Contato Entre Curvas

Antonio Carlos Nogueira, Cirilo Goncalves Junior,

Faculdade de Matematica, UFU,

38400− 902, Uberlandia, MG

E-mail: anogueira@ufu.br, cirilo@mat.ufu.br.

Palavras-chave: contato com retas, contato com circulos, vertices

Resumo: Na teoria do contato, estuda-se os parametros, em que uma curva z toca em outracurva. Com isso busca-se obter informacoes sobre o comportamento da curva. Neste trabalhoestudaremos contato com retas e com cırculos.

1 Contato com Retas

Seja z : I −→ <2 uma curva diferenciavel, e u ∈ <2 um vetor unitario, e seja Lu a retade equacao {z − z(t0)} • u = 0 onde t0 ∈ I. Seja γ : I −→ <2 a funcao diferenciavel dada porγ(t) = {z(t) − z(t0)} • u. γ e chamada de aplicacao contato da curva z com a reta Lu.Definicao: Diz-se que a curva z, tem contato de ordem k em t0 com a reta Lu, quando γ temum zero de multiplicidade k em t0.

Conclui-se que o contato e invariante por parametrizacoes equivalentes, e por isometrias. Echega-se que a reta tangente a curva z em t0 tem contato de ordem ≥ 2 com z em t0, e alemdisso pode-se obter uma explicacao convincente para o sinal da curvatura k(t).

Como o objetivo e estudar o contato de ordem superior, toma-se o u = iz′(t0), que e normala z em t0. Assim t0 tem ordem ≥ 2 sobre γ. Deste modo, mostra-se que se o contato de z comLu em t0 tem ordem ≥ 3 entao t0 e um parametro de inflexao, e que se em um parametro deinflexao, o contato for de ordem par em t0, entao para t proximo de t0 a curva fica de um ladoda reta Lu, se o contato for de ordem impar, a reta Lu intersecta z em t0. Continuando estaanalise, ve-se que, t e um parametro regular para uma curva z, com contato de ordem ≥ 4 se esomente se, k(t) = 0 e k′(t) = 0.

E importante, tambem estudar o contato da curva z(t) = (x(t), y(t)) com Lu, em umparametro irregular t0. Para isso, olha-se para os parametros regulares t proximos de t0. Define-

se o gradiente com sendo a razao y′(t)x′(t) , e diz-se que o limite gradiente existe quando limt→t0

y′(t)x′(t)

existir. Neste caso, define-se a reta tangente limite em t0 como sendo a reta que passa porz(t0) tendo este limite gradiente. Se z(t0) for um cuspide, entao define-se a reta tangente limite”cuspidal”como sendo a reta que passa em z(t0) na direcao de z′′(t0). Conclui-se, que a retatangente cuspidal, e a unica reta com contato de ordem ≥ 3 com z em t0, onde z(t0) e umcuspide. E ainda, se t0 e um parametro de cuspide de ordem ≥ 3, entao k(t) → ∞, quandot → t0.

2 Contato com Cırculos

De modo analogo, define-se a funcao de contato com um cırculo C, de centro em c e raio r

com a curva z, passando por z(t0), pela funcao γ : I −→ < com γ(t) = |z(t) − c|2 − |z(t0) − c|2.

345

ISSN 2317-3300

Prova-se que C e tangente a z se, e somente se, c pertence a reta normal a z em t0, e que ocontato e invariante por parametrizacoes equivalentes e por isometrias. Ainda pode-se mostrarque, em um parametro regular t0, onde z(t0) nao e inflexao. Existe um unico cırculo C comcontato de ordem ≥ 3 com z em t0, e com raio ρ = 1

|k(t0)|.

Definicao: O escalar ρ = 1|k(t)| e chamado de raio de curvatura em t. E o unico cırculo com

este raio e com contato de ordem ≥ 3 e chamado de cırculo de curvatura (ou cırculo osculador)

em t, e seu centro e definido por z∗ = z(t) + N(t)k(t) , onde N(t) e o vetor unitario normal a z(t).

O lugar geometrico do centro de curvatura e chamado de evoluta de z. Uma involuta de z e acurva que e ortogonal as retas tangentes a z.

As curvas paralelas fornecem outro meio de se obter a evoluta. Elas sao definidas comosendo as curvas que distam de uma distancia d da curva z sobre a reta normal a z em t, istoe zd(t) = z(t) + dN(t) e a equacao da paralela zd a uma distancia d de z. Chega-se que se z

e uma curva regular e z∗ sua evoluta, e d um numero real. Entao, t e um parametro irregularpara a paralela zd se, e somente se, zd = z∗. Deste modo, conclui-se que o lugar geometrico dosparametros irregulares das paralelas zd e a evoluta de z.

Exemplo: a) Considere a parabola z = (t2, 2t) utilizando os resultados citados acima, calcula-sesua evoluta:

z∗ =

(

3t2 + 2, 2t −(

1

2(4t2 + 4)

)

t

)

e sua curva paralela a uma distancia d:

zd =

(

t2 +d√

1 + t2, 2t − dt√

1 + t2

)

.

A parabola (azul), sua evoluta (verde) e suas curvas paralelas (vermelho), estao representadasna figura 1.Exemplo: b) Considere a elipse z = (2 cos(t), sen(t)), analogamente ao exemplo anterior,calcula-se sua evoluta:

z∗ =

(

2 cos t − (4sen2t + cos2 t) cos t

2sen2t + 2 cos2 t, sent − 2(4sen2t + cos2 t)sent

2sen2t + 2 cos2 t

)

e sua curva paralela a uma distancia d:

zd =

(

2 cos t − cos t√4sen2t + cos2 t

, sent − 2sent√4sen2t + cos2 t

)

.

A elipse (azul), sua evoluta (verde) e suas curvas paralelas (vermelho), estao representadas nafigura 2.

3 Vertices

Com as ideias anteriores, pode-se estudar um ponto excepcional de uma curva, onde naverdade o cırculo de curvatura possui contato de ordem ≥ 4. Chega-se, que se z e uma curva, et e um parametro onde z(t) nao e inflexao. A condicao para o cırculo de curvatura ter contatode ordem ≥ 4 e que k′(t) = 0. E a condicao para que o cırculo de curvatura tenha contato deordem ≥ 5 e que k′(t) = 0, k′′(t) = 0.

346

ISSN 2317-3300

Figura 1: Exemplo (a) Figura 2: Exemplo (b)

Por um vertice de uma curva z, entende-se um parametro t no qual k′(t) = 0. Em particular,as curvas em que a curvatura e constante (segmentos de reta, arcos de circunferencia) todos osparametros sao vertices.

Em algumas curvas (como as conicas), e facil ver os vertices, no entanto, em geral, isso nao euma tarefa facil, entao e mais rentavel olhar para a evoluta desta curva, onde os vertices apare-cem de forma mais clara. Pois mostra-se que, se z e uma curva regular e t0 um parametro, ondez(t0) nao e inflexao, entao t0 e um vertice para z se, e somente se, e irregular para a evoluta z∗.

Definicao: Uma curva z que e periodica, e que nao possui auto interseccao e chamada deoval. Uma curva regular e dita ser convexa, quando seu traco esta inteiramente de um lado dareta tangente em qualquer parametro.

Assim chega-se ao resultado central deste trabalho, o ”teorema dos quatro vertices”deMukhopadhaya.

Teorema: Qualquer oval convexo z possui pelo menos quatro vertices.

Referencias

[1] C. G. Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge Universite Press,(2001).

[2] K. Tenenblat, Introducao a Geometria Difencial, Ed. Edgard Blucher Ltda, 2a edicao,(2008).

347

ISSN 2317-3300