Control por realimentacin de estado en sistemas mimo
Control por realimentacin de estado en sistemas MIMOAndrs Lpez
GmezJos Alejandro RugamaEsteban Mena AriasMIMOUn sistema de control
que posee ms de una entrada (entradas mltiples) y a la vez salidas
mltiples
Realimentacin de Estado
Cul es el Problema?En primera instancia se debe estar seguros
que el sistema es completamente controlable
Si el objetivo es reasignar los valores propios, la nueva matriz
K tendra un rango infinito de valores (o a lo sumo ms de una terna)
para cumplir con ese objetivo.Entonces Se puede calcular la matriz
de controlabilidad para cada entrada particular del sistema, y si
alguna de estas matrices presenta rango n el sistema resulta con
una solucin SISO Se realimenta solamente la entrada o las entradas
que presentan rango n.Al no ser as Mtodos para atacar el
problemaDiseo CclicoDiseo va ecuacin de Sylvester Diseo
cannicoDiseo ptimo
Diseo CannicoLa idea principal de este mtodo es extender lo
relacionado a sistemas SISO y el mtodo de transformacin a la forma
cannica controlable y trasladarlo a sistemas MIMOndice de
Controlabilidad
Columnas l.i de CInvariante a Transformaciones.4 columnas l.i,
indices son 2 y 2.
Se transforma en
Polinomio y K deseados
Comprobando.
Diseo va ecuacin SylvesterProcedimiento de asignacin de
autovalores por diseo va ecuacin de Sylvester1. Elegir una matriz
nxn F con el conjunto de autovalores deseados que no contenga
ninguno de A.
2. Elegir una matriz pxn arbitraria K^ tal que (F, K^ ) sea
observable.
3. Hallar la nica solucin T en la ecuacin de Sylvester AT - TF =
BK^.
4. Si T es singular, elegir una K^ distinta y repetir el
proceso. Si T es no singular, K =K^T^-1, y (A - BK) tiene el
conjunto de autovalores deseados.Diseo va ecuacin Sylvester Si T es
no singular, la ecuacin de Sylvester y KT = K^, implican (A - BK)T
= TF o A - BK = TFT^-1y asi (A BK) y F son similares y tienen los
mismos autovalores.
A diferencia del caso SISO, donde T es siempre no singular, en
el caso MIMO T puede ser singular a un cuando (A, B) es controlable
y (F, K ) observable.Diseo cclicoSistema con:
Tiene p entradasGanancia de realimentacin de estados en u=-kx
que posee pxn elementos.Presenta un exceso de grados de libertad,
ya que slo se necesitan n ganancias para asignar n autovalores para
el sistema de lazo cerrado. Entonces se requiere de un criterio que
permita elegir de alguna manera el valor de la ganancia para el
caso de sistemas con multi-entrada.
Matriz cclica Se define la matriz cclica como como aquella en
donde su polinomio caracterstico es igual a su polinomio mnimo.Es
decir si se tiene una matriz A, entonces se dice que esta satisface
su polinomio caracterstico si:()=det(I-A)=0El polinomio de una
matriz A es el polinomio de mnimo orden () para el que (A)=0; El
polinomio mnimo de una matriz A es igual al caracterstico si y solo
si hay un solo bloque de Jordan asociado a cada autovalor distinto
de A.
RecordemosRecordemos que para la forma cannica de Jordan se
tiene que, si es de orden 1 se tiene solo nmero para el bloque,
para un sistema de orden 2 se tiene la forma
Y para un sistema de orden 3 se tiene la forma:
EjemploTomando las siguientes matrices
En donde se puede observar que A1 es cclica, esto puesto que 1
tiene slo un bloque de Jordan de orden 1 y 2 solo uno de orden 3.
Por su lado la matriz A2 no es cclica ya que 1 tiene un bloque de
Jordan de orden 1 pero 2 tiene dos, uno de orden 2 y uno de orden
1.
TeoremaSi el sistema de orden n con p entradas (A;B) es
controlable y si A es cclica, entonces para casi cualquier vector p
x 1 V , el sistema de 1 entrada (A, BV ) es
controlable.Consideremos el sistema como
Existe un solo bloque de Jordan asociado a cada autovalor por lo
tanto A es cclica. Se tiene que para que (A, B) sea controlable en
estas coordenadas la condicin es que la tercera y ltima fila de B
sean distintas de cero.
Teorema 2Observadores de Estado con MIMO
Tomando en cuenta que si (A,C) es observable, entonces podemos
asignar arbitrariamente los autovalores de (A - LC), escogiendo
adecuadamente L.Podramos definir el mtodo para observadores de
estado MIMO de orden reducido como: Elegir una matriz Hurwitz tal
que
Se elige una matriz tal que
Se calcula la solucin nica T de la ecuacin TA-FT= LC
Si la matriz P= [C;T] singular, entonces se debe volver al paso
2 y repetir el proceso, sino entonces :
CONCLUSIONESEn el caso de una sola entrada, existe una nica
solucin K para una dada configuracin se autovalores a lazo cerrado
elegida. En el caso multi-entrada la ganancia k que da los
autovalores a lazo cerrado elegidos no es nica.Para el diseo
cclico, transformamos el problema multi-entrada en uno de una
entrada y despus aplicamos los mtodos de asignacin de autovalores
del caso SISO.La realimentacin de estados puede mover los polos de
una planta pero no tiene ningn efecto sobre los cerosLa
observabilidad de un sistema no es invariante con respecto a
realimentacin de estados
