Consolidation Des Sols

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Cours 4 – Révision du tassement et

La théorie de Consolidation unidimensionnelle

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2

Questions pour guider la lecture1. Qu’est ce que le processus de consolidation des sols?

2. Quelle est la différence entre la consolidation et la compaction?

3. Quelle équation gouverne la consolidation unidimensionnelle?

4. Comment l’excès de pression interstitielle est distribuée dans le sol quand la charge est appliquée et après différents temps?

5. Quels facteurs déterminent le tassement de consolidation des sols?

6. Qu’est ce que le degré de consolidation moyen, le facteur temps, le module de compressibilité volumétrique, et l’indice de compression et de recompression?

7. Quelle est la différence entre la consolidation primaire et la compression secondaire?

8. Quel est le cheminement de drainage pour un drainage simple et double drainage?

9. Pourquoi procédons-nous à des essais de consolidations, comment sont-ils effectués, et quels paramètres sont déduits des résultats de ces essais?

3

3

10. Comment est calculé le taux de tassement et le tassement de consolidation?

11. Existe-t-il des différences importantes entre le tassement calculéet sur le terrain?

4

4

Tassement dû à la consolidation primaire des sols àgrains fin, normalement consolidés.

(OCR=1)

L’augmentation de la contrainte verticale produit un tassement du sol suivant la ligne NCL (ligne de consolidation vierge, en anglais, « normal consolidation line »)

z'zo'fin σΔ+σ=σ

1OCR;'zo

'finlogcC

oe1oH

oe1e

oHs =σ

σ+

=+Δ=

;'1

'2logcC'vo

v'vologcC'zoz'zlogcC'zo

'finlogcCe

σ

σ=

σσΔ+σ=

σσΔ+σ=

σ

σ=Δ

5

5

Tassement dû à la consolidation primaire des sols àgrains fin, surconsolidés.

(OCR > 1)

Si le sol est surconsolidé, on doit considérer deux cas dépendant sur lamagnitude de l’augmentation de la contrainte Δσz

Cas 1 – L’augmentation de la contrainte, Δσz, est de telle sorte queσ’fin = σ’zo+ Δσz est inférieure à σ’zc (voir prochaine figure).

L’augmentation de la contrainte verticale produit un tassement du sol suivant la ligne URL (ligne de rechargement - déchargement, en anglais, « unloading-reloading line »)

'zc'fin;'zo

'finlogrC

oe1oH

oe1e

oHs σ<σσ

σ+

=+Δ=

6

6

Cas 2 – L’augmentation de la contrainte, Δσz, est de telle sorte queσ’fin = σ’zo+ Δσz est supérieure à σ’zc (voir prochaine figure).

L’augmentation de la contrainte verticale produit un tassement du sol ayant deux composantes soit une suivant la ligne URL (ligne de rechargement-déchargement, en anglais, « unloading- reloading line »), et l’autre suivant la ligne NCL ligne de consolidation vierge, en anglais, « normal consolidation line »).

'zc'fin;

'zc

'finlogcC

'zo

'zclogrC

oe1oH

oe1e

oHs σ>σσ

σ+

σ

σ+

=+Δ=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

'zc'fin;

'zc

'finlogcCOCRlogrC

oe1oH

oe1e

oHs σ>σσ

σ+

+=

+Δ=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

ou

7

7

Les deux cas à considérer pour le calcul du tassement des sols à grains fins surconsolidés

8

8

Procédure pour calculer tassement de consolidation primaire

1. Calculez la contrainte verticale effective courante (σ’zo) et l’indice des videscourant (eo) au centre de la couche de sol pour laquelle on requiert le tassement.

2. Calculez l’augmentation de la contrainte verticale (Δσz) au centre de la couchede sol en utilisant la méthode appropriée.

3. Calculez la contrainte verticale effective finale σ’fin = σ’zo + Δσz.

4. Calculez le tassement primaire de consolidation.

a) Si le sol est normalement consolidé (OCR = 1), le tassement de consolidationprimaire est donnée par

;'zo

'finlogcC

oe1oHs

σ

σ+

=

9

9

b) Si le sol est surconsolidé (OCR >1) et σ’fin < σ’zc, le tassement de consolidation primaire est donnée par

c) Si le sol est surconsolidé (OCR >1) et σ’fin > σ’zo, le tassement de consolidation primaire est donnée par

où Ho est l’épaisseur de la couche de sol.

;'zo

'finlogrC

oe1oHs

σ

σ+

=

;'zc

'finlogcCOCRlogrC

oe1oHs

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

σ+

+=

10

10

À noter : On peut aussi calculer le tassement de consolidation primaireen utilisant mv.

Cependant mv varie avec le niveau de la contrainte. On doit donccalculer une valeur moyenne de mv sur l’intervalle de contrainteσ’zo à σ’fin. Le tassement de consolidation primaire, en utilisantmv, est

zvmoHs σΔ=

L’avantage d’utiliser l’équation précédente est que mv est déterminédes données de déplacements de l’essai de consolidation, au besoin.Ce n’est pas nécessaire, dans ce cas, de calculer le changement dansl’indice des vides, des données de l’essai, comme pour la déterminationde Cc.

11

11

Couches de sols épaisses

12n1nnnz3z2n2z1n1zn

z ++−+−+σΔ++σΔ−+σΔ−+σΔ

=σΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Pour une meilleure précision, quand on considère des couches épaissesde sols (Ho > 2 m), on divise ces couches en des sous-couches de sols(de 2 à 5 sous-couches) et on trouve le tassement de chaque sous-couche.Le tassement de consolidation primaire totale est la somme des tassementsdes ces sous-couches.

Une méthode alternative est d’utiliser la moyenne dite « harmonique »pour l’augmentation de la contrainte verticale des sous-couches, dans l’équation pour le tassement de consolidation primaire.

L’augmentation de contrainte verticale harmonique moyenne est donnée par

ou n est le nombre de sous-couches et les indices 1,2, etc., indiquent la première couche, deuxième couche en séquence.

12

12

Exemple 1

Le profil de sol, d’un site proposé pour un immeuble à bureau, consiste en une couche de sable fin de 10.4 m d’épaisseur reposant sur une couche d’argile molle normalement consolidée de 2 m d’épaisseur. Un dépôt de sable grossier se trouve sous l’argile molle. La nappe phréatique a été repérée à 3 m sous la surface. L’indice des vides du sable et la teneur en eau de l’argile sont respectivement 0.76 et 43%. L’immeuble à bureau imposera une augmentationde la contrainte verticale de 140 kPa au centre de la couche d’argile. Estimez le tassement de consolidation primaire de la couche d’argile. Assumez que le sol au dessus de la nappe phréatique est saturé, Cc= 0.3 et Gs = 2.7.

3 m

7.4 m

2 margile molle

sable fin

sable grossier

13

13

Stratégie

Vous devriez écrire ce qui est donné ou connu.

eo (pour le sable) = 0.76; w (pour l’argile) = 43%Ho = 2 m, Δσz = 140 kPa, Cc = 0.3, Gs = 2.7

Étant donné que l’argile est normalement consolidé la réponsedu tassement de consolidation primaire suit le cheminement de laligne NCL.

14

14

argile: 16.17.2x43.0swGoe ===

3m/kN7.78.916.1117.2

we11sG' =

+−=γ

+−=γ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

La contrainte effective au milieu de la couche d’argile est :

kPa9.1351x7.74.7x5.93x3.19'zo =++=σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Étape 1- Calculez σ’zo et eo au centre de la couche d’argile

sable: we1SesG γ

++=γ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3m/kN3.198.976.0176.07.2

we1esG

sat =++=γ

++=γ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3m/kN5.98.93.19wsat' =−=γ−γ=γ

15

15

Étape 2- Calculez l’augmentation de la contrainte verticale σ’zo au centre de la couche d’argile.

Pour ce problème en particulier l’augmentation de la contrainte verticale Δσz est donnée:

kPa140z=σΔ

Étape 3 - Calculez la contrainte verticale effective finale σ’fin au centre de la couche d’argile.

kPa9.2751409.135z'zo'fin =+=σΔ+σ=σΔ

Étape 4 - Calculez le tassement de consolidation primaire.

;mm85m085.09.1359.275log3.0x

16.112

'zo

'finlogcC

oe1oHs ==

+=

σ

σ+

=

16

16

Exemple 2

On assume la même stratigraphie que le problème 1. Cependant dans cetexemple on assume que l’argile est surconsolidé avec un OCR = 2.5, w=38% etCr = 0.05. Toutes autres valeurs de sols données à l’exemple 1 sont maintenues.Déterminez le tassement de consolidation primaire de l’argile.

Stratégie

Puisque le sol est surconsolidé, il faut vérifier si la contrainte de préconsolidation estinférieur ou supérieur à la somme de la contrainte effective verticale courante et de lacontrainte appliquée au centre de la couche d’argile. Cette vérification détermineral’équation appropriée à utiliser. Dans cet exemple le poids volumique du sable resteinchangé mais celui de l’argile a changé.

17

17

Étape 1 - Calculez σ’zo et eo au centre de la couche d’argile

argile: 03.17.2x38.0swGoe ===

3m/kN2.88.903.1117.2

we11sG' =

+−=γ

+−=γ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛


kPa4.1361x2.84.7x5.93x3.19'zo =++=σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

À noter : l’augmentation de la contrainte verticale effective causée par

le changement du poids volumique de l’argile surconsolidé est

minime.

18

18

Étape 2- Calculez la contrainte de préconsolidation au centrede la couche d’argile.

kPa3415.2x4.136'zc ==σ



Étape 4 – Vérifier si σ’fin est inferieure ou supérieur à σ’zc.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =σ<=σ kPa341'zckPa4.276'fin


;mm15m015.04.1364.276log05.0x

03.112

'zo

'finlogrC

oe1oHs ==

+=

σ

σ+

=

19

19

Exemple 3

On assume la même stratigraphie et les mêmes paramètres du sol que le problème 2.Cependant dans cet exemple on assume que l’argile est surconsolidé avec unOCR = 1.5. Déterminez le tassement de consolidation primaire de l’argile.

Stratégie

Puisque le sol est surconsolidé, il faut vérifier si la contrainte de préconsolidation estinférieur ou supérieur à la somme de la contrainte effective verticale courante et de lacontrainte appliquée au centre de la couche d’argile. Cette vérification détermineral’équation appropriée à utiliser.

20

20

Étape 1 - Calculez σ’zo et eo au centre de la couche d’argile

03.17.2x38.0swGoe ===

3m/kN2.88.903.1117.2

we11sG' =

+−=γ

+−=γ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛


kPa4.1361x2.84.7x5.93x3.19'zo =++=σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

même calcul qu’à l’exemple 2.

21

21

Étape 2- Calculez la contrainte de préconsolidation au centrede la couche d’argile.

kPa6.2045.1x4.136'zc ==σ



Étape 4 – Vérifier si σ’fin est inférieur ou supérieur à σ’zc.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =σ>=σ kPa6.204'zckPa4.276'fin

22

22

;mm47m047.06.2044.276log3.05.1log05.003.11

0.1s ==++

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛


'zc'fin;

'zc

'finlogcCOCRlogrC

oe1oH

oe1e

oHs σ>σσ

σ+

+=

+Δ=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

23

23

Exemple 4

Une section verticale de fondation d’immeuble à un site est montrée ci-dessous. Le module de compressibilité volumétrique moyen de l’argileest donnée comme mv = 5x10-5 m2/kN. Déterminez le tassement deconsolidation.

argile

gravier

Fondation: largeur B=10 m, longueur L=20m

24

24

Stratégie

Pour déterminer le tassement de consolidation primaire, il faut calculerl’augmentation de la contrainte effective dans la couche d’argile dû auchargement provenant de l’immeuble. L’argile est 10 m d’épaisseur donc il est préférable de sous divisé la couche d’argile en des sous-couches ≤ 2 m d’épaisseur.

Dans le livre de Holtz et Kovacs on traiterais la couche d’argile comme un milieu semi-infini, cependant il est mieux de la traiter comme un milieu fini et de déterminer l’augmentation de la contrainte effective verticale avec des abaques développés à cette fin.

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25

Étape 1

Trouvez l’augmentation de la contrainte effective verticale au centre de la fondation dans la couche d’argile.

On divise la couche d’argile en 5 sous-couches, chacune d’épaisseur 2 m, c’est-à-dire Ho = 2 m. Trouvez l’augmentation de la contrainte verticale effective au milieu de chaque sous-couche sous le centre de la fondation rectangulaire. On assume une base rugueuse et l’abaque remit en classe.

B = 10m, L = 20m, L/B = 2, qs= 200 kPa

sous-couche z(m) z/B Izp I Δσ=Izpqs Δσ=4Iqs(kPa) (kPa)

1 1 0.1 0.992 0.246 198.4 196.82 2 0.3 0.951 0.243 190.2 194.43 5 0.5 0.876 0.20 175.2 160.04 7 0.7 0.781 0.163 156.2 130.45 9 0.9 0.686 0.133 137.2 106.4

m = B/z, n = L/z, σz= qs I (théorie de Boussinesq)

26

26


mm86m086.02.1372.1562.1752.1904.198x510x5x2

n

1i izvmoHs

==++++−

==

σΔ=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

milieu fini

milieu infini

mm79m079.04.1064.1300.1604.1948.196x510x5x2

n

1i izvmoHs

==++++−

==

σΔ=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

27

27

méthode alternative – avec la moyenne harmonique d’augmentation de la contrainte verticale au milieu de la couche

Pour ce problème particulier la valeur harmonique d’augmentation de la contrainteharmonique Δσz avec n = 5 est

kPa9.181123452.13712.15622.17532.19044.1985

z =++++

++++=σΔ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

mm91m091.09.181x510x5x10zvmoHs ==−=σΔ=

Le tassement plus grand avec la méthode alternative résulte du biaisvers le haut de la couche produit par la moyenne harmonique.

28

28

Exemple 5

Un essai de consolidation en laboratoire, sur un échantillon d’argile prélevé à 10 msous la surface du sol, a donné les résultats suivant: Cc=0.3, Cr=0.08, OCR = 5,w = 23%, et Gs = 2.7. La nappe phréatique est à la surface. Déterminez et portez surgraphique la variation de la teneur en eau et le rapport de surconsolidation OCRen fonction de la profondeur jusqu’à 50 m.

29

29

Écoulement unidimensionnel à travers un élément de sol

Théorie unidimensionnel de la consolidation

dA = dx dy

30

30

Dérivation de l’équation gouvernante pour la consolidation

1. Sol est saturé, isotrope et homogène.

2. La loi de Darcy est valide.

3. L’écoulement se produit dans la directionverticale seulement.

4. Les déformations sont petites.

31

31

(ΔV) → (ΔVw) →(ΔVv)

Observations

1. Étant donné que l’aire du sol est constante (sol confinélatéralement), le changement de volume est directement proportionnelau changement de la hauteur.

2. À une profondeur donnée le changement dans la contrainte effectiveverticale est égal au changement de l’excès de pression d’eau interstitielleà cette profondeur ou ∂σz’ = ∂u.

32

32

Volume d’eau qui entre dans l’élément, v dA

Volume d’eau qui sort de l’élément, (v +(∂v/∂z) dz) dA

(v + (∂v /∂z) dz) dA - v dA = ∂V/∂t

∂V/∂t = (∂v/∂z) dz dA

Étant donné que εv = ∂V/V = ∂e/(1+eo) et que

∂V = ∂e/(1+eo) dz dA = mv ∂σ’z dz dA

33

33

∂V = mv ∂σ’z dz dA = mv ∂u dz dA

∂V/∂t = mv dz dA ∂u/∂t et

∂v/∂z = ∂(kz ∂h/∂z)/∂z

2zu2

wvmzk

tu

dAdz2zu2

wzk

tudAdzvm

∂

∂γ

=∂∂

∂

∂γ

=∂∂

34

34

wvmzk

VC

2zu2

vC2z

u2

wvmzk

tu

γ=

∂

∂=

∂

∂γ

=∂∂

L’équation gouvernante pour la consolidationunidimensionnel

Cv est appelé le coefficient de consolidation

35

35

Solution mathématique de l’équation gouvernantela consolidation unidimensionnel

Nous considérons la solution pour le double drainage et pour le cas oul’excès de pression interstitielle est uniforme, les conditions aux frontières sont:

Quand t = 0, Δu = Δuo = ΔσzFrontière du haut, z = 0, Δu =0.Frontière du bas, z = 2Hdr, Δu =0 Hdr est la longueur de drainage

2zu2

vC

tu

∂

Δ∂=

∂Δ∂

36

36

Couche mince d’argile molle

A

Couche profonde d’argile homogène

Deux types de distribution d’excès de pression d’eau interstitielle

Distribution uniforme avec la profondeur pour une couche mince

Distribution triangulaire avec la profondeur pour une couche profonde

37

37

La solution en utilisant une série de Fourier est

( )

( )

2dr

vv H

tCT

1m22

M

0m vT2Mexp

drHMzsin

Mo

u2t,zu

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

∑∞

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛Δ=Δ

38

38

Un isochrone démontrant l’excès de pression interstitielle théorique en fonction de la profondeur

39

39

On peut définir un paramètre, Uz, appelée le degré de consolidation oule rapport de consolidation.

Ce rapport exprime la quantité de consolidation complétée en un temps particulier et une profondeur donnée.

Ce paramètre s’exprime comme

∑∞

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

ΔΔ−=

0m vT2Mexp

drHMzsin

M21

uu1U

o

zz

à t = 0 Uz = 0, quand t → ∞, Uz →1

40

40

41

41

L’ingénieur en géotechnique est souvent concerné par le degré de consolidation moyen, U, de toute la couche, à un temps particulier, plutôt qu’à une profondeurparticulière.

Le rapport de consolidation moyen, U, est donné par l’expression

( )∑ −−=∞

=0mv

22 TMexp

M21U

42

42

U (%

)

Tv

Excès de pression d’eauinterstitielle initiale uniforme

Excès de pression d’eauinterstitielle initiale triangulaire

Flèches montrent les directions

de drainages

Relation entre le facteur temps et le degré de consolidation moyen

Double drainage

43

43

Par approximation de la courbe (double drainage) de la figure précédenteon peut obtenir les relations suivantes :

( ) %60UpourU100log933.0781.1T

%60Upour100U

4T

v

2

v

≥−−=

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π=

Les facteurs temps correspondant à U = 50% et U=90% de consolidationsont souvent utilisé dans l’interprétation des résultats d’essais de consolidation.

On devrait se rappeler que Tv =0.848 pour U = 90% etTv =0.197 pour U = 50%.

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