Guillermo Roa

José Luis Caballero

Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias entradas.

Los Sistemas con más de un lazo se clasifican como sistemas de múltiples-entradas múltiples-salidas (MIMO) o sistemas multivariables.

Consideraremos un sistema MIMO con m entradas y n salidas, el cual se representa por el modelo básico de función de transferencia: y(s) = G(s)u(s), donde y(s) es el vector de variables controladas de dimensión 1 n × , u es el vector de variables manipuladas de dimensión 1 m× y G(s) es la matriz de funciones de transferencia de dimensiones n × m

Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazo de control, rebotando el efecto sobre el lazo original

Lazos de control independientes

La magnitud de tal influencia depende de las ganancias de las funciones de transferencia.

Interacción entre entradas y salidas; se deben evaluar las

interacciones entre los lazos en estado estacionario.

Para tomar una decisión acerca de la adecuada selección del par de variables se debe encontrar las ganancias del proceso dinámico, las cuales indican cuánto cambia la variable de salida (variable controlada) por unidad de cambio en la variable de entrada (variable manipulada), donde estas ganancias se obtienen de la siguiente forma:

Luego se calcula una matriz normalizada de ganancias relativas y cada una de sus componentes viene dada por:

no hay interacción entre las variables. la variable manipulada j no afecta a la variable controlada i, es decir el control lo

realizarían el resto de los lazos. la interacción da más ganancia, cuanto más lejos de uno más interacción. la interacción atenúa. cuanto más lejos de uno, más interacción. No es posible el control, se anula la acción de la variable controlada. La estabilidad depende de otros lazos, esto es, si se abre o cierran otros lazos.

Con el fin de realizar un emparejamiento adecuado es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos (Nordfeldt, 2005):

◦ OBTENER LA MATRIZ DE GANANCIAS RELATIVAS

Tener en cuenta los requisitos de las ganancias

◦ No formar lazos de control con ganancias relativas negativas ◦ No formar lazos de control con ganancias relativas infinitas. ◦ No formar lazos de con ganancias relativas nulas.

Tener en cuenta los criterios de prioridad ◦ Controlar las variables más importantes con las variables de entrada

con las que tengan una respuesta dinámica más rápida sin respuesta inversa.

◦ Cerrar lazos de control con las ganancias relativas más próximas a uno.

Tener en cuenta criterios complementarios ◦ Simulación de las distintas alternativas.

◦ Emparejar variables con ganancia relativa ante perturbaciones bajas.

◦ Tener presente los índices de estabilidad bajo.

Ejemplo aplicativo de emparejamiento: ◦ Seleccionar los parámetros entrada/salida que minimizan la interacción

entre lazos para las siguientes matrices de ganancias relativas

◦ Para el caso a) el mejor emparejamiento está dado por:

◦ Para el caso b) el mejor emparejamiento está dado por:

◦ Para el caso c) el mejor emparejamiento resulta de emparejar ganancias relativas altas:

Cuando se seleccionan emparejamientos también resulta indispensable tomar en cuenta consideraciones de estabilidad entre los lazos

TEOREMA DE NIEDERLINSKI ◦ Considérese el siguiente modelo a lazo abierto

◦ Donde supongamos que se han seleccionado los siguientes apareamientos:

Además cada elemento ( ) de la matriz de ganancias debe cumplir con ser: a) racional y b) estable. Supongamos además que se diseñan “n” lazos de control feedback (cada uno con acción integral) de tal forma que cada uno de los n lazos de control permanece estable cuando se abren el resto de los n – 1 lazos de control.

Si todos los n lazos están cerrados, el sistema de control de lazos múltiples será inestable (para todos los posibles valores de los parámetros del controlador) si el índice de Niderlinski (N) es negativo, definido como:

Ejemplo aplicativo de criterio de estabilidad: ◦ Suponiendo que la siguiente planta en estado estacionario tiene como

entradas y como salidas ,

◦ Determinar el emparejamiento que conduce a obtener menor interacción siendo además N>0

Ejemplo aplicativo de criterio de estabilidad ◦ Calcular la matriz de ganancias relativas:

◦ Las variables emparejadas según criterios son

Ejemplo aplicativo de criterio de estabilidad: ◦ Al revisar ahora el índice de Nierderlinski

◦ entonces

Ejemplo aplicativo de criterio de estabilidad

◦ Por lo tanto el esquema seleccionado tendrá problemas de estabilidad

(para cualquier valor de los parámetros de los controladores). Por lo tanto, el teorema de Nierderlinski rechaza el emparejamiento. Por lo tanto se puede proceder a seleccionar otro emparejamiento:

Ejemplo aplicativo de criterio de estabilidad ◦ Antes de evaluar la matriz se reorganiza la matriz G(0) para reflejar el

nuevo emparejamiento:

◦ Entonces

Ejemplo aplicativo de criterio de estabilidad

◦ Al revisar nuevamente el índice de Niederlinski:

◦ Por lo tanto:

◦ En consecuencia este apareamiento no presentará problemas de estabilidad

Con el fin de diseñar un controlador multivariable es necesario seguir los pasos:

1) Seleccionar el esquema de emparejamiento

2) Sintonizar los controladores de los lazos individuales

◦ I) Sintonizar cada lazo de control de manera independiente

(manteniendo en modo manual al resto de los lazos)

◦ II) Integrar todos los lazos a modo automático, reajustando los parámetros de los controladores hasta obtener un buen desempeño de los lazos de control

2) Sintonizar los controladores de los lazos individuales

◦ A) Sintonizar cada lazo de manera independiente. Esto proporciona

valores iniciales de los parámetros de los controladores. Sea la ganancia del controlador denotada por

◦ B) Cuando todos lo lazos operen de manera automática, la ganancia de cada lazo de control se deberá reducir de acuerdo a la ecuación:

Ejemplo aplicativo

◦ La respuesta de una columna de destilación, para la

separación de Metanol-Agua, se puede representar en términos de las variables manipuladas y de las perturbaciones :

◦ Donde G(S) representa la matriz de funciones de transferencia del proceso y Gd(S) es la matriz de funciones de transferencia de las perturbaciones dadas

Ejemplo aplicativo ◦ y1 es la fracción mol de etanol en el destilado, y2 es la temperatura en

el plato 19, u1 es el reflujo, u2 es la presión del vapor en el rehervidor, d1 es el flujo de la corriente de alimentación y d2 es la temperatura de dicha corriente.

◦ Si se selecciona el emparejamiento:

◦ De la matriz de funciones de transferencia en estado estacionario

Ejemplo aplicativo ◦ Se obtiene el arreglo de ganancias relativas

◦ Que siguiendo el criterio de Nierderlinski

◦ Se llega a la conclusión de que el emparejamiento sugerido presenta poca interacción sin problemas de estabilidad. Para emplear el método de Ziegler-Nichols es necesario aproximar la función de transferencia de la matriz de funciones de transferencia en términos de una función de transferencia de primer orden con retardo:

Ejemplo aplicativo ◦ De los datos de la función de transferencia se obtiene:

◦ Entonces la función de transferencia que se debe usar para propósitos de sintonización está dada por: