Cổng Logic

Bài Giảng Kỹ Thuật Số Chương 2

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 24

CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC CỔNG LOGIC 2.1. KHÁI NIỆM VỀ LOGIC HAI TRẠNG THÁI

Pheùp toaùn cô baûn trong thieát keá logic caùc heä thoáng soá laø ñaïi soá Boolean. Ñaïi soá Boolean coù nhieàu öùng duïng khaùc nhau bao goàm lyù thuyeát taäp hôïp vaø logic toaùn, vì taát caû caùc phaàn töû chuyeån maïch veà cô baûn ñeàu laø caùc phaàn töû hai traïng thaùi (nhö diode, transistor), cho neân seõ taäp trung khaûo saùt tröôøng hôïp ñaïi soá Boolean vôùi söï thay ñoåi giaû söû chæ ôû 1 trong 2 giaù trò. Ñaïi soá Boolean söû duïng 2 giaù trò naøy xem nhö ñaïi soá veà chuyeån maïch.

Phaàn naøy söû duïng caùc bieán Boolean nhö X hoaëc Y… ñeå bieåu dieãn ngoõ vaøo hoaëc ngoõ ra cuûa maïch chuyeån maïch, moãi bieán coù theå laáy 1 trong hai giaù trò. Kyù hieäu “0” vaø “1” ñöôïc duøng ñeå ñaïi dieän cho hai giaù trò khaùc nhau naøy. Vì vaäy, neáu X laø bieán chuyeån maïch hay bieán Boolean thì hoaëc X=0, hoaëc X=1

Maëc duø kyù hieäu “0” vaø “1” gioáng nhö soá nhò phaân, nhöng khoâng phaûi nhö vaäy. Ñaây chæ laø 2 kyù töï ñaïi dieän cho 2 giaù trò cuûa bieán chuyeån maïch vaø ñöôïc xem laø möùc logic, moät soá vò duï veà caùc hieän töôïng maø möùc logic ñaïi dieän nhö sau

LOGIC 0 LOGIC 1 Sai Taét

Möùc ñieän aùp thaáp Khoâng

Môû maïch

Ñuùng Môû

Möùc ñieän aùp cao Coù

Ñoùng maïch

Vì chæ coù hai giaù trò, neân ñaïi soá Boolean töông ñoái deã daøng hôn so vôùi ñaïi soá thoâng thöôøng. ÔÛ ñaïi soá Boolean, khoâng coù phaân soá, thaäp phaân, caên baäc hai, caên baäc ba, logarit, soá aûo, v.v. Ñaïi soá Boolean chæ coù 3 pheùp toaùn cô baûn: coäng (OR), nhaân (AND) vaø laáy buø (NOT).

2.2. BẢNG SỰ THẬT

Baûng söï thaät (Truth Table) moâ taû caùc ñaùp öùng ngoõ ra cuûa maïch logic öùng vôùi caùc toå hôïp khaùc nhau taïi ngoõ vaøo.

Ví dụ

Maïng chuyeån maïch

A

B X

Maïng chuyeån maïch

A

B X

Maïng

chuyeån maïch

A B

X

CC D


GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 25

Caùc baûng söï thaät tieâu bieåu öùng vôùi caùc maïng chuyeån maïch treân nhö sau:

ÔÛ moãi baûng söï thaät, caùc toå hôïp möùc logic 0 vaø 1 ñoái vôùi ngoõ vaøo (A, B, C, D) ñöôïc theå hieän beân traùi, möùc logic ôû ngoõ ra X ñöôïc theå hieän beân phaûi

Löu yù, neáu coù 2 ngoõ vaøo thì coù 4 khaû naêng xaûy ra, töông töï 8 khaû naêng cho 3 ngoõ vaøo vaø 16 khaû naêng cho 4 ngoõ vaøo. Seõ coù 2N khaû naêng xaûy ra ñoái vôùi N ngoõ vaøo. Taát caû caùc toå hôïp ngoõ vaøo ñöôïc theå hieän theo chuoãi ñeám nhò phaân.

2.3. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN 2.3.1. Phép toán OR và cổng OR

Goïi A vaø B laø 2 bieán logic ñoäc laäp. Khi A vaø B keát hôïp qua pheùp toaùn OR, keát quaû x ñöôïc moâ taû nhö sau:

X = A + B

Trong bieåu thöùc naøy, daáu “+” khoâng coù nghóa laø pheùp coäng thuaàn tuùy. Noù laø pheùp toaùn OR, keát quaû cuûa pheùp toaùn OR ñöôïc cho trong baûng söï thaät sau:

Keát luaän

• Pheùp toaùn OR seõ coù keát quaû baèng 1 neáu moät hay nhieàu bieán ngoõ vaøo baèng 1

• Coång OR chæ coù moät ngoõ ra vaø coù theå coù nhieàu hôn hai ngoõ vaøo

Ngoõ vaøo Ngoõ ra ↓ ↓ ↓ A B X 0 0 1 1

0 1 0 1

? ? ? ?

A B C X 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

? ? ? ? ? ? ? ?

A B C D X 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Coång OR

A

BY=A+B

A B X=A+B 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1


Trang 23

Kyù hieäu vaø baûng söï thaät cho coång OR 3 ngoõ vaøo

Ví dụ

Xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra coång OR khi ngoõ vaøo A, B thay ñoåi theo giaûn ñoà sau:

2.3.2. Phép toán AND và cổng AND

Neáu hai bieán logic A vaø B ñöôïc keát hôïp qua pheùp AND, keát quaû laø:

X= A.B

Baûng söï thaät cuûa pheùp nhaân 2 bieán A vaø B nhö sau:

Keát luaän

• Pheùp toaùn AND seõ coù keát quaû baèng 0 neáu moät hay nhieàu bieán ngoõ vaøo baèng 0

• Coång AND chæ coù moät ngoõ ra vaø coù theå coù nhieàu hôn hai ngoõ vaøo

Ví duï AND 3 ngoõ vaøo coù baûng söï thaät nhö sau

A B C

X=A+B+C

Coång AND

BA

X = AB

Coång AND

B A

X = ABC

C

A B C X = ABC 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1

A B C X = A + B + C 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1

A B X=A.B 0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

1

0

BA

Out

B

A


Trang 24

Ví dụ

Xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra cuûa coång AND öùng vôùi caùc ngoõ vaøo nhö sau `

Trong ví duï naøy thaáy raèng, ngoõ ra x seõ baèng vôùi ngoõ vaøo A khi B ôû möùc logic 1. Vì vaäy ta coù theå xem ngoõ vaøo B nhö ngoõ vaøo ñieàu khieån, noù cho pheùp daïng soùng ôû ngoõ vaøo A xuaát hieän ôû ngoõ ra hay khoâng. Trong tröôøng hôïp naøy coång AND ñöôïc duøng nhö moät maïch cho pheùp, vaø ñaây laø öùng duïng raát quan troïng cuûa coång AND vaø seõ ñöôïc khaûo saùt sau.

2.3.3. Phép toán NOT và cổng NOT

Neáu bieán A ñöôïc ñöa qua pheùp toaùn NOT, keát quaû x seõ laø:

X= A

Ta coù 01 = vaø 10 = , baûng söï thaät cho pheùp toaùn NOT nhö sau:

A X= A 0 1

1 0

Coång NOT chæ coù moät ngoõ vaøo vaø moät ngoõ ra

2.4. MÔ TẢ CÁC MẠCH LOGIC THEO PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ

Baát cöù moät maïch logic naøo cuõng coù theå ñöôïc moâ taû baèng caùch söû duïng caùc pheùp toaùn Boolean ñaõ ñeà caäp ôû treân (coång OR, AND vaø NOT laø nhöõng khoái cô baûn trong moät heä thoáng soá).

Ví dụ, xeùt maïch sau

Maïch coù 3 ngoõ vaøo A, B vaø C vaø moät ngoõ ra x. Söû duïng caùc bieåu thöùc Boolean cho moãi coång ta xaùc ñònh ñöôïc bieåu thöùc ngoõ ra x = AB + C.

Ví dụ

B

A

B

AX = AB

A.BB A

C X = A.B + C

A+BB A

C X = (A+B).C

Coång NOT

X=AA


Trang 25

Ví dụ xaùc ñònh haøm ngoõ ra cuûa maïch sau

2.5. THỰC HIỆN CÁC MẠCH LOGIC TỪ BIỂU THỨC BOOLEAN

Ví dụ thöïc hieän bieåu thöùc sau: y = AC+BC+ABC

Ví dụ veõ sô ñoà maïch thöïc hieän bieåu thöùc sau: x= AB+BC

Ví dụ veõ sô ñoà maïch thöïc hieän bieåu thöùc ( )x = ABC A+D söû duïng caùc coång coù soá

ngoõ vaøo nhoû hôn 3

2.6. CỔNG NOR VÀ CỔNG NAND

Coång NAND vaø coång NOR ñöôïc duøng raát roäng raõi trong caùc maïch soá. Thöïc söï caùc coång naøy ñeàu ñöôïc keát hôïp töø caùc pheùp toùan cô baûn AND, OR vaø NOT.

2.6.1. Cổng NOR

Coång NOR hoïat ñoäng gioáng nhö hai coång OR vaø NOT maéc noái tieáp nhö hình veõ vaø bieåu thöùc ngoõ ra laø x= A+B , baûng söï thaät nhö sau:

OR NOR

A B A+B A+B 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

Ngoõ ra coång NOR laø ñaûo vôùi ngoõ ra coång OR

AC

C

B

BC

ABC

y=AC+BC+ABC

A

B

C

CB

A

Kyù hieäu ñaûo

X= A+B

X= A+B B

A

A

B

B

A

B

D

C

A

(a)

(b)


Trang 26

Ví dụ, xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra cuûa coång NOR öùng vôùi ngoõ vaøo nhö sau

2.6.2. Cổng NAND

Coång NAND töông ñöông vôùi AND coäng vôùi NOT, ngoõ ra cuûa NAND seõ laø x= AB , baûng söï thaät cho nhö sau:

AND NAND

A B AB AB 0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

1 1 1 0

Ngoõ ra coång NAND laø ñaûo vôùi ngoõ ra coång AND

Ví dụ, xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra cuûa coång NAND öùng vôùi ngoõ vaøo nhö sau

Ví duï, thöïc hieän maïch logic coù bieåu thöùc nhö sau: )( DCABx += chæ duøng coång NOR vaø NAND

Ví dụ xaùc ñònh möùc logic ngoõ ra cuûa ví duï treân vôùi A=B=C=1 vaø D=0

2.7. PHÉP TOÁN XOR (Exclusive-OR) và phép toán tương đương 2.7.1. Phép toán XOR và cổng XOR

Pheùp toaùn XOR (kyù hieäu ⊕) coù baûng söï thaät nhö sau:

X Y X ⊕ Y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

Töø baûng söï thaät thaáy raèng X ⊕ Y =1 khi X≠ Y vaø X ⊕ Y =0 khi X= Y

Bieåu thöùc toaùn cuûa pheùp toaùn XOR: X ⊕ Y = XY+YX

Kyù hieäu ñaûo

X= A+B

X= A+B B

A

A

B

B

A

1

A

B

0

B

XAA

B

XY

X ⊕ Y

Cổng XOR


Trang 27

2.7.2. Phép toán tương đương và cổng XNOR

Pheùp toùan töông ñöông (kyù hieäu ≡) coù baûng söï thaät nhö sau:

X Y X ≡ Y 0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

Töø baûng söï thaät thaáy raèng X ≡ Y = 0 khi X≠ Y vaø X ≡ Y = 1 khi X= Y

Bieåu thöùc toaùn: X ≡ Y = YX⊕ = YXXY .+

2.8. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN

(1) X . 0 = 0

(2) X . 1 = X

(3) X . X = X

(4) X . X = 0

(5) X + 0 = X

(6) X + 1 =1

(7) X + X = X (8) X + X = 1

2.8.1. Phép giao hoán, kết hợp và phân phối

(9) X + Y = Y + X

(10) X . Y = Y . X

(11) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z

(12) X(YZ) = (XY)Z = XYZ

(13) X(Y + Z) = XY + XZ

(14) (W + X)(Y + Z) = WY + XY + WZ + XZ

(15) X + XY = X (vì X(1+Y) = X)

(16) X + X Y = X + Y (vì X + X Y = (X + Y)(X + X ))

(17) (X + Y)(X + Y ) = X

2.8.2. Định lý DeMorgan

(18) YXYX .=+

(19) YXYX +=).(

2.8.3. Định lý Consensus

(20) YZZXXY ++ = ZXXY +

(21) ))(())()(( ZXYXZYZXYX ++=+++

2.8.4. Các định lý cho phép tóan XOR

(22) X ⊕ 0 = X

X

YX Y⊕

Cổng XNOR


Trang 28

(23) X ⊕ 1 = X

(24) X ⊕ X = 0

(25) X ⊕ X = 1

(26) X ⊕ Y = Y ⊕ X (Giao hoaùn)

(27) (X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z) = X ⊕ Y ⊕ Z (Keát hôïp)

(28) X(Y ⊕ Z) = XY ⊕ XZ (Phaân phoái)

(29) YXXYYXYXYX .)( +=⊕=⊕=⊕

Ví dụ, ruùt goïn bieåu thöùc DBADBAy .+=

Giải. )( DDBAy += , söû duïng ñònh lyù (8): 1=+ DD

BABAy == 1.

Ví dụ, Ruùt goïn bieåu thöùc BCDAACDx +=

Ví dụ Ruùt goïn bieåu thöùc )DB).(CA(z ++=

Ví dụ Thöïc hieän maïch logic vôùi bieåu thöùc ngoõ ra CBAz ++= chæ duøng coång NAND vaø coång ñaûo

Ví dụ Ruùt goïn bieåu thöùc a.b+ac+bc+bc+ab

Ví dụ Ruùt goïn bieåu thöùc (a+b+c)(a+b+d)(b+c+d)

2.8.5. Các phép biến đổi trên cổng NAND và NOR

Taát caû caùc bieåu thöùc Boolean ñeàu coù theå ñöôïc thöïc hieän thoâng qua caùc coång OR, AND vaø NOT. Tuy nhieân, ñeå thöïc hieän caùc bieåu thöùc logic maø chæ duøng 1 loaïi coång NAND (hay coång NOR), ta seõ bieán ñoåi coång NAND (hay coång NOR) ñeå thöïc hieän caùc pheùp toaùn AND, OR, NOT nhö sau

Thực hiện các phép toán bằng cổng NAND

AA.Ax ==

BAB.Ax +==

A

A B

x=AB

A

B


Trang 29

Thực hiện các phép toán bằng cổng NOR

Ví dụ. Thieát keá maïch thöïc hieän bieåu thöùc x=AB+CD, sao cho duøng ít IC nhaát. Giaû söû coù caùc IC sau

2.8.6. Biểu diễn qua lại giữa các cổng

ÔÛ treân ñaõ khaûo saùt 5 loaïi coång logic (AND, OR, NOT, NAND, NOR) vaø caùc kyù hieäu chuaån ñeå bieåu dieãn chuùng treân moät maïch logic. Maëc duø vaäy moät soá maïch cuõng söû duïng theâm moät soá caùch bieåu dieãn khaùc nhö sau:

AAAx =+=

B.ABAx =+=

A

A

B

x=A+B

A

B

1 2 3 4 5 6 7

89 10 11 12 13 14

7400

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11121314

7408

GND

Vcc

1 2 3 4 5 6 7

891011121314

7432

GND

Vcc


Trang 30

Khái nhiệm về mức logic tích cực.

Ví dụ,

ÔÛ coång NAND (a) coù theå dieãn giaûi: Ngoõ ra tích cöïc ôû möùc thaáp chæ khi A vaø B ôû möùc cao

ÔÛ coång NAND (b): Ngoõ ra tích cöïc ôû möùc cao khi A hoaëc B ôû möùc thaáp

Ví duï, dieãn giaûi yù nghóa ngoõ ra Z theo caùc ngoõ vaøo ABCD sau

`

ABBA =+AND

OR AB

BAB.A +=

AB ABBA =+ NAND

NOR AB

BAB.A +=BA +

A A ANOT

B A AB

B A A+B

B A

B A

A

BA

BA

(a) (b)

AB ABBA =+ BA

BA

(a)

C D

B Z

A

A A A A

A tích cực mức 1

A tích cực mức 0

A tích cực cạnh lên

A tích cực cạnh xuống


Trang 31

Löu yù: khi hoaùn chuyeån caùc coång, moät nguyeân lyù chung laø: Keát noái ngoõ ra ñaûo cuûa coång naøy vaøo ngoõ vaøo ñaûo cuûa coång kia (hình b), vaø ngoû ra khoâng ñaûo cuûa coång naøy naøo ngoõ ra khoâng ñaûo cuûa coång kia (hình c)

2.9. LOGIC DƯƠNG VÀ LOGIC ÂM

ÖÙng vôùi ñieàu kieän hoïat ñoäng bình thöôøng, ñieän aùp cung caáp cho caùc ngoõ vaøo cuûa coång logic ñöôïc haïn cheá ñeå coù ñöôïc moät trong hai giaù trò 0 vaø 1. Khi möùc ñieän aùp ngoõ vaøo ñuùng cung caáp cho moät coång logic thì ñieän aùp ngoû ra seõ nhaän moät trong hai giaù trò.

Logic döông: Möùc ñieän aùp cao trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 1 vaø möùc ñieän aùp thaáp trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 0

Logic aâm: Möùc ñieän aùp thaáp trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 1 vaø möùc ñieän aùp cao trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 0

Ví duï cho coång logic vaø quan heä giöõa ngoõ vaøo vaø ngoõ ra nhö sau:

E1 E2 E3 E0

0 0 0 0

+V +V +V +V

0 0

+V +V 0 0

+V +V

0 +V 0

+V 0

+V 0

+V

0 0 0 0 0 0 0

+V

Coång Logic

E1

E2

E3

E0

(b)

(c)

C

A

B A

Z B

D

C D

Z


Trang 32

Baûng traïng thaùi logic döông ñöôïc moâ taû nhö sau

E1 E2 E3 E0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1

Thaáy raèng E0 = 1 neáu E1, E2 vaø E3 = 1, nghóa laø: E0 = E1E2E3

Töø ñoù thaáy raèng, coång treân töông ñöông vôùi coång AND cho maïch logic döông

Neáu chuyeån baûng traïng thaùi sang logic aâm, ñöôïc nhö sau

E1 E2 E3 E0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 0

E0 = 1 neáu E1 hoaëc E2 hoaëc E3 = 1, nghóa laø: E0 = E1+E2+E3

Töø ñoù thaáy raèng, coång treân töông ñöông vôùi coång OR cho maïch logic aâm

Neáu coù moät haøm ñoái vôùi maïch logic döông, deã daøng xaùc ñònh haøm cho maïch ñoù nhöng öùng vôùi logic aâm baèng caùch aùp duïng ñònh lyù logic aâm

Định lý logic âm

Neáu moät maïch toå hôïp coù haøm F quan heä giöõa ngoõ ra vaø ngoõ vaøo theo logic döông, thì maïch toå hôïp ñoù seõ coù haøm ñoái ngaãu vôùi haøm F khi ngoõ vaøo vaø ngoõ ra ñöôïc ñònh nghóa theo logic aâm baèng caùch bieán ñoåi AND thaønh OR vaø ngöôïc laïi

Ví dụ. Xeùt maïch toå hôïp sau:

Giaû söû haøm G ñöôïc ñònh nghóa theo logic döông laø

G= CBACAB .+

A

B

C

G


Trang 33

thì haøm G ñònh nghóa theo logic aâm seõ laø

G = ( CBACAB .+ )D = ))(( CBACBA ++++

Ví dụ. ÖÙng duïng ñònh lyù logic aâm, tìm ñoái ngaãu cuûa haøm XOR

2.10. CÁC HÀM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN

2.10.1. Hàm logic cơ bản

Moät haøm y=f(x1, x2, …, xn) vôùi caùc bieán x1, x2, …, xn chæ nhaän hai giaù trò 0 hoaëc 1 vaø haøm y cuõng chæ nhaän hai giaù trò 0 hoaëc 1 ñöôïc goïi laø haøm logic

(1) Hàm logic một biến: y=f(x)

Vì bieán x seõ nhaän moät trong hai giaù trò: 0 hoaëc 1, neân haøm y coù 4 khaû naêng hay thöôøng goïi laø 4 haøm y0, y1, y2, y3, vaø baûng chaân lyù nhö sau:

Baûng chaân lyù Teân haøm x 0 1

Thuaät toùan logic Ghi chuù

Haøm khoâng y0 0 0 y0 = 0 Haøm luoân baèng 0 Haøm ñaûo y1 1 0 y1 = x Haøm laëp y2 0 1 y2 = x Haøm ñôn vò y3 1 1 y3 = 1

y3= xx + Haøm luoân baèng 1

(2) Haøm logic hai bieán y=f(x1, x2)

Vôùi hai bieán logic x1, x2, moãi bieán nhaän hai giaù trò laø 0, 1, nhö vaäy coù 16 toå hôïp logic taïo thaønh 16 haøm. Baûng toùm taét 16 haøm töø y0 – y15

Baûng chaân trò x1 1 1 0 0

Teân haøm

x2 1 0 1 0

Thuaät toaùn logic Ghi Chuù

Haøm khoâng y0 0 0 0 0 Y0 = 0 Haøm Piec y1 0 0 0 1 Y1= 21 x.x = 21 xx + Haøm caám x1 y2 0 0 1 0 Y2= 21xx Haøm ñaûo x1 y3 0 0 1 1 Y3 = 1x Haøm caám x2 y4 0 1 0 0 Y4= 12xx Haøm ñaûo x2 y5 0 1 0 1 Y5 = 2x Haøm XOR y6 0 1 1 0 Y6= 21 xx + 21 x.x Haøm Cheffer y7 0 1 1 1 Y7= 21 xx + = 21xx Haøm AND y8 1 0 0 0 Y8 = x1x2 Haøm XNOR y9 1 0 0 1 Y9 = x1x2 + 21 x.x Haøm laëp theo x2 y10 1 0 1 0 y10 = x2 Haøm keùo theo x2 y11 1 0 1 1 Y11= 1x +x2


Trang 34

Haøm laëp theo x1 y12 1 1 0 0 y12= x1 Haøm keùo theo x1 y13 1 1 0 1 y13= x1+ 2x Haøm OR y14 1 1 1 0 y14 = x1 + x2 Haøm ñôn vò y15 1 1 1 1 y15=1

(3) Hàm logic n biến y=f(x1, x2,…, xn)

Vôùi haøm logic n bieán, moãi bieán nhaän moät trong hai giaù trò 0 hoaëc 1 neân ta coù 2n toå hôïp bieán, moãi toå hôïp bieán laïi nhaän hai giaù trò 0 hoaëc 1, do vaäy soá haøm logic taát caû laø

n22 . Vôùi 1 bieán coù 4 khaû naêng taïo haøm, vôùi 2 bieán coù 16 khaû naêng taïo haøm, vôùi 3 bieán coù 256 khaû naêng taïo haøm, nhö vaäy khi soá bieán taêng thì soá haøm coù khaû naêng taïo thaønh raát lôùn. Tuy nhieân taát caû khaû naêng naøy ñeàu ñöôïc bieåu hieän qua caùc khaû naêng toång logic, tích logic vaø nghòch ñaûo logic cuûa caùc bieán.

Trong taát caû caùc haøm ñöôïc taïo thaønh, ñaëc bieät chuù yù ñeán haøm toång chuaån vaø haøm tích chuaån.

Haøm toång chuaån laø haøm chöùa toång caùc tích maø moãi tích coù ñuû taát caû caùc bieán cuûa haøm.

Haøm tích chuaån laø haøm chöùa tích caùc toång maø moåi toång ñeàu coù ñuû taát caû caùc bieán cuûa haøm

2.10.2. Các phương pháp biểu diễn hàm logic (1) Phương pháp biểu diễn thành bảng

ÔÛ ñaây caùc giaù trò cuûa haøm phuï thuoäc vaøo caùc bieán ñöôïc trình baøy trong moät baûng goïi laø baûng söï thaät.

Ví dụ. moät haøm 2 bieán vôùi giaù trò haøm ñaõ cho ñöôïc bieåu dieãn thaønh baûng nhö sau:

Giá trị thập phân của tổ hợp biến

X2

X1

Y

0 1 2 3

0 0 1 1

0 1 0 1

1 X 0 1

Ghi chuù: daáu X laø giaù trò haøm khoâng xaùc ñònh (coù theå 0 hay 1)

Öu ñieåm cuûa caùch bieåu dieãn haøm baèng baûng laø deã nhìn, ít nhaàm laãn.

Nhöôïc ñieåm cuûa phöông phaùp naøy laø coàng keành, ñaëc bieät khi soá bieán lôùn

(2) Phương pháp hình học

ÔÛ ñaây mieàn xaùc ñònh cuûa haøm ñöôïc bieåu dieãn trong khoâng gian n chieàu. Moãi toå hôïp bieán ñöôïc bieåu dieãn thaønh 1 ñieåm ôû trong khoâng gian ñoù, öùng vôùi moãi ñieåm seõ ghi 1 giaù trò cuûa haøm. Hai ñieåm naèm treân cuøng moät truïc chæ khaùc nhau bôûi söï thay ñoåi giaù trò cuûa moät bieán.


Trang 35

Sau ñaây minh hoïa caùch bieåu dieãn haøm logic 1 bieán, 2, 3 bieán döôùi daïng hình hoïc

(3) Phương pháp biểu thức đại số

Moät haøm logic n bieán baát kyø bao giôø cuõng coù theå bieåu dieãn thaønh haøm toång chuaån ñaày ñuû vaø tích chuaån ñaày ñuû

Cách viết hàm dưới dạng tổng chuẩn đầy đủ

• Chæ quan taâm ñeán toå hôïp bieán maø haøm coù giaù trò baèng 1. Soá laàn haøm baèng 1 seõ chính laø soá tích (minterm) cuûa caùc toå hôïp bieán

• Trong moãi tích, caùc bieán coù giaù trò baèng 1 ñöôïc giöõ nguyeân, coøn caùc bieán coù giaù trò baèng 0 thì ñöôïc laáy giaù trò ñaûo

• Haøm toång chuaån ñaày ñuû seõ laø toång caùc tích ñoù

Ví dụ, Thöù töï toå hôïp bieán A B C F Minterm

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1

→ → →

ABC ABC

ABC

Vaäy F =ΣABC (2,3,7) = ABC + ABC + ABC

Cách viết hàm dưới dạng tích chuẩn đầy đủ

• Chæ quan taâm ñeán toå hôïp bieán maø haøm coù giaù trò baèng 0. Soá laàn haøm baèng 0 seõ chính laø soá toång (maxterm) cuûa caùc toå hôïp bieán

• Trong moãi toång caùc bieán coù giaù trò 0 ñöôïc giöõ nguyeân, coøn caùc bieán coù giaù trò 1 ñöôïc laáy ñaûo.

• Haøm tích chuaån ñaày ñuû seõ laø tích caùc toång ñoù

0 1 x

(a)

00

x2

01

10 11

x1

(b)

000

x2

100

010 110

x1

101 001

011111

(c)x3


Trang 36

Ví dụ, Thöù töï toå hôïp bieán A B f Maxterm

0 1 2 3

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 0 0

A+B

A+B A+B

Vaäy f= ΠAB(0,2,3) = (A+B) ( A+B)( A+B )

(4) Phương pháp biểu diễn bằng bìa Karnaugh

• Ñeå bieåu dieãn haøm logic n bieán, caàn thaønh laäp moät baûng coù 2n oâ, moãi oâ töông öùng vôùi moät toå hôïp bieán. Ñaùnh soá thöù töï cuûa caùc oâ trong baûng töông öùng vôùi giaù trò cuûa toå hôïp bieán

• Caùc oâ caïnh nhau hoaëc ñoái xöùng nhau chæ cho pheùp khaùc nhau veà giaù trò cuûa moät bieán

• Trong caùc oâ ghi giaù trò cuûa haøm töông öùng vôùi giaù trò cuûa toå hôïp bieán ñoù

Mô tả hàm f hai biến bằng bìa Karnaugh

0 1

0

1

Moãi moät oâ vuoâng bieåu dieãn moät minterm cuûa haøm f neáu noù coù giaù trò 1, vaø bieåu dieãn moät maxterm neáu coù giaù trò 0. Ñoïc giaù trò minterm, maxterm naøy gioáng nhö ñoái vôùi baûng söï thaät

Ví dụ, Haøm f ñöôïc bieåu dieãn baèng baûng söï thaät vaø baèng bìa Karnaugh nhö sau

Töø bìa Karnaugh ta cuõng coù theå vieát laïi haøm f = BAB.A +

AB

A=0, B=0

A=0, B=1

A=1, B=0

A=1, B=1

f

A B f 0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

0 1

0 1 0

1 1 0

AB

0 1

0 1 0

1 1 0

A B

A.B

AB

f f


Trang 37

Mô tả hàm f ba biến bằng bìa Karnaugh

Lưu ý: caùc oâ caïnh nhau hoaëc ñoái xöùng nhau chæ cho pheùp khaùc nhau veà giaù trò cuûa moät bieán

Mô tả hàm f 4 biến bằng bìa Karnaugh

Ví dụ, Moâ taû haøm f(a,b,c,d) = dbaacd ++


Moät bìa 5 bieán coù theå ñöôïc xaây döïng treân khoâng gian 3 chieàu baèng caùch ñaët moät bìa 4 bieán treân moät bìa thöù hai. Soá haïng lôùp döôùi ñöôïc ñaùnh soá töø 0 ñeán 15, soá haïng ôû lôùp treân ñöôïc ñaùnh soá töø 16 ñeán 31. Vì vaäy soá haïng nhoùm döôùi chöùa A vaø soá haïng nhoùm treân chöùa A

A B C f 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 0

A B C f 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 0

0 1

00 0 1

01 0 0

11 1 0

10 1 1

ABC

ABC=110 thì f=1

f

00 01 11 10

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

11 0 1 1 1

10 0 1 0 0

ab

cd

f

00 01 11 10

00

01

11

10

BCDE

A 1/0

0

1

3

2

4

5

7

6

8

9

11

10

12

13

14

15

16

17

19

18

20

23

22

28

2921

31

30

24

25

27

26

11 1

11

11

11

1

1 1

1 1 1 1

A.BCDE

A.B.CDE

f


Trang 38

Ngoaøi ra ta coù theå moâ taû haøm 5 bieán nhö sau:


2.11. TỐI THIỂU HÓA HÀM LOGIC BẰNG BÌA KARNAUGH

Các bước thực hiện

Bước 1. Bieåu dieãn haøm ñaõ cho thaønh baûng Karnaugh

Bước 2. Xaùc ñònh nhoùm caùc tích cöïc tieåu hoaëc caùc toång cöïc tieåu (nhoùm 2k oâ keá caän hoaëc ñoái xöùng vôùi ñieàu kieän trong moãi nhoùm phaûi coù ít nhaát 1 oâ chöa ñöôïc nhoùm bôûi caùc nhoùm khaùc)

Bước 3. Trong moãi nhoùm, caùc bieán coù giaù trò gioáng nhau thì giöõ laïi, caùc bieán coù giaù trò khaùc nhau thì ñôn giaûn, sau ñoù vieát haøm keát quaû theo toång hoaëc theo tích

A=0 A=1

00 01 11 11 10 11 01 00

00 0 2 6 4 5 7 3 1

01 8 10 14 12 13 15 11 9

11 24 26 30 28 29 21 27 25

10 16 18 22 20 21 23 19 17

BC DE

f

000 001 011 010 110 111 101 100

000 0 1 3 2 6 7 5 4 001 8 9 11 10 14 15 13 12 011 24 25 27 26 30 21 29 28 010 16 17 19 18 22 33 21 20

110 48 49 51 50 54 55 53 52 111 56 57 59 58 62 63 61 60 101 40 41 43 42 46 47 45 44 100 32 33 35 34 38 39 37 36

ABC

DEF

f


Trang 39

Ví dụ, tích cực tiểu 2 ô kế cận

Ví dụ, ruùt goïn bìa K sau



C C A.B 0 0 A.B 1 0 AB 1 0

AB 0 0 (a)

C C

A.B 0 0 A.B 1 X AB 0 0

AB 0 0 (b)

x

x=ABC+ABC =BC

x

x=ABC+ABC = AB

C C A.B 1 X A.B 0 X AB 0 0

AB 1 0 (c)

x C.D CD CD CD

A.B 0 0 1 1 A.B 0 0 0 0 AB 0 X 0 0 AB 1 0 0 X

(d)

x

C C A.B 0 1 A.B 0 X AB X 1

x = C

AB 0 1 (a)

x C.D CD CD CD

A.B 0 0 X 0 A.B 0 0 0 0 AB 1 1 X 1 AB 0 0 0 0

x=AB

(b)

x

C.D CD CD CD A.B 1 0 0 0 A.B 0 1 1 0 AB 0 X 1 0 AB X 0 0 0

(c)

C.D CD CD CD A.B 0 0 X 1 A.B 0 0 0 0 AB X 0 0 1 AB 1 0 X 1

(d)

x x

C.D CD CD CD A.B 1 0 0 1 A.B 0 1 0 0 AB 0 0 0 0 AB 1 X X X

(e)

x


Trang 40



C.D CD CD CD

A.B 1 1 1 1 A.B X 0 0 X AB 0 0 0 0 AB 1 1 1 1

(c)

C.D CD CD CD A.B 1 0 0 1 A.B 1 0 0 1 AB 1 0 0 1 AB 1 0 0 1

(d)

C.D CD CD CD A.B 0 0 X 0 A.B 1 1 1 1 AB 1 1 X 1 AB 0 0 X 0

x=B

(a)

C.D CD CD CD BA. 1 1 0 0 BA. X X 0 X

AB 1 1 0 0 BA 1 1 0 0

x=C

(b)

x x

x x


Trang 41

Bài tập chương 2

2.1. Vẽ dạng sóng ngõ ra cho mạch hình sau 2.2. Giả sử ngõ vào A (bài 2.1) = 0, vẽ dạng sóng ngõ ra. 2.3. Giả sử ngõ vào A (bài 2.1) = 1, vẽ dạng sóng ngõ ra. 2.4. Có bao nhiêu tổ hợp ngõ vào của cổng OR 5 ngõ vào làm cho ngõ ra ở

mức cao? 2.5. Thay đổi cổng OR ở bài 2.1 thành cổng AND

a. Vẽ sóng ngõ ra b. Vẽ sóng ngõ ra nếu ngõ vào A nối mass c. Vẽ sóng ngõ ra nếu ngõ vào A nối +5V

2.6. Thêm cổng đảo ở ngõ ra của cổng OR (bài 2.1). Vẽ dạng sóng tại ngõ ra của cổng đảo.

2.7. Viết biểu thức Boolean cho ngõ ra X. Xác định gia trị của X ứng với các điều kiện ngõ vào có thể và liệt kê các giá trị vào bảng sự thật.

2.8. Làm lại với các yêu cầu tương tự bài 2.7

(A)

(C)

(B)(B)

(A)

(C)X

A

B

C X

D

X

A

B

C


Trang 42

2.9. Xác định bảng sự thật đầy đủ cho mạch ở bài 2.8 bằng cách tìm mức logic hiện điện tại ngõ ra ứng với mỗi sự kết hợp của ngõ vào.

2.10. Thay cổng OR thành cổng AND, cổng AND thành cổng OR ở bài 2.8, viết biểu thức ngõ ra.

2.11. Ứng với mỗi biểu thức bên dưới, xây dựng mạch logic tương ứng, dùng cổng AND, OR, cổng đảo

a. )( DCABx +=

b. DCBEDCBAz +++= )( c. QPNMy ++= )(

d. QPWx += e. )( NPMNz +=

2.12. Vẽ dạng sóng ngõ ra

2.13. Làm lại bài 2.12 với cổng NAND 2.14. Viết biểu thức ngõ ra cho mạch sau và xác định bảng sự thật

2.15. Thay đổi mạch điện được xây dựng trong bài 2.15 chỉ dùng cổng NAND 2.16. Hoàn tất các biểu thức sau

a. A + 1 = b. A . A = c. B . B = d. C + C = e. X . 0 = f. D . 1 = g. D + 0 = h. C + C = i. G + GF = j. y + wy =

(A)

(C)

(B)

(A) (B) (C)

X

A B

C

X


Trang 43

2.17. Đơn giản biểu thức sau a. x ABC AC= + b. ( )( )y Q R Q R= + +

c. w ABC ABC A= + + d. ( )q RST R S T= + +

e. x ABC ABC ABC ABC ABC= + + + + f. ( ) ( )z B C B C A B C= + + + +

g. x=(M+N)(M+P)(N+P) h. z=ABC+ABC+BCD i. ( )y C D ACD ABC ABCD ACD= + + + + +

2.18. Hãy chứng minh định lý DeMorgan bằng tất cả các cách có thể. 2.19. Đơn giản biểu thức bên dưới dùng định lý DeMorgan:

a. ABC b. A+BC c. ABCD

d. A(B+C)D

e. (M+N)(M+N)

f. ABCD

2.20. Trình bày cách tạo cổng NAND 2 ngõ vào từ cổng NOT 2 ngõ vào. 2.21. Trình bày cách tạo cổng NOR 2 ngõ vào từ cổng NAND 2 ngõ vào. 2.22. Hoàn tất bảng sự thật cho mạch sau

2.23. Chỉ ra cách thực hiện x = A BC bằng 1 cổng NOR 2 ngõ vào và 1 cổng NAND 2 ngõ vào.

2.24. Thực hiện biểu thức Y = ABCD sử dụng các cổng NAND 2 ngõ vào.

A B

C

D

E

X


Trang 44

2.25 Rút gọn bìa Karnaugh sau

2.26 Rút gọn hàm bài 2.17 dùng bìa Karnaugh

D.C DC CD DC

BA. 0 0 1 0 BA. 1 1 1 1

AB 1 1 0 0 BA 0 0 0 0

(b)

D.C DC CD DC

BA. X 1 0 0 BA. 0 1 X 1

AB 1 X 1 0 BA 0 0 1 0

(c)

D.C DC CD DC

BA. 0 0 0 1 BA. X 1 1 0

AB 0 1 X 0 BA 0 0 1 0

(a)

Documents

Cổng Logic