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CONCEPTOSDE MATEMATICA

PARA CL MAESTRO

En esíe número:

gramadas (E. E. Chammás) ..Carla al lector 3Héctor J. Médicis (A. Valeiras) . El IV Congreso Bolivariano de

Panamá

5 Nueva matemática moderna enlos EE.UU. (]. I!. Ulacaty) ..

6 El futuro de la geometría (T. ].Williams)

Problemas sobre conjuntos y re­laciones (C. A. Trejo)

24 Bibliografía

La matemática y su enseñanza en los niveles elemental, medio ysuperior (L. A. Santaló) 12

A la búsqueda de un programa .Guías de investigación semipro- Noticias

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GBGDraegaíP^OSDE MATEMATICA

CONCEPTOS DE MATEMATICA PUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Dcpto. A.

DepósitoFernández Blanco 2045 - Bs. As.

Director -- KditorJOSE BANFI

Año Vil Julio-Agosto-Setiembre 1973 N° 27

CARTA AL LECTOR

¿A* * Queremos hoy informar a nuestros lectores acerca de un importante tema que nos viene preocupando desde hace cierto tiempo.

Nuestro país está regido en estos momentos por autorida­des surgidas de una elección popular de las cuales sabemos positivamente que tendrán que enfrentar multitud de proble­mas fundamentales relativos a! futuro del mismo. Y aun cuando entre ellos habrá de figurar necesariamente el de la educación como una de las prioridades fundamentales, sería presuntuoso suponer que será la número uno. Esto admitido, concordaremos también en que el problema de la enseñanza de la matemática, tan importante para los docentes de la especialidad y tan necesitado de soluciones acordes a las urgencias de nuestro tiempo, habrá de ser uno más entre los muchos otros problemas de esa prioridad.* Nosotros entendemos que corresponde a los docentes de

matemática el inexcusable deber de dar estado publico a esta cuestión y alertar a las autoridades estatales y privadas acerca de su importancia y de la necesidad de obtener una pronta y correcta solución. Nuestra revista —que tiene la pretensión de representarlos— tratará de hacer su parte y para ello promo­verá una amplia discusión crítica de la cuestión, sea ofrecien­do sus páginas a quien tenga algo importante que decir, sea mediante el debate en las condiciones que aconsejen las circunstancias. Nuestro deseo es que se cumpla una labor

novedades Asesores: José Babini, Frédérique Papy, Georges Papy.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emi­lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso. Haydée Fernández, Alfredo R. Palacios, Atilio Piaña, Elsa Sa- bbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Banfi.

Dibujante: Arq. Julio R. Juan.Suscripción Anual: Argentina $ 20

Ley 18.188 (mSn 2.000.-). Ex­terior 6 dólares o el equivalente en moneda de cada pai>. Los giros postales o >obre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONCFPTOS Db MA- I1.MAIIC \.

Ejemplar suelto: $ 6.- Ley 18.188.Número atrasado: % 7.- Ley

18.188.Lugares de venta; Ln nuestra sede

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340. Li­brería de las Naciones, Alsina y Bolívar; y en el Instituto Nacio­nal para el Mejoramiento de la Enseñanza de . las Ciencias (IN EC), sección Publicaciones, Avenida Eduardo Madero 235, 7o Piso, Capital Federal.

Para colaboraciones, números atra­sados. suscripciones y avisos, diri­girse directamente al editor.

Registro, de la Propiedad Intelec­tual: N° 1.037.530.

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reediciones proficua y que se llegue a un resultado eficiente como para que las conclusiones a que se llegue no sean echadas en saco roto por las autoridades que finalmente tendrán que determi­nar acerca de su practicabilidad. Para que así ocurra recurri-

desde ahora a la capacidad y a! esfuerzo de todosMECANICA ELEMENTAL / Juan G. Roederer — $ 22,50ENSEÑANDO FÍSICA MEDIANTE EXPERIMENTOS / Félix Cernuschi y Emilio Signorini — $ 18 —MATEMÁTICA MODERNA (II) / Papy — $ 78.-

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mosnuestros colegas latinoamericanos y les pedimos, limpiamente pero con toda firmeza, que nos acompañen en el esfuerzo usando para ello del escaso tiempo de que generalmente disponen para formular sus sugerencias y sus planteos, los cuales seguramente han de ser considerados en la búsqueda de la solución.* Lo que de ninguna manera podemos hacer es permanecer estáticos y, mucho menos, adherir a cierto tipo de indiferen­cia reinante en algunos círculos. Porque, no se lo dude, habrá qué luchar a brazo partido con quienes están muy de acuerdo con el statu quo reinante, sea por el imperio de muy discutibles razones económicas, sea porque no sabiendo hacer otra cosa estiman que lo mejor y más prudente es permane­cer al margen de cualquier tipo de compromiso o, también, porque demagógicamente, se indinan por soluciones absurda­mente fáciles pero científicamente erróneas. Innecesario es

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INTERES GENERAL Concesión N° 8205Editorial Universitaria de Buenos Aires FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687Rivadavia 1571/73 - Buenos Aires

SEMBLANZA POSTUMA

CONCEPTOSDE MATEMATICA

Andrés VALE!RAS(Argentina)N° 27Año Vil Julio-Agosto-Setiembre 1973

CONCEPTOS DE MATEMATICA

casi obligado de los estudiantes secundarios del país; se respetaba su señorío, su seriedad y su responsabilidad en la cátedra y en el trato diario con colegas y alumnos; todos los que fueron sus alumnos comprendieron muy rápi­damente que se le temía por su nombradía y por ser el autor de libros, nombrad ía que se transfería a la escuela donde profesaba, la cual, además, contaba en esa época con mu­chos otros distinguidos profesores.

Su aspecto adusto y el vorarrón que emple­aba en ciertas ocasiones con sus alumnos ape­nas lograban ocultar por muy poco tiempo su natural cordialidad, el interés genuino y la dedicación que tuvo por sus discípulos a mu­chos de los cuales siguió con atención a través de los años brindándoles siempre con generosi­dad ejemplar su ayuda y su amistad. Su biblio­teca siempre estuvo abierta para quienes, co­mo yo, quisieron utilizarla para sus estudios universitarios; diré, de paso, que contiene co­lecciones muy valiosas sobre enseñanza de ma­temática cuya dispersión debería ser evitada para que continúe siendo usada por los docen­tes argentinos que quieran seguir sirviendo a una mejor enseñanza de la matemática.

A casi un año de la Tercera Conferencia Interamericana, vale la pena recordar la refor­ma de 1926 que llevó a la enseñanza de la matemática en Argentina las ¡deas más moder­nas, en boga entonces en Italia. Puao disentir­se acerca de su bondad y, en verdad,, se la criticó mucho, pero es innegable que se la realizó en plenitud y que significó un serio cambio pues contribuyó a poner orden en estudios en los que más bien prevalecía el desorden. Y esa reforma pudo cumplirse en gran parte gracias a la obra de Emanuel S. Cabrera y Héctor J. Médici, quienes con sus libros brindaron el material necesario para que el personal docente pudiera afrontar con éxito la nueva responsabilidad.

Sea éste mi homenaje a uno de ios maes­tros que dejaron mejor recuerdo en mi juven­tud y cuyo recuerdo será, para mí, imperece­dero.

En noviembre pasado iba a realizarse en Bahía Blanca la III Conferencia Interamericana

sobre Enseñanza de Matemática. Pocos días antes escribí a un ami­go de muchos

, años preguntán­dole si ¡ría y su­giriéndole con to­do respeto la posibilidad de ir juntos. Al llegar a Buenos Aires lo llamé por teléfo­no. El maestro,

mi maestro y viejo amigo, don Héctor J. Médi­ci, había muerto seis meses antes, el 1o de junio de 1972 a los 69 años.

A mi manera de ver, la Conferencia había perdido un símbolo argentino con la desapari­ción de esta vida dedicada con pasión a la enseñanza desde sus años juveniles.

En sus primeros años de vida el Instituto Nacional del Profesorado Secundario, cuando rindiera tan importantes servicios al país en función de la calidad de sus egresados, nutrió parcialmente sus aulas con jóvenes estudiantes de ingeniería que se sentían atraídos por la docencia, por entonces muy prestigiada. Entre ellos estuvo Héctor J. Médici, quien terminó sus estudios de profesorado en 1926 y, poste­riormente, los de ingeniero civil, en 1929.

No conozco sus trabajos en ingeniería, los cuales, seguramente, fueron pocos pues vital­mente se dedicó a la docencia, cumplida fun­damentalmente en la Escuela Normal de Profe-

"Mariano Acosta" donde la vivieron de­cenas de promociones de maestros y profeso­res argentinos. Cuando se ingresaba en la Es­cuela Normal, en la escuela primaria ya se sentía el influjo de Médici; uno de los profeso­res más conocidos, respetados y temidos por los estudiantes. Se lo conocía por su labor de profesor y por sus libros que en esa época -a mitades de la década del 30— eran el texto

decir que todo esto, en lugar de permitirnos avanzar nos hará retroceder hasta límites casi inconcebibles.* Valga la siguiente aclaración. No es nuestro propósito dirigirnos a ninguna autoridad educativa para señalarles las deficiencias de los programas actuales ni para pedirles que los reemplacen por otros mejores, lo cual sería muy simple. Pero la experiencia nos indica que con procedimientos tales difí­cilmente se arribe a una solución prudente. Lo que anhela­mos es algo mucho más ambicioso: realizar el esfuerzo de redactar entre todos los docentes los mejores programas y entregárselos a las autoridades educativas con el expreso deseo de que se los tenga en cuenta para el mejoramiento de la enseñanza que es el principal objetivo que debe inspirar nuestro quehacer.

¿Presuponemos demasiado al creer que tendremos éxito en nuestro empeño y que ello redundará en beneficio de toda la juventud estudiosa latinoamericana? No lo sabemos a ciencia cierta pero por lo menos no se podrá decir que nos hemos despreocupado de ¡a cuestión y que no hemos puesto a su servicio toda nuestra capacidad y nuestra experiencia científica y pedagógica.

El Congreso Bolivariano de Matemática realizado ú/tima-

CORRESPONSALES

José M. ARANGOZapiola 128, Bahía Blanca, BA-2Egberto AGARDVia Brazil 12 Apt. 31, Panamá 7,PanamáLela N. BACHUR Maipú 488, Tucumán, T-lRcynaldo BORGHESALEO Av. Julio A. Roca 316, JUN1N,BA-1Alfredo J.COSSI Av. Rene Simón 1091, BARADERO, BA-1HildaO. de DAMIANI Boedo 128, BERNAL, BA-6Ricardo M. DUPLEICH25 de Mayo 953, CONCORDIA,ER-8Yamile Chaiban EL KAREH Rúa Prof. Emundo March, 14, N1TEROI, E. do Rio, Brasil. mente en la ciudad de Panamá nos señala pautas que nos

convendría no dejar de lado. No se trata de que sus delibera­ciones hayan sido un ejemplo de capacidad científica ni que

resoluciones representen el desiderátum didáctico y cien­tífico de ¡a enseñanza de la asignatura. Se trata sí de poner de relieve el esforzado empeño en la búsqueda de soluciones y la modestia de los congresales que no vacilaron en exponer sus dudas e incluso sus insuficiencias para resolver una cuestión determinada y recurrieron a quienes considera­ban más capaces o mejor informados en demanda de consejo y de apoyo. Ese es el tipo de actitud con que queremos enfrentar nuestro problema porque, no lo dudamos, es la que nos brindará mayores satisfacciones.* Publicamos en este número

Ana E. O. de FREGENAL Tucumán 3621, Mar del Plata, susBA-2Arturo M. GONZALEZ THOMAS Colón 418, GOY A, CTS-8María D. MANGHI Gral.Paz 1295, Tandil, BA-2Nélida L. MELANI Colón 2815, Córdoba, CBA-1Angel E. OLMOS Chanetón 220, Dto. 3, NEUQUEN, Nn.-4Angela T. de SOSAH. Yrigoyen 437, Corrientes,CTS-8Rosario E. TAUS Alberti 3334, Mar del Plata,BA-2Jaime CAPARROS MORATA Dr. Fleming 10 (Escalcritas),Las Palmas de Gran Canaria,Islas Canarias, España

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una extensa nota sobre dicho Congreso Bolivariano de Matemática porque creemos que los participantes la merecen, porque reconocemos el esfuerzotesonero dé los organizadores que les permitió resolver hasta los detalles mínimós

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y, especialmente, porque nos retiramos emocionados de Panamá al advertir la importancia que asig­naron al evento las autoridades de ese pequeño país, incluido el primer magistrado, supo galvanizar a los efectiva.

que con su presencia y sus palabras congresales e incitarlos a una labor

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ñanza deben formar parte de una unidad de trabajo fundamentada y orientada en las expe­riencias, evaluaciones y recomendaciones de la didáctica psicológica, comprobada, de que las estructuras de la mente coinciden con las es­tructuras de la matemática actual. Cabe a las universidades la misión de constituirse en cen­tros desde los cuales se irradie toda la infor­mación filosófica, epistemológica y didáctica con la relación específica a la problemática total de la matemática.

Estas consideraciones permitieron fijar las actividades del IV Congreso Bolivariano de la siguiente manera:

A. Presentación a nivel universitario de tra­bajos de matemática pura o aplicada.

B. Presentación al nivel primario o al nivel secundario de trabajos de investigación y expe­riencias en didáctica psicológica de la matemá­tica.

congresales y especialmente porque recorda­mos áctos semejantes al que comentamos reali­zados en otras partes, en que fue visible la ausencia de autoridades oficiales e incluso de autoridades educativas cuya presencia, pensa­mos, era indispensable.

El discurso inaugural fue dicho por la Vice­presidenta de la Comisión Organizadora y Di­rectora General de Enseñanza Secundaria de Panamá, profesora Berta G. de Zevallos quien, entre otras cosas, expresó:

''Una vez más, nuestro padre Bolívar une a los hijos de los pueblos que libertó su espada en los campos de batalla. En esta vez, los une en el campo de los afanes de la cultura en este Panamá, de quien él dijera "Si el mundo hu­biese tenido que elegir su capital, el Istmo de Panamá hubiera sido elegido para ese augusto destino". No obstante haber transcurrido dos siglos, su pensamiento tiene plena vigencia en estos precisos momentos en que su ideología revolucionaria de Libertador es la fuente de inspiración del panameño revolucionario que cumple con el deber de forjar un nuevo Pana­má, en un momento crucial y de grave respon­sabilidad en la vida y destino de nuestro pue­blo, "comprometido en una lucha pqr reafir­mar su soberanía en la Zona del Canal, sin marcha para atrás, ni condiciones ni proposi­ciones" como dijera, hace apenas ocho días, el General de Brigada Ornar Torrijos Herrera."

"Este Congreso es la respuesta con que el gobierno de mi país manifiesta, a través del Ministerio de Educación, su interés por mejo­rar la calidad de la enseñanza de la matemá­tica en todos los niveles."

"La proporción inversa en que se debate la democratización de la enseñanza y el bajo índice de rendimiento, y la proporción directa entre la explosión demográfica y el alto por­centaje de reprobados, provocan profundas transformaciones sociales y económicas que se manifiestan en una evolución científica y tec­nológica que hace envejecer en un año lo que envejecía en décadas para encontrar de pronto con la insuficiencia de cuanto disponemos; y la matemática se convierte en un instrumento indispensable para el dominio de la técnica de esta evolución vertiginosa. Ante problemas de esta envergadura, la enseñanza de la matemá­tica se plantea hoy en términos que sobrepa­san las fronteras y es imposible que un país se aislé para afrontarlo porque se suicida."

"Son indispensables estos equipos interna­cionales de estudio e investigación como el que iniciamos hoy porque, sus ventajas econó-

ACTUALIDAD AMERICANAI

El IV Congreso Bolivariano de

Jarftesofi, Ezequiel Dimas y Olga Alvarado. Los dos primeros, junto a un vicepresidente por cada uno de los países bol ¡varíanos concu­rrentes, esto es Perú, Ecuador, Colombia y Venezuela, formaron parte de la Mesa Directi­va. Por causas ajenas a su voluntad, no se hizo presente la restante nación bolivariana, esto es, Bolivia.

La organizaciónEn la pujante ciudad de PANAMA, capital

de la república centroamericana del mismo nombre, se realizó el IV Congreso Bolivariano de Matemática desde el 5 al 11 de agosto de 1973 al cual tuvimos el agrado de concurrir por especial deferencia de las autoridades orga­nizadoras, en compañía del doctor Luis A. Santaló.

Este honor le fue discernido a Panamá por resolución del III Congreso Bolivariano realiza­do en Caracas, Venezuela, en noviembre de 1970. La organización fue aceptada por decre­to N° 42 del 23 de marzo de 1973 del gobier­no panameño, refrendado por el presidente de la república, ingeniero Demetrio B. Lakas y el ministro de educación, señor Manuel Balbino Moreno. En los considerandos se alude a que por primera vez se realizará un evento de tal magnitud en la República de Panamá, lo que compromete su prestigio, por lo que a su preparación se le asigna carácter de prioridad dentro de las actividades del Ministerio de Educación durante 1973. Para garantizar el éxito dispone la integración de una Comisión Organizadora integrada por 3 representantes del Ministerio de Educación, 3 de la Escuela de Matemática de la Universidad de Panamá, 1 de la Escuela de Psicología de la misma Uni­versidad, 1 de la Universidad Santa María la Antigua, 1 de las escuelas primarias oficiales, 2 de las escuelas secundarias oficiales y 1 de las escuelas secundarias particulares, con la cola­boración de todas las dependencias del Minis­terio de Educación y obligándose el Estado a sufragar todos los gastos que demande la reali­zación del Congreso.

La Comisión quedó integrada de la siguien­te manera: el doctor Agustín Colamarco como presidente, la profesora Berfa G. de Zeballos, vicepresidenta, el profesor José E. Quintero P. como secretario general y los profesores Ed­gardo Agard, doctor Carlos Malgrat, Josefa de

C. Estudio de factivilidad para la creación, en uno de los países bolivarianos, y al nivel universitario de postgrado, de un Centro de Investigación y Especialización de docentes matemáticos en filosofía, epistemología, psico­logía y didáctica de la matemática.

La labor de la Comisión OrganizadoraSe estimó que la matemática es expresión y

medio de progreso social, que fomenta la con­quista de los más elevados valores humanos y que, por tal motivo, su enseñanza en todos los niveles, ha de adherirse a la realidad, social y a su dinámica, para transformarla y mejorarla. Para tal fin, la matemática debe concebirse y actualizarse en forma general y democrática, sin exclusiones ni selecciones para formar hombres específicos sino, todo lo contrario, en forma libremente adherente a la naturaleza

Actividades cumplidasLas delegaciones bolivarianas y los invitados

especiales comenzaron a llegar a la ciudad de Panamá el día 5 de agosto. Recibidas por autoridades de la Comisión todas fueron aloja­das en el "Hotel Panamá", prudente disposi­ción que permitió prolongar en reuniones en dependencias del hotel, las conversaciones y diálogos cumplidas en los ámbitos empleados por el Congreso para las reuniones oficiales.

El lunes 6 se realizó el acto de la inscrip­ción y presentación de credenciales y en se­sión preparatoria, además de las informaciones generales referentes al evento, se eligieron los vicepresidentes que habrían de presidir las me­sas redondas y los correspondientes relatores.

Por la tarde, se realizó en el Palacio Legisla­tivo, el acto inaugural, al cual asistieron el Presidente de la República, ingeniero Demetrio B. Lakas, el señor Ministro de Educación, Li­cenciado Manuel B. Moreno, los demás minis­tros de Estado, el Rector de la Universidad Nacional, el Presidente del Congreso y los miembros de la Mesa de Honor, todos ellos con sus respectivas esposas, además de directo­res, profesores de matemática y numeroso pú­blico. Vale la pena consignar la asistencia de tan distinguidas personalidades siquiera sea porque su presencia sirvió de aliento a los

para asegurar a todos una formación armónica como hombres y ciudadanos.

Estimó también la Comisión que al presen­te la enseñanza de la matemática en los niveles preuniversitarios se encuentra en estado de cri­sis, la validez de sus objetivos y propósitos está en entredicho y su poder formativo ha perdido objetividad. Agrega que en el presente siglo no sólo se ha realizado una revisión críti­ca radical de los principios y métodos de la matemática en sí, sino que paralelamente se ha efectuado una profunda revisión psicológica y metodológica con relación a la enseñanza de la asignatura en los niveles preuniversitarios. Agreguemos, por nuestra parte, nuestra coinci­dencia total con lo arriba expresado y nuestra esperanza de que esa manera de ver sea adop­tada por las autoridades educativas de todos los países latinoamericanos.

Por los motivos expresados, la Comisión entiende que planeamiento, estructuración y desarrollo del

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programa y métodos de ense-6 7

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"El exceso de rigor durante los primeros años de la enseñanza media no es recomendable porque la capacidad para apreciar el rigor es función de la edad y no de la matemática."APARICIO, Aurelio (Universidad de Pana­

má). Conceptos básicos sobre la teoría de dis­tribuciones.

Trabajo de índole técnica, no discutido por los grupos de trabajo, en el cual se dan algunas defi­niciones y propiedades básicas con la ¡dea de estimular el estudio de esta importante teoría.CARO D., Rodolfo F. (Escuela Normal Ru­

fo A. Garay, Panamá). La^autopreparación del alumno normalista en la Escuela Normal Rufo A. Garay.

"La formación de maestros es ardua y debemos darle una base sólida en su formación, siendo el autoaprendizaje su fuerte y la autopreparación su base."

micas aparte, disminuyen las mínimas diferen­cias de cultura que pudieran existir para ro­bustecer la estructura de la ciencia y el pensa­miento matemático."

A continuación hizo uso de la palabra el Rector de la Facultad de Ciencias Naturales, doctor Alfredo Soler B. quien dijo: "Concebi­mos que el desarrollo matemático está estricta­mente vinculado con el desarrollo social. No olvidemos que los conceptos matemáticos se han formado como resultado de un prolonga­do proceso social e intelectual. Es necesario que este congreso enfrente, en forma positiva, el problema secular de renovar los métodos de enseñanza de la matemática en todos los nive­les educativos".

El señor presidente de Panamá, ingeniero Demetrio B. Lakas, no dejó pasar la oportuni­dad e improvisó muy elocuentes palabras rela­tivas a sus experiencias en el campo de la matemática, a las dificultades que imperaban en la época de sus estudios y a la necesidad de ofrecer a los estudiantes una enseñanza acorde con los tiempos que corren. La emoción de sus palabras contagió al auditorio que las aplaudió calurosamente.

El martes 7 por la mañana se colocó una ofrenda floral ante la estatua del Libertador Simón Bolívar y luego se visitó el Salón Bolí­var donde se realizó una charla acerca de por­menores de su vida.

Por la tarde comenzó la tarea efectiva del Congreso, consistente en la lectura de los tra­bajos presentados y en las exposiciones realiza­das por algunos profesores invitados especial­mente para hacerlo. Este trabajo se continuaba con la discusión en las distintas comisiones, todas las cuales funcionaron con elevado nú­mero de presentes, debiendo mencionarse que, por disposición de las autoridades, todos los docentes panameños de matemática, a quienes se facilitó la concurrencia al evento, miembros del Congreso.

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DELEGACION PANAMEÑA. ¿Qué está haciendo la escuela primaria en relación con la enseñanza de la matemática?

"El país ha hecho esfuerzos desde 1964 por in­troducir un programa de matemática fundamenta­do en la concepción conjuntista capaz de trans­formar la estructura conceptual y metodológica de nuestra escuela tradicional, caracterizada por la memorización, el verbalismo, la mecanización y el abuso de los procesos abstractos en una enseñan­za dinámica y formativa donde el niño desarrolle la habilidad de razonar, la observación, la descrip­ción, la creatividad, su expresión oral y sea capaz de lograr una clara comprensión de los procesos enseñados.""En consecuencia, en el año 1973 se inició un programa en el que se han puesto grandes espe­ranzas: se trata de la formación y preparación de equipos de orientadores integrados por superviso­res de zona, directores, subdirectores y maestros distinguidos. Los funcionarios técnico-docentes de la Dirección de Primaria desarrollan seminarios y cursillos en los cuales se ofrece a los seminaristas informaciones orales, demostraciones, material in­formativo escrito, indicaciones sobre evaluación de la matemática y algunas técnicas y prácticas sobre preparación de ayudas audiovisuales.DELEGACION VENEZOLANA. La mate­

mática en la escuela media en Venezuela.En síntesis, se expresa que el plan de estudios en matemáticas es insuficiente para las finalidades de la educación y los objetivos de la enseñanza se­cundaria. Los contenidos responden hasta cierto punto a las exigencias matemáticas y, en forma limitada, a las necesidades de los alumnos. No hay suficientes profesores graduados y la prepara­ción de los docentes es insuficiente y su horario recargado. Los métodos son memorísticos y me­cánicos, el material escaso y poco adecuado y los métodos de evaluación poco variados. La supervi­sión es técnicamente insuficiente y de poca ayuda para el docente, el cual quiere mejorar peño, resolver los problemas lograr mejores resultados.HOWE, Ramón Ernesto (Universidad Santa

Mana La Antigua, Panamá). Sugestiones didác-

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En la ceremonia inaugural: o Presidente de la República de Panamá, ing. Demetrio B. Lakas, * * Ministro deEducación, Lie. Manuel B. Moreno.

de los procesos psíquicos responsables de un aprendizaje determinado permite desarrollarlo, aumentarlo o adelantarlo".MALGRAT, Carlas M. (Universidad de Pa­

namáI. Las leyes materialistas dialécticas del pensamiento y la enseñanza de la matemática.

".. .sin considerar el nivel de abstracción a que pueda llegarse, la complejidad que pueda alcanzar la estructura teórica de la matemática y la forma en que pueda utilizarse en algunos casos en últi­ma instancia existen algunas verdades, hechos, de la realidad objetiva, que pueden ser reflejados por el pensamiento. Este es el punto básico en lo que se refiere a la enseñanza de la matemática y debe servir de punto de partida para la formulación de la didáctica y la metodología correspondiente."MOSCOTE Xenia C. de; MALGRAT Car­

los M. (Universidad de Panamá). Desarrollo de los conceptos de cardinaüdad y ordinalidad en el escolar panameño.

Relato de una experiencia efectuada en Panamá en que se aplicaron a los alumnos pruebas de cardinalidad y luego de ordinalidad cuya conclu­sión es que "se establece en el desarrollo concep­tual de los niños una condicionalización numéri­ca, equivalente a la condicionalización semántica estudiada por Schwarts".PEREZ VILAPLANA, José (Universidad de

Panamá). Aplicaciones de la investigación de operaciones en la planificación educativa.

"El correcto funcionamiento de un centro educa-

ticas y metodológicas para la enseñanza de las geometrías lineales en el nivel secundario.

Trabajo de índole técnica producto de experien­cias realizadas en actividades didácticas, psicológi­cas y metodológicas con estudiantes secundarios que culmina en "modestas sugerencias para el mejoramiento y perfeccionamiento de la didáctica de las geometrías".IVARBEN A., Berel (Escuela Normal Rufo

A. Garay. Panamá). La educación matemática en la enseñanza y el aprendizaje.

"El aprendizaje inicial de cualquier concepto debe basarse en una situación problemática concreta de la cual forma parte la actividad motivadora y la experiencia sensorial, sin olvidar sin embargo, que la capacidad del alumno para sacar provecho de la experiencia depende de su inteligencia."MALGRAT, Carlos (Universidad de Pana­

má). Aspectos psicológicos de la psicomatemá-tica en el primer grado.

"En el periodo inicial para enseñar algo, la tarea del instructor es la de completar, profundizar y sistematizar, mediante la explicación y el ejemplo las acciones que hay que aprender, dando conoci­mientos precisos sobre el tema que se enqjña y los fines y el carácter de los ejercicios que se deben realizar".MALGRAT, Carlos M. (Universidad de Pa­

namá). El dibujo del rombo.El autor, como resultado de una serie de expe­riencias concluye que "el conocimiento adecuado

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eran

Los trabajos presentados

Daremos a continuación una lista de los trabajos presentados -por orden alfabético de los autores— y, cuando resulte posible, algún párrafo que sirva para caracterizarlo.

AGARD, Edgardo (Universidad de Pana­má). Limitación de la enseñanza de la mate­mática moderna en la escuela secundaria.

"La matemática moderna es tanto un nuevo to de vista como una nueva materia; lo que sí importa observar es que su interés es de tipo estructural mientras que la matemática tradicional es menipulativa."

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!su desem-

de su asignatura ypun-

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conceptos matemáticos que traen los nuevos diantes, por la dificultad que revelan para aplicar los mismos (lo cual entorpece los cursos, en los cuales es absolutamente indispensable un mínimo de manipulación) y, frecuentemente, por la acti­tud de dichos estudiantes hacia la matemática en general."

tivo requiere, en general, el establecimiento a final de cada año lectivo de un programa adecua­do para el aprovechamiento e los recursos huma­nos y materiales disponibles. Este programa anual ha de realizarse a partir de lá previsión del creci­miento de la población estudiantil en el año co­rrespondiente. Es su finalidad el especificar la naturaleza de los medios de toda clase profesores, aulas, materiales, capacidad del centro, etc.— que han de usarse en el año* en consideración para poder satisfacer a la demanda o reto que plantea el desarrollo del país. Los factores intervinientes casi siempre revisten forma aleatoria por la exis­tencia de multitud de causas prácticamente impre­visibles."PEREZ VILAPLANA, José (Universidad de

Panamá). Las tendencias actuales de la ense­ñanza de la matemática aplicada y sus cu­rricula.

"Las enseñanzas a impartir y las investigaciones que un departamento de matemática aplicada puede realizar en el ámbito universitario tienen que estar condicionadas a las necesidades del país y a los recursos humanos disponibles, pues éstos son puntos fundamentales para su existencia. La enseñanza debe enfocarse de modo de dar una formación sistemática total, es decir, se debe con­siderar a la matemática como un cuerpo de doc­trina integral cuya parte formal se atiende con el necesario rigor y poniendo simultáneamente énfa­sis en la parte operativa mediante aplicaciones cuidadosamente elegidas. La exposición debe mo­tivarse cuidadosamente partiendo de la intuición hasta alcanzar pleno rigor."REATEGUI CANGA, José (Universidad Na­

cional de Ingeniería, Perú). Fibras vectoriales cocientes.

Trabajo de índole ténica, no discutido en las mesas redondas, en el cual el autor expone los resultados de una investigación particular y la necesidad de continuarla, para lo cual solicita el apoyo de otros especialistas bolivarianos.

estu- ñanza en los niveles elemental, medio perior.

En este número, por pedido especial de un núcleo de congresales, publicamos la versión completa de la disertación del doctor Santaló.

todas las atenciones recibidas, llegó a la con­clusión de que los problemas debatidos comunes a todos los pai'ses participantes, por lo cual debían sentirse seriamente comprome­tidos a trabajar solidariamente.

y su-

son

El acto de clausura

En la sesión plenaria realizada el sábado 11 de agosto se votaron las recomendaciones, conclusiones y acuerdos. No podemos dar cuenta de los mismos por ahora dado que pasaron a la Comisión de Estilo encargada de su redacción definitiva.

De cualquier manera, indicaremos que fue elegida la República del Perú para encargarse de la organización del V Congreso Bolivariano y que el profesor Alonso Viten, de la delega­ción ecuatoriana solicitó, con la anuencia de los congresales, que de ser posible el mismo se realice en la ciudad del Cuzco.

En la sesión de clausura, realizada por la tarde del mismo día en el ámbito del Palacio Legislativo en que se desarrolló toda la tarea, las palabras de despedida fueron dichas por el presidente del Congreso, doctor Agustín Cola- marco. Colamarco es hombre de pocas pala­bras, pero no pudo ocultar su satisfacción por el éxito de las deliberaciones, por el entusias­mo con que los congresales se dispusieron a la tarea. A la vez, estimó que los resultados po­dían considerarse exitosos y manifestó su es­peranza de que el contacto entre los docentes de matemática de los países bolivarianos re­dundaría en beneficio del mejoramiento de la enseñanza en los mismos.

En representación de las delegaciones asis­tentes hizo uso de la palabra la profesora Ana Ayala Flores de Hernando, presidenta de la delegación peruana, quien luego de agradecer

La impresión deCONCEPTOS de MATEMATICA

Estimamos que los organizadores pueden sentirse muy satisfechos por la labor cumplida. No es fácil la realización de eventos de esta clase. Incluso estamos en condiciones de afir­mar que hemos asistido a otros, presuntiva­mente de mayor categoría, en los cuales la discusión de los conceptos naufragaba en el desorden y resultaba difícil llegar a cualquier tipo de conclusión.

Un hecho nos llamó poderosamente la aten­ción y es el siguiente: No sólo los miembros de la Comisión Organizadora estuvieron siem­pre presentes para resolver las dificultades que pudieran surgir, para agasajar a los delegados y resolverle todos sus problemas, pequeños o grandes, sino que el Congreso se vio prestigia­do por la presencia de las principales autori­dades panameñas, incluido, el propio presiden­te, ingeniero Demetrio B. Lakas, lo cual para nosotros es un hecho inusual digno de ser destacado e imitado.

Las atenciones que se dispensaron tanto al doctor Santaló como al director de CONCEP­TOS de MATEMATICA merecen párrafo apar­te. Creemos haber correspondido a tanta genti­leza respondiendo en la medida de nuestras posibilidades a las múltiples cuestiones que gentilmente se nos propusieron, todas ellas de­mostradoras de que al margen de las tareas programadas siempre quedan oportunidades para que nos conozcamos mejor y nos apre­ciemos.

VITERI G., Alonso (Ecuador). La integra­ción en la elaboración de textos escolares para la escuela primaria.

"La enseñanza aprendizaje debe realizarse en for­ma integrada conforme lo propugnan la psicología del aprendizaje, la moderna metodología de las ciencias, las técnicas de la educación, el "isomor- fismo entre estructuras matemáticas y estructuras mentales, etc.""Integran el conocimiento la secuencia, las estruc­turas, la programación en espiral, la inferencia, la experimentación, la comunicación verbal, los es­quemas, las escenas, el aprestamiento, la simulta­neidad, el refuerzo, las actividades, los proce­sos, etc."SEGARRA V., Jorge (Universidad Simón

Bolívar de Venezuela). Formación de docentes en matemática a nivel medio en Venezuela.

En el Instituto Pedagógico Nacional de Caracas, en la formación de docentes se tienen los siguien­tes objetivos: 1. Formar docentes con dominio amplio y suficiente de las estructuras matemáticas modernas en función de su futura posición docen­te; 2. Desarrollar actividades que les permitan comprender que la eficiencia en la enseñanza de la matemática está en relación directa con el dominio y conocimiento de ella; 3. Desarrollar actividades que les permitan comprender la im­portancia de la matemática en el presente y futu­ro desarrollo técnico, económico y social; 4. Desa­rrollar actitudes para que comprendan la impor­tancia que la matemática tiene en el estudio de las ciencias; 5. Proveerles de conocimientos y téc­nicas para poder desarrollar equilibrada y eficien­temente el proceso de abstracción del niño; 6. Ca­pacitarlos en los métodos y técnicas de enseñanza para que puedan transmitir eficientemente los conceptos matemáticos".

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RODRIGUEZ MEZA, Víctor (Universidad Nacional "Federido Villarreal", Lima, Perú). La formación del profesor de matemática de educación secundaria en el Perú.

. .todo profesor de matemática debe reunir ciertas condiciones básicas para el ejercicio de su docencia, las que, sin pretender de originales, po­demos resumir en las siguientes: a) vocación para la enseñanza de la matemática, b) aptitud para ejercer el magisterio; c) preparación especializada en matemática y física; d) dominio de las técnicas adecuadas para ejercer su labor docente- e) posesión de una cultura científica y general acorde con los requerimientos de la época."TAKAHASH!, Alonso (Universidad Nacio­

nal de Colombia). Observaciones sobre lañanza de la matemática en el nivel medio.

La preparación con

rDisertaciones espaciales

La Comisión Organizadora tuvo la buena idea de querer poner a los congresales en con­tacto con algunos destacados matemáticos lati­noamericanos lo cual se concretó en las tres siguientes disertaciones:

FEDERICI CASA, Cario (Asesor de progra-, mas de Ia Universidad Jorge Tadeo Lozano de Bogotá, Colombia): Sobre la relación entre lógica y lingüística.

REATEGUI CANGA, José (Universidad Na­cional de Ingeniería, Perú): La lógica en la enseñanza de la matemática.

SANTALO, Luis A. (Universidad de Buenos Aires, Argentina): La matemática y su ense-

ProblemaEncuéntrese un número natural que esté formado por la suma de 29 números primos consecu­

tivos, de tal modo que la suma de las cifras (o valores absolutos) del mayj)r de todos esos 29 primos, sea m, el valor numérico del menor de todos ellos. Además, el m en orden creciente (siempre considerando los 29 primos) y el m° en orden decreciente, tendrán, como suma de sus cifras (o valores absolutos), a su vez la misma cantidad m.

ense-

_ . . ... ^ue l°s estudiantes ingresan:;r.rists&ssistsa La solución deberá ser encontrada por razonamiento, no por simple tanteo, lo cual la dejaría indeterminada.

‘!1 J.A. Jorge J. Viaña Santa Cruzi

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La matemática y su enseñanza

en los niveleselemental, medio y superior

ciones alimentan lo más puro del espíritu. En palabras de Juan Ramón Jiménez podríamos decir: "sus pies, Iqué hondos en la tierra! ; sus alas iqué altas en el cielo! ",

Los peligros de la doble faz de la matemáti­ca son dos: la polarización en un solo aspecto y la extrapolación más allá de sus límites. La polarización es peligrosa, principalmente en la enseñanza, como veremos más adelante: toda enseñanza polarizada en una de las dos facetas de la matemática, será incompleta y dará una formación defectuosa. En cuanto a la extrapo­lación, es un peligro inherente a toda ciencia y a toda filosofía, en la matemática especialmen­te peligrosa por su falta de "verificación expe­rimental". En el sentido práctico hay quien pide a la matemática mucho más de lo que puede dar. Especialmente hoy cuando la cien­cia ha dado al hombre tantos nuevos elemen­tos para hacer la vida más duradera, intensa y cómoda; habiendo, sin duda, contribuido la matemática eficazmente a este progreso, hay quien espera de ella cosas imposibles. Hay que prevenir acerca de este optimismo excesivo: ni la matemática pura, ni la práctica, con todas sus computadoras y sus grandes posibilidades de cálculo, podrán resolver los grandes proble­mas —ni mucho menos las locuras— de la humanidad, si no van acompañadas de una buena voluntad o de un buen sentido que influya y ordene las condiciones de contorno.

Por el lado de la matemática pura hay que guardarse de la pendiente hacia el misticismo, frecuente en toda creación puramente espiri­tual. En muchos períodos históricos se atribu­yeron a los números y a las figuras geométri­cas sentidos trascendentes. Por cierto que de ello han derivado, a veces, conocimientos posi­tivos para la matemática, pero la mayoría de las veces han sido perjudiciales. La matemática es obra del hombre y nunca de ella, o a través de ella, cabe esperar conocimientos sobre­humanos.

Estos desvíos de la matemática le han he­cho tener también enemigos, algunos muy ilus­tres, por ejemplo, San Agustín (354-430), que en su De Genesi ad Utteram (2,XVI 1,37) dice: "Los buenos cristianos deben cuidarse de los matemáticos y de todos los que acostumbran hacer profecías vacías, aun cuando estas profe­cías se cumplan, pues existe el peligro de que los matemáticos hayan pactado con el diablo para obnubilar el espíritu y hundir a los hom­bres en el infierno"; y Goethe (1749-1832), que en sus Máximas y reflexiones, 1279, dice: "Los matemáticos son como los franceses: s*'

habla con ellos, traducen luego las cosas con­versadas a su lenguaje, y las transforman en algo muy distinto" y más tarde (1826) en sus conversaciones con Eckermann insiste "Respe­to a la matemática como la más eminente y útil de las ciencias cuando se ocupa de sus problemas específicos, pero no puedo aprobar que se la utilice en cosas que no tienen nada que ver con ella, en las cuales la noble ciencia se transforma en disparate", con lo cual, te­niendo en cuenta que se refería a las aplicacio­nes de la matemática a la óptica, hechas por Newton, rechaza a toda la matemática aplica­da en un solo saque.

El caso de San Agustín debe entenderse como una prevención sobre el desvío de la matemática hacia las ciencias ocultas, frecuen­te en la edad media; en realidad, ¡a verdadera matemática nunca ha intentado profetizar. El caso de Goethe es el de un gran poeta al que su polarización en el arte no le dejaba ver a la matemática en su conjunto, como no pudo ver la teoría de los colores de Newton por mirar siempre a lo alto. La matemática no puede entenderse si junto con las cúpulas, no se co­nocen y analizan los cimientos.

En la historia ha habido períodos en que la matemática predominó como filosofía y otros en que aparecieron las aplicaciones. Unos y otros se han complementado mutuamente y el progreso de la matemática se debió siempre al empuje alternado de las dos tendencias. Al predominar las especulaciones conceptuales y filosóficas se ha hablado, en cada período, de "matemática moderna" y han aparecido los críticos implacables, denunciándola como me­ra fantasía. A continuación, sin embargo, se ha visto que las aplicaciones surgían ampliadas y robustecidas por influencia de la nueva ma­temática.

La primera matemática moderna fue la de Euclides (unos 300 años a.J.C.). En sus Ele­mentos no hay que buscar aplicaciones dis­tintas de las ya conocidas, sino tan sólo axiomática y sistematización de conocimientos previos. Sin embargo, después de Euclides aparece Arquímedes (287-212 a.J.C.), el pri-

gran ingeniero matemático, cuyas obras difícilmente hubieran podido surgir sin la in­fluencia euclidiana. Lo mismo puede decirse de Apolonio (190 a.J.C.) con su libro sobre las Cónicas y de Tolomeo (siglo II) geometrizan- do la astronomía.

En el siglo XVII, con Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) nace el cálculo infinite­simal y con él la segunda "matemática moder-

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Luis A. SANTALO (Argentina)

canee su meta. Pero también hace y practica matemática quien busca propiedades de los números primos, establece teoremas sobre va­riedades multidimensionales o aclara la equiva­lencia entre postulados básicos de la teoría de conjuntos.

Aparentemente, esta dualidad de la mate­mática, podría pensarse como una consecuen­cia de su extensión y que, por tanto, sus distintos aspectos son partes alejadas de un mismo cuerpo original, cada día más distancia­das entre sí. Pero éste no es el caso. El distan- ciamiento- y la poca conexión entre sus partes son sólo aparentes. La unidad de la matemáti­ca es indisoluble, y poco se puede avanzar en una dirección si se pierden de vista las ptras ramas hermanas. Las aplicaciones son el estí­mulo y muchas veces la guía de la matemática pura. Pero sin ésta, la matemática aplicada se agota rápidamente y se convierte en poco tiempo en cúmulo de recetas rutinarias, sin perspectiva de progreso.

El doble aspecto de la matemática, ciencia y arte, herramienta y filosofía, rutina y fanta­sía tiene, para ella, sus ventajas y sus peligros. La ventaja principal es su permanencia tempo­ral. Desde las antiguas civilizaciones se ha con­siderado importante el conocimiento de la ma­temática y ha sido parte fundamental en todo sistema educativo. Los utilitaristas necesitan de la matemática como herramienta, como ins­trumento indispensable para las transacciones comerciales, para dominar y aprovechar las fuerzas de la naturaleza y para mantener y desarrollar el progreso tecnológico. Los idealis­tas, también necesitan de la.matemática como el mejor camino para "facilitar al alma los medios de elevarse desde la generación hasta la verdad y la esencia". (Platón, La República, Vil, 525). En ambos aspectos la matemática es profunda. Sus aplicaciones son esenciales para desenvolvernos en la vida y sus concep-

/ a(Panamá, 1973)

! 1. ¿Qué es la matemática?No es fácil definir qué se entiende por

matemática. El diccionario de la Real Acade­mia Española dice: "Matemática es la ciencia

. que trata de la cantidad". A su vez, "cantidad es todo lo que es capaz de aumento y dismi­nución y puede, por consiguiente, medirse o enumerarse". Finalmente, "ciencia es el cono­cimiento cierto de las cosas por sus principios y sus causas". Todas son definiciones impreci­sas, de las que difícilmente, |podrá deducir algo concreto sobre lo que realmente es la matemática, quien no tenga ya una idea pre­viamente formada. Sin embargo, por costum­bre secular y de acuerdo con la opinión de los que en cada instante de la historia han sido considerados como los conductores de la ma­temática y sus más visibtes exponentes, todos tenemos, o creemos tener, una ¡dea de lo que queremos decir cuando nos referimos a la ma­temática. Por lo menos, en los aspectos que podríamos llamar "interiores" al dominio de la matemática, esta idea es clara e indiscutida, si bien al acercarnos al contorno o a las fron­teras con otras ramas del conocimiento, en­contramos terrenos cuya rotulación como "matemática" ya no es tan indiscutible ni tan compartida. Paradójicamente, la matemática, que trabaja siempre con definiciones bien pre­cisas y con entes perfectamente delimitados, al tratarse de sí misma, en su totalidad, no pare­ce admitir una definición exacta, ni que tenga límites bien determinados.

Tal vez esta imprecisión derive de su duali­dad entre ciencia natural, que persigue encon­trar y entender las leyes de la naturaleza, y filosofía o arte, en el sentido más puro y platónico de estas disciplinas. Practica, o hace matemática, quien a partir de ciertos datos numéricos "calcula" un área o un volumen o el tiempo necesario para que un proyectil al-

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la mayoría de las veces, dada la aproximación de los datos, la aproximación que se pretende en los resultados tiene poco o ningún sentido. A este respecto nos. remitimos al interesante artículo de A. Revuz titulado La noción de aproximación en la enseñanza secundaria ^

Aparte que la enseñanza de la matemática aproximada, con acotación del error, es impor­tante para la matemática misma (concepto de número real), en nuestro siglo, al extender la matemática su campo de acción, ha pasado a ser una necesidad. La matemática moderna no se desentiende de los problemas a los que no puede dar respuesta exacta, que son la mayo­ría de los que se presentan en la práctica, sino que trata de decir algo sobre todos ellos, sea en términos de probabilidad, sea dentro de un intervalo de valores. Por esto, aunque la mate­mática moderna cuida mucho el rigor de los fundamentos, procura axiomatizar sus cons­trucciones y no admite ambigüedad en las definiciones; luego, al aplicar sus modelos a situaciones reales, admite todo el margen de imprecisión necesario para poder decir algo y no renunciar a opinar de entrada sobre nin­guna de las cuestiones que se le presenten den­tro de un esquema racional. He aquí, pues, un axioma que deben tener siempre presente los docentes de matemática, cualquiera sea su ni­vel: cuidar la matemática de aproximación y no desechar los resultados aproximados. No pretendamos dar soluciones exactas de todo; para la mayoría de los problemas reales, ya es mucho si podemos predecir los resultados con cierto grado de aproximación. Hay que aplicar la matemática no sólo al mundo inanimado, sino también a la vida.

na". También fue discutida y combatida —bas­te recordar los ataques de Berkeley a los "incrementos evanescentes"— y, sin embargo, sin las especulaciones filosóficas que están en la base del cálculo, difícilmente se hubiera llegado a las esplendorosas realizaciones prácti­cas de los siglos XVIII y XIX.

En la época contemporánea, Cantor (1829-1920) inicia con su teoría de conjuntos la actual "matemática moderna" que se com­plementa con el álgebra de Emmy Noether (1844-1935), E. Artin (1898-1966) y van der Waerden (1903). Desde el principio surgie­ron ataques, incluso de grandes matemá­ticos como Kronecker (1823-1891), pero las tan reclamadas aplicaciones no tardaron en aparecer. Hoy, toda la matemática, pura y aplicada, se basa en los conjuntos y ha sido sistematizada por las modernas estructuras al­gebraicas. La teoría de juegos, la teoría de la información y, en general, toda la ciencia de la computación (informática), que son las ra­mas más aplicadas de la matemática actual, usan las creaciones abstractas de la matemática de las últimas décadas.

mos por separado los tres niveles de la ñanza, pero antes haremos algunas considera­ciones generales válidas para todos ellos.

Al decir matemática informativa o matemá­tica práctica, debe entenderse que la informa­ción valga la pena y que la práctica enseñada sea, efectivamente, la que ha de necesitar el alumno en la vida corriente y en sus estudios. Lo mismo, al referirse a la matemática forma- tiva hay que ver si realmente la matemática enseñada forma en el aspecto deseado. En otras palabras, la matemática "pura", que hay que enseñar en todos los niveles, debe selec­cionarse muy bien, para evitar confundirla con juegos de palabras o definiciones vacías para el alumno.

alumnos de 5 a 12 años de edad. El estudio de sus programas y su metodología es de im­portancia fundamental por ser prácticamente en todos ios países, la única enseñanza obliga­toria para todo ciudadano. Por tanto, en ella hay que enseñar lo que se considere que debe saber todo habitante de un país. Se la denomi­na alfabetización matemática y todo ciudada­no que desconozca lo que en ella se enseña, débe ser considerado como analfabeto mate­mático. A las campañas universales contra el analfabetismo, que desde luego deben tener primacía, debe agregarse la lucha contra el analfabetismo matemático si se quiere una po­blación acorde con la tecnología del mundo moderno y sus consecuencias.

Se está trabajando mucho en este sentido en todo el mundo. Clásicamente el contenido de la matemática en la escuela primaria consis­tía en las 4 operaciones elementales con nú­meros naturales y racionales positivos, más al­gunas definiciones geométricas y las áreas y volúmenes de las figuras y cuerpos más sim­ples y regulares. La metodología se dejaba casi siempre en manos del maestro, pero como la evaluación se realizaba siempre mediante ejer­cicios de calculatoria y definiciones, la ense­ñanza se reducía a la práctica del cálculo y al aprendizaje memorístico de definiciones. Lo importante era saber multiplicar y dividir. Una mayor comprensión acerca del significado de estas operaciones pasaba a un segundo plano. Las áreas y volúmenes se limitaban a las de figuras que admiten una fórmula exacta para su cálculo: paralelogramos, triángulos, trape­cios, prismas. Nunca se consideraban figuras irregulares, como la hoja de un árbol, el patio de la escuela, ni en su área, ni en sus posibles simetrías; no eran figuras que admitieran trata­miento "exacto" y por tanto la matemática las desechaba.

Hace unos 20 años se extendió por el mun­do la ola de la "matemática moderna". Pri­mero en las universidades, donde tuvo menor dificultades, luego en la escuela media, donde ya costó más, y finalmente en la escuela pri­maria donde, si no prevalece el buen sentido, sus-dificultades son tales que puede causar más daño que beneficio. Una historia y objeti­vos de la "matemática moderna'' en la escuela media fueron expuestos por nosotros en otro lugar2. Desde entonces se ha progresado mu­cho y gran parte de lo que allí dijimos debería actualizarse. Como ahora se trata de introducir la matemática moderna en la escuela primaria.

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Conviene insistir en esto, por ser uno de los nudos en que se centralizan todas las discusio­nes sobre programas y contenidos de la mate­mática actual en los distintos niveles. A veces se clama para que la matemática sea esencial­mente práctica. Pero al analizar en qué consis­te esta "practicidad" encontramos que se trata de una operatoria excesiva (operaciones con fracciones combinadas de manera complicada, logaritmos con tablas de muchos decimales y tediosas interpolaciones en ellas, fórmulas tri­gonométricas especializadas en exceso, en la cual sería muy difícil encontrar problemas realmente prácticos (es decir, de la vida diaria) a los que se aplicará. La operatoria elemental usada en la vida real es casi siempre en base de decimales; muy raras veces se calcula con fracciones, y sin embargo el cálculo con frac­ciones, en combinaciones complicadas hasta lo inverosímil, es tenido por muchos maestros como matemática "práctica". Otras veces, opuestamente se lucha por una matemática llena de relaciones lógicas y demostraciones tan desmenuzadas, que no sólo es dudoso que "formen" en la habilidad deductiva, sino que lo más probable es que aplasten de entrada toda iniciativa original e ingeniosa que se apar­te del esquema deductivo impuesto por el maestro. En ambos casos hay que insistir en que la matemática no es pesada calculatoria, ni bambolla de definiciones y teoremas de enunciado complicado y contenido vacío o trivial.

2. La matemática, ciencia exacta que necesita de la aproximaciónUn aspecto general, que conviene tener en

cuenta en todos los niveles, es la exactitud de la matemática.

La matemática ha sido considerada siempre como la ciencia "exacta" por antonomasia. Muchas de nuestras casas de estudio se llaman "Facultades de Ciencias Exactas" para indicar que en ellas se estudia matemática. Ello viene de lejos, y recibió su confirmación en los siglos XVIII y XIX cuando el cálculo infinite­simal permitió predecir con toda la exactitud deseada los fenómenos de la física y de la mecánica celeste. Se acentuó la idea de que los problemas propiamente matemáticos de­bían poder contestarse hasta la milésima de milímetro o la millonésima de segundo. Los problemas en los que esto no era posible que­daban fuera de la matemática. En especial, todas las ciencias del hombre (economía, so­ciología, psicología) o las ciencias deja vida (biología) fueron consideradas como amatemá­ticas.

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3. La enseñanza de la matemáticaSiempre se ha aceptado, desde que existen

escuelas, que la matemática debe figurar entre las disciplinas a enseñar sin interrupción, desde la escuela primaria hasta la universidad o es­cuelas superiores. Tampoco se discute que la enseñanza de la matemática debe contemplar el aspecto informativo, que consiste en dar los elementos que se estimen necesarios para de­senvolverse en la vida o que necesiten otras ciencias para su comprensión y desarrollo, y el aspecto formativo, para enseñar a pensar, fo­mentar el espíritu crítico, practicar el razona­miento lógico, etc.

La discusión empieza al tratar la propor­ción entre los dos aspectos y cuál debe pre­ponderar, así como en la metodología más adecuada para cada uno de ellos. Considerare-

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En la enseñanza, la matemática debe, pri­mordialmente, interesar al alumno. El cálculo excesivo hay que dejarlo a las máquinas y la verbosidad redundante, suprimirla de raíz.

Este prurito de exactitud, a veces ilusorio y casi siempre innecesario, influyó fuertemente en la enseñanza. En las escuelas primarias y secundarias se insistió, y se sigue haciéndolo, en cálculos con muchos decimales (tablas de logaritmos con 5 ó 6 decimales) olvidando que

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4. La matemática en la escuela primariaEntendemos por escuela primaria la de los

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matemática tradicional para usar métodos más amplios y diversos si resultan necesarios. En toda aula de matemática de escuela primaria debe haber una balanza, una probeta graduada y una cinta métrica, además de papel cua­driculado para medir áreas contando cuadritos y tijeras y goma para construir modelos y razonar sobre construcciones tridimensionales.

Los problemas sobre unidades de peso de­ben plantearse con objetos de uso corriente para el alumno (monedas, libros, prendas per­sonales) y luego comprobar- con la balanza los resultados a que pueda haberse llegado por cálculo. Hay que hallar volúmenes de cuerpos irregulares viendo el agua que desalojan en una probeta graduada, y capacidades de jarras y vasijas de forma irregular, por el volumen o el peso del agua que pueden contener. Se puede hallar el volumen de una lenteja, garbanzo o grano de café contando el número de granos que caben en un cuarto de litro.

Hay que medir desde la longitud del lápiz y las dimensiones del asiento, hasta la altura del alumno y las dimensiones del patio de la es­cuela. Con estos datos sobre objetos reales se pueden enunciar problemas también reales. Es­tá bien conocer las fórmulas que dan las áreas de figuras elementales, pero también interesa que el alumno no se desconcierte si tiene que calcular el "área de su guardapolvo", o sea, la cantidad de tela que necesita para confeccio­narlo. Basta para ello sacar moldes en papel de las distintas partes y medir el área de estos moldes mediante papel cuadriculado o por descomposición aproximada en figuras elemen­tales. Cada alumno se debe ingeniar para hallar el mejor método y comparar luego los resulta­dos obtenidos. De manera análoga, puede calcular el papel necesario para forrar sus li­bros o cuadernos, la cantidad de cuero de su bolso y la cantidad de lana necesaria para tejer sus guantes. En este tipo de problemas se pone en juego la inventiva del alumno para llegar al resultado y ello es verdadera matemá­tica, mucho más que el recitado de memoria de lo que es una ley asociativa o un postulado geométrico.

El papel cuadriculado puede servir para me­dir muchas áreas irregulares: el área del pie del alumno o de su mano. Con un hilo se pueden medir longitudes de contornos y luego compa­rar o graficar las relaciones entre el perímetro y el área de figuras diversas. El alumno apren­derá con interés todo lo que se refiere a su persona y difícilmente lo olvidará. El volumen de un vaso, la cantidad de agua o de leche que

bebe por día, la cantidad de leche que sería necesaria para abastecer una población si to­dos los habitantes tomaran la misma cantidad, el precio de la misma, son problemas en que se practica el cálculo y se aprende a intuir las magnitudes del medio ambiente.

Naturalmente, este tipo de problemas no es exclusivo de la matemática moderna. Ha sido recomendado siempre, y lo seguirá siendo, por ser esencial en cualquier sistema de educación matemática. Si la teoría de conjuntos en la escuela primaria sirve para algo, es precisa­mente para que el alumno comprenda mejor estos problemas, y de ninguna manera para que aprenda las operaciones de unión e inter­sección o especule sobre el conjunto vacío, ¡deas que el alumno capta sin necesidad de aclaraciones excesivas que muchas veces con­funden más que iluminan. Sobre estas conside­raciones recomendamos el libro Freedom to Learn, de los educadores ingleses Edith E. Biggs y James R. Mac Lean3.

c) Introducción de nuevos tópicos. El pro­blema de decidir los contenidos de la matemá­tica primaria es difícil, tal vez por su variabili­dad con el tiempo. No siempre se necesita lo mismo. En el mundo de* hoy, el ciudadano común necesita más matemática, y aun una matemática diferente, que el ciudadano de 30 ó 40 años atrás. Es absurdo pensar que con los mismos programas se puede preparar a alumnos que han de vivir en distintas épocas. Por otra parte, como la vida se complica cada vez más, los temas que se deben aprender son cada día más difíciles, lo que obliga a introdu­cir nuevos métodos pedagógicos y nuevas téc­nicas educativas para aprovechar al máximo el tiempo disponible en la escuela elemental. Al­gunos de los nuevos tópicos que deben intro­ducirse son los siguientes:

1) Estadística y Probabilidades. Debido al prurito de "exactitud" ya mencionado, la pro­babilidad estuvo ausente hasta hace pocos años de los programas de matemática elemen­tal y media. Hoy se los va introduciendo en la enseñanza media y se trata de comenzar a incluirlos en la primaria. La necesidad es evi­dente. La probabilidad y la estadística son disciplinas de interés actual y a veces son fundamentales, en casi todas las ramas del conocimiento y en muchos quehaceres de la vida ordinaria. Necesita probabilidades el eje­cutivo para tomar decisiones (teoría de la de­cisión), el comerciante y el industrial para el control de calidad y el análisis de mercado, el agricultor para la experimentación de cultivos.

por otra parte, se acostumbra más fácilmente a recordar que a razonar: la memoria es pasi­va, el razonamiento es acción, y supone mayor esfuerzo. No se duda que si la misión del maestro es que los alumnos aprendan determi­nado programa en cierto tiempo, el método memorístico es el mejor. Los alumnos apren­den a recitar programas, quedan contentos los inspectores, pero no se ha aprendido matemá­tica.

vamos a mencionar algunos de los objetivos perseguidos.

a) Iniciar en la matemática formativa. Debe buscarse que los alumnos no sólo operen, sino que piensen y empiecen a razonar. No hay duda de que ello es posible: a la edad de la escuela primaria los alumnos conocen juegos que implican razonamiento y se trata tan sólo de moldear estos razonamientos dándoles for­ma matemática. Después de todo, los proble­mas matemáticos no son más que juegos en los cuales hay que adivinar resultados a partir de ciertos datos. Hay que saber las reglas y la operatoria del juego, pero luego hay que saber elegir, en cada caso, las reglas apropiadas. La enseñanza clásica pone más énfasis en las ope­raciones mismas que en su planteo y organiza­ción previa. Para esquematizar las tendencias clásica y moderna en la matemática de la escuela primaria, se puede poner el siguiente ejemplo. Planteado un problema en el cual de dos números (datos) hay que hallar un tercero (solución), el alumno "clásico" duda y pregun­ta si el problema es de "multiplicar" o de "dividir", conocido lo cual, operará de manera impecable. El alumno "moderno" en cambio, no dudará un momento acerca de la operación que debe hacer, aunque tal vez se equivoque al realizarla. Las dos cosas son esenciales: hay que saber calcular y hay que saber por qué se calcula, pero el alumno que sólo se equivoca en el cálculo, está más preparado para seguir adelante y tratar nuevos problemas que el alumno que opera mecánicamente porque éste navegará siempre sin rumbo en el mar de los conocimientos.

La enseñanza formativa va de la mano con la enseñanza activa. El alumno debe participar del aprendizaje, debe sentirse motivado por los problemas y debe intentar resolverlos por si mismo, apelando a todos los recursos a su alcance y sin pensar en recordar tal o cual fórmula o regla aprendida o que figuran en el texto o manual. Los conocimientos no deben ser embuchados a presión, sino adquiridos a través de la curiosidad del niño, el cual, afor­tunadamente, tiene siempre curiosidad por cualquier cosa que le sea presentada adecuada­mente. Desde luego, esta enseñanza en la que se ponen en juego la razón y los sentidos, tiene sus dificultades. Para el maestro es mu­cho más fácil señalar unas líneas del manual o dictar una receta operatoria para que el alum­no las repita o realice después mecánicamente, que conseguir ¡luminar sus ojos para que "vea claro" una cuestión antes borrosa. El alumno.

b) Actualizar las aplicaciones de la mate­mática. De ninguna manera se pensará que la matemática moderna descuida el cálculo. Todo lo contrario. Lo que trata es, por un lado, de huir del cálculo rutinario, sin comprender lo que se está haciendo y, por otro, tratar proble­mas realmente prácticos y menos idealizados. El progreso en matemática no consiste en aumentar el número de decimales en una ope­ración, ni la rapidez en la misma, sino en dominar nuevas operaciones y entender el por qué de su necesidad o utilidad.

Muchas veces se ha dicho que con la mate­mática moderna el alumno no aprende a calcu­lar. Puede ser que ello haya sido cierto alguna vez por ineficacia del maestro o por mala interpretación, pero en ningún caso los apósto­les de la matemática moderna han pretendido dejar el cálculo de lado. Saben muy bien que hacer matemática es resolver problemas y que nunca será matemática, ni clásica ni moderna, un conjunto de definiciones y axiomas apren­didos en forma descriptiva, como se aprenden los accidentes geográficos de una región o la anatomía de un insecto. La matemática no es un conjunto de elementos que haya que des­cribir: es el motor de una acción para desci­frar enigmas que hay que aprender a utilizar y, si se puede, contribuir a su mejoramiento y perfección.

Más aun: la matemática moderna no sólo trata de resolver los mismos problemas que la clásica, sino que no quiere desentenderse de ninguno de los que se presentan en la vida diaria, aunque no pueda darles solución exac­ta. Entiende que debe perder la rigidez que podía hacer creer que sólo es posible calcular el área de unas pocas figuras planas muy espe­ciales (paralelogramo, triángulo, trapecio, polí­gonos regulares, algunas figuras circulares) y también debe dejar de lado problemas tan sólo prácticos en apariencia (hallar los centímetros cuadrados de un campo medido en hectáreas, el tiempo que tardarán cierto número de obre­ros en construir una casa). En cambio, no tiene miedo de salirse de la "exactitud" de la

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no a determinada hora, el número de alumnos que faltan. Otros datos pueden ser: la distan­cia de cada alumno a su casa, número de hermanos, día del mes en que nacieron los álumnos de la clase, número de autos que pasan frente a la escuela durante una hora determinada. Con estos datos se puede enseñar a graficar o a obtener porcentajes, sacar pro­medios y, llegado el caso, también variancias o medias ponderadas, hasta llegar experimental­mente a la distribución normal.

2) Métodos gráficos. La matemática debe empezar por la intuición y, para ello, los mé­todos gráficos son de importancia capital. Des­de los primeros años de la enseñanza el alum­no debe graficar. Diagramas de Venn, gráfico» en árbol, gráficos de funciones, representacio­nes a escala y cuestiones análogas deben ser de uso constante. La fórmula del área del círculo, por sí sola, no da idea completa de su conte­nido si no se gráfica en función del radio, en papel milimetrado o cuadriculado, para obte­ner la clásica parábola. La longitud de la cir­cunferencia, también en función del radio, dará una recta. En ambos casos, aparte que las gráficas obtenidas pueden servir para interpo­lar y extrapolar áreas y longitudes para distin­tos valores del radio (introducción al cálculo gráfico), las ideas de función parabólica y de función lineal que suministran son de mucha importancia conceptual.

Para terminar con la matemática moderna en la escuela elemental, debemos insistir en algunos puntos. No hay que confundir nunca el fin que consiste en que el niño aprenda a resolver problemas y adquiera agilidad mental para idear y usar los mejores métodos para ello, con los medios para lograrlo. Hay acuer­do universal en que el alumno debe familiari­zarse con la nomenclatura y‘simbolismo de la teoría de conjuntos. Pero, quede bien entendi­do que esto no es ningún fin, sino un medio para que llegue a entender mejor -los concep­tos y métodos matemáticos. No hay que insis­tir sobre cuestiones triviales si el alumno ya las conoce o comprende por otros medios. Se debe mencionar el "conjunto vacío", concepto cómodo para unificar enunciados, pero no insistir en ello como si se tratara de algo trascendente, pues en realidad se trata de una idea que el niño ya tiene desde mucho antes de ir a la escuela. Conviene hacer gráfi­cos y ejercitar en el uso de flechas entre elementos de dos conjuntos, para dar la ¡dea de relación y función, pero no caer en la "flechamanía" de insistir con exceso en dibu-

el ciudadano común para entender los funda­mentos de los seguros y de las encuestas de opinión. Todo ello tiene una base cuya com­prensión debe iniciarse en los primeros años. No se trata de conocer a fondo las teorías respectivas, cosa reservada a especialistas, sino de educar la intuición para que no parezcan cosas caprichosas ni milagrosas. Tal vez mu­chos de los inconvenientes del comportamien­to global de grandes sectores de la población provengan de que la gran mayoría de los ciu­dadanos no ha sido nunca educada en probabi­lidades y estadística.

No es fácil determinar cómo llevar a cabo esta educación. Falta literatura y falta experi­mentación. Es uno de los campos en que más se necesita de la colaboración de maestros entusiastas para ayudar al estudio de la evolu­ción de la idea de probabilidad en los niños y la mejor manera de hacer que asimilen sus principios.

Está el libro de Piaget-lnhelder titulado La genese de l'idée de hasard chez l'enfant4 pero la experimentación debe proseguir. Obras de experiencias interesantes son las llevadas a ca­bo por T. Varga5. Se introducen en una urna dos bolillas blancas y dos negras. Se sacan luego, al azar, 3 bolillas y se pregunta a los alumnos si se habrá sacado por lo menos una bolilla blanca. La respuesta es que sí; ¿se habrán sacado por lo menos 2 bolillas blan­cas? Esto puede suceder. Nace así la idea de probabilidad, aunque al principio no se puede cuantificar. Ejemplos y estudios por el estilo han sido realizados por Fischbein, Pampu y Minsat6. Hay que encontrar experiencias (lan­zar un cubo o un poliedro de forma irregular y anotar las veces que sale una cara determina­da), lo cual analizado convenientemente vaya dando la ¡dea de frecuencia y de la estabilidad de la misma al repetir la experiencia muchas veces. Los alumnos formularán hipótesis sobre los resultados para ver luego el grado de apro­ximación y acostumbrarse así a tener una idea intuitiva de la probabilidad. Se trata de intro­ducir al niño en estas ¡deas, para que su intui­ción vaya viendo la posibilidad de medir la probabilidad, aunque sea entre límites grose­ros, que luego se irán afinando hasta llegar más adelante al cálculo efectivo de las proba­bilidades.

La iniciación en la estadística también pue­de hacerse en la escuela primaria, haciendo que cada alumno vaya registrando datos diver­sos en un cuaderno especial. Por ejemplo, la temperatura de cada día al entrar, si llueve o

jos de monos y bananas, peces y anzuelos, o juguetes y niños, para dar la idea de igualdad o de mayor y menor, conceptos triviales que el alumno tiene ya de su vida de relación; no conviene insistir demasiado sobre lo que el alumno ya sabe, tanto para ahorrar tiempo cuanto para no dar la impresión de que las cosas son más difíciles de lo que realmente son.

cas complicadas, cálculos con aproximaciones exageradas, factores artificiales, problemas ajenos a la realidad circundante del alumno) o aquéllos que pretendiendo ser formativos son incomprensibles o triviales para el alumno (axiomática prematura e incompleta de la geo­metría o de la aritmética). En cambio la ten­dencia moderna preconiza: .

a) Inclusión de nuevos temas. Entre los nuevos temas que se van incluyendo en la matemática secundaria citaremos los si­guientes.

Probabilidad y Estadística. Ya hicimos hin­capié en la importancia de estas disciplinas en la escuela primaria. En la escuela secundaria las ¡deas al respecto deben ir tomando forma más precisa. Hay que definir bien la probabili­dad, después que el alumno tenga una idea intuitiva como cociente de casos favorables y casos posibles, lo que puede hacerse de mane­ra axiomática a partir de la teoría de conjun­tos, y sirve además para practicar y ejercitar esta teoría. Hay que pasar luego a los proble­mas reales a través de la inferencia estadística, lo que parece posible para alumnos de 16 años.

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En la primera enseñanza tienen mucha im­portancia los materiales didácticos. Hay que aprovechar los sentidos como los canales más adecuados para llegar al razonamiento; hay que aprender a través de la vista, del oído y del.tacto. El niño necesita usar las manos y aprender jugando. De aquí las ventajas de las regletas, bloques multibase, minicomputadores, geoplanos, tarjetas, cajas con elementos espe­ciales para cada tema o grupos de temas. Estos elementos y otros medios audiovisuales toda­vía más caros (películas, diapositivas, televi­sión) son a veces difíciles de conseguir en todas las escuelas, pero un maestro dedicado e ingenioso puede idear sus propios medios. Para ello, por supuesto, hace falta, y éste es uno de los problemas actuales al que hay que prestar máxima atención, que la profesión de maestro sea cuidada y valorizada como es debido, te­niendo en cuenta la importancia de su misión, de la cual depende, en gran parte, el futuro de la sociedad.

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La inclusión de la probabilidad y estadísti­ca en la escuela secundaria es relativamente nueva (no más de 10 ó 15 años) lo que hace que haya todavía pocos textos que puedan guiar al profesor. Todavía no hay acuerdo general en muchos puntos, tanto en la ordena­ción de los conceptos (¿se empieza con esta­dística para llegar a la probabilidad o al re­vés? ) como en la edad más apropiada de los alumnos para introducir los mismos. En la bibliografía citaremos algunos textos exoeri- mentales7, 8, 9, 10, ll. Sin embargo, hace falta mucha más experimentación de parte de los profesores para ir dando forma definitiva tanto al contenido como a la didáctica de

5. La matemática en la escuela secundaria (12a 18 años)En líneas generales, la escuela secundaria

presenta las mismas características que la pri­maria. Cambian algunos detalles, originados por la diferencia de temas y, sobre todo, la matemática va cambiando de aspecto por vol­verse más abstracta y más razonada, al mismo tiempo que aparece una de sus principales características: la axiomática. Pero igualmente, el compromiso entre la matemática pura y la aplicada debe mantenerse.

Hay que desterrar la ¡dea de que la mate­mática moderna no calcula ni da importancia al manipuleo algebraico o a la resolución de ecuaciones. Tal vez ello fue una posición pen­dular extrema de los primeros tiempos, pero ahora se trata de volver a centrar el péndulo. Todos los temas realmente prácticos de los programas clásicos caben en los modernos, junto con muchos otros. Lo que se suprimen son las cuestiones tan sólo prácticas en apa­riencia (Operaciones con expresiones algebrai-

estos cursos,La recopilación de datos y la construcción

de histogramas es una tarea instructiva que debe tenerse en cuenta constantemente, tanto

depósito de datos de uso corriente en

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comolos ejercicios que se propongan cuanto para educar sobre la manera de ordenar y graficar resultados experimentales Con dados, mone­das o bolilleros se pueden presentar muchos problemas, como puede verse en la literatura mencionada. Se puede, por ejemplo, anotar el número de veces que aparece cada letra del alfabeto en una página de un libro (una página diferente para cada alumno) y graficar los re­sultados obtenidos de varias maneras: a) por

como

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cada letra; b) vocales y consonantes; c) dividir el alfabeto en 4 partes y contar las letras que pertenecen a cada parte. Con este tipo de problemas se pueden hacer gráficos de barras o circulares, lo que ayuda a repasar problemas sobre porcentajes y repartos proporcionales.

Las ¡deas de probabilidad y estadística son tan importantes y ponen en juego tan diversos temas de la matemática que no conviene asig­narles cierto tiempo de determinado año y luego no hablar más de ellas. Si la enseñanza en espiral es recomendable para toda la mate­mática, lo es doblemente pare el capítulo de probabilidades y estadística. De¿de la escuela primaria, mediante experiencias 'ementales, cada año hay que introducir ejer. olos más complicados, con su tratamiento más perfec­cionado, señalando los puntos clave «le "de­pendencia" e "independencia", probabil dades compuestas, esperanza matemática, varioncia, hasta las leyes más usuales de probabilidad. En los últimos años de enseñanza media cabe dar ejemplos sobre estimadores y verificación de hipótesis.

"geometría finita" como modelo de micro- teoría axiomática. Esto tiene la ventaja de poder hacer que los mismoa alumnos propon­gan axiomas. Es decir, la acción educativa de la axiomática, sobre todo en modelos reduci­dos, es doble: a) Fijados los axiomas, como reglas de juego iniciales, aprender a deducir de ellos propiedades y teoremas, con lo cual se ejercita el método deductivo; b) Supuesta co­nocida una teoría o un conjunto de conoci­mientos, proponer a los alumnos la axiomati- zación de la misma, con lo cual se ejercita la facultad, típicamente matemática, de extraer lo esencial y definitorio de un conjunto desor­denado de hechos.

Se está discutiendo mucho si en la escuela media debe empezarse con la geometría afín, para luego pasar a la geometría nétrica, o al revés12. Todo tiene sus puntos oe vista positi­vos y negativos. Pero, en cualquier caso, no debe perderse de vista que se está en el ciclo secundario y que el alumno ya pasó por la escuela elemental donde adquirió muchos co­nocimientos que nunca debe olvidar. La geo­metría métrica, con sus medidas de longitudes, ángulos y superficies, es ya de su conocimien­to. Se puede y debe perfeccionar, pero nunca pensar que se empieza de nuevo, destruyendo lo ya aprendido. Esta es una observación gene­ral: el profesor de secundaria no debe creer que todo lo que se enseñó al alumno estuvo mal y que hay que empezar de nuevo. Al contrario, hay que edificar siempre sobre lo anterior, nunca destruir pensando que se es el único depositario de la verdad.

Las estructuras algebraicas. La axiomática aparece también de manera asequible en las estructuras a'gebraicas. Conviene ir señalando cada vez que aparezcan, las propiedades que caracterizan a los grupos, anillos y cuerpos, hasta llegar a las definiciones abstractas, en forma de axiomas. Aunque algunas veces se ha ensayado, no parece conveniente, por su com­plejidad, la axiomática del número natural a lo Peano. Los números naturales son demasiado intuitivos y bien conocidos por el alumno, para que comprenda la necesidad de una defi­nición axiomática; ello debe dejarse para los últimos niveles de la enseñanza, cuando se tenga ya buena formación matemática y lógica que haga comprender la necesidad de ciertas finuras en el razonamiento. Tampoco la defini­ción de los números enteros como pares de naturales con una relación de equivalencia es recomendable: es el ejemplo típico de exposi­ción elegante, pero artificial, que no tiene uso

posterior. En cambio, la misma ¡dea es defen­dible para definir los números racionales (co­mo pares ordenados de enteros con una rela­ción de equivalencia), pues la relación de equi­valencia que se postula en este caso es la que realmente se aplica para simplificar fracciones o reducirlas a un común denominador.

Los números enteros módulo un natural, como los llamados "números del reloj", son interesantes y tienen aplicaciones prácticas. Con el cuerpo de los enteros módulo un nú­mero primo (clases residuales) se pueden for­mar las tablas de adición y multiplicación y resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales, análogas a las usuales con números racionales, para entender la operatoria con cuerpos finitos.

En los p: ¡meros años de la enseñanza media es costumbre introducir sistemas de numera­ción de base distinta de 10. Se trata de un ejemplo típico en que no conviene exagerar. La numeración de base 2 es instructiva y se presta a ejemplificaciones mecánicas por el he­cho de que con sólo dos símbolos se puede expresar cualquier número. Pero no hace falta pretender que los alumnos lleguen a operar en base 2, u otra análoga, con soltura parecida a la que deben tener en base 10. Tales sistemas son "conceptualmente" interesantes, pero su calculatoria no tiene ninguna utilidad.

La computación en la escuela media. La importancia de la computación en la vida ac­tual es extensa e innegable. Ha pasado a ser elemento esencial en muchas de las actividades del hombre. Por tanto, sin pretender formar especialistas, la segunda enseñanza debe ins­truir en computación. Ya se está haciendo en muchos países. La ¡dea directriz no es tanto que los alumnos aprendan una técnica más como un añadido a sus conocimientos tradi­cionales, sino que la computación quede in­cluida en los programas de matemática de ma­nera natural, como algo consubstancial con los restantes temas. Ciertas técnicas de la compu­tación (diagramas de flujo, pequeños progra­mas algorítmicos, modelos) pueden ser útiles para una mejor comprensión de las ¡deas mate­máticas y para estimular el interés de los alumnos por ellas, por lo menos para algunos de ellos, cuyo interés por ciertas técnicas de la computación les hace llegar a la matemática sin que de antemano hubieran mostrado nin­gún interés por la misma.

Un proyecto interesante para mostrar cómo la computación puede convertirse en una uni­dad con el resto de la matemática es el Colo­

rado schools computing Science curriculum development Project"13. Hay otros textos dig­nos de ser estudiados.14, 1 y 15

Insistimos en que la importancia de esta enseñanza no reside eñ aprender una técnica más, sino en ir formando y preparando la mentalidad de quienes deberán moverse en un mundo dominado por la ciencia de la compu­tación (informática), con todas sus ramifica­ciones. Más que calcular, que lo hacen las máquinas, se necesita saber "programar" los cálculos. Los diagramas de flujo y los elemen­tos de algún lenguaje (Basic, Fortran) son va­liosos para poner en evidencia y clarificar las distintas alternativas que se presentan en un problema o razonamiento matemático.

No hay que confundir la enseñanza de la computación con el uso de las computadoras para la enseñanza. Esto último está siendo objeto de estudio en algunos países que tienen abundancia de computadoras. Algunos esperan que sea un elemento importante para la ense­ñanza masiva a grandes sectores de la pobla­ción.

Aplicaciones de la Matemática. La matemá­tica de nivel secundario debe contener aplica­ciones, tanto porque suelen ser una excelente "motivación" para interesar al alumno, cuanto para ayudar a sus necesidades futuras. En rea­lidad, siempre se enseñaron algunas aplicacio-

pero en los programas clásicos se reducían esencialmente a cálculos topográficos (distan­cias, áreas) y a la aritmética comercial. Se trataba de ejercicios para aplicar fórmulas bien precisas y de alcance limitado. Actualmente, lo mismo que señalábamos para la escuela ele­mental, se tiende a aplicaciones menos defini­das, pero más frecuentes en la vida real. Algu-

problemas de investigación operativa (dieta óptima, camino critico, ejemplos de teoría de juegos) se prestan mucho para ejerci­tar la geometría en coordenadas, el álgebra lineal y el cálculo de matrices. Es-decir, ade­más de aprender una técnica para resolver pro­blemas, se usan de manera viva conceptos que de otra manera pueden parecer artificiales. La teoría de grafos presenta ingeniosos problemas

manera de juego, ¡lustran sobre profun-

Geometría en coordenadas y transformaciones geométricas

La clásica geometría analítica fue conside­rada hasta hace poco como materia de nivel universitario. Evidentemente es así si se la considera en su totalidad, con el extenso con­tenido y los excesivos detalles de los libros clásicos. Pero las ideas fundamentales, por ejemplo la parte lineal del plano y del espacio y la representación gráfica de curvas dadas por ecuaciones, cabe perfectamente en los prime­ros años de enseñanza media.

No sólo la representación gráfica de funcio­nes, cuyo interés es evidente incluso como método gráfico para resolver sistemas de ecua­ciones, sino también la expresión en coordena­das de las transformaciones geométricas tiene alto valor formativo e informativo a la vez, por su contenido intrínseco y por las ¡deas relacionadas que obliga a poner en juego (transformación inversa, producto de transfor­maciones, matrices, cálculo con expresiones algebraicas, resolución de sistemas de ecuacio­nes, etc.). Las transformaciones geométricas son el mejor medio para llegar a la idea de grupo y al estudio de los subgrupos, subgrupos invariantes, grupo cociente, etc.

La axiomatización de la geometría euclidia- na es demasiado grande para que pueda hacer­se completa. Pero, como el método axiomá­tico es importante, se puede tomar alguna

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que, adas jdeas de topología y combinatoria. .

Estas ¡deas generales son fáciles de expresar y generalmente compartidas. Lo difícil

colecciones de problemas de acuerdo estos alineamientos generales. Hay muy

buenas colecciones de ejercicios y problemas "clásicos", resultado de la experiencia de mu­chos años, pero son mucho menos abundantes

es en-*' contrar

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tratamientos teóricos al gusto de la pureza más exigente: teoría de la información, len­guajes, teoría de autómatas y toda una varie­dad de lo que puede llamarse ''teoría" de la matemática aplicada, que cabalga entre las ra­mas pura y aplicada de la matemática clásica. Junto con ello no conviene olvidar la variedad de tópicos incluidos en la llamada informática, campo en el que se puede trabajar tanto en matemática pura como aplicada. Se trata de hacer, como actualmente se dice, la "transfe­rencia" de la matemática pura acumulada en los últimos años, al campo de las aplicaciones.

Después de este primer ciclo, debe entrarse en la etapa de la investigación o de los estu­dios de máximo nivel. Aquí la especialización se vuelve indispensable. La matemática supe­rior es demasiado extensa y difícil como para que se puedan dominar todas sus ramas. Hay que elegir. Cada alumno deberá, de acuerdo con su vocación, dedicarse a la matemática pura o a la matemática aplicada y, aun dentro de estas ramas, elegir la parcela en que deberá profundizar y dedicar todas sus fuerzas.

Matemática para no matemáticos. Un pro­blema importante que tiene planteada la mate­mática y su enseñanza a nivel terciario es la selección, ordenamiento y presentación de los temas para no matemáticos. Es tan extenso el campo de la matemática, y se han acumulado tantos conocimientos, que es muy difícil selec­cionar para cada especialidad la matemática que necesita o que va a necesitar en el futuro.

Podríamos decir que "enseñar es elegir". Aún para las carreras en que la matemática es de uso tradicional, como la ingeniería, el pro­blema no está resuelto. En general se sigue, por inercia, enseñando la misma matemática de hace cincuenta o más años, sin tener en cuenta que tanto la ingeniería como la mate­mática han cambiado mucho. La ingeniería necesita otra matemática y la matemática se ha organizado y sistematizado de modo que puede ser presentada de manera más coherente y mejor adaptada a los fines perseguidos. Pero para ello hacen falta ingenieros conocedores de la nueva matemática o matemáticos cono­cedores de las necesidades de la ingeniería. Ninguna de las dos soluciones es fácil, por tratarse de conjuntos con pocos elementos. (Veáse 2, artículos de J. Tola Pasquel y G. de La Penha). De la Penha señala la necesidad de que buenos matemáticos se dediquen a estu­diar los temas que se necesitan en las aplica­ciones y la mejor manera de hacerlos asequi­bles a los estudiantes de las ciencias aplicadas.

los problemas acordes con las nuevas tenden­cias. Se trata de un campo al que mucho pueden contribuir los profesores de enseñanza media, buscando y ensayando problemas de aplicación en el sentido amplio de la matemá­tica actual para los distintos niveles de la ense­ñanza. Sería cuestión de reunir muchos de ellos dispersos en distintas revistas (véase 12). La publicación de libros de problemas adecua­dos a los distintos años de enseñanza media con aplicaciones modernas de la matemática (no sólo con aplicaciones de la matemática moderna, lo cual es más fácil), sería de mucho interés.

repetidas veces, de matemática pura y mate­mática aplicada, o de matemática instrumental y matemática conceptual, debe mantenerse también a nivel superior. Si se trata de formar futuros matemáticos, no se puede capacitarlos exclusivamente en uno de los dos aspectos de la matemática. Cualquiera sea la tendencia fu­tura del alumno, de acuerdo con su vocación, debe ser informado sobre las otras tendencias posibles, siquiera sea para que luego pueda elegir con conocimiento de causa. Ha habido una tendencia universal en los últimos 20 ó 30 años, a hacer los cursos de los primeros años de la Universidad, excesivamente "puros". Se ha hecho más matemática para el espíritu que para la vida. Se consideró a la matemática como ciencia del razonamiento puro y lógico. Las aplicaciones no se enseñaban, dejando que el alumno luchara con ellas al terminar sus estudios si la vida se lo exigía.

Consecuencia de ello ha sido el alejamiento de los temperamentos matemáticos con orien­tación aplicada, que se perdieron a pesar de que pudieron haber sido muy útiles para la matemática misma. Por otra parte, ello motivó la aparación de la tendencia conocida como "anticientificismo", denominación al parecer ¡lógica en escuelas destinadas a ciencias, pero que en el fondo era la síntesis de un malestar, consecuencia de eliminar de la enseñanza una parte de la matemática de tanto valor como cualquier otra. Actualmente se empieza a reac­cionar al respecto. La matemática es un solo cuerpo, y en cualquier nivel, del más elemen­tal al más elevado, deben ir juntos los distin­tos reflejos de su única esencia. Por esto, con­sideramos que los estudios de tercer nivel

destinados a formar matemáticos, deben tener dos partes bien diferenciadas. Una parte bási­ca, de 2 ó 3 años de duración, en la que se estudie la matemática como una unidad, en su parte pura para comprender su esencia, y en su parte aplicada con sus raíces hincadas en el suelo de la realidad. Un poco de computación y un conocimiento directo de algunas aplica­ciones actuales, son de utilidad para mantener en equilibrio al edificio matemático. Con este ciclo básico se logrará, primero, dar armas a todos los alumnos, que podrán serles útiles en su futuro desempeño como ciudadanos y, se­gundo, no abandonar posibles vocaciones hacia la matemática aplicada que de otra manera podrían perderse por desconocimiento del te-

los cuales suelen ser, en principio, refractarios a los métodos matemáticos si no ven la necesi­dad de los mismos para sus estudios.

El problema es más evidente en las carreras en que la inclusión de la matemática es cosa nueva, tanto en ramas científicas (biología, geología, medicina) como humanistas (psicolo­gía, sociología, economía). En general, estas matemáticas para no matemáticos están en manos de profesores muy conocedores de la matemática, pero poco preocupados por la matemática que precisan sus alumnos, a quie­nes en poco tiempo hay que dar un conjunto de conocimientos que van de lo más elemental (cálculos algebraicos rudimentarios) a lo más superior (ecuaciones en derivadas parciales, problemas de puntos fijos y optimización). Naturalmente, ello es imposible si se quiere dar con la extensión y profundidad que lo estudian los matemáticos, pero debe ser posi­ble si se estudia la manera matemática y peda­gógica de hacerlo.

La investigación pedagógica. Llegamos así, en el nivel universitario, al mismo problema común en todos los niveles: hay que enseñar mucha matemática en poco tiempo. No es posible seguir el camino lineal y lógico de la enseñanza tradicional, que va de lo elemental a lo superior de manera sucesiva y ordenada y donde cada alumno, comenzando desde el principio, llega hasta determinado lugar en el cual se separa y deja la matemática para siem­pre. Quedan así tópicos que por estar en los extremos superiores de la ordenación lógica (o histórica) los no matemáticos no ven jamás (topología algebraica, ecuaciones en derivadas parciales, variedades diferenciables). Sin em­bargo, hay desarrollos modernos de la mate­mática superior que son útiles para ciertas técnicas elementales y que deben introducirse en los programas de enseñanza media o, por lo menos, de matemáticas universitarias para no matemáticos (espacios de Hilbert, distribucio­nes, .funciones especiales). Esto constituye un gran desafío para la. pedagogía y didáctica de la matemática. Habrá que ver cómo enseñar estas cosas sin las etapas intermedias, aun pres­cindiendo del rigor formal en aras de un des- arroJIo intuitivo. Hay que enseñar a dirigir bien la intuición, como facultad superior al pausado razonamiento lógico. La fundamenta- ción rigurosa, que exige tiempo y cuidado, puede quedar para los matemáticos. Esto no significa que los demás deban aprender sólo "recetas", sino que hay que buscar una peda­gogía que sin renunciar a la ejercitación inte-

(Sigue en pág. 25)

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6. La matemática superiorLlegamos ahora a la matemática de tercer

nivel, o enseñanza terciaria, que por ser absor­bida en muchos países casi exclusivamente por las universidades, se llama también enseñanza universitaria. En realidad, conviene distinguir. La masa de alumnos que desean seguir estu­dios posteriores a los secundarios ya no es la misma que antes ingresaba en las universidades para seguir un plan de estudios que debía conducirlos hasta los puntos más superiores de la disciplina elegida. Muchos de los alumnos actuales no pretenden llegar a las altas especia- lizaciones del pensamiento, conformándose con adquirir ciertas técnicas o proveerse de un conjunto de conocimientos que les sean útiles para defenderse en su lucha por la vida. Ello está justificado y es consecuencia de la com­plejidad de la técnica moderna que hace insu­ficientes los conocimientos de la enseñanza secundaria. Por esto hay que pasar a una ense­ñanza terciaria, que difiere de la clásicamente llamada universitaria por el hecho de que esta última suponía una culminación de los estu­dios, mientras que la enseñanza terciaria es todavía una etapa de la cual saldrán los profe­sionales que se conformen con los conocimien­tos directamente "aplicables" en el día de su egreso, y los investigadores, que seguirán estu­diando en otra etapa, esta vez propiamente universitaria, hasta las cimas del pensamiento contemporáneo. Para aplicar estos hechos ge­nerales al caso de la matemática, vamos a considerar por separado los casos de la mate­mática para matemáticos y la matemática para no matemáticos.

La matemática para matemáticos. Se trata de los estudios matemáticos posteriores a los de nivel secundario destinados a los futuros matemáticos (licenciados, doctores, profesores de matemática). La coexistencia, ya señalada

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ma.Por otra parte, hay ramas hoy consideradas

dentro de la matemática aplicada, que admitenI i

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llevarse a cabo la ¡dea de Piaña de tener pro­gramas modernos que pudieran emplearse en todas las naciones de nuestro continente con todas las ventajas que se intuyen y cuyo enun­ciado consideramos innecesario.

Este es el punto de partida del ambicioso proyecto de CONCEPTOS DE MATEMATICA para cuya realización necesitamos imprescin­diblemente de la opinión de los docentes. Nadie se sienta tan poco importante como para creer que su opinión carece de impor­tancia y recuérdese que es necesario hacer algo si se quiere tener el derecho de protestar cuan­do no se hace nada o se hace muy poco.

Todavía no hemos determinado cómo se cumplirán las etapas sucesivas. Es seguro que publicaremos, dentro del espacio disponible, las colaboraciones que nos parezcan más escla- recedoras. Pero todas ellas pasarán a ser consi­deradas por una comisión de cuya com­posición daremos cuenta en el próximo número, que estará integrada por prestigiosos docentes de todos los niveles.

LLAMADO A LOS Con todo el material en sus manos, esa Comisión podrá así proponer las soluciones que estime adecuadas y redactará programas previos para los tres últimos años de escola­ridad secundaria.

Cumplida esta etapa, en la segunda mitad del año próximo se realizará la discusión pública en la ciudad de Buenos Aires en forma a determinarse, de manera que con toda la in­formación que se recoja, las críticas que se efectúen y las sugerencias recibidas, pueda la mencionada comisión u otra que se designe al efecto, dar forma final al proyecto.

DOCENTES DE MATEMATICA!

A la búsqueda un programaotra, debimos desechar muchos proyectos lle­gados a nuestras manos.

Pero no todo estaba dicho. En el Congreso Bolivariano de Panamá, recibimos de la presi­denta de la delegación peruana, profesora Ana Ayala Flores un programa de matemática para los primeros nueve años de escolaridad, divi­dido en tres ciclos de 4, 2 y 3 años, respecti­vamente, aprobado por el Ministerio de Edu­cación de la República del Perú de acuerdo con un proyecto del Instituto Nacional de Investigación y la Dirección de Investigaciones de ese país, realizado por un equipo integrado por los docentes Teresa Arellano de Da Silva, Ana Ayala Flores, Uldarico Malaspina Jurado, Andrés Duquesne, Glicerio Contreras y Mario Acha Kutscher, equipo que fue asesorado por los matemáticos César Carranza y Oscar Val­divia. Este proyecto ya está en marcha en todo el país y se está cumpliendo el tercer año de experimentación habiéndose publicado las guías didácticas de los dos primeros años.

No cabe duda de que el programa citado no curqple todas las condiciones requeridas, habida cuenta de que abarca sólo los primeros nueve años de escolaridad, existiendo consenso general de que la escolaridad primaria y secun­daria debe extenderse a lo largo de 12 años, faltarían desarrollar los temas para los últimos tres años. Pero nos pareció una buena base de partida, especialmente porque después de un rápido examen realizado con la colaboración del Dr. Luis A. Santaló, que abarcó el progra­ma y las guías y fichas de trabajo que se nos facilitaron, advertimos prontamente que se tra­taba de un serio esfuerzo avalado por la reco­nocida autoridad de los matemáticos asesores. Más tarde, una lectura más cuidadosa con­firmó la primera opinión.

Lo dicho nos ha llevado a su publicación. Esperamos recibir prontamente la opinión de los docentes latinoamericanos porque, de lo­grarse los objetivos perseguidos, bien podría

Nuestros lectores saben de la Mesa Redon­da que organizada por CONCEPTOS DE MATEMATICA y la ASOCIACION "AMIGOS DE CONCEPTOS DE MATEMATICA" se lle­vó a cabo los días 20 y 27 de setiembre de 1972 en el Salón de Actos de la Editorial "Angel Estrada y Cía." de Buenos Aires con la participación de los profesores Estela R. O. de González Baró, Jorge E. Bosch, César Trejo y un selecto grupo de docentes argentinos.

En ella, el profesor Atilio Piaña señaló la necesidad de elaborar programas completos que abarquen tanto el ciclo primario como el secundario, los cuales servirían para que todos los docentes argentinos —y podríamos agregar los latinoamericanos— que se interesan por la enseñanza de la matemática puedan hacer todas las sugerencias que estimaren conve­nientes, las cuales, luego de un lapso adecua­do, permitirían la redacción de programas definitivos que serían presentados a los po­deres públicos.

La idea, reveladora del interés nunca des­mentido que el autor siente por la resolución de los problemas de la enseñanza de nuestra disciplina, era indudablemente atractiva pero de difícil realización. Desde luego, tan sólo se trataba de presentar un proyecto que sería sometido a la discusión, pero, también, dicho proyecto debía ser. lo suficientemente medu­loso como para que su discusión fuera pro­ficua y permitiera llegar al objetivo perse-

La dirección de CONCEPTOS DE MATE­MATICA está plenamente convencida de la importancia de la tarea que se propone sin desconocer las dificultades que habrá que su­perar. Y aún sabiendo que nunca mucho costó poco, confía plenamente en el espíritu de los docentes cuya colaboración solicita.

Trascribimos el programa peruano a que alu­dimos tnás arriba en la pág 26 y 27.

.

2. L. A. SANTALO, La matemática en Ia Escuela Secundaria. E.U.D.E.B.A., Buenos Aires, 1966.

3. E. BIGGS y J. R. MACLEAN, Freedom to learn, ADDISON-WESLEY PUBLISHING, Reading, Mass„ EE.UU., 1969.

4. PIAGET-INHELDER. La gánese de I' idée diHasard chez l'enfant, PRESSES UNIVERSITAIRES, París, 1951. f<

5. T. VARGA. Logic and probability in the lower Grades, New Trends in Mathematics teaching, vol. III, UNESCO, 1973.

6. FISCHBEIN, PAMPU y MINSAT, initiation aux probabilités a l'école élementaire, Educational Studies in Mathematics, 2, 1969.

7. NUFFIELD MATHEMATICS PROJECT, Pro­bability and Statistics, Inglaterra,

8. L. RADE, The teaching of probability and statistics, ALMQUIST et WIKSELL, Estocolmo, 1970.

(viene de pág. 23)

lectual que supone el razonamiento matemáti­co, permita avanzar hacia los temas de aplica­ción por geodésicas de tiempo y con la máxima economía de pensamiento.

En los últimos años, la escala de valores para los matemáticos ha sido exclusivamente su labor creativa en la investigación, vale decir, la publicación de trabajos en revistas de presti­gio. Con esto se ha creado mucho; se han levantado montañas de nuevos conocimientos. Ahora se trata de ordenar y transferir estas novedades a quienes puedan interesar. Hay que valorizar la labor de quienes sepan encoh- trar los métodos para ello. Hay que alentar la labor pedagógica. Para llegar a los nuevos des­cubrimientos han sido necesarios lenguajes y simbolismos tan sólo comprensibles para los iniciados. Ahora, los mismos matemáticos de­ben descender para allanar el camino y trans­formar los duros senderos abiertos a machete por valerosos pioneros, en suaves autopistas para el tránsito de quienes sólo desean llegar a las cumbres cuanto antes, para aprovechar de los inmensos, útiles y hermosos horizontes que desde ellas se contemplan.

•:

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9. SCHOOL MATHEMATICS STUDY GROUP. Probability for intermedíate grades, 1965.

10. TEACHERS COLLEGE PRESS. Secondary School Mathematics Curriculum Improvement Study Courses, I a VI, Columbia University, Nueva York, 1969-1972.

11. M. GEMIGNANI, Finí te Probability, ADDISON-WESLEY, Reading, Mass, U.S.A., 1970.

12. UNESCO, New trends in Mathematics teach­ing, Vol. III, U.N.E.S.C.O. París. 1973.

13. COLORADO SCHOOLS COMPUTING SCIENCES CURRICULUM DEVELOPMEN PRO­JECT, Course in Algebra and Trigonometry with computers programming. Universidad de Colorado, EE.UU., 1969.

14. Computer-assisted Mathematics Project, Scott y Foresman, 1973.

15. E. GARCIA CAMARERO, Ordenadores en la escuela secundaria. Centro de Cálculo de la Univer­sidad de Madrid. 1971.

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guido.! Diversas circunstancias, que no es del caso

señalar, íntimamente vinculadas a la multitud de tareas de los docentes cuya colaboración solicitamos al efecto, impidieron que dichos programas fueran redactados. No obstante, la iniciativa del profesor Piaña no cayó en saco roto y, por ello, nos dimos a la búsqueda de programas que reunieran las condiciones exi­gidas. Tarea ardua, sin duda, en la que crei­mos naufragar dado que, por una razón u

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BIBLIOGRAFIA

: 1. Educación matemática en las Américas III In­forme de la Tercera Conferencia Interamericana so­bre Educación Matemática, Bahía Blanca, 1972. Ofi­cina de ciencias de UNESCO, Montevideo, 1973.

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24 25

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:: PRIMER CICLO': SISTEMAS DE NUMEROS Y NUMERACION OE POSICIONGRADOS LOGICA, CONJUNTOS Y RELACIONESI MEDIDA; SISTEMAS MATEMATICOS ACTIVIDADES PRE-GEOMETRICAS; Idea de número natural.

Numerales del O al 9- Igualdad y orden en los números naturalosIntroducción intuitiva al concepto do base de un sistema do numeración de posición.Codificaciones orden.Adición de números naturales. Propiedades: conmutatividad, asociatlvidad, Identidad.Enunciados abiertos en la adición de números naturales.

Uso del "si", "no", "y”, "o".Reconocimiento y compareció Clasificación do objetos.Conjuntos. Pertenencia y no pertenencia. Intersección y Reunión do Conjuntos. Correspondencia- blunivoca. Conjuntos equipotcntes.

"todos", "algunos", n do propiedades do objetos. ogos topológicos soore Interior, exterior, frontera.

Cuadriculados y transformaciones det plano.Ju

PRI-MER y Dccodiflcaciones en diferentes bases basta el segundo

¡{ GRADO

I&y sustracción do núme ción y Decodificación

Adición Codifica tercer orden. Técnicas o

ros naturales.do números en diferentes basos, hasta el

Uso dol "si", "no", "y", "o", "si..Conjuntos. Inclusión do conjuntos.Intersección, reunión, complemento. Comparación de propiedades Correspondencias entre elementos do conjuntos. Introducción a la Idea de función.Aprcstamlento para la composición de fundones.

entonces", "todos", "algunos". o de unidades arbitrarlas de longitud. egos topológicos sobre interior, exterior, frontera.Dosplazamiontos, codificación y decodificación.Aprcstamlento para transformaciones en el plano: traslaciones y seme­janzas.

Actividades de apn ción de operación i

ostamlcnto para la no- interna.

Ju! SEGUN- poratlvas de la adición do números naturales.

Propiedades de la adición: conmutatividad, asociatividad, identidad. Sustracción de númoros naturales.Multiplicación de números naturales. Propiedades: Conmutatividad, Asocia- tlvldad. Identidad.Ecuaciones.

de objetos Clasificación.DO

GRADO

y sustracción de números naturales, caclón y canjesslicaclón de números naturales. Propiedades,

operativa de la multiplicación. Potenciación.División exacta do números naturalos.Múltiplos y divlsoros de un número natural. Números paros o Impares.

:ción a la noción do fracción.

Revisión y ampliación del uso de los conectivos lógicos y cuantlflcadores utilizados on el 2o Grado.Dlforencla de Conjuntos, Complemento.Producto Cartesiano. Relaciones. Gráficos.Ordenar los ole Idea de aplicadAprestamlonto para la composición de aplicaciones.

AdiciónCodlfi'MultlpTécnica

Desplazamientos, codificación y decodificación.Aprcstamlento para transformaciones en el plano: traslaciones, semejanzas, simetríaConstrucción de algunos poliedros.Noción Intuitiva de polígonos y segmentos.

Uso de unidades arbitrarias de longitud y área.Medidas do tiempo y temperatura. Monedas.

Actividades de aprcstamlento para la no­ción do operación Inter/ia y do grupo.en diforentos bases hasta el cuarto orden.

TER-j s. Uso de escalas.CER mentos do un conjunto,

lón.GRADO Introduc"Números con punto" en diferentes bases,

diferencia de números con punto.Suma yRevisión y uso de las nociones utilizadas en Lógica, Conjuntos y Rela­ciones en el 3er. Grado.Relaciones Reflexivas, simétricas y transitivas.Relaciones de equivalencia.Noción de aplicaciones Identidad e Inversas.

Adición, Sustracción y Multiplicación de números naturale Potenciación de números naturales, introduccló Uso de tablas.División de números naturales. División euclldlana.Múltiplos y divisores de un número natural. Números primos. Proporcionalidad.Números con punto. Orden y donsidad. Aproximaciones.

es.lón do radicación.

Construcción do sólidos geométricos.Noción de figuras planas.Simetría, congruencia y semejanza. Uso de escalas.

Actividades do aprestamlonto para la no­ción do grupo.

Uso del Sistema Métrico Decimal y de medidas usualos. Sistema monetario.CUAR- n a la noc

TOGRADO

SEGUNDO CICLO

ACTIVIDADES PRE-GEOMETRICASLOGICA, CONJUNTOS Y RELACIONES SISTEMAS OE NUMEROS SISTEMAS MATEMATICOSME0I0AProposiciones.Conectivos lógicos. Proposiciones compuostas: conjuntivas, disyuntivas, Impilcatlvas.Cuantlflcadores: Universal, cxistenclal.Conjuntos. Inclusión, Igualdad de conjuntos.Intersección, Rounlón. Complemento, Producto cartesiano de conjuntos. Relaciones do equivalencia y de orden.Composición de aplicaciones.

Números racionales positivos: <Q*Producto, potencia y cociento do números racionales positivos. Ecuaciones c inecuaciones con números racionales positivos. Expresión decimal de un número racional.Introducción a la radicación. Uso do tablas.Idea de número entero. Suma y diferencia do entoros.

Idea Intuitiva do punto, recta, plano.Subconjuntos de la recta y del planoi semirrectas, segmentos, semiplenos, bandas, ángulos, polígonos. Circunferencia y círculo.Espacio geométrico. Semlospaclos.Subconjuntos dol espacio.

Loy de composición interna.Propiedades: asociatlvidad, elemento neu­tro, olemonto invorso, conmutatividad.

1 Perímetros y Introducción

, goras.LoiArea dol circulo. Tiempo y án>

ároas de polígonos.Intuitiva al toorema de Pitá-QUIN-

ngltud de la circunferencia.TO*GRADO gulos.

Revisión y ampliación del uso de las nociones lógicas, de Conjuntos y tizadas en el Quinto Grado. Negación de proposiciones,

ción.

Operaciones en IN: Adición. Multiplicación. Propiedades.Extensión del conjunto do los números naturales; el conjunto de números enteros: .Z.Operaciones en Z: adición, multiplicación. Propiedades.Diforoncia y cociento do enteros. Sustracción y división en z.Ecuaciones e inecuaciones en lN y Z.Números racionales. Adición, multiplicación. Propiedades.

Punto, recta, plano, espacio.Rectas paralelas y perpendiculares. Dirección.

aditivo de los enteros, slmotrlas.

Porihnetros Superficie

■ Volumen de sólidos geométricos.

y áreas de suporflclcs planas, do sólidos geométricos.

El grupo Grupo deRelaciones utl

Relaciones de equivalencia. Partí Relaciones de orden y orden total.Aplicaciones Inycctivas, suryectivas, biyectlvas. Gráficos. Conjuntos equlpotentes.Conjuntos finitos e Inf

SEX­TO Ordenamientos naturales de los puntos de la recta.

Conjuntos convexos.Partición de Ja rect Semlplanos, banda1

GRADO ta, del plano y del espacio, s, ángulos y polígonos, poliedros.inltos.

;

TERCER CICLO

SISTEMAS OE NUMEROSLOGICA, CONJUNTOS Y RELACIONES GEOMETRIASISTEMAS MATEMATICOSPRO&ABIL. Y ESTADIST.Proposiciones compuestas. Uso de cuantlflcadores. Negación do propo­siciones.Relaciones en IR.Aplicaciones. Aplicaciones Inycctivas, suryectivas, biyectlvas, inversas. Composición do aplicaciones. Diagramas.

Revisión de las Números ración potenciación, Expresión dcc Orden y densidad Los números roa

operaciones en Z . Ecuacioneslales: (Q). Operaciones: adición, sustracción, multiplicación,

división.imal do un número racional,

en «. s: IR.

Operaciones en IR: Adición, multiplicación. Propiedades. Ordon Valor absoluto. Propiedades.Ecuaciones e inecuaciones en IR.

o inecuaciones en Z. El Plano. La recta.Rectas secantes.Rectas paralelas y rectas perpendiculares. Proyecciones paralelas.

El grupo aditivo do los números ráelo*nales. j )El grupo multiplicativo de Q— j.O j

i Experimentos aleatorios.' Posibilidad y probabilidad. * Espacios muéstralos.; Reunión o Intersoccló

SEP­TIMO

GRADOn de sucesos.

en IR. í

Funciones y aplicaciones en IR.Funciones lineales. Representación gráfica.

El slstoma de los números reales.<S, Z y lN como subconjuntos do IR.La Inducción matemática.Polinomios en IR. Suma, dlforcncia y producto Productos notables. Factorlzación.Radicación en IR.Ecuacionos e inecuaciones en IR.Proporcionalidad. Razones y proporciones. Razones trigonométricas. Uso do las tablas. ”

La recta real.Ejes. Punto medio entre dos puntos.Ordones sobre la recta real.Enunciado de Talos. Aplicaciones al triángulo. Proyección y punto medí- Biyocción del piano sobn Utilización de coordenadas.Traslaciones.

El cuerpo do los númoros racionales. Ei grupo de las traslaciones.i Experimentos aleatorios.

: Probabilidad.Permutaciones y combinaciones. Binomio de Newton.

OCTA-por un número real.V o IO.

o IR X !R.GRADO

Construcción de propos Tautologías y absurdos. Sobre la demostración. Funciones Sucesiones.

Equipolencia.Equipolencia ParaieiogrVectores geométricos. Adición do vectores geométricos. Vectores geométricos y punto medio.Producto oo un vector por un número roai. Propiedades. Simetría central.

siciones. Sistemas do ecuaciones de primer grado on IR. po do los númoros reales, icción al ostudio de las matrices.; Variable aleatoria.

5 Muestra.i Distribución de una variable. ; Gráficos do frecuenc!Valor medio.

El cueri •ntrodu Determinantes.introducción a la noclon do espacio vec­torial.Grupos do simetrías.

NOVE- y punto medio.amo.

NO y Olagramas.Progresiones aritméticas y geométricas. a.GRADO

! 2726.iti :I I■

clase comprende la lección. Pero, observemos con algún detenimiento las condiciones de este logro. Primero se plantea la cuestión preli­minar de saber si el alumno sigue verdadera­mente la exposición que se le hace. Frecuen­temente es muy fuerte la tentación de seguir sus propios pensamientos en lugar de atender. Escuchar una explicación es siempre menos interesante que descubrirla por sí mismo". (Hans Aebli: Una didáctica fundada en ia psi­cología de Jean Piaget).

Todas estas consideraciones deben inducir­nos a pensar que las formas directas de en­señanza, en las cuales el profesor desempeña el papel más importante, si bien tienen la ventaja de ahorrar tiempo en el desarrollo de los con­tenidos, no contemplan del todo los objetivos que nos proponemos.

Por todo lo expuesto creemos que las guías de investigación semiprogramada son un va­lioso aporte para el aprendizaje puesto que contienen las indicaciones necesarias para que el alumno pueda trabajar sin la presencia del profesor. Ellos mismos deben tratar de vencer las dificultades con sus medios de trabajo, aprendiendo a bastarse a sí mismos, luchando con la materia, equivocando el camino y quizá sufriendo derrotas, porque en todo eso reside el valor formativo de los métodos de en­señanza.

ficos y diagramas; hallar la imagen de un elemento particular del dominio; hallar la pre­imagen de un elemento particular de la imagen o resolver una ecuación; determinar varias ecuaciones correspondientes a la misma fun­ción; decidir, dada una función, si su inversa

. es función o no. Procediendo así, se simplifica mucho la elección de los. ejemplos que el alumno debe investigar y los pasos que debe dar para lograrlo.

La guía de investigación se elabora par­tiendo de una situación que se pueda encarar desde dos puntos de vista: como problema ficticio de acción práctica, o como proyecto presentado en forma abstracta. El primer en­foque es conveniente para los cursos infe­riores, y el segundo, para los superiores. En los primeros cursos, para resolver las cues­tiones planteadas, el alumno está más predis­puesto a manipular elementos concretos, como varillas articuladas, figuras en cartulina o papel transparente; esto puede ser considerado in­fantil por los mayores y provocar en muchos casos la resistencia a su empleo.

La situación que sirve de base para comen­zar la investigación debe ser enunciada en forma clara y viva de manera de permitir que los alumnos encuentren por sí mismos la solu­ción; si al presentarla no se toman en cuenta los esquemas que el alumno posee y debe utilizar, si el punto de partida es insuficiente se habrá perdido tiempo y no se logrará des­pertar interés.

ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA

InvestigaciónGuías de; ■

1. gran *

*

Elsa E. CHAMMAS (Argentina)j!

;(Mar del Plata, 1973) situaciones" adquiere día a día mayor vigencia

en el ámbito de la vida de relación.En todo esto es donde los métodos de la

didáctica tradicional comienzan a mostrar sus fallas. El alumno esta acostumbrado a que el profesor le presente resueltas todas las dificul­tades que debería vencer y su papel se limita a la repetición más o menos correcta de lo que escuchó. Su contribución personal es muy es­casa en este tipo de tareas.

No analizamos aquí el caso extremo de la clase magistral, en la cual la nueva ¡dea se imparte expositivamente, sino la clase en la que el profesor comienza por hacer un breve llamado a nociones conocidas por el alumno y sobre esta base desarrolla el nuevo concepto de manera de alternar sucesivamente las pre­guntas de aquél con las respuestas de éste. "El alumno debe ceñirse a esta exposición. Si lo logra, el proceso de formación se produce y la

i1) Fundamentación

del empleo de guías

Dice Robert C. McKean en su libro Princi­pios y métodos en la Educación Secundaria: "La juventud que hoy trabaja en las aulas será la conductora de mañana y la encargada de tomar decisiones. De tal manera, a medida que el docente trata de guiar a los jóvenes hacia un aprendizaje provechoso, llegará a darse cuenta que está en relación directa con el futuro. Mucho de lo que él mismo ayude a aprender, influirá en los cambios de su con­cepción del mundo del mañana".

Agregamos con N. Cantor: "El conoci­miento no es más importante que el apren­dí zaje". Este debe ser esencialmente un proceso activo, vale decir, debe obligar al alumno a la acción; no es escuchando sino hablando, escribiendo, pensando y actuando cómo se aprende.

Según Scheibner, es preciso que el alumno se decida a trabajar por propia iniciativa: in­vestigando problemas, reflexionando sobre el desarrollo de la tarea, persiguiendo la meta sobre la base del libre desenvolvimiento de su actividad, integrando los resultados en co­rrelación sistemática y planteándose nuevos interrogantes. Coinciden con estas ideas los objetivos de la enseñanza de la matemática en la educación media, objetivos que tienden al desarrollo de las funciones intelectuales que permitan al alumno la formación del pensa­miento racional mediante la aplicación de procesos lógicos, de la iniciativa personal y de la capacidad creadora que lo prepare para in­terpretar, encarar y resolver situaciones gene­rales, no sólo las estrictamente relacionadas con la asignatura. La expresión "matematizar

i

I-i2) Formas de preparar

una guía de investigación(iEs necesario dar al alumno gran libertad

desarrollar su pensamiento, pero siguien-La preparación de una guía de investigación

tarea sencilla. Para redactarla conviene parado un plan que los oriente en su idea de

no esque los docentes trabajen en grupo, puesto que el cambio previo de ¡deas facilita cual­quier tipo de labor. Con un poco de adies­tramiento y de práctica, todos podremos actuar eficazmente siempre que se comprenda que se quiere obtener un instrumento de in­calculable valor, que nos permita no sólo pla­nificar la tarea diaria, sino también cumplir los objetivos particulares de los contenidos que queremos desarrollar.

Es de suma importancia, por tanto, fijar previamente esos objetivos en forma analítica para que la guía responda exactamente a ellos. Así por ejemplo, si lo que se pretende desarro­llar es el concepto de función, habrá que lograr que el alumno sea capaz de decidir si una relación es función; distinguir el conjunto de partida, el conjunto de llegada, el dominio y la imagen de una función; usar notación funcional; usar tablas y fórmulas para definir funciones; representar funciones mediante grá-

conjunto.

Daremos los siguientes ejemplos de guías

Ejemplo 1. Basado en un problema ficticio de acción práctica.

Este trabajo se basa en la experiencia personal de la autora, comenzada durante el período escolar de 1971 en el curso experimental de matemática que, por Resolución Ministerial N° 856, Exp. N° 9567/71, se desarrolló en 3o año 4a división de la Escuela Nacional de Comercio de Mar del Plata, continuándose durante 1972 en los cursos de 3o 5a y 40 4a de dicha Escuela, en 3° 1a y 3o 3a del Colegio Nacional Mariano Moreno de Mar del Plata, y, con las adaptaciones inherentes a la modalidad de los alumnos, en 5o año de la Escuela de Enseñanza Media N° 3 (Comercio) turno nocturno, dependiente del Ministerio de Educación de la Provincia de Bue­nos Aires.

La dirección de la revista se complace en publicar este trabajo que es el fruto de una experiencia reali­zada por una profesora argentina. Agradecerá que los docentes le hagan llegar su comentario como asi­mismo trabajos en los que expongan los métodos que emplean para el desarrollo de todas las observaciones terés a sus colegas.

Ej. 1. Queremos decorar las dos puertas del placard de tu habitación.

a) Dibuja en papel transparente el motivo que quieres colocar sobre una de las puertas.

b) ¿Cómo harías para obtener el dibujo correspondiente a la otra puerta tal como ha­bitualmente se procede en una decoración de este tipo?

c) ¿Qué observas sobre las características del dibujo con respecto a la abertura central del placard?

d) En el dibujo en papel transparente, une dos puntos correspondientes determinando un segmento. ¿Qué conclusiones puedes obtener?

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su tarea en el aula .y que puedan resultar de in-

2928 Ij:í;:

i ;

b) ¿Qué relación puedes establecer entre los ángulos homólogos? ¿Podrías demos­trarlo?

c) ¿Qué conclusiones puedes obtener?A toda guía de investigación debe agregarse

una pequeña guía de ejercicios de los cuales el alumno pueda extraer nuevas propiedades y aplicar las que descubrió anteriormente.

ha tenido un papel pasivo, debe intervenir para organizar la discusión y guiarla hacia el objetivo propuesto. En general su participa­ción no es necesaria sino para redondear los conceptos que los mismos alumnos han obte­nido, con el objeto de que queden anotados correctamente en su carpeta diaria.

En esta forma los alumnos pierden el temor de expresar sus ideas libremente; además la evaluación de su tarea se hará por escrito y en lo posible con pruebas a libro abierto. Es necesario que el alumno sepa con antelación los objetivos que se pretenden con cada ejer­cicio, ya que de esa manera, sabe de antemano el criterio de evaluación.

Ej. 2. Llama a esas figuras, simétricas con respecto a un eje:

influyen en su calificación. Es común ver que, antes de que el profesor ingrese en el aula, ya hay alumnos trabajando en el pizarrón y, en muchos casos, incluso lo hacen en los recreos.

Aunque parezca paradójico, el azar es quien, en algunas circunstancias, debe resolver el problema de tener varios grupos que se disputan el derecho de intervenir.

a) Indica cuál es el eje de simetría.b) ¿Qué condiciones deben reunir dos pun­

tos para ser simétricos con respecto a un eje?c) Investiga si la simetría axial es una fun­

ción.■

d) ¿Qué notación usarías para indicarla? Ej. 3. Dibuja un polígono cualquiera:

a) Determina su eje de simetría.b) Dibuja la figura simétrica de la dada con

respecto a ese eje.c) Indica las notaciones correspondientes.

Ejemplo 2. Basado en un proyecto presentado en forma abstracta:Ej. 1. Sean el punto o y el número r perte­neciente al conjunto de los reales.

a) Toma un punto m del plano y deter­mina la recta om; sobre ella, el punto m' tal que se verifique que el vector om' sea igual a 2 por el vector om.

b) ¿Es único ese punto? ¿Qué conclu­siones puedes obtener?

c) Efectúa el mismo trabajo con otros pun­tos del plano.

d) Si denominamos a esta nueva transfor­mación puntual del plano homotecia de centro o y razón r =2, ¿podrías definirla formal­mente dando la notación correspondiente?

' *■

3) Formas de utilizar las guías d) Mayor fijación de ios conocimientosLa discusión general de todos los temas,

con su posibilidad de errores y aclaraciones, hace que las nociones queden fijadas con ma­yor intensidad.

Los alumnos asimilan mejor lo que han experimentado, analizado y discutido, e inclu­so definido con sus propias palabras, que lo que leen en un libro o les indica su profesor.

Las formas de utilizar las guías dependen en todos los casos del grupo humano al que están destinadas.

Cualquiera sea la forma de trabajo que se escoja, las guías deben ser entregadas a los alumnos con antelación y en forma individual. Pueden emplearse las técnicas de trabajo per­sonal o de la teoría de dinámica de grupo. Cada una de ellas presenta ventajas y desven­tajas; será tarea del docente adaptarlas a las características de su curso y cuando lo crea conveniente, utilizar ambas técnicas combina­das.

I

4) ConclusionesMuchas son las ventajas derivadas del uso

de guías de investigación. Señalaremos las si­guientes:

e) Relaciones de tipo afectivoLa libertad con que actúan en clase los

alumnos crea un clima de cordialidad entre ellos y el profesor. El alumno, que siempre tiene tareas para realizar y se siente cómodo y libre para hacerlas, no puede constituir un factor de'indisciplina. Muchas veces, incluso es dable observar sus expresiones de disconfor­midad, cuando el timbre anuncia la termi­nación de la clase.

Aunque esta conclusión no tiene verdadero valor estadístico, dado el poco tiempo que significa un período escolar en la generaliza­ción del empleo de guías, he podido com­probar que el porcentaje normal de alumnos a quienes les gusta la matemática es del 40 % al 50% al comenzar las clases y se eleva del 70 % al 75 % al finalizar las mismas; con res­pecto al número de alumnos que deben apro­bar la materia con examen complementario de diciembro o marzo, ha disminuido en forma notable, llegando a un 18%, 15% y hasta un 12 %, lo que puede considerarse altamente positivo.

Por todas estas causas, me atrevo a asegurar que las guías de investigación en la enseñanza de matemática, y quizá en la de otras asigna­turas, constituyen uno de los recursos más valiosos que podemos utilizar para cambiar la fisonomía de la escuela secundaria tradicional, porque exaltan la creatividad del adolescente y lo preparan realmente para enfrentar los pro­blemas que la vida les deparará en un futuro muy cercano.

a) Interpretación correcta de enunciadosCon las primeras, el profesor se asegura que el trabajo ha sido realizado por el propio alumno y es el resultado de su esfuerzo per­sonal, pero tienen el inconveniente de la falta de discusión previa; con las segundas, se corre el riesgo de que sólo los alumnos más aventa­jados del grupo realicen la investigación; pero tiene la ventaja de que en el trabajo previo hay intercambio de ideas y los menos dispues­tos a la tarea aprovechan las enseñanzas de sus compañeros.

El alumno se acostumbra a "leer" e inter­pretar correctamente lo que se le pide. Todos tenemos experiencia sobre el hecho general de que no siempre fijan su atención en el enun­ciado de la pregunta que se les formula; el adiestramiento que significa el trabajo constan­te de juzgar enunciados diferentes, les posi­bilita su interpretación. Esto se puede verificar mediante la resolución de situaciones nuevas en las pruebas a libro abierto.

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Ej. 2. Sean una recta A_y un punto exterior a ella o.

i a) Toma dos puntos s y t pertenecientes a la recta A y aplícales una homotecia H (o, 3), dibujando la recta A' que determinan los pun­tos transformados.

b) Indica con la notación correspondiente que A' es homotética de A.

c) ¿Qué relación existe entre las rectas A y A'? Pruébalo.

Ej. 3. Sean un triángulo abe y un punto o exterior al mismo.

a) Aplica a los vértices del triángulo homotecia H (o; 3) y une correlativamente los puntos transformados.

b) ¿Cómo son los triángulos a'b'c' y abe? Justifica tu respuesta, indicando la notación correspondiente.

El conocimiento integral de todos los alum­nos y sobre todo de sus posibilidades, permi­tirá al profesor obtener el provecho máximo y usar en la forma más adecuada las condiciones que se le presenten. El inconveniente de esta técnica es el número excesivo de alumnos con que se trabaja normalmente.

Los alumnos deben tener siempre libertad absoluta

b) Precisión y uso correcto del lenguaje ma­temático.

Con los métodos tradicionales, los alumnos tienen pocas oportunidades de ejercitar su len­guaje; durante la explicación, escuchan al pro­fesor y a lo sumo tres o cuatro son los que exponen en el transcurso de una clase. Con las guías, además de tener escritas las expresiones en forma correcta para su consulta, tienen intervención mayor cantidad de alumnos por clase y además, por las indicaciones del docen­te, corrigen y aplican con mayor exactitud su vocabulario matemático.

c) Entusiasmo por la asignaturaAl verse liberado de la calificación por su

actuación diaria, el alumno se entusiasma por el trabajo que ha realizado pues sus errores no

i

ipara poder demostrar lo que han in­vestigado. No tiene importancia que sus con­clusiones

jj; unasean las correctas; sus compa­

ñeros participan en el trabajo y pueden emitir libremente sus críticas si no están de acuerdo con, él. Cada uno de los participantes defen­derá su posición con los argumentos qua crea necesarios y tratará de convencer de la correc­ción de su tarea. En esta forma la discusión se generaliza con la participación de todo el cur­so y es muy difícil que los conceptos no queden perfectamente aclarados. Si así no ocurriera, el profesor, que hasta ese momento

!

lEj. 4. En el ejemplo del ejercicio anterior, investiga. ;

.a) ¿Qué relaciones puedes establecer ;entrelos lados de los triángulos homotéticos? ¿Po­drías demostrarlo?

I

i30 31

*

1

PROBLEMATICA DE HOYy se planteaba la cuestión: "¿Qué se puede decir de los dos ángulos adyacentes al tercer lado?" Todos estaban convencidos de que esos ángulos eran iguales, pero era necesario, cuanto menos, probarlo.

En trigonometría, no ocurría nada mejor. Durante dos meses de trabajo concienzudo se hacía la resolución de triángulos escalenos, con un cálculo de tantos decimales, con toda escrupulosidad y mediante la ayuda de todo el arsenal de tablas. En trigonometría como en geometría se hacía todavía la domesticación mediante continuos retornos a los problemas estereotipados, con la esperanza, sin duda, de que los alumnos adquirieran mediante ellos alguna habilidad.

La enseñanza del cálculo diferencial e inte­gral sufría del mismo mal. Cada día traía consigo su ración de derivadas e integrales para realizar, sin que nadie tuviera la menor idea de la naturaleza o de la utilidad de una derivada ni tampoco de la significación de una integral.

¿Cuáles han sido en primer término las consecuencias de esta enseñanza entre los alumnos? Se ha matado en ellos todo interés y se ha paralizado todo esfuerzo creativo y de imaginación con respecto a las realidades ma­temáticas. Esto era verdad sobre todo con respecto a los alumnos más dóciles. Aquéllos que nos oponían resistencia, esos que siempre planteaban cuestiones, no se han extraviado del todo por ese tipo de enseñanza y han sobrevivido. Estoy persuadido de que vosotros habéis formado parte de estos aguafiestas y que habéis terminado por aprender algo de matemática a pesar de la forma en que se la enseñaba en la escuela. Esta enseñanza, a mi manera de ver, tenía consecuencias aun más peligrosas para los maestros, en lo que signifi­caba, para cada uno de nosotros, el alumbra­miento de nuestra vida espiritual. Después de algunos años de enseñanza, no podríamo s go­zar del placer que la matemática puede y debe proporcionar siempre, puesto que tendríamos que hacer girar bastante la manivela para obte­ner invariablemente las mismas viejas pruebas. Nosotros no ejercitábamos más nuestro pensa­miento en el dominio de la matemática. Al fin y a la postre, las nociones vulgares que repe­tíamos se nos volvían tan evidentes que ya nc podíamos comprender porqué los alumnos no entendían de inmediato lo que le enseñá­bamos.

¿Cuáles son los cambios ya hechos o, que al menos están por hacerse? '

En aritmética, creo que hemos comenzado a dar alguna significación al número. Sabemos que no es esa cosa garrapateada en el pizarrón. Es alguna otra cosa, pero es alguna cosa que tiene existencia real en nuestro espíritu del cual el signo escrito en el pizarrón es una representación simbólica muy útil. Además, ahora tenemos una ¡dea de lo que entendemos por operación. Una operación aritmética es una función que aplica pares de números so­bre números. Hay allí una noción muy difícil de explicar, pero comenzamos a inculcarla en los niños en nuestra enseñanza elemental. Co­menzamos también a dar razones a nuestros jóvenes, de suerte que ellos saben por qué proceden de tal o cuál manera en aritmética cuando desean hallar una suma o un producto.

No se sabía jamás por qué la coma decimal se corría en un sentido o en el otro. Cuando mis alumnos hacían una adición, comenzaban por la columna de la derecha, la de las unida­des, para pasar en seguida a las decenas y a las centenas. A veces los detenía diciéndoles: "Atendedme un instante: ¿por qué hacéis ese problema al revés?". Entonces me miraban con sorpresa: "¿Qué queréis decir? ¿Al re­vés?". "No leen ustedes de izquierda a dere­cha? ". No lo sabían. "¿Y usted? ". "Voy a deciros un secreto. Se trata, entre otros, de un simple accidente histórico: Cuando los comer­ciantes italianos importaron el sistema de nu­meración indoarábigo, han recogido, de los libros escritos en lengua árabe, los algoritmos de todas las operaciones. Ahora bien, los ára­bes, como se sabe, escriben todo a partir de laderecha, incluso los números".

Comencemos, pues, a analizar algunas de esas cuestiones y a discutirlas; nuestros alum­nos comienzan a hallar cierto sentido a todo ese mundo de reglas y de convenciones arbi­trarias. Si se les enseña bastante pronto, pue­den comprender que los conjuntos de números, en cierta manera se han desarrollado bajo nuestra dirección y de manera de responder a nuestras necesidades incesantemente mayores. En primer término, los números naturales nos permiten responder preguntas tales como "¿Qué cantidad? ¿Qué número? "; a renglón seguido, para hacer problemas referentes a me­didas, tenemos necesidad de las fracciones y de los números decimales. Finalmente, para los problemas en que interviene la dirección.

matemática moderna

en los EEUU.*

J. H. HLAVATY (EE.UU.)

!Quisiera referirme hoy a tres puntos: pri­

mero, muy brevemente, a las matemáticas tra­dicionales (los malos días de antes); en segui­da, a lo que hacemos actualmente (y que nosotros rotulamos, acaso con justicia, "mate­mática moderna"), y a lo que haremos maña­na (digamos "las nuevas matemáticas moder­nas").

máticamente el signo. Se' resolvían problemas en su mayoría muy prácticos. .. a lo que se de­cía. Esos problemas siempre se relacionaban con tres cómplices A, B y C, que se sacrificaban en el esfuerzo, sea participando en los llenando o vaciando los recipientes, sea levan­tando muros, sea mezclando líquidos (sin beber jamás, felizmente, la sustancia obteni­da). Habituólmente, siempre era el pobre C el que tenía el peor papel en esas aventuras. Un célebre humorista canadiense, Stephen Leacock, consagró algunas páginas a esos gran­des personajes que son A, B y C. Se hacía, pi:es, domesticación sin cesar. Y era necesario preocuparse bastante para que nada resultara demasiado simple... Así, en mis comienzos como profesor de álgebra, yo enseñaba a mis alumnos a complicar las fracciones. En efecto, ¿no es eso lo que en ciertos casos se debe hacer si realmente se quiere llegar a algo? Tomad, por ejemplo, el caso de la adición de un tercio y medio. Lo primero que se debe hacer, ¿no es complicar esas fracciones lleván­dolas al mismo denominador?

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1 Os ha ocurrido con bastante frecuencia cri­ticar la suerte asignada antes a la matemática tanto en la enseñanza como en los mismos programas. Es realmente necesario convenir en que esa crítica —a la cual yo mismo he contri­buido en distintas ocasiones—

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era acaso exage­rada y ello por fines propagandísticos o de otro tipo. Por pobres que- hayan podido ser la enseñanza, los programas y los manuales '4el pasado, se llegaba lo mismo a producir sufi­cientes matemáticos, profesores de matemá­tica, físicos y científicos. Ahora, evidente­mente, nos es preciso producir más.

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¿En qué consistían esas matemáticas tradi­cionales? En una domesticación muy a menudo. Sin

pura y simple, comprender demasiado lo

que ello significóua, se corría la coma decimal, se invertían las fracciones, se tomaba prestado -sin jamás devolver nada- y se hacían los descuentos. Después la domesticación y siem­pre la domesticación. Tal era la esencia misma de la enseñanza de la matemática. En lo que se refiere al álgebra, se giraba entonces en redondo en la rutina de todas esas cosas sin significación que un álgebra de concepción es­trecha exigía que se hicieran. Se empleaba el tiempo en cambiar los signos; tan pronto como se veía un signo, se lo cambiaba de inmediato. Después se bailaba cierto paso de danza:*se trataba de tomar una cantidad aquí y de ponerla allá, sin olvidar de cambiar auto*

I¿Y qué se hacía en geometría? A princi­

pio se tomaba a los alumnos par sorpresa afirmándoles: "Vosotros lo sabéis, es rríúy im­portante razonar" (como si ellos no hubieran razonado hasta ese día y correctamente.. .). Los padres saben muy bien cómQ ur> niño de tres años puede, nueve veces sobra diez, razo­nar mejor que ellos sobre cosas de lógica pura. Sin embargo, en la enseñanza de lá geometría, se partía de la hipótesis de que los alumnos no conocían nada de lógica y que rio mostrársela. ¿Para qué servía dicha lógica? ara demostrar un fastidioso repertorio de teo­

remas absolutamente evidentes para cualquiera que abriera un ojo a medias. De esa mañera,# se dibujaba un triángulo con dos lados iguales

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'de Euclides no son un manual de geometría. La obra del matemático griego es un texto muy moderno de matemática integrada. Con­tiene todo lo que se conocía, en el tiempo de Euclides, sobre aritmética, teoría de números, álgebra y geometría. Infortunadamente, se han recogido los teoremas menos interesantes en el conjunto de los 13 libros, se los ha amonto­nado y se ha dicho: "He aquí a Euclides". Se ha ignorado la bella demostración de la infini­tud de los números primos, se han abandona­do las discusiones algebraicas, las fórmulas de los números perfectos; se ha despreciado todo lo que había de verdaderamente elegante en Euclides y se ha tenido el desparpajo de decir enseguida: "He aquí la geometría". Se conoce el resultado El movimiento reformista ha tra­tado de transformar al monstruo. Se ha dicho: "Euclides ha cometido todo tipo de errores". Los ha cometido, evidentemente, porque en su época no sabía lo que ahora sabemos de los números reales. No disponía más que de un sistema de numeración muy poco manejable. No podía, pues, llegar al final de ciertos pro­blemas. Hay, además, gran número de fallas lógicas en la geometría. Sabéis, por ejemplo, que se puede probar a partir de los mismos axiomas de Euclides, que todo triángulo es isósceles y que no se puede demoler esta prue­ba basándose únicamente sobre la geometría euclidiana. Con motivo de la reforma, los pro­motores se preguntaban: "¿Cómo paliar estas flaquezas de la lógica euclidiana?". cuentemente, todos los cambios aportados a la geometría no han tenido otro objetivo que el

sea en un sentido o en el otro, acudamos a los números afectados de signo. Los niños apren­den; ahora, creo, que esta evolución es nor­mal, no arbitraria, y que responde al creci­miento de nuestras necesidades. Esta toma de conciencia es probablemente mucho más im­portante que el aprendizaje de ciertos algo­ritmos a los cuales muchas veces consagramos tiempo y atención.

¿Qué progresos hemos hecho?Hemos introducido el concepto de variable.

Usamos ahora, sabiendo de lo que se trataba, la noción de conjunto. He ahí uno de los conceptos que permiten hacer la articulación entre todos los sectores de la matemática.

En álgebra, ahora, desde la escuela elemen­tal, los jóvenes son iniciados en la noción de forma proposicional y prontamente, desde el comienzo, se les enfrenta no sólo con ecuacio­nes, sino también con desigualdades. Algunos de ustedes acaso recuerde sus primeras expe­riencias en cálculo diferencial e integral y qué experiencia fue el deber tratar una desigual­dad. A lo largo de toda vuestra escuela ele­mental y de los años de vuestra escuela secun­daria inferior, nunca os habéis encontrado con entes que no fueran ¡guales. No sorprende nada que considerárais una experiencia des­agradable eso de enfrentaros con las desigual­dades del cálculo diferencial e integral. Mu­chos no pudieron sobrevivir a ellas. Fue por­que el cálculo diferencial y el integral llegaban a descorazonar definitivamente número de matemáticos eventuales que la geo­metría. ¡Y eso no es poco decir!

El desarrollo de los conjuntos de números nos hace desembocar en las estructuras máticas de largas y ricas perspectivas. Creo que la primer gran sorpresa es el conjunto de los números reales. Se siente aquí que se está en presencia de un universo completo. En los conjuntos precedentes, siempre había algo nuevo por hacer. Con los números no negati­vos, por ejemplo, se podían plantear proble­mas imposibles y, por ello, éramos conducidos a crear los números negativos.

En geometría es donde el movimento refor­mista ha tenido menos éxito. La razón princi­pal acaso resida en que estábamos confinados a la parte menos interesante de la geometría es decir, a los desarrollos lógicos y axiomáti­cos de la geometría euclidiana. Los Elementos

geometría del espacio en nuestras discusiones de geometría plana, constituyendo estos dos puntos, a mi parecer, una buena forma de ensanchar la geometría plana tradicional.

Llego ahora a lo que hemos hecho de bue­no en trigonometría. Hemos dejado a un lado la vieja trigonometría basada en cálculos y hemos adoptado la trigonometría analítica, que hoy es mucho más importante y más interesante. Hemos comenzado a hablar no sólo de funciones de ángulos sino también de funciones de números. Incluso en cálculo dife­rencial e integral la mejora ha sido grande y la enseñanza ha dejado de ser una repetición mecánica de derivadas e integrales para tratar de mostrar que el cálculo diferencial e integral es una de las mayores realizaciones de la hu­manidad que le han dado al hombre una he­rramienta para analizar la realidad más cons­tante del mundo y de la vida, el cambio.

Los manuales actuales, sea que estén co­mercializados o sólo usados a título experi­mental, son mejores qué Jos del pasado, tanto en el nivel secundario como en el elemental. Creo también que la enseñanza es mejor que en cualquier momento del pasado, principal­mente por la forma masiva con que los docen­tes se han enrolado en el movimiento refor- místico desde hace unos diez años. Todos nosotros hemos juzgado necesario volver a aprender. El estudio entre los maestros, un estudio proseguido día a día, es lo que consti­tuye el mayor factor dinámico de la enseñan­za. Acaso sea exagerado hablar así, pero siem­pre he considerado incompleto cada uno de los días en que no había enseñado nada nuevo en clase. No estaremos satisfechos con nuestra labor docente más que si estudiamos sin cesar y si mantenemos un ferviente interés por lo que hacemos.

Ahora tenemos más maestros que conocen mejor la matemática y más matemáticos que conocen mejor la enseñanza. Porque el movi­miento reformista ha sido la empresa común de docentes, matemáticos y pedagogos, todos hemos aprendido algo que antes descono­cíamos. Por nuestra parte, hemos aumentado nuestro conocimiento de la materia y los ma­temáticos, por la suya, han comenzado a inte­resarse por los problemas de la enseñanza y a comprenderlos. Todo esto es importante pues­to que, cuando lleguemos a preguntarnos cuál ha de ser la próxima etapa, tendremos un equipo de personas prestos a disponerse a la-

investigación de la respuesta con mucho ma­yor competencia que en el pasado.

Para ser totalmente honesto, es necesario confesar que ha habido exageraciones en el movimiento renovador, tal como las hubo con el viejo sistema. Las viejas matemáticas no han sido verdaderamente tan malas como las he descrito más arriba. Las nuevas matemáticas no son tampoco maravillosas como acabo de decirlo. Cuando hemos descubierto los conjun­tos, todos hemos perdido honradamente la ca­beza; era como un juguete nuevo. Cada libro nuevo tenía al comienzo dos capítulos sobre conjuntos: nos apasionábamos dos o tres me­ses sobre el tema pero jamás aludíamos a sucesivos estudios de matemática. Hemos des­cubierto las bases de numeración: ¡maravi­lloso! ¡Qué encanto tener una cosa tan nueva para estudiar! ¡Multiplicaciones en base 7! ¡Fantástico! Nuevamente aquí hemos perdido la cabeza y muchos manuales simplemente han delirado...

Recuerdo todavía a un profesor que, cuan­do comenzó a enseñar la matemática del S.M.S.G (School Mathematics Study Group) se había enamorado de los sistemas de numera­ción no decimales, especialmente del sistema de base tres. Eso, razonablemente, acaso pu­diera ocupar dos o tres lecciones, pero el pro­fesor citado se pasó en ello un mes y medio. ¡Cuando lo vi por última vez, hacía que sus alumnos construyeran tablas de logaritmos de base tres!

No obstante, pese a esas exageraciones, una evaluación honesta de lo que se ha hecho en estos últimos años demostraría que se ha pro­gresado en la enseñanza de la matemática.

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Conse-a un mayor

de mejorar la estructura lógica. Eso no ha hecho más que empeorar las cosas por la sim­ple razón de que si, por ejemplo, se quiere hablar de la continuidad en geometría —y ha­cerlo seriamente— si se comienza en setiembre no se llega a los triángulos isósceles ante de Pascuas. Algunos de los nuevos manuales caen precisamente en esa trampa dado que en ellosse han preocupado demasiado exclusivamente por una estructura lógica rigurosa. Creo que los alumnos de tercer o cuarto año secundario no quieren saber tanto acerca de los funda-

más bien

mate- ¿Adónde iremos ahora?Hoy vemos que se han trazado cierto nu­

mero de vías. Los europeos, considerando lo que estamos tratando de hacer, han dicho: "Se trata de una buena ¡dea, pero, ¿por qué no reorganizar a fondo la enseñanza de la matemática?". Y de allí partió su movimiento de reforma; están ahora adelantados 5 años con respecto a nosotros. Permítaseme un bre­ve comentario. La enseñanza secundaría en casi todos los países europeos siempre ha teni­do, y aún lo tiene, un carácter altamente se­lectivo; tan sólo del 5 al 10 por ciento de la población frecuenta la escuela secundaria. Por consiguiente, allí se desempeña un número res-

mentos de la geometría sino que quieren aprender la geometría misma. Sin embargo, hemos mejorado bastante la geome tría: hemos introducido en escala muy gran e el uso de las coordenadas en la enseñanza e dicha materia y hemos hecho intervenir

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idea. Consideremos ahora el tablero de puntaje de un partido do baseball, que contiene los puntos, los golpes seguros y los errores. Se tiene aquí una matriz que contiene seis núme­ros. No hay nada difícil dentro; los jóvenes lo comprenden. Eso es lo que es necesario enten­der cuando se había de introducir temprana­mente el álgebra de las matrices. He aquí, pues, seis números dispuestos en un rectángulo de manera de expresar una sola ¡dea. Se trata­ría de iniciar rápidamente a los jóvenes en nociones de ese tipo y, después de cierto tiem­po, una vez alcanzado cierto nivel, integrar esas nociones en un todo lógico y consistente. Esas nociones se organizarían, de hoy en más, no según las categorías con que las estudiamos en otro tiempo —aritmética, álgebra, geome­tría, trigonometría, etc.— sino según una sola categoría: la matemática.

En cuanto a la geometría, siempre ha co­menzado, y siempre debería comenzar, de forma bien establecida, en el jardín de infan­tes. A esa edad, los niños ya conocen mucho sobre nociones geométricas. Han encontrado formas, están al corriente de las cantidades y tienen conocimientos intuitivos de geometría. La geometría significa mucho más que probar teoremas a partir de un dado número de axio­mas. Exige que se miren las formas, que se las mueva desde un lugar a otro, que se las mire mediante espejos, que se trate de hacerlas en­cajar unas en otras (a veces se la logra, a veces, no), que se las dé vuelta y que se plieguen hojas de papel... Esa es la geometría. Nada de todo esto se hacía en la geometría tal cual nosotros la hemos aprendido. Y sin embargo, es realmente bello y es realmente la geome­tría.

tringido de profesores y esos profesores pue­den responder a exigencias muy elevadas, lo mismo que sus alumnos que han sido cuidado­samente seleccionados. Si observáis los manua­les publicados en Europa en el curso de estos últimos cuatro años, no creeréis que esos l¡ bros son de nivel secundario. Los europeos reorganizaron su enseñanza de la matemática de manera que ésta se adecúe con lo que es la matemática de hoy. Aquí sólo se hacen al­gunos ensayos en esa dirección.

¿Qué tipo de matemática convendría para una nueva era? Quisiera atraer vuestra aten­ción sobre algunos trabajos que se están ha­ciendo hoy. Menciono en primer término los de la U.I.C.S.M. (University of Illinois Commission on School Mathematics) esto es, el programa de la Universidad de Illinois. Se ve allí la primera tentativa de presentar la nueva matemática tal como debe aparecer. El S.M.S.G., en segundo término, combate ahora lo que ellos denominan el "segundo round". Algunos de ustedes han podido escuchar esto: la gente del S.M.S.G. preparan una serie de folletos de carácter experimental, para el sépti­mo año escolar, con la nueva perspectiva de una reorganización del programa de matemá­tica en la escuela secundaria. Menciono en tercer término el proyecto S.S.M.C.I.S. (Secondary School Mathematics Curriculum Improvement Study), dirigido por el profesor H. H. Fehr, del Colegio de Profesores de la Universidad de Columbia. Se trata de una ope­ración global, si se considera la concepción que tienen sobre la matemática y sobre lo que debería enseñarse, pero no se intenta imponer o poner en vigencia un programa enteramente nuevo en las escuelas del país.

a geometríauturoT. J. WILLIAMS (Gran Bretaña)

*

La Asociación Matemática Británica comen­zó su existencia hace casi cien años, con el principal objeto de mejorar la enseñanza de la geometría y aunque el campo de su interés se ha ampliado mucho, la enseñanza de la geome­tría continúa siendo una finalidad muy impor­tante. Naturalmente, ia pregunta: ¿Cuál es el futuro de la Geometría? "¿—Whither Geome- try?"— carece de significado, a menos que uno especifique si está hablando de la geome­tría que se enseña en la escuela primaria, en el bachillerato, en las universidades, en los poli­técnicos, a escolares o graduados, o bien de la geometría tal cual la entienden los matemáti­cos profesionales dedicados a la investigación. Además, el motivo para estudiar geometría es distinto en cada uno de los niveles: Ensayaré tratar la cuestión referida a todos estos niveles matemáticos.

Supongo que hacer juicios dignos de con­fianza sobre lo que es importante en la mate­mática corriente, debe corresponder a los ma­temáticos profesionales, que son los dedicados a crear matemáticas nuevas e ideas matemá­ticas nuevas. Estos juicios críticos no pueden ser permanentes; inevitablemente cambiarán, conforme la matemática se desarrolla. Sin em­bargo, tal cuerpo de profesionales puede decir a los profesores de matemática, en un momen­to dado: "Este asunto ya no ocupa una posi­ción central en el desarrollo de la matemática, como parecía ocurrir en la generación ante­rior. Creemos que ustedes deberían poner más énfasis en tal otra cuestión que ahora parece jugar un papel más importante en el desarrollo de este asunto".

Un matemático investigador puede, sin du­da, ignorar completamente cuál sería el rrv^jor modo de presentar estos temas importantes a los estudiantes de matemática de los distintos niveles, pero quizá no se ha reconocido am­pliamente en los círculos educativos que un educador ignorante en matemática es aún me­

nos competente para aconsejar sobre estas ma­terias. Como todos ustedes saben, las universi­dades han sido estimuladas fuertemente para aconsejar a todos los aspirantes al profesorado universitario, a que asistan a algunas clases de formación de profesores y para estimular a muchos docentes en ejercicio para que tam­bién lo hagan. Diferentes cursos experimenta­les se han desarrollado en varias universidades y sin duda irán mejorando conforme se acu­mule experiencia. Un resultado parece claro desde ahora: las conferencias generales sobre los principios y teorías educativas no harán mucho impacto sobre los‘profesores de mate­mática, a menos que sean dadas por personas a quienes respeten como matemáticos compe­tentes.

Permitidme ahora intentar definir la geome­tría. Una de las mejores definiciones que co­nozco, procede de las primeras páginas del libro "Curvas Algebraicas", de Semple y Knea- bone, Clarendon Press, Oxford, 1960.

"Geometría es el estudio de las relaciones espaciales; en su' forma elemental se la concibe como la investigación sistemática de las pro­piedades de las figuras existentes en el espacio familiar al sentido común. No obstante, a me­dida que se desarrolla el conocimiento mate­mático, el espacio, que constituye el objetivo final del estudio del geómetra, es visto como un objeto ideal, como una construcción inte­lectual que se revela esencialmente distinta de

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j¿Cuál será la esencia de los nuevos progra­

mas? Para comenzar: se enseñarán nuevos conceptos, y eso en buena hora. Acaso algu­nos tiemblen al ver aparecer de golpe temas como álgebra de las matrices en los programas de cuarto o quinto año. Evidentemente, puede tratar, en ese mpmento, del álgebra de las matrices, tal como se lo haría en un semes­tre universitario. No obstante, ciertos elem tos del álgebra de las matrices (simples cuadra­dos o rectángulos de números) pueden ser comprendidos por los jóvenes. Una fracción como dos tercios, constituye un ejemplo muy simple de matriz, de elementos 2 y 3. En conjunto, esos dos números representan

Dos temas muy importantes deben entrar rápidamente en los programas: la estadística y las probabilidades, lo mismo que la informá­tica. La ciencia más nueva entre las ciencias matemáticas mayores quizás sea la de las pro­babilidades. Invade hoy los dominios de las matemáticas aplicadas y de la matemática pu­ra. Por primera vez en la historia, tenemos una herramienta seria para atacar los fenómenos de incertidumbre. ¿Dónde enseñar las probabi­lidades? Se comienza en el jardín de infantes,

primer grado, reuniendo datos, organi- dándolos, ejercitando el pensamiento, tratando de obtener conclusiones y, en fin, razonando sobre el mismo fenómeno de la probabilidad.

(sigue en pág. 42)

no se(*) Resumen de le conferencia pronunciada con mo­

tivo del meeting anual de la Mathematical Asso- ciation británica en Newcastle, en abril de 1970.

T. J. Willmore es profesor de la Universidad de Durham y autor de una excelente Geometría diferencial, editada por la Oxford Clarendon Press. También ha publicado, en colaboración

el profesor Porteous una "Introducción a la Topología Geométrica" en la colección "The New University Mathematics Series", editada por D. Van Nostrand. Traducción de F. Torio.

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La geometría proyectiva ya no se enseña en los institutos y parece ser ampliamente ignora­da en las universidades. Creo que la idea de plano proyectivo es importante, pero estoy seguro de que hemos caminado en la dirección justa, abandonando todos los complicados teo­remas sobre cónicas que eran habituales en el siglo XIX. Creo también que la representación del plano p/oyectivo real como superficie bidi- mensional no orientadle es mucho más impor­tante para un matemático moderno que el examen de las propiedades de la cónica de 11 puntos (o la circunferencia de los 9 puntos).

Otro avance clave de la geometría ocurrió en 1872 con el famoso programa de Erlangen, de Klein. Este programa mostró con entera claridad que hay distintas geometrías posibles y que e! criterio que distingue a una geome­tría de otra, es el grupo de transformaciones que deja invariantes las proporciones. El pro­grama muestra la conexión esencial entre la teoría de grupos y la geometría. La íntima relación entre la teoría de grupos y la geome­tría es, sin duda, demasiado atractiva para ser dejada fuera de los programas. Es interesante recordar también que el estudio de las trans­formaciones geométricas tiene más de cien años de antigüedad y, en particular, es muy importante para el programa de Klein. En rea­lidad, podría decirse que las transformaciones geométricas comienzan con Euclides mismo. La geometría euclidiana continúa siendo tal, tanto si se describe sintéticamente como si se lo hace en función de los movimientos eucli- dianos.

Durante la segunda mitad del siglo XIX hubo un tremendo desarrollo de la geometría algebraica, tanto de la teoría de las curvas como de la teoría de las superficies algebrai­cas. Estos temas son demasiado complejos pa­ra su inclusión en los programas de bachillera­to y usualmente sólo figuran como temas op­tativos en algunas universidades.

Puesto que soy un geómetra diferencial profesional, es natural que considere más deta­lladamente el desarrollo de esta 'rama de la geometría. No obstante, encontraremos que la información deducida de ello refleja perfecta­mente el desarrollo de la mayor parte de las demás ramas y su estudio da buena idea de adonde irá la geometría, en conjunto, en el futuro.

La geometría diferencial clásica se ocupa esencialmente de las propiedades de las curvas y de las superficies en el espacio euclidiano de tres dimensiones las cuales son estudiadas por

medio del cálculo diferencial. En sus comien­zos constituyó la aplicación natural de los descubrimientos de Newton y Leibniz a las propiedades de tangentes, normales y curvatu­ra de las curvas. El problema de represéntar la superficie curva de la tierra sobre un mapa plano, despertó interés por el estudio de las propiedades de una superficie en el entorno de un punto.

La primera contribución realmente signifi­cativa fue de Euler, quien en 1760, investigó las propiedades de las líneas de curvatura so­bre superficies. Esto fue seguido por el trabajo de Monge (1746-1818), quien mostró una es­trecha relación entre este asunto y la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. La geo­metría diferencial de las superficies, atrajo a muchos matemáticos durante el siglo XIX, in­cluyendo a Gauss, Dupin, Lamé y otros, cul­minando en la obra de consulta en cuatro volúmenes de Darboux.

Gauss consideró la superficie como lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas cartesianas rectangulares x, y, z son funciones de dos parámetros u, v:

x — f (u, v); y-g fu, y); z = h fu, v)

El cuadrado de la distancia entre dos pun­tos próximos fu, v) y (u 4- du, v 4- dv) conside­rados como puntos del espacio euclídeo, está dado por

geometría euclidiana no es una preparación adecuada para la matemática moderna; pero, naturalmente, es esencial conocer algo de ella.

Me parece que el método actual de enseñar la geometría euclidiana en las escuelas —Bachi­llerato— debería cambiarse notablemente. Aunque sea necesario para apreciar el desarro­llo riguroso del asunto, un tratamiento de la forma teorema-demostración, teorema- demostración, ... iluminado solamente por ejercicios en cuya solución se aplican los teo­remas estandardizados, puede muy bien provo­car pérdida de interés en el estudiante medio. Un matemático profesional examina una situa­ción geométrica, usa su imaginación guiada por la experiencia para conjeturar los resulta­dos que parecen ser correctos y después de­mostrarlos 9 probar que no lo son. No se le dice: "prueba ésto" o "prueba que no es ver­dad aquéllo"; en realidad, una de las cosas más difíciles en la investigación matemática es proponer cuestiones razonables. ¿Puedo yo de­fender la ¡dea de que en la enseñanza de la geometría, los alumnos deberían ser estimula­dos para proponer sus propias cuestiones? Sé que la enseñanza por el descubrimiento es habitual en las escuelas primarias. Más impor­tante aún es este método en el bachillerato y en la universidad.

Después de Euclides, el próximo avance sig­nificativo en geometría fue debido al influjo de Descartes (1596-1650). Su contribución esencial consistió en representar un punto por coordenadas ligadas a dos rectas fijas, los ejes. De este modo, la geometría se unió al análisis y las técnicas analíticas son tan poderosas que un estudiante de habilidad media, puede pro­bar teoremas que hubieran confundido a los más grandes geómetras griegos. Creo que el impacto de la geometría cartesiana debería ser destacado en las escuelas e institutos mucho más de lo que ocurre hoy.

La geometría afín fue introducida por Euler. Creo que es aconsejable introducir la ¡dea de estructura afín tan pronto como sea posible en todo curso escolar. Entonces, la geometría euclidiana puede ser vista como es­tructura de un espacio afín, juntamente con un producto escalar. Ciertamente: introduciría los métodos vectoriales lo más pronto posible; por ejemplo, probaría que las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, mos­trando que este punto existe y está dado por 1/3 (abe). También mencionaría el teorema de Ceva y el teorema de Menelao como teore­mas típicos de la geometría afín.

cualquier posible objeto de la intuición. Sin embargo, incluso el pensamiento geométrico más abstracto, debe conservar alguna ligadura, por atenuada que sea, con el espacio intuitivo, pues de otro modo sería erróneo llamarle pen­samiento geométrico; es un hecho histórico que a través del largo desarrollo de la matemá­tica han surgido geómetras, una y otra vez, que han dado un fresco impulso a la matemá­tica. Otro libro que me ha sido particularmente útil para preparar esta conferencia es la "intro­ducción a la geometría", de Coxeter, Wiley (1961).

De hecho, he tomado algunos párrafos, con poco cambio, de este volumen.

Como es bien conocido, Euclides de Alejan­dría escribió un tratado de 13 libros, llamado Elementos. En este trabajo, reunió muchos resultados de los matemáticos anteriores y añadió otros suyos. Pero su contribución esen­cial fue ensayar un desarrollo lógico del asun­to. Como es natural, tal desarrollo comprende definiciones de conceptos y relaciones en fun­ción de otros conceptos y relaciones. La única forma de evitar un círculo vicioso es dejar sin definir ciertos conceptos y relaciones primiti­vos. Análogamente, la demostración de una proposición, implica el uso de otras proposi­ciones; así nos vemos conducidos también a introducir proposiciones primitivas llamadas postulados o axiomas, que deben permanecer sin demostrar. Euclides adoptó una actitud más bien ingenua hacia ellas y se contentó con ciertas definiciones en función de ¡deas fami­liares a todo el mundo. La mayoría de los estudiantes que llegan a nuestras universidades parece que tienen cierto conocimiento de los teoremas de la geometría euclideana pero no parece que hayan asimilado el propósito fun­damental de Euclides, esto es, dar un desarro­llo sistemático y lógico de la totalidad del asunto, a partir de las proposiciones y defini­ciones primitivas. También son incapaces de comprender la naturaleza de los postulados; si son verdades irrefutables, auto-evidentes, o si son un conjunto conveniente de axiomas fun­dados en la experiencia del mundo físico. Qui­zás la omisión más importante es la comproba­ción de que los axiomas de la geometría eucli­diana son categóricos; esto es, dos sistemas cualesquiera, que satisfagan a estos axiomas, han de ser isomorfos. Lo que distingue a la matemática moderna es que se ocupa de siste­mas axiomáticos no categóricos, es decir, capa­ces de originar sistemas no isomorfos. En este sentido, podría argüirse que el estudio de la

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efe2 = dx2 + dy2 + dz2 que, en función de u, v, se convierte en:

ds2 = E du2 + 2 F du dv + G dv2i.

it donde E, F y G son funciones de u y v. Gauss insistió en la importancia de estudiar esta for­ma cuadrática diferencial, como continente de todas las propiedades intrínsecas de la super­ficie.

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Un paso decisivo hacia adelante fue dado en 1854 por Riemann en su disertación inau­gural (Uber die hypotessen die der Geometry zugrunde liegen).

Riemann consideró una forma cuadrática diferencial, pero usó n coordenadas x¡ (i = 1,2,3..., n) en lugar de dos u, v consi­deradas por Gauss. Pero —de más importancia todavía- Riemann consideró a esta forma cua­drática como dada a priori y no como induci­da por ningún espacio euclidiano. Esto condu­jo al estudio de la geometría riemanniana, que es hoy, una de las más importantes ramas de la geometría diferencial.

El trabajo de Riemann condujo a Ricci a estudiar las formas cuadráticas diferenciales in-

:i;

3938

i

los axiomas no formen un sistema categórico.La cuarta lección, hábilmente ¡lustrada por

toda la obra de Elie Cartan, es lo mucho que se puede adelantar con el estudio detallado de casos particulares de situaciones matemáticas. Pero la savia que garantiza un desarrollo conti­nuado y, vigoroso del asunto, es el intento de resolver los problemas que se presentan espon­táneamente. El día que no se resuelvan proble­mas, la matemática estará amenazada de muer-

para permitir el uso del cálculo diferen- toy defendiendo. Ya he dicho que la función de los institutos de profesorado debería ser preparar para la función educativa. En la ac­tualidad, parece haber una tendencia a mode­lar sus programas en matemática, siguiendo las líneas de los programas universitarios, tanto para los cursos del "Bachillerato en Educa­ción", como para los principales cursos del "Certificado de Educación". Creo que es un serio error. Se debería concentrar la atención en que fueran principalmente institutos de profesorado y no ensayar convertirlos en uni­versidades de segunda clase.

¿Qué decir de los politécnicos? Aquí ve­mos de nuevo una tendencia a imitar los pro­gramas de los cursos universitarios de matemá­tica en su orientación académica, en lugar de adaptar éstos a las distintas necesidades del estudiante politécnico. Es imperativo que los politécnicos se estabilicen como instituciones de propósito distinto al de las universidades. ¿Cuáles son las cosas requeridas por el estu­diante politécnico? Creo que son esencial­mente de dos clases; en primer lugar, una enseñanza que desarrolle una saludable actitud crítica de la inteligencia, la cual investigará procesos y actitudes desarrollados por razones tradicionales o accidentales. En segundo lugar, nosotros daríamos un amplio conocimiento de las habilidades y técnicas matemáticas exis­tentes, que son instrumentos importantes para el técnico de hoy. Es importante comprobar que los instrumentos y las técnicas estandar­dizadas pueden, muy bien, cambiar considera­blemente en el futuro y por ello considero el desarrollo de una inteligencia crítica, con fle­xibilidad para adaptarse a las circunstancias cambiantes como la actitud más importante del técnico futuro.

Creo que una exposición realista de la to­pología elemental constituiría un medio apro­piado para entrenarle en el pensar lógico y crítico. Y también creo que una exposición topológica de la teoría de las ecuaciones dife­renciales no lineales, es una herramienta muy poderosa para los técnicos del futuro.

Está de moda decir que estamos en la era del computador. Casi irónicamente hoy es, de hecho, la edad de la matemática cualitativa, como distinta de la cuantitativa. Creo que el estudio cualitativo de la matemática en forma de teoría geométrica de las ecuaciones diferen­ciales (incluyendo la teoría del control) tiene mucho que ofrecer a los politécnicos, desde el punto de vista de la educación general y tam­bién como poderosa herramienta. Análogamen-

variantes y últimamente a crear el cálculo ten- sorial. En 1917, la teoría de Levi-Civita del desplazamiento paralelo, dio una interpreta­ción geométrica a operaciones que habían sido descritas previamente por cálculos analíticos formales, comunicando así el tema un ímpetu fresco. No obstante, el principal estímulo para esta cuestión, vino de la teoría de la relativi­dad de Einstein, en que la geometría natural del universo, se supone ser riemanniana y no euclidiana.

Durante el período 1920-1930, la geome­tría diferencial se hizo severamente formal y analítica y el significado geométrico de varios invariantes introducidos por los cálculos for­males, permaneció muy oscuro. En cierta ex­tensión, el tema fue liberado de este estado puramente formal por Elie Cartan (1869-1951), quien, seguramente, fue el geó­metra diferencial más notable de la primera mitad del siglo XX. La influencia de Cartan en. la matemática no fue tan grande como debiera haber sido, en parte, sin duda, debido al oscu­ro estilo de sus escritos. Una razón adicional es que, en cierto sentido, vivió antes de su tiempo. Se ha visto, en efecto, que algunos de los primeros escritos de Cartan, resultan mu­cho más comprensibles cuando se expresan en la teoría de los espacios fibrados, cuyo primer texto apareció en 1951, año del fallecimiento de Cartan.

Una de las mayores contribuciones de Car­

comocial como instrumento para describir sus pro­piedades. Usualmente, la variedad diferenciable comporta alguna estructura geométrica adi­cional en forma de métrica riemanniana, cam­po vectorial o tensorial, etc. Hasta cierto punto, podría decirse que la geometría dife­rencial global es el estudio.de las relaciones entre los invariantes geométrico-diferenciales y los invariantes topológicos de la variedad so­porte. Actualmente constituye una de las más activas ramas,de la investigación geométrica.

rte.i

Finalmente, ¿qué veo en el futuro desarro­llo de la geometría? A nivel universitario, la geometría, como estudio de relaciones espacia­les, se concibe hoy como topología geométrica más bien que como geometría euclidiana. He­mos establecido que lo verdaderamente impor­tante es el estilo geométrico de pensar sobre las matemáticas en su conjunto. En lugar de hablar de propiedades de funciones de "varia­bles", hablamos de aplicaciones de un espacio sobre otro, un punto de vista de gran utilidad. El análisis clásico, con su epsilonología, no carece de importancia, pero muchos de sus teoremrs importantes, parecen más significa­tivos cuando se consideran desde el punto de vista topológico. Predigo que la geometría co­mo cuerpo de doctrina autocontenido, se hará menos importante, mientras crecerá en impor­tancia ía actitud geométrica hacia la matemáti-

fLa fusión de las ideas topológicas y diferen­

cial-geométricas ha dado origen a una nueva de la matemática: la topología diferen-rama

cial. De nuevo, el propósito es considerar rela­ciones entre estructuras geométrico-diferencia­les y estructuras topológicas, pero aquí se

el mínimo de estructura diferencial.I suponeUn poderoso instrumento en ese asunto, con muchas aplicaciones a la geometría diferencial global, es la teoría de Morse. Brevemente: esta teoría muestra que se puede obtener un cono­cimiento considerable de las propiedades topo- lógicas de una variedad diferencial, estudiando el número y la naturaleza de los puntos críti­cos (máximos y mínimos generalizados) de una función real definida en ese espacio.

¿Qué lecciones se pueden deducir de nuestro breve estudio sobre el desarrollo de la

:

i

;

geometría diferencial? Creo que la primera lección es que la matemática no consiste ya en compartimentos separados y que la geometría, como tal, ya no existe. Lo importante es un modo de ver geométrico en cualquier situación matemática: la geometría es, esencialmente una vía, un camino, un método de actuación. Tenemos topología geométrica, geometría di­námica, geometrías diferencial y algebraica, pero no justamente "geometría". La geome­tría de una variedad, es descrita por el álgebra de Lie, del grupo de transformaciones que conservan su estructura y también por el análi­sis global sobre la variedad. Las estructuras geométricas algebraica y analítica, están rela­cionadas entre sí.

La segunda lección que se debe aprender, es el poder del empleo de las variables para describir una situación geométrica; se obtiene un progreso real cuando uno se concentra so­bre las propiedades geométricas invariantes. El estudio analítico es puramente formal y puede degenerar fácilmente en multitud de símbolos de oscuro significado. La tercera lección es la ventaja de familiarizarse con los métodos axio­máticos, especialmente con estructuras en que

ca.¿Qué veo para el futuro de la geometría en

las universidades?El mejor modo de contestar a esta cues­

tión, es considerar la función de tales institu­ciones. ¿Para qué existen los institutos de pro­fesorado? Su labor es preparar estudiantes para enseñar en los institutos de bachillerato. Evidentemente, como la geometría es esencial, podríamos establecer como guía el libro de Coxeter, pero creo que el principal énfasis en este tipo de enseñanza, debería dirigirse a esti­mular en el alumno un modo de pensar geo­métrico. Ejemplos de valioso estudio son la investigación de la naturaleza de los conceptos geométricos y de los métodos para ayudar a los niños a desarrollar la intuición geométrica, de modo que puedan satisfacer a su imagina­ción. Creo, muy firmemente, que tales cuestio­nes deben ser enseñadas por matemáticos entrenados y no por educadores profesionales. Estos últimos tienen que jugar una parte vital en la marcha de los institutos de profesorado pero sólo un matemático experimentado posee la preparación necesaria para servir de guía en el tipo de entrenamiento matemático que es-

tan consistió en mostrar la muy estrecha rela­ción entre la geometría diferencial, las ecua­ciones diferenciales y los grupos continuos de transformacionés. Desarrollando esta fusión de teorías, descubrió y desarrolló un cálculo de formas, ahora llamado cálculo de Cartan o cálculo exterior, que sería conocido mucho más ampliamente.

Hacia finales de 1930, se produjo un nuevo desarrollo en la geometría diferencial, debido a la influencia de H. Hopf y estas ideas han cristalizado ahora bajo el rótulo de "Geome­tría Diferencial Global". Anteriormente, la geometría diferencial consistía en el estudio de curvas, superficies y espacios de n dimen­siones en el entorno de un punto P. Las pro­piedades del espacio en puntos exteriores entorno, se consideraban sin importancia. La geometría diferencial global se ocupa no sola­mente de las propiedades locales de un espacio sino también de las propiedades del espacio en su totalidad. El material utilizado asunto es la variedad diferenciable: un espacio topológico provisto de suficiente

a ese

en este

estructura

4140 —r

i I

2. Hacerles ver que hay diversas geome­trías, siendo la geometría euclidiana solamente un ejemplo de ellas.

3. Destacar la influencia de Descartes en la geometría.

4. Usar el lenguaje de los conjuntos para describir las configuraciones geométricas, si­guiendo las ¡deas de Papy.

5. Estimular al estudiante a deducir de los resultados, conjeturas propias, que puedan

ser verdaderas.6. Sobre todo, ensayaríamos impartir a

nuestros estudiantes, la excitación intelectual asociada con el descubrimiento geométrico y el goce compartido de comprender los descu­brimientos de otros. Cuando la geometría y, en realidad, toda la matemática, ha perdido su fascinación para los estudiantes, parece poco adecuado estimularle a proseguir sus estudios sobre tal asunto. Si no experimentan excita­ción o placer alguno con la lectura de la "Intruducción a la Geometría" de Coxeter, sospecho que ni ustedes ni yo podremos hacer mucho para ayudarles.

te, los desarrollos matemáticos recientes en análisis geométrico, serán posteriormente, es­toy seguro, un poderoso instrumento para los técnicos del futuro. Pero la tradición troqu'-' fuertemente a las instituciones británicas de enseñanza superior. Además, la calidad del personal que enseña en algunas instituciones es tal que los profesores responsables desconocen tales desarrollos. Por fortuna, esta situación puede cambiar muy bien en el futuro puesto que actualmente, a cada plaza vacante de pro­fesor de matemáticas en nuestras universida­des, acuden unos 50 solicitantes, altamente calificados y los no aceptados, pueden muy bien enseñar en los institutos de profesorado y en los politécnicos. Ello traería, en verdad, un feliz desarrollo de la educación en este país, en su conjunto.

¿Cómo afectarían nuestros hallazgos a la enseñanza de la geometría en el bachillerato? Ensayaríamos realizar lo siguiente:

1. Dar a los alumnos alguna ¡de# de la naturaleza de la geometría euclidiana y de la naturaleza de' los axiomas básicos.

Problemas sobre

conjuntos y relacionesi

f

César A. TREJO iArgentina)r

IContinuación)

entonces coincide con el complemento de A: A° = A'.

4. Revisión y operaciones con conjuntos.4.1 Sean Bi y B2 dos bibliotecas. Decir si los conjuntos B = {B,, B2} y

L = { x Ix es un libro de B, o de B2}, son disjuntos o no, y explicar.

4.2 Con referencia a 4.1, decir qué relación existe entre B, y L.

I!

4.8 (i) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {1,2,3} ?

(ii) ¿Cuántos suoconjuntos tiene B = ja,b,a] ?

Comisión de h

.

.miembros se trata4.9 De una

de elegir una Subcomisión con más de un miembro y no más de 4; ¿cuántas subcomisio­nes pueden formarse?

!i,

I4.3 Representar por un diagrama de Venn los conjuntos M2, M3, M6 y M8 de los múltiplos de 2, de 3, de 6 y de 8 respectivamente, y en él representar por puntos los números 5, 12 y 24.

4.10 Verificar que si A, B, C son dos a dos disjuntos:

(i) Ambos miembros deA U (B O C) = (A U B) O {A U C)

dan el conjunto A;(ii) Ambos miemb ros de

A n (B u C) = (A n B) u (A n c) dan el conjunto vacío.

(Viene de pág. 36)

Nos hemos dado cuenta que las probabilidades y las estadísticas eran importantes. El tema es tan importante que no debería ser cubierto ni en un solo semestre ni en un año. Una canti­dad de experiencia, al comenzar y, en seguida, cierta madurez, son necesarios antes de que un niño pueda organizar, de manera lógica y siste­mática, el resultado de esas experiencias.

El otro tema importante y muy nuevo es el de la informática, elemento esencial de nuestra civilización actual. Más del cincuenta por cien­to de los estudiantes tienen probablemente, de alguna manera, un ordenador ligado a su futu­ro. ¿En qué momento se debe darle una ense­ñanza relativa al ordenador? ¿En el momento en que la gente tiene necesidad de usarlo? ¿A los 20 o 25 años? También aquí es necesario comenzar temprano y no detenerse en el camino.

Quisiera hablar un poco de lo que significa­rá la enseñanza de la matemática en las clases elementales y secundarias. Sólo mencionaré una o dos tendencias u orientaciones que de­beríamos adoptar. Creo que deberíamos co­menzar, en forma concertada, a disminuir la importancia de ciertos temas -como los con-

juntos— a los cuales hemos acordado demasia­da importancia. Nociones fundamentales como esa son importantes, pero no debemos exage­rar. De la misma manera, deberíamos insistir menos sobre los cálculos numéricos. No prego­no el abandono de la enseñanza del cálculo, pero creo que la comprensión de las nociones de base ocupa el primer lugar.

Permítaseme concluir con el plan de lo que debería contener un manual de 7o grado:

1. Conjuntos finitos de números; 2. Conjun­tos y operaciones; 3. Funciones; 4. Números enteros relativos; 5. Probabilidades y estadís­tica; 6. Números enteros (de nuevo); 7. Redes planas; 8. Conjuntos y relaciones; 9. Transfor­maciones del plano; 10. Segmentos, ángulos e isometrías; 11. Elementos de la teoría de nú­meros; 12. Números racionales.

Algunos de estos títulos pueden provocar horror, pero la misma reacción de pánico se produjo cuando se introdujeron en el progra­ma hace algunos años las nociones de conjun­to y de función. Estos temas se convertirán en parte integrante de los programas que, en el futuro, se ampliarán y mejorarán.

'i 4.4 Sean A,, A2, .. • conjuntos finitos y lla­memos n\j, . j al número de elementos del conjunto Aj O Aj O .. . O Ar (por ejemplo, /?i y n12 son los números de elementos de A, y de A, HA,). Indicar los números de elemen­tos de los conjuntos A, U A2 y A, U A2 U A3.

4.5 Sea A= {{1, 2}, 3¡. Anotar por exten­sión el conjunto de partes P(A).

4.6 Sea N el conjunto de los números natura­les. Decir cuáles de las fórmulas siguientes son verdaderas:{{2, 3$ 6P(/V), {{2. 3} } CPM,

(MI4.7 Demostrar que las leyes de complementa- ción (respecto del referencial U):.

AHA' = f AUA' = U

caracterizan al complemento A' en este tido: Si un conjunto A° cumple

AOA° = 0, aua° = u.

¡j;

4.11 De las leyes de absorción:A O (A U B) = A, A U (A O B) = A, (3)

Obtener la segunda a partir de la primera.

4.12 Con referencia al conjunto A= {1,2,3} , indicar:

(i) ¿Qué conjuntos de dos elementos están incluidos en él?

(ii) ¿Qué pares ordenados pueden formarse con sus elementos?

;:1.

C N.

4.13 Probar que AXB-0<>(A = 0) ó (B = 0).

4.14 Probar que (A C A,) y (BC b,)=> AX BC A, X B

(1)I

sen- 1

Respuestas en el próximo número.(2)

4342

■

1

BIBLIOGRAFIA FREUDENTHAL, Hans, Mathematics as an Educational Task, 680 págs. D. REI DEL PU- BLISHING COMPANY, Dordrecht, Holanda 1973

10. El docente de matemática; 11. El concepto de número, accesos objetivos; 12. Desarrollo del concepto de número mediante métodos intuitivos hacia la algoritmización y la raciona­lización; 13. Desarrollo del concepto de núme­ro, desde el principio algebraico hasta la or­ganización global del álgebra; 14. Conjuntos y funciones; 15. El caso de la geometría; 16. Análisis; 17. Probabilidad y estadística; * 18. Lógica, Apéndice 1. Piaget y las investiga­ciones de la escuela de Piaget sobre el desarro­llo de las nociones matemáticas; Apéndice 2. Obras del autor sobre educación matemática.

Innecesario es decir nuestra opinión acerca del provecho que obtendrían los lectores que se dispongan a la no minúscula tarea de en­frentar la lectura de esta obra tan densa y tan rica. Modera nuestro entusiasmo el hecho de

Son muy conocidas las contribuciones de este prestigioso matemático en el campo de la enseñanza de la matemática mediante sus li­bros y su participación en multitud de congre­sos especializados, incluso la Tercera Confe­rencia Interamericana sobre Enseñanza de la Matemática realizado el año pasado en Bahía Blanca. Quizás haya sido uno de los primeros en esclarecer el problema abogando no por

enseñanza de la matemática moderna sino enseñanza moderna de la matemática,

rnación de contenidos y amplitud de los mis-

.mos admite distintos puntos de vista, todos defendibles y todos criticables, pues cualquier dogma al respecto es síntoma de visión corta y polarizada.

A pesar de las dificultades señaladas, los textos que reseñamos del profesor Colamarco, adaptados a los programas oficiales de la Re­pública de Panamá, significan un buen paso adelante en la introducción de la matemática moderna en el nivel secundario. Como dice el autor en la presentación, uno de sus propósi­tos, ha sido mostrar que "es perfectamente posible hacer matemática moderna sin salirse de los moldes estipulados por los programas de matemática de nuestro país", frase impor­tante y oportuna, pues muchas veces no es necesario esperar un cambio radical de conte­nidos para poner en marcha las ¡deas esencia­les de la reforma. El contenido del volumen de aritmética es el siguiente: Conjuntos y rela­ciones, Números y sistemas de números, Ope­raciones internas entre números, Múltiplos y divisores, Divisibilidad, Los números racionales aritméticos. El sistema métrico decimal y el sistema inglés. No sé tratan los números nega­tivos. El lenguaje conjuntista del primer capi­tulo es usado en todos los restantes. Los títu­los de los capítulos de geometría son: Concep­tos básicos, Fundamentos conjuntísticos de la Geometría, Subconjuntos en la recta y en el plano. Relaciones, Relaciones de equivalencia en geometría. Medición de longitudes, Rectas perpendiculares, Angulos y regiones angulares.

Los dos libros tienen abundantes y bien •seleccionados ejercicios, así como numerosas figuras y diagramas con los textos usuales poco más de una década, nos damos cuenta del progreso realizado en cuanto a la didáctica de la matemática, tanto por la presentación como por el contenido.

COLAMARCO SCHETTINI, Agustín, Aritmé­tica Moderna 1; Lecciones de Geometría Mo­derna (Primer Año), Panamá, 1972.

unapor unasolución con la cual concordamos plenamente.

"La nueva matemática ha sido un slogan durante una década. La nueva matemática, in­terpretada al pie de la letra, mata a la educa­ción, interpretada de acuerdo con su espíritu puede darle vida". Por eso, el autor coloca a la matemática en su contexto histórico, evolu-

Los dos textos constituyen el primer año del Ciclo Básico de la enseñanza secundaria en la República de Panamá.

Los textos más difíciles de escribir son, posiblemente, los del primer año del ciclo se­cundario. En efecto, a través de ellos el alum­no debe hacer el tránsito de la matemática

estar escrita en inglés y también su elevado precio de venta. Acaso fuera conveniente ini­ciar gestiones para lograr que alguna editorial nuestra quiera asumir el compromiso de vertir­la a nuestro idioma y de ofrecerla a los lecto­res de habla hispana a precio accesible. Porque nuestra ¡dea es de que se trata de una exposi­ción filosófica global de la educación matemá­tica que analiza gran parte de su enseñanza de manera de integrar los aspectos científicos y didácticos, considerando asimismo las inferen­cias sociales y manejando con toda conciencia temas tales como análisis, lógica, estadística y probabilidad. Para realizar su obra el autor ha examinado libros, proyectos didácticos, lec­ciones reales y ha observado el comportamien­to individual y colectivo de los alumnos. Asi­mismo, ha recurrido a las opiniones de los más destacados exponentes de estos temas. Señala­mos estas cosas porque nos parecen muy perti­nentes. Si una personalidad como la suya no vacila en acudir al auxilio de sus pares se debe sin duda a que el trabajo individual podrá ser muy importante y no obstante dejar dp lado ¡deas esclarecedoras que, emitidas por cual­quiera, deben, sin embargo, ser parte del patri­monio común.

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tivo y social y establece claramente que, en educación, es más bien una actividad que una cantidad de conocimientos definitivamente es-

elemental -intuitiva y operacional- a la mate­mática secundaria -deductiva y conceptual-. El tránsito no puede ser brusco y el texto, debe servir más que todo para reafirmar los conocimientos ya adquiridos y darles unidad y nomenclatura adecuadas. Se trata, en esencia, de exponer "desde un punto de vista supe­rior" gran parte de los conocimientos que el alumno ya conoce en forma elemental. De aquí que muchas veces se considera que el alumno pierde el tiempo y no aprende nada si es que no se pone énfasis en el nuevo enfo­que, y otras veces, lo que es peor, para justifi­car la repetición de conceptos y operaciones conocidas, se pretende convencer al alumno de que todo lo que se da es nuevo y que "toda similitud con lo que vio en la escuela primaria, es pura casualidad". Hay que buscar el justo medio. De ninguna manera el alumno debe olvidar lo que aprendió, ni el profesor debe dar la sensación de que todo lo anterior fue mal enseñado. Hay que repetir muchas cosas, pero cada vez de manera más precisa y al mismo tiempo de manera más orgánica. Hay que mostrar que algunas intuiciones pueden conducir a error, que muchas cosas

tablecidos.La ¡lustre personalidad del autor y la indu­

dable densidad del texto nos eximen de un largo comentario de esta obra porque entende­mos claramente que su contenido debe ser objeto de una larga meditación seguros de que ello ha de resultar de indudable provecho para el quehacer docente. Digamos, no obstante que, tal cual lo señala el autor no se trata de una simple metodología de la matemática.

Vale la pena consignar el índice de los capítulos siquiera sea para tener una leve ¡dea de los múltiples temas que se han considera­do:

1. La tradición matemática; 2. La matemáti­ca de hoy; 3. Tradición y educación; 4. Venta­jas y propósitos de la instrucción matemática; 5. El método socrático; 6. La reinvención; 7. Organización de un campo por matemati- zación; 8. El rigor matemático; 9. Instrucción; Cristina Verdaguer de Banfi

Se puede concebir que el reconocimiento y ei manejo de ciertas estructuras matemáticas es una disciplina mental. Pero esto presupone que sea enseñada como disciplina mental; vale decir, el reconocimiento y el manejo de tales estructuras sera ejercido y vuelto consciente en la misma educación matemática y que esto se haga en forma conexa de modo que estas habilidades se ejerciten también con ejemplos

¡a hace eficaz como disciplina mental es el método el tema; el método debe ser subrayado tan explícitamente

H.FREUDENTHAL

en colores. Comparando en todas partes hace

que seaceptaron no son tan claras y que las reglas aprendidas no son puro capricho, sino están obligadas para evitar contradicciones.

Por otra parte, el contenido de este primer año depende del plan de estudios adoptado para toda la enseñanza secundaria, cuya orde-

que

no matemáticos: Lo que matemático más bien que como sea posible.L. A. Santaló

44 45

i

NOTICIAS LEDESMASOCIEDAD ANONIMA AGRICOLA INDUSTRIAL

cios, Mabel C. de Ayerra y Eduardo Giordano. Este cursillo -así lo han acordado la señorita directora con el director de CONCEPTOS de MATEMATICA, por expreso pedido de los participantes del mismo- es el preludio de un curso completo de la especialidad que se desa­rrollará el año próximo.

4. Queremos consignar que los cursos cita­dos, como cualquier otro que organice nuestra publicación, han sido gratuitos. Claro está que cuando las circunstancias lo requieran será necesario abonar los gastos de traslado y esta­día de las personas encargadas de dictarlos.

No dudamos que esta labor que desarrolla nuestra revista redundará en provecho de los docentes que participen de ella.

5. La Editorial Angel Estrada y Cía. anun­cia a partir del 16 de octubre del corriente año la realización de Jornadas sobre ''Enfoque actualizado sobre la Enseñanza de la Matemá­tica en la Escuela Primaria" que constará de siete reuniones a realizarse en Bolívar 462, Buenos Aires. El curso será abierto por el profesor Luis Jorge Zanotti y constará de las siguientes disertaciones:

16-X-1973. Aldonza F. de Ferrari: "Nivel preescolar. Etapa prenumérica. La formación del concepto de número".

18-X-1973. Elena T. de Lagomarsino: Eta­pa numérica. Introducción a la matemática de conjuntos. Su enseñanza en primer grado.

23-X-1973. Alfredo B. Besio: Concepto de número natural. Exposición y aclaraciones. Uso del material en la enseñanza de la nume­ración.

25-X-1973. Nelly V. de Tapia: Importancia los conceptos de. relación y función. Rela­

ciones de equivalencia. Número natural y número fraccionario.

6-XI-1973. Nelly V. de Tapia: La geome­tría-de transformaciones. Las figuras geomé­tricas y sus propiedades.

8-XM973. Nelly V. de Tapia: Noción de medidas. Perímetros, áreas y volúmenes.

30-XM973. Nelly V. de Tapia: Relaciones funcionales: inversamente

1. Siempre ha sido nuestra preocupación aportar nuestro pequeño grano de arena a la solución de los problemas de la enseñanza de la matemática. Este año hemos podido colabo­rar en cuestiones que se refieren a los pri­meros años escolares y especialmente a nivel de Jardín de Infantes. Lo hemos hecho con modestia porque sabemos muy bien que la cuestión no era nada fácil ante las dificultades propias del tema, la falta de libros en que se lo tratara correctamente y, sobre todo, la falta de orientación y de información a los do­centes de parte de las autoridades educativas.

Ya hemos dado cuenta del curso de "Ac­tividad matemática preescolar" desarrollado en el Jardín de Infantes N° 1 de la ciudad de Berisso, provincia de Buenos Aires que estuvo a cargo de un equipo dirigido por el profesor Alfredo R. Palacios e integrado por las profe­soras Mabel C. de Ayerra y Cristina Filgueira, de carácter teórico-práctico y cuyo temario se basa en el proyecto Dienes.

2. Asimismo, CONCEPTOS de MATE­MATICA ha adherido entusiastamente al curso que sobre "Las seis etapas en el proceso de aprendizaje de la matemática" se esta reali­zando en un seminario del Departamento de Matemática de la Universidad de La Plata, provincia de Buenos Aires, bajo la experta conducción del doctor Eduardo del Busto y un selecto grupo de colaboradores. Innecesario es decir que el altísimo valor científico del doctor del Busto asegura a los asistentes la obtención de provechosos recursos difíciles de obtener de otro modo en nuestras latitudes.

que ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollo de nuestra economía, produce y transforma materia prima nacional con recursos y mano de obra del país y concreta en los hechos una tarea de gran trascendencia económico-social.

o AZUCAR o PAPEL

o ALCOHOL • FRUTA

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MATERIAL BASICO PARA EL

APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA ACTUAL¡i ' JUGANDO CON MATEMATICA, por Nelly V. de

Tapia y A.T. de Bibiloni.Sexto grado:APRENDEX. MATEMATICA, por Nelly V. de Tapia y A.T. de Bibiloni.APRENDEX VI. GUIA METODOLOGICA PARA MATEMATICA, por Tapia y Bibiloni.Séptimo grado:APRENDEX. MATEMATICA, por Nelly V. de Tapia y A.T. de Bibiloni.APRENDEX Vil. GUIA METODOLOGICA PA­RA MATEMATICA, por Tapia y Bibiloni.

Jardín de Infantes:PRIMERITO, por A.F. de Ferrari y E.T. de Lago­marsino.CUENTOS PARA JUGAR, por Carlos J. Durén. Primer grado:GREGORIO SUMA, por A.F. de Ferrari y E.T. de Lagomarsino.Segundo grado:CUENTOS CON CUENTAS, por N.D. de Schefini V A.H. Schefini.Tercer grado:

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.3. Por último, con el decidido apoyo de la

Rectora del '*Jardín de Infancia Mitre" y el "Profesorado de Jardines de Infantes Sara C. de Eccleston" del Ministerio de Cultura y Educación de nuestro país, señorita M. Mar­garita Ravioli, se ha dictado en dependencias de dichas instituciones, avenidas Dorrego v Figueroa Alcorta, Buenos Aires,

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i, ;EDITORIALESTRADAun corto

cursillo de introducción a la enseñanza de la matemática mooerna para maestras jardine­ras, tarea que estuvo a cargo de un equipo integrado por los profesores Alfredo R..Pala-

iBolívar 462 Buenos Aires

operaciones. Magnitudes directa e proporcionales.

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No deje de leer elAMADO A LOS DOCENTES

DE MATEMATICA

que se hace en la página

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