Control OnOff Descripcion General PT326

UNET, Tito González, [email protected], 23 Jun 2011, Descripción Módulo PT326. 1 / 14

Universidad Nacional Experimental del Táchira.Departamento de Ingeniería Electrónica.Núcleo de Instrumentación y Control.Redactor: Prof. Tito González.Revisores: Prof. José Luis Rodríguez, Prof. Luis Alejandro Mora.San Cristóbal, Jueves 23 de Junio del 2011.

PRACTICA: CONTROL DE DOS POSICIONES

Descripción del Modulo PT326, marca Feedback

OBJETIVO GENERAL.

Establecer los fundamentos matemáticos que rigen el comportamiento del intercambio de calor entre larejilla que conforma la resistencia calefactora y el flujo másico de aire que ingresa al sistema impulsado por laturbina del módulo, Así como también, una descripción general tanto del panel frontal como del panel lateral aefectos de realizar la correcta identificación y operación para el desarrollo de las prácticas de laboratorio.

En cuanto al aspecto de fundamentos, a objeto de que el estudiante tenga noción del esfuerzo que implicael modelado matemático, se determina primeramente la ecuación diferencial (linealizada) que describe el procesode intercambio calórico, posteriormente se aplica Transformación Directa de Laplace para establecer la funciónde transferencia, de la cual para determinar sus coeficientes se excita el modelo con una señal escalón no unitaria,para finalmente comprobar los resultados por medio del teorema del valor final.

CONTENIDO.

1. Entrenador de procesos PT326, FEEDBACK.1.1. Introducción.1.2. Descripción general del proceso.1.3. Modelado matemático del módulo.1.4. Respuesta del sistema ante una entrada del tipo escalón.1.5.Teorema del valor final.

2. Cuestionario de auto estudio.

3. Identificación de las partes del panel frontal

4. Identificación de las partes del panel lateral.


1. Entrenador de procesos PT326, FEEDBACK.

1.1. Introducción.

El entrenador de procesos PT326 es un equipo cuyo objetivo de control es mantener la temperatura delaire a un valor deseado, o asignado por el operador, meta que logra fundamentalmente por medio de dosmódulos, el primero de ellos es un intercambiador de calor por resistencia calefactora, y el segundo es uncontrolador para cuando el sistema se encuentra en lazo cerrado.

El módulo intercambiador de calor como tal y a pesar de sus sencillez modela muy acertadamentesituaciones comunes de la industria ya que posee las características básicas de un proceso real de gran tamaño,es decir, retardos en la respuesta del sistema en función de:

• Retraso de Transporte, por efecto del tiempo muerto del sistema, introducido fundamentalmente por laseparación entre el elemento sensor y la resistencia calefactora.

• Retraso de Transferencia, por la constante de tiempo del sistema en calentar el flujo de aire entrante.

En cuanto al módulo controlador, si bien es del tipo P únicamente, la acción de control sobre el elementofinal de control puede efectuarse en modo de control continuo, o en modo de control de dos posiciones (On -Off), en cuyo caso es posible controlar tanto la potencia eléctrica aplicada como el nivel de histéresis o bandadiferencial.

Motivado a que el elemento sensor es una resistencia del tipo termistor de elevada sensibilidad, bajalatencia, y cuyo valor decrece con la temperatura (coeficiente negativo), se está utilizando por tanto un elementocaptador de la variable controlada con una constante de tiempo muy pequeña de manera tal que el equipo seencuentra diseñado para ser utilizado con un osciloscopio, como elemento graficador del comportamiento delproceso, lo cual no impide su conexión a un sistema de adquisición de datos para análisis de comportamientoy graficación por computador.

El proceso como tal puede ser resumido en: El calentamiento del aire que fluye por el tubo por medio dela transferencia de energía térmica de la resistencia al aire, siendo el proposito del lazo de control el de medirla temperatura del aire, compararlo con el valor de referencia establecido por el operador y en función de ladiferencia o señal de error, generar la acción de control necesaria que en este caso será la cantidad de potenciaeléctrica que se aplicará al elemento corrector o elemento final de control.

1.2. Descripción general del proceso.

Como una descripción general del funcionamiento del equipo, se debe indicar que el aire es tomado dela atmósfera a temperatura ambiente por un soplador o Turbina centrifuga en la cual es posible ajustar el caudalo masa de aire por medio de una ventana de “estrangulación”, vease las Figuras 04 y 05.

El flujo de aire a la salida de la turbina se ve obligado a pasar por una maya de alambre que es laresistencia calefactora, elemento final de control, que eleva su temperatura para posteriormente atravesar el tubode plástico donde se ubica un elemento captador o sensor, donde las variaciones en su valor de resistencia porefecto de la temperatura del aire es convertida en una variación de voltaje por medio de un circuito puente deWheastone, tensión eléctrica disponible en el terminal identificado como Y en el panel frontal, para finalmentedescargar este flujo de aire caliente a la atmósfera. Es de hacerse notar que al realizar la conexión del terminal


Y con el terminal X en el panel frontal se esta realizando la realimentación al cerrar el lazo de control

El valor de temperatura deseado, de operación, o referencia puede ser ajustado por medio de la perillaidentificada como Referencia, valor al cual se le pueden adicionar perturbaciones por medio de los elementosidentificados como Perturbación.

Si lo que se desea es un cambio del tipo escalón, se puede lograr por medio del interruptor identificadocomo Perturbación Interna al ubicarlo en la posición que enciende el indicador. Por otra parte, si lo que se deseaes realizar un análisis de respuesta en frecuencia del módulo se puede conectar un generador de señales alterminal identificado como Perturbación Externa.

En cualquier caso, al encontrarse el sistema en lazo cerrado es posible observar el comportamiento dela señal de error que se suministra al controlador en el terminal B del panel frontal.

Si el controlador, Control Tipo, seleccionado es el Interno, se trabaja con el Controlador P del modulode manera tal que la señal de error modificada por el valor de ganancia, % Banda Proporcional, puede seraplicada al circuito de potencia de la resistencia calefactora, según el modo de control seleccionado, ControlModo, para la acción de control.

Si el controlador, Control Tipo, seleccionado es el Externo, el controlador P del modulo queda inactivode manera tal que la señal de error en el punto B del panel frontal puede ser utilizada por un controlador externode cualquier tipo o tecnología cuya salida resultante, señal de error modificada en función de los parámetros decontrol, puede ser introducida al módulo por medio del terminal A del panel frontal para ser aplicada al circuitode potencia de la resistencia calefactora, según el modo de control seleccionado, Control Modo, para la acciónde control.

Para lo anteriormente planteado, la señal presente en el punto A del panel frontal, independientementede su fuente, puede ser aplicada directamente al circuito de potencia de la resistencia calefactora si el modo decontrol seleccionado es el Continuo. Por otra parte, si el modo de control seleccionado es el On - Off, la señalpresente en el punto A se utiliza para activar la conmutación del controlador de dos posiciones con laparticularidad de que en este modo de control es posible, por una parte, controlar el nivel de Potencia aplicadoal elemento final de control, y por la otra, controlar los valores de transición de conmutación según el nivel dehistéresis, Solapamiento.

Para finalizar, la señal de acción de control suministrada al circuito de potencia de la resistenciacalefactora puede ser observada en el terminal C o Monitor del panel frontal.

1.3. Modelado matemático del módulo.

El principio físico que gobierna o rige el comportamiento del proceso térmico en el módulo PT326 es elbalance de energía (E), relación que se puede expresar de la siguiente manera:

donde para el caso del módulo PT326, la energía se refiere a la cantidad de calor que manipula el sistema, demanera tal que la expresión anterior se puede enunciar como se indica en la ecuación (2):

E E EAcumula Entra Sale= − (1)

( ) ( ) ( )q q q q q V U ta i o l C= + − + = ⋅ ⋅ρ (2)


donde:• es el calor acumulado dentro del volumen de control.qa• es el calor suministrado por la resistencia calefactora al volumen de control.q• es el calor ambiental que ingresa en el volumen de control.qi

• es el calor que sale del volumen de control.qo

• es el calor perdido o cedido al ambiente por el volumen de control a causa de la radiación y laqlconducción.

• es la densidad del aire que se encuentra dentro del volumen de control..ρ• es el valor, fijo, del volumen de control.VC

• es la energía interna del sistema.( )U t

La Figura 01 muestra graficamente lo anteriormente establecido.

Observandose la figura 01 se puede establecer que el sistema es dinámico, es decir, hay funciones detiempo ya que existe un flujo másico de aire que entra y sale del volumen de control, sin embargo, existe unaacumulación de calor en el mismo que es la causa principal del incremento de la temperatura del aire. Asumiendoahora que la distribución de temperatura es uniforme dentro del volumen de control, la tasa de acumulación decalor viene dada por la siguiente expresión:

donde:• es la energía que entra al volumen de control, entalpía de entrada.( )h ti

• es el flujo másico de aire que entra al volumen de control, .( )dm t

dti ( )&m ti

• es la energía que sale del volumen de control, entalpía de salida.( )h to

• es el flujo másico de aire que sale del volumen de control, .( )dm t

dto ( )&m to

Figura 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t h t

dmdt

h tdmdt

q t VdU t

tii

oo

l C+ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ρ (3)


Si ahora se considera que las paredes del ducto conductor de aire son adiabáticas, la ecuación (3) puedeser expresada de la siguiente manera:

Expresandose ahora la entalpia, o las energías, como el producto de la capacidad calórica del aire por latemperatura, la ecuación (4) puede ser expresada como:

donde:• es la capacidad calórica, calor específico, del aire a presión constante.CP

• es la temperatura del aire que entra al volumen de control.( )T ti

• es la temperatura del aire que sale del volumen de control.( )T to

• es la capacidad calórica, calor específico, del aire a volumen constante.CV

• es la temperatura del aire que se encuentra dentro del volumen de control.TVC

Si ahora se realizan las siguientes consideraciones a objeto de simplificar lo expresado en la ecuación (5):

• Que la capacidad calórica del aire a presión constante es la misma a volumen constante, es decir:C C CP V= =

• Que la temperatura del volumen de control es la misma temperatura de salida, es decir:( ) ( )T t T tV oC

=• Que el flujo másico de entrada es el mismo a la salida y es constante, es decir:

( ) ( )& & &m t m t mi o= =

se obtiene como resultado la ecuación (6):

Hasta el momento, hay un termino que ha llegado a la ecuación (6) sin ser considerado en su significado.La cantidad de calor que se transfiere desde la resistencia calefactora a la masa de aire que se encuentra dentrodel volumen de control, .( )q t

Considerando que la velocidad de la masa de aire es pequeña, se puede asumir que la eficiencia en latransferencia de calor del elemento calefactor al aire que lo circunda es del 100% (toda la potencia eléctrica setransfiere, condición ideal), con lo cual se puede enunciar la siguiente ecuación:

que como se puede observar de los términos de la derecha, es una expresión No-Lineal que debe ser linealizadapor medio de la aplicación de las series de Taylor, que para este caso en particular es de primer orden porsimplicidad, y se manifiesta de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]q t q t

q tV t

V t VPunto Operacion Punto Operacion= + ⋅ − −∂∂ 0 (8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

q t C T t m t C T t m t V CdT t

dtp i i p o o C VVC+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅& & ρ (5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t h t m t h t m t V

dU tdti i o o C+ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅& & 0 ρ (4)

( ) ( ) ( )( )

q t C m T t C m T t V CdT t

dti o Co+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅& & ρ (6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t V t I t I t R

V tR

= ⋅ = ⋅ =22

(7)


donde el punto de operación puede ser considerado como los valores de equilibrio del sistema en el instante detiempo antes de producirse la transición, de manera tal que la ecuación (8) puede ser expresada como:

de manera tal que el término es la constante de linealización, , que al sustituir y organizar por( )2 0⋅ −VR

k1

agrupación de términos con la definición de los incrementos como: , tenemos que la∆ X X Xfinalvalor

inicialvalor= −

ecuación (9) se transforma en:

Las ecuaciones (9) y (10) establecen un aspecto muy importante en el funcionamiento del sistema, ya quehasta el momento solo se ha considerado el comportamiento en estado estable, es decir, el intercambio de calorse mantiene sobre el punto de operación sin considerar desviación alguna. De manera tal que si se desea saberel comportamiento del sistema ante las variaciones que puedan ocurrir a efecto de desarrollar los algoritmos decontrol que me permitan corregirlas, es necesario expresar la ecuación (6) de la siguiente manera:

lo que en palabras se puede enunciar como el efecto que tendrá en las variaciones de la temperatura del sistemalas variaciones en la tensión de alimentación del elemento calefactor, como principal medio para observar eldesempeño del modulo ante las desviaciones.

De lo establecido en la ecuación (11) y observandose la Figura 01, se puede inferir que la componentecorrespondiente al incremento de la temperatura del aire que ingresa al volumen de control es nula, ya que loscambios en la tensión aplicada a la resistencia no tienen efecto sobre la temperatura ambiente, de manera tal quela ecuación (11) puede ser expresada como:

que al realizar la sustitución establecida en la ecuación (10) y agrupar los términos semejantes, tenemos:

expresión la cual es la ecuación diferencial de primer orden que me relaciona los cambios en la temperatura desalida del sistema con los cambios en la tensión de alimentación de la resistencia calefactora.

En relación a la tensión de alimentación de la resistencia calefactora, de la Figura 01 podemos apreciarque el voltaje de calefacción, , es directamente proporcional al voltaje aplicado, por un factor de ajuste( )V t ( )Vi to amplificación , de manera tal que se tiene la siguiente expresión para esta relación:k2

Como ya ha sido establecido previemente, representa el incremento de temperatura del aire( )∆ T to

contenido por el volumen de control, sin embargo, observando la Figura 01 se aprecia que el circuito puente delsensor de temperatura produce un voltaje, , que es proporcional a , de manera tal que se tiene la( )Vo t ( )T to

siguiente expresión para esta relación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]q t qVR

V t V= +⋅

⋅ −−−

−02 0

0 (9)

( ) ( )∆ ∆q t k V t= ⋅1 (10)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]q t q C m T t T C m T t T V C

d T t Tdti i o o C

o o− + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅−

− − −−

0 0 00

& & ρ (11)

( ) ( )( )

∆ ∆∆

q t C m T t V Cd T t

dto Co− ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅& ρ (12)

( ) ( )∆ ∆V t k Vi t= ⋅2 (14)

( ) ( )∆ ∆Vo t k T to= ⋅3 (15)

( )( ) ( )ρ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅V C

d T tdt

C m T t k V tCo

o

∆∆ ∆& 1 (13)


de manera tal que al sustituir lo establecido en las ecuaciones (14) y (15) en la ecuación (13) se obtieneentonces la ecuación diferencial de primer orden que me relaciona los cambios en el voltaje del circuito sensorde temperatura con los cambios en el voltaje de control aplicado a la resistencia calefactora.

Sin embargo, como físicamente el elemento sensor se encuentra localizado a cierta distancia, L, de lafuente de calor, la salida del circuito captador de temperatura del proceso responde a los cambios de tensiónaplicada a la resistencia calefactora después de transcurrido un tiempo muerto, , que como ya ha sidoτmestablecido en otro apartado, es el tiempo que le toma al flujo de aire calentado cubrir o recorrer la distanciadesde el elemento calefactor hasta el sensor. De manera tal que bajo esta consideración, la ecuación (16) debeexpresarse de la siguiente manera:

Obviamente, la manera mas fácil de resolver dicha ecuación diferencial es aplicando la transformacióndirecta de Laplace considerando que el sistema se encuentra en estado estacionario, de manera tal que suscondiciones iniciales sean cero.

Aplicando la propiedad 3, tenemos:

Aplicando la propiedad 1, tenemos:

aplicando la propiedad 6, tenemos

factorizando, tenemos:

determinando ahora la función de transferencia que me relacione el voltaje de salida del sistema con la tensiónaplicada al calefactor, tenemos:

( ) ( ) ( )ρ ⋅ ⋅⋅ +

⋅⋅ = ⋅ ⋅

V Ck

d Vo tdt

C mk

Vo t k k Vi tC

3 31 2

∆∆ ∆

&(16)

( ) ( ) ( )ρ τ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− ⋅V C

ks Vo s

C mk

Vo s k k Vi sC se m

3 31 2∆ ∆ ∆

&(21)

( ) ( ) ( ) ( ){ }L Lρ

τ τ⋅ ⋅

⋅ +⋅

⋅⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ⋅ ⋅ − ⋅ −V Ck

d Vo tdt

C mk

Vo t k k Vi t u tCm m

3 31 2

∆∆ ∆

&(18)

( ) ( )[ ]∆ ∆Vo sV Ck

sC m

kVi s k kC se m⋅

⋅ ⋅⋅ +

⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⋅ ⋅ − ⋅ρ τ

3 31 2

&(22)

( ) ( ){ } ( ){ }ρ τ⋅ ⋅⋅

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− ⋅V Ck

d Vo tdt

C mk

Vo t e k k Vi tC sm

3 31 2L L L

∆∆ ∆

&(20)

( ) ( ) ( ) ( )ρτ τ

⋅ ⋅⋅ +

⋅⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ −

V Ck

d Vo tdt

C mk

Vo t k k Vi t u tCm m

3 31 2

∆∆ ∆

&(17)

( ) ( ) ( ){ }L Lρ τ⋅ ⋅

⋅ +⋅

⋅⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ⋅ ⋅ ⋅− ⋅V Ck

d Vo tdt

C mk

Vo t k k Vi tC se m

3 31 2

∆∆ ∆

&(19)


llevando la ecuación (23) a notación tiempo tenemos:

Donde es la ganancia estática, ganancia DC, o ganancia en régimen permanente del sistema para laγrelación de voltajes de entrada/salida. Observese que este coeficiente característico depende de muchos factorespropios del proceso, de manera tal que se puede inferir que es altamente dependiente de las condiciones inicialesdel sistema.

Sin embargo, esta característica que podría ser considerada adversa, correctamente manipulada puedeser un término favorable ya que de alterarse un factor, el efecto desviante que este pueda producir en eldesempeño del sistema, es posible corregido por medio de los otros factores al ajustarse su valor.

En ese mismo orden de ideas, podemos observar que la constante de tiempo del sistema dependeτtambién de factores propios del proceso, lo cual implica a su vez la dependencia de las condiciones iniciales, encualquier caso, para ambos coeficientes característicos del proceso se puede apreciar que el factor que mayorinfluencia tiene en su valor es el flujo másico, , que atraviesa el ducto de aire caliente.&m

Por otra parte, el término exponencial se identifica como Retraso de Transporte y es debido al[ ]e mS−τ

tiempo muerto del sistema en responder a las variaciones de temperatura, mientras que el denominador delsistema se identifica como Retraso de Transferencia y es debido a la constante de tiempo del sistema[ ]τ ⋅ +S 1en la dinámica de la transferencia de calor.

La Figura 02 ilustra lo establecido desde la ecuación (1) hasta la ecuación (24).

( )( )

∆∆

Vo sVi s

k kV Ck

sC m

k

e m s

C

=⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ +

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⋅1 2

3 3

τ

ρ & (23)

( )( ) ( )

∆∆

Vo sVi s

k kC m

kV

ms

k k kC m

Vm

s se e em

mms

C

s

C

s

=⋅ ⋅

⋅⋅

⋅⋅ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=

⋅ ⋅⋅

⋅

⋅⋅ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=⋅⋅ +

− ⋅− ⋅

− ⋅1 2

3

1 2 3

1 1 1

ττ

τ

ρ ργτ&

&

&

&

(24)

Figura 02


1.4. Respuesta del sistema ante una entrada del tipo escalón.

Como se ha visto hasta el momento, el voltaje a la salida del circuito puente del sensor de temperatura,Vo, y el voltaje de entrada al circuito de alimentación de la resistencia calefactora, Vi, se encuentran relacionadospor la función de transferencia de primer orden indicada en la ecuación (24), para muy pequeños cambios en latemperatura ambiente.

Como ya ha sido indicado anteriormente, la función de transferencia del sistema se encuentracaracterizada por tres parámetros como lo son:

• La ganancia estática del sistema o ganancia DC, γ.

• La constante de tiempo del sistema, τ.

• El tiempo muerto del sistema, τm.

Los cuales pueden ser determinados a partir de la respuesta, en temperatura, del sistema ante una entradadel tipo escalón, unitario o no, en el voltaje de entrada del circuito de potencia del elemento calefactor, partiendode un punto de equilibrio.

Para lograr este objetivo, iniciamos desde la ecuación (24) y aplicando Transformación Inversa deLaplace es posible realizar todo el desarrollo matemático que nos permita determinar como se encuentranrelacionados los parámetros del sistemas con los valores de entrada y salida del mismo.

Con lo cual y sustituyendo en la entrada del sistema se tiene que:

Aplicando ahora Transformada Inversa de Laplace, tenemos:

Lo cual se puede expresar como:

Desarrollando ahora lo correspondiente a F(s) para determinar a f(t), tenemos:

Aplicando ahora Transformada Inversa de Laplace a F(s), tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )

{ }( )

∆ ∆∆

∆

Vo s Vi sse m s vi t A u t

Vi sAs

= ⋅⋅⋅ +

− ⋅ = ⋅

=

γτ

τ

1L (25)

( ) ( )∆ Vo sAs s

e m s

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ +

⋅γτ

τ

1(26)

( ){ } ( ) ( )( ) ( )

L L− −⋅

− ⋅ ≡− ⋅

=

=⋅

⋅ ⋅ +

= =⋅ ⋅

⋅ ⋅ +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1 1

1

1∆ ∆Vo s vo t

As s

e ee m sa s m s

a mF s

As s

γτ

ττ

τγ

τ

Propiedad 3(27)

( ) ( ){ } ( ) ( )∆ vo t e F s f t a u t aa s= = − ⋅ −− − ⋅L 1Forma de la

Respuesta

del Sistema

(28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F sA

s sA

s s

A

s s=

⋅⋅ ⋅ +

=⋅

⋅ ⋅ +=

⋅

+ ⋅ +

γτ

γτ τ

γτ

τ1 1 0 1(29)


Que al descomponer en fracciones parciales obtenemos:

Determinando ahora los coeficiente K1 y K2, tenemos:

De manera tal que la ecuación (31) se transforma en:

Que al regresarse en la regla de la cadena a la ecuación (28), obtenemos la respuesta del sistema como:

Si ahora se considera que el sistema ha alcanzado el reposo después de la transición a la entrada, tenemos:

Si la transición a la entrada del sistema la expresamos de la siguiente manera, tenemos:

Con lo cual, para nuestro sistema intercambiador de calor, es obvio que cualquier incremento en latensión del circuito de potencia que energiza la resistencia calefactora se traducirá en un incremento en latemperatura del aire, con el consecuente incremento en el voltaje de salida del circuito puente, circuitoacondicionador, del sensor de temperatura.

De manera tal que la ecuación (36) la podemos expresar de la siguiente manera para determinar laganancia estática del sistema:

Expresión que desde el punto de vista gráfico se puede manifestar de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )Ks s

ss s s

11

0 1 00

11

0=

+ ⋅ +⋅ +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

==

+ ==

τ ττ (32)

( )( )γ = =

−−

=−

−

voA

vo vovi vi

vovi

SS SS

SS

00

∆∆

(38)

( ) ( ) ( ) ( )Ks s

ss

ss

21

0 11

1

10 1

=+ ⋅ +

⋅ +⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

==

+=

=τ

ττ τ

τ (33)

( )f tA

Ae et t

=⋅

⋅ + ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⋅ ⋅ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −γτ τ τ γτ τ1 (34)

( ) ( )∆ vo t A e u tt

m

m

= ⋅ ⋅ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅ −

−−

γ τττ1 (35)

( ) ( ) [ ]∆ vo vo A e u A ASS m

m

+ ∞ = = ⋅ ⋅ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅ + ∞ − = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

−+∞ −

γ τ γ γτ

τ1 1 1 (36)

( ){ } ( )( ) ( )L L− −= =

⋅⋅

+ ⋅ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪1 1 1

0 1F s f tA

s s

γτ τ

(30)

( ) ( ) ( )A vi vi vi vi viSS= + ∞ − = − =− −0 0 ∆ (37)

( ) ( ) ( )f tA K

sKs

AK K

AplicandoPar

t

e=⋅

⋅+

++

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⋅

⋅ + ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −γτ

γτ

τL 17

10

21

1 2 (31)


1.5. Teorema del valor final.

Para verificar si lo expresado en la ecuación (36) es correcto, se aplica ahora el teorema del valor finala la expresión de la respuesta del sistema ante una entrada escalón no unitario, que se estableció con la ecuación(26).

Expresión la cual, al realizar las sustituciones correspondiente se transforma en:

Resultado que concuerda con la ecuación (36), de manera tal que aplicando las consideracionesestablecidas para la ecuación (37) se determina la ganancia estática del sistema según se establece en la ecuación(38).

Figura 03

( )∆ voA

A voe m

SS( )+ ∞ =⋅ ⋅

⋅ += ⋅ =

− ⋅γτ γ

τ 0

0 1(40)

( ) ( ) ( )Lim vo t Lim s Vo s Lim sAs st s s

se m

→ ∞ → →

− ⋅

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ +

∆ ∆0 0 1

γτ

τ

(39)


2. Cuestionario de auto estudio.

1. ¿Cual es el objetivo principal del módulo PT326?.

2. ¿Cuales características básicas posee el módulo PT326?.

3. ¿De que modos de control dispone el módulo PT326?.

4. ¿Cual es el principio físico que rige al módulo PT326?.

5. ¿Con cual herramienta matemática se linealizan las expresiones no lineales?.

6. ¿De que orden es la ecuación diferencial que describe el intercambio de calor con el flujo de aire?

7. ¿Que representan γ y τ en la función de transferencia del módulo PT326?.

8. ¿Cual es el factor que mayor influencia tiene en los parámetros de la función de transferencia del móduloPT326?.

9. ¿A que se debe el retraso de transporte?.

10. ¿A que se debe el retraso de transferencia?.

11. ¿Cuales son los parámetros que caracterizan la función de transferencia del módulo PT326?.

12. ¿Con cual teorema se puede verificar la respuesta de un sistema ante una entrada escalón unitario?.


3. Identificación de las partes del panel frontal.

Figura 04


4. Identificación de las partes del panel lateral.

Figura 05

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