Considera un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r. Il lato del quadrato misura: … … …dopo aver osservato che le diagonali del quadrato sono diametri della circonferenza, si può applicare la formula dell’area (1), oppure un teorema di trigonometria (2), oppure il teorema di Pitagora (3)

€

l2 =1

22r( ) 2r( ) = 2r2 l = r 2

l = 2r ⋅sen45° = 2r2

2= r 2

l = r2 + r2 = 2r2 = r 2

In una circonferenza è inscritto un rettangolo in cui l’altezza è doppia della base a . Quanto misura il raggio della circonferenza?

Ciascuna diagonale è diametro edivide il rettangolo in due triangolirettangoli; si applica il teorema di Pitagora

e quindi

€

2r( )2

= a2 + 2a( )2

4r2 = a2 + 4a2

r2 =5a2

4

€

r =5a2

4=

5

2a

un quadrilatero inscritto (o inscrivibile) in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari

è per questo che i rettangoli e i trapezi isosceli sono sempre inscrivibili in una circonferenza

un quadrilatero circoscritto (o circoscrivibile) ad una circonferenza ha la somma di due lati opposti uguale alla somma degli altri due

è per questo che i rombi e i deltoidi (losanghe) sono sempre circoscrivibili ad una circonferenza; lo sono anche certi tipi di trapezi rettangoli

Il rapporto tra la misura della circonferenza (lunghezza) e il suo diametro è costante, ossia è lo stesso numero per tutte le circonferenze; questo numero, che non è razionale, il cui valore è compreso fra 3 e 4, è chiamato π (pi greco) e si scrive:

È uguale a π anche il rapporto tra la misura della superficie del cerchio (area) e il quadrato del suo raggio:€

C

d= π

C = πd

C = 2πr

€

A

r2= π A = πr2

A

OB

L’area del triangoloide è data dalla differenza tra l’area del settore circolare, che è ¼ di cerchio di raggio r e l’area di un semicerchio di diametro r, perciò:

€

S =1

4πr2 −

1

2πr

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

=1

4πr2 −

1

8πr2 =

1

8πr2

Ricordiamo le relazioni della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio in funzione del raggio:

da cui:

€

C = 2πr A = πr2

€

A

C=πr2

2πr=r

2

Dato un quadrato di lato l, il raggio R del cerchio equivalente misura: …. …..

Due figure piane sono equivalenti se hanno la stessa superficie; ricordiamo la formula dell’area rispettivamente del cerchio e del quadrato:

A = πR2 e A = l2

e quindi uguagliando si ottiene:πR2 = l2 e quindi

€

R =l

π= l

π

π

Poliedriprisma: a questa famiglia appartengono i

parallelepipedi, in particolare i parallelepipedi rettangoli, che hanno come facce 6 rettangoli; se sono quadrati abbiamo un CUBO

piramide: ha una base costituita da un poligono con N lati e N facce laterali tutte triangolari

tronco di piramide: basi parallele, facce laterali trapezipoliedri regolari: hanno come facce poligoni regolari

tutti uguali fra loro; sono cinque e sono chiamati solidi platonici

tetraedro (piramide, 4 facce triangolari)

esaedro (cubo, 6 facce quadrate)ottaedro (8 facce triangolari)

dodecaedro (12 facce pentagoni)

icosaedro (20 facce triangolari)

Cilindro generato dalla rotazione di un rettangolo attorno alla retta di un lato

Cono generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno alla retta di un cateto

Tronco di cono generato dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla retta del lato perpendicolare alle basi

Sfera generata dalla rotazione di un cerchio attorno ad una retta di diametrale

parallelepipedo V = abc

cubo V = l3

piramide V = 1/3 Ah

cilindro V = πr2h

cono V = 1/3 πr2h

sferaV = 4/3 πr3

parallelepipedo S = 2(ab+ac+bc)

cubo S = 6l2

piramide S = ½ pa + B

cilindro S = 2πr2 + 2πrh

cono S = πr2 + πra

sferaS = 4πr2

il parallelepipedo è una figura solida con:a.8 vertici, 12 spigoli, 4 diagonalib.8 vertici, 8 spigoli, 2 diagonalic.4 vertici, 8 spigoli, 2 diagonalid.8 vertici, 14 spigoli, 4 diagonalie.12 vertici, 8 spigoli, 4 diagonali

un vertice è un vertice di una faccia, uno spigolo è un lato di una faccia (che nel parallelepipedo sono parallelogrammi), una diagonale è un segmento che congiunge due vertici che non appartengono alla stessa faccia …

Un triangolo rettangolo ruotando attorno a un cateto genera una figura solida. Quale?

a.un tronco di conob.un conoc.un tronco di piramided.un cilindroe.due coni uniti alla base

Una goccia d’acido oleico del volume di 10-4 cm3 galleggia sulla superficie dell’acqua formando una chiazza circolare del diametro di circa 28 cm. Dare una stima della dimensione dello strato della chiazza (che ha dimensione monomolecolare)

a.1,6*10-7 cmb.28*10-4 cmc.1,6*10 cmd.1,6*10-17 cme.28*10-4 m

la chiazza ha la forma di un cilindro, dove la base è un cerchio avente il diametro di 28 cm e l’altezza è lo spessore dello strato molecolare

e quindi

€

V = πd

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

h

€

h =4V

πd2=

4 ⋅10−4cm3

3,14 ⋅784cm2=

4 ⋅10−4cm3

2,46 ⋅103cm2=1,62 ⋅10−7cm

Il rapporto tra il volume della sfera di raggio r e la sua superficie è:

a.costanteb.uguale a πc.3rd.r/3e.uguale al quadrato del raggio

€

V

S=

4

3πr3

4πr2=r

3basta ricordare le due formule rispettive per calcolare il volume e la superficie di una sfera …