Conjuntos e Logica Fuzzy COPPE 2011 Aula 1

7/31/2019 Conjuntos e Logica Fuzzy COPPE 2011 Aula 1

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1

Conjuntos e

Lgica FuzzyGeraldo Xexo, D.Sc.


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2

Sumrio

Introduo e Motivao

Conjuntos Nebulosos

Nmeros Fuzzy Princpio da Extenso


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4

Introduo e

MotivaoConjuntos e Lgica Fuzzy


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5

Motivao

To prximas as leis da matemtica

estejam da realidade, menos prximas dacerteza elas estaro. E to prximas elas

estejam da certeza, menos elas sereferiro realidade

(Albert Einstein)


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6

Lei do terceiro excludo

Lgica tradicional

Dicotomia verdadeiro x falso

Tudo verdadeiro ou no verdadeiro Tudo verdadeiro ou falso princpio da bivalncia impossvel ser verdadeiro e falso

simultaneamente O que no verdadeiro falso O que no falso verdadeiro

No existe meio termo


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O Mundo Ntido (crisp)

Esta bola azul? Verdadeiro

Este quadrado azul?

Falso


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Qual a cor da Terra?

9


9/10010

Que copos esto cheios?


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11/10012

A questo

O mundo real apresenta situaes ondeas respostas verdadeiro e falso no sosuficientes para representar a realidade Tanto a resposta Verdadeiro quanto a

resposta Falso no so apropriadas

Qual seria a resposta apropriada?

GRAUS DE VERDADE


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Origem da dicotomia

Se temos que escolher entre verdadeiroou falso, estamos utilizando a lgicatradicional ou lgica ntida (crisp),

desenvolvida por Aristteles Lgica Aristotlica!

Mas Aristteles j aceitava que existem

graus de verdade e falsidade Plato, seu mestre, rejeitou a noo


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Filosofia Oriental


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Respostas Apropriadas

A Terra na sua maior parte azul

A Terra quase azul

A Terra 66% azulA Terra azulada

A Terra muito azul

B l 1848


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Humanos so vagos

Charles Sanders Peirce (circa1870) dizque as pessoas funcionam de modovago, ao invs de no modo verdadeiro-falso

Boole 1848

B l 1848


18/10019

1920!!!!

Jan Lukasiewicz inventauma lgica tri-valorada Verdadeiro, falso e talvez (ou indeterminado)

0,1 e u

0,1 e 1/2!

Mais tarde, estende para uma quantidadeinfinita de valores entre 0 e 1

Lgica de Lukasiewics

Boole 1848

Pierce 1870


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Lgica de 3 valores

OU 0 u 1

0 0 u 1

u u u 1

1 1 1 1

E 0 u 1

0 0 0 0

u 0 u u

1 0 u 1

No

0 1

u u

1 0

=> 0 u 1

0 1 1 1

u u 1 1

1 0 u 1

0 u 1

0 1 u 0

u u 1 u

1 0 u 1

Boole 1848


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1937

Max Black considera como objetospertencem a conjuntos

teoria geral das coisas vagas Vagueness: An exercise in logical

analysis.Philosophy of Science,

4:427-455, 1937

Boole 1848

Pierce 1870

Lucka. 1920


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Conceitos Vagos

Alto, Baixo

Novo, Velho, Usado, Semi-novos

Perto, Longe Leve, Pesado, Suportvel

Gelado, Frio, Morno, Tpido, Quente

Crtico, Condicionante, Dispensvel

Boole 1848


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1960-1965

Lotfi Zadeh inventa algica fuzzy: difusa, nebulosa

ou cabeluda/peluda Existe uma gradao

entre falso everdadeiro

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Boole 1848

Pierce 1870

Lucka. 1920

Black 1937

Problemas ao escolher o nome


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Ntido x Fuzzy


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Fim dos limites

Modelos deFronteiras Ntidas Normalmente

escolhidas de formaad-hoc, mesmo quecom apoio deestatsticas eespecialistas

Modelos deFronteiras Fludas representando melhor

a incerteza ao criar oconceito

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Exemplo Simples Ntido

Direito a desconto por ser idoso: 65 anos = 50% de desconto

Um dia antes de fazer aniversrioDesconto 0%

No dia do aniversrioDesconto 50%

Qual a lgica disso?

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100

Idade

Descon

to


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Exemplo Simples Fuzzy

Descontos progressivos com a idade!

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

Idade

Desconto


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Como Funciona?

IF temperature IS cold THEN fan_speed IS high

IF temperature IS cool THEN fan_speed IS medium

IF temperature IS warm THEN fan_speed IS low

IF temperature IS hot THEN fan_speed IS zero

http://www.aptronix.com/fide/howfuzzy.htm
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29

Conjuntos

NebulososConjuntos e Lgica Fuzzy


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31

Conjuntos Tradicionais

Elementos pertencem ou no aoconjunto


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Teoria Ingnua dos Conjuntos

Termos no definidos Conjunto

Elemento

Pertinncia

Conceitos definidos Unio, Interseo


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34

Conjuntos Ntidos

m (x): U {0,1}

x A, m (x)=1

x A, m (x)=0 a e

Vogais

ou

ib

mVogais(a)=1

mVogais(b)=0

A

a funo caracterstica

U o conjunto universo

A subconjunto de U

No h outra opo

Opes so excludentes


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Conjuntos Ntidos

Conjuntos Ntidos: elementos pertencemou no (funo caracterstica)

c A xx

x( )

1 para A

0 para A

100

Certeza(%

)

Temperatura(C)10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

Quente


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37

Conjuntos Nebulosos

A um subconjunto difuso de U

A a funo de pertinncia

Cada elemento de A tm um grau depertinncia

Permitem criar conjuntos querepresentam conceitos humanos

mA(x): U [0,1]

1 2 4

3

P=Prximo de 3

mP(3)=1

mP(2)=0,5

mP(4)=0,5

mP(1)=0,25


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39

Funo Pertinncia mantm AFuno Caracterstica

x A mA(x) 1

x A mA(x) 0


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40

A gua est quente

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

Quente


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Funes de Pertinncia

41

(Klir&Yuan)


41/100


42/100


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Interseo

44

(Klir&Yuan)


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Modificadores

Hedges

Concentrao (muito) m(muito A) = m(A)2

Dilatao (algo) m(muito A) = m(A)1/2


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48

A gua est fria

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

QuenteNo Quete

Fria


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49

Notaes

Como funes ou grficos

Quando finito:

mA(x1)/x1 + mA(x2)/x2 + ... + mA(xn)/xn

Se grande, contvel, infinito

n

i

iiAxx

1

/)(A m x

iiAxx /)(A m


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50

Propriedades

Altura: o valor supremo

Suporte: pertinncia maior que zero

Corte-alfa: pertinncia acima de umvalor escolhido


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51

Propriedades

1

Temperatura(C)

10 20 30 40 50 60 70 80 900

mQ U EN TE(Temperatura)

QUENTE

Supp(QUENTE) = [10,90]

Supp( 0.5QUENTE): [30,70]

0.5

0.5QUENTE

Corte Alfa


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Propriedades

Convexidade: A pertinncia entre doiselementos de um conjunto nebuloso deveser maior ou igual que a menor

pertinncia entre estes dois elementos mA(x1 + (1-)x2) mn[mA(x1),mA(x2)]


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Produto Cartesiano

A x B o conjunto de todos os paresordenados onde o primeiro elementopertence a A e o segundo a B

A = { 1, 2, 3} B = { 1, 2}

A x B = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2) }

53


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Produto Cartesiano de C.N.

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57

Interpretando Conj. Difusos

Dado um conjunto X, qual a aparncia do seuconjunto potncia difuso F(2X) Uma interpretao geomtrica

Vamos trabalhar com um conjunto de doiselementos, a e b, {a,b}

Seu conjunto potncia :{{},{a},{b},{a,b}}

Podemos represent-lo por pares ordenados(segundo a funo caracterstica{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}


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58

Conjuntos como Pontos


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Conjuntos Difusos

Conjuntos Difusos podem sempre servistos como a extenso difusa de umconjunto ntido

Para representar todos os conjuntosdifusos que podem ser construdos paraum conjunto ntido, temos que falar emseu conjunto potncia difuso

Em vez dos 4 pontos, qualquer ponto doquadrado!


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60

Conjunto 0,3/ + 0,6/

A

Ac

A Ac

A Ac


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Operaes

As operaes de interseo e uniopossuem classes de funesdenominadas de t-norma e t-conorma,

Usaremos a notao I(a(x),b(x)) t-norma

U(a(x),b(x)) t-conorma

C(a(x)) complemento genrico.


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62

a1


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Pares t-norma e t-conorma

Padro:I(A(x),B(x)) = mn(mA(x), mB(x))

(A(x),B(x)) = mx(mA(x), mB(x))

C(A(x)) = 1- mA(x)

Produto e Soma AlgbricaI(A(x),B(x)) = mA(x)mB(x)

(A(x),B(x)) = mA(x)+mB(x) - mA(x)mB(x)


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Diferena e Soma LimitadaI(A(x),B(x)) = mx(0, mA(x) + mB(x) - 1)

(A(x),B(x)) = mn(1, mA(x) + mB(x))

Interseo e Unio Robusta:

I(A(x),B(x)) =

m m

m m

A B

B A

x x

x x

( ) ( )

( ) ( )

,

quando

quando

de outro modo

1

1

0

(A(x),B(x)) =

m m

m m

A B

B A

x x

x x

( ) ( )

( ) ( )

,

quando

quando

de outro modo

0

0

1


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66

Relao Nebulosa

1

2

a

b

c

0,5

0,4

0,8


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Aritmtica

Nebulosa


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Nmeros Difusos

Quando estamos falando sobre nmerosno mundo real, muitas vezes nosabemos com preciso o valor desse

nmero O carro custa cerca de R$15000,00.

A casa daqui a uns 100m.

Compre uns 2 quilos de carne


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69

Valores Aceitveis

Que valores so aceitveis quandoutilizamos esses termos? Carro: entre 14000 e 16000? Entre 14900 e

15500? Distncia: entre 50 e 150 m?

Carne: entre 1,9 e 2,1 quilos?


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70

Nmeros Difusos

Estamos ento trabalhando com nmerosque podem ser descritos de uma formadifusa

No so distribuies de probabilidade!Apesar de podermos tambm modelar alguns

casos dessa forma

quantos quilos temos aqui?


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Nmeros Difusos

So conjuntos difusos, representando, dealguma forma que interesse a soluo de umproblema, uma incerteza em um valornumrico

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

~2

~3,5


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72

Nmero Nebuloso

Normal (altura = 1) Todo corte alfa precisa ser um intervalo

fechado

O suporte precisa ser limitado


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Nmero Difuso


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77

Operao Difusa

Regra Simples (forma mais simples defazer) para nmeros triangulares faa a operao normal com os valores do

pice (que so os valores ntidos) some o tamanho das duas bases

divida por dois

crie o tringulo estendendo o nmero difusopara cada lado pelo ltimo valor

No segue o princpio da extenso


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O Problema da Extenso

Dada uma frmula f(x) e um conjuntofuzzy A(x), como calcular a funo depertinncia de f(A)?

f(A) =f(A()).

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Operaes Intervalares

Soma intervalar(e1,c1,d1) + (e2,c2,d2) = (e1+e2,c1+c2,d1+d2)

Pseudo inverso aditivo intervalar (e1,c1,d1) = (-d1,-c1,-e1)

Subtrao intervalar(e1,c1,d1) - (e2,c2,d2) = (e1,c1,d1) + (- (e2,c2,d2)) =

(e1-d2,c1-c2,d1-e2)


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Operaes Intervalares

Produto Intervalar(e1,c1,d1) (e2,c2,d2) =(min(e1e2, e1d2, d1e2, d1d2),c1xc2,max(e1e2, e1d2, d1e2, d1d2) )

Pseudo Inverso Multiplicativo Intervalar(e1,c1,d1)-1 = (d1-1,c1-1,e1-1)

Produto Intervalar

(e1,c1,d1) (e2,c2,d2) = (e1,c1,d1) (e2,c2,d2)

-1

=(min(e1 e2, e1 d2, d1 e2, d1 d2),c1 c2,max(e1 e1, e1 d2, d1 e2, d1 d2) )


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83

Contas...

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-5 0 5 10 15

A

B

A+B

-B

A-B

AxB

A/B

1/A

Nmero E C D

A 1 2 3

B 2 3 4

A+B 3 5 7

-B -4 -3 -2

A-B -3 -1 1

AxB 2 6 12

1/A 0,33 0,5 1

A/B 0,25 4 12


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84

Princpio da

Extenso

O P bl d E


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O Problema da Extenso

Dada uma frmula f(x) e um conjuntofuzzy A(x), como calcular a funo depertinncia de f(A)?

f(A) =f(A()).

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P i i d E


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Princpio da Extenso

Devemos agora considerar que tenhamossubconjuntos de X que sero mapeadosem subconjuntos de Y, dessa forma:

f: P(X) P(Y),onde P() representa o conjunto potncia.

Um subconjunto nebuloso AX mapeado num subconjunto B Y daforma:

B = f(A) = {y| xA, y= f(x)}.

P i i d E t


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88

Princpio da Extenso

Em termos mais gerais, devemos supor que maisde um elemento de Yseja mapeado a partir deum mesmo elemento de X, dessa forma, a

funo caracterstica de B seria,cB(y) = y = f(x)cA(x)onde y = f(x) representa o valor mximo para todos

os valores de x que levem a y. A funo

caracterstica em conjuntos precisos apenasindica se um valor pertence ou no a umconjunto.

P i i d E t


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89

Princpio da Extenso

Zadeh(1975) elaborou uma extenso para cB(y) de forma alidar com valores intermedirios de pertinncia:

mB(y) = y = f(x)mA(x) = mx y = f(x)mA(x) onde,xA e yB so agora elementos de conjuntos

nebulosos e a funo f: F(X) F(Y), de conjuntosnebulosos de Xem conjuntos nebulosos de Y.

Supondo ainda que a funo fpossa ser aplicada sobreum conjunto de nuniversos x1,x2,xn, tal que

f: F(x1,x2,xn) F(Y), onde y = f(x1,x2,xn)

P i i d E t


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90

Princpio da Extenso

A funo de pertinncia mB(y) de B = f(A1,A2,An) serdada por:

mB(y) = maxy = f(x1,x2,xn) { min [mA1,mA2,mAn] }

O grau de pertinncia de um valor do conjunto respostaao conjunto resultado o grau de pertinncia mximoentre todas as aplicaes da funo que chegam aqueleresultado

O grau de pertinncia de valor de uma aplicao dafuno o grau de pertinncia mnimo dos argumentosda funo

E l


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91

Exemplo

A = 0.1/1 + 0.2/2 + 1/3 +0.1/4

B = 0.3/1 + 1/2 + 0.5/3


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92/100

E l


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94

Exemplo

A (A) B (B) A+B )

1 .1 1 .3 2

1 .1 2 1 3

1 .1 3 .5 4

2 .2 1 .3 3

2 .2 2 1 4

2 .2 3 .5 5

3 1 1 .3 4

3 1 2 1 53 1 3 .5 6

4 .1 1 .3 5

4 .1 2 1 6

4 .1 3 .5 7

Exemplo


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95

Exemplo

A (A) B (B) A+B )

1 .1 1 .3 2 .1

1 .1 2 1 3 .1

1 .1 3 .5 4 .1

2 .2 1 .3 3 .2

2 .2 2 1 4 .2

2 .2 3 .5 5 .2

3 1 1 .3 4 .3

3 1 2 1 5 13 1 3 .5 6 .5

4 .1 1 .3 5 .1

4 .1 2 1 6 .1

4 .1 3 .5 7 .1

Exemplo


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96

Exemplo

A (A) B (B) A+B )

1 .1 1 .3 2 .1

1 .1 2 1 3 .1

1 .1 3 .5 4 .1

2 .2 1 .3 3 .2

2 .2 2 1 4 .2

2 .2 3 .5 5 .2

3 1 1 .3 4 .3

3 1 2 1 5 13 1 3 .5 6 .5

4 .1 1 .3 5 .1

4 .1 2 1 6 .1

4 .1 3 .5 7 .1

Exemplo


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97

Exemplo

A = 0.1/1 + 0.2/2 + 1/3 +0.1/4

B = 0.3/1 + 1/2 + 0.5/3

A+B = 0.1/2 + 0.2/3 + 0.3/4+ 1/5 + 0.5/6 + 0.1/7

Inversa Multiplicativa (P E )


97/100

Inversa Multiplicativa (P.E.)

98

Quadrado (P E )


98/100

Quadrado (P.E.)

99

Multiplicao (P E )


99/100

Multiplicao (P.E.)

100


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