Contoh Soal Eksplorasi

Kita dapat menuliskan 15 sebagai hasil tambah dari beberapa bilangan asli yang berurutan dalam

tiga cara yaitu: 15 = 7 + 8, 15 = 4 + 5 + 6, dan 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Temukan sebanyak

mungkin cara menulis 84 sebagai hasil tambah dari beberapa bilangan asli yang berurutan.

Berhentilah membaca untuk beberapa saat, cobalah untuk memecahkan sendiri soal atau masalah

di atas lebih dahulu. Jawaban dan catatan untuk soal di atas di antaranya adalah:

a. Perhatikan contoh yang ada, yaitu:

15 = 7 + 8 ….. (A)

15 = 4 + 5 + 6 ….. (B)

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ….. (C)

Berdasar contoh dimaksud; diharapkan para siswa akan mulai

berpikir tentang adanya pola (keteraturan).

b. Beberapa hal menarik yang menunjukkan adanya pola (keteraturan) pada contoh di atas,

di antaranya adalah:

Pada A, 15 = 2 × 7½ yang menunjukkan adanya 2 bilangan pada hasil penjumlahannya

(yaitu bilangan 7 dan 8), serta 7,5 merupakan bilangan di antara 7 dam 8 tersebut.

Pada B, 15 = 3 × 5 yang menunjukkan adanya 3 bilangan pada hasil penjumlahannya

(yaitu 4, 5, dan 6), serta 5 yang merupakan bilangan yang di tengah).

Pada C, 15 = 5 × 3 yang menunjukkan adanya 5 bilangan pada hasil penjumlahannya

(dimulai dari 1 sampai dengan 5), serta 3 yang merupakan bilangan yang di tengah).

c. Beberapa hal menarik di atas dapat dinyatakan dengan kata-kata sebagi berikut.

Pada penjumlahan tiga bilangan asli berurutan (lihat B), hasilnya adalah tiga kali

bilangan yang di tengah. Perhatikan bahwa 3 merupakan faktor 15.

Pada penjumlahan lima bilangan asli berurutan (lihat C), hasilnya adalah lima kali

bilangan yang di tengah, dan seterusnya. Perhatikan juga bahwa 3 merupakan faktor 15.

Pada penjumlahan dua bilangan asli berurutan (lihat A), hasilnya adalah dua kali bilangan

yang di tengah antara 7 dan 8 (yaitu 2 × 7,5). Perhatikan juga bahwa 2 bukan faktor 15,

namun 1 adalah faktor dari 15.

d. Dengan mengingat bahwa 84 = 2 × 2 × 3 × 7 dan berdasar juga pada kesimpulan di atas,

akan didapat hal-hal berikut.

Untuk banyaknya bilangan yang merupakan bilangan ganjil akan didapat penyelesaian

berikut.

84 = 27 + 28 + 29 (banyak bilangan 3; dan 84 : 3 = 28)

84 = 9 +10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 (banyak bilangan 7; dan 84 : 7 = 12)

Ingat bahwa 3, 7, dan 21 merupakan faktor dari 84 = 2 × 2 × 3 × 7

Untuk banyak bilangan yang merupakan bilangan genap akan didapat penyelesaian

berikut.

84 =8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 (banyak bilangan 8; dan bilangan di antara dua bilangan

yang di tengah adalah 10,5.

Jadi, hanya ada tiga penyelesaian untuk soal di atas. Contoh penyelesaian ini menunjukkan

bahwa penyelesaian soal di atas tidak membutuhkan rumus-rumus tentang Barisan dan Deret

Aritmetika yang baru akan dipelajari siswa di SMP; akan tetapi penyelesaiannya hanya

menggunakan keteraturan atau pola yang ada pada penjumlahan itu sendiri. Hal ini juga

membantah anggapan bahwa penyelesaian soal-soal OSN SD/MI harus menggunakan rumus-

rumus di SMP/MTs.