Concepto de Función.pdf

Calculo Diferencial

LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez

Instituto Tecnologico Superior de Libres

2014 Sabatino

LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez Calculo Diferencial

Contenido

Introduccion

Para el estudio del calculo diferencial y del calculo integral esnecesario que tengas conocimiento dealgebra y de funcionestrigonometricas; asimismo, es importante que domines lossiguientes temas:

La relacion para el calculo de la distancia entre dos puntos.

Las diferentes formas de la ecuacion de la recta.

Las graficas de las ecuaciones de la circunferencia, parabola,elipse e hiperbola.

Introduccion

|x | > a significa que x > a o x < 2

Ejemplo:|x | > 4 significa x > 4 o x < 4|x | > 2 significa x > 2 o x < (2) , x < 2

Ejercicios: Resolver las siguientes desigualdades escribiendo enforma grafica y por intervalos la solucion.

1. |x + 3| < 22. |2x + 4| > 33. |x 1| < 84. |5x + 5| < 105. |x + 4| > 8

Clasificacion de Funciones

Funciones Algebraicas y Trascendentes: Una Funcionalgebraica es aquella que esta formada por un numero finito deoperaciones algebraicas (Suma, resta, multiplicacion, division,elevacion de potencias y extraccion de races). Ejemplo:

f (x) =(x2 2x + 3)2

2x + 1

Una funcion trascendente es aquella que no cumple con lascondiciones de una funcion algebraica; se consideran comofunciones trascendentes a las circulares, circulares inversas(tambine se denomina Trigonometricas y Trigonometricas inversas,respectivamente), las exponenciales y las logaritmicas. Ejemplo:

Funcion Trascendente Nombre de la funcionf (x) = tan x Circular o trigonometricaf (x) = arcsin 2x Circular inversa o Trig inversa

f (x) = 103x2

Exponencialf (x) = ln(2x + 3) logartmica

Funcion Racional: es aquella cuyas variables no contienenexponentes fraccionarios no se encuentran bajo signo radical;tambien es cuando una funcion se expresa como el cociente de dosfunciones polinomiales. Ejemplo:

f (x) = bx2 f (x) = 11ax5 f (x) =x3 + 27

x + 3

Funcion Irracional: Es aquella en la cual alguna de las variablestienen exponentes fraccionarios o se encuentran bajo sogno radical.Ejemplo:

f (x) =

3x2 5x + 8 f (x) = ax2/3 f (x) =

x2 64

Funciones Enteras: es aquella que no tiene alguna variable en eldenominador y no esta afectada por exponentes negativos

f (x) = 3x2 + 5 f (x) = x2 4x + 8 f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1

La funcion racional entera se denomina tambien Polinomial, lacual se define por:Funciones Polinomial :Sea f una funcion definida porf (x) = anx

n + an1xn1 + an2x

n2 + + a1x + a0, donden Z+ y a0, a1, etc., son numeros reales diferentes de cero,por lo que f es uns funcion polinomial de grado n. Ejemplo

Grado Nombre Ejemplo Grafica0 Constante y = 5 Lnea recta paralela al eje x

1 Lineal y = 3x Lnea recta

2 Cuadratica y = x2 Parabola

3 Cubica y = x3 Curva

Graficar las siguientes funciones en los intervalos dados:

y = x con A = {x Z| 3 x 3}y = 3x + 1 con A = {x Z| 3 x 3}y = 2x2 con A = {x Z| 3 x 3}y = x3 + 1 con A = {x Z| 3 x 3}

Asntotas verticales

La recta x = a es una asntota vertical de la grafica de la funcion fsi f (x) o bien f (x) cuando x tiende a a, por laderecha o por la izquierda.

Ejemplo: Las asntotas verticales de la funcion f (x) = 1x+3 esx = 3. Ya que el denominador se iguala a cero. Resolviendox + 3 = 0 se tiene x = 3.Para encontrar las asntotas verticales se tiene que igualar a cero eldenominador de la funcion.

La asntota de la funcion f (x) = 1x+2

Ejercicios

Calcular las asntotas y graficarlas1

x+22x+4

xx27x+10x2x16x2

Asntotas horizontales

La recta y = b es una asntota horizontal, de la grafica de lafuncion f si f (x) cuando x o cuando x

Criterios de la Asntotas H

Sea f (x) = anxn+an1xn1++a1x+a0

bkxk+bk1xk1++b1x+b0una funcion.

1 Si n < k entonces el eje x es una Asntota Horizontal

2 Si n = k, entonces la recta y = an/bk es la asintota horizontal

3 Si n > k , la grafica No tiene AH

Ejemplo: La funcion f (x) = 3x1x2x6 . El grado del numerador

3x 1 es menor que el grado del denominador x2 x 6 y por lotanto. por la parte i del criterio de las asntotas, el eje x es unaasntota horizontal. La asntota de la funcion f (x) = 3x1

x2x6

Grafica de Funcion Racional

Se tiene una funcion racional de la forma f (x) = h(x)g(x) se siguen lossiguientes pasos:

1 Se iguala a cero la funcion h(x), las soluciones de esta funcionseran los puntos donde la funcion corta al eje x .

2 Si iguala a cero la funcion g(x), para obtener las asntotasverticales

3 Se busca el signo de la funcin en cada uno de los intervalosdados. Usar estos signos si la grafica esta arriba o abajo deleje x en cada intervalo.

4 Si x = a es una asntota, usar la informacion del paso anteriorpara determinar si f (x) o si f (x) .

5 Aplicar el teorema de las AH y graficarla.

6 Graficar usando la informacion.