02 - Introducción al Problema de Control de Sistemas MIMO

Ministerio de Cultura y Educación UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ Avda. Almafuerte 1033 - (3100) Paraná - Entre Ríos - Argentina. Tel.: +54-(343) 424-3694 / Fax: +54-(343) 424-3589

Prof. EDUARDO J. ADAM Email: [email protected]

www.intec.unl.edu.ar/~eadam

CARRERA: INGENIERÍA QUÍMICA. CÁTEDRA: INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DE PROCESOS.

Apunte de Teoría

Introducción al Problema de Control de Sistemas con Múltiples Entradas y Salidas (MIMO)

Primer Cuatrimestre - marzo, 2002 (Versión 1.1)

mailto:[email protected]

http://www.intec.unl.edu.ar/~eadam

INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA DE SISTEMAS CON MÚLTIPLES ENTRADAS Y SALIDAS (MIMO)

RESUMEN

Los procesos con múltiples entradas y salidas también conocidos procesos

multivariables, son difíciles de controlar debido a la presencia de retardos, no

linealidades y restricciones de operación. En los últimos años el esfuerzo de muchos

investigadores se dirigió a resolver el diseño de controladores para sistemas de control

multivariables.

En esta presentación se detalla un método clásico que permite determinar el grado de

interacción de un proceso y posteriormente, se presenta un método desacople de

sistemas con n entradas y n salidas, particularizando a sistema dos entradas y dos

salidas. Finalmente, se incluyen recomendaciones generales para el diseño de un

sistema de control multilazo.

1. INTRODUCCIÓN

Hasta aquí hemos tratado los problemas conocidos como procesos de simple entrada –

simple salida (SISO). En muchos problemas prácticos existe un número variables a ser

controladas y un número de variables que pueden ser manipuladas. Estos problemas se

los conoce como problemas de control de sistemas de múltiples entradas – múltiples

salidas (MIMO). En éstos, puede aparecer una dificultad adicional que en procesos

SISO no está presente, esto es, la interacción entre distintas variables manipuladas con

las de salida. O sea, una variable manipulada puede afectar a más de una variable de

salida. Esto último da lugar a estrategias de control multivariable conocidas como

control por desacople o control desacoplante. Cuando las interacciones son fuertes, un

sistema de control multilazo puede no tener buena performance en la respuesta. Más

aún, puede llegar a ser inestable.

Muchos investigadores han destinados sus esfuerzos a resolver el problema control

multivariable. Existen varios métodos tendientes a auxiliar al diseñador a resolver el

problema de control multivaríable. En esta presentación se discutirá el método de

análisis de ganancia relativa (RGA) y el problema de control por desacople, para

finalmente concluir con recomendaciones generales.

Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam. 2


2. INTERACCIONES DE PROCESOS E INTERACCIONES DE LAZOS DE CONTROL

En la Fig. 1 se representa los problemas de control SISO y MIMO. Por conveniencia y

sin pérdida de generalidad, se asume que el número de variables manipuladas es igual al

numero de variables controladas.

ProcesoU Y

....

Perturbaciones

(a) Proceso con una variable manipulada y una salida controlada. Aquí, se designa

SISO a un sistema que tiene una variable de salida y una variable manipulada.

ProcesoU1 Y1

....

Perturbaciones

....

....U2

Un

Y2

Yn (b) Proceso con múltiples entrada y salidas.

Figura 1. Tipos de Problemas de Control.

Los problemas de control MIMO son más complejos que los problemas de control

SISO, a causa de las interacciones de procesos que ocurren entre las variables

controladas y manipuladas. En general un cambio en la variable manipulada, u1, puede

afectar a todas las variables controladas, y1, y2, ..., yn. A causa de las interacciones de

procesos, la selección del mejor apareamiento entre manipuladas y controladas para un

esquema de control multilazo puede resultar difícil. En particular, un esquema de

control de n variables controladas y n manipuladas presenta n! configuraciones de

control multilazo posibles. Así, si n = 5 entonces existen 120 configuraciones posibles.

2.1. Análisis mediante el uso de diagramas de bloques

Si se considera el problema de control de 2x2 de la Fig. 2, se observa que se tiene dos

variables controladas y dos manipuladas.



, ,

, .

(1)

Cátedra de Sistemas de Control. UTN- Facultad Regional Paraná. Autor: Eduardo J. Adam.

4

Gp11

Gp12

Gp21

Gp22

Y1

Y2

U1

U2

Figura 2. Diagrama de bloques de un problema de control de 2x2.

Como se puede ver se necesitan 4 funciones de transferencia para caracterizar

completamente la dinámica del proceso, estas son,

111

1

ˆ ( ) ( )ˆ ( ) pY s G sU s

= 112

2

ˆ ( ) ( )ˆ ( ) pY s G sU s

=

121

1

ˆ ( ) ( )ˆ ( ) pY s G sU s

= 122

2

ˆ ( ) ( )ˆ ( ) pY s G sU s

=

ˆ

ˆ

s

De acuerdo con el principio de superposición, los cambios simultáneos en U1 y U2

tienen un efecto aditivo en cada variable controlada, los que se visualizan en las

siguientes ecuaciones,

1 11 1 12 2ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pY s G s U s G s U s= + , (2)

2 21 1 22 2ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pY s G s U s G s U s= + . (3)

Estas relaciones entre salidas y entradas pueden también ser expresadas en forma

matricial vectorial,

ˆ ˆ( ) ( ) ( )s s=Y Gp U , (4)

donde y son los vectores de variables controladas y manipuladas

respectivamente,

ˆ ( )sY ˆ ( )sM


1

2

ˆ ( )ˆ ( )ˆ ( )

Y ss

Y s

=

Y , 1

2

ˆ ( )ˆ ( )ˆ ( )

U ss

U s

=

U(5)

y Gp(s) es matriz de funciones de transferencia del proceso,

11 12

21 22

( ) ( )( )

( ) ( )p p

p p

G s G ss

G s G s

=

Gp . (6)

Consideremos el siguiente esquema de control:

Gp11

Gp12

Gp21

Gp22

Y1

Y2

U1

U2

C1

C2

E1

E2

R1

R2

Figura 3. Un posible esquema de control multilazo convencional para un sistema 2x2.

Si el controlador C2 es puesto fuera de servicio (esto es puesto en manual), con la salida

de dicho controlador en su valor nominal (U s ), la función de transferencia entre

y U resulta,

2ˆ ( ) 0=

1̂Y 1ˆ

111

1

ˆ ( ) ( )ˆ ( ) pY s G sU s

= (lazo abierto para Y2 – U2). (7)

De otro modo, si el segundo controlador es puesto en automático, luego U , del

diagrama de bloques de la Fig. 3 se puede derivar la siguiente relación:

2ˆ 0≠

12 21 2111

2 221

ˆ ( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ 1 ( ) ( )( )p p

pp

G s G s C sY s G sC s G sU s

= −+

(lazo cerrado para Y2 – U2). (8)



Así, la función de transferencia entre Y y U depende del controlador del segundo lazo

C

1̂

2 )

1ˆ

2, vía término de interacción, cuando el segundo lazo está cerrado. Similarmente, la

función de transferencia Y s depende de C2̂ˆ( ) / (U s 1 cuando el primer lazo de control

está cerrado. Estos resultados tienen una importante implicancia en el ajuste de los

controladores, ya que estos indican que los dos controladores no deberían ser

ajustados independientemente.

Ejemplo 1. Considere el modelo empírico de una columna de destilación desarrollado por Wood y Berry

(1973):

3

7 3

12.8 18.9ˆˆ ( ) ( )16.7 1 21 1ˆˆ ( ) 6.6 19.4 ( )

10.9 1 14.4 1

s s

Ds s

B

e ex s R ss sx s e e S s

s s

− −

− −

+ + = + +

.

(9)

Se propone diseñar un sistema de control multilazo consistente de dos controladores PI con el

apareamiento – R / – S, y se pretende estudiar mediante simulaciones numéricas, la performance

del sistema para los siguientes casos:

ˆDx ˆBx

a) Un cambio en la consigna de de amplitud 0.1 con el lazo 1 cerrado manteniendo el otro lazo

en manual.

ˆDx

b) Un cambio en la consigna de de amplitud 0.1 con el lazo 2 cerrado manteniendo el otro lazo

en manual.

ˆBx

c) Un cambio en la consigna de de amplitud 0.1 con ambos controladores automático. ˆDx

SOLUCIÓN.

Se propone ajustar los parámetros de los controladores en base al método de oscilaciones sostenidas de

Ziegler y Nichols (1942), aplicado cada lazo simple manteniendo el otro en manual, los resultados son

presentados en la Tabla 1,

Tabla 1: Valores de ajuste de los parámetros de los controladores.

Apareamiento Método de Ajuste Kc TI

ˆDx - R Lazo simple / Z-N 0.945 3.26

ˆBx - S Lazo simple / Z-N -0.196 9.00

En la Fig. 4 se muestra en forma esquemática el esquema de control multilazo para el problema aquí

propuesto.



xD

xB

PI1

PI2

Planta(Controlador 1)

(Controlador 2)

xDsp

xBsp

Figura 4. Esquema multilazo del problema propuesto.

La Fig. 5 muestra los resultados de la simulación numérica del sistema cuando el controlador 1 ajustado

por el método de Ziegler y Nichols (1942) es puesto en automático, y el controlador 2 es puesto en

manual. Puede verse en dicha figura que al hacer un cambio escalón en la consigna de la variable , si

bien el controlador 1 logra el objetivo deseado, la variable se ve perturbada debido a la interacción en

el sistema.

ˆDx

ˆBx

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.)

x Dx B

Figura 5. Cambio en la consigna de con el controlador 1 en automático y el controlador 2 en

manual.

ˆDx



La Fig. 6 muestra efectos similares a los anteriormente detallados, para cuando el controlador 2 ajustado

por el método de Ziegler y Nichols (1942) es puesto en automático y el controlador 1 es puesto en

manual. En este caso particular, se introdujo un cambio escalón de amplitud o.1 en la consigna de la

variable . Similarmente a la simulación anterior en esta figura se visualiza el efecto de la interacción

de procesos.

ˆBx

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.)

x Dx B

Figura 6. Cambio en la consigna de con el controlador 1 en manual y el controlador 2 en automático. ˆBx

La Fig. 7 muestra los resultados de la simulación numérica del sistema para un cambio escalón de

amplitud 0.1 en la consigna de la variable , cuando los controladores 1 y 2 de la Tabla 1 son puestos

en automático. Puede concluirse de dicha figura, que en este caso particular los dos controladores

operando conjuntamente no logran una buena performance en la respuesta del sistema.

ˆDx



x Dx B

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.)

Figura 7. Cambio en la consigna de con los controladores 1 y 2 en automático. ˆDx

§

3. ANÁLISIS DE GANANCIAS RELATIVAS

El análisis de ganancias relativas fue desarrollado por Bristol (1966). Muchos autores

son de la opinión que el arreglo de ganancias relativas (RGA), es sólo una técnica

heurística, sin ninguna base teórica rigurosa. McAvoy (1981), estableció una conexión

entre RGA y el diseño y la estabilidad de lazos de control, para sistemas de control de

dos entradas y dos salidas.

3.1. Método del Arreglo de Ganancias Relativas (RGA) de Bristol

Bristol (1966) desarrolló la primera aproximación sistemática para análisis de

problemas de control de procesos multivariables. Su aproximación sólo requiere

información de estado estacionario y provee dos informaciones importantes:



1. Una medida de las interacciones de procesos.

2. Una recomendación concerniente al apareamiento más efectivo de variables

manipuladas y controladas.

Si se considera un proceso de n variables controladas y n manipuladas, la ganancia

relativa λij entre una variable controlada Yi y un manipulada Uj, es definida como la

relación de dos ganancias de estado estacionario:

( )( )

/ ganancia del lazo abiertoganancia del lazo cerrado/

i j Uij

i j Y

Y U

Y Uλ

∂ ∂= =

∂ ∂

(10)

para i, j = 1, 2, ......., n donde,

( /i j UY U∂ ∂ )

)

: representa la ganancia del lazo abierto Yi y Uj.

( /i j CY U∂ ∂ : puede ser interpretada como una ganancia de lazo cerrado que indica el

efecto de Uj sobre Yi cuando todos los otros lazos feedback están cerrados.

Las ganancias relativas son ordenadas en una matriz de ganancia conocida como arreglo

de ganancias relativas (RGA) bajo la notación Λ,

1 2 nU U UL

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

n

n

n n n nn

YY

Y

λ λ λλ λ λ

λ λ λ

Λ =

L

L

M M M M M

L

(11)

El RGA tiene dos propiedades importantes:

1. Está normalizado ya que la suma de los elementos de cada fila y cada columna

es uno.

2. Las ganancias relativas son adimencionales y así no afecta la elección de una

unidad o escala de las variables.

3.2. Cálculo del Arreglo de Ganancias Relativas



Las ganancias relativas pueden ser fácilmente calculadas a partir de los datos de estado

estacionario o bien de un modelo de proceso. La fórmula general puede ser escrita

como,

[ ] ( )1(0) (0)T

ij ijij

λ − = G G (12)

Note que la Ec. (12) no implica que, . [ ] ( )1 T

ijλ− =

G G

Para el caso particular de un sistema de 2x2 puede demostrarse que estas resultan ser,

1112 21

11 22

1

1 K KK K

λ =−

(13)

donde K11 = GP11(0), K12 = GP12(0), K21 = GP21(0), y K22 = GP22(0) son las ganancias de

estado estacionario del sistema de acuerdo con la Ec. (1). También puede demostrarse

que,

22 11λ λ= (14)

12 21 111λ λ λ= = − . (15)

Así, el arreglo de ganancias relativas (RGA) para un sistema de 2x2 expresado como,

11λ λλ λ

− Λ = −

(16)

donde λ = λ11. Las Ecs. (14) y (15) se corresponden con que la suma de las ganancias

relativas de una fila o una columna de la matriz (16) son iguales a 1.

3.3. Medida de la Interacción de Procesos

Las ganancias relativas pueden ser usadas para obtener una medida de la interacción de

proceso. Existen 5 casos posibles:



1. λ = 1. De acuerdo con la Ec. (10), la ganancia de lazo abierto y cerrado entre Ui

e Yj, son idénticas. Por lo tanto, el resto de las variables manipuladas, tanto en

lazo abierto como cerrado no tienen influencia sobre el par Ui – Yj.

2. λ = 0. De acuerdo con la Ec. (10), la ganancia de lazo abierto entre Ui e Yj, es

nula. Por lo tanto, la variable manipulada Ui no tiene ningún efecto sobre la

variable de salida Yj.

3. 0 < λ < 1. De acuerdo con la Ec. (10), la ganancia de lazo cerrado entre Ui e Yj

resulta mayor que la de abierto. Por lo tanto, el resto de los lazos de control van

a interactuar con la variable de salida Yj y dicha interacción es más severa

cuando λ = 0.5.

4. λ > 1. Para este caso, cerrando los otros lazos de control se reduce la ganancia

entre Ui e Yj. Por lo tanto, existe una interacción, la cual se vuelve más severa, a

medida que λ incrementa.

5. λ < 0. Cuando λ es negativo significa que la ganancia de lazo abierto y cerrado

entre Ui e Yj son de signos diferentes. Así, cerrando o abriendo el resto de los

lazos de control, estos tienen serios e indeseables efectos sobre el lazo entre Ui e

Yj. Por lo tanto no resulta conveniente aparear las variables Ui e Yj. Para este

caso el grado de interacción aumenta para . λ → −∞

Recomendación. Los pares entre variables manipuladas y controladas deben ser tales

que las ganancias relativas sean positivas y tan cercanas a uno como sea posible.

Ejemplo 2. En base a las funciones de transferencias (Ec. (9)) obtenidas por Wood y Berry (1973) para

un modelo empírico de una columna de destilación, determine la interacción del proceso y obtenga

conclusiones respecto al apareamiento, de acuerdo con la matriz de ganancias relativas.

SOLUCIÓN.

La matriz Λ resulta ser,

2.0094 1.00941.0094 2.0094

− Λ = −

(17)

En base a la Ec. (18) se puede concluir que el apareamiento entre las variables es considerable. Además,

la existencia de ganancias relativas negativas indica que las interacciones afectan adversamente a los

lazos de control.

§



4. ELIMINACIÓN DE INTERACCIONES Y CONTROL DE SISTEMAS DESACOPLADOS

Cuando los efectos de la interacción producen un deterioro significativo en la

performance del sistema de control, se debe considerar el control por desacople. Así, la

performance de un sistema de control puede a menudo ser significativamente mejorada

mediante algún tipo de compensación para interacciones.

Con el control por desacople el objetivo es reducir las interacciones de los lazos de

control adicionando elementos llamados desacopladores a la configuración

convencional. En principio, los esquemas de control por desacople pueden proveer

beneficios importantes:

1. Las interacciones de los lazos de control son eliminadas y consecuentemente la

estabilidad del sistema en lazo cerrado es determinada mediante las

características de la estabilidad de los lazos de control feedback individuales.

2. Un cambio en la consigna para una variable controlada no tiene ningún efecto

sobre las otras variables controladas.

En la práctica, estos beneficios pueden no ser totalmente alcanzados debido a diferentes

causas de proceso. Los desacopladores pueden ser diseñados utilizando un tipo de

modelo simple de proceso que puede ser un modelo dinámico o estático.

En esta sección se discutirán dos técnicas tendientes a eliminar las interacciones de

proceso. La primera conocida como control por desacople ideal resulta ser la más

general de las dos y es aplicable a sistemas con n entradas y n salidas. Mientras que la

segunda más popularmente conocida como control por desacople simplificado aplicable

a sistemas de 2x2.

Control por Desacople Ideal o Control No Interactivo

Una aproximación clásica para el problema multivariable es el diseño de controladores

no interactivos con la inclusión de compensadores de interacción. La estructura del

control feedback que hace uso de controladores de lazo simple y un desacoplador o

compensador de interacciones GI, se ilustra en la Fig. 8,



C D Gp

Gd

E W U

D

YYr

ProcesoCompensadorControladores

Figura 8. Sistema de n entradas y n salidas con control por desacople ideal.

donde C, constructivamente es una matriz de controladores con la forma diagonal,

11

22

0 00 0

0 0 nn

cc

c

=

C

L

L

M M O M

L

.

(18)

Para un desacople completo de interacciones, se busca que el producto GpGI sea una

matriz diagonal, esto es,

(diag=GpD Gp) . (19)

De manera que el desacoplador D resultará ser,

1 ( )diag−=D Gp Gp (20)

y así se logra eliminar la interacción de proceso.

Dado que el compensador de interacciones puede resultar no realizable, entonces se

suele diseñar dicho compensador basándose en las ganancias de estado estacionario.

Esto es,

1(0) (0) ( (0))diag−=D Gp Gp , (21)

donde el compensador de la Ec. (21) se lo conoce como compensador interacciones

estático o estacionario. Note que, dicho compensador eliminará la interacción de

procesos sólo en el estado estacionario.



Ejemplo 3. Diseñar el compensador de interacciones estacionario para el problema presentado en el Ej. 1.

Luego simule a lazo abierto la respuesta del sistema frente a un cambio escalón en cada variable

manipulada. Obtenga conclusiones.

SOLUCIÓN.

De acuerdo con la Ec. (9),

12.8 18.9(0)

6.6 19.4−

= − G .

(22)

por lo tanto basándose en la Ec. (12),

2.01 2.97(0)

0.68 2.01

=

D . (23)

La Fig. (9) muestra la respuesta dinámica del sistema a lazo abierto en el Ej. 1, sin incluir el compensador

de interacciones, para dos cambios de amplitud 0.01 en las dos variables manipuladas, en los instantes

t = 2 s y t = 75 s.

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.)

x Dx B

Figura 9. Respuestas a lazo abierto sin compensador de interacciones.



Puede observarse en dicha figura como cada variable manipulada actuando individualmente afectan a las

dos variables de salida simultáneamente.

La Fig. (10) muestra la respuesta dinámica del sistema a lazo abierto presentado en el Ej. 1 incluyendo el

compensador de interacciones, cambios escalón de amplitud 0.01 en las dos variables manipuladas, en los

instantes t = 2 s y t = 75 s.

x Dx B

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.) Figura 10. Respuestas a lazo abierto con compensador de interacciones.

También en la Fig. (10) se observa para cambios en las variables manipuladas los estados estacionarios

son compensados, pero no puede ser evitada la dinámica de las variables individuales.

Por comparación de las Figs. (9) y (10) se observa una notoria mejora en las respuestas dinámicas, cuando

es incluido el compensador de interacciones.

§

Control por Desacople Simplificado

En la Fig. 11 se presenta un sistema de control por desacople simplificado para un

proceso de dos entradas y dos salidas. Note que se utilizan dos controladores

convencionales C1 y C2, más dos desacopladores Dl2 y D21.



Gp11

Gp12

Gp21

Gp22

Y1

Y2

U1

U2

C1

C2

E1

E2

R1

R2

D21

D12

U11

U22

Figura 11. Sistema de control por desacople simplificado convencional.

Los desacopladores son diseñados para compensar las interacciones de proceso no

deseables. Por ejemplo D21 puede ser diseñado para evitar que la variable con Y21 se

sume con Y22 y así no afecte a la salida Y2. Así, se cancelará esta interacción si se

cumple que

21 11 22 21 0Gp U Gp U+ = , (24)

siendo

21 21 11U D U= . (25)

Sustituyendo (25) en (24) se tiene que,

( )21 22 21 11 0Gp Gp D U+ = . (26)

Dado que U , a fin de satisfacer la Ec. (26), el desacoplador D11 0≠ 21 tendrá por

ecuación,

2121

22

( )( )( )

Gp sD sGp s

= − . (27)

Con análogo razonamiento se puede arribar a que el desacoplador D12 tendrá por

expresión,

1212

11

( )( )( )

Gp sD sGp s

= − . (28)



En muchos casos los desacopladores D12 y D21 no son realizables, por lo tanto se suele

recurrir a desacopladores estáticos. Estos son calculados en base a los las ganancias de

estado estacionario de las funciones de transferencia de proceso. Así, para este caso

particular los desacopladores estacionarios resultan ser,

2121

22

(0)(0)(0)

GpDGp

= − , (29)

1212

11

(0)(0)(0)

GpDGp

= − . (30)

Una notación matricial vectorial puede ser usada para representar en forma más general

al desacoplador simplificado resultando así,

12 11

21 22

1 // 1

p p

p p

G GG G

− = −

D . (31)

Ejemplo 4. Diseñe los desacopladores dinámicos y estáticos para el sistema presentado en el Ej. 1.

Además, simule las respuestas dinámicas a lazo abierto del sistema MIMO incluyendo el desacoplador

simplificado para cambios en las variables manipuladas de igual magnitud que en el Ej. 3.

SOLUCIÓN.

En base a la matriz de funciones de transferencia expresadas en la Ec. (9) los desacopladores dinámicos

resultan ser,

4

210.34(14.4 1)( )

(10.9 1)

ss eD ss

−+=

+ ,

(32)

2

121.48(16.7 1)( )

(21 1)

ss eD ss

−+=

+ .

(33)

En el cociente de ecuaciones puede resultar que aparezcan términos exponenciales en “s” positivos. Esto

implicaría un término de predicción el cual no es realizable. Sin embargo, en este caso particular

resultaron exponenciales negativas, de manera que los desacopladores (31) y (32) resultan ser realizables.

Basándose en los resultados obtenidos en (31) y (32) tomando s = 0, los desacopladores estáticos resultan

ser,

21 0.34D = , (34)

12 1.48D = . (35)



Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.)

x Dx B

Figura 12. Respuestas a lazo abierto con desacopladores estáticos.

Como se observa en la Fig. 12 y como era de esperar, los resultados son muy similares (pero no iguales) a

los obtenidos en el ejemplo anterior.

§

La Tabla 2 muestra un resumen de las funciones de transferencia de los desacopladores

aquí estudiados para el caso particular de sistemas de 2x2 así como del producto

Gp(s)D(s) resultante.

Tabla 2: Funciones de transferencia para control por desacople. Aquí se define

. 12 21 11 22: /p p p pG G G G G=

D(s) Gp(s)D(s)

Desacople

ideal 12 11

21 22

1/(1 ) ( / ) /(1 )( / ) /(1 ) 1/(1 )

p p

p p

G G GG G G G

− − − − −

G− 11

22

00p

p

GG

Desacople

simplificado 12 11

21 22

1 // 1

p p

p p

G GG G

− −

11

22

(1 ) 00 (1

p

p

G GG G

− − )



5. RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE CONTROLADORES MULTILAZO

Basándose en los temas aquí presentados, a continuación se presenta una serie de

recomendaciones útiles a fin de intentar un prediseño de un sistema de control de

multilazo. Un procedimiento racional para encarar este problema bien podría ser el

siguiente:

Paso 1. Realizar el análisis de RGA.

Paso 2. En base a este determinar la mejor política de apareamiento posible.

Paso 3. Si las interacciones son considerables recurrir a un sistema de control por

desacople (estático o dinámico) a fin de reducirlas. Luego, el ajuste de los

controladores es realizado individualmente con el sistema de desacople incluido.

Paso 4. Si performance del sistema multivariable en lazo cerrado no es

satisfactoria, debido a que las interacciones no pueden ser reducidas

considerablemente con el sistema de desacople propuesto, recurrir a los otros

métodos existentes en bibliografía como ser: análisis de singulares (SVD), el diseño

de controladores multilazo, los métodos de control predictivos, y teoría de moderna.

Ejemplo 5. Basándose en los desacopladores estáticos obtenidos en los Ejs. 3 y 4 y el juego de

controladores del Ej. 1 luego, simule numéricamente el comportamiento del sistema en lazo cerrado en

cada caso cuando ambos controladores son puestos en automático.

SOLUCIÓN.

La Fig. 13 muestra la simulación numérica de la columna de Wood y Berry (1973) con el juego de

controladores de la Tabla 1 y el desacoplador ideal estático dado por la Ec. (23). Puede verse que el

sistema es inestable en lazo cerrado cuando ambos controladores son puestos en automático.

Por otro lado, la Fig. 14 muestra la simulación numérica de la columna de destilación con el juego de

controladores de la Tabla 1 cuando se implementa el esquema de desacople simplificado dado por las Ecs.

(33) y (34). Puede verse que el sistema MIMO en lazo cerrado es estable cuando ambos controladores

son puestos en automático.



x Dx B

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.) Figura 13. Respuestas dinámicas del sistema MIMO a lazo cerrado con los desacopladores según (23).

x Dx B

Tiempo (seg.)

Tiempo (seg.) Figura 14. Respuestas dinámicas del sistema MIMO a lazo cerrado con el esquema de desacople

simplificado.



Basándose en los resultados de las simulaciones numéricas podemos concluir que para este caso

particular, el esquema de desacople simplificado es más adecuado que el esquema de desacople ideal,

cuando a ambos se los implementa como desacopladores estáticos.

§

6. CONCLUSIONES

Se presentó una introducción al problema de control de sistemas multivariables. Para

esto, primeramente se discutió el efecto de las interacciones de proceso lazos de control.

Posteriormente, se presentó el método de arreglo de ganancias relativas y su aplicación

como medida de la interacción de procesos. Luego, se discutió la forma de eliminar

interacción para sistemas de n entradas y n salidas mediante la incorporación de un

desacoplador, para posteriormente particularizar el problema en diseño de

desacopladores para sistemas de 2x2. Todos estos conceptos fueron aplicados a un

problema real obtenido de la bibliografía especializada en el tema. Finalmente, se

culmina con recomendaciones generales para el diseño de controladores multilazo,

basándose en los conceptos aquí presentados.


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02 - Introducción al Problema de Control de Sistemas MIMO