DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGA Y MECNICAIngeniera Mecatrnica

Vibraciones

Tema: Vibracin de un sistema torsional sin amortiguamiento

Nombre: Israel AsimbayaNRC: 2299

Fecha de entrega: 20 de mayo del 20158

ContenidoDefinicin3Par de torsin Mt3Momento de Inercia 4Constante de Resorte Torsional 4Aspectos del sistema5Cuadro de masas equivalentes y coeficientes de rigidez de algunos sistemas5Ejercicios de Aplicacin6Bibliografa8

LISTA DE TABLASTabla 1: Masas equivalentes y coeficientes de rigidez de algunos sistemas5

LISTA DE ILUSTRACIONESIlustracin 1: Pndulo de torsin vertical (Rao, 2012)3Ilustracin 2: Pndulo de torsin horizontal (Graham, 2000)3Ilustracin 3: Figura A (Shabana, 1991)5Ilustracin 4: Figura B (Shabana, 1991)6Ilustracin 5: Figura C (Shabana, 1991)6Ilustracin 6: Figura D (Shabana, 1991)6Ilustracin 7: Figura del ejercicio 1):6Ilustracin 8: Figura del ejercicio 2)7Ilustracin 9: Figura del ejercicio 3)8

Definicin

Se conoce como vibracin torsional al movimiento oscilante resultante que ejerce un cuerpo rgido con respecto a un eje especfico.En otras palabras es el movimiento, de desplazamiento angular, que ejerce un cuerpo slido con respecto a un eje fijo, que para ejercicios se usa comnmente una flecha.Es importante mencionar que el desplazamiento angular tambin lo es con respecto a la flecha y no solo del cuerpo slido. (Rao, 2012)Existen varias formas de que un movimiento como este se ejecute, tales como: Torsin de un miembro elstico Momento desbalanceado de una fuerza o par de fuerzasPara determinar la constante de elasticidad de un sistema de torsin como el que acabamos de mencionar, necesitamos algunos conceptos previos.

Par de torsin MtComo se mencion antes, se requiere de una condicin para generar este movimiento, como puede ser un par de fuerzas, en este caso un momento desbalanceado.

Ilustracin 1: Pndulo de torsin vertical (Rao, 2012) Ilustracin 2: Pndulo de torsin horizontal (Graham, 2000)Como resultado tenemos la siguiente ecuacin:

Donde: Mt: Par torsional que produce el desplazamiento en . : Desplazamiento angular. : Mdulo de cortante. : Momento de inercia (polar) en la flecha. : Largo de la flecha.

Momento de Inercia Como se mencion antes es el momento de inercia que ejerce la flecha, al ser un cuerpo con masa ejerce este tipo de movimiento, y es en sentido polar, esto quiere decir que se aplica perpendicular a su eje axial o longitudinal.La ecuacin de este momento es:

Donde: : Dimetro de la flecha

Constante de Resorte Torsional Al momento en que el disco se desplaza un ngulo y salir de su posicin de equilibrio, la flecha se ve afectada por este movimiento y produce un par de torsin .Al actuar de esta manera la flecha acta como un resorte torsional cuya constante de restauracin est dada por la siguiente ecuacin:

Mediante la derivacin de la segunda ley de Newton se puede definir la ecuacin del movimiento angular del disco con torsin alrededor del eje axial.Para esto se considera el diagrama de cuerpo libre del disco.

Con esta ecuacin podemos determinar la frecuencia natural del sistema, la cual sera:

Adems la solucin general a la ecuacin diferencial es:

Y como se puede apreciar, la solucin a la ecuacin diferencial es la representacin de un movimiento armnico simple.

Aspectos del sistemaEste aspecto es muy obvio pero si la masa al extremo de la flecha no es del tipo circular se debe calcular la inercia de masa del disco.Con el aspecto anterior se deduce que la constante torsional del sistema depende en gran manera de la forma de la masa al extremo de la flecha.La resolucin de la ecuacin diferencial nos da como resultado una expresin que representa un movimiento armnico simple.

Cuadro de masas equivalentes y coeficientes de rigidez de algunos sistemas

FiguraSistemaFuncin de la forma

Figura AVibracin longitudinal

Figura BVibracin torsional

Figura C Doblado de una viga en voladizo

Figura D Doblado de una viga simplemente apoyada

Tabla 1: Masas equivalentes y coeficientes de rigidez de algunos sistemas (Shabana, 1991)

Ilustracin 3: Figura A (Shabana, 1991)

Ilustracin 4: Figura B (Shabana, 1991)

Ilustracin 5: Figura C (Shabana, 1991)

Ilustracin 6: Figura D (Shabana, 1991)Ejercicios de Aplicacin1) Un cilindro de masa m y momento de inercia de masa J0 rueda libremente sin deslizarse pero est restringido por dos resortes de rigideces k1 y k2, como se muestra en la Ilustracin 2: Figura del ejercicio 1). Encuentre su frecuencia natural de vibracin, as como el valor de a que maximiza la frecuencia natural de vibracin.

Ilustracin 7: Figura del ejercicio 1):

Con un desplazamiento angular

Ecuacin del movimiento:

El valor mximo de a ser cuando a = R.

2) Una barra uniforme de masa m y longitud l est conectada a la bisagra en el punto A y a cuatro resortes lineales y a un resorte torsional, como se muestra en la Ilustracin 3: Figura del ejercicio 2). Determine la frecuencia natural del sistema si k 5 2000 N/m, kt 5 1000 N-m/rad, m 5 10 kg, y l 5 5 m.

Ilustracin 8: Figura del ejercicio 2)

Donde:

3) Encuentre la ecuacin de movimiento de la barra rgida uniforme OA de longitud l y masa m de la Ilustracin 4: Figura del ejercicio 3). Encuentre tambin su frecuencia natural.

Ilustracin 9: Figura del ejercicio 3)

Pero:

BibliografaGraham, K. (2000). Fundamentals of Mechanical Vibration. Singapore: McGraw Hill.Rao, S. (2012). Vibraciones Mecnicas. Mxico: Pearson.Shabana, A. (1991). Theory of Vibration An Introduction. New York: Springer.