Embed Size (px)
Citation preview
NOTA: Queste tre piccole dispense hanno l’obiettivo di aiutare gli studenti ad intraprendere il
viaggio che li porterà, attraverso la conoscenza di oggetti matematici come i gruppi, i campi e gli
isomorfismi, a trovare risposta alla domanda:”ma perché per le equazioni di primo, secondo, terzo,
quarto grado esiste una formula risolutiva mentre per quelle di quinto grado non esiste nessuna
formula risolutiva?”
Essendo l’Università l’ambiente naturale in cui gli oggetti matematici a cui abbiamo fatto
riferimento prima vengono trattati, non pretendiamo di effettuare, in poche pagine, una trattazione
esaustiva di tali argomenti che, com’è naturale immaginare, subiranno una notevole
semplificazione. D’altra parte tale cammino stimolerà negli alunni il processo della scoperta di
proprietà algebriche durante il quale gli orizzonti matematici posseduti verranno ampliati e fornirà
loro una visione concreta degli aspetti studiati dall’Algebra moderna.
L’obiettivo a breve termine di questa dispensa è quello di far acquistare agli alunni familiarità con i
nuovi oggetti algebrici introdotti e di rendere ogni allievo in grado di confrontarsi con le domande
poste alla fine della dispensa.
L’obiettivo conclusivo sarà quello di realizzare (con Word o con OpenOffice) un documento di
testo, interamente scritto dagli alunni che possa spiegare ad altri ragazzi (con una conoscenza della
Matematica paragonabile a quella ottenibile alla fine della Scuola Media o nel biennio delle
Superiori) il percorso di apprendimento che li ha portati a rispondere alla domanda di partenza.
Ci scusiamo inoltre per gli errori di stampa che potrebbero essere presenti nel documento.
Una piccola nota storica
Avendo a disposizione un campo, ad esempio il campo dei numeri razionali Q, con i suoi numeri
possiamo divertirci a scrivere delle equazioni. Di tali equazioni possiamo cercare poi una formula
risolutiva generale, ovvero una formula che permetta di esprimere le soluzioni (o, come si suol dire
radici) dell’equazione in termini dei coefficienti del polinomio che origina l’equazione. Fin dalle
popolazioni più antiche, tali formule risolutive erano note: per le equazioni di I grado (Babilonesi,
già nel 2000 a.C.), di II grado (Babilonesi, già nel 2000 a.C.), di III grado (S. Del Ferro - 1526), di
IV grado (L. Ferrari - 1545), ma non sono state mai trovate, fino ad oggi, formule risolutive per le
equazioni di V grado. La domanda che motiva il nostro cammino, la ripetiamo, è quindi la seguente:
La domanda che motiva il nostro viaggio E’ possibile scrivere una formula risolutiva per le equazioni di quinto grado?
Il campo di spezzamento di un polinomio Se vogliamo trovare una formula, dobbiamo essere in grado di effettuarne i calcoli in essa
contenuti.
Se tale formula esiste, ci deve permettere di scrivere le cinque soluzioni (che le soluzioni siano
cinque numeri complessi ce lo assicura il teorema fondamentale dell’Algebra) utilizzando le
operazioni a noi consentite ( + , - , * , : , potenza, estrazioni di radici) tra i coefficienti
dell’equazione stessa.
Se cerchiamo le soluzioni nel campo Q, lì dove abbiamo preso i coefficienti, non riusciremo sempre
a trovarle perché, il luogo dove esse vivono è, come affermato dal teorema fondamentale
dell’Algebra, l’insieme dei numeri complessi.
Alcune equazioni a coefficienti razionali, come ad esempio 0572 2 xx hanno soluzioni
2
5;1 21 xx che appartengono al campo di partenza, ma altre no, come ad esempio 082 x i
cui coefficienti sono in Q, ma le sue radici, ovvero 22;22 21 xx non appartengono al
campo Q.
Se vogliamo trovare un’equazione che permetta di esprimere le radici di un’equazione in funzione
dei coefficienti del campo, dovremo fare tali operazioni in un campo opportuno, ovvero in un
campo in cui tali radici ci siano in modo tale che, se eseguiamo le operazioni scritte dalle formule,
siamo in grado di ottenere dei risultati.
Per capire meglio, se nella formula comparisse l’espressione
ax
1 ed abbiamo
un’equazione in cui a=2, ci ritroveremmo a dover estrarre la radice di 2. Se rimaniamo nei numeri
razionali, non servirà a nulla avere una formula risolutiva (ammesso che essa esista) se poi non
siamo in grado di poter svolgere i calcoli in essa contenuti.
Quindi, riassumiamo le osservazioni precedenti dicendo che, data un’equazione di quinto grado a
coefficienti in Q, la formula risolutiva (se esiste) dovrà essere utilizzata in un campo che
contenga le radici dell’equazione.
Senza scomodare il campo dei numeri complessi, che è veramente molto molto vasto, possiamo,
seguendo il procedimento di estensione esaminato nella scheda precedente, aggiungere al campo di
partenza Q le radici dell’equazione che non vi appartengono. In questo modo creiamo il più piccolo
campo che contiene Q e le radici dell’equazione. A tale campo si dà il nome di campo di
spezzamento di un’equazione.
Esempio1: il campo di spezzamento di 082 x .
Aggiungiamo, come abbiamo visto nella scheda precedente, le soluzioni dell’equazione, in modo da
essere poi in grado di scriverle. Se estendiamo il campo Q introducendo il numero 2 al
otterremmo l’estensione 2(Q nel quale le radici dell’equazione 22;22 21 xx ci sono.
Nel campo 2(Q l’equazione di secondo grado 082 x si spezza in un prodotto di fattori
lineari, ovvero 02222 xx
Esempio2: il campo di spezzamento di 0158 24 xx
Immaginiamo di avere la seguente equazione: 0158 24 xx . Se siamo nel campo dei numeri
razionali Q, ci accorgiamo di non avere nessun numero che è radice di questa equazione in quanto
(come si può dimostrare, il polinomio )5)(3(158 2224 xxxx non ha radici razionali).
Allora possiamo estendere il campo Q al campo 3(Q . Osserviamo che 3(Q è effettivamente
un campo perché 3(Q è isomorfo a 3
][2 x
xQ e 32 x è irriducibile in Q[x].
Nel nuovo campo 3(Q l’equazione di partenza si spezza come 0)5)(3)(3( 2 xxx
in cui è facile trovare due soluzioni ovvero 3:3 21 xx
Se poi al campo 3(Q aggiungiamo anche una radice di 5, allora otteniamo il campo 5,3(Q
nel quale l’equazione di partenza si può scrivere come 0)5)(5)(3)(3( xxxx
in cui è facile trovare tutte e quattro le sue soluzioni ovvero 3:3 21 xx ; 5:5 43 xx
Esempio3: Il campo di spezzamento dell’equazione 014 x
Il campo di spezzamento del polinomio 14 x è il campo iQ poiché contiene tutte le sue radici,
ovvero 1:1 21 xx ixix 43 : . In iQ l’equazione 014 x si può fattorizzare come
prodotto di termini di primo grado, ovvero: 0))(1)()(1( ixxixx
Osservazione fondamentale sui campi di spezzamento.
Come abbiamo visto negli esempi precedenti, nel campo si spezzamento l’equazione di
partenza si spezza nel prodotto di fattori di primo grado, in conseguenza del fatto che nel
campo sono presenti tutte le radici del polinomio.
Osservazione importante
Se siamo nel campo di spezzamento di un polinomio, allora sarà possibile scrivere le soluzioni
dell’equazione ad esso associata mediante le operazioni a noi consentite. Detto in altre parole,
sarà possibile risolvere un’equazione per radicali. Questa osservazione ci fa capire l’importanza
fondamentale, che rivestono i campi di spezzamento in merito alla nostra domanda iniziale. Il
campo di spezzamento di un’equazione è il campo che bisognerà costruire, partendo dal campo Q
per poter utilizzare la formula risolutiva (ammesso che esista) delle equazioni di V grado.
Prima di procedere nel nostro cammino, possiamo mettere insieme i due ultimi concetti esaminati
(ovvero le estensioni di campi ed i campi di spezzamento) e presentare un particolare tipo di
estensione di un campo, le estensioni normali, tanto care al matematico francese Evariste Galois.
Estensioni normali
L’estensione 1K dove 1 soddisfa 0)( xp , equazione di grado n, si dice normale se nel campo
1K , oltre ad 1 ci sono tutte le altre radici dell’equazione 0)( xp . Se questo accade allora in
1K l’equazione 0)( xp si spezza come prodotto di fattori lineari, ovvero
nxxxxp 21)( ovvero 1K è il campo di spezzamento dell’equazione
0)( xp
Esempi:
2Q è un’estensione normale di Q in quanto 2 è una radice di 022 x ma, come si
può osservare facilmente, in 2Q esiste anche l’altra radice del polinomio, che quindi si
può spezzare in fattori lineari, ovvero 0)2)(2( xx . Quindi abbiamo appena
osservato che 2Q è il campo di spezzamento del polinomio 022 x a coefficienti in
Q.
3 2Q invece, non è un’estensione normale in quanto 3 2 è una radice del polinomio
023 x . Ma le due altre radici del polinomio stesso non appartengono al campo 3 2Q
cosicché il polinomio 023 x si può scrivere 3323 422 xxx ma non come
prodotto di fattori di primo grado. Non essendo possibile scriverlo come prodotto di fattori
lineari, allora capiamo che 3 2Q non è il campo di spezzamento del polinomio 023 x
Nota: D’ora in avanti, quando parleremo di estensioni, intenderemo sempre estensioni normali,
quelle utilizzate da Galois per descrivere i suoi famosi ed importanti risultati.
Nell’obiettivo di costruire il campo di spezzamento di un’equazione, l’estensione ci viene in mente, ci sta portando nella giusta direzione? Abbiamo visto qualche riga fa che, il campo di spezzamento di un’equazione è il campo che
bisognerà costruire, partendo dal campo Q per poter utilizzare la formula risolutiva (ammesso che
esista) delle equazioni di V grado. Quindi, partendo dal campo Q, la prima idea che ci viene in
mente è quella di fare delle estensioni successive fino a raggiungere il tanto sospirato campo di
spezzamento. In questo caso, la domanda che sorge spontanea è: ‘ho aggiunto numeri “buoni”,
ovvero che appartengono al campo di spezzamento oppure numero “inutili” ’?
Si possono presentare due situazioni differenti:
1. quella in cui so scrivere a priori (come nel caso di 024 x ) le radici del polinomio,
Allora è immediato capire quali sono le estensioni da fare, quelle che mi porteranno al
campo di spezzamento.
2. non riesco in alcun modo a calcolare le radici del polinomio quindi non so a priori che
numeri aggiungere al campo di partenza.
Soprattutto in questo secondo caso ci servirà una “cartina di tornasole” che ci dica se i numeri
aggiunti ci stanno portando nella giusta direzione oppure non servivano a niente. Vediamo di
trovarla nella prossima sezione:
Cerchiamo di capire meglio cosa succede quando si “salta la staccionata” 1. Cerchiamo di capire innanzitutto come rappresentare la struttura di un campo:
Riportiamo le tabelle della somma e della moltiplicazione di )2(3Z :
Ecco la tabella della somma:
+ 0 1 2 2 21 22 22 221 222
0 0 1 2 2 21 22 22 221 222
1 1 2 0 21 22 2 221 222 22
2 2 0 1 22 2 21 222 22 221
2 2 21 22 22 221 222 0 1 2
21 21 22 2 221 222 22 1 2 0
22 22 2 21 222 22 221 2 0 1
22 22 221 222 0 1 2 2 21 22
221 221 222 22 1 2 0 21 22 2
222 222 22 221 2 0 1 22 2 21
Ecco la tabella della moltiplicazione:
* 0 1 2 2 21 22 22 221 222
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 2 21 22 22 221 222
2 0 2 1 22 222 221 2 22 21
2 0 2 22 2 22 222 1 21 221
21 0 21 222 22 22 1 221 2 2
22 0 22 221 222 1 2 21 22 2
22 0 22 2 1 221 21 2 222 22
221 0 221 22 21 2 22 222 2 1
222 0 222 21 221 2 2 22 1 22
Ad ogni numero possiamo far corrispondere un colore. Ma, se ci pensiamo bene, potrei cancellare i
numeri dalle caselline ed ottenere
la tabella della somma:
+
la tabella della moltiplicazione:
*
Se guardo gli elementi delle tabelle come colori e non come numeri, potrei ugualmente dire di avere
a disposizione un campo. Tale campo ha una sua propria struttura che è costituita dalla
disposizione dei colori nelle due tabelle.
Vediamo alcuni esempi delle informazioni che potrei trarre dalle tabelle dei colori:
La tabella della somma ci dice, per esempio, che:
+ =
+ =
La tabella della moltiplicazione ci dice, per esempio, che:
* =
* =
Ad ogni numero posso associare un colore. Devo però rispettare le due tavole di operazioni.
Ad esempio il numero che vado ad inserire nella casella verde chiaro, elevato al quadrato deve
darmi il numero che metto nella casella bianca (per forza!)
Se si riescono a fare 2 diverse associazioni tra numeri e colori allora i due campi creati sono tra
loro isomorfi ovvero hanno la stessa struttura (i colori) ma diversa apparenza (le associazioni
numeri-colori)
2. Una visione metaforica di un campo: i colori delle tessere, il guardiano del campo e la
macchina mangiatessere
Quando pensiamo ad un campo, possiamo metaforicamente immaginarlo come una tabella con
varie righe e colonne, ognuna di un colore diverso. Come abbiamo già visto ad ogni colore
corrisponde un numero. Ai bordi del campo possiamo immaginare una staccionata.
Per ogni campo recintato vi è un guardiano del campo, che assegna ad ognuno dei suoi numeri un
colore differente in modo che le operazioni dettate dalla tabella dei colori siano rispettate.
Immaginiamo poi di poter costruire una macchina mangiatessere colorate fatta in questo modo:
La macchina funziona così: Se la macchina è utilizzata in un campo, allora, con i numeri di quel
campo, si possono scrivere delle equazioni. Nella parte alta della macchina si inseriscono le tessere
colorate e la macchina sputa a destra quelle il cui colore può essere associato ad un numero che
soddisfa l’equazione inserita mentre a sinistra tutte le altre.
Esempio 1:
Se siamo in 3Z possiamo scrivere l’equazione 011 x poiché i numeri 1 e 0 appartengono al
campo 3Z . Se poi inseriamo tutte le tessere colorate del campo, la macchina sputerà alla sua destra
solamente la tessera di colore blu. Perché al blu può essere associato solamente il numero 1.
Esempio 2:
Se poniamo la macchina nel campo siamo 3Z ma ci facciamo prestare le tessere colorate del campo
)2(3Z , [del quale possiamo vedere nella pagina precedente le tabelle additive e moltiplicative]
possiamo scrivere l’equazione 022 x poiché i numeri 1 e -2 (che equivale al numero 1)
appartengono al campo 3Z . Se poi inseriamo tutte le tessere colorate del campo, la macchina
sputerà alla sua destra le tessere 1) verde chiaro e 2) grigio. Questo perché ad entrambe le tessere
colorate si può associare un numero che, al quadrato faccia 2.
Esempio 3:
Se saltiamo la staccionata e poniamo la macchina nel campo siamo )2(3Z e vogliamo cercare di
distinguere tra loro le tessere verde chiaro e grigio, qui posso farlo perché posso scrivere due
equazioni di primo grado: 02 x e 022 x . Quando inserisco la prima equazione la
macchina mi sputerà fuori la tessera verde chiaro, mentre quando inserisco la seconda, la macchina
mi sputerà fuori la tessera grigia. Ecco che ponendo la macchina mangia tessere nel campo )2(3Z
invece che nel campo 3Z , riusciamo a individuare il numero da associare alle tessere verde chiaro e
grigio, cosa che, lasciando la macchina nel campo 3Z e potendo usare quindi solo i coefficienti di
3Z non riuscivamo a fare.
3. Se il guardiano del campo K decide di fare un’estensione, riuscirà a capire in tutto e per
tutto com’è fatta tale estensione?
Immaginiamo la scena:
Il guardiano del campo 3Z che chiameremo Arturo va dal guardiano del campo 13 Z [con 1
indichiamo una radice di 22 x ]. Quest’ultimo guardiano si chiama Giuseppe. Arturo chiede a
Giuseppe quali sono i colori che ha utilizzato per i numeri del suo campo. Giuseppe risponde ad
Arturo: 1. blu (Arturo lo sapeva già); 2. celeste (colore nuovo); 3. giallo (Arturo lo sapeva già); 4.
rosso (colore nuovo) 5. bianco (Arturo lo sapeva già); 6. grigio (colore nuovo); 7. verde chiaro
(colore nuovo); 8. arancione (colore nuovo); 9. verde scuro (colore nuovo).
Arturo può calcolarsi il valore dei numeri del campo 13 Z dove 1 soddisfa 22 x . Presto
troverebbe che 2}2 1,2 ,2 2, 1, 2, ,1,0{ 11111,113 Z . In fretta Arturo
potrebbe associare i colori ai numeri del suo campo, grazie alla macchina mangia tessere su cui
scriverebbe equazioni di primo grado, ovvero giallo allo 0, blu all’1 e bianco al 2. Ma se Arturo
volesse scoprire il colore assegnato agli altri numeri avrebbe delle sorprese…vediamo perché:
I numeri nuovi non soddisfano nessuna equazione di primo grado a coefficienti in 3Z . quindi
Arturo prova a scrivere delle equazioni di secondo grado a coefficienti in 3Z .
Se ad esempio scrivesse 022 x sulla macchina mangiatessere , essa sputerebbe alla sua
destra le tessere verde chiaro e grigio.
Se ad esempio scrivesse 022 xx sulla macchina mangiatessere , essa sputerebbe alla
sua destra le tessere arancione e celeste.
Se ad esempio scrivesse 0222 xx sulla macchina mangiatessere , essa sputerebbe alla
sua destra le tessere verde scuro e arancione.
la situazione si potrebbe complicare se Arturo decidesse di scrivere delle equazioni di terzo
grado nella macchina mangiatessere, ad esempio 03 x . In questo caso la macchina
sputerebbe alla sua destra ben 4 tessere, ovvero, verde scuro, arancione, rosso e celeste.
Dopo un po’ di prove Arturo si convincerebbe che non potrà mai arrivare a capire il valore dei
numeri da inserire su alcune tessere colorate. Questo perché le equazioni che vengono soddisfatte
dalle tessere colorate nuove, non sono mai soddisfatte singolarmente.
Arturo capirebbe subito che in 13 Z vi dev’essere un altro numero, oltre ad 1 che soddisfa
022 x . Se provasse tutti i numeri di 13 Z nell’equazione della riga sopra, oltre ovviamente
ad 1 scoprirebbe che essa viene soddisfatta da 12 infatti 02242)2(2
1
2
12
1 .
quindi Scoprirebbe che 12 2
Arturo può così rappresentare la tavola moltiplicativa di 2/13 Z
* 0 1 2 2/1 2/11 2/12 2/12 2/121 2/122
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 2/1 2/11 2/12 2/12 2/121 2/122
2 0 2 1 2/12 2/122 2/121 2/1 2/12 2/11
2/1 0 2/1 2/12 2
2/12 2/122 1 2/11 2/121
2/11 0 2/11 2/122 2/12 2/12 1
2/121 2 2/1
2/12 0 2/12 2/121 2/122 1
2/1 2/11 2/12 2
2/12 0 2/12 2/1 1
2/121 2/11 2 2/122 2/12
2/121 0 2/121 2/12 2/11 2
2/12 2/122 2/1 1
2/122 0 2/122 2/11 2/121 2/1 2
2/12 1 2/12
Osserviamo che a priori non è possibile stabilire il colore della tessera contenente 1 né di tutte le
altre nuove tessere. Ma 1 si può scambiare con 2
Il “balletto” è così rappresentabile:
Se 1 allora
212
se 212 allora
1
Se 11 allora
121
se 121 allora
11
Se 12 allora
122
se 122 allora
12
Non si può dire a priori ad 1 di mettersi nella casella verde piuttosto che nella casella grigia perché
esse sono, dal punto di vista di 1 , equivalenti.
Il fatto che Arturo non potrà mai comprendere qual è l’associazione dei colori ad i numeri che il
guardiano del campo 13 Z avrà stabilito, si deve al fatto che i numeri nuovi soddisfano polinomi
di grado superiore al primo che quindi hanno più di una soluzione. Tali soluzioni, sono
indistinguibili dal punto di vista del contadino del campo K.
Se viceversa il contadino salta la staccionata del campo K e va nel campo K allora lì potrà
utilizzare la macchina mangiatessere con i coefficienti di K . In quel modo riuscirà a scoprire le
associazioni tra colori e numeri del campo K perché riuscirà a scrivere equazioni di primo
grado che hanno solo una soluzione.
4. Quando la situazione si complica un pò.. Immaginiamo che Arturo sia nel suo campo tranquillo. Ad un certo momento della giornata gli
viene in mente di scrivere un’equazione p(x)=0 e di volerne cercare il campo di spezzamento [come
succede a tutti i contadini…].
Dopo i suoi calcoli capisce che, partendo dal suo campo K, deve estenderlo due volte, una prima
volta con un elemento 1 , di grado n, e quindi si ottiene )( 1K e poi successivamente deve
estendere )( 1K con un elemento )( 11 K , di grado m, ottenendo quindi il tanto sospirato
campo di spezzamento ),( 11 K .
Se Arturo volesse costruirsi la struttura del campo di spezzamento, ovvero quella data dai colori,
non dovrebbe far altro che andare dal guardiano del campo )( 1K , ovvero Giuseppe e farsi dire i
colori degli elementi che sono nuovi rispetto a quelli del suo campo. Poi dovrebbe andare da
Angelo, il guardiano del campo ),( 11 K e farsi dire i colori degli elementi che sono nuovi
rispetto a quelli del campo di Giuseppe.
A quel punto Arturo potrebbe costruirsi la tabella dei colori del campo di spezzamento. Ma quanti
isomorfismi potrebbero esserci in esso? Beh, ci sono n modi per fissare il colore ai numeri che
stanno nel campo di Giuseppe ma non in quello di Arturo e m modi per fissare il colore ai numeri
che stanno nel campo di Angelo ma non in quello di Giuseppe. Quindi in definitiva vi saranno mn
isomorfismi del campo ),( 11 K .
5. Per fissare un isomorfismo quanti valori bisogna fissare?
Se vogliamo trovare un isomorfismo tra due campi, ad esempio )( 1K e )( 2K dove 1 e 2 sono
due radici differenti dello stesso polinomio, dobbiamo metterci nel campo K e capire quali tessere
colorate risultano avere un valore numerico fissato e quali no. Prima abbiamo visto che le tessere
colorate corrispondenti ai numeri di K hanno un valore numerico univoco perché soddisfano
equazioni di primo grado. I restanti numeri, cioè quelli “nuovi” possono assumere n colori diversi.
Ora ci chiediamo: i valori delle tesserine sono tutti indipendenti tra loro oppure una volta che ne
fissiamo uno, gli altri rimangono fissati a loro volta?
Facciamo vedere che una volta che fissiamo il numero “nuovo” 2 , tutte le altre tessere vengono
automaticamente individuate.
Ad esempio noi sappiamo che
+ 1 =
+ 2 =
* 2 =
inoltre
* 2 + 1 =
* 2 + 2 =
Quindi si capisce bene come una volta fissato il valore della tesserina verde, ad esempio a, vengono
fissati automaticamente i valori della tesserina verde scuro che vale a+1, dalla tesserina arancione,
che vale a+2, della tesserina grigia che vale 2a, della tesserina rossa, che vale 2a+1, della tesserina
verde acqua, che vale 2a+2.
Allora, se sulla tesserina verde scrivo 2 avrò le seguenti associazioni
2 + 1 = 21
2 + 2 = 22
2 * 2 = 22
2 * 2 + 1 = 221
2 * 2 + 2 = 222
Se invece sulla tesserina verde scrivo 22 avrò le seguenti associazioni
22 + 1 = 221
22 + 2 = 222
22 * 2 = 2
22 * 2 + 1 = 21
22 * 2 + 2 = 22
Generalizziamo le osservazioni viste nella sezione precedente: Ogni volta che si fa un’estensione normale di un campo K aggiungendovi un numero 1
ovvero una delle soluzioni dell’equazione p(x)=0, di grado n, e quindi si ottiene )( 1K si
arriva ad un campo con una struttura ben definita (e rappresentabile mediante i
colori) in cui i numeri “nuovi”si possono associare ai colori in n modi differenti.
Tramite queste n associazioni differenti si possono scrivere n campi distinti. Tali campi,
estensioni di K mediante i numeri i , sono tutti isomorfi tra loro, ovvero
nKKK 21)( perché si originano, come abbiamo visto nella scheda
precedente, dal campo: )(xp
xK
Visto che tutti gli elementi “nuovi” di )( iK sono strettamente legati ad i , una volta che
si fissa il colore della tessera di i tutti i colori degli altri numeri “nuovi” verranno ad
essere fissati.
Visto che un isomorfismo rispetta la sostanza delle tessere, ovvero se un numero a soddisfa
un’equazione q(x)=0 in )( 1K , l’immagine del numero a tramite l’isomorfismo tra
)( 1K e )( 2K soddisferà sempre la stessa equazione p(x)=0 . Quindi 1 . essendo lui
una radice di p(x) non potrà che essere un’altra radice del polinomio, che essendo di grado
n, ha n radici distinte. Quindi esisteranno n isomorfismi che legano tra loro le n
differenti estensioni del campo K. Se indichiamo con n ,,,, 321 le n radici di
0)( xp gli n isomorfismi sono individuati dalla scelta del valore di 1 , ovvero:
11:1 :
21:2 :
313 :
nn 1:
Ogni isomorfismo ji KK :: agisce lasciando invariati gli elementi “vecchi”
del campo K [perché soddisfacevano, da soli, equazioni di primo grado] e mandando una
radice dell’equazione p(x)=0 in un’altra, quindi modificando il colore dei soli numeri
“nuovi”
[Estensioni successive] Se estendiamo il campo K con un elemento 1 , una delle radici di
p(x)=0, di grado n, e quindi si ottiene l’estensione normale )( 1K possiamo dire che si
vengono a creare n campi diversi, tutti isomorfi tra loro. Se poi successivamente estendo
)( 1K con un elemento )( 11 K ovvero una delle radici dell’equazione q(x)=0, di
grado m, otteniamo l’estensione normale ),( 11 K la cui struttura è una sola. Ma vi
saranno anche m isomorfismi che, lasciando fissi gli elementi di )( 1K mandano
11 , 21 , …. . m 1 . Quindi, visto che la composizione di due
isomorfismi è ancora un isomorfismo, in totale vi saranno mn isomorfismi accettabili.
del campo ),( 11 K . E così via per le estensioni successive.
Il procedimento di Galois - (esempio illustrativo) Ammettiamo di voler risolvere l’equazione 024 x . Procediamo estendendo il campo dei razionali Q
con estensioni normali, ovvero che siano campi di spezzamento di polinomi che riteniamo ci aiutino
a spezzare il polinomio di partenza.
Estensione1: Inizialmente ci potrebbe venire in mente l’idea di creare l’estensione 2Q che è il
campo di spezzamento del polinomio 022 x . In 2Q l’equazione di partenza
si spezza in 022 22 xx
Estensione2: Poi potremmo estendere 2Q aggiungendovi l’unità immaginaria i ed arrivare a
iQ ,2 che è il campo di spezzamento del polinomio 021 22 xx . In 2Q
l’equazione di partenza non si spezza ulteriormente rispetto a quello che avveniva in
si spezza in 2Q ma, poco male. Nel passo 3 vedremo come aggiungere l’unità
immaginaria i è invece fondamentale per spezzare l’equazione di partenza.
Estensione3: Poi potremmo estendere poi iQ ,2 ed arrivare a 44 2,2,,2 iQiQ . Tale
uguaglianza è vera, infatti il campo che contiene 4 2 , contiene anche il numero
2 visto che 2)2( 24 . In 4 2,iQ l’equazione di partenza si spezza come
prodotto di fattori lineari: 02222 4444 ixxixx . Ecco che abbiamo
provato che 4 2,iQ è il campo di spezzamento dell’equazione di partenza.
Riassunto del procedimento di Galois in termini delle estensioni normali fatte.
Campo iniziale Polinomio si spezza in: Estensione normale?
Q 024 x
2Q 022 22 xx Si, è il c.d.s di 022 x
iQ ,2 022 22 xx Si, è il c.d.s di
021 22 xx
44 2,2,,2 iQiQ 02222 4444 ixxixx Si, è il c.d.s di 024 x
Osservazioni importanti:
Da quanto visto prima, campiamo che i numeri “nuovi” che devono essere aggiunti al campo di
partenza, cioè Q, sono il numero 2 , il numero i ed il numero 4 2 . Visto che, come abbiamo
esaminato prima, l’isomorfismo è fissato, una volta che fisso dove vengono mandati i numeri
“nuovi”, allora per fissare un isomorfismo è sufficiente specificare in quali numeri vengono mandati
il numero 2 , il numero i ed il numero 4 2 .
Poiché 2)2( 24 , se fisso dove viene mandato 4 2 , fisso automaticamente dove verrà mandato
2 . Quindi, in definitiva, per conoscere quali sono gli isomorfismi del campo di spezzamento
basta elencare le possibili immagini del numero i ed il numero 4 2 , opportunamente combinati
tra loro.
In che tipo di numeri essi potranno essere mandati? Abbiamo visto prima che se un numero è
soluzione di un’equazione prima di fare l’isomorfismo, lo dovrà rimanere anche dopo
l’isomorfismo. Quindi si deduce che, siccome i soddisfa il polinomio 012 x che ha due radici,
ovvero ii , il numero i potrà essere inviato in uno dei due numeri dell’insieme ii ,
Inoltre, il numero 4 2 è radice dell’equazione 024 x le cui soluzioni appartengono all’insieme
4444 2,2,2,2 ii quindi deve essere mandato in uno dei quattro numeri dell’insieme
4444 2,2,2,2 ii
Combinando tra loro gli isomorfismi delle due estensioni, possiamo scrivere tutti i possibili
isomorfismi del campo 4 2,(iQ in sé stesso, ovvero:
automorfismo manda in
id1 )2,( 4i )2,( 4i
2 )2,( 4i )2,( 4i
3 )2,( 4i )2,( 4i
4 )2,( 4i )2,( 4i
5 )2,( 4i )2,( 4ii
6 )2,( 4i )2,( 4ii
7 )2,( 4i )2,( 4ii
8 )2,( 4i )2,( 4ii
I “balletti” delle radici prodotti dagli isomorfismi
Ora, proviamo a vedere che effetto hanno i singoli isomorfismi sulle quattro radici del polinomio
alle quali diamo i seguenti nomi: ;2;2;2;2 44
43
42
41 ixxixx
Nella colonna di destra, rifacendoci alla teoria dei gruppi, indichiamo con delle permutazioni,
l’effetto che l’isomorfismo ha prodotto sulle radici del polinomio.
1x 2x 3x 4 Permutazione
corrispondente
automorfismo manda in 4 2 4 2i 4 2 4 2i
1 )2,( 4i )2,( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i Id
2 )2,( 4i )2,( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (13)
3 (coniugio) )2,( 4i )2,( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (24)
4 )2,( 4i )2,( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (13)(24)
5 )2,( 4i )2,( 4ii 4 2i 4 2 4 2i 4 2 (1432)
6 )2,( 4i )2,( 4ii 4 2i 4 2 4 2i 4 2 (1234)
7 )2,( 4i )2,( 4ii 4 2i 4 2 4 2i 4 2 (12)(34)
8 )2,( 4i )2,( 4ii 4 2i 4 2 4 2i 4 2 (14)(23)
Se osservo cosa è successo alle radici ;2;2;2;2 44
43
42
41 ixxixx dopo
aver effettuato l’isomorfismo 2 , mi accorgo che 1331 ; xxxx quindi posso dire che
l’isomorfismo 2 ha operato sulle radici del polinomio la permutazione che indichiamo con
(13)
Se osservo cosa è successo alle radici ;2;2;2;2 44
43
42
41 ixxixx dopo
aver effettuato l’isomorfismo 6 , mi accorgo che
14433221 ;;; xxxxxxxx quindi posso dire che l’isomorfismo 6 ha operato
sulle radici del polinomio la permutazione che indichiamo con (1234).
Il gruppo di Galois di un’equazione
Se scrivo tutte le permutazioni che ottengo applicando gli isomorfismi consentiti, mi accorgo che ho
creato un gruppo che viene chiamato gruppo di Galois dell’equazione di partenza, la cui tabella di
composizione è quella riportata in basso:
Id (13) (24) (12)(34) (13)(24) (14)(23) (1234) (1432)
Id Id (13) (24) (12)(34) (13)(24) (14)(23) (1234) (1432)
(13) (13) id (13)(24) (1432) (24) (1234) (14)(23) (12)(34)
(24) (24) (13)(24) id (1234) (13) (1432) (12)(34) (14)(23)
(12)(34) (12)(34) (1234) (1432) id (14)(23) (13)(24) (13) (24)
(13)(24) (13)(24) (24) (13) (14)(23) Id (12)(34) (1432) (1234)
(14)(23) (14)(23) (1432) (1234) (13)(24) (12)(34) id (24) (13)
(1234) (1234) (12)(34) (14)(23) (24) (1432) (13) (13)(24) id
(1432) (1423) (14)(23) (12)(34) (13) (1234) (24) id (13)(24)
Ora ripercorriamo il percorso delle 3 estensioni che, partendo da Q ci ha portati al campo di
spezzamento dell’equazione di partenza.
Aggiungiamo il numero “nuovo” 2 al campo base Q.
Siamo nel campo Q . Ora aggiungiamo 2 e otteniamo )2(Q . Spostiamo la macchina
mangiatessere da Q a )2(Q . Adesso siamo in grado di inserire nella macchina mangiatessere
equazioni a coefficienti in )2(Q . Vediamo se possiamo scrivere un’equazione che abbia meno
soluzioni di quelle che avevamo in precedenza, in modo da ridurre il numero di automorfismi
(l’obiettivo sarà arrivare ad un solo automorfismo!).
L’innovazione fondamentale dell’essere in )2(Q è che in questo campo le due radici di due
diventano fisse e non più interscambiabili come erano nel campo Q. Quindi ponendo la
macchina mangiatessere in )2(Q tutti i numeri razionali e le radici di 2 rimangono fisse!.
Quindi tutto il campo )2(Q rimane fisso!
Mentre nel campo Q l’unica equazione che potevamo scrivere e che fosse soddisfatta da
;241 x era 024 x che aveva ben 4 radici. Ora, in )2(Q possiamo scrivere l’equazione
022 x . essa è soddisfatta da ;241 x ed ha il vantaggio, rispetto a quella precedente di
avere solo 2 soluzioni, ovvero 44 2,2 e non più quattro, come in precedenza.
Di conseguenza, il numero 4 2 potrà essere mandato da un isomorfismo, in un elemento
dell’insieme 44 2,2 .
Vediamo la cosa in termini di permutazioni
Se vediamo la cosa in termini di permutazioni, possiamo dire che saranno accettabili solo le
permutazioni che mandano 1 in 1 oppure 1 in 3 ma non le altre.
Ecco la tabella degli automorfismi accettabili:
1 2 3 4 Permutazione
corrispondente
automorfismo manda In 4 2 4 2i 4 2 4 2i
1 )2,,1( 4i )2,,1( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i Id
2 )2,,1( 4i )2,,1( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (13)
3 )2,,1( 4i )2,,1( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (24)
4 )2,,1( 4i )2,,1( 4 i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (13)(24)
Se osserviamo quello che è accaduto, dal punto di vista dei gruppi, potremo osservare che:
)24)(13(),34(),12(,1 idN è un sottogruppo normale che contiene i commutatori dell’insieme
G, infatti )24)(13(,)( idGK
La permutazione )24)(13( è un commutatore in quanto:
11
111111
)24()1432)(24)(1432(
)13()1432)(13)(1432()24()1234)(24)(1234()13()1234)(13)(1234()24)(13(
Aggiungiamo il numero “nuovo” i al campo base 2Q .
Se inoltre aggiungiamo i a 2Q otteniamo ),2( iQ .
Se consideriamo come campo base ),2( iQ dobbiamo considerare le equazioni a coefficienti in
),2( iQ e vedere se possiamo scrivere un’equazione che abbia meno soluzioni di quelle che
avevamo in precedenza, in modo da ridurre il numero di automorfismi (l’obiettivo sarà arrivare ad
un solo automorfismo!).
L’innovazione fondamentale dell’essere in ),2( iQ è che in questo campo le due radici di -1
diventano fisse e non più interscambiabili come erano nel campo 2Q . Quindi ponendo la
macchina mangiatessere in ),2( iQ tutti i numeri razionali, le radici di 2 e le radici di -1
rimangono fisse! Quindi tutto il campo ),2( iQ rimane fisso!
Mentre nel campo ),2( iQ l’equazione di grado più basso che potevamo scrivere per i era
012 x che aveva 2 radici, ovvero ii , ora, in ),2( iQ possiamo scrivere l’equazione
0 ix . essa è soddisfatta solo da i e non da i ed ha quindi il vantaggio, rispetto a quella
precedente di avere solo 1 soluzioni, ovvero solo i ..
Di conseguenza, il numero i potrà essere mandato da un isomorfismo, solo in sé stesso.
Vediamo la cosa in termini di permutazioni
Ecco la tabella degli automorfismi accettabili:
1 2 3 4 Permutazione
corrispondente
automorfismo manda In 4 2 4 2i 4 2 4 2i
1 )2,,1( 4i )2,,1( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i Id
2 )2,,1( 4i )2,,1( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i (13)
(nota: Evidenziamo in verde le radici che abbiamo individuato, ovvero che risultano fissate, ovvero
nessun isomorfismo le può muovere)
Aggiungiamo il numero “nuovo” 4 2 al campo base ),2( iQ .
Se inoltre aggiungiamo 4 2 a ),2( iQ otteniamo )2,()2,,2( 44 iQiQ .
Infatti se aggiungo 4 2 a Q ottengo anche il numero 2 visto che 2)2( 24
Se consideriamo come campo base 4 2,iQ dobbiamo considerare le equazioni a coefficienti in
4 2,iQ e vedere se possiamo scrivere un’equazione che abbia meno soluzioni di quelle che
avevamo in precedenza, in modo da ridurre il numero di automorfismi (l’obiettivo sarà arrivare ad
un solo automorfismo!).
L’innovazione fondamentale dell’essere in 4 2,iQ è che in questo campo le radici di 4
diventano fisse e non più interscambiabili come erano nel campo ),2( iQ . Quindi ponendo la
macchina mangiatessere in 4 2,iQ tutti i numeri razionali, le radici di 2 e le radici di -1 e le
radici di 4 rimangono fisse! Quindi tutto il campo 4 2,iQ rimane fisso!
Mentre nel campo 4 2,iQ l’equazione di grado più basso che potevamo scrivere per 4 2 era di
grado 2, ad esempio, 022 x che aveva 2 radici. Ora, in 4 2Q possiamo scrivere l’equazione
024 x . essa è soddisfatta da ;241 x ed ha il vantaggio, rispetto a quella precedente di avere
solo 1 soluzione, ovvero solo 4 2 e non più 2, come in precedenza.
Di conseguenza, il numero 4 2 potrà essere mandato da un isomorfismo, solo in sé stesso.
Vediamo la cosa in termini di permutazioni
Se vediamo la cosa in termini di permutazioni, possiamo dire che saranno accettabili solo le
permutazioni che mandano 1 in 1.
Elenchiamo gli automorfismi accettabili:
1 2 3 4 Permutazione
corrispondente
automorfismo manda In 4 2 4 2i 4 2 4 2i
1 )2,,1( 4i )2,,1( 4i 4 2 4 2i 4 2 4 2i Id
Un indice di ignoranza del campo di spezzamento
Le permutazioni, i “balletti”, delle radici possono essere viste come un indice di ignoranza del
campo di spezzamento. Quando i balletti delle radici sono molti, allora siamo molto ignoranti
riguardo al campo di spezzamento dell’equazione di partenza, viceversa quando essi sono pochi,
sono ignorante solo rispetto a pochi aspetti del campo di spezzamento e quando il balletto è solo il
balletto identità, allora posso dire di conoscere appieno il campo di spezzamento dell’equazione.
Diamo ora una visione “animalesca” dei numeri delle varie estensioni esaminate:
Il campo degli animali ed il contadino daltonico Abbiamo visto qualche riga fa che il gruppo di Galois di un’equazione contiene tute le permutazioni
che corrispondono all’azione degli isomorfismi consentiti sulle radici dell’equazione. Cerchiamo di
capire meglio i concetti di estensione, isomorfismo e permutazioni delle radici indotte dagli
isomorfismi, con un esempio “animalesco”.
Prendiamo l’equazione 014 x . Ed esplicitiamone le radici (che saranno numeri complessi):
Le quattro soluzioni dell’equazione sono:
i
i
i
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
1
Il guardiano del campo Q, Arturo (ve lo ricordate?) ha nel suo campo solo numeri razionali. Tali
numeri, sono tutti e soli quelli che Arturo riconosce. Potremmo immaginare ogni numero razionale
come un animale, per esempio una mucca, fatta più o meno così:
Se poi ci spostiamo nel campo 2Q potremmo vedere che si aggiungono due animali nuovi,
ovvero Dolly (la pecora grigia) e Delù (la pecora beige):
dimodoché gli animali della prima estensione risultano essere una mucca singola oppure legata ad
un’altra mucca con sopra una pecora (grigia o beige)
:
Se poi estendo ancora il campo 2Q introducendo +i e -i, si aggiungono due animali nuovi,
ovvero i grilli (Parloìo e Parlitù):
così, gli animali di quest’ultimo campo sono della forma seguente: una mucca eventualmente legata
ad una mucca con sopra una pecora, eventualmente legata ad una mucca con sopra un grillo,
eventualmente legata ad una mucca con sopra una pecora con sopra un grillo:
Parliamo ora di Isomorfismi (che vedremo come associazioni tra animali e numeri):
Il contadino daltonico e gli animali nuovi
Vediamo ora come si possono vedere gli isomorfismi delle estensioni di cui abbiamo parlato
qualche pagina indietro.
Quello che abbiamo visto prima vale per un contadino che riesca a distinguere le due pecore nuove
(l’una dall’altra) per il loro colore ed i due grilli nuovi (per il loro colore), ovvero il guardiano del
campo di spezzamento. Ma Arturo, il guardiano del campo Q, non riesce a distinguere il colore
degli animali nuovi.
Le pecore ed i grilli, visti da Arturo, apparirebbero così:
Arturo, che conosce la Matematica sa che una coppia di animali corrisponde a 2 e - 2 e l’altra a
+i e –i. Allora prende la sua macchina mangiatessere e scrive l’equazione 022 x e vede che
essa viene soddisfatta dalle pecore. Poi scrive l’equazione 012 x e vede che essa viene
soddisfatta dai grilli. Così capisce che le pecore sono le radici di 022 x ed i grilli sono le radici
di 012 x .
Però nessuna equazione a coefficienti in Q è soddisfatta da una pecora sì e dall’altra no. Questo
vuol dire che il povero Arturo non riesce a distinguere le due pecore! Potremmo dire con un
esempio, che egli non riesce a distinguerne il colore perché è daltonico! Sa che una corrisponde a
2 e l’altra a - 2 ma non sa dire quale! La stessa cosa vale per +i e –i.
Così Arturo, se facesse un’associazione tra pecore e numeri dell’insieme 2,2 e tra grilli e
numeri dell’insieme ii , avrebbe le seguenti, scelte:
1) pecora grigia 2 e pecora beige - 2 (corrisponde all’isomorfismo 1 )
2) pecora grigia - 2 e pecora beige + 2 (corrisponde all’isomorfismo 2 )
e per i grilli:
1) grillo verde +i e grillo giallo -i (corrisponde all’isomorfismo 1 )
2) grillo verde -i e grillo giallo +i (corrisponde all’isomorfismo 2 )
Ecco adesso tutti gli isomorfismi:
La forma “animalesca” delle quattro radici dell’equazione: Abbiamo visto qualche riga in precedenza che, data l’equazione 014 x possiamo scriverne le
radici nella maniera seguente:
i
i
i
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
1
andiamo ora a raffigurare, in maniera animalesca, la prima radice, ovvero 1 :
Se facciamo operare l’isomorfismo che scambia la pecora grigia con quella beige allora otterremo la
seguente compagnia di animali, che corrisponde proprio alla soluzione 3 !
Ecco che abbiamo capito con un esempio “animalesco” che gli isomorfismi generano delle
permutazioni tra le soluzioni.
Inoltre, se Arturo volesse scegliere la compagnia di animali che possa rappresentare la prima delle
radici di 014 x ovvero i2
2
2
21 egli potrebbe rappresentarla così:
Arturo ha scelto la solita pecora della quale non conosce il valore numerico.
I casi che possono verificarsi sono i seguenti:
se Arturo ha scelto la pecora che vale 2 ed il grillo che vale i allora quella è davvero 1
se Arturo ha scelto la pecora che vale 2 ed ha scelto il grillo che vale -i allora quella è 4
se Arturo ha scelto la pecora che vale - 2 ed il grillo che vale i allora quella è 3
se Arturo ha scelto la pecora che vale - 2 ed il grillo che vale -i allora quella è 2
Ma questo Arturo non può saperlo!
Gli occhiali scopripecora Se Arturo salta la staccionata e va nel campo )2(Q allora lì potrebbe scrivere le equazioni
utilizzando anche il termine 2 . E allora se scrivesse l’equazione x- 2 =0 essa verrebbe
soddisfatta da una pecora mentre se scrivesse x + 2 =0 essa verrebbe soddisfatta dall’altra pecora.
Ecco che in quel campo Arturo potrebbe fare una distinzione tra le due pecore. E’ un po’ come se
Arturo avesse avuto in dono degli occhiali speciali in grado di permettergli di distinguere i colori
delle due pecore.
Quali numeri introdurre in un campo?
Nell’obiettivo di arrivare al campo di spezzamento di un’equazione e quindi poterne scrivere le
soluzioni per radicali, siamo di fronte ad una questione importante. Una volta che abbiamo imparato
come si fanno le estensioni dei campi dobbiamo capire quali estensioni andremo a fare per
realizzare il nostro obiettivo. Si profila davanti ai nostri occhi quindi una importante..
Domanda: Quali numeri andremo ad introdurre nel campo di partenza per poter arrivare
al campo di spezzamento di un polinomio?
Beh, possiamo introdurre tutti gli elementi che vogliamo nel campo di partenza ma se non vogliamo
complicarci la vita con estensioni inutili dobbiamo introdurre i numeri giusti.
L’idea di base è che i numeri che noi introduciamo nel campo facciano presa sui movimenti
delle radici riducendoli significativamente. Infatti quando avremo bloccato le radici ed esse non
potranno più muoversi, allora avremo saremo in grado di identificarle ad una ad una ed avremo
trovato il campo di spezzamento del polinomio di partenza.
Esempio:
Se voglio trovare le soluzioni dell’equazione 024 x , come abbiamo visto, le relative 4
soluzioni, che vivono nel campo di spezzamento dell’equazione, possono dei balletti, ovvero tutti i
movimenti che non vengono bloccati da nessuna equazione a coefficienti in Q.
Se aggiungo a Q il numero 3 otteniamo il campo 3Q ma nessuna delle equazioni nuove,
ovvero quelle che utilizzino anche 3 oltre che a tutti i numeri razionali, bloccano i balletti che
fanno le radici dell’equazione. Quindi i balletti che facevano prima nel campo Q sono gli stessi che
fanno ora nel campo 3Q .
Quindi la domanda sorge spontanea: “Ma che cosa l’ho aggiunta a fare la radice di tre?” Non serve
proprio a niente, visto che il nostro obiettivo è fermare i balletti delle radici.
Un altro modo per calcolare il Gruppo di Galois: le condizioni sulle radici
Dalle equazioni a coefficienti in un campo al Gruppo di Galois:
Prima abbiamo visto il ragionamento che, dalla conoscenza degli isomorfismi ci ha portato a
scrivere le permutazioni delle radici. Adesso vediamo come dalle equazioni a coefficienti in un
campo si possa determinare il gruppo di Galois di un’equazione
Calcoliamo il gruppo di Galois con il metodo degli automorfismi del campo di spezzamento
Se osservo le radici, capisco che i numeri da aggiungere a Q per arrivare al campo di spezzamento
dell’equazione 014 x sono i e 2 . Se voglio costruire un automorfismo di ),2( iQ devo
scegliere dove mandare i e 2 . Le possibili scelte per i sono le radici di 012 x ovvero {+i, -i}
e le possibili scelte per 2 sono le radici di 022 x ovvero 2,2
quindi gli automorfismi saranno i seguenti:
automorfismo manda in
id1 )2,(i )2,(i
2 )2,(i )2,( i
3 )2,(i )2,( i
4 )2,( 4i )2,( i
1 2 3 4 Permutazione
corrispondente
automorfismo manda In Viene
mandata
in
Viene
mandata
in
Viene
mandata
in
Viene
mandata
in
1 )2,(i )2,(i 1 2 3 4 Id
2 )2,(i )2,( i 4 3 2 1 (14)(23)
3 )2,(i )2,( i 2 1 4 3 (12)(34)
4 )2,( 4i )2,( i 3 4 1 2 (13)(24)
Calcoliamo ora il campo di spezzamento con il metodo delle condizioni sulle radici.
Immaginiamo la seguente scena: Arturo chiede a Falco (il guardiano del campo di spezzamento) se
le radici dell’equazione soddisfano alcune equazioni che lui gli propone.
Ecco la loro conversazione:
A: Esistono tesserine la cui somma fa 0?
F: 1 + 3 oppure 2 + 4
A: Esistono tesserine il cui prodotto fa 1?
F: 1 * 4 oppure 2 * 3
A: etc. etc.
Arturo quindi scrive le equazioni a coefficienti in Q che vengano soddisfatte dalle 4 radici (delle
quali non conosce il valore)
(*)
1
1
0
0
32
41
42
31
[ve ne sarebbero molte altre che Arturo potrebbe chiedere e riuscire a scoprire , ad esempio:
;2)(;2)(;1 232
22121 etc. etc. ma nessuna di queste ridurrebbe le
permutazioni più di quanto non lo facciano quelle incluse nel sistema (*)]
Arturo scopre il gruppo di Galois dell’equazione 014 x
Andando a passare al setaccio quali delle permutazioni di 4S , applicate sulle soluzioni
dell’equazione, fanno sì che il sistema (*) rimanga valido, Arturo scopre il gruppo di Galois
dell’equazione di partenza.
Vediamo qualche permutazione che Arturo esamina:
Se applica la permutazione (12) allora il sistema (*) diviene
1
0
0
42
41
32
che, non è più vero. Quindi Arturo scarta la permutazione (12)
Se applica la permutazione (13)(24) allora il sistema (*) diviene
1
1
0
0
14
23
42
13
che equivale a quello di partenza quindi Arturo accetta la permutazione (13) (24)
Quindi, dopo aver setacciato accuratamente quali tra le permutazioni di 4S rispettassero le equazioni
del sistema (*), Arturo scopre che il Gruppo di Galois dell’equazione è il seguente:
G={ id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }.
Ora però Arturo si prende un attimo per riflettere e si fa la seguente importante domanda: “sono in
grado di distinguere una radice dalle altre?” ovvero “posseggo delle equazioni che sono
soddisfatte singolarmente da una singola radice mentre dalle altre no?” Questo gli potrebbe
permettere di contraddistinguere univocamente una radice dalle altre. Ma allo stato attuale delle
cose Arturo non dispone di tali equazioni.
Osservazione. Il gruppo di Galois dell’equazione è composto da tutte quelle permutazioni tra le
radici che lasciano vere le equazioni a coefficienti in Q che riguardano le radici, ovvero tutte le
equazioni che Arturo è in grado di scrivere con la macchina mangiatessere posizionata nel campo
Q.
Estendiamo il campo Q
Se aggiungiamo 2 a Q allora Arturo può spostarsi nel campo )2(Q . Quando Arturo arriva in
)2(Q e mette lì la macchina mangiatessere il fatto cruciale che cambia è che qui tutti i numeri di
)2(Q soddisfano equazioni di primo grado e quindi sono individuabili univocamente e quindi non
possono partecipare a balletti di nessun tipo!
In )2(Q Arturo potrebbe scomporre l’equazione di partenza come segue:
)12()12(1 224 xxxxx
Ecco la conversazione successiva tra Arturo e Falco:
A: Quali radici soddisfano 0122 xx ?
F: 1 e 4
A: Quali radici soddisfano 0122 xx ?
F: 2 e 3
A questo punto Arturo può aggiornare le equazioni, questa volta a coefficienti in 2Q , che
vengano soddisfatte dalle 4 radici dell’equazione:
(**)
012
012
1
0
0
2
2
2
1
2
1
41
42
31
Quindi Arturo scopre che:
se 1 si scambia con 2 e 3 con 4 allora la 4° equazione del sistema (**) con torna,
quindi scarta la permutazione (12)(34)
se 1 si scambia con 3 e 2 con 4 allora la 5° equazione del sistema (**) con torna,
quindi scarta la permutazione (13)(24)
Quindi le permutazioni che rimangono sono solo quelle seguenti:
G={id, (14)(23)}.
Quindi siamo passati da 4 permutazioni a 2, il che è un bel salto in avanti nella conoscenza delle
soluzioni.
Ora Arturo si fa la solita importante domanda: “sono in grado di distinguere una radice dalle
altre?” una radice dalle altre. Allo stato attuale delle cose Arturo non dispone di tali equazioni.
Invece quello che Arturo può osservare che, messe sul tavolino le quattro radici, egli
può scambiare la prima con la quarta e la seconda con la terza
e la macchina mangiatessere darebbe sempre gli stessi risultati!
Osservazione importante. Il gruppo di GG 1 , ( G è il gruppo di Galois) è composto da tutte
quelle permutazioni tra le radici che lasciano vere le equazioni a coefficienti in )2(Q che
riguardano le radici, ovvero tutte le equazioni che Arturo è in grado di scrivere con la macchina
mangiatessere posizionata nel campo )2(Q .
Quindi la morale è che se riesco ad abbassare il grado del polinomio che viene soddisfatto da
una radice, allora limito i suoi possibili balletti.
Di conseguenza, ci converrà estendere il campo Q con dei numeri che ci permettono di
abbassare il grado del polinomio di partenza, ovvero di spezzarlo in mattoncini più piccoli.
Esempio 2
Immaginiamo di avere il polinomio 023 x . Poiché non riesco a scrivere nessuna equazione di
grado più piccolo di 3 che viene soddisfatta dalle radici del polinomio, devo dedurre che ogni radice
può essere permutata con ognuna delle altre e quindi il balletto delle permutazioni sarà tutto 3S . Se
però aggiungo 3 2 a Q allora posso scomporre il polinomio come segue:
2)]([)()2(2 33 xqgradodovexqxx
Adesso che abbiamo fissato una radice, ovvero sappiano che 31 2 i balletti che potranno fare le
altre radici, saranno limitati al solo 2S e visto che 3S ha 6 elementi ed 2S ne ha solo 2, abbiamo
ridotto notevolmente i balletti tra le radici.
Domanda fondamentale: Dato un polinomio p(x) a coefficienti in un campo K è sempre possibile aggiungere al campo
K opportuni radicali che ci conducano al campo di spezzamento e, di conseguenza, ad avere
un solo automorfismo possibile?
A questa domanda diede risposta il ventenne matematico Evariste Galois con il mirabile
ragionamento [scritto nell’ultima sua notte di vita, prima di morire, l’indomani, in duello], che
riportiamo di seguito, in maniera (ovviamente) semplificata:
Il procedimento di Galois – (introduzione) Inizialmente considero tutti i possibili automorfismi del campo di spezzamento e siano
kii ,2,1 ovvero tutti gli automorfismi che rispettano le equazioni a coefficienti in Q,
(il campo di partenza) ovvero che lascino fissi i numeri razionali. Infatti se Qa allora, visto che
gli automorfismi di devono rispettare le equazioni a coefficienti in Q, allora dovranno rispettare
tutte le equazioni del tipo Qaax ,0 . detto in altre parole, gli automorfismi di devono
lasciare invariati tutti i numeri razionali.
Il gruppo di Galois di un’equazione
Ogni automorfismo del campo di spezzamento opera una permutazione delle radici dell’equazione
di partenza. Il gruppo di tutte le permutazioni delle radici dell’equazione di partenza che risultano
ammissibili viene detto gruppo di Galois dell’equazione di partenza.
Immaginiamo di essere partiti dal campo Q e aver scritto un’equazione a coefficienti in Q, ovvero
0)( xp . Abbiamo calcolato poi che il campo di spezzamento di 0)( xp è ),( Q dove
abbiamo fatto sempre estensioni normali.
1. L’insieme delle permutazioni sulle radici indotte dagli automorfismi possibili di
),( Q formano il gruppo di Galois dell’equazione di partenza. Essi sono tutti gli
automorfismi di ),( Q che lasciano invariati i numeri di Q.
2. Possiamo però trovare un sottogruppo di ovvero 1 che contiene tutti gli
automorfismi di ),( Q che lasciano invariati i numeri di )(Q
3. Possiamo poi trovare un sottogruppo di ovvero 12 che contiene tutti gli
automorfismi di ),( Q che lasciano invariati i numeri di ),( Q ovvero la sola identità.
Possiamo quindi dire che se considero gli automorfismi del campo di spezzamento che lasciano
fisso Q, ottengo il Gruppo di Galois dell’equazione. Se poi vado man mano a considerare solo gli
automorfismi che lasciano fissi i numeri delle estensioni che man mano vado a costruire, otterrò
dei sottogruppi incapsulati uno nell’altro, fino ad arrivare al sottogruppo banale composto dalla
sola identità.
Ritorniamo alla teoria
Quando si va ad estendere il campo Q con un elemento Q , e quindi si ottiene )(Q si
mantengono solo gli automorfismi che lasciano fissi tutti gli elementi di )(Q .
Visto che )(QQ le equazioni a coefficienti in )(Q saranno di più di quelle che si potevano
scegliere prima così, solo alcuni automorfismi di potranno essere mantenuti, mentre altri
dovranno essere abbandonati. Si forma così il sottogruppo 1 di .
Il procedimento di Galois - (due risultati fondamentali)
Ricordiamo che una funzione QQ: del generico campo Q in sé stesso si dice isomorfismo (in
sé stesso) o anche automorfismo se rispetta le seguenti proprietà:
Qbacoppiaogniperbaba
Qbacoppiaogniperbaba
,)()()()2
,)()()()1
Risultato fondamentale 1: il sottogruppo 1 di è un sottogruppo normale.
Vogliamo ora provare che, se 11
1 e
Innanzitutto possiamo notare che sia che lasciano invariati gli elementi di Q, perché
appartengono entrambe a .
La tesi è provata se mostriamo che 1 lascia invariati gli elementi nuovi che vengono introdotti
nel campo, all’introduzione di Q .
Poiché QbQabaQ ,:)( [trattiamo il caso più semplice, quello in cui soddisfi un
polinomio di grado 2] un automorfismo generico agisce in questo modo:
)()()()()()()( babababa . quindi )(1
Ovvero, dato un automorfismo generico generico , esso apparterrà a 1 se e solo se lascia
fisso Q .
Se scelgo vi sono due possibilità:
)()2
)()1
1
1
ovvero
ovvero
Esaminiamo il caso 1)
Quindi l’azione di 1 su Q sarà la seguente: 1
Visto che Q viene lasciato fisso, in questo primo caso abbiamo provato che 11
Esaminiamo il caso 2)
Supponiamo che 00)( ba
In questo caso l’azione di 1 su Q sarà la seguente:
100000000 )()()()()( babababa
Quindi, visto che Q viene lasciato fisso, anche in questo secondo caso abbiamo provato che
11 . quindi abbiamo provato la tesi, ovvero che 1
11 e .
Questo risultato sugli automorfismi si legge, dal punto di vista dei gruppi, dicendo che il
sottogruppo 1 di è un sottogruppo normale.
Risultato fondamentale 2: il sottogruppo 1 di contiene necessariamente i commutatori di .
Sia un automorfismo che sia un commutatore, ovvero che si possa scrivere come
,11 chetale . Per provare che 1 ci basta vedere che lascia fisso
Q .
Esaminiamo dunque l’azione di 11 su Q , ovvero:
Prima applico : e
101001100000000 )()()()()( bbababababababa
Poi applico :11 e
11 )()( 1110100 babbaba
Quindi, visto che Q viene lasciato fisso da 11 abbiamo provato che
111 . quindi abbiamo provato la tesi, ovvero che se esiste un commutatore
1 .
Riassumiamo i 2 risultati fondamentale della teoria di Galois
Quando si va ad estendere il campo Q con un elemento Q mediante un estensione normale
)(Q solo alcuni automorfismi di potranno essere mantenuti, mentre altri dovranno essere
abbandonati. Si forma così il sottogruppo 1 di .
Galois ha dimostrato che 1 è un sottogruppo
1) normale e
2) che contiene tutti i commutatori di
Ricordate la domanda che ci eravamo posti qualche riga fa?
“Dato un polinomio p(x) è sempre possibile aggiungere dei radicali in modo da arrivare al suo
campo di spezzamento?” La risposta che ci da Galois è la seguente:
Se si può arrivare al campo di spezzamento di una certa equazione, partendo dal campo Q,
muovendosi attraverso estensioni, allora esse possono essere tutte normali. Ad ogni estensione che
facciamo, il sottogruppo degli automorfismi che si viene a generare è 1) normale e 2) contiene
tutti i commutatori del gruppo nel quale si trova.
Quindi capiamo che la risposta alla domanda dipende dal gruppo di Galois dell’equazione di
partenza. La risposta sarà positiva se il gruppo di Galois dell’equazione ammette una catena di
gruppi, uno contenuto nell’altro
GGGGid 123
tali che
ogni gruppo iG è normale rispetto al gruppo che sta subito alla sua destra
ogni gruppo iG contiene tutti i commutatori del gruppo che sta subito alla sua destra
Se ci ricordiamo, questa è proprio la definizione di gruppo risolubile!
Quindi possiamo riassumere la risposta che dà Galois alla domanda iniziale:
Un’equazione è risolubile per radicali solo se il relativo gruppo di Galois è risolubile.
Torniamo a parlare dei gradi delle nostre equazioni
Nella precedente scheda abbiamo mostrato che 4321 ,,, SSSS sono tutti gruppi risolubili. Infatti
esistono formule risolutive per le equazioni di grado 1, di grado 2, di grado 3, di grado 4.
Il risultato finale: Il gruppo 5S non è risolubile.
Mostriamo che il gruppo 5S non è risolubile. Infatti in 5S tutti i 3-cicli sono commutatori (vedi
esercizio scheda 2). 5A è un sottogruppo normale (l’unico non banale di 5S ) e contiene tutti i 3-
cicli, che sono permutazioni pari. Quindi il primo passo della catena di Galois si può fare
55 SA
Possiamo dimostrare un semplice risultato: un sottogruppo che contenga tutti i 3-cicli contiene
tutto 5A
Dobbiamo quindi provare che ogni elemento di 5A è prodotto di 3-cicli.
Ogni elemento di 5A , per definizione, prodotto di un numero pari di trasposizioni. Quindi le
permutazioni che sono presenti in 5A possono essere delle seguenti forme:
id. (prodotto di 0 permutazioni pari)
(ab)(cd) (prodotto di due scambi che non hanno elementi in comune)
(ab)(bc) (prodotto di due scambi che hanno un elemento in comune)
(ab)(bc)(cd)(de) (prodotto di 4 scambi che non hanno 1 elemento in comune per
coppia)
Esaminiamo, caso per caso se ogni gruppo di permutazioni può essere ottenuto come prodotto di 3-
cicli.
id=(abc)(abc)(abc) e siccome (abc) è un 3-ciclo, moltiplicandolo per sé stesso 3 volte potrò
ottenere l’identità;
Se i due scambi sono disgiunti )();( cdab il loro prodotto sarà ))(( cdab ma
tale permutazione la ottengo anche come prodotto di 3-cicli ovvero
))(()();( cdabbcdabc
Se le due trasposizioni hanno un simbolo in comune ad esempio )();( bcab allora
)(abc che è già un 3-ciclo.
Se abbiamo la seguente situazione: ),();(),();( 2321 decdbcab allora
),()())(())((4321 cdeabcdecdbcab ovvero scopro che tale permutazione è un
prodotto di 3-cicli.
Quindi, riassumendo, se scegliamo il sottoinsieme H di 5A che contiene tutti i 3-cicli di 5A e ci
mettiamo a moltiplicare tra loro gli elementi di H in tutti i possibili modi, otterremo l’insieme 5A .
Questo dimostra che ogni sottogruppo di 5A che contiene tutti i commutatori, ovvero tutti i 3-cicli,
deve essere per forza tutto 5A .
Quindi non sarà possibile, mediante una catena di sottogruppi, partire da 5S e giungere al
sottogruppo banale, ovvero id . Quindi 5S non è un gruppo risolubile.
Di conseguenza, per far vedere che esistono equazioni di quinto grado non risolubili per radicali,
basterà trovare un’equazione di quinto grado particolare (per esempio una può essere
02165 xx ) il cui gruppo di Galois coincide con 5S .
Osservazione conclusiva (numeri algebrici non esprimibili mediante radicali)
Se vogliamo trovare le radici di 02165 xx , ci accorgiamo, come abbiamo visto prima, che il
suo gruppo di Galois è tutto 5S . La teoria dei gruppi ci dice che, partendo dal gruppo 5S , l’unico
sottogruppo normale che contenga i commutatori di 5S è 5A .
Ma arrivati in 5A abbiamo ricevuto una brutta notizia: i commutatori di 5A sono i 3-cicli e
qualunque sottogruppo di 5A che contenga tutti i 3-cicli è di nuovo tutto 5A .
Questo fatto, visto in termini di balletti delle radici dell’equazione ci dice un fatto importantissimo:
possiamo aggiungere al nostro campo tutti i radicali che ci piacciono ma i 60 balletti che fanno
le radici non verranno mai a diminuire.
Ciò ci fa capire un’altra cosa importante: se qualsiasi radicale non influisce, non fa presa, sulle
soluzioni dell’equazione, diminuendone i possibili balletti, allora si può dedurre che le soluzioni
dell’equazione, che sono quindi numeri algebrici (ovvero sono radici di un polinomio) non hanno
relazione con i radicali, sono numeri di un’altra sorta. Su di loro i radicali non fanno presa.
Ecco che abbiamo scoperto una cosa importante: esistono numeri algebrici che non si possono
scrivere mediante le operazioni elementari ed i radicali. Siccome le radici di 02165 xx sono
di questa forma, allora non riusciremo a scriverne un’espressione contenente i radicali e le
operazioni che conosciamo.
Fine del nostro viaggio
