 106.07

มตาแหนงมธยฐานในชนน�



50 - 59 3 3

60 - 69 11 14

70 - 79 5 19

80 - 89 8 27

90 - 99 3 30

ตาแหนงของมธยฐาน คอ N2 = 30

2 = 15

มธยฐาน = L + I (N2 - ΣfLfm

) = 69.5 + 10 (302

- 14

5 ) = 69.5 + 10 (15) = 71.5

มตาแหนงมธยฐานในชนน


7. ตารางแจกแจงความถแสดงอายของเดกกลมหนง ดงน

อาย (ป) จานวนเดก (คน)

1 - 4 2

5 - 8 3

9 - 12 b

13 - 16 4

ถามธยฐานของอายเดกกลมนเทากบ 9 ป แลว b เทากบเทาใด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


เนองจากโจทยกาหนดมธยฐานอายของเดกเทากบ 9 ป

แสดงวามธยฐานอยในอนตรภาคชน 9 - 12

อาย (ป) จานวนเดก (คน) ความถสะสม

1 - 4 2 2

5 - 8 3 5

9 - 12 b 5 + b

13 - 16 4 9 + b

หาตาแหนงของมธยฐาน = N2 = 9 + b

2

จากสตร มธยฐาน = L + I [N2 - ΣfLfm

]

9 = 8.5 + 4 (9 + b

2 - 5

b ) 0.5 = 4 (b - 12b )

0.5 = 2b - 2b

0.5b = 2b - 2

2b - 0.5b = 2

b = 21.5

b = 1.33

มตาแหนงของมธยฐานในชนน


8. มเพอนกลมหนงจานวน 7 คน มารวมประชมเพอหาจดนดหมายในการไปทศนาจรตางจงหวด

โดยเลอกจดนดหมายไว 2 จด ระยะทางทสมาชกแตละคนจะมายงจดนดหมาย เปนดงน

• จดนดหมายทหนง 5 4 7 9 8 6 5

• จดนดหมายทสอง 6 5 8 5 8 9 10

เราควรจะเลอกจดนดหมายใดเพอใหสมาชกทกคนเดนทางไดใกลทสด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


จากขอมลทกาหนด จดนดหมายท 1 มมธยฐานของระยะทางทสมาชกแตละคนจะมา

เทากบ 6 และจดนดหมายท 2 มมธยฐานของระยะทางทสมาชกแตละคนจะมา เทากบ 8

จากสมบตของมธยฐานมคานอยทสด Σ �xi - M� มคานอยทสด จะได

จดนดหมายท 1 Σ �xi - 6� = �5 - 6� + �4 - 6� + �7 - 6� + �9 - 6� + �8 - 6� + �6 - 6� +

�5 - 6� = 10

จดนดหมายท 2 Σ �xi - 8� = �6 - 8� + �5 - 8� + �8 - 8� + �5 - 8� + �8 - 8� + �9 - 8� +

�10 - 8� = 11

ดงนน นกเรยนควรจะเลอกจดนดหมายท 1 เพราะเปนจดทสมาชกในกลมเดนทางมาใกลกวา

จดนดหมายท 2

N

i=1N

i=1

N

i=1

แนวคด ขอ ก. ถก และ ขอ ข. ผด

จดเรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก ไดดงน

ชด A : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5

หาคาเฉลยเลขคณต

μA = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5

9 = 27

9 = 3

ตาแหนง MedA = 9 + 1

2 = 5 จะได MedA = 3

ชด B : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5

μA = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5

12 = 36

12 = 3

ตาแหนง MedB = 12 + 1

2 = 6.5 จะได MedB =

2 + 32

= 2.5

Test for Uจากขอมลทกาหนดให ชด A : 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3

ชด B : 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3

พจารณาขอความตอไปน ขอใดถกหรอผด

ก. คาเฉลยเลขคณตของขอมลสองชดน เทากน ข. มธยฐานของขอมลสองชดน เทากน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


ฐานนยม (Mode) ฐานนยม คอ คาสงเกตทเกดซามากทสดหรอมความถสงสด

การหาฐานนยมในกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ

ใหพจารณาคาของขอมลทมคาซากนมากทสด คานนคอ ฐานนยม

การหาฐานนยมในกรณทขอมลแจกแจงความถ

1) โดยการประมาณทไมตองการความละเอยดมากนก ทาไดโดยใชจดกงกลางของ

อนตรภาคชนทมความถสงสด (ชนฐานนยมอย) เปนคาฐานนยม

2) โดยใชสตรเปนกรณทตองการความละเอยด ดงน

ฐานนยม = L + I d1

d1 + d2 ))

เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทมความถสงสด (ชนฐานนยมอย)

I คอ ความกวางของอนตรภาคชน

d1 คอ ผลตางระหวางความถของชนฐานนยมกบชนทมขอมลตากวา

d2 คอ ผลตางระหวางความถของชนฐานนยมกบชนทมขอมลสงกวา

1. กรณทขอมลมความถเทากนทงหมด จะไมมฐานนยม

2. กรณทขอมลมความถมากทสดมมากกวา 1 คา แตไมเกน 2 คา ใหถอวาทงสองคานนเปนฐานนยม

3. กรณทขอมลมความถมากทสดเกน 2 คา ใหถอวาขอมลนนไมมฐานนยม

Note

ฐานนยมเหมาะสมกบการใชเปนคากลางของขอมล เมอขอมลชดนนๆ เปนขอมลเชงคณภาพ

เชน ยหอรถยนต ขนาดเสอผา ฯลฯ หรอขอมลทมการแจกแจงความถทมบางอนตรภาคชน

เปนอนตรภาคชนเปด หรอมขอมลทมคาสงหรอตาผดปกตรวมอยดวย

Note



1. หาฐานนยมของอายเกษตรกรของหมบานแหงหนงทเขารวมโครงการฝกอบรมการจดทาบญช

ครวเรอนในหมบาน จานวน 15 คน มอายดงน

61 60 45 55 35 40 57 45 61 45 52 43 45 62 65

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. หาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนหองหนง จานวน 20 คน ซงมนาหนก ดงน

45 48 49 51 46 45 48 47 48 52 48 53 52 48 45 46 49 48 51 52

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ขอมลชดหนง เปนดงน 4 4 4 x 8 8 8 13 13 และ 13 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 7.9 หาฐานนยมของขอมลชดน

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ตารางแสดงคาใชจายในแตละวนของนกเรยนจานวน 100 คน เปนดงน

รายจาย (บาท) 25 30 35 40 45 50 55 60

ความถสะสม 8 21 42 59 76 84 95 100

นกเรยนสวนใหญมคาใชจายเทาใด

วธทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาฐานนยมของขอมลทกาหนดใหได

1.3 H


ฐานนยมของอายเกษตรกรของหมบานแหงนทเขารวมโครงการฝกอบรมทง 15 คน คอ 45 ป

ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนหองน คอ 48 กโลกรม

จากคาเฉลยเลขคณตเทากบ 7.9 จะได

7.9 = 4 + 4 + 4 + x + 8 + 8 + 8 + 13 + 13 + 1310

= 75 + x10

x = 4

ดงนน จานวนทมากทสดของขอมลชดน คอ 4

นนคอ ฐานนยมของขอมลชดน คอ 4

สรางตารางแจกแจงความถ

รายจาย (บาท) 25 30 35 40 45 50 55 60

ความถสะสม 8 21 42 59 76 84 95 100

ความถ 8 13 21 17 17 8 11 5

ฐานนยมของขอมลชดน คอ 35

ดงนน นกเรยนสวนใหญมคาใชจายในแตละวนเทากบ 35 บาท


5. ตารางแจกแจงความถแสดงคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 จานวน 42 คน ดงน

คะแนน ความถ (คน)

50 - 59 6

60 - 69 11

70 - 79 16

80 - 89 8

90 - 99 1

หาฐานนยมโดยประมาณของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ตารางแจกแจงความถแสดงจานวนเงนตออาหารกลางวนของนกเรยนชน ม.6/1 จานวน 36 คน

ดงน

จานวนเงน ความถ (คน)

11 - 20 2

21 - 30 15

31 - 40 12

41 - 50 7

หาฐานนยมโดยประมาณของจานวนเงนคาอาหารกลางวนของนกเรยนชน ม.6/1

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ อนตรภาคชนท 5

จาก ฐานนยม = L + I d1

d1 + d2

))

จะได ฐานนยม = 69.5 + 10 ( 55 + 8)

≈ 69.5 + 3.85

≈ 73.35

ดงนน ฐานนยมของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 ประมาณ 73.35 คะแนน

อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ อนตรภาคชนท 2

จาก ฐานนยม = L + I d1d1 + d2

))

จะได ฐานนยม = 20.5 + 10 ( 1313 + 3) ≈ 20.5 + 8.13 ≈ 28.63

ดงนน ฐานนยมของจานวนเงนคาอาหารกลางวนประมาณ 28.63 บาท

d1 = 15 - 2 = 13

ฐานนยมอยในอนตรภาคชนน

d2 = 15 - 12 = 3

d1 = 16 - 11 = 5

ฐานนยมอยในอนตรภาคชนน

d2 = 16 - 8 = 8



แนวคด นาขอมลจากแผนภาพตน - ใบ มาเขยนเรยงจากนอยไปมาก จะได

12 13 15 21 24 27 30 34 34 36 40 42

จะเหนวา ฐานนยม เทากบ 34

มธยฐานอยในตาแหนงท N + 12

= 12 + 12

= 6.5

จะได มธยฐาน = 27 + 302

= 28.5

และคาเฉลยเลขคณต = 12 + 13 + 15 + 21 + 24 + 27 + 30 + 34 + 34 + 36 + 40 + 4212

= 27.33

ดงนน คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม

แนวคด เพราะฐานนยมของขอมลชดแรกเทากบ 3 จะได a = 3

ตาแหนงมธยฐาน คอ 10 + 12

= 5.5

จะได มธยฐานเทากบ a + b2

= 1.5 + b2

แตโจทยกาหนดมธยฐานของขอมลชดแรกเทากบ 4 จะได 1.5 + b2 = 4

b = 5

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดทสองเทากบ

1.1 + 2.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 + 5.6 + 6.7 + 6.8 + 9.9 + 1310

= 5.55 ≈ 5.6

Test for U1. กาหนดแผนภาพตน - ใบ ของขอมลชดหนง ดงน

1 2 3 52 1 4 73 0 4 6 44 0 2

ขอใดตอไปนถกตอง

1. คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 2. คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม

3. มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม 4. ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. ขอมลชดหนงเรยงลาดบจากนอยไปมากไดเปน

1, 2, 3, 3, a, b, 6, 6, 9, 12

ถาฐานนยมและมธยฐานของขอมลชดนเปน 3 และ 4 ตามลาดบ แลวขอมลชดตอไปน คอ

1.1, 2.2, 3.3, 3.4, a + 0.5, b + 0.6, 6.7, 6.8, 9.9, 13

มคาเฉลยเลขคณตเทากบเทาใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

มธยฐาน 2. คาเฉลยเลขคณตมธยฐาน 2 คาเฉลยเลขคณต


คาเฉลยฮารมอนก (Harmonic Mean) คาเฉลยฮารมอนก เปนคาเฉลยทเหมาะสาหรบขอมลทอยในรปอตรา เชน ความเรวตอ

ชวโมง ราคาสนคาตอชน ปรมาณงานททาไดตอหนวยเวลา เปนตน

ถา x1, x2, …, xN เปนขอมล N จานวน ซงเปนจานวนบวกทกจานวน

คาเฉลยฮารมอนก (H.M.) = 1N{ 1x1

+ 1x2

+ … + 1xN

}1 =

Σ 1xi

NN

i=1

ในกรณท xi มความถ fi และ Σ fi = N จะไดวา

H.M. = 1N {f1 1x1

+ f2 1x2

+ … + fk 1xk

}1 =

Σ fixi

Nk

i=1

เมอ k แทนจานวนอนตรภาคชน

xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i โดยท i คอ 1, 2, …, k

fi แทนความถของขอมลอนตรภาคชนท i

k

i=1

1. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมล 20, 30, 40, 50 และ 60

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลทกาหนดใหได

1.3 I


จากสตร H.M. = Σ

1xi

NN

i=1

จะได H.M. = 5120

+ 130

+ 140

+ 150

+ 160

= 587600

≈ 34.48


2. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมล 1.2, 2.4, 3.6 และ 7.2

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. อยวงรอบสนามรปสเหลยมจตรส โดยดานแรกวงดวยความเรว 12 เมตรตอนาท และในดานท

2, 3 และ 4 เขาเรมรสกเหนอยจงวงชาลงเปน 10, 6 และ 4 เมตรตอนาท ตามลาดบ

หาความเรวเฉลยทอยใชในการวงรอบสนาม

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. โรงงานเยบผาแหงหนง จตราเยบกางเกงหนงตวเสรจในเวลา 25 นาท นาร วมล และวภา

เยบกางเกงแบบเดยวกนเสรจในเวลา 30, 40 และ 45 นาท ตามลาดบ เวลาเฉลยในการเยบ

กางเกงหนงตวของทง 4 คน เทากบเทาไร

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



1xi

NN

i=1

จะได H.M. = 4112

+ 110

+ 16 + 1

4

= 6.67

ดงนน ความเรวเฉลยทอยใชในการวงรอบสนาม เทากบ 6.67 เมตรตอนาท


1xi

NN

i=1

จะได H.M. = 411.2

+ 12.4

+ 13.6

+ 17.2

= 412072

= 2.4


1xi

NN

i=1

= 4125

+ 130

+ 140

+ 145

= 42171,800

≈ 33.18

ดงนน เวลาเฉลยในการเยบกางเกงหนงตวของทง 4 คน เทากบ 33.18 นาท


5. พนกงานขายคนหนง ขบรถจากกรงเทพฯ เพอไปสงของทจงหวดเพชรบร ซงหางจาก

กรงเทพฯ ประมาณ 160 กโลเมตร ขาไปเขาขบรถดวยความเรวเฉลย 80 กโลเมตรตอชวโมง

สวนขากลบเขาขบรถดวยความเรวเฉลย 100 กโลเมตรตอชวโมง ความเรวเฉลยทเขาใช

ในการเดนทางเทากบเทาใด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. นาแปลงหนงนายกมลใชเวลาดานาแลวเสรจในเวลา 90 วน ขณะทใหนายขาว นายคณต

และนางสาวจนทร ทานาแปลงเดยวกนน ใชเวลา 80, 60 และ 120 วน ตามลาดบ คาเฉลย

ของอตราการทางานของทง 4 คนนเทากบเทาไร และถาใหคนทง 4 คนนรวมกนทางาน

จะใชเวลาเทาไรงานจงจะเสรจ

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


ให x1 แทนความเรวทพนกงานขายใชขบรถจากกรงเทพฯ ไปเพชรบร = 80 กม./ชม.

x2 แทนความเรวทพนกงานขายใชขบรถกลบจากเพชรบร ถงกรงเทพฯ = 100 กม./ชม.

จาก H.M. = Σ

1xi

NN

i=1

= 2180

+ 1100

= 88.89 กโลเมตรตอชวโมง

ดงนน ความเรวเฉลยทพนกงานขายใชในการขบรถไป-กลบ ระหวางกรงเทพฯ - เพชรบร

ประมาณ 88.89 กโลเมตรตอชวโมง

สมมตปรมาณงานทงหมดคอ 1 หนวย งานททาไดตอวนของนายกมล นายขาว นายคณต

และนางสาวจนทร คอ 190

, 180

, 160

และ 1120

หนวย ตามลาดบ

เวลาเฉลยในการทางานเพอใหงานเสรจตอคน คอ

H.M. = 190

+ 180

+ 160

+ 1120

4

= 4 × 72035

วน

ถาใหทง 4 คน รวมกนทางานใน 1 วน จะไดงานเทากบ 14 × 720

× 4

35

= 354 × 720

× 4

= 35720

หนวย

ถาจะใหงานเสรจ 1 หนวย จะตองใชเวลาเทากบ 72035

= 20.57 วน


7. แมคาซอไขจากตลาด ก ข และ ค ราคาทแมคาซอ เปนดงน

ตลาด ก ไขราคาแผงละ 80 บาท

ตลาด ข ไขราคาแผงละ 90 บาท

ตลาด ค ไขราคาแผงละ 100 บาท

หาราคาเฉลยตอแผงของไขทแมคาซอมา เมอกาหนด

1) แมคาซอไขแตละตลาดจานวน 100 แผง เทากน

2) แมคาซอไขแตละตลาด 2,000 บาท

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


1) ราคาเฉลยตอแผง = ราคาไข (บาท) ทงหมด

จานวนไข (แผง) ทงหมดทซอมา

= 80(100) + 90(100) + 100(100)100 + 100 + 100

= 80 + 90 + 1003

= 90

ราคาเฉลยตอแผงของไขเทากบ 90 บาท

2) ราคาเฉลยตอแผง = ราคาไข (บาท) ทงหมด

จานวนไข (แผง) ทงหมดทซอมา

= 200080

+ 200090 + 2000100

2000 + 2000 + 2000

= 3 × 2000

2000 ( 180

+ 190

+ 1100)

= 3180

+ 190

+ 1100

= 32427,200

= 89.26

ราคาเฉลยตอแผงของไขเทากบ 89.26 บาท


8. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลตอไปน

คะแนน จานวนนกเรยน

11 - 15

16 - 20

21 - 25

3

2

5

10

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. หาคาเฉลยฮารมอนกของขอมลตอไปน

คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

จานวนนกเรยน 2 5 10 13 6 3 1

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


xifixi

13

18

23

313

= 0.23218

= 0.11523

= 0.22

Σ fixi

= 0.563

i=1

จากสตร H.M. = fixi

N

Σ 3

i=1

= 100.56

≈ 17.86

จากสตร H.M. = fixi

N

Σ 7

i=1

= 400.683

≈ 58.57

คะแนน fi Xi

fixi

30 - 39

40 - 49

50 - 59

60 - 69

70 - 79

80 - 89

90 - 99

2

5

10

13

6

3

1

34.5

44.5

54.5

64.5

74.5

84.5

94.5

0.058

0.112

0.183

0.202

0.081

0.036

0.011

N = 40 Σ fixi

= 0.6837

i=1

สรางตารางใหม ดงน


1. หาคาเฉลยเรขาคณตของขอมลตอไปน

25 125 125 625

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาเฉลยเรขาคณตของขอมลทกาหนดใหได

1.3 J

คาเฉลยเรขาคณต (Geometric Mean) คาเฉลยเรขาคณตมประโยชนเมอมคาของขอมลสงหรอตากวาคาอนๆ รวมอยดวย

ถา x1, x2, …, xN เปนขอมล N จานวน ซงเปนจานวนบวกทกจานวน

คาเฉลยเรขาคณต (G.M.) = N x1 x2 … xN

หรอ log G.M. = 1N(f1log x1 + f2log x2 + f3log x3 + … + fklog xk)

log G.M. = 1N Σ log xi

ในกรณท xi มความถ fi และ Σ fi = N

G.M. = N x1f1 x2

f2 … xkfk

หรอ log G.M. = 1N(f1log x1 + f2log x2 + f3log x3 + … + fklog xk)

log G.M. = 1N Σ fi log xi

เมอ xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i โดยท i คอ 1, 2, …, k

fi แทนความถของขอมลอนตรภาคชนท i


N

i=1

k

i=1

k

i=1


จาก G.M. = N x1 x2 … xN

จะไดวา G.M. = 4 (25)(125)(125)(625)

= 4 (52)(53)(53)(54)

= 4 512

= (512) 14 = 53 = 125


2. หาคาเฉลยเรขาคณตของขอมลตอไปน

27 81 243 729 2,187

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ตารางแจกแจงความถแสดงคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 จานวน 45 คน ดงน

คะแนน จานวน (คน)

30 - 39 2

40 - 49 1

50 - 59 6

60 - 69 11

70 - 79 16

80 - 89 8

90 - 99 1

45

หาคาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


จาก G.M. = N x1 x2 … xN

จะไดวา G.M. = 5 (27)(81)(243)(729)(2,187)

= 5 (33)(34)(35)(36)(37)

= 5 (3)25

= (325) 15

= 35

= 243

จาก log G.M. = 1N Σ fi log xi =

145

(82.393)

log G.M. = 1.831

G.M. = 101.831 = 67.76

ดงนน คาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชน ม.6/2 ประมาณ 68 คะแนน

k

i=1

xi log xi fi log xi

34.5 1.538 3.076

44.5 1.648 1.648

54.5 1.736 10.416

64.5 1.810 19.910

74.5 1.872 29.952

84.5 1.927 15.416

94.5 1.975 1.975

82.393


4. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คน ดงน

คะแนน 1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20

ความถ (คน) 4 6 7 3

หาคาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คนน

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. หาคาเฉลยเรขาคณตของคะแนนความถนดของนกเรยนกลมหนงซงแสดงดงน

คะแนน 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19

ความถ (คน) 4 3 11 7

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


คะแนน ความถ (fi) xi log xi fi log xi

1 - 5 4 3 0.477 1.908

6 - 10 6 8 0.903 5.418

11 - 15 7 13 1.114 7.798

16 - 20 3 18 1.255 3.765

N = 20 18.889

สรางตารางใหมไดดงน


120

(18.889) = 0.945

G.M. = (10)0.945 = 8.81

ดงนน คาเฉลยเรขาคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คนน

ประมาณ 9 คะแนน

k

i=1

คะแนน ความถ (fi) Xi log Xi fi log Xi

0 - 4 4 2 0.301 1.204

5 - 9 3 7 0.845 2.535

10 - 14 11 12 1.079 11.869

15 - 19 7 17 1.230 8.61

N = 25 24.218

สรางตารางใหมไดดงน


125

(24.218) = 0.969

G.M. = (10)0.969 = 9.31

ดงนน คาเฉลยเรขาคณตของคะแนนความถนดของนกเรยนกลมนประมาณ 9 คะแนน

k

i=1


คากงกลางพสย (Mid - range)

คากงกลางพสย (M.R.) = xmax + xmin

2

เมอ xmax เปนคาสงสดของขอมลทงหมด

xmin เปนคาตาสดของขอมลทงหมด

1. หาคากงกลางพสยของขอมลทกาหนดใหตอไปน

1) 19 20 23 25 18 31

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) 32 30 35 42 49 56 28

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 110 125 210 140 169 108

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) 211 275 191 243 251 195

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) 421 622 380 462 529 610

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคากงกลางพสยของขอมลทกาหนดใหได

1.3 K

ฉบบเฉลย คากงกลางพสย = 25 + 18

2 = 21.5

คากงกลางพสย = 56 + 282

= 42


= 159


= 233


= 501


2. สมมตปรมาณขยะในรอบ 12 เดอน ของเทศบาลแหงหนงในหนวยเปนตนคอ 46.1, 47.3,

42.9, 46, 48, 57.2, 53.7, 52.8, 58.4, 50.1, 52.7, 46.4 หาคากงกลางพสยของปรมาณ

ขยะของเทศบาลแหงน

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปหามาก ดงน 98, 100, 101, 104, x, 109, 110, 111, yถาคากงกลางพสยและคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 105 และ 106 ตามลาดบ

แลวมธยฐานของขอมลชดนเทากบเทาใด

วธทา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


คากงกลางพสย = xmax + xmin

2

= 58.4 + 42.92

= 50.65 ตน

ดงนน คากงกลางพสยของปรมาณขยะของเทศบาลแหงน ประมาณ 50.65 ตน

จาก คากงกลางพสย = xmax + xmin

2

จะได 105 = y + 982

y = 112

จาก คาเฉลยเลขคณต =

n

i=1Σ xin

จะได 106 = 98 + 100 + 101 + 104 + x + 109 + 110 + 111 + 1129

954 = 845 + x

x = 109

ตาแหนงของมธยฐาน = N + 12

= 9 + 12

= 5

ดงนน มธยฐาน = 109


1. “โดยเฉลยแลวคนไทยใชรถขนาด 1,600 ซซ ซงใชนามนโดยเฉลย 10 กโลเมตรตอลตร” คาวา

โดยเฉลยทงสองคาตามลาดบในทนใหความหมายตรงกบขอใด

1. คาเฉลยเลขคณตและคาเฉลยเรขาคณต

2. คาเฉลยเลขคณตและคาเฉลยฮารมอนก

3. มธยฐานและคาเฉลยฮารมอนก

4. ฐานนยมและคาเฉลยฮารมอนก

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. กาหนดให x1, x2, x3, x4, x5 และ x6 คอ 3, 4, 6, 13, 8 และ 2 ตามลาดบ พจารณาขอความ

ตอไปน

(1) Σ (xi - a)2 มคานอยทสด เมอ a = 6

(2) Σ �xi - b� มคานอยทสด เมอ b = 5


1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด

3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4 ฐานนยมและคาเฉลยฮารมอนก

6

i=16

i=1

1 ขอ


แนวคด โดยเฉลย คาแรก เปนการแสดงความถสงสดและเปนขอมลเชงคณภาพ

จงเปนฐานนยม

โดยเฉลย คาหลง เปนการแสดงอตราเรวเฉลย ควรใชคาเฉลยฮารมอนก

แนวคด (1) คาเฉลยเลขคณต = 3 + 4 + 6 +13 + 8 + 26

= 6

จากสมบตของคาเฉลยเลขคณต Σ (xi - a)2 มคานอยทสด

เมอ a = คาเฉลยเลขคณต

ดงนน Σ (xi - a)2 มคานอยทสด เมอ a = 6 เปนจรง

(2) เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมากได 2, 3, 4, 6, 8, 13

ตาแหนงมธยฐาน = 6 + 12

= 3.5 จะได มธยฐาน = 4 + 0.5(2) = 5

จากสมบตของมธยฐาน Σ �xi - b� มคานอยทสด เมอ b = มธยฐาน

ดงนน Σ �xi - b� มคานอยทสด เมอ b = 5 เปนจรง

6

i=1

6

i=1

6

i=16

i=1

Test for U



แนวคด เนองจากมผเขาสอบไดคะแนนสงกวาและตากวาคาเฉลยเลขคณตอยเปนจานวน

เทากน ดงนน คาเฉลยเลขคณตกบมธยฐานจะเปนคาเดยวกน เพราะวามธยฐาน

อยในตาแหนงกงกลางของขอมลทเรยงจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย

แนวคด จากสมบต Σ xi = nX

จะไดวาผลรวมของอายนกกฬาครงแรก 379 คน = 379(22) = 8,338 ป

หลงมการถอนตว 4 คน ผลรวมของอายนกกฬาเหลอ

= 8,338 - (24 + 25 + 25 + 27)

= 8,237 ป

ผลรวมของอายนกกฬาหลงมการเพมนกกฬา 5 คน

= 8,237 + 5(17) = 8,322 ป

ดงนน อายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบ 8,322379 - 4 + 5

= 21.9 ป

n

i=1

Test for U3. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของผเขาสอบ 100 คน ซงไมไดแจกแจงความถ ปรากฏวามผได

คะแนนสงกวาและตากวาคาเฉลยเลขคณตอยางละ 50 คน ขอใดตอไปนเปนขอสรปทถกตอง

1. คาเฉลยเลขคณตกบมธยฐานจะเปนคาเดยวกนได แตไมเทากบฐานนยม

2. คาเฉลยเลขคณตกบฐานนยมเปนคาเดยวกน แตจะไมเทากบมธยฐาน

3. มธยฐานและฐานนยมเปนคาเดยวกน แตจะไมเทากบคาเฉลยเลขคณต

4. คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมจะมคาเดยวกน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬา

จากประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอดถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย

24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ป แลวอายเฉลยของ

นกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบขอใดตอไปน

1. 21.6 ป 2. 21.7 ป 3. 21.8 ป 4. 21.9 ป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1 คาเฉลยเลขคณตกบมธยฐานจะเปนคาเดยวกนได แตไมเทากบฐานนยม

8 ป 4 21



แนวคด (1) จากความสมพนธ yi = xi + b

จะได Y = X + b

และ Mod2 = Mod1 + b

Med2 = Med1 + b

ถา X = Mod1 = Med1 แลวจะได Y = Mod2 = Med2 ขอ (1) ถก

(2) ให p เปนคาตาสดของขอมลชดท 1 และ q เปนคาสงสดของขอมลชดท 1

พสยของขอมลชดท 1 = q - p

พสยของขอมลชดท 2 = (q + b) - (p + b) = q - p ขอ (2) ถก

แนวคด ให 2 จานวนดงกลาวเปน a และ b ซง a < b

จะไดคาเฉลยเลขคณต 56 = a + b2

a + b = 112 ……➊ และ พสย b - a = 18 ……➋ จาก ➊ และ ➋ จะได a = 47 และ b = 65

ดงนน คาเฉลยเรขาคณต = ab = 47 × 65 = 3,055

Test for U5. กาหนดให x1, x2, …, xn เปนขอมลชดท 1 และ y1, y2, …, yn เปนขอมลชดท 2

โดยท yi = xi + b เมอ i = 1, 2, …, n และ b ≠ 0 พจารณาขอความตอไปน

(1) ถาขอมลชดท 1 มฐานนยม 1 คา และมสมบตวา คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = ฐานนยม

แลวขอมลชดทสองจะมสมบตขางตนเชนเดยวกน

(2) พสยของขอมลทงสองชดเทากน




………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. ขอมลชดหนงม 2 จานวน คาเฉลยเลขคณตเทากบ 56 พสยเทากบ 18 คาเฉลยเรขาคณตของขอมล

ชดนเทากบเทาใด

1. 3,055 2. 3,255 3. 3,465 4. 3,885

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1 ขอ

1



แนวคด ใหขอมลชดนเปน a, b และ c

จะได คาเฉลยเรขาคณต = abc 3 = 4

abc = 64 ……➊ คาเฉลยเลขคณต = a + b + c

3 = 14

3

a + b + c = 14 ……➋ หาคาตอบของ ➊ และ ➋ จะได a = 2, b = 4 และ c = 8

คาเฉลยฮารมอนก = 312 + 1

4 + 1

8

= 3 37

แนวคด จากคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยน N คน เทากบ m ป

จะไดวานกเรยน N คน มอายรวมกนเทากบ mN ป

ให x แทนอายของนกเรยนทมาเพม ทาใหคาเฉลยเลขคณตเปน m + 1 ป

ดงนน mN + xN + 1

= m + 1

mN + x = (m + 1)(N + 1)

= mN + m + N + 1

x = m + N + 1

Test for U7. ขอมลชดหนงม 3 จานวน มคาเฉลยเรขาคณตเปน 4 และคาเฉลยเลขคณตเปน 14

3 ขอมลชดน

มคาเฉลยฮารมอนกเทาใด

1. 3 17 2. 3 3

7 3. 3 4

7 4. 3 6

7

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

8. คาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยน N คน เทากบ m ป เมอนาอายของนกเรยนคนหนงมาเพม

ทาใหคาเฉลยเลขคณตเปน m + 1 ป อายของเดกทมาเพมเทากบเทาใด

1. m + N - 1 ป 2. m + N + 1 ป

3. (m + 1)(N + 1) - 1 ป 4. (m + 1)(N + 1) + 1 ป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2 3

1 ป 2



แนวคด ในการหาจานวนหนาทพมพตอหนงหนวยเวลาควรใชคาเฉลยฮารมอนก

จากสตร H.M. = Σ 1xi

NN

i=1

= 415 + 1

6 + 1

10 + 1

12

= 412 + 10 + 6 + 5

60

= 4 × 6033

= 8011

ดงนน คาเฉลยของอตราเรวในการพมพเอกสารของพนกงานทง 4 คน

เทากบ 7 311

นาทตอหนา ขอ (1) ผด

ในเวลา 5 12 ชวโมง หรอ 330 นาท พนกงานทง 4 คนจะพมพดดได

= 4 × 3308011

หนา

= 4 × 330 × 1180

หนา

= 181.5 หนา ขอ (2) ผด

Test for U9. ในสานกงานแหงหนงมพนกงานพมพดด 4 คน พมพเอกสาร 1 หนา ใชเวลา 5, 6, 10 และ

12 นาท ตามลาดบ


(1) คาเฉลยของอตราเรวในการพมพเอกสารของพนกงานทง 4 คน เทากบ 8.25 นาทตอหนา

(2) ในเวลา 5 12 ชวโมง พนกงานทง 4 คน จะพมพดดไดทงหมด 160 หนา




………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ในการหาจานวนหนาทพมพตอหนงหนวยเวลาควรใชคาเฉลยฮารมอนก

ถก 4 ขอ


1 . 4 ¡ÒÃÇÑ µÓáË¹‹§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ Measures of Relative Standing

การวดตาแหนงของขอมล เปนการแปลงขอมลแตละชดใหอย ในลกษณะเดยวกน

เพอประโยชนในการเปรยบเทยบขอมลระหวางขอมลตางชดกน ในการแปลงขอมลจะแบงชดขอมล

ออกเปนสวนยอยเทาๆ กน มทง 4 สวน, 10 สวน และ 100 สวน

การวดตาแหนงของขอมลทแบงออกเปน 4 สวน คอ ควอรไทล

การวดตาแหนงของขอมลทแบงออกเปน 10 สวน คอ เดไซล

การวดตาแหนงของขอมลทแบงออกเปน 100 สวน คอ เปอรเซนไทล

ขอมลแตละชดมลกษณะตางกน ดงนนการนาคะแนนทตางชดกนมาเปรยบเทยบกน

จงจาเปนตองนาขอมลแตละชดมาแปลงใหเปนขอมลทมลกษณะเดยวกนกอน โดยอาจใชวธการ

ทางสถตชนดใดชนดหนงคอ ควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล

กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ

การหาควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลของขอมล มวธหาเหมอนกบการหามธยฐาน

ของขอมลทไมไดแจกแจงความถ ดงน

1. เรยงลาดบขอมลจากคาทนอยทสดไปคาทมากทสด

2. หาตาแหนงทของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลทตองการจากสตร

ตาแหนงของ Qr คอ

r(N + 1)4 เมอ r = {1, 2, 3}

ตาแหนงของ Dr คอ r(N + 1)

10 เมอ r = {1, 2, …, 9}

ตาแหนงของ Pr คอ r(N + 1)

100 เมอ r = {1, 2, …, 99}

เมอ r คอ ตาแหนงของควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล

N คอ จานวนขอมลทงหมด

หาคาของขอมลทตรงกบตาแหนงของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลทตองการ

โดยวธเดยวกบการหามธยฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ



กรณทขอมลแจกแจงความถ

การหาควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลของขอมลทแจกแจงความถ มวธดาเนนการ

คลายกบการหามธยฐานของขอมลทแจกแจงความถทไดศกษามาแลว โดยการเทยบอตราสวนของ

ความแตกตางของความถสะสมกบความกวางของอนตรภาคชน ดงน

1. สรางตารางแจกแจงความถสะสมของขอมล

2. หาตาแหนงทของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทลทตองการจากสตร

ตาแหนงของ Qr คอ rN4 เมอ r = {1, 2, 3}

ตาแหนงของ Dr คอ rN10 เมอ r = {1, 2, …, 9}

ตาแหนงของ Pr คอ rN100 เมอ r = {1, 2, …, 99}


N คอ จานวนขอมลทงหมด

3. คานวณหาคาของขอมลทตรงกบตาแหนงของควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล

ทตองการจากสตร

Qr = L + (rN4 - ΣfL

fQ) I Dr = L + (

rN10 - ΣfL

fD) I

Pr = L + (rN100 - ΣfL

fP) I


ΣfL คอ ผลรวมความถของอนตรภาคชนทมคานอยกวาอนตรภาคชน

ทควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทลในตาแหนงทตองการอย

L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไซล หรอเปอรเซนไทล

ในตาแหนงทตองการอย

I คอ ความกวางของอนตรภาคชน

fQ, fD, fP คอ ความถของขอมลของอนตรภาคชนทควอรไทล เดไซล

หรอเปอรเซนไทลในตาแหนงทตองการอย ตามลาดบ



1. คะแนนสอบปลายภาคของนกเรยนหองหนงเปนดงน

60 65 65 67 70 71 73 75 76 76 79 81 83 84 85 85 88 89 90 92

95 96 99 100 100

1) หาควอรไทลท 3 ของคะแนนสอบของนกเรยน

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

2) หาเดไซลท 5 ของคะแนนสอบของนกเรยน

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

3) หาเปอรเซนไทลท 68 ของคะแนนสอบของนกเรยน

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาตาแหนงของขอมลทกาหนดใหได

1.4 A

ฉบบเฉลยตาแหนงของ D5 คอ

5(25 + 1)10

= 13

ดงนน D5 = 83 คะแนน

ตาแหนงของ P68 คอ 68(25 + 1)

100 = 17.68

ดงนน P68 อยระหวาง 88 กบ 89

ตาแหนงตางกน 18 - 17 = 1 คะแนนสอบเพมขน 89 - 88 = 1 คะแนน

ตาแหนงตางกน 17.68 - 17 = 0.68 คะแนนสอบเพมขน 0.68 × 11

= 0.68 คะแนน

นนคอ P68 = 88 + 0.68 = 88.68 คะแนน

ตาแหนงของ Q3 คอ 3(25 + 1)

4 = 19.5

ดงนน Q3 อยระหวาง 90 กบ 92

ตาแหนงตางกน 20 - 19 = 1 คะแนนสอบเพมขน 92 - 90 = 2 คะแนน

ตาแหนงตางกน 19.5 - 19 = 0.5 คะแนนสอบเพมขน 2 × 0.51

= 1 คะแนน

นนคอ Q3 = 90 + 1 = 91 คะแนน


2. นกเรยนกลมหนงมความสง ดงน

165 155 154 158 163 148 150 161 166 152 160 145

1) หาควอรไทลท 3 ของสวนสงของนกเรยนทง 12 คน

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

2) หาเดไซลท 6 ของสวนสงของนกเรยนทง 12 คน

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

3) หาเปอรเซนตไทลท 45 ของสวนสงของนกเรยนทง 12 คน

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................


จากสวนสงของนกเรยนทง 12 คน เมอนามาเรยงลาดบจากนอยไปหามากจะได ดงน

145 148 150 152 154 155 158 160 161 163 165 166


4 = 9.75


ตาแหนงตางกน 10 - 9 = 1 ความสงเพมขน 163 - 161 = 2 เซนตเมตร

ตาแหนงตางกน 9.75 - 9 = 0.75 ความสงเพมขน 0.75 × 21

= 1.5 เซนตเมตร

นนคอ Q3 = 161 + 1.5 = 162.5 เซนตเมตร

ตาแหนงของ D6 คอ 6(12 + 1)

10 = 7.8

ดงนน D6 อยระหวาง 158 กบ 160




นนคอ D6 = 158 + 1.6 = 159.6 เซนตเมตร


100 = 5.85





นนคอ P45 = 154 + 0.85 = 154.85 เซนตเมตร


3. ผลการทดสอบเกยวกบระดบสตปญญาของนกเรยนชน ม.6 กลมหนงปรากฏคะแนน ดงน

98 110 100 97 102 105 99 109 95 106116 97 102 106 117 122 111 98 119 107111 102 116 99 103 120 101 102 114 97

1) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไรจงจะมนกเรยนครงหนงของชนไดคะแนนตากวา

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

2) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไรจงจะมนกเรยน 7 ใน 10 ของชนไดคะแนนตากวา

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................


จากผลการทดสอบเกยวกบระดบสตปญญาของนกเรยนชน ม.6 เมอนามาเรยงลาดบ

จากนอยไปหามากจะได ดงน

95 97 97 97 98 98 99 99 100 101

102 102 102 102 103 105 106 106 107 109

110 111 111 114 116 116 117 119 120 122

คะแนนทมจานวนนกเรยนครงหนงของชนไดคะแนนตากวา คอ คะแนนท Q2


4 = 15.5


ตาแหนงตางกน 16 - 15 = 1 คะแนน เพมขน 105 - 103 = 2 คะแนน

ตาแหนงตางกน 15.5 - 15 = 0.5 คะแนน เพมขน 0.5 × 21

= 1 คะแนน

นนคอ Q2 = 103 + 1 = 104 คะแนน

ดงนน คะแนนทมจานวนนกเรยนครงหนงของชนไดคะแนนตากวา คอ 104 คะแนน

คะแนนทมจานวนนกเรยน 7 ใน 10 ของชนไดคะแนนตากวา คอ คะแนนท D7

ตาแหนงของ D7 คอ 7(30 + 1)

10 = 21.7

ดงนน D7 อยระหวาง 110 กบ 111

ตาแหนงตางกน 22 - 21 = 1 คะแนนเพมขน 111 - 110 = 1 คะแนน

ตาแหนงตางกน 21.7 - 21 = 0.7 คะแนนเพมขน 0.7 × 11


นนคอ D7 = 110 + 0.7 = 110.7 คะแนน

ดงนน คะแนนทมจานวนนกเรยน 7 ใน 10 ของชนไดคะแนนตากวา คอ 110.7 คะแนน


3) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไรจงจะมนกเรยนรอยละ 25 ของชนไดคะแนนสงกวา

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................

4. จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตรทม

ผเขาสอบ 400 คน ปรากฏวา นาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอรไทลท 3 และ

นาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนน

ระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข มประมาณกคน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


คะแนนทมจานวนนกเรยนรอยละ 25 ของชนไดคะแนนสงกวา คอ คะแนนท P75


100 = 23.25


ตาแหนงตางกน 24 - 23 = 1 คะแนน เพมขน 114 - 111 = 3 คะแนน

ตาแหนงตางกน 23.25 - 23 = 0.25 คะแนน เพมขน 0.25 × 31


นนคอ P75 = 111 + 0.75 = 111.75 คะแนน

ดงนน คะแนนทมจานวนนกเรยนรอยละ 25 ของชนไดคะแนนสงกวา คอ 111.75 คะแนน

ตาแหนงของ Q3 ตรงกบตาแหนงของ P75

ลาดบทคะแนนของนาย ก อยในตาแหนงของ P75

สวนลาดบทคะแนนของนาย ข อยในตาแหนงของ P60

มผเขาสอบ 100 คน จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวางนาย ก และนาย ข มอย 15 คน

มผเขาสอบ 400 คน จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวางนาย ก และนาย ข มอย 15 × 400

100 = 60 คน

ดงนน จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข

มประมาณ 60 คน


5. กาหนดขอมล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 หาวา 30 เปนขอมลทอยในตาแหนง

เปอรเซนไทลทเทาใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

6. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวาเปอรเซนไทลท 25

ของคะแนนสอบเทากบ 35 คะแนน โดยมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ

80 คะแนน และมนกเรยนทสอบไดคะแนน 35 คะแนน เพยงคนเดยว แลวจานวนนกเรยน

ทสอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน มทงหมดกคน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมากจะได ดงน

18 25 28 30 33 34 36 42 44

กาหนดใหขอมลทมคา 30 อยในตาแหนงท r

ดงนน Pr = 30 ซงขอมลทมคา 30 อยในตาแหนงท 4

Pr = r(9 + 1)100

4 = 10r100

400 = 10r

r = 40

ดงนน 30 เปนขอมลทอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 40

ตาแหนงของ P25 เทากบ (25)(39 + 1)100

= 10

นนคอ จานวนนกเรยนทไดคะแนนในชวง 0 - 34 ม 9 คน

จากโจทยมนกเรยน 30 คน ทไดคะแนนในชวง 0 - 80 คะแนน

ดงนน จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน เทากบ 30 - 9 = 21 คน


7. ขอมลชดหนงม 5 จานวน และมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอรไทลท 1 และ 3 ของ

ขอมลชดนมคาเทากบ 5 และ 20 ตามลาดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ใหขอมลชดหนงม 5 จานวน เรยงลาดบจากนอยไปมาก ดงน a, b, c, d, e

พจารณาคาเฉลยเลขคณต จะไดวา

12 = a + b + c + d + e5

a + b + c + d + e = 60 ……➊ พจารณาตาแหนงควอรไทลท 1 (Q1) ดงน

ตาแหนงของ Q1 = 1(N + 1)

4 = 5 + 1

4 = 1.5

Q1 คอ ขอมลในตาแหนงท 1.5 มคาเทากบ a + b2

แตโจทยกาหนดให Q1 = 5 นนคอ a + b2

= 5

a + b = 10 ……➋ พจารณาตาแหนงควอรไทลท 3 (Q3) ดงน

ตาแหนงของ Q3 = 3(N + 1)

4 = 3(5 + 1)

4 = 4.5

Q3 คอ ขอมลในตาแหนงท 4.5 มคาเทากบ d + e2

แตโจทยกาหนดให Q3 = 20 นนคอ d + e2

= 20

d + e = 40 ……➌ นา ➋ และ ➌ แทนใน ➊ จะได 10 + c + 40 = 60 c = 10

พจารณาเดไซลท 5 (D5) ดงน

ตาแหนงของ D5 = 5(N + 1)

10 = 5(5 + 1)

10 = 3

ดงนน D5 คอ ขอมลในตาแหนงท 3 ดงนน D5 = c = 10


8. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 60 คน ดงน


30 - 39 6

40 - 49 10

50 - 59 8

60 - 69 15

70 - 79 12

80 - 89 5

90 - 99 4

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

1) หาควอรไทลท 3 ของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร

ของนกเรยน 60 คน

2) หาเดไซลท 4 ของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร

ของนกเรยน 60 คน



ความถสะสม

30 - 39 6 6

40 - 49 10 16

50 - 59 8 24

60 - 69 15 39

70 - 79 12 51

80 - 89 5 56

90 - 99 4 60

รวม 60

สรางตารางแจกแจงความถสะสมได ดงน

1) ตาแหนงของ Q3 คอ

3N4

= 3(60)4

= 45

ดงนน Q3 อยในอนตรภาคชนท 5

จากสตร Qr = L + (rN4

- ΣfLfQ

) I

จะได Q3 = 69.5 + (45 - 3912 )(10) = 74.5

ดงนน คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน

60 คน ในตาแหนงควอรไทลท 3 เทากบ 74.5

คะแนน

2) ตาแหนงของ D4 คอ 4N10

= 4(60)10

= 24 ดงนน D4 อยในอนตรภาคชนท 3

จากสตร Dr = L + (rN10

- ΣfLfD

) I

จะได Dr = 49.5 + (24 - 168 )(10) = 59.5 ดงนน คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 60 คน ในตาแหนงเดไซลท 4

เทากบ 59.5 คะแนน


9. ในการสอบครงหนงมนกเรยนเขาสอบทงหมด 50 คน แจกแจงเปนอนตรภาคชน ไดดงน

คะแนน ความถ

31 - 40 3

41 - 50 5

51 - 60 6

61 - 70 12

71 - 80 14

81 - 90 8

91 - 100 2

รวม 50

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

1) ตาแหนงของคนทสอบไดเปอรเซนไทลท 39

2) คนทสอบไดคะแนนในตาแหนงเปอรเซนไทล

ท 39 สอบไดกคะแนน


คะแนนจานวน (คน)


31 - 40 3 3

41 - 50 5 8

51 - 60 6 14

61 - 70 12 26

71 - 80 14 40

81 - 90 8 48

91 - 100 2 50

รวม 50

1) ตาแหนงของ P39 คอ 39N100

= (39)(50)100

= 19.5

ดงนน ตาแหนงของคนทสอบไดเปอรเซนไทลท 39

คอ 19.5

2) ตาแหนงของ P39 อยในอนตรภาคชนท 4

จากสตร Pr = L + (rN100

- ΣfLfP

) I

จะได P39 = 60.5 + (19.5 - 1412 )(10) = 65.08

ดงนน คนทสอบไดคะแนนในตาแหนงเปอรเซนไทล

ท 39 สอบได 65.08 คะแนน



10. อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงความถ ดงน

อาย (ป) 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15

จานวนเดก 2 A 8 7 3

กาหนดใหเปอรเซนไทลท 25 ของอายเดกกลมนเทากบ 6.5 ป แลวเดกในกลมนทมอาย

ตากวา 10 ป มจานวนกคน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


พจารณาเปอรเซนไทลท 25 (P25) ของอายของเดกกลมน

P25 = 25N100

= 25100

(20 + A) = 20 + A4

จากโจทยกาหนดวา P25 ของอายของเดกกลมนเทากบ 6.5 ป ซงเปนขอบบนของชวงอาย

4 - 6 ป แสดงวาตาแหนงของ P25 นคอ ตาแหนงสดทายในชวงอาย 4 - 6 ป ซงเทากบ

ตาแหนงท 2 + A

จะไดวา 20 + A4

= 2 + A

20 + A = 8 + 4A

12 = 3A

A = 4

ดงนน เดกในกลมนทอายตากวา 10 ป มจานวน 10 + A = 10 + 4 = 14 คน

อาย (ป) 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15

จานวนเดก 2 A 8 7 3

ความถสะสม 2 2 + A 10 + A 17 + A 20 + A



11. ตารางแจกแจงความถแสดงรายจายตอวนของนกเรยนจานวน 80 คน ดงน

รายจายตอวน (บาท) จานวน (คน)

51 - 60 8

61 - 70 25

71 - 80 20

81 - 90 10

91 - 100 12

ตงแต 101 บาทขนไป 5

รวม 80

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

1) นกเรยน 3 ใน 4 ของกลมนมคาใชจาย

มากทสดเทาไร

2) คาใชจายนอยทสดทนกเรยนรอยละ 20

ของกลมทมคาใชจายมากทสดมคาเทาไร


รายจายตอวน (บาท)จานวน (คน)


51 - 60 8 8

61 - 70 25 33

71 - 80 20 53

81 - 90 10 63

91 - 100 12 75

ตงแต 101 บาทขนไป 5 80

รวม 80


1) คาใชจายมากทสดทนกเรยน 3 ใน 4

ของกลมนใช คอ Q3

ตาแหนงของ Q3 คอ 3N4

= 3(80)4

= 60

ดงนน Q3 อยในอนตรภาคชนท 4

จะได Qr = L + (rN4

- ΣfLfQ

) I

Q3 = 80.5 + (60 - 5310 )(10) = 87.5 นนคอ คาใชจายมากทสดทนกเรยน 3 ใน 4

ของกลมนใช คอ 87.5 บาท

2) คาใชจายนอยทสดทนกเรยนรอยละ 20 ของกลมทมคาใชจายมากทสด คอ P80

ตาแหนงของ P80 คอ 80N100

= 80(80)100

= 64

ดงนน P80 อยในอนตรภาคชนท 5

จะได Pr = L + (rN100

- ΣfLfP

) I

P80 = 90.5 + (64 - 6312 )(10) = 91.33 นนคอ คาใชจายนอยทสดทนกเรยนรอยละ 20 ของกลมทมคาใชจายมากทสด

มคาเทากบ 91.33 บาท


12. ตารางแจกแจงขอมลนาหนกของนกกฬากลมหนง ดงน

นาหนก (กโลกรม) จานวนนกกฬา (คน)

41 - 45 5

46 - 50 x51 - 55 7

56 - 60 8

61 - 65 3

กาหนดใหเปอรเซนไทลท 24 เทากบ 48 หาคาเฉลยของขอมลชดน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................



5

5 + x

12 + x

20 + x

23 + x

จากโจทยกาหนดวา P24 ของนาหนกของนกกฬากลมหนงเทากบ 48 อยในอนตรภาคชนท 2

ตาแหนงของ P24 เทากบ 24100

(23 + x)

จะได 48 = 45.5 + [24100

(23 + x) - 5x ](5)

0.5x = 5.52 + 0.24x - 5

นนคอ x = 2

หาคา X โดยใชวธลด เลอกจดกงกลางทอยในอนตรภาคชนทมความถมากทสด

ซง A = 55.5 + 60.52

= 58

นาหนก (กโลกรม) จานวนนกกฬา (คน) di fidi

41 - 45 5 -3 -15

46 - 50 2 -2 -4

51 - 55 7 -1 -7

56 - 60 8 0 0

61 - 65 3 1 3

รวม 25 -5 -23

X = A + (Σ fidi

25

i=1

Σ fi25

i=1

) I = 58 + (-23)5

25 = 58 - 4.6 = 53.4

ดงนน คาเฉลยของนาหนกของนกกฬากลมน เทากบ 53.4 กโลกรม

A


ถาขอมลชดนม P25 = 100.5 และ Q3 = 110.5 แลว

จานวนคนงานทไดคาจางรายวนตากวา 115.5 บาท

เทากบเทาใด

1. 28 คน 2. 32 คน

3. 46 คน 4. 52 คน 46 คน 4 52 คน

กาหนดคาจางรายวนของแรงงานกลมหนงมการแจกแจง ดงน

คาจาง (บาท) จานวนคนงาน

81 - 85

86 - 90

91 - 95

96 - 100

101 - 105

106 - 110

111 - 115

116 - 120

1

3

x

5

8

y

10

4

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


แนวคด สรางตารางแจกแจงความถสะสม

จากโจทย P25 = 100.5 ซงเปนขอบบนของชนท 4

จะได ตาแหนงของ P25 = คนสดทายของชนท 4

25(x + y + 31)100

= x + 9

3x - y + 5 = 0 ……➊จากโจทย Q3 = 110.5 ซงเปนขอบบนของชนท 6

จะได ตาแหนงของ Q3 = คนสดทายของชนท 6

3(x + y + 31)4

= x + y + 17

x + y - 25 = 0 ……➋ x = 5

คาจาง (บาท) จานวนคนงาน ความถสะสม

81 - 85

86 - 90

91 - 95

96 - 100

101 - 105

106 - 110

111 - 115

116 - 120

1

3

x

5

8

y

10

4

1

4

x + 4

x + 9

x + 17

x + y + 17

x + y + 27

x + y + 31

แทน x ดวย 5 ใน ➋ จะได

5 + y - 25 = 0

y = 20

ดงนน จานวนคนงานทไดคาจางรายวนตากวา 115.5 บาท

เทากบ x + y + 27 = 5 + 20 + 27 = 52 คน

Test for U


บอกซพลอต บอกซพลอตเปนการสรปลกษณะของขอมลชดหนงๆ ดวยกราฟ โดยทคาสถตทงหมด

ทตองทราบเพอใชในการสรางบอกซพลอต 5 คา ไดแก คาตาสดของขอมล คาควอรไทลท 1

คาควอรไทลท 2 คาควอรไทลท 3 และคาสงสดของขอมล

ตวอยาง ขอมลแสดงรายไดของครวเรอน (หมนบาท) จานวน 12 ครวเรอน เปนดงน

23 17 21 53 16 39 26 31 48 25 29 19

สราง Box plot ของขอมลทกาหนด

วธทา ขนท 1 เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมากไดดงน

16 17 19 21 23 25 26 29 31 39 48 53

ขนท 2 คานวณหา Q1, Q2, Q3, หาคาสงสด และคาตาสดของขอมล

ตาแหนง Q1 = 1(12 + 1)

4 = 3.25 จะได Q1 = 19 + 0.25(2) = 19.50

ตาแหนง Q2 = 2(12 + 1)

4 = 6.50 จะได Q2 = 25 + 0.50(1) = 25.5

ตาแหนง Q3 = 3(12 + 1)

4 = 9.75 จะได Q3 = 31 + 0.75(8) = 37

คาสงสด = 53 และคาตาสด = 16

ขนท 3 เขยนสเกลบนแกนแนวนอนหรอแนวตงใหครอบคลมคาตาสดและคาสงสด

แลวสราง Box plot ตามภาพ

15 20 25

Q2 Q3

คาสงสดคาตาสด

Q1

25%25% 25% 25%

30 35 40 45 50 55

จากแผนภาพจะพบวาจานวนขอมลทอยระหวาง xmin - Q1, Q2 - Q3 และ Q3 - xmaxมอยประมาณชองละ 25% ของจานวนขอมลทงหมด แตคาสงเกตทไดในแตละชวงจะไมเทากน

ดงนน เราสามารถใชความยาวของกลองในแตละชวงบอกลกษณะการกระจายตวของขอมล

ชดนนๆ ได

Note



1. สราง Box plot จากขอมลตอไปน

12 11 24 15 27 21 20 13 14 12 18 12 11 10 35

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถสราง Box plot และตความหมายจาก Box plot ได

1.4 B


จดเรยงขอมลจากนอยสดไปมากสด เพอหา Q1 Q2 และ Q3 ดงน

10 11 11 12 12 12 13 14 15 18 20 21 24 27 35

มขอมลทงหมด 15 จานวน

Q1 อยในตาแหนงท 1(15 + 1)4

= 4

ดงนน จานวนทตรงกบตาแหนงควอรไทลท 1 คอ 12


= 8



= 12


จากขอมลทได สราง Boxplot ไดดงรป

40

30

20

10

0

35

25

15

5


2. ขอมลตอไปนเปนปรมาณแคลอรตอไอศกรมหนงแทง จานวน 22 ชนด

346 377 320 340 300 234 294 286 370 282 210

339 120 240 282 297 209 157 290 250 230 250

สราง Box plot จากขอมลทกาหนด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


จดเรยงขอมลจากนอยสดไปมากสดเพอหา Q1 Q2 และ Q3 ดงน

120 157 209 210 230 234 240 250 250 282 282

286 290 294 297 300 320 339 340 346 370 377

ในทนมขอมลทงหมด 22 จานวน

จาก Qr อยในตาแหนงท r(N + 1)4

จงได Q1 อยในตาแหนงท 1(22 + 1)4

= 5.75

ดงนน Q1 อยระหวางคา 230 - 234 และจานวนแคลอรทตรงกบตาแหนงควอรไทลท 1

คอ 230 + 3 = 233 แคลอร


= 11.5 ดงนน Q2 อยระหวางคา 282 - 286

และจานวนแคลอรทตรงกบตาแหนงควอไทลท 2 คอ 282 + 2 = 284 แคลอร


= 17.25 ดงนน Q3 อยระหวางคา 320 - 329

และจานวนแคลอรทตรงกบตาแหนงควอไทลท 3 คอ 320 + 2.25 = 322.25 แคลอร

จากขอมลทมสราง Box plot ไดดงรป

100

300

400

200

แคลอ

ร

350

250

150


3. Box plot แสดงผลสรปของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหอง ม.6/1 และหอง

ม.6/2

60 70 80 90 100

7567

60

98

918577

64

88

100(ม.6/1)

(ม.6/2)

1) คะแนนหอง ม.6/1 ทไดคะแนนอยในกลม 25% ตาสด มคะแนนตาสดและคะแนนสงสด

เปนเทาใด

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) นกเรยนหอง ม.6/2 ทไดคะแนนมากกวาหรอเทากบ 91 คะแนน มประมาณกเปอรเซนต

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) มนกเรยน ม.6/1 กเปอรเซนต ทไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 75 คะแนน

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ถาในการสอบครงนผสอนจะใหระดบผลการเรยนเทากบ 4 แกผทได 80 คะแนนขนไป

หองใดจะมนกเรยนทไดระดบผลการเรยนเทากบ 4 มากกวากน

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/1

คาตาสด คอ 60, คาสงสด คอ 100, Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88

ดงนน 25% ของนกเรยนหอง ม.6/1 ทไดคะแนนอยในกลมตาสด

มคะแนนตาสด 60 คะแนน และคะแนนสงสดเปน 67 คะแนน

จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/2

คาตาสด คอ 64, คาสงสด คอ 98, Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91

ดงนน นกเรยนหอง ม.6/2 ทไดคะแนนมากกวาหรอเทากบ 91 คะแนน มประมาณ 25%

จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/1 จะพบวา Q2 = 75 คะแนน

ดงนน มนกเรยน 50% ของนกเรยนทงหองทไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 75 คะแนน

จาก Box plot ของนกเรยนหอง ม.6/1 และ ม.6/2 จะพบวา นกเรยนหอง ม.6/1 มนกเรยน

นอยกวา 50% ไดคะแนนมากกวา 80 คะแนน สวนนกเรยนหอง ม.6/2 มนกเรยน

มากกวา 50% ไดคะแนนมากกวา 80 คะแนน ของนกเรยนทงหอง

ดงนน หอง ม.6/2 มนกเรยนไดระดบผลการเรยนเทากบ 4 มากกวา


1 . 5 ¡ÒÃÇÑ ¡ÒÃ¡ÃÐ¨ÒÂ¢Í§¢ŒÍÁÙÅ Measures of Dispersion

การวดการกระจายของขอมล เปนสถตประเภทหนงทใชอธบายลกษณะการกระจายของ

ขอมล ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาตางกนมาก เรยกวา ขอมลมการกระจายมาก

ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาตางกนนอย เรยกวา ขอมลมการกระจายนอย และ

ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาเทากนหมด เรยกวา ขอมลไมมการกระจาย

การวดการกระจายสมบรณ การวดการกระจายสมบรณ คอ การวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว เพอดวาขอมล

แตละคาในชดนนมความแตกตางกนมากหรอนอยเพยงไร นยมใชกนอย 4 ชนด คอ

1) พสย

เปนคาทใชวดการกระจายของขอมล โดยหาไดจากผลตางระหวางคาสงสดกบ

คาตาสดของขอมล


เมอ xmax แทนขอมลทมคาสงสด

xmin แทนขอมลทมคาตาสด


เมอ Umax แทนขอบบนของอนตรภาคชนทมคาสงสด

Lmin แทนขอบลางของอนตรภาคชนทมคาตาสด

2) สวนเบยงเบนควอรไทล

เปนคาทใชวดการกระจายของขอมลรอบๆ คามธยฐาน ซงหาไดจากครงหนงของ

ผลตางระหวางควอรไทลท 3 กบควอรไทลท 1

พสย = xmax - xmin

พสย = Umax - Lmin

สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) = Q3 - Q1

2



สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) = Σ �xi - X�

n

k

i=1

สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) = Σ fi �xi - X�

Σ fi

k

i=1k

i=1

= Σ fi �xi - X�

n

k

i=1

สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ) = Σ (xi - μ)2

N

N

i=1 หรอ Σ xi

2

N

N

i=1 - μ2

3) สวนเบยงเบนเฉลย

เปนคาทใชวดการกระจายของขอมลรอบๆ คาเฉลย โดยหาไดจากการเฉลยคาสมบรณ

ของผลตางระหวางขอมลแตละตวกบคาเฉลยของขอมลชดนน


ถา x1, x2, x3, …, xk เปนคาของขอมลตวอยาง n จานวน และมคาเฉลย

เลขคณตเปน X แลว


เมอ xi เปนจดกงกลางของอนตรภาคชนตางๆ โดย i = 1, 2, 3, …, k ชน

fi เปนความถของอนตรภาคชนท i

n เปนจานวนขอมลตวอยางทงหมด

X เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน

4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน

เปนการวดการกระจายของคะแนนรอบๆ คาเฉลยคลายๆ กบสวนเบยงเบนเฉลย

ซงหาไดจากรากทสองของคาเฉลยของกาลงสองของผลตางระหวางขอมลแตละคากบคากลาง



ถา x1, x2, x3, …, xn เปนคาของขอมลประชากร N หนวย และมคาเฉลย

เลขคณตเปน μ สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร เปน σ คานวณจากสตร

เมอ μ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร

N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร



สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง (s) = Σ (xi - X)

2

n - 1

n

i=1 หรอ Σ xi

2 - nX 2

n - 1

n

i=1

สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ) = Σ fi (xi - μ)2

N

k

i=1 หรอ Σ fi xi

2

N

k

i=1 - μ2

สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง (s) = Σ fi (xi - X)

2

n - 1

k


2- nX 2

n - 1

k

i=1

สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางของประชากรใชสญลกษณแทนดวย S.D. หรอ s

เมอ X แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง

N แทนจานวนขอมลทงหมดของตวอยาง


สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรหรอตวอยางทแจกแจงความถ เปนคาโดยประมาณ

เพราะตองใชจดกงกลางของแตละอนตรภาคชนเปนตวแทนขอมล ซงมสตร ดงน

เมอ xi แทนจดกงกลางของอนตรภาคชนท i



N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร หรอผลรวมของความถของทกๆ

อนตรภาคชน


μ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร

X แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง



จะเหนไดวา กาลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐานกคอคาความแปรปรวนเขยนเปนสตรได

ดงน

คาสวนเบยงเบนมาตรฐาน2 = ความแปรปรวน

ดงนน ถาทราบความแปรปรวนของขอมลแลว จะสามารถหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ไดโดยการถอดรากทสองของความแปรปรวนนน เขยนเปนสตรในรปสญลกษณได ดงน

กรณทความแปรปรวนของขอมลประชากรไมไดแจกแจงความถ

กรณทความแปรปรวนของขอมลประชากรแจกแจงความถ




μ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร

N แทนจานวนขอมลทงหมดของประชากร

สวนการหาคาเฉลยของสวนเบยงเบนกาลงสอง โดยการหารดวยจานวนคาสงเกตทงหมด

ในชดขอมลลบดวย 1 หรอ (n - 1) ผลทไดเรยกวา ความแปรปรวนของตวอยาง และแทนดวย s2

กรณทความแปรปรวนของขอมลตวอยางไมไดแจกแจงความถ

ความแปรปรวนของตวอยาง s2 = Σ (xi - X)

2

n - 1

n

i=1 หรอ Σ xi

2 - nX 2

n - 1

n

i=1

ความแปรปรวนของประชากร (σ2) = Σ (xi - μ)2

N

N

i=1 = Σ xi

2

N

N

i=1 - μ2

ความแปรปรวนของประชากร (σ2) = Σ fi (xi - μ)2

N

k

i=1 = Σ fixi

2

N

k

i=1 - μ2

ในการวดการกระจายสมบรณ ถาคาทคานวณไดมคามาก แสดงวาขอมลมการกระจายมาก

ถาคาทคานวณไดมคานอย แสดงวาขอมลมการกระจายตวนอย

Note



ความแปรปรวนของตวอยาง (s2) = Σ fi (xi - X)

2

n - 1

k


2- nX 2

n - 1

k

i=1

1. หาพสยของความสง (เซนตเมตร) ของนกเรยนกลมหนง ซงมความสง ดงน

164 164 166 166 166 172 172 165 168 169 175

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

2. หาพสยของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ซงไดคะแนน ดงน

คะแนน 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

จานวนนกเรยน (คน) 3 6 20 21 8 2

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

จดประสงค นกเรยนสามารถวดการกระจายของขอมลและเปรยบเทยบการกระจายของขอมลได

Exercise 1.5 A

กรณทความแปรปรวนของขอมลตวอยางแจกแจงความถ



X แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง




จากขอมลทกาหนด คาสงสดของขอมล คอ 175 และคาตาสดของขอมล คอ 164

ดงนน พสยเทากบ 175 - 164 = 11 เซนตเมตร

จากขอมลทกาหนด ขอบบนของอตรภาคชนของขอมลทมคาสงสด คอ 99.5

และขอบลาง ของอตรภาคชนของขอมลทมคาตาสด คอ 39.5

ดงนน พสยเทากบ 99.5 - 39.5 = 60 คะแนน


3. หาสวนเบยงเบนควอรไทลของความสง (เซนตเมตร) ของนกเรยนกลมหนง ซงมความสง ดงน

164 164 166 166 166 172 172 165 168 169 175

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

4. หาสวนเบยงเบนควอรไทลของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ซงไดคะแนน ดงน

คะแนน 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99


วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


เรยงขอมลจากนอยไปมาก ไดดงน

164 164 165 166 166 166 168 169 172 172 175

หาตาแหนง Q1 = 1(N + 1)4

= 11 + 14

= 3

ดงนน Q1 = 165

หาตาแหนง Q3 = 3(N + 1)

4 = 3(11 + 1)

4 = 9

ดงนน Q3 = 172

ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) = 172 - 1652


คะแนน f f สะสม

40 - 49 3 3

50 - 59 6 9

60 - 69 20 29

70 - 79 21 50

80 - 89 8 58

90 - 99 2 60

จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหมเพอหาความถสะสมได ดงน

หาตาแหนงของ Q1 = 604

= 15

ดงนน Q1 อยในอนตรภาคชนท 60 - 69

ตาแหนงตางกน 29 - 9 = 20

คะแนนตางกน 59.5 - 69.5 = 10 คะแนน

ตาแหนงตางกน 15 - 9 = 6

คะแนนตางกน (10)(6)20

= 3 คะแนน

จะไดวา Q1 = 59.5 + 3 = 62.5 คะแนน

หาตาแหนงของ Q3 = 3(60)

4 = 45 ดงนน Q3 อยในอนตรภาคชนท 70 - 79

ตาแหนงตางกน 50 - 29 = 21 คะแนนตางกน 69.5 - 79.5 = 10 คะแนน

ตาแหนงตางกน 45 - 29 = 16 คะแนนตางกน (10)(16)21


จะไดวา Q3 = 69.5 + 7.62 = 77.12 คะแนน

ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) = 77.12 - 62.52



5. ขอมลจากตวอยางชดหนงประกอบดวยขอมล 8 จานวน คอ 70 52 73 46 75 90 78 100

หาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

6. หาสวนเบยงเบนเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ซงไดคะแนน ดงน

คะแนน 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99


วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


หาคาเฉลยเลขคณตจากสตร X = Σ xin

n

i=1

X = 70 + 52 + 73 + 46 + 75 + 90 + 78 + 1008

= 5848

= 73

ดงนน M.D. = �70 - 73� + �52 - 73� + �73 - 73� + �46 - 73� + �75 - 73� + �90 - 73� + �78 - 73� + �100 - 73�8

= 3 + 21 + 0 + 27 + 2 + 17 + 5 + 278

= 1028

= 12.75

จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหม ดงน

จากตาราง จะได X = 4,18060

= 69.67

และ M.D. = Σ fi�xi - X�

n

k

i=1

= 539.6660

= 8.99

ดงนน สวนเบยงเบนเฉลยโดยประมาณของคะแนนสอบของนกเรยนกลมน

เทากบ 8.99 คะแนน

คะแนน ความถ (fi) จดกงกลางชน (xi) fixi �xi - X� fi�xi

- X�

40 - 49 3 44.5 133.5 25.17 75.51

50 - 59 6 54.5 327 15.17 91.02

60 - 69 20 64.5 1,290 5.17 103.4

70 - 79 21 74.5 1,564.5 4.83 101.43

80 - 89 8 84.5 676 14.83 118.64

90 - 99 2 94.5 189 24.83 49.66

รวม 60 4,180 539.66


7. ผลการสารวจนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยน 10 คน ปรากฎผล ดงน 42, 54, 67, 32, 89,

45, 53, 64, 49 และ 56

1) หาพสย 2) หาสวนเบยงเบนควอรไทล

3) หาสวนเบยงเบนเฉลย 4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


1) หาพสยจาก พสย = xmax - xmin = 89 - 32 = 57

2) หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1

2

เรยงขอมลจากนอยไปมาก 32, 42, 45, 49, 53, 54, 56, 64, 67, 89

ตาแหนง Q1 = 1(10 + 1)

4 = 2.75 จะได Q1 = 42 + 0.75(3) = 44.25

ตาแหนง Q3 = 3(10 + 1)

4 = 8.25 จะได Q3 = 64 + 0.25(3) = 64.75

ดงนน Q.C. = 64.75 - 44.252

= 10.25

3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ �xi - X�

n

n

i=1

X = Σ xin

n

i=1 = 32 + 42 + 45 + … + 8910

= 55.1

ดงนน M.D. = �32 - 55.1� + �42 - 55.1� + �45 - 55.1� + … + �89 - 55.1�10

= 11.12

4) หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =

n

i=1 n - 1

Σ xi2 - nX 2

Σ xi2 = 322 + 422 + 452 + … + 892 = 32,581

ดงนน s = 10 - 132581 - 10(55.1)2 = 15.71

n

i=1


8. ขอมลแสดงอายของผเขาสมครงานในตาแหนงประชาสมพนธของบรษทแหงหนงเปน ดงน

26, 23, 25, 24, 27, 30, 32, 28, 33, 29, 31, 25, 27



วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


1) หาพสยจาก พสย = xmax - xmin = 33 - 23 = 11


2

เรยงขอมลจากนอยไปมาก 23, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33

ตาแหนง Q1 = 1(13 + 1)

4 = 3.5 จะได Q1 = 25 + 0.5(0) = 25

ตาแหนง Q3 = 3(13 + 1)

4 = 10.5 จะได Q3 = 30 + 0.5(1) = 30.5

ดงนน Q.C. = 30.5 - 252

= 2.75

3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ �xi - X�

n

n

i=1

X = Σ xin

n

i=1 = 23 + 24 + 25 + … + 3313

= 27.69

ดงนน M.D. = �23 - 27.69� + �24 - 27.69� + �25 - 27.69� + … + �33 - 27.69�13

= 2.59


n

i=1 n - 1

Σ xi2 - nX 2

Σ xi2 = 232 + 242 + 252 + … + 332 = 10,088

ดงนน s = 13 - 110088 - 13(27.69)2 = 3.17

n

i=1


9. ขอมลแสดงคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเปน ดงน

คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

จานวนนกเรยน 1 2 6 20 21 8 2



วธทา .................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................


จากขอมลทกาหนด นามาเขยนตารางใหมได ดงน

คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99 รวม

fi 1 2 6 20 21 8 2 60

cfi 1 3 9 29 50 58 60

xi34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5

fixi34.5 89 327 1290 1564.5 676 189 4170

�xi - X� 35 25 15 5 5 15 25 125

(xi - X)2 1225 625 225 25 25 225 625

fi�xi - X� 35 50 90 100 105 120 50 550

fi(xi - X)2 1225 1250 1350 500 525 1800 1250 7900

1) หาพสยจาก พสย = Umax - Lmin = 99.5 - 29.5 = 70


2

ตาแหนง Q1 = 1(60)

4 = 15 จะได Q1 = 59.5 + 10 (15 - 920 ) = 62.5


4 = 45 จะได Q3 = 69.5 + 10 (45 - 2921 ) = 77.12

ดงนน Q.C. = 77.12 - 62.52

= 7.31

3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ fi�xi - X�

n

k

i=1

X = Σ fixi

n

n

i=1 = 417060

= 69.5 ดงนน M.D. = 55060

= 9.16


k

i=1 n - 1

Σ fi(xi - X)2

= 60 - 17900 = 11.57


10. ขอมลแสดงคาใชจายของนกเรยนแตละคนใน 1 วน เปนดงน

จานวนเงน (บาท) 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100

จานวนนกเรยน 1 2 6 20 21 2



วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................



จานวนเงน (บาท) 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 รวม

fi 3 13 8 6 5 5 40

cfi 3 16 24 30 35 40

xi45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5

fixi136.5 721.5 524 453 427.5 477.5 2740

�xi - X� 23 13 3 7 17 27

(xi - X)2 529 169 6 49 289 729

fi�xi - X� 69 169 24 42 85 135 524

fi(xi - X)2 1587 2197 72 294 1445 3645 9240

1) หาพสยจาก พสย = Umax - Lmin = 100.5 - 40.5 = 60


2


4 = 10 จะได Q1 = 50.5 + 10 (10 - 313 ) = 55.88


4 = 30 จะได Q3 = 70.5 + 10 (30 - 246 ) = 80.5

ดงนน Q.C. = 80.5 - 55.882

= 12.31

3) หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ fi�xi - X�

n

k

i=1

X = Σ fixi

n

n

i=1 = 274040

= 68.5 ดงนน M.D. = 52440

= 13.1


k

i=1 n - 1

Σ fi(xi - X)2

= 40 - 19240 = 15.39


11. สมมตวาสมตวอยางถานไฟฉายยหอหนงมาตรวจสอบอายการใชงาน (หนวยชวโมง) ซงได

ขอมลดงตารางแจกแจงความถตอไปน

อายการใชงาน (ชวโมง) ความถ

61 - 70

71 - 80

81 - 90

91 - 100

101 - 110

111 - 120

5

14

18

25

12

6

หาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานของถานไฟฉาย

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................



อายการใชงาน xi fi fixi xi2 fixi

2

61 - 70

71 - 80

81 - 90

91 - 100

101 - 110

111 - 120

65

75

85

95

105

115

5

14

18

25

12

6

325

1,050

1,530

2,375

1,260

690

4,225

5,625

7,225

9,025

11,025

13,225

21,125

78,750

130,050

225,625

132,300

79,350

รวม Σ fi = 80 Σ fixi = 7,230 Σ fixi2 = 667,200

6

i=1

6

i=1

6

i=1

จะได X = Σ fixi

6

i=1

Σ fi6

i=1

= 7,23080

, Σ fi = 80 , Σ fixi2 = 667,200

และ s2 =

6

i=1 n - 1

Σ fixi2 - nX 2

= 667200 - 80 (7,23080 )

2

80 - 1 = 174.541

s = 174.541 = 13.21

ดงนน คาความแปรปรวนเทากบ 174.541 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 13.21

6

i=1

6

i=1


12. คะแนนสอบวชาหนงของนกเรยน 40 คน เปนดงน

คะแนน จานวนนกเรยน (fi)

10 - 14 4

15 - 19 6

20 - 24 a

25 - 29 8

30 - 34 4

35 - 39 6

โดยมคะแนนเฉลย (μ) เทากบ 24.5 และ Σ fi(xi - μ) = -125 ถาสวนเบยงเบนควอรไทล

เทากบ b และสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ c แลว a + b + c เทากบเทาไร

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

3

i=1


cfi xi fixi �xi - μ� fi�xi - μ�

4 12 48 12.5 50

10 17 102 7.5 45

22 22 264 2.5 30

30 27 216 2.5 20

34 32 128 7.5 30

40 37 222 12.5 75

จาก Σ fi(xi - μ) = -125 และ μ = 24.5

จะได Σ fi(xi - μ) = 4(12 - 24.5) + 6(17 - 24.5) + a(22 - 24.5)

-125 = -50 - 45 - 2.5a

a = 12

หาสวนเบยงเบนควอรไทลจาก Q.C. = Q3 - Q1

2


4 = 10 จะได Q1 = 19.5


4 = 30 จะได Q3 = 29.5

ดงนน Q.C. = 29.5 - 19.52

= 5

หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ fi�xi - μ�

N

6

i=1

= 25040

= 6.25

ดงนน a + b + c = 12 + 5 + 6.25 = 23.25

3

i=1

3

i=1


13. ในการสอบสมภาษณนกศกษา 3 คน ปรากฎวา มธยฐานเทากบ 46 และพสยเทากบ 17

ถานกศกษาคนแรกไดคะแนน 32 คะแนน ความแปรปรวนในการสอบสมภาษณครงน

ประมาณเทาใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ให x1, x2, x3 เปนคะแนนสอบสมภาษณของนกศกษาทงสามคน โดยเรยงจากนอยไปมาก

จากโจทย พสย = 17 แสดงวา x3 - x1 = 17

มธยฐาน = 46 แสดงวา x2 = 46

นกศกษาคนแรกไดคะแนน 32 คะแนน นนคอ x1 = 32

จะไดวา x3 - 32 = 17

x3 = 49

หาคาเฉลยเลขคณต μ = Σ xi

N

N

i=1

= 32 + 46 + 493

= 1273

= 42.33

ความแปรปรวน σ2 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2

= (32 - 42.33)2 + (46 - 42.33)2 + (49 - 42.33)2

3 ≈ 106.71 + 13.47 + 44.49

3 ≈ 54.89

ดงนน ความแปรปรวนในการสอบสมภาษณประมาณ 54.89


14. คะแนนสอบชดหนงม 3 จานวน โดยมฐานนยมและมธยฐานเทากบ 52 และคาเฉลยเลขคณต

เทากบ 48 พสยและสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลชดนเทากบเทาใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ให x1, x2, x3 เปนคะแนนสอบโดยเรยงจากนอยไปมาก

จากโจทย มธยฐาน = 52 แสดงวา x2 = 52

ฐานนยม = 52 แสดงวา ตองมอกคาเทากบ 52

และคาเฉลยเลขคณต = 48 ซงนอยกวา 52 นนคอ คาทเหลอจงตองนอยกวา 52

จะไดวา x3 = 52

นนคอ μ = Σ xi

N

N

i=1

48 = x1 + 52 + 52

3 144 = x1 + 102

x1 = 42

ดงนน พสยเทากบ 52 - 42 = 10

หาคาเบยงเบนควอรไทลจากตาแหนงของ Q1 = (N + 1)r

4

= (3 + 1)(1)4

= 1

นนคอ Q1 = 42

ตาแหนงของ Q3 = (3 + 1)(3)

4 = 3

นนคอ Q3 = 52

จะไดวา Q.D. = Q3 - Q1

2

= 52 - 422

= 102

= 5

ดงนน สวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 5


15. ในการทดสอบความสามารถดานการอานของนกเรยน 3 คน ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณต

ของคะแนนเทากบ 63 มธยฐานเทากบ 60 และพสยเทากบ 21 สวนเบยงเบนเฉลยในการ

สอบครงนเปนเทาใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

16. กาหนดให Σ (xi - 3)2 = 90 และ Σ xi = 30 เมอ xi คอ คาสงเกตตวท i ของขอมลแลว

หาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

10

i=1

10

i=1


ใหคะแนนของนกเรยน 3 คน เรยงจากนอยไปมาก คอ a, b, c

มธยฐานเทากบ 60 ดงนน b = 60

พสยเทากบ 21 ดงนน c - a = 21 ……➊คาเฉลยเลขคณตเทากบ 63 ดงนน a + 60 + c

3 = 63

a + c = 129 ……➋แกสมการ ➊ และ ➋ จะได a = 54, b = 60 และ c = 75

หาสวนเบยงเบนเฉลยจาก M.D. = Σ �xi - μ�

N

N

i=1

= �54 - 63� + �60 - 63� + �75 - 63�3

= 8

จาก Σ (xi - 3)2 = Σ (xi

2 - 6xi + 9)

= Σ xi2 - 6Σ xi + 9(10)

90 = Σ xi2 - 6(30) + 90

Σ xi2 = 180

หาคาเฉลยเลขคณตจาก X = Σ xin

n

i=1 = 3010

= 3

หาสวนเบยงเบนมาตรฐานจาก s =

n

i=1 n - 1

Σ xi2 - nX 2

= 10 - 1180 - 10(3)2

= 3.16

10

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=1

10

i=110

i=1


17. ในการสอบครงหนงนกเรยนทไดคะแนนสงสดไดคะแนนสงกวาคาเฉลยเลขคณต 42 คะแนน

และนกเรยนทไดคะแนนตาสดไดคะแนนตากวาคาเฉลยเลขคณต 34 คะแนน หาพสยของการ

สอบครงน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

18. นกเรยนหองหนงม 42 คน ในการสอบครงหนงพบวามนกเรยนขาดสอบ 2 คน คาเฉลย

เลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนกเรยน 40 คน เทากบ 60 และ 2 คะแนน

ตามลาดบ ตอมานกเรยนทขาดสอบ 2 คน มาสอบไดคะแนน 80 และ 82 คะแนน ตามลาดบ

หาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของนกเรยนทงหอง

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ให xmax แทนคะแนนสงสด และ xmin แทนคะแนนตาสด

จะได xmax - X = 42 ……➊ X - xmin = 34 ……➋➊ + ➋ จะได xmax - xmin = 76

ดงนน พสยของการสอบครงนเทากบ 76 คะแนน

จากสมบต Σ xi = nX

จะได Σ xiเกา = 40(60) = 2,400

ดงนน Σ xiใหม = 2,400 + 80 + 82 = 2,562

นนคอ Xใหม = 2,56242

= 61

จาก sเกา =

n

i=1 nเกา - 1

Σ xi2เกา - nX 2เกา

2 =

n

i=1 40 - 1

Σ xi2เกา - (40)(60)

2

Σ xi2เกา

= 144,156

ดงนน Σ xi2ใหม = 144,156 + 802 + 822 = 157,280

นนคอ sใหม = 42 - 1157280 - (42)(61)2 = 4.93

n

i=1n

i=1

n

i=1

n

i=1

n

i=1


19. คาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทเปนประชากรขนาด 20 รายการ

ชดหนงเปน 12 และ 4 ตามลาดบ ภายหลงพบวามการบนทกขอมลรายการหนงผดพลาด

โดย 12 บนทกเปน 8 หาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตอง

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

20. ขอมลชดหนงม 50 จานวน มคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเปน 10 และ 16 ตามลาดบ

แตภายหลงพบวาไดอานขอมลผดไป 3 จานวน คอ 0.1, 0.2 และ 0.3 เปน 10, 20 และ 30

ตามลาดบ หาความแปรปรวนทถกตอง

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


จะได Σ xiเกา = 20(12) = 240

ดงนน Σ xiใหม = 240 - 8 + 12 = 244 นนคอ μใหม = 12.2

จาก σเกา =

n

i=1 N

Σ xi2เกา - μ2 จะได 4 =

n

i=1 20

Σ xi2เกา - 122

Σ xi2เกา

= 3,200

ดงนน Σ xi2ใหม = 3,200 - 82 + 122 = 3,280

นนคอ σใหม = 203,280 - (12.2)2 = 3.89

n

i=1

n

i=1

n

i=1

n

i=1

จะได Σ xiเกา = 50(10) = 500

ดงนน Σ xiใหม = 500 - 10 - 20 - 30 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 440.6

นนคอ Xใหม = 440.650

= 8.812

จาก s2เกา =

n

i=1 nเกา - 1

Σ xi2เกา - nX 2เกา จะได 10 =

n

i=1

50 - 1

Σ xi2เกา - 50(10)

2

Σ xi2เกา

= 5,490

ดงนน Σ xi2ใหม = 5,490 - 102 - 202 - 302 + 0.12 + 0.22 + 0.32

= 4,090.14

นนคอ s2ใหม = 50 - 1

4090.14 - 50(8.812)2 = 4.24

n

i=1

n

i=1

n

i=1

n

i=1


21. ขอมลประชากรในหมบานแหงหนงม 100 ครวเรอน คานวณหาคาเฉลยเลขคณตไดเทากบ 8

สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 แตเมอตรวจสอบขอมลดงกลาวใหม พบวาบนทกขอมลผด

จาก 3 เปน 4 และจาก 1 เปน 2 หาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตอง

ของขอมลชดน

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


โจทย N = 100, μ = 8, σ = 2

จะไดวา μเกา = Σ xiเกา

N

N

i=1

ดงนน Σ xiเกา = Nμเกา = 100 × 8 = 800

Σ xiใหม = 800 - (4 + 2) + (3 + 1) = 798

และจาก σ2 = Σ xi

2เกา

N

N

i=1 - μ2

Σ xi2เกา = N(μ2 + σ2) = 100(64 + 4) = 6,800

Σ xi2ใหม = 6,800 - (42 + 22) + (32 + 12)

= 6,800 - 20 + 10 = 6,790

ดงนน คาเฉลยเลขคณตทถกตอง คอ Σ xi

N

N

i=1 = 798100

= 7.98

และสวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ

n

i=1 N

Σ xi2ใหม - μ2

ใหม = 1006,790 - (7.98)2

= 67.90 - 63.68

= 4.22

≈ 2.05

n

i=1

n

i=1

n

i=1

n

i=1


1. กาหนดตารางแจกแจงความถแสดงความสงของนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง เปนดงน


ความสง (ซม.) จานวนนกเรยน (คน)

120 - 129 10

130 - 139 20

140 - 149 40

150 - 159 50

160 - 169 30

1. ฐานนยมของความสงมคานอยกวา 149 เซนตเมตร

2. มธยฐานของความสงมคานอยกวา 145 เซนตเมตร

3. เปอรเซนไทลท 20 ของความสงมคามากกวา 146 เซนตเมตร

4. ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตร 4 ควอรไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตรฉบบเฉลย

แนวคด ความสง f F

120 - 129 10 10

130 - 139 20 30

140 - 149 40 70

150 - 159 50 120

160 - 169 30 150

1. อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ 150 - 159 นนคอ ฐานนยม มากกวา 149

2. ตาแหนงมธยฐาน คอ N2 = 150

2 = 75

แสดงวามธยฐานอยในอนตรภาคชน 150 - 159 นนคอ มธยฐาน มากกวา 145

3. ตาแหนง P20 คอ Nr100

= 150 × 20100

= 30

ตาแหนง P20 อยในอนตรภาคชน 130 - 139

แตตาแหนงของ P20 เทากบความถสะสมชนกอน P20

นนคอ P20 = ขอบบนของอนตรภาคชน 130 - 139 = 139.5

4. ตาแหนงควอรไทลท 3 คอ Nr4 = 150 × 3

4 = 112.5

แสดงวา ควอรไทลท 3 อยในอนตรภาคชน 150 - 159 นนคอ Q3 มากกวา 150

Test for U


2. ถา 20, x2, x3, …, x25 เปนขอมลทเรยงจากคานอยไปมาก และเปนลาดบเลขคณตและควอรไทล

ทหนงของขอมลชดนเทากบ 31 แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบเทาใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


แนวคด จากโจทย Q1 = 31

ตาแหนงของ Q1 = (N + 1)r

4 = (25 + 1)(1)

4 = 6.5

จะได Q1 = x6 + x7

2 แสดงวา x6 + x7

2 = 31

x6 + x7 = 62

จากขอมลเรยงกนเปนลาดบเลขคณต จะได

(x1 + 5d) + (x1 + 6d) = 62

2x1 + 11d = 62

เนองจาก x1 = 20 จะได

2(20) + 11d = 62

d = 2

นนคอ ขอมลชดน คอ 20, 22, 24, …, 68

คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน คอ

X = Σ xin

n

i=1

= 20 + 22 + 24 + ... + 6825

= 44

ดงนน สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ Σ �xi - X�

n

n

i=1 = Σ �xi - 44�

n

n

i=1

= 24 + 22 + 20 + ... + 20 + 22 + 2425

= 12.48

Test for U


การวดการกระจายสมพทธ การวดการกระจายสมพทธ คอ การวดการกระจายของขอมลทมากกวา 1 ชด โดยใช

อตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายสมบรณกบคากลางของขอมลนนๆ เพอใชในการ

เปรยบเทยบการกระจายของขอมลเหลานน มอย 4 ชนด คอ

1) สมประสทธของพสย (C.R.)

2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (C.Q)

3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (C.A)

ก. กรณของตวอยาง

C.A. = M.D.X

ข. กรณของประชากร

C.A. = M.D.μ

4) สมประสทธของความแปรผน (C.V.)

ก. กรณของตวอยาง

C.V. = s

ข. กรณของประชากร

C.V. = σμ

C.Q. = Q3 - Q1Q3 + Q1

C.R. = xmax - xminxmax + xmin

การวดการกระจายสมพทธ คาทคานวณไดจะไมมหนวย ซงแตกตางจากการวดการกระจาย

สมบรณซงมหนวย และบางครงอาจแสดงรปรอยละทาโดยการปรบเทยบคากลางใหเปน 100 กได

Note

X



ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และการกระจายของขอมล จากขอมลทมการแจกแจงความถ ถานาขอมลเหลานมาเขยนใหเปนเสนโคงของความถ

จะเหนวาโดยทวๆ ไป แบงเปน 3 ลกษณะ ดงน

1. เสนโคงปกต หรอเสนโคงรประฆงควา (Normal curve or bell-shaped Curve)

ซงมความสมพนธกบคากลางของขอมล คอ

คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = ฐานนยม

2. เสนโคงเบลาดทางขวา หรอเสนโคงเบทางบวก (Positively Curve) ซงมความสมพนธ

กบคากลางของขอมล คอ

ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต

3. เสนโคงเบลาดทางซาย หรอเสนโคงเบทางลบ (Negatively Curve) ซงมความสมพนธ

กบคากลางของขอมล คอ

คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม

X = Med = MoxO

f โคงปกต

X < Med < MoxO

f โคงเบซาย

Mo < Med < XxO

f โคงเบขวา

X = Med = MoxO


X < Med < MoxO


Mo < Med < XxO


X = Med = MoxO


X < Med < MoxO


Mo < Med < XxO




เสนโคงของความถทพบเสมอๆ ไมวาจะเปนขอมลทางดานประชากร เกษตร สงคม

เศรษฐกจ หรอวทยาศาสตร สวนใหญมกเปนขอมลทเกดขนหรอเปนไปตามธรรมชาต และจะม

เสนโคงความถเปนรปเสนโคงปกต เชน ขอมลเกยวกบนาหนก สวนสง ราคา และผลผลตทาง

การเกษตร

ลกษณะของเสนโคงปกต

เสนโคงปกตมความโดงมากหรอนอยขนอยกบการกระจายของขอมล ดงน

ถาขอมลมการกระจายมาก เสนโคงปกตจะโดงนอย หรอคอนขางแบน

ถาขอมลมการกระจายนอย เสนโคงปกตจะโดงมากหรอคอนขางสง ดงรป

μ1 = μ2

ขอมลชดท 2 มการกระจายตวมาก

ขอมลชดท 1 มการกระจายตวนอย

จากรป

• μ1 = μ2

• σ1 < σ2

• ขอมลชดท 2 กระจายมากกวาขอมลชด 1



1. ตารางแสดงอายของบตรของสองครอบครวเปน ดงน

อายของบตรในครอบครวท 1 (ป) 8 6 5 3

อายของบตรในครอบครวท 2 (ป) 24 17 12 10 8

เปรยบเทยบการกระจายอายของบตรของสองครอบครว โดยใช

1) สมประสทธของพสย

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

จดประสงค นกเรยนสามารถเปรยบเทยบการกระจายของขอมลได

Exercise 1.5 B


ครอบครวท 1 C.R1 = xmax - xminxmax + xmin

= 8 - 38 + 3

= 0.45

ครอบครวท 2 C.R2 = xmax - xminxmax + xmin

= 24 - 824 + 8

= 0.50

จะพบวา C.R2 > C.R1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา

อายของบตรในครอบครวท 1

ครอบครวท 1

หาตาแหนง Q1 = 1(4 + 1)

4 = 1.25 จะได Q1 = 3 + 0.25(2) = 3.5


4 = 3.75 จะได Q3 = 6 + 0.75(2) = 7.5

ดงนน C.Q1 = Q3 - Q1Q3 + Q1

= 7.5 - 3.57.5 + 3.5

= 0.363

ครอบครวท 2


4 = 1.5 จะได Q1 = 9 + 0.5(1) = 9.5


4 = 4.5 จะได Q3 = 17 + 0.5(7) = 20.5

ดงนน C.Q2 = Q3 - Q1Q3 + Q1

= 20.5 - 9.520.5 + 9.5

= 0.366

จะพบวา C.Q2 > C.Q1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา



3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

4) สมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากร

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................


ครอบครวท 1 หา μ1 จาก μ1 = Σ xi

N

N

i=1 = 8 + 6 + 5 + 34

= 5.5

หา M.D1 จาก M.D1 = Σ �xi - μ�

N

N

i=1 = �8 - 5.5� + �6 - 5.5� + �5 - 5.5� + �3 - 5.5�4

= 1.5

ดงนน C.M1 = M.D.

μ = 1.55.5

= 0.27

ครอบครวท 2 หา μ2 จาก μ2 = Σ xi

N

N

i=1 = 8 + 10 + 12 + 17 + 245

= 14.2

หา M.D2 จาก M.D2 = Σ �xi - μ�

N

N

i=1

= �8 - 14.2� + �10 - 14.2� + �12 - 14.2� + �17 - 14.2� + �24 - 14.2�5

= 5.04

ดงนน C.M2 = M.D.

μ = 5.0414.2

= 0.35

จะพบวา C.M2 > C.M1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา


ครอบครวท 1 หา σ1 จาก σ1 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2

= 4(8 - 5.5)2 + (6 - 5.5)2 + (5 - 5.5)2 + (3 - 5.5)2 = 1.8

ดงนน C.V1 = σμ = 1.8

5.5 = 0.33

ครอบครวท 2 หา σ2 จาก σ2 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2

= 5(8 - 14.2)2 + (10 - 14.2)2 + (12 - 14.2)2 + (17 - 14.2)2 + (24 - 14.2)2

= 5.74

ดงนน C.V1 = σμ = 5.74

14.2 = 0.40

จะพบวา C.V2 > C.V1 แสดงวา อายของบตรในครอบครวท 2 มการกระจายตวมากกวา



2. ถาราคาขาวเปลอกและขาวสารตอถงของรานคาขาว 6 ราน ในทองทแหงหนงเปน ดงน

ราคาขาวเปลอก (บาท) 75 74 72 77 78 71

ราคาขาวสาร (บาท) 112 114 117 115 120 116

หาสมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากรและสมประสทธของพสยของราคาขาวเปลอก

และราคาขาวสาร และอธบายความหมายทได

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ราคาขาวเปลอก

หา μ1 จาก μ1 = Σ xi

N

N

i=1 = 75 + 74 + 72 + 77 + 78 + 716

= 74.5

หา σ1 จาก σ1 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2 = 6

(75 - 74.5)2 + (74 - 74.5)2 + … + (71 - 74.5)2 = 2.5

ดงนน C.V1 = σμ = 2.5

74.5 = 0.03

ราคาขาวสาร


N

N

i=1 = 112 + 114 + 117 + 115 + 120 + 1166

= 115.67

หา σ2 จาก σ2 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2

= 6(112 - 115.67)2 + (114 - 115.67)2 + … + (116 - 115.67)2 = 2.49

ดงนน C.V2 = σμ = 2.49

115.67 = 0.02

จะพบวา C.V1 > C.V2 แสดงวาราคาขาวเปลอกมการกระจายตวมากกวาราคาขาวสาร

ราคาขาวเปลอก C.R1 = xmax - xminxmax + xmin

= 78 - 7178 + 71

= 0.05

ราคาขาวสาร C.R2 = xmax - xminxmax + xmin

= 120 - 112120 + 112

= 0.03

จะพบวา C.R1 > C.R2 แสดงวาราคาขาวเปลอกมการกระจายตวมากกวาราคาขาวสาร

นนคอ ไมวาจะใชสมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากรหรอสมประสทธของพสย

กใหผลลพธการวดการกระจายสมพทธทเหมอนกน


3. ในการเปรยบเทยบความเทยงตรงของ

ไมบรรทด 2 ชนด คอ A และ B ได

วดกบวตถมาตรฐานทมความยาว 50

มลลเมตร จานวน 8 ครง บนทกความยาว

ทอานได จากการใชไมบรรทดทง 2 ชนด

ดงตารางทกาหนด

จากขอมลดงกลาว ไมบรรทดชนดใด

มความคลาดเคลอนนอยกวา

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

การวดครงทความยาวทอานได (มลลเมตร) จาก

ไมบรรทด A ไมบรรทด B

12345678

5148474951485047

5047495048504948


ในทนเลอกใชสมประสทธของการแปรผนสาหรบประชากรมาเปรยบเทยบ


N

N

i=1 = 51 + 48 + … + 478

= 48.875


N

N

i=1 = 50 + 47 + … + 488

= 48.875

จะได

จาก σ1 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2 = 8

18.91 = 1.54

ดงนน C.V1 = σμ = 1.54

48.875 = 0.03

จาก σ2 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2= 8

8.91 = 1.06

ดงนน C.V2 = σμ = 1.06

48.875 = 0.02

xA (xA - μA)2 xB (xB - μB)

2

5148474951485047

4.520.773.520.024.520.771.273.52

5047495048504948

1.273.520.021.270.771.270.020.77

391 18.91 391 8.91

จะพบวา C.V1 > C.V2 แสดงวาความยาวทวดไดจากไมบรรทด A มการกระจายตวมากกวา

ความยาวทวดไดจากไมบรรทด B

นนคอ ไมบรรทด B มความคลาดเคลอนนอยกวาไมบรรทด A


4. ในการทดสอบระดบไอควของนกเรยน 4 หอง มสวนเบยงเบนเฉลยและคาเฉลยของระดบไอคว

ดงน

หอง หองนก หองชาง หองหน หองลง

สวนเบยงเบนเฉลย 4.25 3.25 3.50 2.75

คาเฉลยของระดบไอคว 115 110 108 112

ถานกเรยนเปนอาจารยทตองเลอกสอนนกเรยน 1 ใน 4 หองน โดยมขอตกลงวาจะสอนหอง

ทมระดบไอควไลเลยกนเทานน นกเรยนจะตองเลอกสอนนกเรยนหองใด

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

5. ความแปรปรวนของนาหนกในรอบ 8 ป ซงมนาหนก 60, 40, 60, 60, 50, 70, 80 และ 80

กโลกรม ตามลาดบเทากบกกโลกรม2

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

6. ขอมลชดหนงมความแปรปรวน 5 + 24 สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบเทาไร วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


ในทนเลอกใชสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยมาเปรยบเทยบ

หองนก C.M1 = M.D.μ = 4.25

115 = 0.037

หองชาง C.M2 = 3.25110

= 0.0295

หองหน C.M3 = 3.5108

= 0.032

หองลง C.M4 = 2.75112

= 0.0246

จะพบวา C.M1 > C.M3 > C.M2 > C.M4 แสดงวาระดบไอควของนกเรยนหองนก

มการกระจายตวมากทสด รองลงมาเปนหองหน หองชาง และหองลง ตามลาดบ

นนคอ ถานกเรยนเปนอาจารยจะเลอกสอนนกเรยนหองลง เพราะมระดบไอควใกลเคยงกน

มากทสด

หาความแปรปรวนของประชากรจาก σ2 =

N

i=1 N

Σ (xi - μ)2

μ = Σ xi

N

N

i=1 = 60 + 40 + 60 + … + 808

= 60.5

σ2 = (60 - 60.5)2 + (40 - 60.5)2 + (60 - 60.5)2 + … + (80 - 60.5)2

8 = 172.75

ดงนน ความแปรปรวนของนาหนกในรอบ 8 ป เทากบ 172.75 กโลกรม2

ความแปรปรวน = 5 + 24

= 5 + 2 6 = ( 2 + 3)2

ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 2 + 3


Unit Testแบบทดสอบหนวยการเรยนรท

ตอนท 1 เลอกคาตอบทถกทสด

1


1. แผนภาพตน - ใบ ตอไปน มคาเฉลยเลขคณตเทากบเทาใด

1 4 72 3 4 83 0 2 3 5 94 2 65 3

1. 28 2. 32 3. 36 4. 40

2. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ชน ม.6 หองหนง คะแนน

เตม 50 คะแนน เปนดงน

คะแนน 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50

ความถ 4 7 12 5 2

ขอสรปทเกยวกบขอมลชดน ขอใดถกตอง

1. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 23 2. มธยฐานเทากบ 28.33

3. ฐานนยมเทากบ 24.67 4. ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 เทากบ 20.5

3. กาหนดให Σ (xi - 1)(6yi + 3) = 45 , Σ xi = 6 และ Σ yi = - 2 หา Σ xiyi

1. -9 2. -5 3. 5 4. 9

4. ขอมลชดหนงม 50 จานวน ทกจานวนเปนจานวนบวก

กาหนดให Σ (xi - X )2 = 50 และ Σ xi

2 = 1,250 แลว X เทากบเทาใด

1. 24 2. 24 3. 12 4. 12

5. โรงเรยนมธยมแหงหนง มนกเรยนหญง 38 ของจานวนนกเรยนทงหมด และคานวณคาเฉลย

นาหนกของนกเรยนทงหมดเทากบ 53 กโลกรม ถานาหนกเฉลยของนกเรยนหญงเทากบ

48 กโลกรม นาหนกเฉลยของนกเรยนชายเทากบเทาไร

1. 56 2. 58 3. 62 4. 64

6. คาเฉลยฮารมอนกของขอมล 4, 5, 8, 12 เทากบขอใด

1. 6.28 2. 6.18 3. 6.08 4. 5.98

1. 28 2. 32 3. 36 4. 40 1. 28 2. 32 3. 36 4. 40

3. ฐานนยมเทากบ 24.67 4. ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 เทากบ 20.5 3. ฐานนยมเทากบ 24.67 4. ขอบบนของอนตรภาคชนท 3 เทากบ 20.55

i=1

5

i=1

5

i=1

5

i=1

1. -9 2. -5 3. 5 4. 9 1. -9 2. -5 3. 5 4. 9

50

i=1

50

i=1

1. 24 2. 1. 24 2.

1. 56 2. 58 3. 62 4. 64 1. 56 2. 58 3. 62 4. 64

1. 6.28 2. 6.18 3. 6.08 4. 5.98 1. 6.28 2. 6.18 3. 6.08 4. 5.98



7. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน ชน ม.6 โรงเรยนแหงหนง

เปนดงน

คะแนน 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50

ความถสะสม 5 13 a 36 40

ถามธยฐานของคะแนนสอบเทากบ 25.5 คะแนน คาของ a เทากบเทาใด

1. 14 2. 17 3. 27 4. 31

8. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 50 คน เปนดงน

คะแนน 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

ความถ 1 5 5 10 15 8 5 1

เปอรเซนตไทลท 60 เทากบเทาไร

1. 62.5 2. 63.5 3. 64. 5 4. 65.5

9. ตารางแจกแจงความถทกาหนดให คะแนน 59.38 ตรงกบเปอรเซนตไทลทเทาไร

คะแนน 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80

ความถสะสม 16 32 45 70 120 140

1. 48 2. 50 3. 52 4. 55

10. ตารางแสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6/1 เปนดงน

คะแนน 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

จานวนนกเรยน (คน) 1 4 10 22 45 30 8

ถานกเรยนกลมทไดคะแนนสงสดและนกเรยนกลมทไดคะแนนตาสดคดเปน 15% และ 80%

ของนกเรยนทงระดบ ตามลาดบ ให a แทนคะแนนตาสดของนกเรยนกลมทไดคะแนนสงสด

และ b แทนคะแนนสงสดของนกเรยนกลมทไดคะแนนตาสด คาของ a, b เทากบเทาไร

1. 83.24, 62.67

2. 84.88, 61.23

3. 84.88, 62.67

4. 84.17, 60.86

1. 14 2. 17 3. 27 4. 31 1. 14 2. 17 3. 27 4. 31

1. 62.5 2. 63.5 3. 64. 5 4. 65.5 1. 62.5 2. 63.5 3. 64. 5 4. 65.5

1. 48 2. 50 3. 52 4. 55 1. 48 2. 50 3. 52 4. 55

4. 84.17, 60.86 4. 84.17, 60.86



11. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาฟสกสของนกเรยนหองหนงเปนดงน

คะแนน 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99

จานวนนกเรยน (คน) 3 8 14 8 11 6 10 8 12

ณฐนนทสอบไดคะแนนในตาแหนงควอรไทลท 3 สวนพสชฐสอบไดในตาแหนงเดไซลท 8

พสชฐสอบไดคะแนนมากกวาณฐนนทกคะแนน

1. 1.25 คะแนน 2. 1.50 คะแนน 3. 2.50 คะแนน 4. 5.00 คะแนน

12. กาหนดขอมล 2 ชด ดงน

ขอมล A 2, 3, 7, 4, 6, 8 ขอมล B 4, 1, 5, 6, 9, 5

พจารณาวาขอความทสรปเกยวกบขอมล A และขอมล B ขอใดถกตอง

1. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A

2. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล A มากกวาขอมล B

3. คาเฉลยไมเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A

4. คาเฉลยไมเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล A มากกวาขอมล B

13. ขอมลชดหนงม 50 จานวน มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 30 คาความแปรปรวนเทากบ 36

เมอตรวจสอบขอมลใหม พบวาอานขอมลผดไป 2 คา คอ จาก 1 เปน 9 และจาก 4

เปน 6 คาความแปรปรวนทถกตองคอขอใด

1. 44.39 2. 45.96 3. 46.17 4. 46.32

14. ขอมลชดหนงม 6 จานวน มคาฐานนยมเทากบ 12 มธยฐานเทากบ 20 คาเฉลยเลขคณต

เทากบ 21 พสยเทากบ 22 กาหนดใหขอมลตวท 3 ทเรยงจากขอมลทมคานอยทสด

เทากบ 15 คาความแปรปรวนเทากบเทาใด

1. 69 2. 72 3. 75 4. 84

15. ให xi แทนคะแนนสอบวชาชววทยาของนกเรยนคนท i เมอ i = 1, 2, 3, …, 50 ทม

คะแนนเตม 100 คะแนน คาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐานเทากบ 60, 50 และ 40

ตามลาดบ ขอใดตอไปนถกตอง

1. Σ �xi - 60� มคานอยทสด



4. Σ (xi - 60)2 มคานอยทสด

1. 1.25 คะแนน 2. 1.50 คะแนน 3. 2.50 คะแนน 4. 5.00 คะแนน 1. 1.25 คะแนน 2. 1.50 คะแนน 3. 2.50 คะแนน 4. 5.00 คะแนน

1. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A 1. คาเฉลยเทากน สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล B มากกวาขอมล A

1. 44.39 2. 45.96 3. 46.17 4. 46.32 1. 44.39 2. 45.96 3. 46.17 4. 46.32

1. 69 2. 72 3. 75 4. 84 1. 69 2. 72 3. 75 4. 84

50

i=150

i=1

3. 3.50

i=150

i=1



16. ขอมลชดหนงมสมประสทธพสยเทากบ 0.45 ขอมลทมคามากทสดมคา 58 หาคาของขอมล

ทมคานอยทสด

1. 22 2. 24

3. 26 4. 28

17. ขอมล 2 ชด ไดแก ขอมลชด A : 15, 20, 30, 45, 50

ขอมลชด B : 10, 20, 30, 50, 60

พจารณาขอสรปตอไปน

(1) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชด A มากกวาขอมลชด B

(2) สมประสทธของการแปรผนของขอมลชด B นอยกวาขอมลชด A


1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก

2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด

3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก

4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

18. ตารางแสดงขอมลคะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 และ ม.6/2 เปนดงน

นกเรยนชน ม.6/1 นกเรยนชน ม.6/2

คาเฉลยเลขคณต 85 90

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 15 18

เมอเปรยบเทยบการกระจายของคะแนนสอบวชาวทยาศาสตร ขอใดตอไปนถกตอง

1. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายนอยกวา ม.6/2

2. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายมากกวา ม.6/2

3. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายเทากบ ม.6/2

4. จากขอมลไมสามารถเปรยบเทยบการกระจายได

19. ขอมลชดหนงมสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ 32 คะแนน และสมประสทธของสวนเบยงเบน

ควอรไทลเทากบ 12 ถาโอและเอมลาดบคะแนนอยทตาแหนงเปอรเซนตไทลท 25 และ 75

ตามลาดบ ทงสองมคะแนนรวมกนกคะแนน

1. 128 คะแนน 2. 96 คะแนน

3. 64 คะแนน 4. 48 คะแนน

1. 22 2. 24 1. 22 2. 24

4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

1. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายนอยกวา ม.6/2 1. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยน ชน ม.6/1 มการกระจายนอยกวา ม.6/2

1. 128 คะแนน 2. 96 คะแนน 1. 128 คะแนน 2. 96 คะแนน



20. พจารณาขอมลตอไปน ซงเรยงลาดบจากนอยไปมาก

5 10 x 18 20 23 25 27 y 37 46

ถาควอรไทลท 1 มคาเทากบ 12 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 23 แลวสวนเบยงเบนควอรไทล

และสวนเบยงเบนเฉลยเทากบเทาใด

1. 0.19, 8.11

2. 0.18, 9.09

3. 9, 8.11

4. 9, 9.09

21. ตารางแสดงขอมล 2 กลม ทมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ดงน

ขอมลกลมท 1 ขอมลกลมท 2 ขอมลรวมของกลมท 1, 2

คาเฉลยเลขคณต 20 x 22.5

สวนเบยงเบนมาตรฐาน y 4 5.5

จานวนขอมล 15 25 40

คา x และ y เทากบขอใด

1. 26, 6 2. 26, 8

3. 24, 7 4. 24, 6

22. กาหนดขอมลตอไปน 4, 9, 16, 22, 39 ถา a และ b ทาให Σ (xi - a)2

และ Σ �xi - b� มคานอยทสด คาของ a และ b เทากบขอใด

1. 20, 16

2. 16, 20

3. 18, 16

4. 16, 18

23. ในการเกบคะแนนของนกเรยน 3 คน ไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 22 มธยฐานเทากบ 22

และพสยเทากบ 4 สมประสทธการแปรผนเทากบเทาไร

1. 633 2. 233

3. 233 4. 833

4. 9, 9.09 4. 9, 9.09

3. 24, 7 4. 24, 6 3. 24, 7 4. 24, 6N

i=1N

i=1

3. 18, 16 3. 18, 16

3. 3.



24. ให xi แทนขอมลชดท 1, σ12 แทนความแปรปรวนของขอมลชดท 1

Yi แทนขอมลชดท 2, σ22 แทนความแปรปรวนของขอมลชดท 2

และ Σ xi2= 88, σ1

2= 2, Σ Yi2= 152, σ2

2 = 3


1. คาเฉลยของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2

และการกระจายของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2

2. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2

และการกระจายของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2

3. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2

และการกระจายของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2

4. คาเฉลยของขอมลชดท 1 มากกวาขอมลชดท 2

และการกระจายของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2

25. กาหนดขอมลตอไปน 23, 35, 18, 20, 27, 25, 41 พจารณาวาขอใดไมถกตอง

1. สมประสทธของพสยเทากบ 0.39

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.27

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.23

4. สมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.82

26. ขอมล 2 ชด ไดแก ขอมล A 5 8 9 11 12

ขอมล B 20 25 27 28 30

อตราสวนของสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมล A ตอขอมล B เทากบเทาไร

1. 63130 2. 130

63

3. 16033 4. 33

160

27. ขอมลชดหนงมสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.75 มคาความแปรปรวนเทากบ 9

และผลรวมของขอมลแตละตวยกกาลงสองเทากบ 1,000 จานวนขอมลทงหมดเทากบเทาใด

1. 30 2. 40

3. 50 4. 60

8

i=1

8

i=1

3. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2 3. คาเฉลยของขอมลชดท 1 นอยกวาขอมลชดท 2

4. สมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.82 4. สมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.82

2. 2.

1. 30 2. 40 1. 30 2. 40



28. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบของนกเรยน ชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนงเปนดงน

คะแนน 0 - 9 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49

ความถ (คน) 2 8 14 12 4

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลชดนเทากบเทาไร

1. 0.28 2. 0.34

3. 0.56 4. 0.64

29. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ทงหมด 4 หอง ทาการสอบวชาคณตศาสตร

คะแนนเตม 50 คะแนน สามารถแจกแจงขอมลได ดงน

หอง ม.3/1 ม.3/2 ม.3/3 ม.3/4

คาเฉลยเลขคณต 35 38 32 28

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 7 8 5 6

คะแนนสอบหองใดมการกระจายของคะแนนนอยทสด

1. ม.3/1 2. ม.3/2

3. ม.3/3 4. ม.3/4

30. ขอมลชดหนงมจานวน 8 ตว มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 5 ถา Σ (xi - 5)2 = 160

แลวสมประสทธของการแปรผนเทากบเทาใด

1. 55 2. 2 55

3. 3 55 4. 4 55

1. 0.28 2. 0.34 1. 0.28 2. 0.34

3. ม.3/3 4. ม.3/4 3. ม.3/3 4. ม.3/48

i=1

2. 2.


ตอนท 2 แสดงวธทา

1. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง ทกอนตรภาคชนมความกวาง

10 คะแนน มธยฐานของคะแนนสอบเทากบ 57 คะแนน อยในอนตรภาคชน 50-59

ถานกเรยนทสอบไดคะแนนนอยกวา 49.5 คะแนน มจานวน 12 คน และมนกเรยนทได

คะแนนมากกวา 59.5 คะแนน มจานวน 20 คน นกเรยนกลมนมจานวนกคน

2. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน ถานกเรยน

ชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต

50 คะแนน อตราสวนของจานวนนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเปนเทาไร

3. จากการสารวจนาหนกของนกเรยนกลมหนงจานวน 4 คน ม 2 คน นาหนกเทากนแตนอยกวา

อก 2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐาน และพสยของนาหนกของนกเรยน 4 คน คอ 45, 46

และ 6 กโลกรม ตามลาดบ แลวความแปรปรวนของนาหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด

4. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ความแปรปรวน

(ประชากร) เทากบ 600 คะแนน2 ถามนกเรยนเพมอกหนงคน ซงสอบได 60 คะแนน ทาให

คาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด

5. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ถานกเรยนคนหนงในหองนสอบได 55

คะแนน เมอนามาลบกบคาเฉลยเลขคณตจะเทากบ 12 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

และสมประสทธของการแปรผนของคะแนนนกเรยนหองนเทากบ 20% คะแนนเฉลยของ

นกเรยนหองนเทากบเทาใด



แบบทดสอบ

พสจนศกยภาพChallenge Test


1. กาหนดขอมลชดหนง ดงน 3, 5, 2, 8, 7, 4, 9, 6, 10, 6 พจารณาขอใดถกตอง

1. คาเฉลยเลขคณตมากกวาฐานนยม

2. ฐานนยมมากกวามธยฐาน

3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน

4. มธยฐานมากกวาคาเฉลยเลขคณต

2. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากได ดงน 2, 5, a, b, 8, 9 ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ

มธยฐานและสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบ 2 แลวคาของ [b + ab - a ]2 เทากบ

เทาใด

1. 24 2. 36

3. 48 4. 60

3. ตารางแจกแจงความถคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 เปนดงน

คะแนน 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50


คาเฉลยเลขคณตของขอมลสามารถเขยนอยในรปจานวนคละไดดงน a bc คาของ (a + c - b)

เทากบเทาใด

1. 10 2. 20

3. 30 4. 40

4. กาหนดขอมล 10 จานวน ดงน 32 18 45 27 34 23 46 16 44 30


(1) ผลตางของควอรไทลท 3 และมธยฐาน เทากบ 8

(2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล เทากบ 0.31


1. ขอ (1) และ ขอ (2) ถก

2. ขอ (1) ถก แต ขอ (2) ผด

3. ขอ (1) ผด แต ขอ (2) ถก

4. ขอ (1) และ ขอ (2) ผด

3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน 3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน

1. 24 2. 36 1. 24 2. 36

3. 30 4. 40 3. 30 4. 40

4. ขอ (1) และ ขอ (2) ผด 4. ขอ (1) และ ขอ (2) ผด



5. ในการสอบวชาภาษาองกฤษคะแนนเตม 50 คะแนน มจานวนนกเรยนเขาสอบ 100 คน

ถานายยศกร เปนนกเรยนทเขาสอบคนหนง สอบไดคะแนน 48 คะแนน และมจานวนนกเรยน

ทสอบไดคะแนนนอยกวา 48 คะแนน อย 90 คน ถาจดอนตรภาคชนในตารางแจกแจงความถ

ใหแตละอนตรภาคชนเทาๆ กน โดยทนายยศกรอยในชวงอนตรภาคชน 46-50 มจานวน

นกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงอนตรภาคชน 46-50 อยกคน

1. 4 คน 2. 8 คน

3. 10 คน 4. 20 คน

6. ตารางแจกแจงความถแสดงนาหนกของนกเรยนเปนกโลกรม ดงน

นาหนก (กโลกรม) 36 - 40 41 - 45 46 - 50 51 - 55 56 - 60


คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม และสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบเทาไร ตามลาดบ

1. 47.25, 47.17, 47.57 และ 4.625

2. 47.25, 47.17, 47.17 และ 4.625

3. 47.17, 47.25, 47.57 และ 4.265

4. 47.17, 47.25, 47.17 และ 4.265

7. นาขอมล 3 จานวน ทมคาตางกนและมผลรวมของขอมลเทากบ 111 ถาขอมลชดนมมธยฐาน

และสมประสทธของพสยเทากบ 39 และ 13 ตามลาดบ แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ

เทาใด

1. 5 2 2. 6 2

3. 7 2 4. 8 2

8. ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2, x3, …, x10 โดยมสมบต ดงน Σ (xi - a)2 มคานอยสด

เมอ a = 9, Σ �xi - b� มคานอยสด เมอ b = 6 และ Σ (xi - 4)2 = 340

แลวพจารณาวาขอใดถกตอง

1. ขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตนอยกวามธยฐาน

2. ผลรวมของขอมลชดนเทากบ 60

3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 3

4. สมประสทธของการแปรผนของขอมลชดนเทากบ 0.5

3. 10 คน 4. 20 คน 3. 10 คน 4. 20 คน

2. 47.25, 47.17, 47.17 และ 4.625 2. 47.25, 47.17, 47.17 และ 4.625

3. 7 3. 710

i=110

i=1

10

i=1

3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 3 3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 3



9. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 จานวน 2 หอง สอบวชาคณตศาสตร คะแนนเตม 20 คะแนน

โดยนาคะแนนของนกเรยนแตละหอง หองละ 10 คน มาแสดงได ดงน

คะแนนนกเรยน ม.6 หอง 1 13 12 14 16 15 12 13 14 12 9

คะแนนนกเรยน ม.6 หอง 2 17 6 13 10 8 10 14 6 6 10


(1) ความสามารถทางคณตศาสตรของนกเรยน ชน ม.6 หอง 1 มความแตกตางนอยกวา

นกเรยน ชน ม.6 หอง 2

(2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของนกเรยนชน ม.6 หอง 1 และนกเรยนชน

ม.6 หอง 2 เทากบ 0.086 และ 0.377 ตามลาดบ


1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก

2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด

3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก

4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

10. กาหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงแบบปกต ถาขอมลชดนมมธยฐานเทากบ 12

มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 ถา Σ (xi - 5)2 = 1,625 จานวนขอมลเทากบเทาใด

1. 10 2. 15

3. 20 4. 25

1. 1.

N

i=1

3. 20 4. 25 3. 20 4. 25


Documents

WordPress.com€¦ · Concept Map การวัดค ากลาง ของข อมูล การวัดการกระจาย ของข อมูล การวิ