CO⁄RAF‹ B‹LG‹ S‹STEMLER‹ ‹Ç‹N TEMEL ‹STAT‹ST‹K · PDF fileANA KÜTLE ORTALAMASINA ‹L‹ﬁK‹N TESTLER ... Co¤rafi Bilgi Sistemleri ‹çin Temel ‹statistik

T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2326

AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1323

CO⁄RAF‹ B‹LG‹ S‹STEMLER‹ ‹Ç‹NTEMEL ‹STAT‹ST‹K

YazarProf.Dr. Adnan KONUK (Üniteler 1-8)

EditörYrd.Doç.Dr. Hakan UYGUÇG‹L

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

www.hedefaof.com

Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.

‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›tveya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.

Copyright © 2011 by Anadolu UniversityAll rights reserved

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmittedin any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹

Genel Koordinatör Prof.Dr. Levend K›l›ç

Genel Koordinatör Yard›mc›s›Doç.Dr. Müjgan Bozkaya

Ö¤retim Tasar›mc›s›Arfl.Gör.Dr. Mestan Küçük

Grafik Tasar›m YönetmenleriProf. Tevfik Fikret Uçar

Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z Ö¤r.Gör. Nilgün Salur

Ölçme De¤erlendirme SorumlusuÖ¤r.Gör. H. Reha Akgün

GrafikerlerAyflegül Dibek, Ufuk Önce,

Hazal Y›ld›r›m, Adnan Çamur

Kitap Koordinasyon BirimiYrd.Doç.Dr. Feyyaz Bodur

Uzm. Nermin Özgür

Kapak DüzeniProf. Tevfik Fikret Uçar

DizgiAç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

Co¤rafi Bilgi Sistemleri ‹çin Temel ‹statistik

ISBN 978-975-06-1000-4

1. Bask›

Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 250 adet bas›lm›flt›r.ESK‹fiEH‹R, Eylül 2011

www.hedefaof.com

‹çindekilerÖnsöz ............................................................................................................ vii

Temel ‹statistik Kavramlar..................................................... 2ÖRNEKLEME KAVRAMLARI ........................................................................ 3‹statistiksel Kütle Türleri .............................................................................. 3Ana Kütle ve Örnek Kütle............................................................................ 4Örnekleme Yöntemleri ................................................................................. 4

Rassal Olmayan Örnekleme ................................................................... 5Rassal Örnekleme.................................................................................... 5

VER‹LER‹N TOPLANMASI VE SER‹LER HAL‹NDEDÜZENLENMES‹ .......................................................................................... 8Zaman ve Mekan Serileri ............................................................................. 8

Nitel (Kalitatif) Seriler ............................................................................. 10Nicel Seriler ............................................................................................. 10

VER‹LER‹N SUNULMASI .............................................................................. 14Zaman Serilerinin Grafiksel Gösterimi (Kartezyen Grafik)......................... 14Nitel Serilerin Grafiksel Gösterimi (Pasta Grafi¤i) ..................................... 15Nicel Serilerin Grafiksel Gösterimi............................................................... 16Özet ............................................................................................................... 18Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 19Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 20S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 20Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 20

Merkezi E¤ilim ve Da¤›l›m Ölçüleri....................................... 22MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ ...................................................................... 23Aritmetik Ortalama........................................................................................ 23A¤›rl›kl› Ortalama .......................................................................................... 28Geometrik Ortalama...................................................................................... 29Harmonik Ortalama ..................................................................................... 31Kareli Ortalama ............................................................................................. 32Medyan .......................................................................................................... 33Mod ................................................................................................................ 36DA⁄ILIM ÖLÇÜLER‹ .................................................................................... 37De¤iflkenlik Aral›¤› ........................................................................................ 37Varyans ve Standart Sapma .......................................................................... 38De¤iflkenlik Katsay›s› .................................................................................... 39Özet................................................................................................................ 41Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 42Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 43S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 44Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 45

Olas›l›k Da¤›l›m Modelleri ...................................................... 46OLASILIK DA⁄ILIMLARINA GENEL BAKIfi................................................. 47BAZI KES‹KL‹ OLASILIK DA⁄ILIM MODELLER‹ ....................................... 47Binom Da¤›l›m› ............................................................................................ 48

‹ ç indek i ler iii

1. ÜN‹TE

2. ÜN‹TE

3. ÜN‹TE

www.hedefaof.com

Poisson Da¤›l›m›............................................................................................ 50BAZI SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIM MODELLER‹ ...................................... 52Normal Da¤›l›m ............................................................................................. 52

Standart Normal Da¤›l›m ........................................................................ 54Çarp›kl›k ve Bas›kl›k Katsay›s› ............................................................... 55Normal Olas›l›k E¤risinin Alt›nda Kalan Alanlar›n Hesaplanmas›........ 57

Lognormal Da¤›l›m ...................................................................................... 60Özet ............................................................................................................... 63Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 64Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 65S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 65Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 66

Güven Aral›¤› Tahminleri ....................................................... 68‹STAT‹ST‹KTE TAHM‹NLEME....................................................................... 69Nokta Tahmini............................................................................................... 69Güven Aral›¤› ve S›n›rlar› ............................................................................ 70ANA KÜTLE ORTALAMASI ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄I ................................... 71Ortalaman›n Standart Hatas› ......................................................................... 72Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas›n›n Güven Aral›¤› .............. 72Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas›n›n Güven Aral›¤› .............. 74ANA KÜTLE ORANI ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄I ............................................... 75Oran Ortalamas›n›n Standart Hatas›............................................................. 75Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas›n›n Güven Aral›¤› .... 76Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Oran› Ortalamas›n›n Güven Aral›¤› ... 77‹K‹ ANA KÜTLE ORTALAMASI ARASINDAK‹ FARKIN GÜVENARALI⁄I ......................................................................................................... 78‹ki Ana Kütle Ortalamas› Aras› Fark›n Standart Hatas› ............................... 79Büyük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Ortalamas› Aras›ndakiFark›n Güven Aral›¤›..................................................................................... 79Küçük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Ortalamas› Aras›ndakiFark›n Güven Aral›¤›..................................................................................... 81‹K‹ ANA KÜTLE ORANI ARASINDAK‹ FARKIN GÜVEN ARALI⁄I ............ 81‹ki Ana Kütle Oranlar› Aras›ndaki Farklar›n Standart Hatas›...................... 81Büyük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Oran› Aras›ndaki Fark›n GüvenAral›¤› ............................................................................................................. 82Küçük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Oran› Farklar›n›n Güven Aral›¤› ... 82VARYANS ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄I ................................................................ 83Özet ............................................................................................................... 85Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 86Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 87S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 88Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 88

‹statistiksel Karar Vermede Hipotez Testleri ...................... 90H‹POTEZ‹N KURULMASI VE TEST‹............................................................. 91Hipotezlerin Kurulmas› ................................................................................. 92

Red Bölgesinin Tan›mlanmas› ................................................................ 92Test ‹statisti¤ini Hesaplanmas› ve Karar Verme.................................... 93

ANA KÜTLE ORTALAMASINA ‹L‹fiK‹N TESTLER ...................................... 94

‹ ç indek i leriv

4. ÜN‹TE

5. ÜN‹TE

www.hedefaof.com

Büyük Örneklemelerde Ortalamalar›n Testi................................................ 95Küçük Örneklemelerde Ortalamalar›n Testi................................................ 97ANA KÜTLE ORANINA ‹L‹fiK‹N TESTLER .................................................. 99Büyük Örneklemelerde Oranlar›n Testi ...................................................... 100Küçük Örneklemelerde Oranlar›n Testi ..................................................... 101ANA KÜTLE ORTALAMALARI ARASINDAK‹ FARKLARIN TEST‹............... 102Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamalar› Aras›ndaki Farklar›n Testi ............................................................................. 102Küçük Örneklemelerde Ortalamalar Aras›ndaki Farklar›n Testi ............................................................................ 104VARYANSLARIN TEST‹ ................................................................................. 105Özet................................................................................................................ 108Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 109Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 110S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 110Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 112

Regresyon ve Korelasyon........................................................ 114DE⁄‹fiKENLER ARASI ‹L‹fiK‹LER ................................................................ 115Belirleyici ve Deneysel ‹liflkiler ................................................................... 115Ba¤›ml› ve Ba¤›ms›z De¤iflkenler................................................................. 116De¤iflkenler Aras› ‹liflkinin Yönü ve Derecesi............................................. 116BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYON VE KORELASYON ................................ 116Serpilme Diyagram›....................................................................................... 117En Küçük Kareler Yöntemi........................................................................... 119Standart Hata ve Tahminlerin Güven Aral›¤› .............................................. 124Korelasyon Katsay›s› ..................................................................................... 126Korelasyon Katsay›s›n›n Test Edilmesi......................................................... 127E⁄R‹SEL (ÜSTEL) REGRESYON VE BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI .................... 131Üstel Regresyon ........................................................................................... 131Belirlilik Katsay›s› ve Standart hata.............................................................. 133Özet ............................................................................................................... 138Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 139Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 140S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 141Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 143

Jeoistatistiksel Kavramlar ....................................................... 144BÖLGESELLEfiM‹fi DE⁄‹fiKENLER .............................................................. 145Yersellik (Lokalizasyon)................................................................................ 146Devaml›l›k .................................................................................................... 146Yönsel De¤iflim (Anizotropi) ....................................................................... 146Geçifller ......................................................................................................... 147VAR‹OGRAM VE SEM‹-VAR‹OGRAM........................................................... 147Deneysel Semi-Variogram Parametreleri .................................................... 147

Külçe Varyans› (C0) ................................................................................ 148Eflik De¤er (C0+C) ................................................................................. 148Külçe Etki Oran› (e)................................................................................ 148Etki Mesafesi (a)...................................................................................... 148Yönsel Etki Mesafesi Oran› (Anisotropi Oran›) ................................... 148

‹ ç indek i ler v

6. ÜN‹TE

7. ÜN‹TE

www.hedefaof.com

Semi-Variogram›n Yönsel De¤iflimi (Anizotropi) ........................................ 149Semi-Variogram Fonksiyonunun Orijine Yak›n Davran›fl› ........................ 149KURAMSAL SEM‹-VAR‹OGRAM MODELLER‹.............................................. 153Küresel (Spherical) Model ............................................................................ 153Üstel (Eksponansiyel) Model........................................................................ 154Do¤rusal Model ............................................................................................. 155Özet ............................................................................................................... 160Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 161Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 162S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 163Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 164

Konumsal Tahmin (‹nterpolasyon) ve Kriging.......................166UZAKLI⁄A BA⁄LI TAHM‹N YÖNTEMLER‹ ................................................ 167KLAS‹K KONUMSAL TAHM‹N YÖNTEMLER‹ ............................................. 168En Yak›n Komflu Yöntemi ............................................................................ 168Yüzey Trend Analizi ..................................................................................... 171Uzakl›¤›n Tersi ‹le A¤›rl›kland›rma Yöntemi ............................................... 172KR‹G‹NG TAHM‹N YÖNTEM‹ .................................................................... 174Nokta Kriging ............................................................................................... 175Özet................................................................................................................ 184Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 185Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 187S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 187Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 189Ki Kare Tablosu............................................................................................. 190T Tablosu....................................................................................................... 191Z Tablosu....................................................................................................... 192

‹ ç indek i lervi

8. ÜN‹TE

www.hedefaof.com

Önsöz

Günümüzde sosyal, ekonomik, tar›msal, çevresel vb. sorunlara yönelik ko-

numsal verilerin toplanmas›, saklanmas› ve sunulmas› ifllevlerini gerçeklefltiren

Co¤rafi Bilgi Sistemleri’nin kullan›m› gün geçtikçe yayg›nlaflmaktad›r. Co¤rafi Bil-

gi Sistemleri (CBS) ile konumsal gözlem veya araflt›rma yapan personelin ise top-

lanan büyük hacimli verileri istatistik yöntemlerle de¤erlendirerek yorumlanmas›

ve karar verme çal›flmalar›nda istatistik bilgisine sahip olmas› gerekmektedir. Co¤-

rafi Bilgi Sistemlerinin üretti¤i bilgileri kullanan yöneticilerin de, gözlemlenen ve-

ya araflt›r›lan konumsal verilerden sonuç elde ederek süreçleri gelifltirebilmeleri,

tahmin yapabilmeleri ve karar verebilmeleri için istatistik yöntemleri ve modelleri

kullanabilmeleri gerekmektedir.

Co¤rafi Bilgi Sistemleri ‹çin Temel ‹statistik ad› alt›nda haz›rlanm›fl olan bu ki-

tapla, Co¤rafi Bilgi Sistemlerini kullanan personel ve karar verici konumundaki

yöneticilere temel düzeyde ilgili istatistiksel problemleri çözebilecek istatistik bil-

gisini kazand›rmak amaçlanm›flt›r. Kitap, yayg›n olarak kullan›lan temel konular›n

örnek uygulamalarla ele al›nd›¤› sekiz üniteden oluflmaktad›r. Kitapta birinci

ünitede verilen temel istatistik kavramlar›n ard›ndan, ikinci ünitede merkezi e¤i-

lim ve da¤›l›m ölçüleri, üçüncü ünitede baz› kesikli ve sürekli olas›l›k da¤›l›m mo-

delleri, dördüncü ünitede güven aral›¤› tahmin yöntemleri, beflinci ünitede istatis-

tiksel karar vermede kullan›lan hipotez testi yöntemleri, alt›nc› ünitede regresyon

ve korelasyon analizleri, yedinci ünitede jeoistatistiksel kavramlar ve sekizinci

ünitede konumsal tahminde kullan›lan klasik istatistik ve jeoistatistik yöntemler

ele al›nm›flt›r. Her ünitede konularla ilgili örneklere yer verilmifl, s›ra sizde soru-

lar› ile ö¤renilen konular›n pekifltirilmesi ve kendimizi s›nayal›m bafll›¤› alt›nda

verilen soru ve yan›tlarla kendinizi s›naman›z hedeflenmifltir.

Temel istatistik bilgilerini kavrad›kça ve uygulamalarda kulland›kça, toplad›¤›-

n›z verileri daha iyi derledi¤inizi, yorumlad›¤›n›z› ve veriler yard›m›yla tahminler

yap›p karar verebildi¤inizi göreceksiniz. Kitab›n, Co¤rafi Bilgi Sistemleri konusun-

da çal›flan ö¤renci, araflt›rmac› ve yöneticilere yararl› olmas› dileklerimle…

Editör

Yrd.Doç.Dr. Hakan UYGUÇG‹L

Önsöz vii

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Örnekleme kavramlar›n› ö¤renerek örnekleme yöntemi seçimini yapabilecek,‹statistiksel verilerin toplanmas› ve düzenlenmesi çal›flmalar›n› temel anlam-da gerçeklefltirebilecek,‹statistiksel verileri sunabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Ana kütle • Örnek kütle• Örnekleme• ‹statistik Seriler • ‹statistik Grafikler

• Rassal Örnekleme• Küme Örnekleme• Tabakal› Örnekleme• Dilim Örnekleme• Kota Örneklemesi

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NN

N

Co¤rafi BilgiSistemleri ‹çin Temel

‹statistik

• ÖRNEKLEME KAVRAMLARI• VER‹LER‹N TOPLANMASI VE

SER‹LER HAL‹NDE• DÜZENLENMES‹• VER‹LER‹N SUNULMASI

1CO⁄RAF‹ B‹LG‹ S‹STEMLER‹ ‹Ç‹N TEMEL‹STAT‹ST‹K

Temel ‹statistikKavramlar

www.hedefaof.com

ÖRNEKLEME KAVRAMLARI ‹statistiksel araflt›rmalarda genellikle belirli bir ana kütle de¤iflken ve parametrele-ri hakk›nda bilgi üretilmeye çal›fl›l›r. Ana kütle parametre ve de¤iflkenleri hakk›n-da tam ve do¤ru bilgi üretebilmek için tüm ana kütlenin ele al›nmas› gerekir. An-cak, tüm ana kütlenin ele al›nmas› süreci hem çok zaman al›c› hem de pahal› ol-du¤undan, genellikle ana kütleyi temsil edebilecek say›da örnek alarak, bu örnekkütle yard›m›yla ana kütle parametreleri hakk›nda bilgi üretilmeye çal›fl›r. Sorun,ana kütleyi temsil edecek düzeyde örnekleme yapmak ve örnek kütlenin boyutuhakk›nda karar vermektir.

‹statistiksel Kütle Türleri ‹statistikse anlamda kütleler, oluflum flekline göre gerçek ya da varsay›msal, sonluya da sonsuz ve sürekli ya da süreksiz olufluna göre s›n›fland›r›labilmektedir.

Gerçek birimlerden oluflan kütleye gerçek kütle, gelecekte oluflturulabilecekbirimlerden oluflan kütleye varsay›msal kütle denir. Örne¤in, bir toplu konut pro-jesinde inflaat› tamamlanm›fl konutlar gerçek kütleyi olufltururken, gelecek y›llardatamamlanacak konutlar varsay›msal kütleyi oluflturur.

Bir kütledeki birimler tam olarak say›labiliyorsa bu tür kütlelere sonlu kütle,kütleyi oluflturan birimler say›labiliyor olmakla birlikte tamam›n› sayabilmek müm-kün de¤il ise bu tür kütlelere sonsuz kütle denilir. Örne¤in, Çanakkale Bo¤az›n-dan bir ayda geçen gemileri sayabilmek mümkün iken, bal›klar› sonlu say›da say-mak mümkün de¤ildir.

Baz› kütleler sonlu olmakla birlikte, tam say›m yap›ld›¤›nda zarar görme veya yok olma-s› sözkonusu olur. Bu gibi kütleleri de sonsuz kütle olarak kabul etmek gerekir. Örne¤in,bir binan›n beton sa¤laml›¤›n› test etmek için tüm kolonlar› örnekledi¤imizde, binan›ngöçmesi sözkonusudur. Bu durumda, bina kolonlar› betonunu sonsuz kütle kabul etmekgerekir.

Do¤al birimlerden oluflan, parçaland›klar› ya da birlefltirildiklerinde nitelikleri-ni kaybeden kütlelere süreksiz kütle; do¤al olmayan birimlerden oluflan, parçalan-d›klar› ve birlefltirildiklerinde niteliklerini kaybetmeyen kütlelere ise sürekli kütledenir. Örne¤in, cam bardak ve porselen tabak süreksiz kütleyi oluflturur. Bununla

Temel ‹statistik Kavramlar

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE SIRA S ‹ZDE

AMAÇLARIMIZAMAÇLARIMIZ N NK ‹ T A P

T E L E V ‹ Z Y O N

K ‹ T A P


‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T

www.hedefaof.com

birlikte, cam bardak yap›m›nda kullan›lan silis kumu veya porselen tabak yap›m›n-da kullan›lan kil madeni sürekli kütleyi oluflturur.

Bir bölgede bulunan a¤aç türleri üzerine araflt›rma yap›lmaktad›r. A¤aç türleri kütlesi,sonlu kütle mi yoksa sonsuz kütle midir?

Ana Kütle ve Örnek KütleSonlu veya sonsuz say›da birimden oluflan canl› ya da cans›z toplulu¤un tamam›-na ana kütle denir. Ana kütlenin ne oldu¤u hakk›nda karar verirken, ana kütleyioluflturan birimlerin ayn› nedenlerin etkisi alt›nda kalmas›na, ayn› özelliklere sahipolmas›na veya baz› ortak özelliklerinin olmas›na dikkat etmemiz gerekmektedir.

Ana kütle birim say›s›n›n çok büyük olmad›¤›, mekansal olarak çok genifl biralana yay›lmad›¤›, araflt›rma için ayr›lan bütçenin ve sürenin k›s›tl› olmad›¤› vearaflt›rma s›ras›nda birimlerin zarar görme olas›l›¤›n›n olmad›¤› durumlarda anakütle birimlerinin tamam› hakk›nda bilgi elde edilme yoluna gidilir. Böyle bir ça-l›flmaya tam say›m denilmektedir (Orhunbilge, 2000). Örne¤in, bir s›n›ftaki ö¤ren-cilerin belirli bir dersteki not ortalamas›n› belirlemek için tüm ö¤rencilerin notlar›ele al›n›r. Ancak, bir binan›n beton kalitesini belirlemek için binaya zarar verme-den tüm kolonlar›n›n beton sa¤laml›¤›n› test etmek mümkün de¤ildir.

Türkiye’de otoyol ar›zalar›n›n trafik kazalar›na etkilerinin araflt›r›ld›¤› bir çal›flmada, tamsay›m yapmak mümkün müdür? Nedenlerini aç›klay›n›z.

Ana kütlenin sonsuz veya sonlu fakat çok say›da birimden olufltu¤u, tam say›miçin bütçenin yetersiz ve fazla zaman›n olmad›¤› veya birimlerin tamam›n›n say›m›s›ras›nda ana kütlenin zarar görme olas›l›¤› oldu¤u durumlarda, ana kütleyi temsiledecek say›da birim seçilerek araflt›rmalar sürdürülür. Ana kütleyi temsil edeceksay›da birimden oluflan kütleye örnek kütle denilir. Örne¤in, bir akarsuyun kirlili-¤ini belirlemek için belirli zaman aral›klar›nda al›nan su örnekleriyle, su kirlili¤ihakk›nda fikir edinilebilir.

Ana kütle birimleri say›s›n›n tamam›na ana kütle hacmi veya boyutu denilmek-te olup, “N” ile simgelenir. N birimlik ana kütleden elde edilen örnek kütlelerin bi-rim say›s›na ise örnek hacmi veya örnek boyutu denilir ve “n” simgesi ile gösteri-lir. Örnek kütle, ana kütleden elde edilen bir alt kütle oldu¤una göre, n<N olur(Serper, 2000).

‹statistiksel araflt›rma çal›flmalar›nda, ana kütleden elde edilen örnek kütle ileana kütle parametrelerini tahmin etmek mümkündür. Ancak, gerçe¤e yak›n ve tamsay›m de¤erlerine yak›n sonuçlar elde edilebilmesi için örnek kütle birim say›s›n›nmümkün oldu¤unca büyük (çok say›da) olmas› gerekmektedir. Örnek boyutu (bi-rim say›s›) artt›kça, örnek kütle parametreleriyle ana kütle parametrelerinin tahmi-nindeki hata büyüklü¤ü de o derecede azal›r.

Örnekleme YöntemleriAna kütle birimlerinin belirli bir k›sm›n›n gözlemlenmesi anlam›na gelen örnekle-menin do¤ru yap›lmas›, ana kütlenin do¤ru tan›mlanmas›na ve amaca uygun ola-rak seçilen örnekleme yöntemine ba¤l› olarak de¤iflir. Ana kütleyi kapsayan birim-lerin s›n›rland›r›lmas› ifllemi çerçevenin belirlenmesi ile gerçeklefltirilir. Örne¤in,fosil yak›tlar›n çevre kirlili¤i üzerindeki etkilerini araflt›ran bir araflt›rma yap›lacak-

4 Co¤raf i Bi lg i S istemler i ‹ç in Temel ‹stat ist ik

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Örnekleme boyutunu,örneklemeden beklenen hataboyutuna ba¤l› olarakbelirleyebiliriz. Bu kitab›n 4.ünitesinde, güven aral›¤›tahminleri ele al›n›rkenörnekleme boyutu hakk›ndada bilgi sahibi olaca¤›z.

www.hedefaof.com

sa, öncelikle sobalarda yak›lanlar›n m› yoksa termik santralin mi etkilerinin araflt›-r›laca¤›na karar vermek gerekir. Ancak, her zaman çerçevenin belirlenmesi kolayolmaz veya çerçevenin tan›mlanmas› mümkün olmayabilir (Cula ve Muluk, 2006).

Örnekleme yöntemleri, ana kütle birimlerinin yap›s›na ve örnekleme amac›nagöre belirlenebilmektedir. Ana kütledeki birimlerin her birinin örnek kitleye girmeolas›l›¤›na göre örnekleme yöntemlerini afla¤›daki gibi s›n›flamak mümkündür.

Rassal Olmayan ÖrneklemeAna kütleden örnek seçiminin rassal olarak yap›lmad›¤›, araflt›rmac›n›n kendi tak-diri veya iradesi ile seçti¤i birimlerden oluflan örnekleme rassal olmayan örnekle-medir. Ana kütleden yap›lan bu tür örneklemelerde, araflt›rmac›n›n ana kütle hak-k›ndaki bilgisi, uzmanl›¤› ve yans›zl›¤› önemlidir. Araflt›rmac›n›n bilgisinin yetersizveya yanl› olmas› durumunda, ana kütleden seçilecek örneklerin afl›r› küçük veyabüyük olmas› ve örnek kütle ile yap›lacak de¤erlendirmelerin büyük hatalar içer-mesi söz konusu olabilir. Bu sak›ncalar› nedeniyle, rassal olmayan örnekleme ista-tistiksel çal›flmalarda tercih edilmemektedir.

Bununla birlikte, baz› zorunlu durumlarda rassal olmayan örneklemeye baflvur-mak gerekli olabilmektedir. Ana kütleyi oluflturan birimler çok genifl bir alana ya-y›lm›fl ise, tüm co¤rafik alanlardan örnekleme yapmak zaman ve bütçe aç›s›ndanmümkün olmayabilir. Bu durumda, ana kütleyi tüm özellikleriyle temsil edebile-cek dar bir alandan örnekleme yap›lmas› gerekebilir. Bu tür örneklemelere rassalolmayan dilim örneklemesi denilmektedir (Cula ve Muluk, 2006). Örne¤in, Tür-kiye genelinde yap›lacak bir araflt›rmada ‹stanbul’un örnek flehir olarak seçilmesiyeterli olabilir.

Ana kütlenin s›n›fland›r›lmas› halinde farkl› k›s›mlardan veya bölümlerden olufl-tu¤u biliniyorsa, örneklemenin tüm k›s›mlar› temsil etmesi amac›yla her bir k›smabelirli oranlarda kota konularak örnek al›nmas› tercih edilebilir. Bu tür örnekleme-lere kota örneklemesi denilmektedir (Orhunbilge, 2000). Örne¤in, belirli bir ko-nuda bir üniversitede yap›lacak anket çal›flmas› için fakültelerin toplam ö¤renci sa-y›lar› ile orant›l› ö¤renci say›lar› belirlenerek, anket uygulamas›n›n tüm fakültele-rin ö¤rencilerini temsil etmesi sa¤lanabilir.

‹malat sanayinde çal›flan iflçilerin ifl kazas› geçirme olas›l›klar›n›n araflt›r›ld›¤› bir çal›fl-mada, imalat sanayi iflletmelerinin makine, otomotiv, kimya, seramik, çimento gibi ayr› ay-r› de¤erlendirildi¤i durumda, her ifl kolunda faaliyet gösteren iflletmelerin %10’undan ör-nekleme yap›l›rsa, bu örnekleme ne tür örnekleme olur?

Rassal ÖrneklemeAna kütle birimlerinin her birine belirli ve s›f›rdan büyük bir olas›l›kla örnek küt-leye seçilme flans›n›n verildi¤i örneklemelere rassal örnekleme denilir. Rassal ör-neklemenin en önemli özelli¤i, ana kütledeki her birimin örne¤e dahil olma olas›-l›¤›n›n ayn› olmas›d›r. Ana kütlenin yap›s›na göre rassal örneklemeler farkl› flekil-lerde yap›labilmektedir.

Basit Rassal ÖrneklemeN birimlik ana kütleden, her birine eflit seçilme flans› verilmesi ile n birimlik örnekseçilmesi ifllemine basit rassal örnekleme denilir. Bu tür örnekleme genellikle son-lu bir ana kütleden yap›lmakta olup, N birimlik ana kütledeki ilk birimin seçilme

51. Ünite - Temel ‹stat ist ik Kavramlar

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

www.hedefaof.com

flans› 1/N’dir. Ancak, i=1’den N’e kadar daha sonraki seçimlerde, daha önceki ör-ne¤in seçilme flans› olmad›¤›ndan, örneklerin seçilme flans› 1/(N-i) olur.

Basit rassal örneklemede, sonlu say›daki N birimlik ana kütleden rassal örnekseçimi, kura yöntemi, rassal say›lar çizelgesi veya bilgisayar programlar›n›n ras-sal say› üreteci (RND fonksiyonu) kullan›labilir. Ana kütle birim say›s›n›n çok kü-çük oldu¤u durumlarda genellikle kura yöntemine baflvurulur (Orhunbilge,2000). Örne¤in, 100 kifli çal›flan bir iflletmede çal›flan memnuniyetini belirlemekiçin yap›lacak anket çal›flmas› için 30 kiflinin seçilmesi gerekmektedir. Bu seçimiflleminde öncelikle, 100 kifli 1’den 100’e kadar numaraland›r›l›r. Sonra rassal sa-y›lar çizelgesinden 30 adet say› belirlenir ve bu say›lara karfl›l›k gelen çal›flanla-ra anket uygulan›r.

Basit rassal örnekleme yöntemi kullanman›n yararl› yönleri;• Ana kütledeki her birimin eflit seçilme flans› vard›r• Ana kütle çok büyük ve karmafl›k de¤ilse seçme ifllemi kolayd›r• Örnek kütle ile yap›lan istatistiksel ifllemlerde a¤›rl›kland›rma yapmaya ge-

rek olmaz. Basit rassal örnekleme yöntemi kullanman›n sak›ncalar› ise;• Ana kütlenin çok büyük oldu¤u durumlarda, ana kütleyi s›ralamak ve ana

kütleden seçmek güçtür.• Araflt›r›lan özellik, ana kütle birimlerinde baz› de¤ifliklikler gösterebilir.• Örnekleme seçilecek birimler mekansal olarak çok genifl bir alana da¤›lm›fl

olabilir.

Sistematik Rassal ÖrneklemeSistematik rassal örnekleme yöntemi, ana kütle birimlerinin seri olarak numaralan-d›r›labildi¤i ya da kay›t alt›na al›nabildi¤i durumlar için uygulan›r. Bu yöntem, anakütle birim say›s›n›n (N) sonlu ve birimlerin belirli bir s›rada dizildi¤i, örnek kütlesay›s›n›n (n) da belirli oldu¤u durumlarda uygulanabilir.

Yöntemin uygulanmas›nda, öncelikle anakütle 1 den N’e kadar numaralan›r.Daha sonra büyütme faktörü k=N/n ifllemi ile hesaplan›r. Bu ifllemler tamamlan-d›ktan sonra s›ralanm›fl ana kütlenin ilk k tane birimi aras›ndan bir tanesi rassalolarak seçilir. Rassal olarak bafllang›ç noktas›n›n seçilmesinden sonra, ana kütleninher k’›nc› birimi örnek kütleye seçilir. Ana kütleden, sistematik olarak “k” eklene-rek seçim ifllemi, örnek kütle birey say›s›na (n) ulafl›ncaya kadar devam edilir.

Bir belediye, 1000 hane bulunan bir mahallede 50 haneyi örnek seçerek baz› uy-gulamalar› ile ilgili görüfllerini almak istemektedir. Bu durumda, k = 1000 / 50 =20 olarak hesaplan›r ve her 20 hanede bir örnekleme yap›lmas› gerekecektir. Bafl-lang›ç say›s› rassal say›lar çizelgesinde 1 ile 20 aras›nda bir say› seçilerek bulunur.Örne¤in seçilen say› 12 ise önce 12’inci hanenin görüflleri örnek olarak al›n›r, son-ra her 20 hanede bir hanenin görüflü al›n›r. Örneklenen n adet hanenin numara-lar› 12, 32, 52, 72, ......992 olacakt›r.

Bir sanayi bölgesinde bulunan 100 tekstil fabrikas›ndan 20 tanesi seçilerek verimlilik ana-lizleri yap›lmak istenmektedir. Rassal say›lar çizelgesinden seçilen say›, büyütme faktörü sa-y›s›na eflit oldu¤una göre, hangi nolu fabrikalar› sistematik olarak rassal örnekleyebiliriz?


Bir çok istatistik kitab›n›nekinde rassal (tesadüfi veyarastgele) say›lar çizelgesibulunabilir. Bu çizelgeler,dört veya befl basamakl›rassal ifllemlerle eldeedilmifl say›lardanoluflabilece¤i gibi, s›f›r ilebir aras› say›lardan daoluflabilmektedir. Örne¤in,Neyran Orhunbilge’ninTan›msal ‹statistik Olas›l›kve Olas›l›k Da¤›mlar› (Avc›olBas›m Yay›n, ‹stanbul,2000) isimli kitab›n›n ekindeverilen rassal say›larçizelgesi befl basamakl›say›lardan oluflmaktad›r. Buçizelgeyi 100 adet rassalörnekleme için kullanmakistersek, verilen beflbasamakl› say›lar›n ilk ikibasama¤›n›, 1000 adetrassal örnekleme için ise ilküç basama¤›n› dikkatealarak elde edece¤imizrassal say›lar› kullanabiliriz.Bilgisayar programlar›ndavar olan RND fonksiyonu ise0 ile 1 aras› say›lardanolufltu¤undan, bu say›lar›ise rassal örnek say›s› ileçarparak kullan›r›z.

Ö R N E K 1

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T


4

www.hedefaof.com

Mekansal (konumsal) ya da zamansal ana kütle birimlerinden eflit aral›klarla ör-nekleme yapmada da sistematik örnekleme yöntemi kullan›labilmektedir. Özellik-le çevresel de¤iflimlerin ve maden yataklar›nda rezerv-tenör belirleme çal›flmalar›-n›n yap›ld›¤› yerlerde sistematik örnekleme oldukça kullan›fll› bir yöntemdir. An-cak, örnekleme yap›lan alan büyüdükçe sistematik örnekleme zorlafl›r ve baz› yön-sel sürekli de¤iflimlerin oldu¤u alanlarda, örnekleme rassall›ktan uzaklaflabilir. Ör-ne¤in, ekolojik de¤iflimin araflt›r›ld›¤› bir alanda, belirlenen hatlar boyunca 10 maral›klarla sistematik rassal bitki örnekleri al›nabilir. Ancak, bir maden yata¤›ndatenör de¤iflimini belirlemek amac›yla 100 m aral›klarla örnekler al›nd›¤›nda, örnek-leme hatt›na ba¤l› olarak tenör de¤iflimlerinin yönsel farkl›l›klar gösterdi¤i de göz-lenebilir.

Küme ÖrneklemeAna kütlenin küme ad› verilen gruplara ayr›ld›¤› ve kümelerden örneklerin al›nd›-¤› yönteme küme örnekleme denilmektedir. Bu yöntemde N birimlik ana kütle Madet kümeye ayr›lmakta ve her kümeden rassal olarak m birimlik rassal örnek küt-le seçilmektedir.

Ana kütleyi oluflturan birimlerin listelenemedi¤i durumlarda veya co¤rafi olarakgenifl bir alana yay›lm›fl birimler hakk›nda araflt›rma yap›ld›¤› durumlarda maliyet-leri azaltmak amac›yla küme örneklemesinden yararlan›l›r. Küme örneklemedenyararlanarak ana kütle hakk›nda tahminde bulunurken, küme birimlerinin birbiri-nin benzeri oldu¤u durumlarda hata ihtimali de artabilmektedir.

Maden iflletmelerinde ifl kazalar›n›n araflt›r›ld›¤› bir durumda, maden iflletmelerikömür, metal, endüstriyel hammaddeler ve tafl-kum-m›c›r iflletmeleri olarak küme-lere ayr›labilir. Bu durumda, üretim yöntemleri farkl› (örne¤in kömür madencili-¤inde yer alt› ocak iflletmecili¤i yayg›nken tafl-kum-m›c›r iflletmelerinin tamam›n-da yerüstü ocak iflletmecili¤i uygulan›r) ve çal›flan iflçi say›lar› farkl› olan kümeler-den eflit say›larda m birimlik örnek al›n›p ana kütle hakk›nda tahmin yap›lmas›büyük hatalara neden olacakt›r.

Küme örnekleme kademeli olarak ta yap›labilir. E¤er her bir kümeden m birim-lik örnekler al›n›rsa, bu örnekleme türüne tek kademeli basit küme örneklemesidenilir. Ancak, her kümedeki m adet birimden ayr›ca rassal örnekleme yap›l›rsa,bu örneklemeye ise ikinci kademe küme örneklemesi denilir.

Tabakal› ÖrneklemeAna kütledeki birimlerin özelliklerinin önemli farkl›l›klar gösterdi¤i durumlarda,bu birimleri “tabaka” ad› verilen homojen alt gruplara ay›rmak gerekmektedir. Anakütlenin tabakalara ayr›lmas› sonras›nda her bir tabakadan rassal örnekleme yap›-l›r ve elde edilen sonuçlar birlefltirilirse tabakal› örnekleme yap›lm›fl olur (Serper,2000). Tabakal› örnekleme, sonlu say›da birime sahip ana kütlelerde alt tabakalarveya alt birim gruplar›n›n var oldu¤u durumlarda kullan›l›r.

Tabakal› örneklemede, tabakalar›n do¤ru oluflturulmas› gereklidir. Tabakal› ör-neklemeden iyi sonuç alabilmek için, tabakalar›n kendi içinde homojen olmas› vetabakalar aras›nda gerçek bir farkl›l›k bulunmas› gerekir.

Tabakal› örneklemelerde her tabakan›n birim say›s›n›n her zaman eflit olmas›n›sa¤lamak olanaks›zd›r. Bu durumda, iki farkl› yöntemle örnek seçimi yap›l›r. Birin-cisinde, tabakalardaki birim say›s› dikkate al›nmadan her tabakadan eflit say›da ör-


Ö R N E K 2

www.hedefaof.com

nekleme yap›l›r. Orant›s›z seçim denilen bu yöntem sonucunda istatistiksel de-¤erlendirmeler yap›l›rken, tabakalar›n birim say›lar› ile a¤›rl›kl› hesaplamalar yap-mak gerekir. ‹kincisinde ise, tabakalardaki birim say›lar›yla orant›l› olarak örnekle-me yap›l›r. Orant›l› seçim denilen bu yöntem sonucunda istatistiksel de¤erlendir-meler yap›l›rken aritmetik ortalama a¤›rl›ks›z hesaplan›r.

Tabakal› örnekleme kullan›m›n›n yararlar›;• Tabakalanma iyi yap›l›r ise daha do¤ru bilgi elde etme olana¤› vard›r.• Her tabakadan al›nan örneklemin kendi tabakas›n› temsil yetene¤i oldu¤un-

dan her tabaka için ayr› sonuç elde etme olana¤› da sa¤lar.Tabakal› örnekleme kullanman›n sak›ncalar› ise;• Örnekleme hatas›n› hesaplamak zor olabilir.• Tabakalar›n birim say›lar› düflük olursa, tabakalara ba¤l› araflt›rma sonucu

elde edilecek bilginin do¤rulu¤u azal›r.

Bir yerleflim biriminin y›ll›k ortalama hava s›cakl›¤› de¤iflimlerinin ölçülmek is-tendi¤i bir durumda, s›cakl›¤›n aylara ba¤l› de¤iflimi dikkate al›nmadan ör-nekleme yap›l›rsa, elde edilecek sonuçlar gerçe¤i yans›tmayabilir. Bunun içinönce aylara göre tabakalama yap›lmal› ve her tabakadan basit rassal örnekle-me yöntemiyle belirli say›da örnek ölçümler yap›l›rsa, sonuç daha anlaml› ola-cakt›r.

VER‹LER‹N TOPLANMASI VE SER‹LER HAL‹NDEDÜZENLENMES‹ ‹statiksel veriler ya haz›r veri kaynaklar›ndan elde edilir ya da araflt›rmac›lar tara-f›ndan anket, gözlem veya deney çal›flmalar› ile toplan›rlar. Elde edilen bu verilergenellikle ham veri fleklindedir. Ham verilerin istatistiksel analize uygun hale geti-rilmesi için düzenlenmesi gerekir. Veriler, örneklenen birimlerin zaman ve mekanözelliklerine, nitel ve nicel özellikleriyle da¤›lma flekillerine göre seriler fleklindedüzenlenebilirler.

Zaman ve Mekan Serileri Örneklenen veya gözlemlenen verilerin çeflitli özelliklerinin saat, gün, ay ve y›lgibi bir zaman birimine göre s›ralamas› veya da¤›l›m› oluflturulursa, bu seriye za-man serisi denilir. Özellikle ülkelerin sosyal ve ekonomik geliflim göstergeleri,iflletmelerde verimlilik ve kalite verileri, hava s›cakl›¤› ve ya¤›fllar, trafik yo¤un-lu¤u ile baz› deneysel veriler zamana ba¤l› olarak iki sütunlu seriler fleklindegösterilirler.

Türkiye ‹statistik Kurumu enflasyon oranlar›n›n de¤iflimini ayl›k ve y›ll›k zamanbirimlerine göre ayr› ayr› zaman serileri fleklinde yay›nlamaktad›r. Tüketici fiyatendeksi (TÜFE) ile hesaplanan enflasyon oranlar› çizelgesinden de görüldü¤ü gi-bi, enflasyon oranlar› 2010 y›l› Ocak ay›nda %1,85 ve Haziran ay›nda -%0,56olarak yay›nlanm›fl olmakla birlikte, 2010 y›l› Ocak-Aral›k aylar› aras› y›ll›k enf-lasyon oran› %6,4 olarak gerçekleflmifltir.


Ö R N E K 3

Zaman serileri, kullan›c›n›nveya araflt›rmac›n›namac›na göre birden farkl›zaman birimi ile degösterilebilmektedir.

Ö R N E K 4

www.hedefaof.com

Örneklenen veya gözlemlenen verilerin çeflitli özelliklerinin köy, flehir, bölge,ülke ve k›ta gibi bir mekan (yerleflim) birimine göre s›ralamas› veya da¤›l›m› olufl-turulursa, bu seriye mekan serisi veya yerleflim serisi denilir. Genellikle ülkelerinsosyal ve ekonomik göstergelerinin de¤iflimi, hava s›cakl›¤› ve ya¤›fllar›n de¤iflimi,çevresel ve ekolojik de¤iflimler, trafik yo¤unlu¤u ile hammadde kaynaklar›n›n da-¤›l›mlar› iki sütunlu mekansal seriler fleklinde gösterilirler.

Türkiye ‹statistik Kurumu (TÜ‹K) hava kalitesi veri taban›nda kent merkezlerininhava kirlili¤i, havadaki kükürtdioksit miktarlar› (µg/m3) ölçüm sonuçlar›n›n ay-l›k ortalamalar› al›narak yay›nlanmaktad›r. Belirli bir kent merkezi için ayl›k ve-riler dikkate al›nd›¤›nda bu seri zaman serisidir. Ancak, afla¤›daki çizelgede veril-di¤i flekliyle sadece 2010 y›l› ocak ay› rakamlar›n›n farkl› kent merkezleri için ya-y›nlanmas› halinde ise bu seri mekan serisi olmaktad›r.

2010 Y›l› Ocak Ay› Hava Kirlili¤i (Kükürtdioksit) Ortalamalar›

En Fazla Hava Kirlili¤i En Az Hava Kirlili¤i

Yerleflim Merkezi Kükürtdioksit

(µg/m3)

Yerleflim Merkezi Kükürtdioksit

(µg/m3)

fi›rnak 336 Eskiflehir 3

Tekirda¤ 229 Adana 4

Bitlis 185 Kahramanmarafl 6

K›r›kkale 185 Osmaniye 7

Hakkari 179 ‹stanbul 9

Tüketici Fiyat Endeksi (TÜFE) ile Hesaplanan Enflasyon Oranlar›

Y›ll›k TÜFE Enflasyon Oranlar› Y›ll›k TÜFE Enflasyon Oranlar›

Y›llar Oran (%) Aylar Oran (%)

2002 29,7 Ocak 1,85

2003 18,4 fiubat 1,45

2004 9,3 Mart 0,58

2005 7,7 Nisan 0,60

2006 9,7 May›s - 0,36

2007 8,4 Haziran - 0,56

2008 10,1 Temmuz - 0,48

2009 6,5 A¤ustos 0,40

2010 6,4 Eylül 1,23


Ö R N E K 5

Kaynak: TÜ‹K Hava Kalitesi Veri Taban›

Kaynak: TÜ‹K (http://www.hazine.org.tr/ekonomi/enflasyon.php)

www.hedefaof.com

Nitel (Kalitatif) SerilerSay›sal olarak ifade edilemeyen, özellik bak›m›ndan do¤al olarak s›n›fland›r›lm›flve kesin hatlarla birbirinden ayr›lan serilere nitel seriler denilir. Nitel serilerde s›-n›flar do¤al olarak oluflmufl oldu¤undan, araflt›rmac› sadece her s›n›fa düflen göz-lem say›lar›n› belirler. Nitel seriler iki sütunlu serilerdir.

Nitel seriler düzenlenirken de¤iflkenin kaç s›n›ftan olufltu¤unun bilinmesi gere-kir. Ancak, nitel de¤iflkenin hangi s›n›fta yer ald›¤› belirlenemiyorsa, s›n›f› belirle-nemeyen veriler için “bilinmeyen” sat›r› oluflturulabilir (Orhunbilge, 2000). Verile-rin bu flekilde seri haline getirilmesi ile nitel özellikler için frekans çizelgeleri olufl-turulmufl olmaktad›r. ‹nsanlar›n cinsiyet, sosyal, kültürel ve ekonomik faaliyet du-rumlar›, bitki ve a¤aç türleri, tar›m ve hayvanc›l›k hakk›nda oluflturulacak serilernitel seri türündedir.

TÜ‹K Hayvanc›l›k ‹statistikleri veri taban›ndan 2009 y›l› için elde edilen büyükbaflhayvan say›lar› iki sütunlu nitel seri olarak afla¤›daki gibi düzenlenebilir. Birincisütunda veriler özellikleri bak›m›ndan do¤al olarak s›n›flan›rken, ikinci sütundasay›sal olarak frekanslar verilmifltir.

Köyden kente göçlerin ve flehirleflmenin araflt›r›ld›¤› bir çal›flmada, nüfus verileri hangiözelliklerine göre do¤al s›n›flara ayr›labilir?

Nicel SerilerSay›sal olarak adet, uzunluk, a¤›rl›k, alan ve hacim gibi çeflitli ölçü birimleriyle ifa-de edilebilen özelliklere göre s›ralanm›fl, s›n›fland›r›lm›fl veya grupland›r›lm›fl seri-lere nicel seriler denilir. Nicel verilerde s›n›fland›rma veya grupland›rma do¤al ola-rak oluflmad›¤›ndan, araflt›rmac› her s›n›fa veya gruba düflen gözlem say›s›n› (fre-kans›) kendisi belirler.

Belirli bir ana kütleden rassal olarak yap›lan örneklemeler sonucunda eldeedilen nicel veriler basit, s›n›fland›r›lm›fl veya grupland›r›lm›fl seriler olarak olufl-turulabilirler.

Basit Seri Örneklemelerle elde edilen ham verilerin, elde edildikleri ya da gözlendikleri s›raile veya küçükten büyü¤e ya da büyükten küçü¤e s›ralanmas› ile oluflturulan seri-lerdir. Genellikle örneklenen birim say›s›n›n çok az oldu¤u durumlarda kullan›lanve tek sütundan oluflan serilerdir. Basit serilerde, örnekleme boyutu n ile ve örnek-lenen her i’inci birim Xi ile gösterilir.

2009 Y›l› Büyükbafl Hayvan Say›lar›

Ad› Say›s›

S›¤›r-Yerli 2.594.334

S›¤›-Kültür 3.723.583

S›¤›r-Melez 4.406.041

Manda 87.207

Deve 1.041


Ö R N E K 6

‹ki sütunlu olarakoluflturulan bu serilerde,birinci sütunda nitelözelli¤in s›n›flar›, di¤ersütunda ise bu s›n›flaragiren birimlerin say›lar›gösterilmektedir.

Kaynak: TÜ‹K Hayvanc›l›k ‹statistikler Veri Taban›

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

www.hedefaof.com

Bir derse kay›tl› 30 ö¤rencinin derslere devams›zl›k saatlerinin say›lar› belirlenmiflolup, devams›zl›k saatleri afla¤›daki gibi verilmifltir.

Ö¤renci numaralar›na göre elde edildi¤i s›ra ile sunulan bu verileri pratik ola-rak kullanabilmek zordur. Örne¤in, derse 12 saatten fazla devams›zl›¤› olan ö¤ren-cilerin devams›zl›ktan dolay› dersten baflar›s›z olacaklar›n›n bilindi¤i bir durumda,kaç ö¤rencinin baflar›s›z oldu¤unu belirlemek istedi¤imizde, seriyi elde edildi¤iflekliyle kullanamay›z. Seriyi, devams›zl›k say›lar›na göre küçükten büyü¤e s›rala-d›¤›m›zda ise, devams›zl›ktan kalacak ö¤renci say›s›n› kolay bir flekilde bulabiliriz.

S›n›fland›r›lm›fl SeriAna kütleden örneklenmifl verilerin küçükten büyü¤e ya da büyükten küçü¤edo¤ru s›ralan›p, tekrarlanan verilerin tekrarlanma say›lar›n›n (frekanslar›n›n) bu-lunmas› ile elde edilen serilere s›n›fland›r›lm›fl seri veya frekans serisi denilir. Ör-nek kütle boyutu artt›kça basit seriler çok fazla yer kaplad›¤›ndan ve çal›flma zor-luklar› ortaya ç›kt›¤›ndan, çal›flma kolayl›¤› aç›s›ndan s›n›fland›r›lm›fl serilerin kul-lan›m› daha uygun olmaktad›r.

S›n›fland›r›lm›fl seri iki sütundan oluflur. Birinci sütunda örneklenen de¤iflkeninald›¤› farkl› de¤erler (X i ) yer al›rken, ikinci sütunda de¤iflkenin ald›¤› de¤erlerinfrekanslar› (fi) gösterilir.

Basit seriyi olufltururken ele ald›¤›m›z örnek verileri, tekrarlanma say›lar›n› dadikkate alarak s›n›fland›rd›¤›m›z da, afla¤›daki frekans serisini elde ederiz. S›n›f-land›r›lm›fl seri ile istedi¤imiz de¤erin alt›ndaki veya üstündeki verilerin say›lar›-n›, basit serilere göre daha kolay bulabiliriz. Örneklenen veri say›m›z n=30 iken,yapm›fl oldu¤umuz s›n›fland›rma sonucunda m=9 adet s›n›f elde ederiz.

Devams›zl›k (Saat) Xi Frekanslar fi

0 1

1 2

2 3

5 4

6 4

8 6

10 4

12 3

14 3

0 1 1 2 2 2 5 5 5 5 6 6 6 6 8

8 8 8 8 8 10 10 10 10 12 12 12 14 14 14

2 6 2 8 14 0 1 12 6 8 8 10 8 5 14

5 1 6 2 12 10 8 6 10 5 5 8 10 12 14


Ö R N E K 7

Ö R N E K 8

S›n›fland›r›lm›fl serilerde örnek boyutu,frekanslar toplam›na eflit (n =∑fi ) olmakzorundad›r.

www.hedefaof.com

Grupland›r›lm›fl SeriAna kütleden örneklenen veri say›s›n›n çok fazla olmas› durumunda, verilerin be-lirli aral›klarla grupland›r›l›p ve her bir gruba düflen frekans de¤erlerinin belirlen-mesi ile grupland›r›lm›fl seriler elde edilebilir.

Örneklenen verilerin grupland›r›larak sunulmas› sayesinde serinin yorumlan-mas›ndaki karmafla önlenece¤inden, örneklenen kütle kolayca kavranabilir ve ifl-lemlerde zamandan büyük tasarruf sa¤lan›r. Bununla birlikte, gruplama sonucun-da örnekleme ile toplanan bilgilerin bir k›sm› kaybolabilir ve homojen olmayan bi-rimlerin bir araya toplanmas› da söz konusu olabilir.

Grupland›rma iflleminde öncelikle, örneklenen veya gözlemlenen veri say›s›nave araflt›rmac›n›n amac›na ba¤l› olarak grup say›s› (K) belirlenir. Grup say›s›n›nçok fazla olmas› halinde veriler iyi bir flekilde özetlenmemifl, grup say›s›n›n çok azolmas› durumunda ise bilgi kay›plar› olabilir.

Grup say›s›n› (K), örneklenen veri say›s›na (n) ba¤l› olarak “Sturges Kural›” ileafla¤›daki eflitlik yard›m›yla hesaplayabiliriz (Ohunbilge, 2000; Gürtan, 1982).

K = 1 + 3,3. Log(n)

Grup say›s› daima tam say› olarak kullan›l›r. Grup say›s› hesaplama sonucu ondal›kl› birsay› olursa, ondal›k say›n›n alt veya üstünde bulunan tam say›lardan birisi grup say›s› ola-rak kullan›l›r.

Grup say›s›n›n belirlenmesinden sonra, verilerin en büyük (Xenb) ve en küçük(Xenk) de¤erleri aras›ndaki farkla hesaplanan de¤iflim geniflli¤i (DG) dikkate al›na-rak grup aral›¤›n› (GA) hesaplar›z.

DG = Xenb – Xenk

GA = DG / K

Hesaplanan grup aral›¤›, verilerin tam say›lardan olufltu¤u durumlarda bir üst tam say›yaveya verilerin 1’den küçük ondal›k de¤erlerden olufltu¤u durumlarda ise ondal›kl› üst de-¤ere tamamlan›r.

Grup aral›klar›n›n genellikle tüm gruplarda birbirine eflit al›nmas› tercih edilir.Grupland›r›lm›fl serilerde grupland›rmalar›n eflit aral›klarla yap›lmas›, seride bir dü-zenin sa¤lanmas›, eflit grup aral›klar›na düflen frekanslar aras›nda karfl›laflt›rmalaryap›labilmesi ve matematiksel ifllemleri kolaylaflt›rmas› aç›s›ndan tercih edilmeklebirlikte, grupland›rmalar›n eflit aral›kl› yap›lmas› flart de¤ildir.

Grup aral›klar›n›n belirlenmesinden sonra grup s›n›rlar›n› belirleriz. Grup s›n›r-lar›n›n belirlenmesi ifllemine öncelikle ilk grubun alt ve üst s›n›rlar›n›n belirlenme-siyle bafllan›r. ‹lk grubun alt s›n›r›, gözlemlenen veriler içerisinde yer alan en kü-çük (Xenk) de¤erden büyük olmayacak flekilde; ilk grubun üst s›n›r› ise ilk grubunalt s›n›r›na grup aral›¤›n›n eklenmesiyle belirlenir. Di¤er gruplar›n alt ve üst s›n›r-lar›, bir önceki gruplar›n alt ve üst s›n›rlar›na grup aral›¤›n›n eklenmesiyle belirle-nir. Grupland›r›lm›fl serinin son grubu, mutlaka gözlem de¤erlerinin en büyü¤ünü(Xenb) içermelidir.


Genel olarak grup say›s›n›n4’den az olmamas› 15’dende fazla olmamas› tercihedilmektedir. Grup say›s›4’den az oldu¤unda baz›da¤›l›m testlerini yapmakmümkün olamamaktad›r.Örne¤in, da¤›l›m tipininnormal da¤›l›ma uygun olupolmad›¤›n› test etmedekullan›lan Ki-kare testininyap›labilmesi için grupsay›s›n›n en az 4 olmas›gerekir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Baz› örneklemelerde,örnekleme yönteminin veverilerin özelliklerine uygunolarak de¤iflik aral›kl›gruplar›n oluflturulmas› dagerekebilmektedir. Örne¤in,parça boyutu elek analiziverileriningrupland›r›lmas›nda, elekserisi aral›klar›n›n dikkateal›nmas› gerekebilmektedir(Konuk ve Önder, 1999).

www.hedefaof.com

Verilerin grupland›r›lmas› iflleminde önemli olan en küçük de¤erin ilk grupta ve en büyükde¤erin de son gurupta yer almas›d›r.

Grup s›n›rlar›n› belirledikten sonra, örneklenen ham verilerin grup aral›klar›nadüflen verilerinin tekrarlanma say›lar›n› (frekanslar›) belirleriz. Frekanslar›n belir-lenmesinde, sayma veya tarama yöntemi kullan›labilmektedir. Herhangi bir i’incigrupta yer alan frekans say›s›, fi ile gösterilir. Her bir gruba düflen frekanslar›n top-lam›, toplam gözlem say›s›na eflittir (∑fi = n).

Örneklenen verilerin grupland›r›lmas›nda uygulanan ifllemler afla¤›daki örnektemel al›narak gösterilecektir.

Bir bölge havzas›nda taflk›n riskini belirleme çal›flmalar› için y›ll›k pik ak›m› ve or-talama pik ak›m› miktarlar›n› belirlemek amac›yla, bölge akarsular›na kurulanistasyonlarda 40 adet ölçüm gerçeklefltirilmifltir. Ölçümler sonucu elde edilen veri-ler afla¤›daki gibidir.

Grup say›s› K= 1 + 3,3. Log (n) eflitli¤inden, K= 1 + 3,3. Log (40) = 6,29 olarakbulunur. Bu durumda, gruplama yapt›¤›m›zda, grup say›s›n›n 6’dan az ve 7’denfazla olmamas› gerekmektedir.

Örneklenen veriler içerisinde en büyük de¤er Xenb= 68 ve en küçük de¤erXenk= 6 oldu¤undan, grup aral›¤› GA = (Xenb – Xenk) / K eflitli¤inden,

GA= ( 68 - 6 ) / 6,29 = 9,86 olarak bulunur. Verilerin tam say› olmas› nedeniy-le, GA = 10 alabiliriz.

‹lk grupta en küçük verinin ve son grupta en büyük verinin yer almas›na, grupsay›s›n›n 6’dan az ve 7’den fazla olmamas›na ve grup aral›¤›n›n 10 olmas›na dikkatederek grup s›n›rlar›n› farkl› biçimlerde oluflturabiliriz. Afla¤›da, üç farkl› flekildeoluflturulan grup s›n›rlar› görülmektedir.

Ölçüm

No

Ak›m

(m3/s)

Ölçüm

No

Ak›m

(m3/s)

Ölçüm

No

Ak›m

(m3/s)

Ölçüm

No

Ak›m

(m3/s)

1 8 11 24 21 26 31 31

2 18 12 44 22 38 32 19

3 16 13 37 23 41 33 37

4 35 14 13 24 39 34 42

5 42 15 56 25 68 35 23

6 27 16 39 26 25 36 27

7 33 17 17 27 48 37 53

8 48 18 52 28 33 38 6

9 36 19 45 29 41 39 9

10 21 20 33 30 38 40 12

131. Ünite - Temel ‹stat ist ik KavramlarS O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K 9

www.hedefaof.com

Grup s›n›rlar›ndan herhangi birini tercih ederek ve tarama sütunu da olufltura-rak, her bir grubun frekans›n› belirleyebiliriz.

Grup frekanslar›n›n belirlenmesi s›ras›nda, ya alt s›n›rda yada üst s›n›rda yer alan de¤erikapsam d›fl›nda b›rak›r›z.

VER‹LER‹N SUNULMASI Örneklemeler sonucunda elde edilen zaman serileri, nitel seriler ve nicel seriler-den s›n›fland›r›lm›fl ve grupland›r›lm›fl seriler çeflitli grafikler halinde sunulurlar.

Zaman Serilerinin Grafiksel Gösterimi (Kartezyen Grafik)‹ki de¤iflkenli olan zaman serileri genellikle X ekseninde zaman birimi ve Y ekse-ninde örneklenen birim say›lar› olmak üzere kartezyen grafikleri halinde göste-rilirler.

Türkiye ‹statistik Kurumu’nun (TÜ‹K) 2002-2010 y›llar› için yay›nlad›¤› TüketiciFiyat Endeksine dayal› enflasyon oranlar›n›n de¤iflimi afla¤›daki flekildeki gibi gös-terilebilir.

Grup S›n›rlar› Tarama Sütunu Frekanslar fi

Alt Üst (den az)

0 10 /// 3

10 20 ///// / 6

20 30 ///// // 7

30 40 ///// ///// // 12

40 50 ///// /// 8

50 60 /// 3

60 70 / 1

Grup S›n›rlar› Grup S›n›rlar› Grup S›n›rlar›

Alt Üst Alt Üst Alt Üst

6 16 3 13 0 10

16 26 13 23 10 20

26 36 23 33 20 30

36 46 33 43 30 40

46 56 43 53 40 50

56 66 53 63 50 60

66 76 63 73 60 70


Tarama sütunu, hamverilerin girdi¤i gruparal›¤›n›n iflaretlenmesi vedaha sonra say›larakfrekanslar›n belirlenmesiiçin kullan›lmaktad›r.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K 1 0

www.hedefaof.com

Nitel Serilerin Grafiksel Gösterimi (Pasta Grafi¤i) Nitel verilerden elde edilen serilerin sunulmas›nda pasta grafi¤i kullan›l›r. Pastagrafi¤i, daire fleklindeki bir pastan›n her bir dilimi, nitel de¤iflkenin ilgili s›n›f›n›nfrekans›n› temsil edecek flekilde dilimlere ayr›larak haz›rlanmaktad›r. Pasta grafi¤i,veriler toplam›n›n s›n›f kategorilerine göre da¤›l›fl›n› ve s›n›flar›n veri say›lar› ara-s›ndaki ba¤›l farklar› göstermesi aç›s›ndan oldukça kullan›fll›d›r.

Türkiye ‹statistik Kurumu’nun 2009 y›l› için yay›nlam›fl oldu¤u Hayvanc›l›k ‹sta-tistiklerinden elde edilen büyükbafl hayvan say›lar› ve bunlar›n oranlar›, afla¤›da-ki gibi iki farkl› flekille gösterilebilir.


fiekil 1.1

35

30

25

20

15

10

5

02000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Y›llar

En

flasy

on

Ora

n›(

%)

TÜFE Enflasyon Oranlar› Tüketici FiyatEndeksleri ileHesaplananEnflasyon Oranlar›

Pasta grafi¤i üzerinde, nitels›n›flar farkl› renklerle vebirim say›s›na göre dilimbüyüklü¤ü ilegösterilebilece¤i gibi, nitels›n›flardaki birimlerinyüzdeleri ile degösterilebilirler.

Ö R N E K 1 1

fiekil 1.2

S›¤›r-Yerli

S›¤›-Kültür

S›¤›r-Melez

Manda

Deve


Manda10%

S›¤›r-Melez41%

S›¤›r-Yerli24%

S›¤›r-Kültür34%


2009 Y›l› Verileri ile Büyükbafl Hayvan Say›lar›n›n Pasta Diyagramla Sunumu

Kaynak: TÜ‹K Hayvanc›l›k ‹statistikler Veri Taban›

Kaynak: http://www.hazine.org.tr/ekonomi/enflasyon.php

www.hedefaof.com

Nicel Serilerin Grafiksel GösterimiS›n›fland›r›lm›fl seriler, noktasal veya çizgisel olarak, s›n›f say›lar›n›n ve frekansla-r›n de¤erlerini dikkate alacak flekilde koordinat sisteminde gösterilmektedirler. S›-n›fland›r›lm›fl serinin de¤erleri ba¤›ms›z de¤iflken olarak X ekseninde, frekanslarise ba¤›ml› de¤iflken olarak Y koordinat ekseninde gösterilmektedirler. Bu neden-le s›n›fland›r›lm›fl frekans serisinin grafi¤i koordinat sistemi üzerinde sütun veyaçubuk fleklinde görülürler.

A dersinden devams›zl›¤› olan ö¤rencilerin devams›zl›k süreleri afla¤›daki sütun-çubuk diyagramdaki gibi gösterilebilir. Veri olmayan s›n›flar için çubuk diyag-ramda boflluk b›rak›labilece¤i gibi, bu de¤erler dikkate al›nmadan da diyagram,örnekteki gibi çizilebilir.

Grupland›r›lm›fl seriler ise genellikle histogram fleklinde veya histogram ortanoktalar›ndan geçen grafikler halinde gösterilebilmektedir. Histogram grafikleri desütun-çubuk grafi¤ine benzerler, ancak sütunlar aras›nda boflluk yoktur. Sütungrafiklerde sütunlar belirli bir de¤erin frekans›n› gösterirken, histogram grafiklerbelli aral›ktaki de¤erlerin frekans›n› temsil eder. Histogram grafikleri ço¤unluklaverilerin da¤›l›m fleklini incelemek için kullan›l›rlar. S›n›fland›r›lm›fl ve grupland›-r›lm›fl seriler, kümülatif (toplam) frekanslar halinde de gösterilebilirler.

Bir bölge havzas›nda taflk›n riskini belirleme çal›flmalar› için bölge akarsular›ndakurulan istasyonlarda yap›lan 40 adet ak›m (m3/s) ölçüm sonuçlar›n›n grup ara-l›klar›na giren normal frekanslar› ve toplam frekanslar› gösterir histogramlar› afla-¤›daki gibidir.


Ö R N E K 1 2

0 1 2 5 6 8 10 12 14

6

5

4

3

2

1

0

Ö¤r

enci

Say

›s›

Devams›zl›k (Saat)

Ö¤rencilerin A Dersindeki Devams›zl›klar›

fiekil 1.3

Ö¤rencilerin BirDerstekiDevams›zl›klar›n›nSütun-ÇubukGösterimi.

Ö R N E K 1 3

www.hedefaof.com


fiekil 1.4

14121086420

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70

Ak›m (m3/s)

Fre

kan

s

Akarsu Ak›m Ölçüm Sonuçlar›454035302520151050

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70

Ak›m (m3/s)

Akarsu Ak›m Ölçüm Sonuçlar›

To

pla

mF

reka

nsl

ar

Bölge Akasular›n›n Ak›m Ölçüm Sonuçlar›, a: Normal Frekanslar, b: Toplam Frekanslar.

(a) (b)

www.hedefaof.com


Örnekleme kavramlar›n› ö¤renerek örnekleme

yöntemi seçimini yapmak.

‹statistikte kütleler, oluflum flekline göre gerçekya da varsay›msal, sonlu ya da sonsuz ve sürek-li ya da süreksiz olarak s›n›fland›r›labilmektedir.Sonlu veya sonsuz say›da birimden oluflan canl›yada cans›z toplulu¤un tamam›na ana kütle de-nilmekte olup, tam say›m için bütçenin yetersizve fazla zaman›n olmad›¤› veya birimlerin tama-m›n›n say›m› s›ras›nda ana kütlenin zarar görmeolas›l›¤› oldu¤u durumlarda, ana kütleyi temsiledecek say›da birimden oluflan örnek kütle eldeedilir. Ana kütleden örnek seçimi, araflt›rmac›n›n kenditakdiri veya iradesi ile seçti¤i birimlerden oluflu-yorsa bu tür örneklemelere rassal olmayan ör-nekleme denilmektedir. Genellikle istatistikselçal›flmalarda rassal olmayan örnekleme tercihedilmemektedir. Dilim örnekleme ve kota örnek-lemesi rassal olmayan örnekleme yöntemleridir.Ana kütle birimlerinin her birine belirli ve s›f›r-dan büyük bir olas›l›kla örnek kütleye seçilmeflans›n›n verildi¤i örneklemelere rassal örnekle-me denilmektedir. Ana kütlenin yap›s›na görerassal örnekleme basit, sistematik, küme veya ta-bakal› yöntemlerle yap›labilmektedir.

‹statistiksel verilerin toplanmas› ve düzenlenmesi

çal›flmalar›n› temel anlamda gerçeklefltirmek.

‹statistiksel çal›flmalarla toplanan ham verilerinanalize uygun hale getirilmesi için düzenlenme-si gerekir. Veriler, örneklenen birimlerin zamanve mekan özelliklerine, nitel ve nicel özellikle-riyle da¤›lma flekillerine göre seriler fleklinde dü-zenlenebilmektedirler.Verilerin çeflitli özellikleri saat, gün, ay ve y›l gi-bi bir zaman birimine göre s›ralan›yor veya da¤›-l›m› oluflturuyorsa, iki sütunlu bu serilere zamanserisi denilir. Verilerin çeflitli özelliklerinin köy,flehir, bölge, ülke ve k›ta gibi bir mekan (yerle-flim) birimine göre s›ralan›yor veya da¤›l›m› olufl-turuluyorsa, iki sütunlu bu serilere ise mekan se-risi denilir. Say›sal olarak ifade edilemeyen ve s›-n›flar›n do¤al olarak olufltu¤u serilere de nitel se-ri denilir. Say›sal olarak adet, uzunluk, a¤›rl›k,alan ve hacim gibi çeflitli ölçü birimleriyle ifadeedilebilen özelliklere göre ifade edilen nicel ve-riler ise s›ralanarak, s›n›fland›r›larak veya grup-land›r›larak serilere dönüfltürülebilmektedirler.

‹statistiksel verileri sunmak.

Zaman serilerine ait veriler kartezyen grafik, ni-tel veriler pasta grafi¤i, nicel veriler ise sütun-çu-buk veya histogram grafikleri fleklinde sunulabil-mektedir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. Ana kütleden örneklenmifl verilerin küçükten büyü-¤e ya da büyükten küçü¤e do¤ru s›ralan›p, tekrarlananverilerin tekrarlanma say›lar›n›n (frekanslar›n›n) bulun-mas› ile elde edilen serilere ne ad verilir?

a. Basit serib. Grupland›r›lm›fl seric. S›n›fland›r›lm›fl serid. Bileflik serie. Karmafl›k seri

2. Örneklenen verilerin çeflitli özellikleri köy, flehir,bölge, ülke ve k›ta gibi bir birime göre s›ralanmas›ylaveya da¤›l›m›n›n oluflturulmas›yla elde edilen seriye nead verilir?

a. Zaman serisib. Mekân serisic. Nitel serid. Bileflik serie. Basit seri

3. Serilerle ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤ru-dur?

a. Saat 8 ile 20 aras› her saat bafl›na bir bulvardangeçen araç say›s›n› gösteren iki sütunlu seriyebasit seri denir.

b. Bir sütunda a¤aç türlerinin ve di¤er sütunda sa-y›lar›n›n verildi¤i seriye mekân serisi denir.

c. Örneklenen birim say›s›n›n çok az oldu¤u du-rumlarda kullan›lan ve tek sütundan oluflan se-rilere zaman serisi denir.

d. Bir sütunda yaban hayat›n› gelifltirme bölgesin-de yaflayan hayvan türlerinin isimlerinin ve di-¤er sütunda say›lar›n›n verildi¤i seriye nitel seri-si denir.

e. Bir sütunda bölge ismi ve di¤er sütunda kömürrezerv miktar›n›n verildi¤i seriye s›n›fland›r›lm›flseri denir.

4. Örneklenen veri say›s› 40 oldu¤unda, “Sturges Kura-l›” ile veriler grupland›r›lmak istendi¤inde, grup say›s›(K) kaç olabilir? (log40=1,6 d›r)

a. 3b. 5c. 7d. 9e. 11

5. Hava kirlili¤i üzerine yap›lan bir istatistiksel araflt›r-mada, 40 adet ölçüm yap›ld›¤›nda havadaki kükürtdi-oksit oran›n›n en büyük de¤erinin 49 µg/m3 ve en kü-çük de¤erinin 5 µg/m3 oldu¤u belirlenmifltir. “SturgesKural›” ile bu veriler grupland›r›lmak istendi¤inde, gruparal›¤› (GA) kaç olabilir? (GA= DG/K DG = Xenb – Xenk

K = 1 + 3,3. Log(n) ve log(40) = 1,6 d›r)a. 3b. 5 c. 7d. 9e. 11

6. Afla¤›dakilerden hangisi sonsuz kütledir?a. Bir dersten yap›lan s›navda ö¤rencilerin ald›kla-

r› notlarb. Metalik paralar›n metal içeri¤ic. Merkez Bankas›n›n döviz rezervid. Bir hafta içerisinde bir banka flubesine gelen

günlük müflteri say›s›e. Bankalar›n mevduata uygulad›¤› faiz oranlar›

7. N birimlik bir ana kütleden, her birine eflit seçilmeflans› verilmesi ile n birimlik örnek seçilmesi iflleminene ad verilir?

a. Basit rassal örneklemeb. Sistematik örneklemec. Kota örneklemed. Dilim örneklemesic. Kümeli örnekleme

8. Nitel verilerden elde edilen serilerin sunulmas›ndakullan›lan ve nitel de¤iflkenin ilgili s›n›f›n›n frekans›n›temsil edecek flekilde dilimlere ayr›lmas›yla haz›rlanangrafi¤e ne ad verilir?

a. Kartezyen grafi¤ib. Çubuk grafi¤ic. Sütun grafi¤id. Pasta grafi¤ie. Histogram

Kendimizi S›nayal›m

www.hedefaof.com


9. Belirli aral›klarla grupland›r›lm›fl serilerin sunulma-s›nda afla¤›daki grafik yöntemlerinden hangisi kullan›l›r?

a. Kartezyen grafi¤ib. Çubuk grafi¤ic. Sütun grafi¤id. Pasta grafi¤ie. Histogram

10. Birinci sütunda örneklenen de¤iflkenin ald›¤› farkl›de¤erler (Xi) yer al›rken, ikinci sütunda de¤iflkenin al-d›¤› de¤erlerin frekanslar›n›n (fi) gösterildi¤i serilere nead verilir?

a. Zaman serisib. S›n›fland›r›lm›fl seric. Nitel serid. Grupland›r›lm›fl serie. Basit seri

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Verilerin Toplanmas› ve

Seriler Halinde Düzenlenmesi” konusunu göz-den geçiriniz.

2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Verilerin Toplanmas› veSeriler Halinde Düzenlenmesi” konusunu göz-den geçiriniz.

3. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Verilerin Toplanmas› veSeriler Halinde Düzenlenmesi” konusunu göz-den geçiriniz.

4. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Grupland›r›lm›fl Seriler”konusunu gözden geçiriniz.

5. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Grupland›r›lm›fl Seriler”konusunu gözden geçiriniz.

6. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “‹statistiksel Kütle Türleri”konusunu gözden geçiriniz.

7. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Rassal Örnekleme” konu-sunu gözden geçiriniz.

8. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Verilerin Sunulmas›” konu-sunu gözden geçiriniz.

9. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Verilerin Sunulmas›” konu-sunu gözden geçiriniz.

10. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Verilerin Toplanmas› veSeriler Halinde Düzenlenmesi” konusunu göz-den geçiriniz.

S›ra Sizde 1

A¤aç türleri say›labilir oldu¤undan sonlu kütledir.

S›ra Sizde 2

Türkiye’de tüm otoyollarda ar›zalar›n trafik kazalar›naetkilerini araflt›rmak için tam say›m yapmak mümkünde¤ildir. Çünkü, Türkiye otoyollar› çok genifl bir co¤-rafyaya yay›lm›fl oldu¤undan, tam say›m yap›lmas› hemçok büyük maliyetli hem de çok fazla zaman gerektirir.

S›ra Sizde 3

Bu tür örneklemelere kota örneklemesi denilmektedir.

S›ra Sizde 4Büyütme faktörü k=100/20=5 ve rassal say› da 5 oldu-¤undan 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,70, 75, 80, 85, 90, 95 ve 100’üncü s›radaki iflletmeler ör-neklenir.

S›ra Sizde 5

Köyden kente göçlerin ve flehirleflmenin araflt›r›ld›¤› birçal›flmada, nüfus verileri il, ilçe, belde ve köy olmaküzere idari özelliklerine göre do¤al s›n›flara ayr›labilir.

Yararlan›lan KaynaklarCula, S. & Muluk, Z. (2006). Temel ‹statistik Yöntemleri.

Ankara: Baflkent Üniversitesi.Gürtan, K. (1982). ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›.

No:2941. ‹stanbul: ‹stanbul Üniversitesi.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mühen-

dislik Mimarl›k Fakültesi Maden Mühendisli¤i Bölü-mü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi.

Orhunbilge, N. (2000). Tan›msal ‹statistik Olas›l›k ve

Olas›l›k Da¤›l›mlar›. ‹flletme Fakültesi Yay›n No:279. ‹stanbul: ‹stanbul Üniversitesi

Serper, Ö. (2000). Uygulamal› ‹statistik II. Bursa: Ezgi.Ünver, Ö. & Gamgam, H. (2006). Uygulamal› Temel ‹s-

tatistik Yöntemler. Ankara: Seçkin.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›

www.hedefaof.com

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Merkezi e¤ilim ölçülerini hesaplay›p kullanabilecek,Da¤›l›m ölçülerini hesaplay›p kullanabilecek bilgi ve becerilere sahip ola-caks›n›z.

‹çindekiler

• Ana kütle• Örnek kütle• Örnekleme• ‹statistik Seriler• Merkezi e¤ilim ölçüleri• Da¤›l›m ölçüleri

• Ortalamalar• Medyan• Mod• Varyans• Standart sapma• De¤iflkenlik katsay›s›

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NN


‹statistik

Merkezi E¤ilim veDa¤›l›m Ölçüleri

• MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹• DA⁄ILIM ÖLÇÜLER‹


www.hedefaof.com

MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ Ana kütleden örneklenen verilerin düzenlenerek çizelgelerle ve grafiklerle sunul-mas› sonras›nda, verileri tan›mlamak, karfl›laflt›rmak, yorumlamak veya ana kütleparametreleri hakk›nda genellemeler yapabilmek için baz› ölçülere gereksinim du-yulur. Merkezi e¤ilim ölçüleri, verileri tan›mlamak için kullan›lan ve verileri özet-lemeye yarayan ölçülerdir. Merkezi e¤ilim ölçüleri, verilerin tümünü temsil edenve merkez noktas›na yak›n bir de¤er oldu¤undan, ortalamalar olarak da tan›mlan-maktad›r.

Bir örnekleme sonucunda toplanan verilerin hangi de¤er etraf›nda topland›¤›-n› gösteren ve verilerin oluflturdu¤u seriyi temsil eden rakama “ortalama” denilir.Bu nedenle ortalama, serideki en küçük ve en büyük de¤erler aras›nda bulunur.Ortalama, örneklenen verilerin normal de¤erlerini göstermesi, kolayl›kla ak›lda tu-tulabilme özelli¤ine sahip olmas› ve örneklenen farkl› serilerin karfl›laflt›r›lmas›ndakolayl›kla kullan›labilmesi nedenleriyle istatistiksel analizlerde yayg›n bir flekildekullan›lmaktad›r.

Örneklenen verilerin herhangi birinde meydana gelecek de¤er de¤iflikli¤i, or-talaman›n de¤erinde de de¤iflikli¤e yol aç›yorsa, ortalaman›n hesaplanmas›ndatüm örneklenen verileri dikkate alan duyarl› ortalama yöntemlerini kullanmak ge-rekir. Ancak, örneklenen verilerin baz›lar›nda meydana gelecek de¤iflim ortalama-n›n de¤erini etkilemiyorsa, verilerin tümünü dikkate almayan duyars›z ortalamayöntemleri kullan›labilir.

Bu ünitede, merkezi e¤ilim ölçüleri olarak duyarl› ortalamalardan aritmetik,a¤›rl›kl›, geometrik, harmonik ve kareli ortalama, duyars›z ortalamalardan ise modve medyan ortalama yöntemlerinin hesaplanmas› ve uygulamada kullan›m koflul-lar› incelenecektir.

Aritmetik OrtalamaAna kütleden elde edilen nicel örnekleme verileri toplam›n›n veri say›s›na oran›naaritmetik ortalama denilmektedir. Aritmetik ortalama, seri türüne göre afla¤›dakieflitliklerle hesaplanabilmektedir.

Basit serilerde: X = X

ni∑

Merkezi E¤ilim ve Da¤›l›mÖlçüleri

Duyarl› ortalamalara basitaritmetik, a¤›rl›kl› aritmetik,geometrik, harmonik vekareli ortalamalar› örnekolarak verilebiliriz. Duyars›zortalamalara ise kartilortalamalar ile mod vemedyan ortalamay› örnekolarak verebiliriz. Buünitede, kartil ortalamalarkapsam d›fl›ndatutulmufltur. Kartilortalamalar için ayr›nt›l›bilgilere Necmi Gürsakal’›nBilgisayar Uygulamal›‹statistik I (Alfa Yay›nlar› No:1029, ‹stanbul, 2001) isimlikitaptan ulaflabilirsiniz.

www.hedefaof.com

S›n›flanm›fl serilerde:

Gruplanm›fl serilerde:

Burada; X–

= aritmetik ortalama, Xi = i’inci s›n›f›n de¤eri, n = Toplam örnek sa-y›s›, fi = i’inci s›n›f›n veya grubun frekans›, mi = i’inci grubun ortalamas›d›r.

Afla¤›daki basit serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

X–––––––––2026283437–––––––––

145

Çözüm: Örneklenen verilerin toplam› ve veri say›s› n=5 oldu¤un-dan, aritmetik ortalamay›;

olarak hesaplar›z.

Örneklenen verilerin toplam› 180 ve aritmetik ortalama 9 oldu¤una göre, örneklenen ve-ri say›s› kaçt›r?

Afla¤›da verilen s›n›fland›r›lm›fl serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

X f–––––––– ––––––––20 126 428 834 537 2––––––––– –––––––––20

Çözüm: S›n›fland›r›lm›fl serilerde aritmetik ortalamay› hesaplayabilmek için ön-celikle seri de¤erleri ile frekanslar› çarp›p toplamlar›n› bulmam›z gerekmektedir.

X f X.f–––––––– ––––––––– ––––––––––20 1 2026 4 7828 8 22434 5 20437 2 74––––––––– ––––––––– ––––––––––20 600

XX

n = =

1455

= 29∑

X = 145∑

X = m .f

fi i

i

∑∑

X = X .f

fi i

i

∑∑


Ö R N E K 1

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Ö R N E K 2

www.hedefaof.com

Hesaplad›¤›m›z ve frekanslar toplam› oldu¤una gö-re, aritmetik ortalamay›;


Bir bölge havzas›nda taflk›n riskini belirleme çal›flmalar› için y›ll›k pik ak›m› ve or-talama pik ak›m› miktarlar›n› belirlemek amac›yla, bölge akarsular›na kurulan40 adet istasyonda yap›lan ak›m ölçümü verilerinin grupland›r›lm›fl seri halinde-ki flekli afla¤›daki gibidir. Bu grupland›r›lm›fl seride, öncelikle grup ortalamalar›n›bulur ve daha sonra aritmetik ortalamay› hesaplayabiliriz.

ve olarak hesapland›¤›ndan, grupland›r›lm›fl seri-nin aritmetik ortalamas›;

X–

= 32,25 m3/s bulunur.

Aritmetik ortalaman›n hesaplanmas›nda, verilerin çok fazla ve büyük de¤erler-den oluflmas› durumunda, verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar›n›n cebirseltoplam›n›n s›f›ra eflit olma özelli¤inden faydalanarak, aritmetik ortalamay› k›sa yol-dan hesaplamak mümkün olmaktad›r. Aritmetik ortalaman›n k›sa yoldan hesaplan-mas› yöntemi, özellikle grupland›r›lm›fl serilerde kullan›lmaktad›r. Bunun için ön-celikle, aritmetik ortalamaya en yak›n oldu¤u düflünülen bir grup ortalamas› (ge-nellikle en büyük frekansa sahip grubun ortalamas›), geçici ortalama olarak seçilir(m0). Daha sonra, her bir grup ortalamas›ndan geçici ortalaman›n (m0) sapmalar›-n›n grup aral›¤›na (A) oran› ile küçültülmüfl de¤erlerden oluflan grup ortalamalar›(ui ) elde edilir.

Küçültülmüfl de¤erlerden oluflan serisinin aritmetik ortalamas›;

u = m - m

Aii 0

X = m . f

f =

129040

= 32,25 m / si i

i

3∑∑

f . mi i = 1290∑fi = 40∑

XX.f

f = =

60020

= 30∑∑

f = 20∑X.f = 600∑

Grup S›n›rlar› (m3/s) Frekanslar Grup Ortalamalar›

Alt Üst (den az) fi mi fi x mi

0 10 3 5 15

10 20 6 15 90

20 30 7 25 175

30 40 12 35 420

40 50 8 45 360

50 60 3 55 165

60 70 1 65 65

252. Ünite - Merkez i E¤i l im ve Da¤› l ›m Ölçüler i

Ö R N E K 3

www.hedefaof.com

Eflitli¤i ile hesapland›ktan sonra,

X–

= m0 + ( u–

. A)

Eflitli¤i yard›m›yla aritmetik ortalama hesaplan›r.

Örnek 1’deki verileri kullanarak küçültülmüfl de¤erlerle aritmetik ortalamay› he-saplay›n›z.

Çözüm: Geçici ortalama olarak, en büyük frekansa sahip grubun ortalamas›n›(m0 = 35) alabiliriz. Grup aral›¤› da A = 10 oldu¤una göre, bu durumda küçültül-müfl grup ortalamalar›n›;

eflitli¤i ile hesaplar›z.

ve oldu¤undan, olarak hesap-lar›z.

Aritmetik ortalama; X–

= m0 + ( u–

. A) = 35 + (-0,275.10) = 32,25 m3/s bulunur.

Afla¤›da verilen grupland›r›lm›fl serinin aritmetik ortalamas›n› küçültülmüfl de¤erlerle he-saplay›n›z.

Aritmetik ortalama baz› matematiksel özelliklere sahip oldu¤undan, birçok is-tatistiksel analiz yönteminde kullan›labilmektedir. Aritmetik ortalaman›n baz› ma-tematiksel özellikleri flunlard›r:

u ,=−

= −11

400 275fi = 40∑u . fi i = -11∑

um

ii =

- 35

10

uu .f

fi i =

i

∑∑

Grup S›n›rlar› Frekanslar

Alt Üst fi

0 1000 3

1000 2000 6

2000 3000 12

3000 4000 9

4000 5000 5


Ö R N E K 4

Grup S›n›rlar› (m3/s) Frekanslar Grup Ortalamalar› Küçültülmüfl Grup Ort.

Alt Üst (den az) fi mi ui

0 10 3 5 -3

10 20 6 15 -2

20 30 7 25 -1

30 40 12 35 0

40 50 8 45 1

50 60 3 55 2

60 70 1 65 3

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

www.hedefaof.com

a. Örneklenen verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar›n›n cebirsel toplam›s›f›rd›r.

b. Örneklenen verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar›n›n kareleri toplam›,herhangi bir de¤erden farklar›n›n kareleri toplam›na göre en küçüktür.

En küçük

c. Bir serinin de¤erleri ayn› s›radaki iki seri de¤erlerinin toplam›na eflitse, arit-metik ortalamas› da bu iki serinin aritmetik ortalamalar› toplam›na eflittir.

Xi = Yi + Zi ise X–

= Y–

+ Z–

dir.

d. Aritmetik ortalama, serideki afl›r› de¤erlerden oldukça fazla etkilenen hassasbir ortalamad›r.

Afla¤›daki basit seride, verilerin aritmetik ortalamadan sapmalar›n›n toplam›n›bulunuz.

X–––––––––1214182630–––––––––

100

Çözüm: Aritmetik ortalama:

Afla¤›da verilen basit seri de¤erlerinden aritmetik ortalama, en küçük de¤er ve en bü-yük de¤erleri ç›kararak, bulaca¤›n›z farklar›n kareleri toplamlar›n› karfl›laflt›r›n›z.

X–––––––––679

1315–––––––––50

X = 100

5 = 20

X - X i( ) =∑2

X - X = 0i( )∑

X X - X–

12 -8

14 -6

18 -2

26 6

30 10

X = 100∑ X - X( )∑ = 0


Ö R N E K 5

Ö R N E K 6

www.hedefaof.com

Çözüm: Serinin aritmetik ortalamas›:

Seri de¤erlerinin aritmetik ortalamadan sapmalar›n›n kareleri toplam›, serininen küçük ve en büyük de¤erden farklar›n›n kareleri toplam›na göre en küçüktür.

A¤›rl›kl› OrtalamaAritmetik ortalama, her verinin a¤›l›klar›n›n (önem derecelerinin) birbirine eflit ol-du¤u durumlarda kullan›l›r. Örneklenen verilerin önem derecesinin farkl› oldu¤udurumlarda ise, bu önem derecelerinin de hesaplamalara dahil edilmesi gerekir.

Seri türlerine göre a¤›rl›kl› ortalaman›n hesaplanmas› afla¤›daki gibi yap›lmak-tad›r:

Basit serilerde:



Burada, ai = i’inci örne¤in önem veya a¤›rl›¤›d›r.

Bir maden iflletmecisi, maden yata¤›nda yapm›fl oldu¤u 5 adet sondaj sonucunda,sondajlar›n kesti¤i maden damar› kal›nl›klar›n›n afla¤›daki gibi oldu¤unu belirle-mifltir. Sondajlar›n etki alanlar› farkl› oldu¤una göre, maden yata¤›n›n etki alan›ile a¤›rl›kl› ortalama damar kal›nl›¤› nedir?

Çözüm: Elde edilen veriler basit seri fleklinde oldu¤undan, etki alan›yla a¤›rl›k-l› ortalamay› afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

ve olarak hesapland›¤›ndan, basit serinina¤›rl›kl› ortalamas›;

a .X i i = 161750∑a i = 16700∑

X = a .m .f

a .fi i i

i i

∑∑

X = a .X .f

a .fi i i

i i

∑∑

X = a .X

ai i

i

∑∑

XX

ni = =

505

= 10∑

Sondaj No

1 2 3 4 5

Damar Kal›nl›¤› (m)- Xi 12 8 6 14 9

Etki Alan› (m2)- ai 3200 2350 4600 3600 2950

X (X - 10)2 (X - 6)2 (X - 15)2

6 16 0 81

7 9 1 64

9 1 9 36

13 9 49 4

15 25 81 0

X = 50∑ X - 10 = 602( )∑ X - 6 = 140

2( )∑ X - 15 = 1852( )∑


Örneklenen verilerinaritmetik ortalamadansapmalar›n cebirseltoplam›n›n s›f›r ve aritmetikortalamadan sapmalar›nkareleri toplam›n›n ek küçükolma özelli¤i, regresyon-korelasyon analizlerinintemelini oluflturmaktad›r.

Ö R N E K 7

www.hedefaof.com

bulunur.

Bir firma flehir içinde çeflitli semtlerde bulunan 5 ma¤azas›nda ayn› ürünü promosyon uy-gulamas› nedeniyle farkl› fiyatlardan satmaktad›r. Afla¤›da firman›n ma¤azalar›nda sat›lanürünlerin miktarlar› ve birim sat›fl fiyatlar› verilmifltir. Firma ürünlerini ortalama hangi fi-yattan satm›flt›r?

Geometrik OrtalamaÖrneklenen verilerin oranlar ve yüzdelerden olufltu¤u durumlarda aritmetik orta-lama uygun bir ortalama de¤ildir. Verilerin ani ve anormal farkl›l›klar gösterdi¤i yada yüzde ve oranlarla ifade edildi¤i durumlarda geometrik ortalama daha kullan›fl-l›d›r. Aritmetik ortalama aritmetik dizi, geometrik ortalama ise geometrik dizi flek-lindeki serilere uygun ortalama tipidir.

Geometrik ortalama iki farkl› flekilde hesaplanabilir. a. Bir veri setinde bulunan n adet birimin çarp›m›n›n n’inci dereceden kökü-

nün al›nmas›yla elde edilen de¤er geometrik ortalamay› verir.

b. Verilerin logaritmalar› al›narak bulunacak logaritmik aritmetik ortalaman›neksponansiyeli (anti logaritmas›) hesaplanarak geometrik ortalama elde edilir.Seri türlerine göre geometrik ortalama afla¤›daki eflitliklerle hesaplanabilir.

Basit serilerde:



Veri de¤erlerinin herhangi birinin s›f›r veya s›f›rdan küçük olmas› durumunda geometrikortalaman›n hesaplanmas› mümkün olamamaktad›r.

In G = In m .f

f

= exp(In )

i i

i

∑∑

G G

In G = In X .f

fi i

i

∑∑

In G = In Xi∑n

G = X .X .X .X .......Xn1 2 3 4 n

X = a .X

a =

16175016700

= 9,7mi i

i

∑∑

Ma¤aza Ad› Birim Sat›fl Fiyat› (TL/adet) Sat›lan Ürün Miktar› (Adet)

A 50 300

B 40 350

C 60 150

D 70 100

E 55 200


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



www.hedefaof.com

Afla¤›daki basit serinin geometrik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

X(%)–––––––––2040354555

Çözüm: Basit serilerde geometrik ortalamay› iki farkl› yöntemle hesaplayabiliriz. a. Veri setinde bulunan n adet birimin çarp›m›n›n n’inci dereceden kökünün

al›nmas›:n = 5

b. Verilerin logaritmalar› al›narak aritmetik ortalaman›n hesaplanmas›:

Geometrik ortalama hesaplamada, n’inci dereceden kök alma zorlu¤u nedeniyle genellik-le verilerin logaritmalar› al›narak hesaplama yöntemi tercih edilmektedir.

Afla¤›da verilen grupland›r›lm›fl seri için geometrik ortalamay› hesaplay›n›z.

Ln GLnX

n

G = e3,611

= = 18,054

5 = 3,611

= 37

∑

G = 20.40.35.45.55 = 375

G = X .X .X .X .......Xn1 2 3 4 n

Grup Aral›klar› fi mi ln mi

14-18 4 16 2,773

18-22 7 20 2,996

22-26 10 24 3,178

26-30 6 28 3,332

30-34 3 32 3,466

X

(%)

Ln X

20 2,996

40 3,689

35 3,555

45 3,807

55 4,007

X = 195∑ LnX = 18,054∑


Ö R N E K 8

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K 9

www.hedefaof.com

Çözüm: Geometrik ortalamay› hesaplayabilmek için öncelikle grup ortalamala-r›n›n (mi) logaritmalar›n› (ln mi) buluruz. Logaritmik grup ortalamalar› ile frekans-lar› çarparak toplad›¤›m›zda;

elde ederiz. Bu durumda geometrik ortalamay›;

olarak buluruz.

Harmonik Ortalama Harmonik ortalama bir serideki gözlem de¤erlerinin terslerinin aritmetik ortalama-s›n›n tersine eflittir. Seri türlerine göre harmonik ortalaman›n hesaplanmas› afla¤›-daki eflitliklerdeki gibi yap›lmaktad›r.

Basit serilerde:



Oran, yüzde ve bölme fleklinde ifade edilen seri de¤erlerinin ortalamas›n› he-saplamada aritmetik ortalama uygun bir ortalama olmay›p, bu gibi durumlardaharmonik ortalaman›n kullan›m› tercih edilir. Örne¤in, belirli bir zamanda al›nanyol ile hesaplanan h›z, belirli bir zamanda üretilen miktar ile hesaplanan verim vebelirli bir miktar için ödenen fiyat gibi de¤iflkenlerin ortalamas›n›n hesaplanmas›n-da harmonik ortalaman›n kullan›m› daha uygun olmaktad›r.

Borsada ifllem gören bir hisse senedinin bir haftal›k günlük ifllem fiyatlar› afla¤›da-ki gibi gerçekleflmifltir. Hisse senedinin haftal›k ortalama fiyat›n› aritmetik ortala-ma ve harmonik ortalama yöntemleriyle hesaplay›n›z.

H = f

f

m

i

i

i

∑

∑

H = f

f

X

i

i

i

∑

∑

Hn

Xi

= 1∑

In G = In m .f

f =

94,23430

= 3,141

G = 23,13

i i

i

∑∑

In = 94,234m .fi i∑

Günler Fiyat (TL/Hisse)

Pazartesi 4,64

Sal› 4,97

Çarflamba 5,22

Perflembe 5,92

Cuma 5,40


Ö R N E K 1 0

www.hedefaof.com

Çözüm: Aritmetik Ortalama:

Harmonik Ortalama:

Örne¤in çözümünden de görüldü¤ü gibi, fiyatla ifade edilen hisse senedi seri-sinin ortalamas›n› aritmetik ortalama ile hesaplasayd›k, hisse bafl›na ortalama 0,03TL daha yüksek hesaplayacakt›k.

Türkiye’de faaliyet gösteren bir Banka, tafl›t kredilerine uygulad›¤› faiz oranlar›n› y›l içe-risinde ekonomik geliflmelere ba¤l› olarak üç ayda bir olmak üzere 4 kez de¤ifltirmifltir.Y›l içinde uygulanan faiz oranlar› afla¤›daki gibi oldu¤una göre ortalama ayl›k faiz oran›nedir?

Kareli OrtalamaSerideki de¤erlerin karelerinin aritmetik ortalamas›n›n kareköküne kareli ortalamadenilir. Seri türlerine göre kareli ortalaman›n hesaplanmas› afla¤›daki eflitliklerdekigibi yap›lmaktad›r:

Basit serilerde:



Bir seride s›f›r ve/veya farkl› iflaretli (negatif veya pozitif) de¤erler varsa geomet-rik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz. Bu gibi serilerde, aritmetik ortalaman›nda mant›kl› sonuçlar vermedi¤inden kuflkulan›l›yorsa, kareli ortalaman›n kullan›m›tercih edilmektedir. Kareli ortalama, genellikle bir seride s›f›rdan küçük terimlerinbulundu¤u veya terimler toplam› s›f›ra eflit olan serilerde kullan›lmaktad›r.

Bir madencilik flirketinin y›l›n ilk 6 ay›ndaki faaliyet kar/zararlar› afla¤›daki gibi-dir. fiirketin ayl›k ortalama karl›l›¤› nedir?

K = f .m

fi i

2

i

∑∑

K = i

f .X

fi i

2∑∑

KX

ni2

= ∑

Hn

Xi

=1

= 5

0,9624 = 5,20 TL

∑

XX

ni = =

26,155

= 5,23 TL∑

Dönemler Ayl›k FaizOran› (%)

1. Üç ay 1,05

2. Üç ay 1,25

3. Üç ay 1,39

4. Üç ay 0,99


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

Bir seri de¤erinden aritmetikortalaman›n ç›kar›lmas› ileelde edilen sapmalarserisinin toplam› daimas›f›ra eflittir

( ). Bu

nedenle, sapmalar serisininortalamas›n›nhesaplanmas›nda da kareliortalama kullan›l›r.

X - X = 0i( )∑

Ö R N E K 1 1

www.hedefaof.com

Çözüm: Kar/zarar verileri basit seri oldu¤undan, eflitli¤i ile orta-lama karl›l›¤› hesaplayabiliriz.

n=6 ve oldu¤undan ayl›k ortalama karl›l›¤›;


Bir kent merkezinde Ocak ay›nda ölçülen günlük en yüksek hava s›cakl›klar› afla¤›da grup-land›r›lm›fl seri olarak verilmifltir. Ocak ay› günlük ortalama hava s›cakl›¤›n› hesaplay›n›z.

Normal bir seride ortalamalar aras›nda afla¤›daki gibi bir büyüklük iliflkisi vard›r.Kareli > Aritmetik > Geometrik > Harmonik OrtalamaK > X

–> G > H

MedyanSerideki de¤erler küçükten büyü¤e s›raland›¤›nda tam ortaya düflen ve seriyi ikieflit parçaya bölen de¤ere medyan (ortanca) denilir. Medyan, veri de¤erleri içinde-ki afl›r› küçük ve afl›r› büyük de¤erlerden etkilenmedi¤inden, aritmetik ortalamayagöre daha güvenlidir. Ancak medyan, basit bir s›ralama ile hesapland›¤›ndan has-sas bir ortalama de¤ildir.

S›ralanm›fl veri de¤erleri içerisindeki en küçük veya en büyük de¤erlerin, di¤er-lerinden çok daha fazla uzaklaflmas› ile simetrik olmayan çarp›k da¤›l›mlar ortayaç›kmaktad›r. Örneklenen verilerin da¤›l›m›n›n çarp›k oldu¤u veya seride afl›r› kü-çük/büyük de¤erlerin bulundu¤u durumlarda, merkezi e¤ilim ölçüsü olarak med-yan›n kullan›m› tercih edilebilmektedir.

Basit serilerde medyan› bulabilmek için öncelikle veriler küçükten büyü¤edo¤ru s›ralan›rlar. Daha sonra serideki veri say›s›n›n tek veya çift say›da olup ol-mad›¤›na göre medyan belirlenir.

K = = 224000000

6 = 6110,1 TL

X

ni2∑

Xi2 224000000∑ =

KX

ni = 2∑

Grup Aral›klar›fi

Alt Üst

-8 -4 3

-4 0 7

0 4 10

4 8 6

8 12 4

12 16 1

Aylar Faaliyet Kar/Zarar› (TL)

Ocak -5000

fiubat -7000

Mart 2000

Nisan 4000

May›s 7000

Haziran 9000


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



www.hedefaof.com

– Veri say›s› tek ise; gözlem de¤eri medyand›r.

– Veri say›s› çift ise; gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamas›medyand›r.

S›n›flanm›fl serilerde medyan, frekans› içeren terimdir. Tamortaya düflen bu terimi bulabilmek için frekanslar, kümülatif (toplam) frekanslarhaline dönüfltürülür. Kümülasyon ifllemi genellikle küçükten büyü¤e yap›l›r.

Grupland›r›lm›fl serilerde öncelikle medyan grubunun belirlenmesi gerekir.Medyan grubunun belirlenebilmesi için de öncelikle ayr› bir sütunda toplam fre-kanslar fi / 2 ifllemi ile medyan grubunun s›ra de¤eri belirlenir. Toplam frekansla-r›n yar›s›na karfl›l›k bu de¤eri içeren grup, medyan grubudur. Medyan grubununde¤erleri ele al›narak, afla¤›daki eflitlikle medyan hesaplan›r.

Afla¤›daki basit serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Xi–––––––––812192328

Çözüm: Basit serinin veri say›s› (n = 5) tek oldu¤undan,

gözlem de¤eri olan 19 medyand›r. Bu durumda, seriyi tam ortadan ikiye bölen

medyan de¤eri; Me = 19 olmaktad›r.

Afla¤›daki basit serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Xi–––––––––81219232835

Çözüm: Basit serinin veri say›s› (n=6) çift oldu¤undan, ve

gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamas› medyan olacakt›r.

3’üncü gözlem de¤eri 19 ve 4’üncü gözlem de¤eri 23 oldu¤una göre medyan›;


Me = 19 + 23

2 = 21

n2

+ 1 = 62

+ 1 = 4'üncü

n2

= 62

= 3

n + 12

= 5 + 1

2 = 3'üncü

M = L + S .

f

2 - f

e m m

ii

i=1

m-1∑ ∑

fm

f + 1 / 2'incii∑( )( )

n n2

ve 2

+ 1'inci

n + 12

'inci


Burada; Lm = medyangrubunun alt s›n›r›n›, Sm =medyan grubunun aral›¤›n›,

= toplam

frekanslar›n yar›s›n›,

= medyan

grubundan bir öncekigrubun toplam frekans›n›,fm = medyan grubununfrekans›n› ifade etmektedir.

fii=1

m-1

∑

f / 2i∑( )

Ö R N E K 1 2

Ö R N E K 1 3

www.hedefaof.com

Afla¤›da verilen s›n›fland›r›lm›fl serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Xi fi–––––––– ––––––––15 218 624 1227 732 3

Çözüm: S›n›flanm›fl serilerde medyan, frekans› içeren terimoldu¤undan, öncelikle her bir grubun kümülatif frekanslar› bulunur.

X f–––––––– ––––––––– ––––––––––15 2 218 6 824 12 2027 7 2732 3 30

kümülatif frekans› içeren de¤er 20 oldu¤undan;

Me = 24 bulunur.

Mermer iflletmelerinde çal›flan iflçi say›lar› ile ilgili yap›lan bir araflt›rmada afla¤›-daki grupland›r›lm›fl seri elde edilmifltir. Buna göre mermer iflletmelerinde çal›flaniflçi say›s›n›n medyan ortalamas› nedir?

Grup Aral›klar› fi(Çal›flan Say›s›) (iflletme Say›s›)––––––––––––– ––––––––––––––––0-30 8

30-60 2060-90 1590-120 6120-150 3

Çözüm: Grupland›r›lm›fl serinin medyan›n› bulabilmek için öncelikle, her birgrubun kümülatif frekans›n› buluruz.

Grup Aral›klar› fi(Çal›flan Say›s›) (iflletme Say›s›)––––––––––––– –––––––––––––––– ––––––––––0-30 8 8

30-60 20 2860-90 15 4390-120 6 49120-150 3 52

Medyan grubunun frekans› =

Medyan grubunun frekans› (26), toplam frekanslar›n 8 ile 28 oldu¤u aral›ktayer ald›¤›ndan, medyan grubu 30-60 grubudur. Bu durumda;

fi∑2

= 522

= 26

fi∑

fi + 1

2 =

30 + 12

= 15,5'inci∑

fi∑

f + 1 / 2'incii∑( )( )


Ö R N E K 1 4

Ö R N E K 1 5

www.hedefaof.com

Lm = 30, Sm = 10, ve fm = 20 oldu¤undan,

Me = 39 kifli olarak hesaplan›r.

Bir hastanede sigara kullananlar›n büyük tansiyonlar› ölçüldü¤ünde afla¤›daki da¤›l›m el-de edilmifltir. Sigara kullananlar›n büyük tansiyonlar›n›n medyan ortalamas› kaçt›r?

ModBir seride en çok gözlenen (tekrarlanan) de¤ere veya frekans› en büyük olan de-¤ere mod denilir. Mod, serideki frekanslar›n önemli bir k›sm›n› içerdi¤inden, orta-lamalar aras›nda en temsili olan›d›r. Ayr›ca mod, anormal afl›r› de¤erlerin etkisi al-t›nda kalmaz. Bununla birlikte mod, tüm veri de¤erlerini göz önünde bulundurma-d›¤› için tutarl› olmayan bir merkezi e¤ilim ölçüsüdür. S›n›fland›r›lm›fl ve gruplan-d›r›lm›fl seriler için mod hesaplanabilir.

S›n›flanm›fl serilerde, frekanslar› içeren sütunda en yüksek frekans saptand›ktansonra, buna karfl›l›k gelen de¤er araflt›r›larak mod bulunabilir.

Grupland›r›lm›fl serilerde mod de¤eri hesaplan›rken öncelikle, frekans› en bü-yük olan mod grubu belirlenir. Mod grubu belirlendikten sonra, bu grup içerisin-de yer alan modun de¤eri, grup frekans› ile bundan bir önceki ve bir sonraki grup-lar›n frekanslar› dikkate al›narak hesaplan›r.

Gruplanm›fl serilerde mod, afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

∆1 = fmo - fmo-1 ∆2 = fmo - fmo+1

Burada, Lmo = mod grubunun alt s›n›r›, Smo = mod grubunun aral›¤›, fmo= modgrubunun frekans›, fmo-1 = mod grubundan önceki grubun frekans› ve fmo+1= modgrubundan bir sonraki grubun frekans›d›r.

M = L + S . + o mo mo

1

1 2

∆

∆ ∆

M = 30 + 10.26 - 8

20 = 39e

M = L + S .

f

2 - f

e m m

ii

i=1

m-1∑ ∑

fm

f / 2 = 26, f = 8i ii=1

m-1

∑ ∑( )


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



6

Grup Aral›klar› Frekanslar

Alt Üst fi

120 130 5

130 140 12

140 150 18

150 160 16

160 170 9

Basit serilers›n›fland›r›lmam›flolduklar›ndan, en çoktekrarlanan de¤eri bulmaksöz konusu olamaz. Bunedenle de, basit seriler içinmod bulunamaz.

www.hedefaof.com

Bir kent merkezinde hane halk› büyüklü¤ünün mod ortalamas›n› araflt›rmak üze-re çal›flma yap›lm›fl olup, afla¤›daki grupland›r›lm›fl seri elde edilmifltir. Hane hal-k› büyüklü¤ünün mod ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Grup Aral›klar› fi(Hane Halk›-Kifli) (Hane Say›s›-%)––––––––––––––– –––––––––––––––––0-2 12

2-4 274-6 426-8 138-10 410-12 2

Çözüm: En büyük frekans› (42) içeren mod grubu 4-6 grubu oldu¤undan, modgrubu dikkate al›narak afla¤›daki de¤erler belirlenir.

fmo = 42, fmo-1 = 27, fmo+1 = 13, Lmo = 4, Smo = 2

∆1 = fmo - fmo-1 = 42 - 27 = 15

∆2 = fmo - fmo+1 = 42 - 13 = 29

Mo = 4,7 kifli.

DA⁄ILIM ÖLÇÜLER‹ Ortalamalar, rassal örneklenmifl verilerin merkezi e¤ilim ölçülerini göstermekle bir-likte, bu de¤er çevresindeki yay›l›m›n büyüklü¤ü hakk›nda bir bilgi vermez. Rassalörneklenen veri seti için bulunan merkezi e¤ilim ölçüsünü yorumlamak ve birdenfazla veri seti için verilerin da¤›l›mlar› aras›nda karfl›laflt›rmalar yapabilmek amac›y-la baz› da¤›l›m ölçüleri kullan›labilmektedir. Da¤›l›m ölçüleri olarak ço¤unlukla de-¤iflkenlik aral›¤›, varyans, standart sapma ve de¤iflkenlik katsay›s› kullan›lmaktad›r.

Da¤›l›m ölçüsü, seriyi oluflturan verilere sabit bir say› eklendi¤inde veya ç›kar›ld›¤›ndade¤eri de¤iflmeyen ölçüdür.

De¤iflkenlik Aral›¤›Örneklemeler sonucu elde edilen veriler aras›nda var olan en küçük ve en büyükde¤er aras›ndaki fark de¤iflkenlik aral›¤› (R) olarak tan›mlan›r.

R = Xenb - Xenk

Da¤›l›m ölçüleri içinde hesaplan›fl› en kolay olan fakat en kaba ölçüt de¤iflken-lik aral›¤›d›r. De¤iflkenlik aral›¤›, özellikle veri say›s›n›n çok oldu¤u durumlardagüvenilir de¤ildir.

M = L + S . +

M = 4 +

o mo mo1

1 2

o

∆

∆ ∆

2.15

15 + 29 = 4,7


Ö R N E K 1 6

Örneklenen verilerinda¤›l›mlar›n›nyay›lmalar›n›n nas›l oldu¤uda önemlidir. Örne¤in, ikiayr› kent merkezinin ocak ay›hava kirlili¤i (kükürt)aritmetik ortalamas› 40µg/m3 olarak ölçüldü¤ünde,her iki kentin havakirlili¤inin ayn› oldu¤unusöylenebilir. Ancak, bir kentmerkezinde hava kirlili¤i biray içerisinde 35-45 µg/m3

aras›nda de¤ifliyor ikendi¤er kent merkezinde 5-75µg/m3 aras›nda de¤ifliyorsa,bu durumda her iki kentinhava kirlili¤i düzeylerininfarkl› oldu¤u; aritmetikortalamalar›n da havakirlili¤i düzeyini aç›klamaktapek yeterli olmad›¤›anlafl›lacakt›r.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



www.hedefaof.com

Varyans ve Standart SapmaVerilerin da¤›l›m›n› veya yay›l›m›n›n büyüklü¤ünü ölçmek için en çok kullan›lanparametre varyanst›r. Varyans, rassal örneklenmifl verilerin aritmetik ortalamayagöre farklar›n›n karelerinin toplam›n›n ortalamas› olup, verilerin ortalamadan sap-mas›n› ve ortalamaya göre yay›lman›n büyüklü¤ünü gösteren bir ölçüdür.

Basit serilerde varyans, afla¤›daki eflitlikle hesaplanabilir.

Burada; S2 = da¤›l›m›n varyans›, Xi = i’inci rassal örneklenmifl de¤iflkenin de¤e-ri, X

–= da¤›l›m›n örnek kütle aritmetik ortalamas›, n = kütlenin örnek say›s›d›r.

Basit serilerde e¤er n<30 ise, varyans hesaplamada payda “n-1” olur.

S›n›fland›r›lm›fl serilerde ise varyans;

eflitli¤i ile hesaplanabilir. Burada, k = s›n›f say›s›, fi = i’inci s›n›f›n frekans›d›r.

Grupland›r›lm›fl serilerde de varyans;

eflitli¤i ile hesaplanabilir. Burada, l = grup say›s›n›, mi = i’inci grubun ortalama-s›n›, fi = i’inci grubun frekans›n› göstermektedir.

Varyans›n büyük olmas›, de¤iflkenin ortalama çevresindeki yay›l›m›n›n büyükoldu¤unu gösterir. fiekil 2.1.’deki A1 ve A2 de¤iflkenlerinin ortalamalar› ayn› ol-makla birlikte A1’in varyans› daha büyüktür. Bu nedenle, A1’in ortalamadan uzakde¤erler alma olas›l›¤›n›n daha büyük oldu¤unu söylemek mümkündür.

Varyans›n boyutu, rassal de¤iflkenin boyutunun karesi gibidir. Bu nedenle ço-¤u zaman, varyans›n karekökü olan “standart sapma” kullan›l›r.

S =

m - X .f

f

2i

2

ii=1

ii=1

( )∑

∑

l

l

S =

X - X .f

f

2i

2

ii=1

k

ii=1

k

( )∑

∑

S =

X - X

n2

i

2

i=1

n

( )∑


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



A2

A1

A1

2σ A2

2σ

f´(x)

fiekil 2.1

Varyanslar› farkl›iki de¤iflkeninfrekans da¤›l›fl›

www.hedefaof.com

De¤iflkenlik Katsay›s›Ortalamalar› birbirinden farkl› olan örnek kütlelerden hangisinin yay›l›m›n›n bü-yük oldu¤unu anlamak için de, boyutsuz bir katsay› olan “de¤iflkenlik (varyasyon)katsay›s›”ndan yararlan›l›r. De¤iflkenlik katsay›s› afla¤›daki gibi hesaplan›r.

C = σ / X–

De¤iflkenlik katsay›s›, ortalamaya göre yay›l›m›n büyüklü¤ünü gösteren bir kat-say›d›r.

‹çme suyu temin edilmesi tasarlanan iki akarsuda (A ve B) su kalitesini belirle-mek amac›yla ask›daki at›k maddeler (mg/l) analiz edilmifl olup, elde edilen veri-ler afla¤›daki gibidir. ‹çme suyunda ask›daki at›k madde miktar›n›n mümkün ol-du¤unca az olmas› istendi¤ine göre, aritmetik ortalama, standart sapma ve de¤ifl-kenlik katsay›lar› dikkate al›nd›¤›nda, hangi akarsu içme suyu temini için tercihedilmelidir?

Basit serinin aritmetik ortalamas›na göre;

X–

A = 79,4 / 12 = 6,6 mg/l X–

B = 82,8 / 12 = 6,9 mg/l

X–

A < X–

B oldu¤undan A akarsuyu tercih edilir.

Standart sapmalar;

SB = 38,1612 -1

= 1,9 mg / lSA = 86,1812 -1

= 2,8 mg / l

S = X - X

n - 1

i

2( )∑

X = X

ni∑

A (mg/l) B (mg/l)

1,8 5,6

3,9 5,2

5,5 4,7

6,6 9,4

9,8 9,1

4,7 4,4

12,4 8,2

7,6 7,8

6,7 6,3

8,3 5,8

7,2 9,6

4,9 6,7


Ö R N E K 1 7

www.hedefaof.com

SB < SA oldu¤undan B akarsuyu tercih edilmelidir. Aritmetik ortalama ve stan-dart sapman›n farkl› seçenekleri en iyiledi¤i durumlarda, mutlaka de¤iflkenlik kat-say›s›n› da hesaplayarak karar vermek gerekir.

De¤iflkenlik katsay›lar›;

CB < CA oldu¤undan B akarsuyu içme suyu temini için tercih edilir. A akarsu-yunda ask›daki at›k madde miktar› ortalama olarak daha az olmakla birlikte, de¤ifl-kenlik daha fazlad›r.

C = S

X

= 2,86,6

= 0,424 = 1,96,

C CA B 99 = 0,275


www.hedefaof.com


Merkezi e¤ilim ölçülerini hesaplay›p kullanmak.

Verileri tan›mlamaya ve özetlemeye yarayan mer-kezi e¤ilim ölçüleri, verilerin tümünü temsil edenve merkez noktas›na yak›n bir de¤er oldu¤un-dan, ortalamalar olarak da tan›mlanmaktad›r. Herverinin a¤›l›klar›n›n (önem derecelerinin) birbiri-ne eflit oldu¤u durumlarda basit aritmetik ortala-ma, farkl› oldu¤u durumlarda ise a¤›rl›k ortalamakullan›lmaktad›r. Verilerin ani ve anormal farkl›-l›klar gösterdi¤i ya da yüzde ve oranlarla ifadeedildi¤i durumlarda geometrik ortalama kullan›l-maktad›r. Oran, yüzde ve bölme fleklinde ifadeedilen seri de¤erlerinin ortalamas›n› hesaplama-da harmonik ortalaman›n kullan›m› tercih edil-mektedir. Bir seride s›f›r ve/veya farkl› iflaretli(negatif veya pozitif) de¤erler varsa, kareli orta-laman›n kullan›m› tercih edilmektedir. Merkezie¤ilim ölçüleri serinin basit, s›n›fland›r›lm›fl veyagrupland›r›lm›fl olma flekillerine göre farkl› yön-temlerle hesaplanabilmektedir.Serideki de¤erlerin tam ortas›na düflen ve seriyiiki eflit parçaya bölen medyan (ortanca), veri de-¤erleri içindeki afl›r› küçük ve afl›r› büyük de¤er-lerden etkilenmez. Ancak medyan, basit bir s›ra-lama ile hesapland›¤›ndan hassas bir ortalamade¤ildir. Bir seride en çok gözlenen (tekrarla-nan) de¤ere veya frekans› en büyük olan de¤erolan mod ise, ortalamalar aras›nda en temsiliolan›d›r.

Merkezi e¤ilim ve da¤›l›m ölçülerini hesaplay›p

kullanmak.

Rassal örneklenen veriler için bulunan merkezie¤ilim ölçüsünü yorumlamak ve birden fazla ve-ri seti için verilerin da¤›l›mlar› aras› karfl›laflt›rma-lar yapabilmek amac›yla de¤iflkenlik aral›¤›, var-yans, standart sapma ve de¤iflkenlik katsay›s› kul-lan›lmaktad›r.Örneklenen verilerin en küçük ve en büyük de-¤eri aras›ndaki farka de¤iflkenlik aral›¤› (R) de-nilmektedir. Örneklenen verilerin aritmetik orta-lamaya göre farklar›n karelerinin toplam›n›n or-talamas›na varyans denilmekte olup, varyans or-talamaya göre yay›lman›n büyüklü¤ünü gösterir.Varyans›n kareköküne de standart sapma deni-lir. Standart sapman›n ortalamaya bölünmesiyleelde edilen ölçüte ise de¤iflkenlik katsay›s› denil-mektedir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

www.hedefaof.com


Kendimizi S›nayal›m1. Örneklenen 10 adet veri ile oluflturulan seride, göz-lem de¤erleri toplam› oldu¤una göre, seri-nin aritmetik ortalamas› kaçt›r?

a. 2b. 4c. 6d. 8e. 10

2. Grup Aral›klar› fi–––––––––––––- ––––––––2-4 24-6 66-8 108-10 810-12 4

Yukar›daki grupland›r›lm›fl serinin medyan› kaçt›r?a. 4,5b. 5,2c. 6,4d. 7,4e. 10,1

3. Grup Aral›klar› fi–––––––––––––- ––––––––20-30 1030-40 3040-50 4050-60 2560-70 5

Yukar›daki grupland›r›lm›fl serinin modu kaçt›r?a. 34b. 44c. 46d. 48e. 52

4. Aritmetik ortalamas› 20 ve de¤iflkenlik katsay›s› 0,4olan bir da¤›l›m›n standart sapmas› kaçt›r?

a. 4b. 8c. 16d. 18e. 20

5. Grup Aral›klar› fi–––––––––––––- ––––––––0-4 34-8 78-12 10

12-16 716-20 3

Yukar›daki grupland›r›lm›fl serinin aritmetik ortala-mas› 10 oldu¤una göre, da¤›l›m›n varyans› kaçt›r?

a. 4,5b. 20,3c. 10,4d. 16,8e. 8,8

6. X––––––––

1245

10

Yukar›daki basit serinin harmonik ortalamas› kaçt›r?a. 2,05b. 2,25c. 2,44d. 4,10e. 4,40

7. Örneklenen veri say›s› n=5 ve verilerin kareleri topla-m› olan, serinin kareli ortalamas› kaçt›r?

a. 10b. 20c. 25d. 35e. 40

8. 5, -4, 2, 0, -6, 8, 12, 15Yukar›daki basit serinin kareli ortalamas› kaçt›r?a. 0b. 4c. 8d. 10e. 12

X = 8000i2∑

X = 80∑

www.hedefaof.com


9. 6, 8, 8, 6, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 4, 7, 5, 6Yukar›daki basit serisinin modu kaçt›r?a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8

10. X–––––––––

21282216

Yukar›daki basit serinin de¤iflim aral›¤› kaçt›r?a. 4b. 6c. 10d. 14e. 20

1. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Aritmetik Ortalama” konu-sunu gözden geçiriniz.

2. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Medyan” konusunu göz-den geçiriniz.

3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Mod” konusunu gözdengeçiriniz.

4. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “De¤iflkenlik Katsay›s›” ko-nusunu gözden geçiriniz.

5. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Varyans ve Standart Sap-ma” konusunu gözden geçiriniz.

6. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Harmonik Ortalama” ko-nusunu gözden geçiriniz.

7. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kareli Ortalama” konusu-nu gözden geçiriniz.

8. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kareli Ortalama” konusu-nu gözden

9. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Mod” konusunu gözdengeçiriniz.

10. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “De¤iflkenlik Aral›¤›” konu-sunu gözden geçiriniz.

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›

www.hedefaof.com


S›ra Sizde 1

X–

= 9 ve olarak verilmifl olup n = ?

S›ra Sizde 2

m0 = 2500 ve A = 1000 oldu¤una göre, bu durumdaküçültülmüfl grup ortalamalar›n›;


oldu¤undan,

olarak hesaplar›z.Aritmetik ortalama; X

–= m0 + (u

–.A) = 2500 + (0,2.1000)

= 2700 bulunur.

S›ra Sizde 3

S›ra Sizde 4

S›ra Sizde 5

oldu¤undan;

hesaplan›r.

S›ra Sizde 6

Medyan grubunun frekans› =

Medyan grubu 140-150 grubudur.

Lm = 140, Sm = 10, ve fm= 18 oldu¤undan,

M = 140 + 10.30 -17

18 = 147,2e

f / 2 = 30, f = 17i ii=1

m-1

∑ ∑( )

f

2 =

602

= 30i∑( )

Kf .m

f°Ci i

2

i

= = 98831

= 5,65 ∑∑

f f .mi i i2= 31 ve = 988∑∑

H n

Xi

= 1

= 4

3,482 = 1,15 %

∑

Xa .X

ai i

i

= = 560001100

= 50,9∑∑

u ,= =735

0 2u .f fi i i= 7 ve = 35∑∑

um

ii = - 2500

1000

XX

nn

X

Xi i = = =

1809

= 20∑ ∑⇒

Xi∑ = 180

Xi ai

50 300

40 350

60 150

70 100

55 200

Dönemler Xi

Ayl›k Faiz Oran› (%)

1. Üç ay 1,05

2. Üç ay 1,25

3. Üç ay 1,39

4. Üç ay 0,99

Grup Aral›klar›fi mi mi

2

Alt Üst

-8 -4 3 -6 36

-4 0 7 -2 4

0 4 10 2 4

4 8 6 6 36

8 12 4 10 100

12 16 1 14 196

Grup S›n›rlar› Frekanslarfi∑

Alt Üst fi

120 130 5 5

130 140 12 17

140 150 18 35

150 160 16 51

160 170 9 60


Grup S›n›rlar› Frekanslar Grup

Ortalamalar›

Küçültülmüfl

Grup Ort.

Alt Üst (den az) fi mi ui

0 1000 3 500 -2

1000 2000 6 1500 -1

2000 3000 12 2500 0

3000 4000 9 3500 1

4000 5000 5 4500 2

www.hedefaof.com


Çömlekçi, N. (1989). Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri.

‹stanbul: Bilim Teknik.Gürsakal, N. (2001). Bilgisayar Uygulamal› ‹statistik I.

No:1029. ‹stanbul: Alfa.Gürtan, K. (1982). ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›.

No:2941. ‹stanbul: ‹stanbul Üniversitesi.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mühen-



Olas›l›k Da¤›l›mlar›. ‹flletme Fakültesi Yay›n No:279. ‹stanbul: ‹stanbul Üniversitesi.

Ünver, Ö. & Gamgam, H. (2006). Uygulamal› Temel ‹s-

tatistik Yöntemler. Ankara: Seçkin.Yüzer, A.F. (Ed.) (2009). ‹statistik. Aç›k Ö¤retim Fakül-

tesi Yay›n No: 771. Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi.

Yararlan›lan Kaynaklar

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Kesikli ve sürekli rassal de¤iflken kavram›n› ö¤renerek verilerin uygun da¤›-l›m modelini seçebilecek,Kesikli rassal de¤iflkenlerin da¤›l›m modellerinin (Binom ve Poission) pa-rametrelerini hesaplay›p, spesifik uygulamalarda da¤›l›m parametrelerinikullanabilecek,Sürekli rassal de¤iflkenlerin da¤›l›m modellerinin (Normal ve Lognormal)parametrelerini hesaplay›p, spesifik uygulamalarda da¤›l›m parametrelerinikullanabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Kesikli Da¤›l›m • Sürekli Da¤›l›m• Binom Da¤›l›m›• Poisson Da¤›l›m› • Normal Da¤›l›m• Lognormal Da¤›l›m

• Standart Normal Da¤›l›m• Çarp›kl›k Katsay›s›• Bas›kl›k Katsay›s›• Varyans• Standart Sapma• Ortalama

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

N

Co¤rafi BilgiSistemleri için Temel

‹statistik

Olas›l›k Da¤›l›mModelleri

• OLASILIK DA⁄ILIMLARINA GENELBAKIfi

• BAZI KES‹KL‹ (B‹NOM VE POISSON)OLASILIK DA⁄ILIM MODELLER‹

• BAZI SÜREKL‹ (NORMAL VELOGNORMAL) OLASILIK DA⁄ILIMMODELLER‹


www.hedefaof.com

OLASILIK DA⁄ILIMLARINA GENEL BAKIfiRassal de¤iflkenlerin tüm mümkün sonuçlar›n›n olas›l›klar›n›n say›sal veya grafik-sel sunumuna olas›l›k da¤›l›mlar› denilmektedir. Rassal örneklenen de¤iflkenlerinald›¤› de¤erlerin olas›l›k da¤›l›m flekli kesikli veya sürekli olabilmektedir.

Rassal örneklenen verilerin ald›¤› de¤erler bir eksen üzerinde kesintisiz birflekilde s›ralanabiliyorsa ve bir aral›ktaki bütün de¤erleri alabiliyorsa, bu de¤ifl-kenler sürekli de¤iflkenler olarak tan›mlanmaktad›r. Sürekli de¤iflkenlerde, ikide¤iflken de¤eri aras›na sonsuz say›da de¤er yerlefltirmek mümkündür. Bunakarfl›l›k, rassal örneklenen bir de¤iflken sadece belirli say›da de¤erler alabiliyorve yaln›zca say›labilir say›da de¤erler al›yorsa, bu de¤iflken kesikli de¤iflkenolarak tan›mlanmaktad›r. Kesikli de¤iflkenlerde, iki de¤iflken aras›nda sonlu sa-y›da de¤er bulunmaktad›r.

Örne¤in, Üniversite ö¤rencilerinin bir dersten alm›fl olduklar› harf notlar›n›nkatsay›lar›n› s›n›fland›rarak sundu¤umuzda, elde edece¤imiz da¤›l›m kesikli olur.Ö¤rencilerin bir dersten alaca¤› harf notunun katsay›s› 1, 2, 3 veya 4 olabilir. Bu-na karfl›l›k, s›n›ftaki ö¤rencilerin genel not ortalamalar›n› grupland›rarak sundu¤u-muzda elde edece¤imiz da¤›l›m ise sürekli olur. Ö¤rencilerin tüm derslerden al-d›klar› harf notlar›n›n genel ortalamas› 1.2, 2.6, 2.9 veya 3.4 gibi ara de¤erleri dealabilece¤inden, genel not ortalamalar› da¤›l›m› sürekli olur.

Kesikli de¤iflkenlerde, belirli de¤erlerin noktasal olarak gerçekleflme olas›l›kla-r› belirlenebilir. Ancak, sürekli rassal de¤iflkenlerde belirli de¤erlere olas›l›klar ve-rilemez. Örne¤in, kesikli bir de¤iflken olarak hava s›cakl›¤›n›n 20 °C olma olas›l›¤›hesaplanabilir. Ancak, sürekli de¤iflken olarak hava s›cakl›¤›n›n tan›mlanmas› ha-linde, hava s›cakl›¤›n›n belirli aral›¤› (örne¤in 18-22 °C) için gerçekleflme olas›l›¤›hesaplanabilir.

Kesikli veya sürekli de¤iflkenlerin olas›l›k da¤›l›m›n›, matematiksel modellerleifade etmek mümkündür.

BAZI KES‹KL‹ OLASILIK DA⁄ILIM MODELLER‹ Co¤rafi bilgi sitemleri kapsam›nda örneklenen birçok kesikli da¤›lm›fl de¤iflkenleriçin Binom ve Poisson da¤›l›m modeli kullan›labilmektedir. Bu nedenle, bu bö-lümde kesikli da¤›l›mlardan sadece Binom ve Poisson da¤›l›m modellerinin hesap-lanmas›n› ve bu parametrelerin uygulamada kullan›m›n› ele alaca¤›z.

Olas›l›k Da¤›l›m Modelleri

www.hedefaof.com

Binom Da¤›l›m› Rassal koflullarda gerçeklefltirilen Bernoulli deneyleri sonucunda biri baflar› di¤eribaflar›s›zl›k olmak üzere iki farkl› sonuç ortaya ç›kar. Örne¤in, bir fabrika üretimhatt›ndan ç›kan ürünün kusursuz veya kusurlu olmas›, yere at›lan cam barda¤›n k›-r›lmas› veya k›r›lmamas›, üzerine bas›nç uygulanan beton örne¤inin k›r›lmas› veyasa¤lam kalmas› gibi baz› deneylerde iki farkl› sonuç vard›r.

Rassal olarak yap›lan n tekrarl› bir deneyde her tekrarda iki farkl› (kesikli) so-nuçtan birinin gelmesi söz konusu ise, istenen sonucun gelme olas›l›klar›n›n bu-lunmas› amac›yla Binom olas›l›k da¤›l›m› kullan›lmaktad›r. Örne¤in bir seramikfabrikas›nda üretilen fayanslar›n kusurlu olma olas›l›¤› % 1 ise, üretim band›ndanrassal olarak örneklenen 10 adet fayans›n içinden bir tanesinin kusurlu olma ola-s›l›¤›n› Binom olas›l›k da¤›l›m›n› kullanarak belirleyebiliriz.

Bernoulli deneylerinin n kez tekrarlanmas› halinde, bu deneylerdeki baflar›l›sonuçlar›n toplam› olan X rassal de¤iflkeni için afla¤›daki koflullar gerçeklefliyorsa,bu rassal de¤iflken Binom rassal de¤iflkeni olarak tan›mlan›r.

• Deneyde, baflar›l› olma olas›l›¤› p ve baflar›s›z olma olas›l›¤› (1-p) olmaküzere iki sonuç olmal›d›r.

• Deneylerin tümü (n), ayn› koflullar alt›nda gerçeklefltirilmelidir.• Her deneme sonucunda baflar›l› olma olas›l›¤› p ve baflar›s›zl›k olas›l›¤› q

ayn›d›r.• Denemeler birbirinden ba¤›ms›z olmal› ve deney süresince n sabit kalmal›d›r.Bir ana kütlede sonucun baflar›l› olma olas›l›¤› p ve baflar›s›z olma olas›l›¤›

q=1-p ise, bu ana kütleden çekilecek n adet örnek kütle içerisinden rassal ve ia-deli olarak x adet birim çekildi¤inde, x adet birimin de baflar›l› gelme olas›l›¤›afla¤›daki Binom aç›l›m› ile hesaplanabilir.

, x= 0,1,2,3,....,n

Burada, !: ‹lgili birimin faktöriyelini göstermektedir.Binom da¤›l›m› eflitli¤i ile belirli bir baflar› say›s›na karfl›l›k gelen olas›l›k de¤e-

ri bulunabildi¤i gibi, belirli bir aral›¤a düflen baflar› say›s›n›n olas›l›¤›n› da bulmakmümkündür. Belirli bir aral›¤a düflen baflar› say›s›n›n olas›l›¤›, o aral›ktaki bütünbaflar› say›lar› olas›l›klar›n›n toplam›na eflittir.

Bir mermer oca¤›ndan üretilen blok mermerlerin çatlaks›z olarak sat›labilme ola-s›l›¤›n›n %30 oldu¤u bilinmektedir. Mermer oca¤› üretim sürecinde örnek olarakal›nacak 5 adet blok içinden hiçbirinin çatlaks›z (hepsinin çatlakl›) ve 1, 2, 3, 4 ve5’inin çatlaks›z olma olas›l›klar›n› hesaplayarak olas›l›k çizelgesini haz›rlay›n›z.

Çözüm: Ele ald›¤›m›z örnekte;

Çatlaks›z ürün olas›l›¤› : p= 0,3 (%30)Çatlakl› ürün olas›l›¤› : q= 1- p = 1- 0,3 = 0,7 (%70)Örnek kütle say›s› : n= 5

Oldu¤una göre, her bir X için baflar› (çatlaks›z blok) olas›l›klar›n› afla¤›daki gi-bi hesaplar›z.


X rassal de¤iflkeninin baflar›için 1 ve baflar›s›zl›k için 0de¤erini ald›¤› durumda, Xrassal de¤iflkeninin olas›l›kfonksiyonunun P(X=1)=p veP(X=0)=1-p=q veyaP(X=x)= px(1-p)1-x oldu¤uda¤›l›mlara Bernoullida¤›l›m› denilmektedir.

Binom deneydeki hertekrara, Bernoulli denemesiya da s›namas›denilmektedir.

P X xn

x n xp qx n x( )

!

! ! . . = =

−( )−

Faktöriyel, (!) sembolü ilegösterilir. n!, 1’den n’ekadar olan say›lar›n›n yanyana yaz›l›p çarp›m›demektir. Örne¤in, 5! demek0’dan 5’e kadar say›lar›nyan yana yaz›l›p çarp›m›olup, 5!=120’dir.

Ö R N E K 1

www.hedefaof.com

n=5 adet bloktan hiçbirinin çatlaks›z (x=0) olma olas›l›¤›;

n=5 adet bloktan 1’inin çatlaks›z (x=1) olma olas›l›¤›;

n=5 adet bloktan 2’sinin çatlaks›z (x=2) olma olas›l›¤›;

n=5 adet bloktan 3’ünün çatlaks›z (x=3) olma olas›l›¤›;

n=5 adet bloktan 4’ünün çatlaks›z (x=4) olma olas›l›¤›;

n=5 adet bloktan 5’inin (hepsinin) çatlaks›z (x=5) olma olas›l›¤›;

Örnek 1’deki verileri ve olas›l›k çizelgesini ele alarak mermer oca¤› üretim sürecin-de örnek olarak al›nacak 5 adet blok içinden;

a) 2 ile 3’ünün çatlaks›z olma olas›l›¤›n›,b) En çok birinin çatlaks›z olma olas›l›¤›n›,c) En az birinin çatlaks›z olma olas›l›¤›n› hesaplay›n›z.

Çözüm: a) 2 ile 3’ünün çatlaks›z olma olas›l›¤›;

P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X=2) + P(X=3)= 0,3087 + 0,1323 = 0,441

b) En çok 1’inin çatlaks›z olma olas›l›¤›,P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1)

= 0,1681 + 0,3602 = 0,5283

c) En az 1’inin çatlaks›z olma olas›l›¤›,P(X ≥ 1) = 1-P(X=0) =1- 0,1681=0,8319

P X( ) !

!. !. , . , ,= =

−( )=−5

5

5 5 50 3 0 7 0 00245 5 5

P X( ) !

!. !. , . , ,= =

−( )=−4

5

4 5 40 3 0 7 0 02844 5 4

P X( ) !

!. !. , . , ,= =

−( )=−3

5

3 5 30 3 0 7 0 13233 5 3

P X( ) !

!. !. , . , ,= =

−( )=−2

5

2 5 20 3 0 7 0 30872 5 2

P X( ) !

!. !. , . , ,= =

−( )=−1

5

1 5 10 3 0 7 0 36021 5 1

P X( ) !

!. !. , . , ,= =

−( )=−0

5

0 5 00 3 0 7 0 16810 5 0

P X xn

x n xp qx n x( )

!

! ! = =

−( )−

x 0 1 2 3 4 5

P(X=x) 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024

493. Ünite - Olas› l ›k Da¤› l ›m Model ler i

Ö R N E K 2

www.hedefaof.com

Elektronik ürünler pazarlayan bir ma¤azay› gezen müflterilerin %20’sinin ürün sat›n ald›-¤› bilinmektedir. Bir saat içinde ma¤azay› gezen 6 müflterinin 2’sinin ürün sat›n alma ola-s›l›¤› nedir?

Binom da¤›l›m›n›n ortalamas›;

Binom da¤›l›m›n›n varyans› ve standart sapmas›;

Tekstil sektöründe kot tafllama iflinde 5 y›l çal›flan iflçilerin sikoza (tafl tozu hasta-l›¤›na yakalanma ihtimali nedeniyle) yaflama ihtimali %85’tir. Tekstil ürünleriüreten bir fabrikada kot tafllama iflinde 10 iflçi çal›fl›yorsa, bu iflçilerin yaflama ih-timali ortalamas›, varyans ve standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

n= 10, p=0,85, q=0,15, x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Ortalama : kifli

Varyans : kifli

Standart Sapma : kifli

Poisson Da¤›l›m›Örnek kütle boyutunun (n’nin) çok büyük ve beklenen bir olay›n meydana gelmeolas›l›¤›n›n (p) s›f›ra çok yak›n oldu¤u nadir meydana gelen olaylarda, hesaplamazorluklar› nedeniyle Binom da¤›l›m› kullan›lamaz. Bununla birlikte, belirli bir za-man aral›¤›nda, bir alanda ya da hacimde nadir rastlanan olaylar›n olas›l›k da¤›l›m-lar›, Poisson da¤›l›m› ile daha kolay aç›klanabilmektedir. Örne¤in, bir y›l içindemeydana gelen trafik ve ifl kazalar›, fabrikalarda kusurlu ürün üretme, insanlar›naz rastlanan hastal›klara yakalanmas›, matbaada bas›lan kitab›n sayfalar›n bask› ha-talar› bulunmas› nadir rastlanan olaylard›r.

Genellikle n>20 ve p<0,10 oldu¤u durumlarda, Poisson da¤›l›m›n›n kullan›m› tercihedilmektedir.

X rassal de¤iflkeninin Poisson olas›l›k fonksiyonu,

olarak tan›mlan›r. Burada, e=2,71828, x= birim zaman içinde ilgilenilen olay sa-y›s›, λ=birim zaman içinde ilgilenilen olay›n ortalama olufl say›s›d›r.

Poisson da¤›l›m›n›n ortalamas›,E(X)= µ = λ

P(X = x)=.ex!

xλ -λ

S = npq =x 10.0,85.0,15 = 1,13

S = E(x - X ) = npq =x2 2 10.0,85.0,15 = 1,28

X = E(x)= np = 10.0,85 = 8,5


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

X = E(x)= np

S = E(x - X ) = npq

S = npq

x2 2

x

Ö R N E K 3

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P


‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E Twww.hedefaof.com

Da¤›l›m›n›n varyans› ve standart sapmas›,

Türkiye’de a¤›r ve tehlikeli ifller s›n›f›nda çal›flan iflletmelerde her y›l ortalama ola-rak 1000 iflçiden bir tanesi hayat›n› kaybetmektedir. 4000 iflçinin çal›flt›¤› bir ifllet-mede bir y›l içinde;a) Hiçbir iflçinin hayat›n› kaybetmemesi,b) 5 iflçinin hayat›n kaybetmesi,c) 2’den fazla iflçinin hayat›n kaybetmesi olas›l›klar›n› bulunuz.

Çözüm: a) n=4000 ve p=1/1000= 0,001 oldu¤undan λ=n.p=4000.0,001=4 olur.

Hiçbir iflçinin hayat›n› kaybetmemesi durumu x=0 oldu¤udan, hiçbir iflçinin ha-yat›n› kaybetmemesi olas›l›¤›;

Olarak hesaplan›r.b) ‹flletmede 5 iflçinin hayat›n› kaybetmesi (X=5) olas›l›¤›;

c) ‹flletmede 2’den fazla iflçinin hayat›n› kaybetmesi (X>2) olas›l›¤›;P(X>2) = 1-P(X≤2) = 1-[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

= 0,7619

Bir otobüs dura¤›ndan 30 dakikada ortalama 2 belediye otobüsü geçmektedir.a) 30 dakika içerisinde 1 belediye otobüsü geçme olas›l›¤›n›,b) Bir saat içerisinde 2’den fazla otobüs geçme olas›l›¤›n› hesaplay›n›z.

Çözüm: a) 30 dakikada ortalama otobüs geçme say›s› λ=2 oldu¤undan, 1 oto-büs geçme olas›l›¤›;

b) 30 dakikada 2 otobüs geçiyorsa, bir saatte 4 otobüs geçer. Bu durumda λ=4olur. Bir saatte 2’den fazla otobüs geçme olas›l›¤›;

P X P X P X P X P X( > 2) = 1- ( ≤ 2) = 1- ( = 0) + ( = 1) + ( = 2)

1-4

00 -4 1 -4 2 -4.0!

+4 .

1!+

4 .2!

= 1- 0,0183+ 0e e e

,,0733+ 0,1465 = 0,7619 (%76, 19)

P(X = 1) =.x!

=2 .

1!= 0,2707 (%27, 07)

x - 1 -2λ e eλ

=

1- 0,0183+4 .

1!+

4 .2!

= 1- 0,0183+1 -4 2 -4e e

00,0733+ 0,1465[ ]

P(X = )=.ex!

=.ex

54

5!= 0,1563

- 5 -4λ λ

P(X = )=.ex!

=.ex

04

0!= 0,0183

- 0 -4λ λ

σ λ σ λ2 = =⇒


Ö R N E K 4

Ö R N E K 5

www.hedefaof.com

Bir bölge orman›nda yap›lan gözlemlere göre e¤er yeni dikimler yap›lmazsa y›ll›k orman-l›k alan kayb›n›n 1000 Hektarl›k alana karfl›l›k 1 Hektar oldu¤u bilinmektedir. Toplam or-man alan› 3000 Hektar oldu¤una göre, yeni dikim yap›lmad›¤› takdirde bir y›l içerisinde 2hektarl›k ormanl›k kayb› olas›l›¤› nedir?

BAZI SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIM MODELLER‹ Co¤rafi bilgi sitemleri kapsam›nda yap›lan bilimsel araflt›rmalarda ço¤u kez karfl›-lafl›lan de¤iflkenler, say›lamayacak kadar çok de¤erler alabilen de¤iflkenlerdir. Sü-rekli de¤iflkenler olarak da tan›mlanan bu rassal de¤iflkenlerin büyük ço¤unlu¤u-nun frekans da¤›l›fl›, normal veya lognormal olas›l›k da¤›l›m› ad› verilen bir fonk-siyonla ifade edilmektedir. Bu nedenle, bu bölümde sürekli da¤›l›mlardan sadeceNormal ve Lognormal da¤›l›m modellerinin hesaplanmas›n› ve bu parametrelerinuygulamada kullan›m›n› ele alaca¤›z.

Normal Da¤›l›mSürekli de¤iflkenlerden frekans da¤›l›m› yaklafl›k olarak çan e¤risi fleklinde olanda¤›l›mlara normal da¤›l›m denilmektedir. 19. yüzy›l›n bafllar›nda C.F. Gauss isim-li araflt›rmac›n›n astronomi alan›nda yapt›¤› çal›flmalar s›ras›nda gelifltirdi¤i normalda¤›l›m›n ilk uygulamalar›, do¤ada gerçekleflen olaylar›n yorumlanmas›na büyükbir uyum göstermifltir. Bu nedenle, normal da¤›l›m olas›l›k fonksiyonunun fleklineGauss e¤risi de denilmektedir. Normal da¤›l›m›n yayg›n kullan›m›n›n en önemlinedeni de sürekli de¤iflkenlere uygulanabilirli¤inin yan›nda baz› kesikli de¤iflken-lerinde normal da¤›l›fla yaklaflabilmesidir.

Günlük hayat›m›zda karfl›lafl›lan birçok de¤iflken normal da¤›l›fl gösterir. Örne-¤in, insanlar›n kan bas›nc› (tansiyon) ve kan›ndaki fleker miktar›n›n da¤›l›m›, ö¤-rencilerin bir dersten ald›klar› notlar›n da¤›l›m›, ilkö¤retimde okuyan çocuklar›nboy ve kilolar›, bir fabrikan›n günlük üretim miktarlar› da¤›l›m›, ampul ve pillerinömrünün da¤›l›m› genellikle normal kabul edilir.

Sürekli bir X de¤iflkeninin normal da¤›l›m olas›l›k fonksiyonu afla¤›daki eflitlik-te verildi¤i gibidir.

için

Burada; x =rassal örneklenmifl de¤iflkeni, –X= da¤›l›m›n ortalamas›n› ve σ = da-

¤›l›m›n standart sapmas›n› (σ2 = varyans›) göstermektedir. Da¤›l›m›n ortalamas› merkezi e¤ilim ölçüsünü verirken, varyans› da ortalaman›n

iki yan›ndaki yayvanl›¤›n bir ölçüsüdür. Bu nedenle,–X ve σ2 parametrelerinin alaca¤›

de¤erlere göre olas›l›k yo¤unluk fonksiyonunun flekli de de¤iflir. Örne¤in, fiekil 3.1 degörüldü¤ü gibi A kütlesinin ortalamas› B kütlesininkinden küçük iken, B kütlesininvaryans› da A kütlesininkinden daha küçüktür. Bu örnekte, A kütlesinin olas›l›k yo-¤unluk fonksiyonunun B kütlesininkinden daha yayvan oldu¤unu söyleyebiliriz.

X rassal de¤iflkeninin -∞ ve +∞ aral›¤› de¤erleri için normal da¤›l›m olas›l›kfonksiyonunun integralini ald›¤›m›zda, normal e¤ri alt›nda kalan toplam alan› 1,0olarak bulabiliriz.

P(-∞ ≤ x ≤ +∞) = f(x).dx = 1,0-∞

∞

∫

f xx ( ) =1

. 2π.e -∞ < x < ∞

2

-(x-X)

2

2

2

σσ


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Carl Friedrich Gauss (30Nisan 1777 - 23 fiubat1855), Alman kökenlimatematikçi ve bilimadam›d›r. Katk›dabulundu¤u alanlardanbaz›lar›; say›lar kuram›,analiz, diferansiyelgeometri, jeodezi, elektrik,manyetizma, astronomi veoptiktir. Antik ça¤lardan beriyaflam›fl en büyükmatematikçi olarak dabilinen Gauss, 1918 y›l›ndaHannover’de yapt›¤› yüzeyölçümleri s›ras›nda, ölçümhatalar›n›n istatistikselda¤›l›m›n› veren (ve dahaönce astronomiaraflt›rmalar›nda dakulland›¤›) normal da¤›l›mfikrini kafas›nda iyicebelirginlefltirmifltir (‹nternetKaynak:http://tr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)

Normal da¤›l›m,parametreleri aritmetikortalama ve standart sapmaolan iki parametreli birda¤›l›md›r. Birinci ünitedede ele ald›¤›m›z gibi,grupland›r›lm›fl serilerdearitmetik ortalama vestandart sapmay› flu flekildehesaplayabiliriz.

X =m

i.f

i

fi

2=

mi

- X2

.fi

i=1

n

fi

i=1

n

∑

∑

∑

∑

( )σ

σ ==2

σ

www.hedefaof.com

Bu nedenle, normal frekans da¤›l›m›n›n e¤risinin (fiekil 3.2) alt›nda kalan alanolas›l›klar› verdi¤inden, e¤rinin kaplad›¤› toplam alan 1’e eflittir.

Standart normal e¤rilerde X ekseni üzerinde, aritmetik ortalaman›n her iki ya-n›nda -σ ile +σ mesafeleri ile normal e¤ri aras›nda kalan alan, tüm e¤ri alan›n›n%68,3 ‘ünü kapsar (fiekil 3.3). Aritmetik ortalaman›n iki yan›nda -2σ ile +2σ nok-talar› aras›nda kalan alan, tüm e¤ri alan›n›n %95,5 ‘ini kapsar. -3σ ile +3σ mesafe-leri aras›nda kalan alan ise, bütün alan›n %99,7 ‘sini kapsamaktad›r (fiekil 3.3).


fiekil 3.1

Normal da¤›l›mgösteren iki rassalde¤iflkenin olas›l›kyo¤unlukfonksiyonlar›

Farkl› uygulamalar içinolas›l›k da¤›l›m fonksiyonue¤risi alt›nda kalanalanlar›n bulunabilmesi içinintegral al›nmas› zoroldu¤undan, normal da¤›l›mfonksiyonunun standartnormal da¤›l›mfonksiyonunadönüfltürülmesi tercihedilmektedir.

fiekil 3.2

De¤erler (Xi)

Frek

ans

(f)

Normal da¤›l›mfrekans (çan) e¤risi

www.hedefaof.com

Standart Normal Da¤›l›mNormal da¤›l›m fonksiyonunda, Z= (X-

–X)/σ dönüfltürmesi yap›larak “standart nor-

mal da¤›l›m” elde edilebilir. Bu durumda standart normal da¤›l›m›n fonksiyonu,

fleklinde olup, aritmetik ortalamas› 0 ve varyans› 1’dir.Z rassal de¤iflkeninin -∞ ve +∞ aral›¤› için standart normal da¤›l›m fonksiyonu-

nun integralini ald›¤›m›zda da, e¤ri alt›nda kalan toplam alan› 1,0 olarak bulabili-riz (fiekil 3.4.). Ayr›ca simetrik olan standart normal e¤rinin sa¤›nda kalan (-∞ ile 0aral›¤›ndaki) ve solunda kalan (0 ile +∞ aral›¤›ndaki) yar›m alanlar da 0.5’e eflittir(fiekil 3.5).

P(-∞ ≤ z ≤ +∞) = f(z).dz = 1,0

P(-∞ ≤ z ≤ 0) = f(z).dz = 0,5

-∞

∞

∫

--∞

0

0

∞

P(0 ≤ z ≤ +∞) = f(z).dz = 0,5

∫

∫

f(z) =1

2π.e

-Z

2

2


-3σ -2σ -σ -σ +2σ +3σ

fiekil 3.3

Normal e¤rialt›nda kalanalanlar›n standartsapmaya ba¤l›de¤iflimi

www.hedefaof.com

Çarp›kl›k ve Bas›kl›k Katsay›s›Normal da¤›l›m olas›l›k fonksiyonunun flekli, ortalama ve standart sapman›n alaca-¤› de¤erlere göre de¤iflebilmektedir. Normal da¤›l›m fonksiyonu fleklinin sa¤a ve-ya sola çarp›kl›¤›n› belirlemede çarp›kl›k katsay›s›, sivri veya bas›k olup olmad›¤›-n›n belirlenmesinde ise bas›kl›k katsay›s› kullan›lmaktad›r.

Standart normal da¤›l›m teorik olarak simetrik bir e¤riye sahiptir. Bu nedenlenormal da¤›l›m›n teorik çarp›kl›k katsay›s›, α3 = 0’d›r. Sa¤a e¤ik serilerde α3 > 0(fiekil 3.6.a) ve sola e¤ik serilerde α3 < 0’d›r (fiekil 3.6.b). Grupland›r›lm›fl seriler-de da¤›l›m›n çarp›kl›k katsay›s› afla¤›daki gibi hesaplan›r.

αµ

σµ3

33 3

i i3

i= =

f .(m - X)

f∑

∑


fiekil 3.4

-∞ ∞

Standart normale¤ri alt›nda kalanalan

fiekil 3.5

f(z) f(z)

0,5 0,5

-∞ ∞ -∞ ∞

Standart normale¤rinin sa¤›nda vesolunda kalanalanlar

Z’nin çeflitli de¤erlerine aitstandart normal e¤ri alt›ndakalan alanlar› bulabilmekiçin integral alma ifllemiyapmak pratik bir ifllemolmad›¤›ndan, standartnormal e¤ri alt›nda kalanalanlar istatistikkitaplar›n›n ekinde çizelgelerfleklinde sunulmaktad›r (Bukitab›n ekindeki çizelgelerebak›n›z).

fiekil 3.6

fx(x)

(a) Sa¤a çarp›k e¤ri (b) Sola çarp›k e¤riX X

3>03=0

3=03<0

fx(x) Standart normalda¤›l›mda çarp›kl›k

www.hedefaof.com

Bir serinin normal olabilmesi için hem simetrik olmas› hem de normal bir yük-sekli¤e sahip olmas› gerekir. Bir serinin normal olup olmad›¤›n› ortaya koyan “ba-s›kl›k ölçüsü (α4)”, normal bir seride α4 = 3, sivri bir seride α4 > 3 (fiekil 3.7.a) vebas›k bir seride α4 < 3’dür (fiekil 3.7.b). Grupland›r›lm›fl serilerde da¤›l›m›n bas›k-l›k katsay›s› afla¤›daki gibi hesaplan›r.

Kent merkezinde bulunan bir inflaat flantiyesinde ifl makinelerinin yaratt›¤› gürül-tü seviyesini belirlemek amac›yla 24 ölçüm yap›lm›fl ve afla¤›daki grupland›r›lm›flserideki frekans de¤erleri elde edilmifltir.a) Aritmetik ortalama ve standart sapmay› hesaplay›n›z.b) Da¤›l›m›n çarp›kl›k ve bas›kl›k katsay›lar›n› hesaplayarak, da¤›l›m›n fleklini

yorumlay›n›z.

Çözüm: a) Aritmetik ortalama ve standart sapmay› afla¤›daki eflitliklerle hesaplar›z.

X =

m - X .f

f

=m .f

fi i

i

2i

2i

i=1

l

ii=1

l

∑∑

( )∑

∑σ =

. = 1040 = 24 (

2σ σ

m f f mi i i i∑ ∑ -- X f

X

i∑ ) . = 13333,4

=1040

24= 43,3 dBA =

2

σ113333,4

24= 23,6 dBA

αµ

σµ4

44 4

i i4

i= =

f .(m - X)

f∑

∑


4>3

4=3

fx(x) fx(x)

4

4=3

X X(a) Sivri e¤ri (a) Bas›k e¤ri

3

fiekil 3.7

Standart normalda¤›l›mda bas›kl›k

Ö R N E K 6

Grup S›n›rlar› (Gürültü-dBA) Frekanslar Grup Ortalamalar›

Alt Üst (den az) fi mi

0 20 4 10

20 40 8 30

40 60 6 50

60 80 4 70

80 100 2 90

www.hedefaof.com

b) Çarp›kl›k katsay›s›n› afla¤›daki eflitlikle hesaplar›z.

α3 = 0,365 > 0oldu¤undan, e¤ri tam simetrik da¤›l›ma göre sa¤a çarp›kt›r.

Bas›kl›k katsay›s›n› da afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

α4 = 2,25 < 3,0 oldu¤undan, e¤ri tam simetrik da¤›l›ma göre bas›kt›r.

Bir iflyerinde çal›flan 50 personelin yafl gruplar›na göre da¤›l›m› afla¤›daki gibidir. Perso-nelin ortalama yafl›n› ve standart sapmas›n›, da¤›l›m›n çarp›kl›k ve bas›kl›k katsay›lar›n›hesaplayarak da¤›l›m fleklini yorumlay›n›z.

Normal Olas›l›k E¤risinin Alt›nda Kalan Alanlar›n Hesaplanmas›Belirli bir de¤iflken de¤erlerine karfl›l›k gelen normal olas›l›k e¤risinin alt›nda ka-lan alanlar›n hesaplanmas›nda standart normal da¤›l›m›n özelliklerinden yararla-n›labilmektedir. Bunun için X de¤iflken de¤erleri öncelikle standart normal de¤e-re dönüfltürülmekte ve daha sonra standart normal da¤›l›m fonksiyonu yard›m›ylaintegral alma ifllemi ile e¤ri alt›nda kalan alan hesaplanmaktad›r. Ancak, integralalma ifllemleri zaman al›c› olmas› ve pratik olmamas› nedenleriyle genellikle dahaönceden haz›rlanm›fl çizelgelerden yararlan›lmas› tercih edilmektedir.

Standart normal da¤›l›m simetrik bir da¤›l›m oldu¤u için, e¤ri alt›nda kalan top-lam alan 1’e, ortalaman›n sa¤›nda ve solunda kalan yar›m alanlar da 0.5’e eflittir. Or-talaman›n solunda kalan alan ile sa¤›ndaki alan birbirine eflittir. Bu nedenle de,standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar› gösteren integral çizelgeleri (Z çizelgesi) ya-r›m alan çizelgeleridir. Bu yüzden, ortalaman›n solunda kalan ve negatif Z de¤erle-rine karfl›l›k gelen alan, Z’lerin pozitifmifl gibi düflünülmesiyle bulunabilmektedir.

Standart normal da¤›l›m çizelgesinin kullan›m› ile ilgili örnekler afla¤›da ve-rilmifltir.

α µ444 4

i i4

i

4

= =f .(m - X)

f

.( ) = 1672

µ

σ

∑∑

∑ f m - Xi i 66370

=16726370

24= 696932,1 =

696932,1

(24 4µ α

33,6)= 2,25

4

ασ

333 3

i i3

i

3

= =f .(m - X)

f

.( ) = 11511

µµ ∑

∑

∑ f m - Xi i 11,1 = 24 = 23,6

=115111,1

24= 47963

fi∑ σ

µ ,,3 =4796,3

(23,6)= 0,3653 3

α

Yafl Gruplar› 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70

Personel Say›s› 8 18 14 8 2


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

www.hedefaof.com

Bir bölgede GPS (Global Positioning System) ile yap›lan konum belirleme çal›flma-lar›nda, ölçüm hatalar› ortalamas›n›n 7,8 m ve standart sapmas›n›n 2 m oldu¤uhesaplanm›flt›r.a) Ölçümlerde 5 m’den daha az hata yapma olas›l›¤› nedir?b) Ölçümlerde 10 m’den daha az hata yapma olas›l›¤› nedir?c) Ölçümlerde 10 m’den daha fazla hata yapma olas›l›¤› nedir?d) Ölçümlerde 5 m ile 10 m aras› hata yapma olas›l›¤› nedir?

Çözüm: Örne¤imizde olarak verilmifltir.

a) X=5 m için olarak bulunur.Ölçümlerde 5 m’de daha az hata yapma olas›l›¤› hesaplanmak istendi¤ine göre

P(X<5)=P(Z<-1,4) olas›l›¤›n› bulmam›z gerekmektedir. Bu olas›l›k de¤erini Z çizel-gesini kullanarak bulabiliriz.

Z çizelgesinde Z=1,4 de¤erine karfl›l›k gelen de¤er A=0,419 dur. Ayn› de¤erZ=-1,4 için de geçerlidir. Afla¤›da verilen flekilden de görüldü¤ü gibi, taral› alanA=0,419 dur. Bu durumda, standart normal e¤rinin sol taraf›ndaki yar›m alan0,5’e eflit oldu¤undan, ölçümlerde 5 m’den daha az hata yapma olas›l›¤›n›;

P(X<5)=P(Z<-1,4)=0,5-0,419=0,081 olarak buluruz.

b) X=10 m için olarak bulunur.P(X<10)=P(Z<1.1) olas›l›¤›n› bulmam›z gerekmektedir.Z çizelgesinden Z=1,1 de¤erine karfl›l›k gelen A=0,364 de¤erini buluruz.Standart normal e¤rinin sol taraf›ndaki yar›m alan (=0,5) ile A alan›n› toplad›¤›-

m›zda, ölçümlerde 10 m’den daha az hata yapma olas›l›¤›n›;P(X<5)=P(Z<-1,4)=0,5+0,364=0,864 olarak buluruz.

Z = ( ) / = (10,0 - 7,8) / 2,0 = 1,1X - X σ

Z = ( ) / = (5,0 - 7,8) / 2,0 = -1,4X - X σ

X = 7,8 m ve = 2,0σ


Ö R N E K 7

f(z)

0,5 0,364

Z1,10

www.hedefaof.com

c) X=10 m için Z=1,1 ve A=0,364 olarak bulunmufltu.P(X>10)=P(Z>1,1) olas›l›¤›n› bulmam›z gerekmektedir.Standart normal e¤rinin sa¤ taraf›ndaki yar›m alandan (=0,5) A alan›n› ç›kard›-

¤›m›zda, ölçümlerde 10 m’den daha fazla hata yapma olas›l›¤›n›;P(X>10)=P(Z>1,1)=0,5-0,364=0,136 olarak buluruz.

d) X1=5 m için Z1=-1,4 ve A1=0,419 X2=10 m için Z2=1,1 ve A2=0,364 olarak bulunmufltu.P(5<X<10)=P(-1,4<Z<1,1) olas›l›¤›n› bulmam›z gerekmektedir.Standart normal e¤rinin solunda kalan A1 ve sa¤›nda kalan A2 alanlar›n› topla-

d›¤›m›zda, ölçümlerde 5 m ile 10 m aras› hata yapma olas›l›¤›n›;P(5<X<10)=P(-1,4<Z<1,1)=0,419+0,364=0,783 olarak buluruz.

Bir otomobil fabrikas›n›n üretti¤i ürünlere talep ortalamas› 800 adet ve standart sapmas›200 adettir. Sat›fllar›n en fazla 1000 adet olma olas›l›¤› nedir?

Bir il merkezinde bulunan meteoroloji istasyonunda yap›lan ölçümlerde ilin Ni-san ay› toplam ya¤›fl miktar› ortalamas›n›n 900 mm ve standart sapmas›n›n 200mm oldu¤u hesaplanm›flt›r. %95 olas›l›kla ilin toplam ya¤›fl miktar› en düflük ve enyüksek ne kadar olur?

Çözüm: En düflük ve en yüksek ya¤›fl miktarlar›n› %95 olas›l›kla bulaca¤›m›zagöre, öncelikle standart normal e¤ri alt›nda %95 olas›l›k de¤erine karfl›l›k gelen Zde¤erini bulmam›z gerekmektedir. Standart normal e¤ri, tam simetrik bir e¤ri vee¤rinin her iki taraf›nda kalan yar›m alanlar birbirine eflit oldu¤undan, Z çizelge-sinden P=0,95/2=0,475 de¤erine karfl›l›k gelen de¤erin Z=1,96 oldu¤unu buluruz.


f(x)

0,364

0,136

Z1,10

f(x)

0,364

Z1,10-1,4

0,419

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

Ö R N E K 8

www.hedefaof.com

En düflük ya¤›fl miktar›n› Z=-1,96 ve en büyük ya¤›fl miktar›n› Z=+1,96 de¤er-lerini kullanarak bulabiliriz.

oldu¤undan

En düflük ya¤›fl miktar›:

En yüksek ya¤›fl miktar›: olarak bulunur.

Lognormal Da¤›l›m Standart normal da¤›l›m›n özelliklerini, afl›r› çarp›k da¤›lm›fl rassal de¤iflkenler içinkulland›¤›m›zda, çok önemli boyutlarda hatalar yapabiliriz. Bununla birlikte nor-mal da¤›l›fl göstermeyen (çarp›k da¤›l›ml›) de¤iflkenler için baz› dönüflümler yapa-rak normal da¤›l›ma uydurmak mümkündür. Genellikle de çarp›k da¤›l›fl gösterende¤iflkenlerin normallefltirilmesinde, ifllem kolayl›¤› nedeniyle e taban›na göre lo-garitmik dönüflüm (y=lnx) tercih edilmektedir.

Rassal örneklenmifl X verilerinin do¤al logaritmalar› al›nd›¤›nda, logaritmik(lnX) de¤erlerin da¤›l›m› normal da¤›l›ma uyuyorsa, bu da¤›l›ma lognormal da¤›-l›m denilmektedir. Genifl aral›klar için grupland›r›lm›fl de¤iflkenlerin da¤›l›m›, ge-nellikle lognormal da¤›l›ma uymaktad›r.

Lognormal da¤›l›m›n olas›l›k yo¤unluk e¤risi, bu da¤›l›m›n parametreleri olanlogaritmik ortalama (α) ve logaritmik standart sapma (β)’n›n fonksiyonu olup, bufonksiyon afla¤›daki eflitlikle ifade edilebilir.

Burada; x=rassal örneklenmifl de¤iflkeni, x de¤iflkeninin olas›l›k yo¤unluk fonk-siyonunu, α= da¤›l›m›n logaritmik ortalamas›n› ve β= da¤›l›m›n logaritmik standartsapmas›n› göstermektedir.

Lognormal da¤›l›m›n parametreleri olan logaritmik ortalama ve logaritmik stan-dart sapma iki yöntemle hesaplanabilmektedir. Bu yöntemler afla¤›da s›ra ile veril-mektedir.

1) Örnek de¤erlerinin normal aritmetik ortalamas› (–X) ve standart sapmas› (σ)

hesaplanarak, de¤iflkenlik katsay›s› (C ) belirlenir.

2) De¤iflkenlik katsay›s›n›n 1,2’ye eflit ya da küçük olmas› durumunda afla-¤›daki eflitlikler kullan›larak logaritmik ortalama (α) ve standart sapma(β) hesaplan›r.

α β

βσ

= lnX -12

= lnX

+ 1 =

2

22

2

β β22

C =Xσ

f (x)x

e xx

x

=1

. . 2π. 0 < < + için

-(ln - )

2

2

2

β

α

β ∞

x X Z= + ( . ) = 900 + (-1,96.200) = 1292 mmσ

x X Z= + ( . ) = 900 + (-1,96.200) = 508 mmσ

Zx - X

x X Z= ve = + ( . ) σ

σ


Negatif de¤erlerinlogaritmas›tan›mlanmad›¤›ndan(al›namad›¤›ndan),lognormal da¤›l›m sadecerassal örneklenmifl pozitifde¤erli de¤iflkenler içinkullan›labilir.

www.hedefaof.com

3) De¤iflkenlik katsay›s›n›n 1,2’den büyük olmas› durumunda, rassal örneklen-mifl X de¤erlerinin logaritmik dönüflümleri (lnX) yap›larak, normal da¤›l›m-da oldu¤u gibi aritmetik ortalama (α) ve standart sapma (β) hesaplan›r. Da-ha sonra, afla¤›daki eflitlikler kullan›larak logaritmik ortalama ve standartsapma normal de¤erlere dönüfltürülür.

Örnekleme de¤erlerinin do¤al logaritmalar› için yap›lan ifllemlerde normal da-¤›l›m›n tüm özellikleri geçerlidir. Örne¤in, lognormal da¤›lm›fl X rassal de¤iflkeniiçin standart normal de¤erin bulunmas›nda;

eflitli¤i kullan›l›r.

Kent merkezinde bulunan bir inflaat flantiyesinde zemin kaz›k çakma makineleri-nin yaratt›¤› kesikli titreflim seviyesini belirlemek amac›yla 20 ölçüm yap›lm›fl veafla¤›daki grupland›r›lm›fl serideki frekans de¤erleri elde edilmifltir. Da¤›l›m›n log-normal oldu¤u bilindi¤ine göre;a) Logaritmik ortalama ve standart sapmay› hesaplay›n›z.b) Kesikli titreflim seviyesinin 10 mm/s’nin üzerinde olma olas›l›¤›n› bulunuz.

Çözüm:a) Normal de¤erler için aritmetik ortalama ve standart sapmay› afla¤›daki eflit-

liklerle hesaplar›z.

X =m .f

fi i

i

=

m - X .f

f

2i

2i

i=1

n

ii=1

n

i

∑∑

( )∑

∑σ

f∑∑ ∑ ∑= 20 = 117 ( ) = 188,2m .f m - X .fi i i i 555

X =11720

= 5,85 mm / s =188,55

20= 3,07 mσ mm / s

Z =LnX - α

β

X = eα β

σ

+1

2

2

2

2

= X . e -1β( )

Grup S›n›rlar› (Titreflim:mm/s) Frekanslar Grup Ortalamalar›


0 3 3 1,5

3 6 9 4,5

6 9 5 7,5

9 12 2 10,5

12 15 1 13,5


Lognormal da¤›lm›fl X rassalde¤iflkeni için standartde¤erin bulunmas›nda, e¤ernormal de¤erlerlehesaplanm›fl ortalama vestandart sapma kullan›l›rsa,bu standart normal de¤erleyap›lacak olas›l›k tahminleriönemli derecede hata içerir.

Ö R N E K 9

www.hedefaof.com

De¤iflkenlik katsay›s› oldu¤undan, seri de¤erleri-

nin logaritmalar›n› almaya gerek olmadan logaritmik ortalama ve standart sapma-

y› afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

b) X= 10 mm/s α= 1,6447 ln(mm/s) β= 0,4933 ln(mm/s)

Z çizelgesinden Z=1,33 de¤erine karfl›l›k gelen alan A=0,408Kesikli titreflim seviyesinin 10 mm/s’nin üzerinde olma olas›l›¤›;P(Z>1,33)=0,5-0,408=0,092 (%9,2) dir.E¤er da¤›l›m›n lognormal oldu¤unu göz önüne almadan kesikli titreflim seviye-

sinin 10 mm/s’nin üzerinde olma olas›l›¤›n› hesaplarsak;

ve A=0,411 oldu¤undan,

P(Z>1,35)=0,5-0,411=0,089 (%8,9) olarak buluruz.Görüldü¤ü gibi, lognormal da¤›lma sahip rassal de¤iflkenler için bu da¤›l›fl› göz

ard› edersek hatal› de¤erlendirme yapmam›z söz konusu olmaktad›r. Özellikle,afl›r› çarp›k da¤›l›mlarda, bu hata oran› daha da artabilmektedir.

Bir küçük sanayi bölgesinde bulunan 200 ifl yerinde yap›lan gürültü ölçümleri sonucu ya-p›lan grupland›rmada afla¤›daki veriler elde edilmifltir. Da¤›l›m›n lognormal oldu¤unuvarsayarak logaritmik aritmetik ortalamay› ve standart sapmay› hesaplay›p, s›n›r de¤erolan 70 dB’in üzerinde kaç ifl yerinin çal›flt›¤›n› bulunuz.

ZX - X

= =10 - 5,85

3,07= 1,35

σ

ZX Ln

=ln - a

=(10) -1,6447

0,4933= 1,33

β

α β βσ

= lnX -12

= lnX

+ 1 2 22

2

=

= ln(3,07

5,85+ 1) = 0,2433 = 0,

2

22

2

β β

β β 44933 ln(mm / s)

= ln(5,85) - (12

.0,2433) = 1,6447 ln α ((mm / s)

CX

= =3,075,85

= 0,525 < 1,2σ

Gürültü (dB) 0-40 40-80 80-120 120-160 160-200 200-240

‹flyeri Say›s› 35 120 20 15 8 2


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

www.hedefaof.com


Kesikli ve sürekli rassal de¤iflken kavram›n› ö¤-

renerek verilere uygun da¤›l›m modelini

seçmek.

Rassal örneklenen veriler kesintisiz bir flekilde s›-ralanabiliyor ve bir aral›ktaki bütün de¤erleri ala-biliyorsa, bu de¤iflkenlere sürekli de¤iflkenler de-nilmektedir. Rassal örneklenen bir de¤iflken sa-dece belirli say›da de¤erler alabiliyor ve yaln›zcasay›labilir say›da de¤erler al›yorsa da, bu de¤ifl-kenlere kesikli de¤iflken denilmektedir.Kesikli de¤iflkenler için belirli de¤erlerin nokta-sal olarak gerçekleflme olas›l›klar› hesaplanabi-lirken, sürekli rassal de¤iflkenler de ise belirliaral›klardaki de¤erler için gerçekleflme olas›l›kla-r› hesaplanabilmektedir.

Kesikli rassal de¤iflkenlerin da¤›l›m modellerinin

(Binom ve Poission) parametrelerini hesaplay›p,

spesifik uygulamalarda da¤›l›m parametrelerini

kullanmak.

Bir ana kütlede sonucun baflar›l› olma olas›l›¤› pve baflar›s›z olma olas›l›¤› q=1-p ise, bu ana küt-leden çekilecek n adet örnek kütle içerisindenrassal ve iadeli olarak x adet birim çekildi¤inde,x adet birimin de baflar›l› gelme olas›l›¤› Binomaç›l›m› ile hesaplanabilmektedir. Binom da¤›l›m›eflitli¤i ile belirli bir baflar› say›s›na karfl›l›k gelenolas›l›k de¤eri bulunabildi¤i gibi, belirli bir aral›-¤a düflen baflar› say›s›n›n olas›l›¤›n› da, bütün ba-flar› say›lar› olas›l›klar›n›n toplam› ile bulmakmümkün olabilmektedir. Örnek kütle boyutunun (n’nin) çok büyük vebeklenen bir olay›n meydana gelme olas›l›¤›n›n(p) s›f›ra çok yak›n oldu¤u nadir meydana gelenolaylarda ise, Poisson da¤›l›m› daha kolay kulla-n›labilmektedir. Genellikle n>20 ve p<0,10 oldu-¤u durumlarda, Poisson da¤›l›m›n›n kullan›m›tercih edilmektedir.

Sürekli rassal de¤iflkenlerin da¤›l›m modelleri-

nin (Normal ve Lognormal) parametrelerini he-

saplay›p, spesifik uygulamalarda da¤›l›m para-

metrelerini kullanmak.

Sürekli de¤iflkenlerden frekans da¤›l›m› yaklafl›kolarak çan e¤risi fleklinde olan da¤›l›mlara nor-mal da¤›l›m denilmektedir. Normal da¤›l›m ikiparametreli bir da¤›l›m olup, da¤›l›m›n ortalama-s› merkezi e¤ilim ölçüsünü verirken, varyans› dada¤›l›m›n yayvanl›¤›n›n bir ölçüsüdür.Normal frekans da¤›l›m e¤risinin kaplad›¤› top-lam alan 1’e eflittir.Normal da¤›l›m fonksiyonunda, Z= (X-

–X)/σ dö-

nüfltürmesi yap›ld›¤›nda, aritmetik ortalamas› 0ve varyans› 1 olan “standart normal da¤›l›m”

elde edilebilmektedir. Belirli bir de¤iflken de-¤erlerine karfl›l›k gelen normal olas›l›k e¤risi-

nin alt›nda kalan alanlar›n hesaplanmas›nda

standart normal da¤›l›m çizelgelerinden yarar-lan›labilmektedir.Normal da¤›l›m fonksiyonu fleklini aç›klamadaçarp›kl›k katsay›s› ve bas›kl›k katsay›s› kullan›l-maktad›r. Tam simetrik normal da¤›l›m›n teorikçarp›kl›k katsay›s›, α3 = 0 olup, sa¤a e¤ik seri-lerde α3 > 0 ve sola e¤ik serilerde α3 < 0’d›r.Tam simetrik normal da¤›l›mda bas›kl›k katsay›-s› α4 = 3 olup, sivri bir e¤ride α4 > 3 ve bas›kbir e¤ride α4 < 3’dür.Rassal örneklenmifl X verilerinin do¤al logarit-malar› al›nd›¤›nda, logaritmik (lnX) de¤erlerinda¤›l›m› normal da¤›l›ma uyuyorsa, bu da¤›l›malognormal da¤›l›m denilmektedir. Genifl aral›klariçin grupland›r›lm›fl de¤iflkenlerin da¤›l›m›, ge-nellikle lognormal da¤›l›ma uymaktad›r. Lognormal da¤›l›m›n parametreleri logaritmik or-talama (α) ve logaritmik standart sapma (β) d›r. Lognormal da¤›lm›fl X rassal de¤iflkeni için stan-dart normal de¤erin bulunmas›nda Z= (LnX - α)/βeflitli¤i kullan›l›r.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. iflleminin sonucu kaçt›r?

a. 3b. 5c. 15d. 20e. 30

2. Bir hastanede yap›lan kalp ameliyatlar›nda hastan›nyaflama ihtimalinin %80 oldu¤u bilinmektedir. Hastane-de bir günde 4 kalp hastas› ameliyat edildi¤ine göre,yaln›z 2 hastan›n yaflama ihtimali kaçt›r?

a. 0,0013b. 0,0256c. 0,1536d. 0,4096e. 1,0000

3. Afla¤›daki çizelgede kusurlu ürün üretme say›lar› veolas›l›klar› verilmifltir.

Bu çizelgeye göre, seçilecek bir ürünün kusurlu olma-ma olas›l›¤› kaçt›r?

a. 0,42b. 0,32c. 0,21d. 0,04e. 0,01

4. Bir iflletmede çal›flan iflçilerin bir y›l içerisinde ifl ka-zas› geçirme olas›l›¤› %0,2 (p=0,002) dir. ‹flletmede 2000iflçi çal›flt›¤›na göre (λ=4), bir y›l içinde 1 ifl kazas› olmaolas›l›¤› kaçt›r? (e-4=0,018)

a. 0,002b. 0,004c. 0,018d. 0,072e. 0,100

5. Normal da¤›l›ma sahip grupland›r›lm›fl bir serininsola çarp›k oldu¤u belirlenmifltir. Buna göre, bu serininçarp›kl›k katsay›s› (α3) afla¤›dakilerden hangisi olabilir?

a. -0,4b. 0c. 0,4d. 1e. 2

6. X, normal da¤›lm›fl sürekli bir de¤iflken, –X = 16 ve

σ = 4 oldu¤una göre, P(12<X<20) olas›l›¤› kaçt›r? a. 0,9500b. 0,6826c. 0,4750d. 0,3413e. 0,1707

7. X, n = 67 ve p = 0,40 olmak üzere binom da¤›lm›flbir rassal de¤iflkendir. Buna göre, X’in standart sapma-s› kaçt›r?

a. 3b. 3,42c. 3,76d. 4,01e. 4,88

8. Standart sapmas› 6 olan bir normal da¤›l›mda, X=24de¤eri Z=-2 standart de¤erine dönüflüyorsa aritmetikortalamas› kaçt›r?

a. 6b. 6,9c. 12,8d. 16e. 36

9. X, ortalamas› 20 ve standart sapmas› 5 olan bir nor-mal da¤›l›m göstermektedir. Buna göre, X=22,5 de¤erihangi standart Z de¤erine dönüflür?

a. -1b. -0,5c. 0,5d. 1e. 1,5

10. X, ortalamas› 6 ve standart sapmas› 4 olan bir log-normal da¤›l›m göstermektedir. Buna göre, da¤›l›m›nlogaritmik varyans› kaçt›r?

a. 1,603b. 0,967c. 0,846d. 0,607e. 0,368

6!

4!.(6 - 4)!

x 0 1 2 3 4

P(X=x) 0,32 0,42 0,21 0,04 0,01


www.hedefaof.com


1. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Binom Da¤›l›m›” konusu-na bak›n›z.

2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Binom Da¤›l›m›” konusu-na bak›n›z.

3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Binom Da¤›l›m›” konusu-na bak›n›z.

4. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Poission Da¤›l›m›” konu-suna bak›n›z.

5. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Normal Da¤›l›m” konusu-na bak›n›z.

6. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Normal Da¤›l›m” konusu-na bak›n›z.

7. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Binom Da¤›l›m›” konusu-na bak›n›z.

8. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Normal Da¤›l›m” konusu-na bak›n›z.

9. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Normal Da¤›l›m” konusu-na bak›n›z

10. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Lognormal Da¤›l›m” konu-suna bak›n›z

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›S›ra Sizde 1

Ürün sat›n alma olas›l›¤› : p= 0,2 (%20)Ürün sat›n almama olas›l›¤› : q= 1- p = 1- 0,2 = 0,8 (%80)Örnek kütle say›s› : n= 6Müflterinin 2’sinin (x=2) ürün sat›n alma olas›l›¤›;

S›ra Sizde 2

Bir y›lda ormanl›k alan kayb› 1000 Hektar’da 1 Hektar(p=1/1000=0,001) d›r. P<0,1 oldu¤undan, bu soruyupoisson da¤›l›m› yard›m›yla çözebiliriz.n=3000 Hektar ve p=0,001 oldu¤una göre λ= 3000.0,001=3dür.

2 Hektarl›k (x=2) ormanl›k alan kayb› olasl›¤›;

S›ra Sizde 3

α3=0,356>0 oldu¤undan, e¤ri sa¤a çarp›kt›r.

α4 = 2,455<3,0 oldu¤undan, e¤ri bas›kt›r.

S›ra Sizde 4–X=800 adet ve σ=200 adet . X=1000 adet içinolarak bulunur.P(X≤1000)=P(Z≤1,0) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413

mi .fi fi mi - X fi

X

∑ ∑ ∑= 2030 = 50 ( )2 . = 5632

=2030

50== 40,6 =

5632

50= 10,6

.( - )3 = 20601

σ

fi mi X∑ ,,6

3 =20601,6

50= 412 3 =

412

(10,6)3= 0,356µ α

P Xx e

x

e( )

. .

!, (% , )= =

−=

−=2

32 3

20 224 22 4

λ λ

!

P(X = x) =!

!( - )!p q -

P(X = 2) =6!

2!.(6 - 2)!.0, 22.

n

x n xx n x

00,86-2 = 0, 2458

Grup S›n›rlar›(Yafl) Frekanslar Grup Ortalamalar›


20 30 8 25

30 40 18 35

40 50 14 45

50 60 8 55

60 70 2 65


fi mi X∑ − =

= =

.( )

,

4 1549635

41549635

5030992 7µ

,

( , ) ,α4

30992 7

10 6 42 455= =

Z = ( ) / = (1000 - 800) / 200 = 1, 0X - X σ

www.hedefaof.com


S›ra Sizde 5

Z çizelgesinden Z=0,29 de¤erine karfl›l›k gelen alanA=0,1141Gürültü seviyesinin 70 dB’nin üzerinde olma olas›l›¤›;P(Z>0,29)=0,5-0,1141=0,3859 dir.‹flyeri say›s› = 200 x 0,3859 = 77

Cula, S. & Muluk, Z. (2006). Temel ‹statistik Yöntemleri.

Ankara: Baflkent Üniversitesi.Gürsakal, N. (2001). Bilgisayar Uygulamal› ‹statistik I.

No:1029. ‹stanbul: Alfa.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mü-

hendislik Mimarl›k Fakültesi Maden Mühendisli¤iBölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniver-sitesi.

Newbold, P. (2005). ‹flletme ve ‹ktisat ‹çin ‹statsitik. Ümitfienesen (Çev.). ‹stanbul: Literatür.


Olas›l›k Da¤›l›mlar›. ‹flletme Fakültesi Yay›n No:279. ‹stanbul: ‹stanbul Üniversitesi.

Ünver, Ö. & Gamgam, H. (2006). Uygulamal› Temel ‹s-

tatistik Yöntemler. Ankara: Seçkin.

Grup S›n›rlar›

(Gürültü-dB)Frekanslar

Grup

Ortalamalar›


0 40 35 20

40 80 120 60

80 120 20 100

120 160 15 140

160 200 8 180

200 240 2 220


fi mi .fi mi - X fi

X

∑ ∑ ∑= 200 = 13880 ( )2. = 332728

=138880

200= 69, 4 dB =

332728

200= 40,8 dB

C = =40,8

69

σ

σ

X ,, 4= 0,59 < 1, 2

= lnX -1

22 2 = ln

2

X2+ 1α β β

σ

= 2

2 = ln(40,82

69, 42+ 1) = 0, 2969 = 0,54

β β

β β 55 ln(dB)

= ln(69, 4) - (1

2.0, 2969) = 4,091

X = 70 dB

Z =l

α

nn -=

(70) - 4,091

0,545= 0, 29

X Lnα

β

www.hedefaof.com

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Nokta ve güven aral›¤› tahmini aras›ndaki fark› belirleyebilecek,Ana kütle ortalamas› ve oran› için güven aral›¤›n› tahmin edebilecek,‹ki ana kütle ortalamas› ve oran› aras›ndaki farklar›n güven aral›¤›n› tahminedebilecek,Ana kütle varyans› için güven aral›¤›n› tahmin edebilecek bilgi ve becerileresahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Güven Aral›¤› • Büyük Örnekleme• Küçük Örnekleme• Z Da¤›l›fl› • Student t da¤›l›fl›• Khi-kare da¤›l›fl›

• Ortalamalar›n Güven Aral›¤›• Oranlar›n Güven Aral›¤›• Varyans›n Güven Aral›¤›• Farklar›n Güven Aral›¤›• Nokta Tahmini• Standart Hata

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNN

N


‹statistik

Güven Aral›¤›Tahminleri

• ‹STAT‹ST‹KTE TAHM‹NLEME• ANA KÜTLE ORTALAMASI ‹Ç‹N

GÜVEN ARALI⁄I• ANA KÜTLE ORANI ‹Ç‹N GÜVEN

ARALI⁄I• ‹K‹ ANA KÜTLE ORTALAMASI

ARASINDAK‹ FARKIN GÜVENARALI⁄I

• ‹K‹ ANA KÜTLE ORANIARASINDAK‹ FARKIN GÜVENARALI⁄I

• VARYANS ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄I


www.hedefaof.com

‹STAT‹ST‹KTE TAHM‹NLEMEAraflt›rma çal›flmalar›nda, araflt›rma maliyetlerini azaltmak ve zaman› etkin kullana-bilmek amac›yla, örneklemelerle elde edilen verilerle ana kütle hakk›nda bilgileredinmeye, tahminlerde bulunmaya veya karar vermeye u¤rafl›r›z. Örneklenen ve-rilerin da¤›l›m parametrelerini hesaplay›p da¤›l›m fleklini belirledikten sonra, anakütle parametrelerini tahmin etmeye ve tahminlerin güvenilirli¤i konusunda kararvermeye çal›fl›r›z.

Örneklemenin amac› ana kütle hakk›nda tahminleme yapmakt›r. Taminleme,ana kütleden al›nan örnek veriler yard›m›yla ana kütlenin bir veya birkaç paramet-resini araflt›rmakt›r. Tahmin edilen parametre, ana kütlenin bilinmeyen ortalamas›,varyans› veya oran› olabilir. Tahminleme ile ana kütlenin tamam›n›n örneklenme-sini (tam say›m›n›) gerektiren ifllemlere gerek olmaks›z›n ana kütle hakk›nda yo-rumlamalar yapabiliriz.

‹statistikte tahminleme nokta veya aral›k tahmini olmak üzere iki yöntemle ya-p›labilmektedir. Nokta tahmini, ana kütle parametrelerinin bilinmedi¤i hallerde ör-neklerden elde edilmifl verilerle tek bir tahmin yapmakt›r. Aral›k tahmini ise, anakütleye ait herhangi bir bilinmeyen parametrenin, belirli bir hata pay› ile alt ve üsts›n›r de¤erleri verilerek tahmin edilmesidir.

Nokta TahminiTek bir örnekleme ile hesaplanan parametreler yard›m›yla ana kütle parametrele-rini noktasal olarak tahmin etmek, tek bir at›flta hedefe tam isabet ettirmek gibidir.Örne¤in, bir kent merkezi için Ocak ay›n›n 15’inci günün 30 y›ll›k ya¤an kar ka-l›nl›¤› verilerini ele alarak ortalama kal›nl›¤› 15 cm buldu¤umuz durumda, nokta-sal tahmin yaparsak, Ocak ay› 15’inci günü kar kal›nl›¤›n› 15 cm olarak genelleme-miz gerekir. Böyle bir noktasal tahminin sonucuna ne kadar güvenebilece¤imizbelirsizdir. Nokta tahminlerinin güvenilir sonuçlar verebilmesi için afla¤›da verilenbaz› özelliklere sahip olmas› gerekir.

a) Sapmas›zl›k: Ana kütleden çekilecek örnek kütlelerin parametrelerinin bek-lenen de¤erinin ana kütle parametresine eflit olmas›na sapmas›zl›k denilir.Örne¤in, N birimlik ana kütleden her seferinde tekrarl› olarak n’er birimlikm adet örnekleme yap›p, her seferinde aritmetik ortalamay› (X

–) belirleyerek

ortalamalar›n da¤›l›m›n›n beklenen de¤erini hesaplad›¤›m›zda, beklenende¤erin ana kütle aritmetik ortalamas›na eflit olmas› gerekir.

Güven Aral›¤› Tahminleri

www.hedefaof.com

E (X–

) = µAncak böyle bir durumda, ortalamalar›n da¤›l›m›n›n standart sapmas›n›n(standart hatan›n) s›f›r olmas› gerekir. Standart hatan›n s›f›rdan büyük oldu-¤u durumlarda (ço¤unlukla böyle olur), tahminin sapmas›z veya yans›z ol-du¤unu söylemek mümkün de¤ildir.

b) Tutarl›l›k: Nokta tahmin hatas›n›n s›f›r olmas› durumuna tutarl›l›k denilir.Böyle bir durum ise, örnek kütle boyutunun ana kütle boyutuna yaklaflma-s› ve hatta tam say›m yap›lmas› demektir.

c) Etkinlik: Ana kütle parametrelerinin tahmininde, da¤›l›m standart sapmas›en küçük olan örnekleme parametresi kullan›ld›¤›nda, daha etkin bir tah-min yap›lmas›na etkinlik denilir. Bu durumda, etkinli¤i artt›rmak için anakütleden tekrarl› örneklemeler yap›p, standart sapmas› en küçük olan› be-lirlemeye çal›flmak gerekir.

d) Yeterlilik: Örnek kütledeki bilgilerin tamam›n› ele alan parametrelerin kul-lan›lmas›yla yap›lacak tahminler yeterli, kullanm›yorsa yetersiz kabul edil-mektedir. Örne¤in, ana kütle aritmetik ortalamas›n›n tahmininde, örnek küt-le verilerinin ele al›nmas›yla hesaplanan aritmetik ortalaman›n kullan›lmas›yeterlidir, ancak en çok tekrarlanan frekanslar› dikkate alarak hesaplananmod ile yap›lacak tahmin yeterli de¤ildir.

Bir ana kütleden çekilmifl örnek kütle ile yap›lacak nokta tahminlerinin sapma-s›z, tutarl› ve etkin olmas›n› beklemek mümkün de¤ildir. Bu arada, nokta tahmin-lerin hata pay›n› belirlemek ve güvenilir tahminler yapmak da mümkün olama-maktad›r. Bu nedenle, bu ünitede ana kütle ortalamas›, oranlar› ve varyanslar› ileiki ayr› ana kütle ortalamalar› aras› farklar›n aral›k tahmini konusu genifl bir flekil-de örneklerle ele al›nacakt›r. Tahminlerin güvenilirli¤inin belirlenmesinde uygula-nan hipotez testi konusu ise 5. ünitede ele al›nacakt›r.

Güven Aral›¤› ve S›n›rlar› Bilinmeyen bir ana kütle parametresi, bu ana kütleden elde edilen örnek kütlebilgisine dayanarak belirli bir aral›k dahilinde tahmin edilebilir. Bilinmeyen anakütle parametresinin θ, alt güven s›n›r›n›n A ve üst güven s›n›r›n›n B oldu¤u du-rumda, θ parametresi belirli bir güven seviyesi (1 - α) için A ve B aral›¤›nda tah-min edilebilir.

Burada α : güven efli¤i olup, 0 ile 1 aras›nda herhangi bir say›, (1- α): güvenaral›¤› için belirlenen güven seviyesidir. Örne¤in, belirli bir örnek kütle verileriyle%90 güvenilirlikle (1 - α = 0,90) alt güven s›n›r› a’y› ve üst güven s›n›r› b’yi belir-ledi¤imizde, a ile b aral›¤›, bilinmeyen parametresinin güven aral›¤› olur. Normalda¤›l›ma sahip örnek kütleler için ana kütle güven aral›¤› gösterimi fiekil 4.1’de ve-rildi¤i gibidir.

P A B( )< < = −θ α1


www.hedefaof.com

Güven aral›¤›n›n s›n›rlar›, ana kütleden al›nacak n birimlik her örnek kütle içinde¤iflebilir. Ancak, bulunacak her güven aral›¤› s›n›rlar› içerisinde (1- α) olas›l›klaana kütle parametresinin (θ) bulunmas› mümkündür. Bununla birlikte, belirli bir αolas›l›¤›yla da ana kütle parametresinin (θ) güven aral›¤› s›n›rlar› içerisinde bulun-mamas› mümkündür.

Güven aral›¤› ne kadar dar olursa, tahmin ana kütle parametresine o kadar ya-k›n olur. Güven aral›¤›n›n daralmas›, örnek kütle için hesaplanacak standart hata-n›n küçük olmas›na veya güven seviyesinin küçük seçilmesine ba¤l›d›r. Standarthatay› küçültmek için mümkün oldu¤unca örnek kütle boyutunu büyük seçmekgerekir.

ANA KÜTLE ORTALAMASI ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄I Ana kütleden yap›lacak n bireylik örnekleme ile hesaplanacak örnek kütle aritme-tik ortalamas›n› kullanarak, ana kütle ortalamas›n› belirli güven s›n›rlar› içerisindetahmin edebiliriz. Bu durumda, ana kütle ortalamas› alt ve üst güven s›n›rlar› içe-risinde yer alacakt›r.

Bilinmeyen ana kütle ortalamas›n›n güven aral›¤›n›n belirlenmesi, ana kütlevaryans›n›n bilinmesi veya bilinmemesi durumlar› için iki farkl› flekilde yap›lmak-tad›r. Burada, ana kütle ortalamas›n›n bilinmedi¤i bir durumda varyans›n nas›l bi-linebilece¤i sorusu ak›la gelmektedir. Asl›nda, ana kütle ortalamas›n›n bilinmedi¤ibir durumda varyans›n bilinmesi bir varsay›md›r. Genellikle büyük örnek kütlele-ri-büyük örneklemeler (n ≥ 30) için hesaplanan varyans›n (S2), ana kütle varyan-s›na (σ2) eflit olaca¤› (S2 = σ2) varsay›lmaktad›r. Ancak, küçük örnek kütleleri-kü-çük örneklemeler (n < 30) için S2 ≠ σ2 oldu¤u kabul edildi¤inden, ana kütle var-yans›n›n bilinmedi¤i varsay›l›r.

Ortalamas› µ ve varyans› σ2 bilinmeyen bir ana kütleden her seferinde n bireyiçerecek flekilde örneklemeler yaparak, her örnek kütlenin aritmetik ortalamas›n›hesapland›¤›m›zda ve ortalamalar›n da¤›l›m›n› araflt›r›ld›¤›m›zda, büyük örnekle-melerde (n ≥ 30) da¤›l›fl›n normal da¤›l›ma ve küçük örneklemelerde (n < 30) iseda¤›l›fl›n normal da¤›l›mdan daha yayvan olan Student t da¤›l›m›na uydu¤unu gö-rürüz. Bu nedenle, ana kütle ortalamas› için güven aral›¤› tahmininde, varyans›nbilindi¤i varsay›lan büyük örneklemeler için normal da¤›l›m›n özelliklerinden vevaryans›n bilinmedi¤i küçük örneklemeler için Student t da¤›l›m›n›n özelliklerin-den yararlanaca¤›z.

714. Ünite - Güven Aral ›¤ › Tahminler i

fiekil 4.1

1−α

α/2 α/2

a bΘ

Normal da¤›l›miçin güven aral›¤›ve s›n›rlar›

Uygulamada birçokaraflt›rmac› güven seviyesiolarak %99 veya %95tercihinde bulunmaktad›r.Güven seviyesi %99’dan%95’e düfltü¤ünde, güvenaral›¤› daral›r. Özer SerperUygulamal› ‹statistik II adl›kitab›nda bu seçiminarkas›nda herhangi bir teoriveya mant›k aramamakgerekti¤ini ve tercihinal›flkanl›klardankaynakland›¤›n›belirtmektedir(Özer Serper,Ezgi Kitabevi, Bursa, 2000,s.36)

Ortalamas› µ olan normalda¤›lm›fl bir ana kütledenelde edilmifl n<30 bireyliörnek kütlenin ortalamas› X–

ve standart sapmas› S ikenhesaplanacak;

rassal de¤iflkeni, v=n-1serbestlik derecesi ileStudent t da¤›l›m›na uyar.Standart normal da¤›l›mda(Z da¤›l›m›) oldu¤u gibi,Student t da¤›l›m›n›n daortalamas› 0 ve standartsapmas› 1’dir. Ancak,Student t da¤›l›m›n›nolas›l›k yo¤unluk fonksiyonu,standart normal da¤›l›mdandaha yayvand›r. ‹adesizyap›lan küçükörneklemelerde, ilk yap›lanörneklemelerden sonra sonakalan örne¤in serbestolamayaca¤› kabul edilerek,serbestlik derecesi v=n-1al›n›r.

tX

S n=

−µ

/

www.hedefaof.com

Ortalaman›n Standart Hatas›Ortalamas› µ ve varyans› σ2 olan bir ana kütleden her seferinde n birey içerecekflekilde yap›lan büyük örneklemelerde, örnek kütlelerin aritmetik ortalamalar› da-¤›l›m›n›n standart sapmas› hesapland›¤›nda bulunan de¤ere standart hata denir.Ana kütle aritmetik ortalamalar›n›n standart hatas›;

Olup, burada, N= ana kütle toplam birey say›s›, n= örnek kütlelerin birey say›-s› ve σ = ana kütle standart sapmas›d›r. Genellikle N, n’den çok büyük oldu¤u içinyaklafl›k olarak;

olur. Bu durumda eflitli¤i;

fleklinde yaz›labilir.Küçük örneklemelerde (n < 30) S2 ≠ σ2 oldu¤undan, standart hata;

eflitli¤i ile hesaplan›r.Ana kütle aritmetik ortalamalar›n›n standart hatas› ana kütle de-

¤iflkenli¤inin göstergesi olan ana kütle/örnek kütle standart sapmas›na ve örnekkütlenin büyüklü¤üne (n) ba¤l›d›r. Standart hata, ana kütle/örnek kütle standartsapmas› ile do¤ru orant›l› iken örnek kütle büyüklü¤ü ile ters orant›l›d›r. Standartsapma artarken standart hata büyür, azal›rken de standart hata küçülür. Buna kar-fl›l›k, örnek say›s› küçüldükçe standart hata büyürken, örnek say›s› büyüdükçestandart hata küçülür.

Standart hatay› küçültebilmenin tek yolu örnek say›s›n› artt›rmakt›r. Bununlabirlikte, standart hata eflitli¤inin paydas›nda örnek büyüklü¤ü ile de¤iflti¤in-den, örnek büyüklü¤ünü artt›rman›n etkisi de az olmaktad›r. Bunun için, örnekbüyüklü¤ü hakk›nda karar verirken, gerçe¤e yak›n tahminlerin sa¤layaca¤› fayda-lar ile çok say›da örnek alman›n gerektirdi¤i maliyetlerin dikkatli analiz edilmesigerekmektedir.

Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas›n›n GüvenAral›¤›Büyük örneklemelerde (n ≥ 30) ana kütle aritmetik ortalamas›n›n (µ) güven aral›-¤›n›, örnek kütle aritmetik ortalamas› (X

–) ve standart hata ( ) yard›m›yla belirli bir

(1 - α) güven seviyesi için afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

X Zn

/ 2∓ ασ

.

σx

n

( veya )σx x

S

SS

nx=

σσ

X =n

N - nN - 1

≅1

σσ

Xn

N nN

= .--1


Standart hata

örnek

kütle boyutundan oldukçafazla etkilenmektedir. n

büyüdükçe, XX– n›ntahminlenmek istenen anakütle ortalamas›nayaklaflmas› beklendi¤inden,standart hataküçülmektedir.

( veya )σx x S

www.hedefaof.com

Bu eflitlikten de, ana kütle ortalamas›n› alt güven s›n›r› (AGS) ve üst güven s›-n›r›n› (ÜGS) afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

Burada, Zα/2 de¤eri, standart normal olas›l›k da¤›l›m›ndaki P(Z > Zα/2) = α / 2koflulunu sa¤layan Z de¤eridir. Güven seviyesi (1 - α) için güven aral›¤›n› belirler-ken, standart normal da¤›l›m›n her iki ucunda kalan α / 2 kadarl›k k›s›mlar› güvens›n›rlar› d›fl›nda b›rak›lmaktad›r.

Belirli bir (1 - α) güven seviyesi için standart normal da¤›l›m (Z) çizelgesindenbulabilmek için öncelikle α / 2 de¤erini belirleriz. Daha sonra,

P(Z > Zα/2) = α / 2

olas›l›¤›na karfl›l›k gelen Zα/2 de¤erini Z çizelgesinden belirleriz.

%95 güven seviyesi için (1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / 2 =0,025 oldu¤una göre,

P(Z > Zα/2) = 0,025 olas›l›¤›na karfl›l›k gelen Zα/2 = Z0,025 = 1,96’d›r.

%90 güven seviyesi için (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / 2 = 0,05 oldu¤una göre,

P(Z > Zα/2) = 0,05 olas›l›¤›na karfl›l›k gelen Zα/2 = Z0,05 = 1,645’dir.

Bir araç bak›m servisinde müflteri memnuniyetini belirlemek amac›yla yap›lanankette, rassal olarak örneklenen 54 müflteriden, “Servis hizmetinde yap›lan ba-k›m-onar›mlar hakk›nda tam ve eksiksiz bilgi verildi” görüflünü 1 (kesinlikle kat›l-m›yorum) ile 5 (kesinlikle kat›l›yorum) aras› bir ölçekte de¤erlendirmeleri isten-mifltir. Yan›tlar›n örneklem ortalamas› 3.81 ve standart sapmas› 1.34 hesaplan-m›flt›r. Yan›tlar›n ana kütle ortalamas›n›n %90 güven aral›¤›n› hesaplay›n›z.

Çözüm: Örneklemden elde edilen veriler;

X–1 = 3,81, S = 1,34 ve n = 54 dür.

ÜGS = X + Z ./ 2ασ

n

AGS = Z ./ 2Xn

− ασ

Katsay› Zα/2 AGS ÜGS

0,90 1,645 X–

- 1,645. σx

X–

+ 1,645. σx

0,95 1,960 X–

- 1,960. σx

X–

+ 1,960. σx

0,99 2,575 X–

- 2,575. σx

X–

+ 2,575. σx


Ö R N E K 1

Bu de¤erin bulunmas›nda Zçizelgesini kullan›rken, Zçizelgesinin yar›m alançizelgesi oldu¤unuunutmadan öncelikle A=0,5-0,025=0,475 olas›l›kde¤erine hesaplay›p, dahasonra bu A alan›na karfl›l›kgelen Z de¤erini bulmakgerekir. Bu konu detayl›olarak 3. ünitede eleal›nm›flt›. Uygulamada ençok kullan›lan güvenseviyeleri için alt (AGS) veüst (ÜGS) güven s›n›rlar›yandaki gibidir.

Ö R N E K 2

www.hedefaof.com

Ana kütle standart sapmas› bilinmemekle birlikte, n = 54 > 30 oldu¤undan,σ = S = 1,34 al›nabilir.

(1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / 2 = 0,05 oldu¤undan Zα/2 = Z0,05 = 1,645’dir.

Güven s›n›rlar›n›; eflitli¤i ile afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

Normal da¤›l›ml› bir ana kütleden rassal olarak elde edilmifl 36 bireyli örnek kütle veri-leri yard›m›yla oluflturulan ana kütle ortalamas› µ’nün güven aral›¤› 19.33 < µ < 20.27fleklinde ise örneklem ortalamas› (µ) kaçt›r?

Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamas›n›n GüvenAral›¤›Ana kütle ortalamas›n›n ve varyans›n›n bilinmedi¤i veya di¤er bir tan›mlamaylaküçük örneklemelerde (n < 30), örneklerin ortalamalar›n›n da¤›l›m› Student t da-¤›l›m›na uydu¤undan, t da¤›l›m›n›n özelliklerinden yararlan›larak ana kütle ortala-mas›n›n güven aral›¤›, belirli bir (1 - α) güven seviyesi ve v = n - 1 serbestlik de-recesi için afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

Burada, : Örnek ortalamalar› da¤›l›m›n›n standart hatas›,

tα/2,v : v = n - 1 serbestlik derecesi ile α / 2 güven seviyesi için t de¤eri olup,Student da¤›l›m› t çizelgesinden belirlenmektedir.

Belirli bir (1 - α) güven seviyesi ve v = n - 1 serbestlik seviyesi için Student da-¤›l›m (t) çizelgesinden tα/2,v ’yi bulabilmek için öncelikle α / 2 ve V = n - 1 de¤e-rini belirleriz. Daha sonra,

P(t > tα/2,v) = α / 2

olas›l›¤›na karfl›l›k gelen tα/2,v de¤erini t çizelgesinden belirleriz.

Bir tu¤la fabrikas› üretimi sürecinden rassal olarak al›nan 15 tu¤lan›n a¤›rl›k or-talamas› 4,04 kg ve standart sapmas› 0.12 kg olarak belirlenmifltir. Bugün üretilenbütün tu¤lalar›n ortalama a¤›rl›¤›n›n güven aral›¤›n›, %95 güven seviyesi için bu-lunuz.

Çözüm: Örneklemden elde edilen veriler;

X–1 = 4,04 kg, S = 0,12 kg ve n = 15 dir.

S

n= S

x

X ± t .S/ 2,n Xα

ÜGS = 3,81+ 1,645.1,34

54= 4,11

AGS = 3,81-1,645.1,34

54= 3,51

X 1,645.n

∓σ


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Ö R N E K 3

www.hedefaof.com

Küçük örnekleme (n = 15 < 30) söz konusu oldu¤undan;

eflitli¤i ile güven aral›¤› hesaplan›r.(1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / 2 = 0,025 ve serbestlik derecesi v = n - 1 = 15 -

1 = 14 oldu¤undan Student t çizelgesinden tα/2,v = t0.025,14 = 2,145 elde ederiz.Ana kütle ortalamas›n›n %95 güven seviyesi için alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven

s›n›rlar›n› afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

Bir ana kütleden çekilen 15 bireylik örnek kütlenin ortalamas› 40 ve standart sapmas›10’dur. Seçilen bu örne¤e göre %90 güvenirlik seviyesi için ortalaman›n alt güven s›n›r›nedir?

ANA KÜTLE ORANI ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄IBaz› araflt›rmalarda ana kütle içindeki birimlerin belirli bir özelli¤e sahip olanlar›-n›n oran› ile ilgileniriz. Örne¤in, bir ifl makinesinin performans›n› “fiili olarak çal›fl-t›¤› süre/toplam çal›flmas› gereken süre” fleklinde ifade ederiz. ‹fl makinesi toplamsürenin tamam›nda çal›flt›¤›nda bu oran 1 iken, çal›flmad›¤›nda 0 olacakt›r. N adetbirimden oluflan ana kütlede belirli özelli¤in gerçekleflme oran›n›n ortalamas› π isegerçekleflememe oran› ortalamas› (1 - π) dir. Örne¤in, bir üniversitede ö¤rencile-rin derslere devam oran› ortalamas› %80 ise devams›zl›k oran› da %20’dir.

N adet bireyden oluflan ana kütlede belirli bir w özelli¤inin gerçekleflme oran›aritmetik ortalamas› ve standart sapmas›, normal da¤›l›ma benzer flekilde hesap-lanmakta olup, hesaplamalar sonucunda afla¤›daki eflitlikler elde edilmektedir.

Ana kütle oran› ortalamas› : µw = π

Ana kütle oran› standart sapmas› :

Oran Ortalamas›n›n Standart Hatas›Belirli bir özelli¤in gerçekleflme oran› ortalamas› π ve varyans› π (1 - π) olan birana kütleden her seferinde n birey içerecek flekilde yap›lan iadesiz büyük örnek-lemelerde, örnek kütlelerin oranlar›n›n aritmetik ortalamalar› (P) da¤›l›m›n›n stan-dart sapmas› hesapland›¤›nda bulunan de¤ere standart hata denir. Oranlar›n orta-lamas›n›n standart hatas› (σp);

olup, burada, N = ana kütle birey say›s›, n = örnek kütlelerin birey say›s› ve π =belirli bir özelli¤in gerçekleflme oran› (1 - π) = ve belirli bir özelli¤in gerçekleflme-me oran›d›r.

σPπ π

nN nN

=.(1- )

.--1

σw = π.(1- π)

ÜGS = 4,04 + 2,145.0,12

15= 4,11

AGS = 4,04 - 2,145.0,12

15= 3,97 kg

X ± t .S/ 2,v Xα


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Genellikle N, n’den çokbüyük oldu¤u için yaklafl›kolarak;

olur. Budurumda eflitli¤i;

fleklinde yaz›labiliriz.

σP =.(1- )π π

n

N - nN -1

1≅

www.hedefaof.com

Büyük örneklemelerde (n ≥ 30), örnek kütle ile hesaplanan varyans›n ana küt-le varyans›na eflit oldu¤u kabul edildi¤inden, ana kütle varyans›n›n bilinmedi¤i du-rumlarda da;

alabiliriz. Burada P = örnek kütle için belirli bir özelli¤in gerçekleflme oran› ve(1 - P) = örnek kütle için belirli bir özelli¤in gerçekleflmeme oran›d›r.

Küçük örneklemelerde ise oranlar›n standart hatas›n›;


Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Oran Ortalamas›n›nGüven Aral›¤›Büyük örneklemelerde (n ≥ 30) ana kütle oran› aritmetik ortalamas›n›n (π) güvenaral›¤›n›, örnek kütle oran› aritmetik ortalamas› (P) ve standart hata (σp) yard›m›y-la belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

P +– Zα/2 . σp

Burada, Zα/2 de¤eri, standart normal olas›l›k da¤›l›m›ndaki P(Z > Zα/2) = α / 2koflulunu sa¤layan Z de¤eridir.

Örne¤in, %99 güven düzeyi için ana kütle oran› ortalamas› π’nin güven aral›¤›afla¤›daki gibi ifade olunacakt›r.

Bir havayolu flirketi uçufllarda koltuklar›n doluluk oran›n› araflt›rmak için 60uçufla ait örnekleme yapm›fl ve doluluk oran› ortalamas›n› %80 olarak bulmufltur.Hava yolu flirketi uçaklar›n›n doluluk oran› için %95 güvenilirlikle güven aral›¤›s›n›rlar›n› bulunuz.

Çözüm: Örneklemden elde edilen veriler;n = 60, P = 0,8 ve (1 - P) = 1- 0, 8 = 0,20’dir.

Ana kütle varyans› bilinmemekle birlikte, n = 60 > 30 oldu¤undan, ana kütleoran› standart sapmas›n› afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

(1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / 2 = 0,025 oldu¤undan Zα/2 = Z0,025 = 1,96’d›r.

σP =.(1- )

=.(1- )

=0,8.0,2

60= 0,052

π πn

P Pn

PP P

nπ P

P P- 2,58.

.(1- )< < + 2,58.

.(1- )n

Sπ π

nP P

nP =.(1- )

=.(1- )

SpP P

n=

.(1- )

σPπ π

nP P

n=

.(1- )=

.(1- )


Ana kütle oran›ortalamas›n›n alt (AGS) veüst (ÜGS) güven s›n›rlar›n›;AGS = P - Zα/2.σp

ÜGS = P + Zα/2.σp

eflitlikleriyle hesaplayabiliriz.

Ö R N E K 4

www.hedefaof.com

Güven s›n›rlar›n›; P +– 1,96 . σp eflitli¤i ile afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

AGS = 0,80 - (1,96.0,052) = 0,698

AGS = 0,80 + (1,96.0,052) = 0,902

Hava yolu flirketi uçaklar›n›n doluluk oran› %95 güvenilirlikle, %69,8 ile %90,2aral›¤›nda de¤iflecektir.

Bir televizyon flirketi tüm gün izlenme oran›n›n %20’ye ulaflt›¤›n› iddia etmekte-dir. Bunu kan›tlamak için bir örnekleme yap›lacakt›r. Örnek oran›n›n gerçek anakütle oran›ndan ± 0,05 (%5) uzakl›kta olaca¤›ndan (ana kütle oran›n›n tahmi-ninde %5 hata yap›laca¤›ndan), %99 güvenirlikle emin olabilmek için ne büyük-lükte örnekleme yapmak gerekecektir?

Çözüm: Ana kütle oran› π = 0,20 ve tahmin hatas› e = 0,05 olup, tahmin hata-s›n› afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

%99 güven seviyesi için, (1 - α) = 0,99, α = 0,01 ve α / 2 = 0,005 oldu¤undanZα/2 = Z0,005 = 2,58’dir.

Bu durumda, örnek kütle büyüklü¤ünü afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

Bir banka müflterilerinin %15’inin internet üzerinden bankac›l›k ifllemi yapt›¤›n› iddia et-mektedir. Bunu kan›tlamak için bir örnekleme yap›lacakt›r. Örnek oran›n›n gerçek anakütle oran›ndan ± 0,10 (%10) uzakl›kta olaca¤›ndan (ana kütle oran›n›n tahmininde %10hata yap›laca¤›ndan), %95 güvenirlikle emin olabilmek için ne büyüklükte örnekleme yap-mak gerekecektir?

Küçük Örneklemelerde Ana Kütle Oran› Ortalamas›n›nGüven Aral›¤›Küçük örneklemelerde (n < 30) ana kütle oran› aritmetik ortalamas›n›n (π) güvenaral›¤›n›, örnek kütle oran› aritmetik ortalamas› (P) ve standart hata (Sp) yard›m›y-la belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

P +– tα/2,v . Sp

Bu eflitlikten de, ana kütle oran› ortalamas›n›n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s›-n›rlar›n› afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

SP P

nP =.(1- )

0,05 = 2,58.

n = 20 n = 400

0,2.(1 - 0,2)n

⇒

e Z . Z/ 2 p / 2= 0,05 = = .α ασπ.(1 - π)

n


Ö R N E K 5

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

www.hedefaof.com

AGS = P - tα/2,v . Sp

ÜGS = P + tα/2,v . Sp

Buradaki tα/2,v de¤erini, α / 2 güven efli¤i ve v = n - 1 serbestlik derecesi içinStudent t da¤›l›m› çizelgesinden belirleriz.

Bir sektörde faaliyet gösteren flirketlerin karl›l›k oranlar›n› araflt›rmak üzere 10 flir-ketin y›ll›k kar ve sat›fl gelirleri incelendi¤inde, karl›l›k oran› ortalamas›n›n %10oldu¤u belirlenmifltir. ‹lgili sektörde faaliyet gösteren flirketlerin;a) Karl›l›k oranlar› ortalamas›n›n güven aral›¤›n› %90 güven seviyesi için belirle-

yiniz.b) Karl›l›k oranlar› ortalamas› %99 güvenilirlikle en fazla ne olabilir?

Çözüm: Veriler n = 10, P = 0,1 ve (1 - P) = 0,9 dur. n < 30 oldu¤undan küçükörnekleme yap›lm›flt›r.

a) (1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / 2 = 0,05 ve serbestlik derecesi v = n - 1 = 10 -1 = 9 oldu¤undan Student t çizelgesinden tα/2,v = t0.05,9 = 1,833 elde ederiz.

Standart hatay›, olarak hesaplar›z.

Güven aral›¤›n› P +– tα/2,v . Sp eflitli¤inden;

0,10 +– (1,833 . 0,095)

0,10 +– 0,174 ⇒ -0,074 < π < 0,274

Bu örnekte alt güven s›n›r›n›n iflareti negatif (-) oldu¤undan, %90 ihtimalle ba-z› flirketlerin zarar etmesi beklenebilir.

b) Karl›l›k oranlar› ortalamas›n›n %99 güvenilirlikle en fazla ne oldu¤unu bul-mak için, güven aral›¤›n›n üst s›n›r de¤erini bulmam›z yeterlidir.

(1 - α) = 0,99, α = 0,01 ve α / 2 = 0,005ve serbestlik derecesi v = n - 1 = 10- 1 = 9 oldu¤undan Student t çizelgesinden tα/2,v = t0.005,9 = 3,25 elde ederiz.

Standart hatay›, Sp = 0,095 olarak hesaplam›flt›k.

ÜGS = P + tα/2,v . Sp

Karl›l›k oranlar› ortalamas›n›n %99 güvenilirlikle en fazla;

ÜGS = 0,10 + (3,25 . 0,095) = 0,409 (%40,9) olmas› beklenmektedir.

‹K‹ ANA KÜTLE ORTALAMASI ARASINDAK‹ FARKINGÜVEN ARALI⁄IBaz› araflt›rmalarda normal da¤›l›m gösteren iki ana kütlenin merkezi e¤ilim ölçüle-rinden ortalamalar›n karfl›laflt›rmas› yap›larak, birbirleri aras›ndaki farklar›n bilinme-si önemli olabilmektedir. Örne¤in, kalibrasyonu yap›lm›fl ve yap›lmam›fl iki ayr›elektronik terazinin a¤›rl›k ölçüm sonuçlar› aras›nda farklar bulunup bulunmad›¤›n›araflt›rabiliriz. ‹ki ayr› ana kütlenin birincisinin aritmetik ortalamas› µ1 ve ikincisinin-ki µ2 ise, iki ana kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n iflaretini dikkate alarak;

SP P

nP =.(1- )

=0,1.0,9

10= 0,095


Ö R N E K 6

www.hedefaof.com

• µ1 - µ2 = + ise birinci ana kütlenin ortalamas›n›n ikinciden büyük oldu¤u,• µ1 - µ2 = - ise birinci ana kütlenin ortalamas›n›n ikinciden küçük oldu¤u,• µ1 - µ2 = 0 ise birinci ana kütlenin ortalamas› ile ikinci aras›nda fark olma-

d›¤›,Yorumlar›n› yapabiliriz. Ancak, ana kütle ortalamalar›n›n bilinmedi¤i ve sadece

iki ayr› ana kütleden yap›lm›fl örneklemelerin oldu¤u durumda ise bu gibi yorum-lar›, örnek kütle büyüklü¤üne ba¤l› olarak belirleyebilece¤imiz standart hatalaryard›m›yla güven aral›¤› ile yapabiliriz.

‹ki Ana Kütle Ortalamas› Aras› Fark›n Standart Hatas›Ana kütle boyutlar› N1 ve N2, bilinmeyen aritmetik ortalamalar› µ1 ve µ2, standartsapmalar› σ1 ve σ2 olan iki ayr› ana kütlenin birincisinden n1 ve ikincisinden n2bireylik rassal örnek al›n›rsa, bu örneklerden, X

–1, S1 ve, X

–2,S2 hesaplanabilir. Her

iki ana kütleden her seferinde n1 ve n2 bireyin bulundu¤u tekrarlamal› örnek al›-n›rsa ve her seferinde (X

–1 - X

–2) hesaplan›rsa, hesaplanan bu de¤erler için bir ola-

s›l›k da¤›l›m› elde edilebilir. Büyük örneklemeler (n1 ve n2 ≥ 30) için (X–1 - X

–2) fark-

lar›n›n da¤›l›m› yaklafl›k olarak normal da¤›l›fl gösterir. Normal da¤›lan (X–1 - X

–2)

farklar›n›n aritmetik ortalamas› ve standart hatas› olur. (X–1 - X

–2)

farklar› olas›l›k da¤›l›m›n›n standart hatas›;

eflitli¤i ile hesaplanabilir. σ1 ve σ2nin bilinmedi¤i ve (n1 ve n2 ≥ 30) oldu¤u du-rumlarda σ1 = S1 ve σ2 = S2 al›nabilir.

Küçük örneklemeler (n1 ve n2 <30) için ise (X–1 - X

–2) farklar› olas›l›k da¤›l›m›-

n›n standart hatas› afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

Büyük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Ortalamas›Aras›ndaki Fark›n Güven Aral›¤›Büyük örneklemelerde (n1 ve n2 ≥ 30) iki ana kütle ortalamas› aras›ndaki fark›n(µ1 - µ2) güven aral›¤›n›, örnek kütlelerin ortalama farklar› (X

–1 - X

–2) ve standart ha-

ta yard›m›yla, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla¤›daki eflitlikle he-saplayabiliriz.

Bu eflitlikten de, iki ana kütle ortalamas› farklar›n›n alt (AGS) ve üst (ÜGS) gü-ven s›n›rlar›n› afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

ÜGS = ( - )+ Z .1 2 / 2 ( - )1 2

X XX Xα σ

AGS = ( - ) - Z .1 2 a / 2 ( - )1 2

X XX X

σ

(X - X ) ± Z .1 2 /2 (X -X )1 2α σ

σ( X - X )1 2

SS

n

S

n(X - X )1 2= +1

2

1

22

2

σσ σ

(X - X )1 2 n n= +1

2

1

22

2

σ(X -X )1 2µ(X -X )1 2


www.hedefaof.com

‹ki ayr› ana kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n alt ve üst güven s›n›rlar›n›niflaretlerini dikkate alarak afla¤›daki yorumlar› yapabiliriz.

• AGS = + ve ÜGS = + ise birinci ana kütlenin ortalamas›n›n ikinciden büyüktür.• AGS = - ve ÜGS = - ise birinci ana kütlenin ortalamas›n›n ikinciden küçüktür.• AGS = - ve ÜGS = + ise birinci ana kütlenin ortalamas› ile ikinci aras›nda

önemli bir fark yoktur.

‹ki ayr› mermer fabrikas›n›n üretti¤i mermer plakalar›ndan al›nan 60’ar adet (n1= n2 = 60) örnek üzerinde yap›lan afl›nma direnci (cm3/50 cm2) deneyleri sonu-cunda ortalama ve standart sapmalar afla¤›daki gibi belirlenmifltir. %90 güvenilir-likle ana kütle ortalamas› farklar›n›n güven aral›¤›n› bulunuz. Güven aral›¤›n›inceleyerek iki fabrikan›n üretti¤i mermer plakalar›n ortalama afl›nma dirençleriaras› farklar› yorumlay›n›z.

X–1 = 32 cm3/50 cm2 X

–2 = 29 cm3/50 cm2

S1 = 12 cm3/50 cm2 S2 = 9 cm3/50 cm2

Çözüm: Büyük örnekleme (n1 = n2 = 60 > 30) yap›ld›¤›ndan iki ana kütle or-talamas› farklar›n güven aral›¤›n› (1 - α) güvenirlikle bulmak için afla¤›daki eflitli¤ikullan›r›z.

‹ki mermer fabrikas› plakalar›n›n afl›nma direnci ana kütle standart sapmalar›bilinmemekle birlikte, büyük örnekleme yap›ld›¤› için yerine kullanabiliriz.

(1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / 2 = 0,05 oldu¤undan Zα/2 = Z0,05 = 1,645 eldeederiz.

‹ki ana kütle ortalamas› farklar›n›n %90 güven seviyesi için alt (AGS) ve üst(ÜGS) güven s›n›rlar›n› afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

AGS = (X - X ) - Z .S

n+

S

n

= (32 - 29) -

1 2 /212

1

22

2α

11,645.1260

+960

= -0,2 cm / 50 cm

ÜGS = (X - X ) + Z

2 23 2

1 2 αα /212

1

22

2

2 2

.S

n+

S

n

= (32 - 29) + 1,645.1260

+9660

= 6,2 cm / 50 cm3 2

S ve S12

22σ σ1

222 ve

σσ σ

(X - X )1 2 n n= +1

2

1

22

2

(X - X ) ± Z .1 2 /2 (X -X )1 2α σ


Ö R N E K 7

www.hedefaof.com

Bu sonuç bize iki mermer fabrikas› plakalar› ortalama afl›nma dirençleri fark-lar›n›n %90’n›n -0,2 ile 6,2 (cm3/50 cm2) aras›nda olabilece¤ini göstermektedir.Alt güven s›n›r› negatif ve üst güven s›n›r› pozitif iflaretli oldu¤undan, iki mermerfabrikas› ürünlerinin afl›nma dirençleri aras›nda önemli bir fark olmad›¤›n› söyle-yebiliriz.

Küçük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Ortalamas›Aras›ndaki Fark›n Güven Aral›¤›Küçük örneklemeler (n1 ve n2 < 30) için ise iki ana kütle ortalamas› aras›ndaki far-k›n (µ1 - µ2) güven aral›¤›;

eflitli¤i ile hesaplanabilmektedir. Bu eflitlikten de, iki ana kütle ortalamas› farklar›-n›n alt (AGS) ve üst (ÜGS) güven s›n›rlar›n› afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

‹K‹ ANA KÜTLE ORANI ARASINDAK‹ FARKIN GÜVENARALI⁄IBaz› araflt›rmalarda normal da¤›l›m gösteren iki ana kütle oranlar› aras›ndaki fark-lar›n karfl›laflt›rmas›n›n yap›lmas› gerekebilmektedir. N1 adet birimden oluflan bi-rinci ana kütlede belirli özelli¤in gerçekleflme oran›n›n ortalamas› π1 ve gerçeklefl-meme oran› ortalamas› (1 - π1), N2 adet birimden oluflan ikinci ana kütlede belirliözelli¤in gerçekleflme oran›n›n ortalamas› π2 ve gerçekleflmeme oran› ortalamas›ise (1 - π2) oldu¤u durumda, iki ayr› ana kütle için belirli özelli¤in gerçekleflmeoran› farklar›n›n (π1 - π2) karfl›laflt›r›lmas›nda güven aral›¤› mant›¤› kullan›labil-mektedir.

‹ki Ana Kütle Oranlar› Aras›ndaki Farklar›n StandartHatas›Ana kütle boyutlar› N1 ve N2, belirli özelli¤in gerçekleflme oran› π1 ve π2 olan ikiayr› ana kütlenin birincisinden n1 ve ikincisinden n2 bireylik rassal örnek al›n›rsa,bu örneklerden P1 ve P2 hesaplanabilir. Her iki ana kütleden her seferinde n1 ven2 bireyin bulundu¤u tekrarlamal› örnek al›n›rsa ve her seferinde (P1 - P2) hesap-lan›rsa, hesaplanan bu de¤erler için bir olas›l›k da¤›l›m› elde edilebilir. Büyük ör-neklemeler (n1 ve n2 ≥ 30) için (P1 - P2) farklar›n›n da¤›l›m› yaklafl›k olarak nor-mal da¤›l›fl gösterir. Normal da¤›lan (P1 - P2) farklar›n›n aritmetik ortalamas› vestandart hatas› olur. (P1 - P2) farklar› olas›l›k da¤›l›m›n›n standart hatas›;

eflitli¤i ile hesaplanabilir. Küçük örneklemeler (n1 ve n2 <30) için dekabul edilerek standart hata hesaplanabilir.S =(P - P ) (P - P )1 2 1 2

σ

σ(P - P )1 2

P P

n

P P

n=

.(1- )+

.(1- )1 1

1

2 2

2

σ(P -P )1 2

ÜGS = ( - )+ t .S1 2 / 2,v ( - )1 2

X XX Xα

AGS = ( - ) - t .S1 2 / 2,v ( - )1 2

X XX Xα

( - ) ± t .S1 2 /2,v ( - )1 2

X XX Xα


www.hedefaof.com

Büyük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Oran› Aras›ndakiFark›n Güven Aral›¤›Büyük örneklemelerde (n1 ve n2 ≥ 30) iki ana kütle oran› aras›ndaki fark›n (π1 - π2)güven aral›¤›n›, örnek kütlelerin oran farklar› (P1 - P2) ve standart hata yar-d›m›yla, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

Bu eflitlikten de, iki ana kütle oranlar› aras›ndaki farklar›n alt (AGS) ve üst(ÜGS) güven s›n›rlar›n› afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

‹ki ayr› ifl makinesinin günlük fiili çal›flma rand›manlar›n› karfl›laflt›rmak üzereyap›lan örneklemeler sonucunda afla¤›daki veriler elde edilmifltir.

n1 = 40 gün P1 = 0,70 (%70)n2 = 50 gün P2 = 0,64(%64)

%90 güven seviyesi için iki ifl makinesinin fiili çal›flma rand›man (oran) farklar›-n›n güven aral›¤›n› bulunuz.

Çözüm: Büyük örnekleme (n1 ve n2 > 30) yap›ld›¤›ndan iki ana kütle oran fark-lar›n›n güven aral›¤›n› (1 - α) güvenilirlikle bulmak için afla¤›daki eflitlikleri kullan›r›z.

(1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / 2 = 0,05 oldu¤undan Zα/2 = Z0,05 = 1,645 eldeederiz.

‹ki ana kütle oran› farklar›n›n %90 güven seviyesi için güven aral›¤›n› afla¤›da-ki gibi hesaplayabiliriz.

‹ki ayr› ifl makinesinin günlük fiili çal›flma rand›manlar› (oranlar›) aras›ndaki fark› %90güven seviyesi için yorumlay›n›z.

Küçük Örneklemelerde ‹ki Ana Kütle Oran› Farklar›n›nGüven Aral›¤›Küçük örneklemelerde (n1 ve n2 < 30), iki ana kütle oranlar› aras›ndaki farklar›n (π1- π2) güven aral›¤›n›, örnek kütlelerin oran farklar› (P1 - P2) ve standart hata yard›m›yla, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

S (P - P )1 2

(0,70 - 0,64) 1,645 . 0,70.(1- 0,70)

40+

0,64.(1- 0,6∓

44)50

(0,70 - 0,64) 0,163 AGS = -0,103 ve ÜGS = 0,22∓ ⇒ 33

σ(P - P )1 2

P P P P

n=

.(1- )+

.(1- )1 1

1

2 2

2n

(P - P ) Z .1 2 / 2 (P - P )1 2± α σ

ÜGS = (P - P )+ Z .1 2 / 2 (P - P )1 2α σ

AGS = (P - P ) - Z .1 2 / 2 (P - P )1 2α σ

(P - P ) Z .1 2 / 2 (P - P )1 2± α σ

σ(P -P )1 2


Ö R N E K 8

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

www.hedefaof.com

Bu eflitlikten de, iki ana kütle oranlar› aras›ndaki farklar›n alt (AGS) ve üst(ÜGS) güven s›n›rlar›n› afla¤›daki eflitliklerle hesaplayabiliriz.

VARYANS ‹Ç‹N GÜVEN ARALI⁄IAna kütle ortalamas›n›n (µ) ve varyans›n›n (σ2) bilinmemesine ra¤men, ana kütlevaryans›n›n büyüklü¤ünün önemli oldu¤u bir araflt›rmada, bu ana kütleden eldeedilecek n birimlik Xi örnekleri ile örnek kütlenin ortalama ve varyans› hesaplana-rak varyans›n büyüklü¤ü hakk›nda yorum yap›labilmektedir.

Büyük örneklemelerde (n ≥ 30), örnek kütle varyans› ile ana kütle varyans› bir-birine birbirine eflit (σ2 = S2) kabul edilebildiklerinden, örnek kütle varyans› yar-d›m›yla ana kütle varyans›n› yorumlamak mümkündür. Ancak küçük örnekleme-lerde ise, örnek kütle varyans› yard›m›yla ana kütle varyans›n›n büyüklü¤ünü yo-rumlamak mümkün de¤ildir.

Küçük örneklemelerde varyans›;

eflitli¤i ile hesaplayabilmekteyiz. Varyans eflitli¤ini;

fleklinde yazd›ktan sonra, eflitli¤in her iki taraf›n› ana kütle varyans›na (σ2) bö-lersek;

eflitli¤i ile ifade edilen (n - 1) serbestlik dereceli Khi-kare (χ2) da¤›l›m›n› eldeederiz. χ2 da¤›l›m›, 0 ile + ∞ aral›¤›nda tan›ml› olup, n < 30 oldu¤u sürece simetrikbir da¤›l›m de¤ildir.

Serbestlik derecesi v = n - 1 olan Khi-kare da¤›l›m›n›;

yazabiliriz. Bu eflitlikten de, ana kütle varyans›n›;

elde ederiz.

σχ

22

v2

n S=

( -1).

χσv

22

2

n S=

( -1).

( -1).=

( )2

2

2

2

n S X - X

σ σ∑

( -1). = ( )2 2n S X - X∑

S =( )

-1=

1-1

( )22

2X - X

n nX - X∑ ∑

AGS = (P - P ) - t .S

ÜGS = (P - P )+ t .S

1 2 / 2,v (P - P )

1 2 / 2,v

1 2α

α ((P - P )1 2

(P - P ) t .S1 2 / 2,v (P - P )1 2± α


www.hedefaof.com

χ2 da¤›l›m›nda, ana kütle varyans›n› (σ2) belirli bir güven düzeyinde (1 - α) içi-ne alacak iki χ2 de¤eri vard›r (Cula ve Muluk, 2006). fiekil 4.2’den de görüldü¤ügibi, Khi-kare da¤›l›m›nda alt ve üst s›n›ra karfl›l›k gelen Khi-kare de¤erleri;

olup, χ2 çizelgelerinden elde edilebilmektedir. Khi-kare da¤›l›m› kullan›larak, v = n - 1 serbestlik derecesi ve belirli bir (1 - α)

güven seviyesi için, örnek kütle varyans› kullan›larak ana kütle varyans›n›n güvenaral›¤›n› belirleyebiliriz.

Bir bakliyat paketleme üretim hatt›ndan rassal örneklenen 10 paketin a¤›rl›klar›-n›n standart sapmas› 12 gr ç›km›flt›r. Bu paketleme ana kütlesindeki varyans›n %90 güven aral›¤› kaçt›r?

Çözüm:n = 10, S = 12, S2 = 144(1 - α) = 0,90, α = 0,10, α / 2 = 0,05, n = 10 ⇒ v = n - 1 = 10 - 1 = 9α / 2 = 0,05 ve v = 9 için Khi-kare çizelgesinden;

de¤erlerini elde ederiz. Bu de¤erleri kullanarak varyans›n güven aral›¤› s›n›rla-r›n› bulabiliriz.

AGS =(n -1).S

=(10 -1).144

16,92= 76,6 gr

ÜGS =(n -1

2

χA2

)).S=

(10 -1).1443,33

= 389,2 gr2

χÜ2

χ χ χ

χ χ

α

α

A2

(1- / 2),v2

(1-0,05),92

Ü2

( / 2),v2

= = =

=

16,92

== =(0,05),92χ 3,33

AGS =(n -1).S

ÜGS =(n -1).S2 2

χ χA2

Ü2

χ χ χ χα αA2

(1- / 2),v2

Ü2

( / 2),v2= = ve


1−αα/2

α/2

K21 α/2,v K2

α/2,v K2

fiekil 4.2

Khi-kareda¤›l›m›nda alt veüst güven s›n›rlar›

Ö R N E K 9

www.hedefaof.com


Nokta ve güven aral›¤› tahmini aras›ndaki fark›

belirlemek.

Örneklemenin amac›, ana kütlenin bilinmeyenparametreleri hakk›nda tahminler yapmakt›r.Tahminleme ile ana kütlenin tamam›n›n örnek-lenmesini (tam say›m›n›) gerektiren ifllemlere ge-rek kalmamaktad›r. ‹statistikte tahminleme nokta veya aral›k tahminiolmak üzere iki yöntemle yap›labilmektedir.Nokta tahmini, ana kütle parametrelerinin bilin-medi¤i hallerde örneklerden elde edilmifl veriler-le tek bir tahmin yapmakt›r. Nokta tahminleri ilesapmas›z, tutarl› ve etkin tahminler yap›lama-makta, hata pay› belirlenememekte ve güvenilir-lik azalmaktad›r. Aral›k tahmini ile ise, ana kütle-ye ait herhangi bir bilinmeyen parametrenin be-lirli bir hata pay› ile alt ve üst s›n›r de¤erleri ve-rilerek tahmin edilmesi mümkün olabilmektedir.

Ana kütle ortalamas› ve oran› için güven aral›¤›-

n› tahmin etmek.

Ana kütle aritmetik ortalamas›n›n (µ) güven ara-l›¤›, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için;

• Büyük örneklemelerde (n ≥ 30), standart normal

de¤iflkeni (Zα/2) kullanarak, örnek kütle aritme-

tik ortalamas› (X– ) ve standart hata ( ) yard›-

m›yla eflitli¤iyle,

• Küçük örneklemelerde (n < 30), v = n - 1 ser-

bestlik derecesi ile belirlenen Student t de¤erini

(tα/2,v) kullanarak, örnek kütle aritmetik ortala-

mas› (X–) ve standart hata ( ) yard›m›y-

la eflitli¤iyle, tahmin edilebilmek-

tedir. Ana kütle oran›n›n (π) güven aral›¤›, belirli bir (1- α) güven seviyesi için;

• Büyük örneklemelerde (n ≥ 30), standart nor-mal de¤iflkeni (Zα/2) kullanarak, örnek kütle ora-n› (P) ve standart hata (σp)yard›m›yla P +– Zα/2.σp

eflitli¤iyle,• Küçük örneklemelerde (n < 30), v = n - 1 ser-

bestlik derecesi ile belirlenen Student t de¤erini(tα/2,v) kullanarak, örnek kütle oran› (P) ve stan-dart hata (Sp) yard›m›yla eflitli¤iyle, P +– tα/2.Sp

tahmin edilebilmektedir.

‹ki ana kütle ortalamas› ve oran› aras›ndaki fark-

lar›n güven aral›¤›n› tahmin etmek.

‹ki ana kütle ortalamas› aras›ndaki fark›n (µ1 −µ2) güven aral›¤›, belirli bir (1 - α) güven seviye-si için;

• Büyük örneklemelerde (n1 ve n2 ≥ 30), standart

normal de¤iflkeni (Zα/2) kullanarak, örnek kütle-

lerin ortalama farklar› (X– 1 - X– 2) ve standart hata

yard›m›yla eflitli-

¤iyle,

• Küçük örneklemelerde (n1 ve n2 < 30), v = n - 1

serbestlik derecesi ile belirlenen Student t de¤e-

rini (tα/2,v) kullanarak, örnek kütlelerin ortalama

farklar› (X– 1 - X– 2) ve standart hata yard›-

m›yla eflitli¤iyle, tahmin

edilebilmektedir.‹ki ana kütle oran› aras›ndaki fark›n (π1 - π2 ) gü-ven aral›¤›, belirli bir (1 - α) güven seviyesi için;

• Büyük örneklemelerde (n1 ve n2 ≥ 30), standart

normal de¤iflkeni (Zα/2) kullanarak, örnek kütle-

lerin oran farklar› (P1 -P2) ve standart hata

yard›m›yla eflitli¤iyle,

• Küçük örneklemelerde (n1 ve n2 < 30), v = n - 1

serbestlik derecesi ile belirlenen Student t de¤e-

rini (tα/2,v) kullanarak, örnek kütlelerin oran fark-

lar› (P1 -P2) ve standart hata yard›m›yla

eflitli¤iyle, tahmin edilebil-

mektedir.

Ana kütle varyans› için güven aral›¤›n› tahmin

etmek.

Ana kütle varyans›n›n (σ2)güven aral›¤›, v = n -1 serbestlik derecesi ve belirli bir (1 - α) güvenseviyesi için, Khi-kare de¤eri (χ2) ve örnek küt-le varyans› (S2) yard›m›yla belirlenebilmektedir.

χ χ χ χα αA2

(1- / 2),v2

Ü2

( / 2),v2= = ve

AGS =(n -1).S

ÜGS =(n -1).S2 2

χ χA2

Ü2

(P - P ) t .S1 2 / 2,v (P - P )1 2± α

S(P - P )1 2

(P - P ) Z .1 2 / 2 (P - P )1 2± α σ

σ(P -P )1 2

( - ) ± t .S1 2 / 2,v ( - )1 2

X XX Xα

S( X - X )1 2

( - ) ± Z .1 2 / 2 ( - )1 2

X XX Xα σσ

( X - X )1 2

X ± t .S/ 2,n Xα

SX

X Z ./ 2 X∓ α σ

σx

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

4NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. Bir klinikte hastalara zay›flama rejimi uygulanmak-tad›r. Rassal olarak örneklenen 30 hasta, rejimin sonun-da ortalama olarak 20 kilogram zay›flam›flt›r. Örnekle-nen kütlenin standart sapmas› 5 kilogram ise ana kütleortalamas› için % 90 güven aral›¤› afla¤›dakilerden han-gisidir?

a. 19,5 < µ < 20,5b. 19,1 < µ < 20,9c. 18,5 < µ < 21,5d. 18,2 < µ < 21,8e. 17,3 < µ < 22,7

2. Bir ana kütleden çekilen 25 bireylik örnek kütleninortalamas› 50 ve standart sapmas› 10’dur. Seçilen bu ör-ne¤e göre, %95 güvenirlik seviyesi için ortalaman›n gü-ven aral›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 43,55 < µ < 52,45b. 44,84 < µ < 55,16c. 45.87 < µ < 54,13d. 46.17 < µ < 56,83e. 48,44 < µ < 54,63

3. Bir GPS ile yap›lan konumsal ölçümlerin hassasiyeti-ni belirlemek amac›yla teodolit ile yap›lan 40 noktal›kölçüm sonuçlar› karfl›laflt›r›ld›¤›nda hata oran› ortalama-s› %10 olarak bulunmufltur. Buna göre, %90 güven sevi-yesi için ana kütle oran›n›n alt güven s›n›r› yüzde kaçt›r?

a. 17,8b. 8,4c. 4,8d. 2,2e. 1,8

4. Son ekonomik krizin seramik fabrikalar›n›n kapasi-te kullan›m oranlar›n› nas›l etkiledi¤ini belirlemek içinyap›lan çal›flmada 10 farikada kapasite kullan›m oran›-n›n %30 azald›¤› tespit edilmifltir. Buna göre, %99 güve-nilirlikle ana kütle oran›n› güven aral›¤›n›n üst s›n›r›yüzde kaçt›r?

a. 77b. 66c. 47d. 27e. 12

5. ‹ki ayr› demir madeni iflletmesinden al›nan 36’flar(n1 = n2 = 36) örnekler üzerinde yap›lan tenör (%Fe)analizleri sonucunda afla¤›daki veriler elde edilmifltir.

X– 1 = 42 %Fe X–

2 = 34 %FeS1 = 16 %Fe S2 = 12 %FeBu bilgilere göre, %90 güvenilirlikle ana kütle ortala-mas› farklar› güven aral›¤›n›n alt s›n›r› kaç %Fe’dir?

a. 1,36b. 2,52 c. 6,42 d. 8,66 e. 13,48

6. Küçük ölçekli bir tekstil iflletmesinde çal›flanlararas›nda ücret ödemelerinde cinsiyete göre farkl›l›kolup olmad›¤›n› belirlemek amac›yla yap›lan araflt›r-mada, iflletmede çal›flan 20 erkek çal›flan›n ücretleri-nin ortalamas› 1550 TL ve standart sapmas› 250 TLiken, 20 kad›n çal›flan›n ücretleri ortalamas›n›n 1450TL ve standart sapmas›n›n 350 TL oldu¤u belirlenmifl-tir. Erkek ve kad›n çal›flanlar›n ücretleri aras›nda fark-lar›n güven aral›¤›n› %90 güven seviyesi için afla¤›da-kilerden hangisidir?

a. 33 < (µ1 - µ2) < 233b. 66 < (µ1 - µ2) < 134c. -66 < (µ1 - µ2) < 266d. -166 < (µ1 - µ2) < -66e. -166 < (µ1 - µ2) < -366

7. Normal bir da¤›l›mdan rassal olarak seçilmifl 16 bi-reyli örnek kütlenin varyans› 49 olarak hesaplanm›fl-t›r. Buna göre, ana kütle varyans›n›n üst güven s›n›r›%90 güvenirlikle kaçt›r?

a. 36,4b. 42,6c. 69,5 d. 101,2e. 203,7


www.hedefaof.com


8. Standart sapmas› 27 olan normal bir da¤›l›mdan çe-kilmifl 36 gözlemli rassal bir örneklem verilerinden olufl-turulan ana kütle ortalamas› µ’nün (1 - α) güven aral›¤›43,7 < µ < 56,3 fleklinde ise, µ % kaçt›r?

a. 5b. 8c. 12,01d. 16,16e. 18,36

9. Ana kütle ortalamas›n›n güven aral›¤› belirlenirkenörneklem hacmi 17 ise, serbestlik say›s› kaçt›r?

a. 15b. 16c. 17d. 18e. 19

10. Normal da¤›l›ml› bir ana kütleden rassal olarak çe-kilmifl 49 bireyden oluflan örneklem verileri ile ana küt-le ortalamas› µ’nün % 90 güven aral›¤› 143,42 < µ <156,58 fleklinde belirlenmifltir. Buna göre ana kütle stan-dart sapmas› µ kaçt›r?

a. 8b. 18c. 28d. 38e. 44

1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük ÖrneklemelerdeAna Kütle Ortalamas› Güven Aral›¤›” konusunuyeniden gözden geçiriniz.

2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük ÖrneklemelerdeAna Kütle Ortalamas› Güven Aral›¤›” konusunuyeniden gözden geçiriniz.

3. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük ÖrneklemelerdeAna Kütle Oran Ortalamas›n›n Güven Aral›¤›”konusunu yeniden gözden geçiriniz.

4. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük ÖrneklemelerdeAna Kütle Oran Ortalamas›n›n Güven Aral›¤›”konusunu yeniden gözden geçiriniz.

5. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük Örneklemelerde ‹kiAna Kütle Ortalamas› Farklar›n›n Güven Aral›-¤›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

6. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük Örneklemelerde ‹kiAna Kütle Ortalamas› Farklar›n›n Güven Aral›-¤›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

7. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Varyans ‹çin Güven Aral›-¤›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

8. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük ÖrneklemelerdeAna Kütle Ortalamas› Güven Aral›¤›” konusunuyeniden gözden geçiriniz.

9. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük ÖrneklemelerdeAna Kütle Ortalamas› Güven Aral›¤›” konusunuyeniden gözden geçiriniz.

10. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük ÖrneklemelerdeAna Kütle Ortalamas› Güven Aral›¤›” konusunuyeniden gözden geçiriniz.


www.hedefaof.com


S›ra Sizde 1

n = 36 oldu¤una göre, büyük örnekleme yap›lm›flt›r.Güven aral›¤›;19,33 < µ < 20,27 oldu¤una göre, alt ve üst güven s›n›r-lar› aras›ndaki fark;

S›ra Sizde 2

n = 16 oldu¤una göre, küçük örnekleme yap›lm›flt›r.X– = 40 ve S = 10’dur.(1 - α) = 0,90, α = 0,10 ve α / 2 = 0,05 serbestlik dere-cesi v = n - 1 = 16 - 1 = 15 oldu¤undan Student t çizel-gesinden tα/2,v. = t0.05,15 = 1,753 elde ederiz.

AGS = 40 - (1,753 . 2,5) = 35,62

S›ra Sizde 3

Ana kütle oran› π =0,15 ve tahmin hatas› e = 0,10 olup,tahmin hatas›n› afla¤›daki eflitlikle hesaplayabiliriz.

%95 güven seviyesi için, (1 - α) = 0,95, α = 0,05 ve α / 2= 0,025 oldu¤undan Zα/2 = Z0,025 = 1,96’d›r. Bu durumda, örnek kütle büyüklü¤ünü afla¤›daki gibihesaplayabiliriz.

S›ra Sizde 4

AGS = -0,103 ve ÜGS = 0,223 oldu¤undan iki ayr› iflmakinesinin günlük fiili çal›flma rand›manlar› (oranlar›)aras›nda %90 güvenirlikle önemli bir fark olmad›¤›n›söyleyebiliriz.


Ankara: Baflkent Üniversitesi.Gürtan, K. (1982). ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›. No:

2941. ‹stanbul: ‹stanbul Üniversitesi.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mühen-


Montgomery, D.C. & Runger G.C. (2003). Applied Sta-

tistics and Probability for Engineers. USA: John Wi-ley & Sons.

Newbold, P. (2005). ‹flletme ve ‹ktisat ‹çin ‹statsitik. Ümitfienesen (Çev.). ‹stanbul: Literatür.

Püskülcü, H. & ‹kiz, F. (1989). ‹statisti¤e Girifl. ‹zmir:Bilgehan.



tesi Yay›n No: 771, Eskiflehir: Anadolu Üniversitesi.

0,10 = 1,96.0,15.(1- 0,15)

n

n = 7 n = 49⇒

e = = Z . = Z .π. - π

n/ 2 p / 20,10(1 )

α ασ

AGS = X - t .S S =S

n=/ 2,v X Xα

10

16= 2,5

AGS = - ) 19,33 = - 0,47 = 19,8X X X(Z ./ 2 Xα σ ⇒ ⇒

2.( ) = 20,27 -19,33 = 0,94 = 0,94 / 2 = 0, 4Z . Z ./ 2 X / 2 Xα ασ σ⇒ 77

ÜGS - AGS = .(Z . )/ 2 X2 α σ

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› Yararlan›lan Kaynaklar

www.hedefaof.com

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;‹statistiksel hipotez testi kavramlar›n› aç›klayabilecek, test sürecinin aflamala-r›n› ve yap›lacak ifllemleri s›ralayabilecek,Ana kütle ortalamas›, oran› ve varyans› ile iki ana kütle ortalamalar› aras›farklar›n hipotez testi uygulamalar›n› yapabilecek bilgi ve becerilere sahipolacaks›n›z.

‹çindekiler

• S›f›r Hipotezi • Karfl›t Hipotez• Red Bölgesi• Tek Tarafl› Test • Çift Tarafl› Test• Test ‹statisti¤i

• Büyük Örnekleme• Küçük Örnekleme• Ortalamalar›n Testi• Oranlar›n Testi• Ortalama Farklar›n Testi• Varyanslar›n Testi

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N


‹statistik

• H‹POTEZ‹N KURULMASI VE TEST‹• ANA KÜTLE ORTALAMASINA

‹L‹fiK‹N TESTLER• ANA KÜTLE ORANINA ‹L‹fiK‹N

TESTLER• ANA KÜTLE ORTALAMALARI

ARASINDAK‹ FARKLARIN TEST‹• VARYANSLARIN TEST‹

‹statistiksel KararVermede Hipotez

Testleri


www.hedefaof.com

H‹POTEZ‹N KURULMASI VE TEST‹Örnek kütleden elde etti¤imiz parametre bilgilerini kullanarak ana kütle hakk›nda,belirli bir güven aral›¤›nda tahminler yapabiliriz. Ancak, birçok araflt›rmada örnekkütleden elde etti¤imiz veriler yard›m›yla ana kütle hakk›nda karar vermek de isteriz.Örne¤in, yeni bir sulama sisteminin tar›mda ürün verimlili¤ini artt›rd›¤› iddia ediliyor-sa, eski ile yeni sistemin verimliliklerini ayn› bitki için ayn› arazi koflullar›nda karfl›lafl-t›r›p karar vermeye çal›fl›r›z. Bununla birlikte, yeni sulama sisteminin verimi art›rd›¤›karar›n› verebilmek için, yeni sulama sisteminin eskisine göre verimi önemli orandaartt›rmas›n› ve verim oranlar› aras›nda önemli farklar›n bulunmas›n› bekleriz.

Yeni cihaz veya yöntemin fark yaratmas›yla birlikte, bu fark›n büyüklü¤ü ve an-laml›l›¤› da önemlidir. Örne¤in, bir fabrikaya sat›n al›nan yeni paketleme makinesi-nin iflgücü verimlili¤ini artt›r›p artt›rmad›¤›n› belirlemeye yönelik bir araflt›rmada, ye-ni makinenin iflgücü bafl›na düflen paketleme miktar›n› 10 adet artt›rm›fl oldu¤unusaptam›fl olal›m. Paketleme veriminin 10 adet artm›fl olmas›, yeni makinenin verimart›fl› sa¤lad›¤›n› söyleyebilmemiz için yeterlimidir? Acaba aradaki bu art›fl, sat›n al›-nan yeni makinenin üretim sürecine girmesinin mi bir sonucu, yoksa tamamen ras-sal örnekleme hatalar›ndan m› kaynaklanmaktad›r? Rassal örnekleme hatalar›n›n et-kilerini devre d›fl› b›rakabilmek için, fark›n ne kadar büyüklükte olmas› gereklidir?

Uygulanacak yeni bir yöntem veya kullan›lacak yeni bir makinenin/cihaz›n es-kisine göre süreçte veya üretimde önemli büyüklükte farkl›l›k yaratmas›ndan çok,bu farkl›l›¤›n istatistiksel aç›dan ne kadar anlaml› oldu¤u önemlidir. Bir baflka de-yiflle, bu farklar›n gerçekten mi yoksa rassal örnekleme hatalar›ndan m› meydanageldi¤inin incelenerek istatistiksel karar›n verilmesi gerekmektedir.

Ana kütle de¤erlerinin bilindi¤i bir durumda, uygulanan teknolojide veya yön-temde yap›lan bir de¤ifliklik sonras›nda elde edilen örnek kütle de¤erlerinin farkl›olmas›nda, gerçek veya rassal de¤iflimden hangisinin etkili oldu¤una karar verme-de, hipotez testleri kullan›labilmektedir.

Bu ünitede, öncelikle istatistiksel hipotezin kurulmas› ve testi sürecinin aflama-lar› aç›klanacak, daha sonra ana kütle ortalamas›, oran› ve varyans› ile ana kütleortalamalar› aras›ndaki farklar›n testi konular› ele al›nacakt›r.

Ana kütle parametreleri hakk›nda ileri sürülen hipotezin do¤rulu¤unu kan›tla-man›n en kesin yöntemi, ana kütlenin tam say›m›n› yapmakt›r. Ancak, zaman ye-tersizli¤i, maliyetinin yüksekli¤i ve yok edici etkileri dikkate al›nd›¤›nda, ileri sürü-

‹statistiksel Karar VermedeHipotez Testleri

Genel olarak hipotezler, birdurum hakk›nda ilerisürülen varsay›mlard›r.‹statistiksel anlamdahipotezler ise ana kütlenindurumu hakk›nda ilerisürülen iddialar›n, örnekkütle olas›l›k da¤›l›mmodeline görearaflt›r›lmas›d›r. Hipoteztestinde, örnekten eldeedilen bilgilere ba¤l› olarakbelirli bir güvenirlikseviyesinde, ileri sürülenhipotezin do¤ru olupolmad›¤› test edilir.

www.hedefaof.com

len hipotezi kan›tlamak için tam say›m yerine örnek kütle parametrelerinden ya-rarlanmak gerekmektedir.

Hipotez testi, ana kütle parametresi hakk›nda yap›lacak araflt›rmaya uygun olarakhipotezlerin kurulmas›, red veya kabul koflullar›n›n belirlenmesi, olas›l›k da¤›l›m mo-deline uygun test istatisti¤inin hesaplanmas› ve karar verme aflamalar›ndan oluflur.

Hipotezlerin Kurulmas›Hipotez testinde, örnek kütleden elde edilen parametrelerin ana kütle parametre-leriyle uyumlu oldu¤unu iddia eden s›f›r hipotezi (H0 hipotezi) ve uyumlu olmad›-¤›n› iddia eden karfl›t hipotez (H1 hipotezi) kurulur. S›f›r hipotezine istatistiksel hi-potez, karfl›t hipoteze de araflt›rma hipotezi de denilmektedir.

H0 hipotezi, ana kütlenin bilinen veya varsay›lan parametre de¤eri ile örnek küt-leden elde edilen aras›nda önemli (anlaml›) bir fark olmad›¤› kabulü ön flart›n› içe-rir. Örnek kütleden elde edilen veriler H0 hipotezini çürütmedi¤i sürece, H0 hipote-zi geçerlidir. H0 hipotezi geçerli oldu¤u sürece, örnek kütle ile ana kütle parametre-leri aras›ndaki farkl›l›¤›n, rassal örnekleme hatalar›ndan (örnekleme yönteminin yan-l›fl seçilmesinden veya örneklerin yetersizli¤inden) meydana geldi¤i kabul edilir.

Ana kütlenin bilinen veya varsay›lan parametre de¤eri ile örnek kütleden eldeedilen aras›nda önemli (anlaml›) bir fark oldu¤unu ileri süren hipoteze ise karfl›t(alternatif) hipotez (H1) denilir. Bu hipotez genellikle, örnek kütle verileriyle he-saplanan parametrenin ana kütle parametresinden farkl› (büyük, küçük veya eflitde¤il) oldu¤u fleklindedir.

Eskiflehir kent merkezinden geçen Porsuk çay›nda a¤›r metallerden olan kurflunmiktar›n›n 5 mg/kg’›n alt›nda oldu¤u bilinmektedir. Ancak, çevre araflt›rmac›la-r›, Eskiflehir kent merkezi giriflinde ve ç›k›fl›nda Porsuk çay›ndaki kurflun miktar›-n›n de¤iflti¤ini iddia etmektedirler. Bu durumda, Porsuk nehrinden örneklemeyapmadan önce, kurflun miktar› ortalamas› ile ilgili hipotezlerin flu flekilde kurul-mas› gerekecektir.

Bilinen ana kütle de¤eri ile örnek kütle de¤eri aras›nda fark olmad›¤› varsay›-m›na dayanan s›f›r hipotezi afla¤›daki gibi kurulur.

H0 : mg/kg

Bilinen ana kütle de¤eri ile örnek kütle de¤eri aras›nda fark oldu¤u iddias›nadayanan karfl›t hipotez, üç farkl› flekilde kurulabilecektir.

H1 : mg/kg

H1 : mg/kg

H1 : mg/kg

Karfl›t hipotezi kurarken, üç karfl›t hipotezden birine karar vermek gerekir.

Red Bölgesinin Tan›mlanmas›S›f›r hipotezinin red edilebilece¤i bölgeyi tan›mlamadan önce testin anlaml›l›k dü-zeyini belirlememiz gerekir. S›f›r hipotezi do¤ru oldu¤u halde red edilebilme hata-s›n› (I. Tip Hata) iflleyebilece¤imiz en büyük olas›l›k de¤erine anlaml›l›k düzeyi (α )

X ≠ µ = 5

X < =µ 5

X > =µ 5

X = µ = 5


S›f›r hipotezi eskiden beribilinen ve geçerli kabuledilen görüflü yans›t›rken,karfl›t hipotez yeni birgörüfltür.

Ö R N E K

S›f›r hipotezi do¤ru oldu¤uhalde test sonucundarededilirse, bir hata ifllenirve buna I. Tip Hatadenilmektedir. S›f›r hipoteziyanl›fl oldu¤u halde kabulediliyorsa da bir hataifllenmifl olur ve bu hatayada II. Tip Hatadenilmektedir. Birinci tip veikinci tip hatalarla ilgiliolarak Özer SERPER’in“Uygulamal› ‹statistik II”(Ezgi Kitapevi, 2000, Bursa)kitab›ndan daha ayr›nt›l›bilgi edinebilirsiniz.

www.hedefaof.com

veya anlaml›l›k seviyesi denilmektedir. Araflt›rmalarda hata yapmamak, yanl›fl biriddiada bulunmamak ve s›f›r hipotezini korumak için anlaml›l›k düzeyini küçüktutar›z.

H0 hipotezinin do¤ru oldu¤u halde red edilmesi riskli ise ve örnek say›s›n› art-t›rmak pahal›ya mal oluyorsa, α anlaml›l›k düzeyi çok küçük bir de¤er (%0,1 ile%5 aras›) al›nmal›d›r. Buna karfl›l›k, H0 hipotezinin yanl›fl oldu¤u halde kabul edil-mesi tehlikeli olacaksa α anlaml›l›k düzeyi %5 den büyük tutulmal›d›r (Konuk veÖnder, 1999).

Anlaml›l›k düzeyi dikkate al›narak s›f›r hipotezinin kabulü için tan›mlanan böl-geye kabul bölgesi ve reddi için tan›mlanan bölgeye ise red bölgesi denilmektedir.Güven düzeyinin belirlenmesinden sonra, örnek kütle da¤›l›m modeline uygunolarak red ve kabul bölgelerinin tan›mlanmas› gerekir. E¤er hesaplanacak test is-tatisti¤i de¤eri kabul bölgesinin içinde kal›rsa H0 hipotezi kabul edilir, tersi durum-da ise H0 hipotezi red edilir.

H1 hipotezindeki iddiaya göre, red bölgesi tek tarafl› veya çift tarafl› olarak tan›m-lanabilmektedir. Örnek kütle parametresinin ana kütle parametresinden küçük veyabüyük oldu¤u iddias› varsa, red bölgesi tek tarafl› olarak belirlenmekte ve bu gibi du-rumlarda yap›lan testlere tek tarafl› test denilmektedir. Örnek kütle parametresininana kütle parametresine eflit olmad›¤› iddias›n›n bulundu¤u (büyük veya küçük ol-du¤unu bilmedi¤imizde) durumda, red bölgesi iki tarafl› olarak belirlenmekte ve çifttarafl› test denilmektedir. Örne¤in, ortalamalar›n testinde örnek kütle ortalamas›n›n

ana kütle ortalamas›ndan (μ ) büyük (H1 : ) veya küçük (H1: ) oldu-¤u durumlarda tek tarafl› red bölgesi tan›mlan›rken, birbirine eflit olmad›¤› (H1 :

) durum için ise çift tarafl› red bölgesi tan›mlanmaktad›r (fiekil 5.1).

Test ‹statisti¤ini Hesaplanmas› ve Karar VermeÖrnek kütle ve ana kütle parametreleri aras›ndaki fark›n standart hataya oran›na test istatis-ti¤i denilmekte olup, örnek kütleden elde edilmifl ortalama, oran, varyans gibi parametrele-re ve örnekleme büyüklü¤üne göre hesaplanmaktad›r. Test istatistiklerinin hesaplanmas›,afla¤›daki bölümlerde ayr›nt›l› olarak ele al›nacakt›r.

Hesaplanan test istatisti¤inin red bölgesinde kalmas› durumunda H0 hipotezired edilir ve H1 hipotezinde ileri sürülen iddian›n do¤ru oldu¤u karar› verilir. Testistatisti¤inin kabul bölgesinde kalmas› durumunda ise, H0 hipotezi kabul edilir veH1 hipotezinde ileri sürülen iddian›n yanl›fl oldu¤una karar verilir.

X ≠ µ

X < µX > µX( )

935. Ünite - ‹stat ist iksel Karar Vermede Hipotez Test ler i

Mühendislik ve e¤itimbilimlerinde güven seviyesigenellikle %5 olarakal›n›rken, sa¤l›k bilimlerinde%1 ve sosyal bilimlerde%10 olarakal›nabilmektedir.

Kabul ve red bölgeleri aras›s›n›r› tan›mlayan teorik testistatisti¤i, belirli bir αanlaml›l›k düzeyi (olas›l›¤›)ve örnek büyüklü¤üne ba¤l›olarak, örnek kütle da¤›l›mmodeline göre seçilençizelgelerdenbelirlenebilmektedir.

fiekil 5.1

α /2α /2

a) Tek tarafl› red bölgesi b) Çift tarafl› red bölgesi

α

Kabul bölgesi Red bölgesi Kabulbölgesi

Redbölgesi

Redbölgesi

Tek ve çifttarafl› redbölgeleri

www.hedefaof.com

ANA KÜTLE ORTALAMASINA ‹L‹fiK‹N TESTLER Yeni bir teknoloji veya yöntem uygulanmas› sonras› yap›lan örnekleme sonucun-da hesaplanan örnek kütle ortalamas› ( ) ile teorik olarak veya geçmifl gözlem-lere göre belirlenen veya bilinen ana kütle kütle ortalamas› (μ ) aras›ndaki farkl›l›-¤›n anlaml›l›¤› test edilebilir. Genellikle ana kütle ortalamas› bilinmemekle birlik-te, bilindi¤i varsay›larak testler yap›l›r.

Ana kütle ortalamas›n›n test edilmesinde H0 hipotezi;

H0 : = μ

fleklinde kurulur. Uygulanan yeni teknoloji veya yöntemin ana kütle ortalamas›n›de¤ifltirmedi¤i kabulüne dayanan H0 hipotezine karfl›t olarak ise H1 hipotezi üçfarkl› flekilde oluflturulabilir.

H1 : ≠ μ (Çift tarafl› test)

H1 : > μ (Tek tarafl› test)

H1 : < μ (Tek tarafl› test)

Bir yap› kimyasallar› üretimi yapan firman›n üretti¤i 50 kg’l›k torbalara paketle-nen seramik yap›flt›r›c›lar›n›n a¤›rl›klar›n›n 50 kg’dan az oldu¤u iddia ediliyorsa,H0 ve H1 hipotezleri nas›l kurulur?

Çözüm : Ana kütle ortalamas› μ =� 50� kg olarak bilindi¤ine göre H0 hipotezi, id-diay› araflt›ran firma taraf›ndan, iddian›n yanl›fl oldu¤u ve örnek kütle ortalamas›-n›n ( ) ana kütle ortalamas›na eflit olaca¤› fleklinde kurulur.

H0 : = μ = 50 kg

Buna karfl›l›k, müflterilerin iddias› olan H1 hipotezi ise, iddian›n do¤ru oldu¤ufleklinde kurulur.

H1 : μ = 50 kg

Bir madencilik firmas› alt›n oldu¤u iddia edilen bir bölgeden ald›¤› örnekleri ana-liz ettirdi¤inde, sahada ortalama olarak 1 gr/ton alt›n oldu¤unu tespit etmifltir. Budurumda hipotezleri nas›l kurars›n›z?

Çözüm : Daha önceden ana kütle ortalamas› bilinmedi¤ine göre, ana kütle or-talamas›n› μ =0 kabul edebiliriz. Bu durumda H0 hipotezini, örnekleme sonucu bu-lunan de¤erin rassal olarak bulundu¤u, örneklemeye devam edilirse, asl›nda orta-laman›n s›f›r olaca¤› fleklinde kurar›z.

H0 : = μ =�0

‹ddia ise sahada alt›n oldu¤u ve eskiden bilinenin yanl›fl oldu¤u fleklinde oldu-¤undan, H1 hipotezi afla¤›daki gibi kurulur.

H1 : > μ =�0

Hipotezleri oluflturduktan sonra, s›ras›yla anlamal›l›k düzeyinin seçimi, red böl-gesinin tan›mlanmas›, test istatisti¤inin hesaplanmas› ve karar verme ifllemleri uy-gulan›r. Red bölgesinin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas›ndan önce

X

X

X <

X

X

X

X

X

X

X


Ö R N E K

Ö R N E K

Örnek kütledeki veri say›s›30’dan büyük (n ≥� 30)oldu¤unda (büyükörnekleme) normal da¤›l›m›nözelliklerinden yararlanarak,30’dan küçük (n<30)oldu¤unda (küçükörnekleme) ise Student tda¤›l›m›n›n özelliklerindenyararlanarak red bölgesitan›mlamas› yap›l›r ve testistatisti¤i hesaplan›r.

www.hedefaof.com

örnek büyüklü¤ünü dikkate alarak, örneklemenin büyük veya küçük örneklemeolup olmad›¤›n› incelemek gerekir.

Büyük Örneklemelerde Ortalamalar›n TestiÖrnek kütlede bulunan örnek say›s›n›n 30’dan büyük oldu¤u (n≥ 30) ve örnekle-rin normal da¤›l›m gösterdi¤i durumlarda red bölgesinin tan›mlanmas›nda ve testistatisti¤inin hesaplanmas›nda normal da¤›l›m›n özelliklerinden yararlan›l›r.

Red bölgesini tan›mlayabilmek için öncelikle belirli bir α anlaml›l›k düzeyi içinstandart normal da¤›l›m (Z) çizelgelerinden, red bölgesi s›n›r›n› ifade eden teorik testistatisti¤i de¤eri belirlenir. H1 hipotezinin tek tarafl› veya çift tarafl› olmas›na göre ;

• Tek tarafl› test için Z α• Çift tarafl› test için Z α�/�2belirlendikten sonra ise red bölgesi tan›mlan›r.Ana kütle varyans›n›n ve standart sapmas›n›n bilindi¤i bir durumda, ana kütle-

den yap›lacak n’er bireylik büyük örneklemeler sonucunda, her seferinde ana küt-le ortalamas› ile örnek kütle ortalamalar› aras› farklar› hesaplar ve bu farklar›n da-¤›l›m›n› araflt›r›rsak, ortalamalar aras› farklar›n da¤›l›m› normal da¤›l›m gösterir. Bunedenle, büyük örneklemeler için ortalamalar›n testinde, test istatisti¤ini afla¤›dakistandart normal de¤er (Zh) eflitli¤i yard›m›yla hesaplayabiliriz.

Burada, σ : ana kütle ve örnek kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n da¤›l›-m›n›n standart hatas› (standart sapmas›) olup, ana kütle birey say›s›n›n çok büyükoldu¤u durumlarda;

kabul edilebilmektedir. Bu eflitlikte ise, σ : ana kütlenin standart sapmas› ve n:örnek kütlenin birey say›s›d›r.

Teorik test istatisti¤inin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas› sonras›nda;• Zh > Zα veya Zα /2 ise, Zh red bölgesinde kalaca¤›ndan H0 hipotezi red edilir.• Zh < Zα veya Zα /2 ise, Zh kabul bölgesinde kalaca¤›ndan H0 hipotezi kabul

edilir ve H1 red edilir.

Bir yap› kimyasallar› üretimi yapan firman›n üretti¤i seramik yap›flt›r›c› torbala-r›n›n üzerinde a¤›rl›¤›n›n 50 kg ve standart sapmas›n› 1 kg oldu¤u yazmaktad›r.Bir müflteri seramik yap›flt›r›c› torbalar› a¤›rl›klar›n›n 50 kg’dan az oldu¤unu id-dia etmektedir. Bu idday› test etmek amac›yla 32 torba örnek tart›lm›fl ve örnek tor-balar›n ortalama a¤›rl›¤› 48 kg olarak bulunmufltur. Müflterinin iddias›n› %5 an-laml›l›k düzeyine göre test ediniz. Müflterinin iddias› do¤rumudur?

Çözüm : Veriler; μ =�50� kg, σ =�1� kg, n=32 ve = 48 kgHipotezler;

H0 : = μ = 50 kg

H1 : < μ = 50 kg (Tek tarafl› test)X

X

X

σσ

X =n

X

ZX

hX

=−µ

σ


Ana kütle standartsapmas›n›n ( σ ) bilinmedi¤i,fakat örnek kütleninstandart sapmas›n›n (S)bilindi¤i büyükörneklemelerde, σ =� Skabul edilebilmektedir.

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,05 için Z çizelgesinden 0,45 olas›l›¤›na karfl›l›k gelen Zα = Z0.05 = 1,645

de¤erini buluruz. (Kitab›n sonundaki Z tablosuna bak›n›z).Red Bölgesini; Zh > Zα ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

Karar : Zh> Z α oldu¤undan H0 hipotezi reddedilir, H1 hipotezi kabul edilir.Müflterinin iddias› do¤rudur. Seramik yap›flt›r›c› torbalar›na 50 kg’dan daha az mal-zeme doldurulmaktad›r.

Karar aflamas›nda, hesaplanan test istatisti¤i teorik istatisti¤in pozitif de¤eri ile karfl›laflt›-r›ld›¤›ndan, örnek kütle ortalamas›n›n ana kütle ortalamas›ndan küçük oldu¤u durumlar-da, test istatisti¤ini hesaplarken bulunan de¤erin mutlak de¤erini almak gerekmektedir.

Bir kent merkezine kullanma suyu sa¤layan göletin kurflun içeri¤i ortalamas›n›n3 mg/kg oldu¤u bilinmektedir. Göletin kurflun içeri¤inde de¤iflim olup olmad›¤›hususunda yap›lan bir araflt›rma kapsam›nda, göletten al›nan 40 örne¤in analiz-leri yap›ld›¤›nda kurflun içeri ortalamas›n›n 3,4 mg/kg ve standart sapmas›n›n 1,5mg/kg oldu¤u belirlenmifltir. %5 anlaml›l›k düzeyine göre göletin kurflun içeri¤i or-talamas›nda de¤iflim olmufl mudur?

Çözüm : Veriler; μ =� 3 mg/kg, n=40, =5 mg/kg ve S= 1,5 mg/kg d›r. Anakütle standart sapmas› (σ ) bilinmemekle birlikte, n>30 oldu¤undan σ =S=1,5 mg/kgalabiliriz.

Hipotezler;

H0 : = μ = 3 mg/kg

H1 : ≠ μ = 3 mg/kg (Çift tarafl› test)

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;

α =0,05 oldu¤undan α /2=0,025 için Z çizelgesinden 0,475 olas›l›¤›na karfl›l›kgelen Zα /2 = Z0.025 = 1,96 de¤erini buluruz. Z tablosuna bak›n›z).

Red Bölgesini; Zh > Zα /2 ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

X

X

X

Zh =−

=48 500 177

11 3,

,

σσ

X n= = =

1

320 177,

ZX

hX

=−µ

σ


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K

www.hedefaof.com

Test istatisti¤i;

Karar : Zh< Zα /2 oldu¤undan H0 hipotezi kabul edilir, H1 hipotezi red edilir.%95 olas›l›kla gölet suyu kurflun kirlili¤i ortalamas›nda de¤iflim olmam›flt›r. Farkl›-l›k rassal olarak, örnekleme hatalar›ndan meydana gelmifl olabilir.

Günlük ortalama üretimi 880 ton olan bir kömür iflletmesinde, yeni bir yöntemin üretimi art-t›rd›¤› ileri sürülmektedir. ‹ddiay› incelemek üzere arda arda 50 günün üretimi ele al›narak ya-p›lan hesaplamalar sonucunda ortalama üretimin 892 ton ve standart sapman›n 21 ton oldu¤ubulunmufltur. Üretimin gerçekten art›p artmad›¤›n› %5 anlaml›l›k düzeyine göre test ediniz.

Küçük Örneklemelerde Ortalamalar›n TestiÖrnek say›s›n›n 30’dan fazla oldu¤u büyük örneklemelerde, örneklerin istatistikselda¤›l›m› normal olabilmektedir. Ancak, araflt›rmaya ayr›lan para, zaman ve mater-yalin k›s›tl› oldu¤u durumlarda büyük örnekleme (n>30) yapma olana¤› olmaya-bilmektedir. Örnek say›s›n›n 30’dan küçük oldu¤u durumlarda ise örneklerin da-¤›l›fl› normal da¤›l›m göstermez. Ayr›ca, örnek say›s› az oldu¤unda (n<30), σ yeri-ne S kullan›lamaz. Örnek büyüklü¤ünün 30’dan az oldu¤u küçük örneklerde, redbölgesinin tan›mlanmas›nda ve test istatisti¤inin hesaplanmas›nda Student (t) da¤›-l›fl›n›n özelliklerinden yararlan›l›r.

Student t da¤›l›fl› simetrik bir da¤›l›fl olup, ortalamas› s›f›rd›r. Normal da¤›l›flagöre daha yayvan bir flekil gösterir. Student t da¤›l›fl›n›n serbestlik derecesi (v) de-nilen bir tane parametresi vard›r ve v=n-1 ile ifade edilir.

Küçük örneklemelerde red bölgesinin tan›mlanmas›nda, öncelikle belirli biranlaml›l›k düzeyi ve serbestlik derecesi için Student t da¤›l›m› çizelgele-rinden, red bölgesi s›n›r›n› ifade eden teorik test istatisti¤i de¤eri belirlenir. H1 hi-potezinin tek tarafl› veya çift tarafl› olmas›na göre ;

• Tek tarafl› test için t α ,v• Çift tarafl› test için tα /2,vbelirlendikten sonra ise red bölgesi tan›mlan›r.Küçük örneklemeler için ortalamalar›n testinde, test istatisti¤ini afla¤›daki eflit-

lik yard›m›yla hesaplayabiliriz.

Burada, : ana kütle ve örnek kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n da¤›l›-m›n›n standart hatas› (standart sapmas›) olup, afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

S SX

n=

SX

th =−X

SX

µ

v = n -1

Zh =−

=3 4 30 237

1 69,,

,

σσ

X n= = =

1 5

400 237

,,

ZX

hX

=−µ

σ


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

t da¤›l›fl›n›n varyans› normalda¤›l›fl›n varyans›ndanbüyük olup, serbestlikderecesi büyüdükçe aradakifark azal›r. Serbestlikderecesi (n-1) > 30oldu¤unda t da¤›l›fl› Zda¤›l›fla çok yaklafl›r.Örne¤in, 30 serbestlikderecesi ile α = 0,05 için

iken

‘dir.Z0 05 1 645. ,=

to, , ,05 30 1 697=

www.hedefaof.com

Teorik test istatisti¤inin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas› sonras›n-da afla¤›daki kararlar› verebiliriz.

• th > tα, v veya tα /2,v ise, th red bölgesinde kalaca¤›ndan H0 hipotezi red edi-lir ve H1 kabul edilir.

• th < tα /v veya tα /2,v ise, th kabul bölgesinde kalaca¤›ndan H0 hipotezi kabuledilir ve H1 red edilir.

Bir kent merkezinde bulunan bulvarda, araçlar›n h›z s›n›rlamas›na uymamalar›nedeniyle ortalama her ay 5 trafik kazas› meydana gelmektedir. Bulvar girifllerineyap›lan h›z kesiciler sonras›nda, 6 ay boyunca meydana gelen ayl›k trafik kazala-r› araflt›r›ld›¤›nda, ayl›k trafik kazas› ortalamas›n›n 4,7 ve standart sapmas›n›n0,7 oldu¤u belirlenmifltir. %5 anlaml›l›k düzeyi için trafik kazalar›nda azalmameydana gelip gelmedi¤ini test ediniz.

Çözüm : Veriler; μ =�5 kaza/ay, n=6, = 4,7 kaza/ay ve S= 0,7 kaza/ay d›r. Hipotezler;

H0 : = μ = 5 kaza/ay

H1 : < μ = 5 kaza/ay (Tek tarafl› test)


α =0,05 ve v=n-1=6-1=5 oldu¤undan, t çizelgesinden tα ,v = t0.05,5 = 2,015 de¤e

rini buluruz. (Kitab›n sonundaki t tablosuna bak›n›z).

Red Bölgesini; th > tα ,v ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

Karar : th < tα ,v oldu¤undan H0 hipotezi kabul edilir, H1 hipotezi red edilir.%95 olas›l›kla h›z kesiciler trafik kazalar›nda azalma sa¤lamam›flt›r. Farkl›l›k rassalolarak, örnekleme hatalar›ndan meydana gelmifl olabilir.

Bir kepçeli yükleyicinin yükleme, kepçeyi doldurma, 20 m tafl›ma, yükü boflaltmave geri dönüfl için geçecek süre hakk›nda katalo¤unda verilen ortalama süre 200saniyedir. ‹fl yerinde çal›flma s›ras›nda yap›lan 12 adet zaman etüdü sonucunda,süre ortalamas› 260 sn ve standart sapmas› 45 sn olarak bulunmufltur. Bu zamanetüdü sonucuna göre, katalogda verilen sürelerin her iflletme koflullar› için de kul-lan›l›p kullan›lmayaca¤›n› %1 anlaml›l›k düzeyi için test ediniz.

th =−

=4 7 50 286

1 049,,

,

S SX

n= = =

0 7

60 286

,,

th =−X

SX

µ

X

X

X


Ö R N E K

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Çözüm : Veriler; μ �=�200� sn, n=12, =260 sn ve S= 45 sn dir.

Hipotezler;H0 : = μ = 200 sn

H1 : ≠ μ = 200 sn (Çift tarafl› test)


α =0,01 ve α / 2 = 0,005 , v=n-1=12-1=11 oldu¤undan, t çizelgesindentα /2.v = t0.005,11 = 3,106 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; th > tα/2, v ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

Karar : th > tα/2, v oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hipotezi kabul edilir. %99olas›l›kla katalogdaki de¤erler her iflletme koflulu için uygun de¤ildir.

Bir bölgede erozyon nedeniyle y›lda 1 km2’lik alandan ortalama 50 ton topra¤›n akarsuya ka-r›flt›¤› bilinmektedir. Erozyonu önlemek amac›yla yap›lan a¤açland›rma çal›flmalar› sonras›n-da 5 y›l boyunca akarsuya kar›flan toprak miktar› araflt›r›lm›fl ve toprak kar›flma miktar› orta-lamas›n›n y›ll›k 35 ton ve standart sapmas›n›n 15 ton oldu¤u belirlenmifltir. %5 anlaml›l›k dü-zeyine göre a¤açland›rma çal›flmalar›n›n erozyon miktar›n› azalt›p azaltmad›¤›n› test ediniz.

ANA KÜTLE ORANINA ‹L‹fiK‹N TESTLER Baz› araflt›rmalarda belirli bir olay›n meydana gelme olas›l›¤› veya belirli bir birimiçindeki oran› önemli olabilmektedir. Oranlarla ifade edilen bu gibi istatistikselolaylarda, ana kütleden çekilecek n birimlik örneklerin oranlar› hesaplanarak, anakütle oran› hakk›nda karar vermek mümkün olabilmektedir.

Ana kütle oran›n›n (π) bilindi¤i bir durumda, ana kütleden elde edilen n birim-lik örnek kütle oran›n›n (P) ana kütle oran› ile ne derecede uyumlu olup olmad›-¤›n› test etmede H0 hipotezini;

H0 : P = π

fleklinde kurar›z. Örnek kütle oran› ile ana kütle oran›n›n birbirine eflit oldu¤u kabu-lüne dayanan H0 hipotezine karfl›t olarak ise H1 hipotezi üç farkl› flekilde kurabiliriz.

H1 : P ≠ π (Çift tarafl› test)

H1 : P > π (Tek tarafl› test)

H1 : P < π (Tek tarafl› test)

th =−

=260 200

12 994 62

,,

S SX

n= = =

45

1212 99,

th =−X

SX

µ

X

X

X


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

www.hedefaof.com

Büyük Örneklemelerde Oranlar›n TestiBüyük örneklemelerde oranlar›n testinde de, belirli bir anlaml›l›k düzeyi için red böl-gesinin tan›mlanmas› ve teorik test istatisti¤inin belirlenmesi, ortalamalar›n testindeki-nin benzeri flekilde yap›l›r. Daha sonra ise, test istatisti¤inin hesaplanmas›na geçilir.

Ana kütleden yap›lacak n’er bireylik büyük örneklemeler sonucunda, her sefe-rinde ana kütle oran› (π) ile örnek kütle oranlar› (P) aras› farklar› hesaplar ve bufarklar›n da¤›l›m›n› araflt›r›rsak, oranlar aras› farklar›n da¤›l›m› normal da¤›l›m gös-terir. Bu nedenle, büyük örneklemeler için oranlar›n testinde, test istatisti¤ini afla-¤›daki standart normal de¤er (Zh) eflitli¤i yard›m›yla hesaplayabiliriz.

Burada, σ π : ana kütle ve örnek kütle oranlar› aras›ndaki farklar›n da¤›l›m›n›nstandart hatas› (standart sapmas›) olup, afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

Bu eflitlikte ise, π.(1-π) : ana kütle oran›n›n varyans› ve n: örnek kütlenin bireysay›s›d›r.

Teorik test istatisti¤inin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas› sonras›n-da, hipotezlerin kabulü veya red edilmesi karar› da, ortalamalar›n testi yöntemin-dekine benzer flekilde yap›l›r.

Bir karayolu ulafl›m flirketi flehirler aras› yolculuklarda koltuklar›n günlük dolulukoran› ortalamas›n›n %60 oldu¤unu tahmin etmektedir. Ancak, son reklam kam-panyas› sonras›nda doluluk oran› ortalamas›n›n art›¤›n› iddia etmektedir. Buamaçla 60 günlük verilerin ortalamas›n› hesaplad›¤›nda doluluk oran› ortalama-s›n›n %75 oldu¤unu hesaplam›flt›r. Ulafl›m flirketi günlük koltuk doluluk oran› or-talamas›n›n art›p artmad›¤›n› %5 anlaml›l›k düzeyi için test ediniz.

Çözüm : Veriler; π=0,60 , n=60, P=0,75 dir. Hipotezler;

H0 : P = π = 0,60

H1 : P > π = 0,60 (Tek tarafl› test)


α =0,05 oldu¤undan Z çizelgesinden 0,45 olas›l›¤›na karfl›l›k gelen Zα = Z0.05= 1,645 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; Zh > Zα ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

ZP

h =− πσπ

σπ π

π =−.( )1n

ZP

h =− πσπ


Ana kütle oran› varyans›n›nbilinmedi¤i, fakat örnekkütle oran› varyans›n›n[P.(1-P)] bilindi¤i büyükörneklemelerde,π .(1- π )=P.(1-P) kabuledilebilmektedir.

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Karar : Zh> Zα oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hipotezi kabul edilir. %95 olas›-l›kla reklam kampanyas› ile ulafl›m flirketinin günlük koltuk doluluk oran› artm›flt›r.

Maden iflletmelerinde kullan›lan kaz› makinelerinin fiili çal›flma/ teorik çal›flma zaman› ora-n›n›n %60 oldu¤u bilinmektedir. Bir araflt›rmac› ise kömür iflletmelerinde 200 adet kaz›c› ma-kine çal›flma oranlar›n› araflt›rd›¤›nda %70 oldu¤unu tesbit etmifltir. Acaba kömür iflletmele-rinde kaz›c› makine çal›flma oranlar› daha m› yüksektir? %1 anlaml›l›k düzeyi için test ediniz.

Küçük Örneklemelerde Oranlar›n Testi Küçük örneklemeler için oranlar›n testinde, test istatisti¤ini afla¤›daki eflitlik yard›-m›yla hesaplayabiliriz.

Burada, Sp : ana kütle ve örnek kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n da¤›l›m›-n›n standart hatas› (standart sapmas›) olup, afla¤›daki eflitlikle hesaplan›r.

Teorik test istatisti¤inin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas› sonras›n-da, hipotezlerin kabulü veya red edilmesi karar› da, küçük örneklemeler için orta-lamalar›n testi yöntemindekine benzer flekilde yap›l›r.

Üniversite s›navlar›na haz›rl›k dershanelerinden birisi, üniversite girifl s›navlar›n-da ö¤rencilerinin %70’inden fazlas›n›n dört y›ll›k lisans programlar›na yerleflebil-di¤ini iddia etmektedir. 2010 y›l›nda rassal olarak seçilen 16 ö¤rencinin 10’u li-sans programlar›na yerleflmifltir. %1 anlaml›l›k düzeyine göre iddian›n do¤ru olupolmad›¤›n› test ediniz.

Çözüm : Veriler; π = 0,70 , n=16, P = 10/16 = 0,625 dir.

Hipotezler;

H0 : P = π = 0,70

H1 : P > π = 0,70 (Tek tarafl› test)


α =0,01 ve v=n-1=16-1=15 oldu¤undan, t çizelgesinden tα .v = t0.01,15 = 2,602de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; th >tα, v ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

SP P

nP =−.( )1

tPSh

P

=− π

Zh =−

=0 75 0 60

0 0632 38

, ,,

,

σπ π

π =−

=−

=.( ) , .( , )

,1 0 60 1 0 60

600 063

n


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Test istatisti¤i;

Karar : th < tα, v oldu¤undan H0 hipotezi kabul, H1 hipotezi red edilir. %99 ola-s›l›kla dershanenin iddias› yanl›flt›r.

ANA KÜTLE ORTALAMALARI ARASINDAK‹FARKLARIN TEST‹Ana kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n testinde amaç, iki ayr› ana kütle ortala-mas› aras›nda fark olup olmad›¤›na hipotez testi yöntemi ile karar vermektir. ‹kiana kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar› test ederken, her iki ana kütlenin de nor-mal da¤›l›ma sahip olmas› ve örneklem seçimlerinin birbirinden ba¤›ms›z olmas›gerekir. Ayr›ca, ana kütle birey say›lar›n›n da sonsuz büyüklükte olmas› gerekir.

Ana kütle ortalamalar›n›n μ 1 ve μ 2 oldu¤u bilinen veya tahmin edilen iki ay-r› ana kütleden n1 ve n2 birimlik örnekler al›r ve örnek kütlelerin ortalamalar›-n› ( 1 ve 2) ve standart sapmalar›n› (S1 ve S2) hesaplarsak, bu örnek kütleortalamalar› yard›m›yla ana kütle ortalamalar› aras›nda anlaml› bir fark olup ol-mad›¤›na hipotez testi yöntemiyle karar verebiliriz. Hipotez testinde, ana kütleortalamalar› aras›nda fark olmad›¤›n› ifade eden H0 hipotezini afla¤›daki gibikurar›z.

H0 : ( 1- 2) = (μ 1−�μ 2) = 0

Örnek kütle ortalamalar› aras›ndaki farklara göre, ana kütle ortalamalar› aras›n-da da fark oldu¤u iddias› ile H1 hipotezini de;

H1 : ( 1- 2 ) > (μ 1-μ 2) = 0 (Tek tarafl› test)

H1 : ( 1- 2 ) < (μ 1-μ 2) = 0 (Tek tarafl› test)

H1 : ( 1- 2 ) ≠ (μ 1-μ 2) = 0 (Çift tarafl› test)

olarak üç farkl› flekilde oluflturabiliriz.

Büyük Örneklemelerde Ana Kütle Ortalamalar› Aras›ndakiFarklar›n TestiBüyük örneklemelerde ana kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar›n testinde test is-tatisti¤i (Zh);

eflitli¤i ile hesaplanmaktad›r. Burada, : ortalama farklar› da¤›l›m›n›n stan-dart hatas› olup, afla¤›daki eflitlikle hesaplanabilir.

σX X1 2−

ZX X

hX X

=− − −

−

( ) ( )1 2 1 2

1 2

µ µσ

X X

X X

X X

X X

X X

th =−

=0 625 0 7

0 1210 62

, ,,

,

SP P

nP =−

=−

=.( ) , .( , )

,1 0 625 1 0 625

160 121

tPSh

P

=− π


www.hedefaof.com

Burada da, σ 1 ve σ 2 : iki ayr› ana kütlenin standart sapmas›d›r.Teorik test istatisti¤inin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas› sonras›n-

da, hipotezlerin kabulü veya red edilmesi karar› da, ortalamalar›n testi yöntemin-dekine benzer flekilde yap›l›r.

Bir kömür havzas›nda bulunan iki ayr› kömür madeni oca¤›ndan al›nan örnek-ler üzerinde yap›lan ›s›l de¤er (kilokalori/kilogram) analizleri sonucunda afla¤›-daki veriler elde edilmifltir. Bu analiz sonuçlar›na göre iki kömür madeni oca¤›-n›n ortalama ›s›l de¤erleri aras›nda önemli bir fark var m›d›r? %95 güven seviye-sine göre test ediniz.

Çözüm : Veriler; μ 1 - μ 2 = 0 kcal/kg, n1= 30 ve n2= 40, 1= 3600 kcal/kg ve

2=3200 kcal/kg, S1=900 kcal/kg ve S2=700 kcal/kg d›r. Ana kütlelerin standartsapmalar› (σ 1 ve σ 2) bilinmemekle birlikte, n1 ve n2>30 oldu¤undan σ 1� =� S1 veσ 2� = S2 kabul edebiliriz.

Hipotezler;

H0 : ( 1 - 2) = (μ 1−μ 2) = 0

H1 : ( 1 - 2) ≠ (μ 1−μ 2) = 0 (Çift tarafl› test)

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,05 oldu¤undan α /2=0,025 için Z tablosundan 0,475 olas›l›¤›na karfl›l›k ge-

len Zα /2 = Z0.025 = 1,96 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; Zh > Zα /2 ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.Test istatisti¤i;

kcal/kg

Karar : Zh> Z α /2 oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hipotezi kabul edilir. %95olas›l›kla iki kömür madeni oca¤›n›n ›s›l de¤er ortalamalar› aras›nda önemli ve an-laml› farklar vard›r.

Zh =(3600-3200)-0

198,1= 2,02

σσ σ

X -X12

1

22

2

2 2

1 2=

n+

n=

900

30+

700

40=198,1

ZX X

hX X

=( - )-( - )1 2 1 2

-1 2

µ µσ

X X

X X

X X

σσ σ

X -X12

1

22

21 2

=n

+n

Kömür

Oca¤› No

n

Örnek Büyüklü¤ü Ortalama (kcal/kg)

X S

Std. Sapma (kcal/kg)

1 30 3600 900

2 40 3200 700


Ana kütlelerin standartsapmalar›n›n bilinmedi¤i( σ 1 ve σ 2), fakat örnekkütlelerin standartsapmalar›n›n (S1 ve S2)hesapland›¤› büyükörneklemelerde (n1 ve n2>30), σ 1� =� S1 veσ 2� =� S2 kabuledilebilmektedir.

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Küçük Örneklemelerde Ortalamalar Aras›ndaki Farklar›n Testi Küçük örneklemelerde ana kütle ortalamalar› aras›ndaki farklar için test istatisti¤i(th);

eflitli¤i ile hesaplanmaktad›r. Burada, : iki örnek kütle ortalama farklar› da¤›l›m›n›nstandart hatas› olup, afla¤›daki eflitlikle hesaplanabilir (Serper, 2000).

Burada, S1 ve S2: iki ayr› örnek kütlenin standart sapmas›; n1 ve n2 : iki ayr› ör-nek kütlenin birey say›lar›d›r.

Küçük örneklemelerde teorik test istatisti¤inin (t α veya t α /2) belirlenmesinde,serbestlik derecesi v = n1+n2 - 2 olarak al›n›r (Serper, 2000).

Küçük örneklemelerde her iki ana kütleden al›nan örneklerin toplam› 30’dan küçük olmal›d›r.

‹ki ayr› firma taraf›ndan üretilen dizüstü bilgisayarlar›n›n pillerinin flarj olduk-tan sonraki dayan›m sürelerinin farkl› oldu¤u iddia edilmektedir. Bu iddiay› ka-n›tlamak amac›yla firmalar›n bilgisayarlar›ndan örnekler al›nm›fl ve dayan›msüreleri test edildi¤inde afla¤›daki veriler elde edilmifltir. Bu analiz sonuçlar›na gö-re iki bilgisayar firmas› ürünlerinin ortalama pil dayan›m süreleri aras›nda önem-li ve anlaml› bir fark var m›d›r? %1 anlaml›l›k düzeyine göre test ediniz.

Çözüm : Veriler; μ 1− μ 2� =� 0 Saat, n1 = 5 ve n2 = 6 , 1=6,2 Saat ve 2=5,4 Sa-at, S1=0,9 Saat ve S2=0,7 Saat dir.

Hipotezler;

H0 : ( 1- 2) = (μ 1− μ 2) = 0

H1 : ( 1- 2) ≠ (μ 1−μ 2) = 0 (Çift tarafl› test)

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,01 ve α/ 2 = 0,005 , v=n1 + n2 - 2 = 5 + 6 - 2 = 9 oldu¤undan, t tablosun-

dan t α /2.v = t0.005,9 = 3,250 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; th>tα /2,v ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

X X

X X

X X

Sn S n S

n n nX -X1 1

22 2

2

1 2 1 21 2

=( . )+( . )

n + -2.

1+

1

tX X

ShX X

=( - )-( - )1 2 1 2

-1 2

µ µ

Bilgisayar

Firma No

n

Örnek Büyüklü¤ü Ortalama (Saat)

X S

Std. Sapma (Saat)

1 5 6,2 0,9

2 6 5,4 0,7


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K

www.hedefaof.com

Test istatisti¤i;

Karar : th< tα/ 2,v oldu¤undan H0 hipotezi kabul, H1 hipotezi red edilir. %99olas›l›kla bilgisayar firmalar›n›n ürünlerinin ortalama pil ömürleri aras›nda anlama-l› bir fark yoktur.

Bir ilaç firmas› eski A ilac›na göre yeni gelifltirdi¤i B ilac›n›n ayn› hastal›¤a yakalanm›fl ki-flilerin ortalama iyileflme sürelerini daha da k›saltt›¤›n› iddia etmektedir. Bu amaçla ayn›hastal›¤a yakalanm›fl iki farkl› hasta grubuna ilaçlar verilmifl ve afla¤›daki veriler elde edil-mifltir. %5 anlaml›l›k düzeyine göre yeni gelifltirilen ilaç iyileflme süresini azaltm›fl m›d›r?

VARYANSLARIN TEST‹Normal da¤›l›ml› ve varyans› bilinen bir ana kütleden n bireylik örnekleme yapa-rak bu örnek kütlenin varyans›n› (S2) hesaplarsak, S2’nin ana kütle varyans›ndan(σ 2) farkl› oldu¤u konusundaki bir iddiay› hipotez testi yöntemiyle test edebiliriz.Büyük örneklemelerde (n ≥ 30) , örnek kütle varyans› ile ana kütle varyans› birbi-rine birbirine eflit (σ 2 = S 2) kabul edilebildiklerinden, örnek kütle varyans› yard›-m›yla ana kütle varyans› hakk›nda karar vermek mümkündür. Bu nedenle, var-yanslar›n testi genellikle küçük örneklemeler için yap›lmaktat›r.

Ana kütle varyans›n›n test edilmesinde H0 hipotezi;

H0 : S 2 = σ 2

fleklinde kurulur. Uygulanan yeni teknoloji veya yöntemin ana kütle varyans›n› de-¤ifltirmedi¤i kabulüne dayanan H0 hipotezine karfl›t olarak ise H1 hipotezi üç fark-l› flekilde oluflturulabilir.

H1 :S 2 ≠ σ 2 (Çift tarafl› test)

H1 :S 2 > σ 2 (Tek tarafl› test)

H1 :S 2 < σ 2 (Tek tarafl› test)

th =(6,2-5,4)-0

3,87= 0,21

Sn S n S

n n n nX X1 2-1 1

22 2

2

1 2 1 2

2

=( . )+( . )

+ -2.

1+

1=

(5.6,2 ))+(6.5,4 )

5+6-2.

1

5+

1

6= 3,87

2

tX X

ShX X

=( - )-( - )1 2 1 2

-1 2

µ µ

‹laç Ad›n

Örnek Büyüklü¤ü Ortalama Süre

(Saat)

X S

Std. Sapma

(Saat)

A 10 48 12

B 12 38 10


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

www.hedefaof.com

Varyanslar›n testinde red bölgesinin tan›mlanmas›nda ve test istatisti¤inin he-saplanmas›nda Khi-kare ( χ 2) da¤›l›fl›ndan yararlan›lmaktad›r. Red bölgesinin ta-n›mlanmas›nda, öncelikle belirli bir α anlaml›l›k düzeyi ve v=n-1 serbestlik dere-cesi için χ 2 da¤›l›m› çizelgelerinden, red bölgesi s›n›r›n› ifade eden teorik test ista-tisti¤i de¤eri belirlenir.

Varyanslar›n testinde, test istatisti¤ini afla¤›daki eflitlik yard›m›yla hesaplayabiliriz.

Burada, S2= örnek kütle varyans›n›, σ 2= ana kütle varyans›n› ve n= örnek küt-le birey say›s›n› göstermektedir.

Teorik test istatisti¤inin belirlenmesi ve test istatisti¤inin hesaplanmas› sonras›n-da afla¤›daki kararlar› verilebiliriz.

• veya ise, red bölgesinde kalaca¤›ndan H0 hipotezi

red edilir ve H1 kabul edilir.

• veya ise, kabul bölgesinde kalaca¤›ndan H0 hipotezi

kabul edilir ve H1 red edilir.

Bir çelik halat fabrikas›n›n üretti¤i 20 mm çapl› halatlar›n en küçük kopma mu-kavemetlerinin 225 kN ve standart sapmas›n›n 25 kN oldu¤u bilinmektedir. Ancakbir asansör imalatç›s› firma, çelik halat fabrikas›ndan sat›n ald›¤› 20 mm çapl› 10adet halattan ald›¤› numuneler üzerinde yapt›¤› deneyler sonucunda kopma mu-kavemeti ortalamas›n›n 250 kN ve standart sapmas›n› 35 kN bulmufltur. Bununüzerine, çelik halatlar›n kopma mukavemeti standart sapmas›n›n 25 kN’dan faz-la oldu¤unu iddia etmeye bafllam›flt›r. %5 anlaml›l›k düzeyi için asansör firmas›-n›n iddias›n› test edininiz.

Çözüm : Veriler; σ =� 25� kN ve σ 2 = 625 (kN)2 , n = 10 , S=35 kN ve S2=1225(kN)2 dur.

Hipotezler;

H0 : S2 = σ 2 = 625 (kN)2

H1 : S2 > σ 2 = 625 (kN)2 (Tek tarafl› test)


α =0,05 ve v=n-1=10-1=9 oldu¤undan, χ 2 tablosundan = = 16,919de¤erini buluruz. (Kitab›n sonundaki χ 2 tablosuna bak›n›z).

Red Bölgesini; > ise H0 red, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

χσ

h2

2

2=

(n-1).S=

(10-1).1225

625=17,64

χa,v2χh

2

χ0.05,92χa,v

2

χh2χa/2,v

2χ χh a,v2 2>

χh2χa/2,v

2χ χh a,v2 2>

χσ

h2

2

2=

(n-1).S


H1 hipotezinin tek tarafl› veyaçift tarafl› olmas›na göre redbölgesini tan›mlamadakullan›lan teorik testistatisti¤i de¤eri afla¤›dakiflekilde belirlenir. -Tek tarafl› test için

-Çift tarafl› test için χa/2,v2

χa,v2

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Karar : > oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hipotezi kabul edilir. %95olas›l›kla asansör firmas›n›n iddias› do¤rudur. Çelik halat fabrikas›n›n ürün stan-dartlar›n› iyilefltirmesi gerekmektedir.

Bir çimento fabrikas›n›n üretti¤i çimentodan yap›lan betonlar›n sa¤laml›¤›n›n standart sap-mas›n›n 10 kg/cm2 ‘den fazla oldu¤u iddia edilmektedir. ‹ddiay› test etmek amac› ile 16 betonörne¤i al›nm›fl ve bu örneklerin sa¤laml›klar›n›n ortalamas›

–X= 320 kg/cm2 ve standart sap-

mas› S= 14 kg/cm2 olarak bulunmufltur. %5 anlaml›l›k düzeyine göre iddiay› test ediniz.

χa,v2χh

2


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

www.hedefaof.com


‹statistiksel hipotez testi kavramlar›n› aç›klayabil-

mek, test sürecinin aflamalar›n› ve yap›lacak ifllem-

leri s›ralamak.

Hipotez testinde öncelikle, örnek kütleden eldeedilen parametrelerin ana kütle parametreleriyleuyumlu oldu¤unu iddia eden s›f›r hipotezi (Ho

hipotezi) ve uyumlu olmad›¤›n› iddia eden kar-

fl›t hipotez (H1 hipotezi) kurulmaktad›r. Daha son-ra, belirli bir güven düzeyi belirlenerek, örnekkütle da¤›l›m modeline uygun olarak red ve ka-bul bölgeleri tan›mlanmaktad›r. Örnek kütle pa-rametresinin ana kütle parametresinden küçükveya büyük oldu¤u iddias› varsa, red bölgesi tektarafl› olarak; örnek kütle parametresinin ana küt-le parametresine eflit olmad›¤› iddias› varsa dared bölgesi çift tarafl› olarak belirlenmektedir. Örnek kütle ve ana kütle parametreleri aras›nda-ki fark›n standart hataya oran›na test istatisti¤idenilmekte olup, örnek kütleden elde edilmiflortalama, oran, varyans gibi parametrelere ve ör-nekleme büyüklü¤üne göre hesaplanmaktad›r.Hesaplanan test istatisti¤i de¤eri kabul bölgesi-nin içinde kal›rsa H0 hipotezi kabul edilmekte,tersi durumda ise H0 hipotezi red edilmektedir.

Ana kütle ortalamas›, oran› ve varyans› ile iki

ana kütle ortalamalar› aras› farklar›n hipotez

testi uygulamalar›n› yapmak.

Ana kütle ortalamas›, oran› ve iki ana kütle orta-lamalar› aras› farklar›n hipotez testinde, örnekkütlede bulunan örnek say›s›n›n 30’dan büyükoldu¤u (n ≥ 30) ve örneklerin normal da¤›l›mgösterdi¤i durumlarda, belirli bir α anlaml›l›k dü-zeyinde red bölgesinin s›n›r›n› ifade eden teoriktest istatisti¤i de¤eri standart normal da¤›l›m (Z)çizelgelerinden belirlenmektedir.Ana kütle ortalamas›, oran› ve iki ana kütle orta-lamalar› aras› farklar›n hipotez testinde, örnekbüyüklü¤ünün 30’dan az oldu¤u küçük örnekler-de, belirli bir α anlaml›l›k düzeyinde red bölgesi-nin s›n›r›n› ifade eden teorik test istatisti¤i de¤eriStudent (t) çizelgelerinden belirlenmektedir.Var-yanslar›n testinde ise red bölgesinin tan›mlanma-s›nda ve test istatisti¤inin hesaplanmas›nda Khi-kare (χ 2) da¤›l›fl›ndan yararlan›lmaktad›r.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. Bir içme suyu dolum tesisinde üretilen suyun ortala-ma pH’›n›n 7’den büyük oldu¤u iddias›n› test etmekamac›yla 30 damacanadan örnekleme yap›lm›flt›r. Butestte, s›f›r hipotezi nas›l kurulur?

a.

b.

c.

d.

e.

2. Bir içme suyu dolum tesisinde üretilen suyun ortala-ma pH’›n›n 7’den büyük oldu¤u iddias›n› test etmekamac›yla 30 damacanadan örnekleme yap›lm›fl ve ör-nek kütle ortalamas› 7,5 ve standart sapmas› 0,5 olarakbulunmufltur. Bu testte, karfl›t hipotez nas›l kurulur?

a.

b.

c.

d.

e.

3. Ana kütle ortalamas›n›n 50’den büyük olup olmad›-¤›n› %5 anlaml›l›k düzeyi için test edilmesi amac›yla 36bireylik örnek al›nd›¤›nda, örnek kütle ortalamas› 54 vestandart sapmas› 12 olarak belirlenmifltir. Bu durumdatest istatisti¤inin de¤eri ne olur?

a. 1,05b. 1,50c. 1,75d. 2,00e. 4,50

4. Ana kütle ortalamas›n›n 36’dan farkl› olup olmad›¤›-n› test etmek amac›yla 16 bireylik örnekleme yap›lm›flolup, örnek kütlenin ortalamas› 32 ve standart sapmas›8 olarak bulunmufltur. Bu verilerle, teorik test istatisti¤i2,131 ve hesaplanan test istatisti¤i 2,0 bulundu¤una gö-re, ana kütle ortalamas› hakk›nda ne karar verilebilir?

a. Ana kütle ortalamas› 36’dan büyüktür.b. Ana kütle ortalamas› 36’dan küçüktür. c. Ana kütle ortalamas› 32’ye eflittir.d. Ana kütle ortalamas› 32’den küçüktür.e. Ana kütle ortalamas› 36’ya eflittir.

5. Bir ilaç pazarlama flirketi piyasaya yeni ç›kard›klar›bir ilac›n 3 günlük dozunun solunum yolu enfeksiyon-lar›nda %80 oran›ndan daha fazla etkili oldu¤unu iddiaetmektedir. Bir sa¤l›k kuruluflunda ilgili ilaç 62 hastadakullan›lm›fl olup %90 oran›nda iyileflme saptanm›flt›r.%5 anlaml›l›k düzeyinde teorik test istatisti¤i 1,645 ol-du¤una göre, yeni ilac›n solunum yolu enfeksiyonlar›n-da %80 oran›ndan daha fazla etkili oldu¤u iddias› hak-k›nda ne karar verilebilir? (Ana kütle ve örnek kütleoranlar› aras›ndaki farklar›n da¤›l›m›n›n standart hatas›σ p=0,05’dir)

a. Yeni ilaç %80 oran›ndan daha fazla etkilidir.b. Yeni ilaç %80 oran›ndan daha az etkilidir. c. Yeni ilac›n etkili olup olmad›¤› belirsizdir.d. Yeni ilaç %90 oran›ndan fazla etkilidir.e. Yeni ilaç hiç etkili de¤ildir.

6. Bir iflyerinde çal›flan bayan personelin %50’den faz-las›n›n sürücü ehliyeti olmad›¤› iddas›n› test etmek ama-c›yla, rassal olarak yap›lan örnekleme sonucunda 15bayan personelin 6’s›n›n ehliyetinin olmad›¤› belirlen-mifltir. Ana kütle ve örnek kütle ortalamalar› aras›ndakifarklar›n da¤›l›m›n›n standart hatas› Sp = 0,125 oldu¤u-na göre test istatisti¤i (th) kaç olur?

a. 0,5 b. 0,6c. 0,8d. 1,2e. 2,0

7. Ayn› motor gücüne ve a¤›rl›klara sahip iki farkl› mo-del binek arac›n›n 100 km’de tükettikleri yak›t ortala-malar› aras›nda fark olmad›¤› iddia edilmektedir. ‹ddia-y› test etmek amac›yla her iki model binek arac›ndanrassal olarak seçilen 10’ar arac›n yak›t tüketimi ortala-malar› araflt›r›lm›fl ve %5 anlaml›l›k seviyesi için hipoteztesti yap›lm›flt›r. Bu durumda teorik test istataisti¤i ola-rak afla¤›dakilerden hangisi kullan›l›r?

a.

b.

c.

d.

e. t /2,n = t0.025,10 =2,228α

t /2,v = t0.025,9 = 2,262α

t ,v = t0.05,9 =1,833α

Z /2 = Z0.025 =1,96α

Z = Z0.05 =1,645α

X < = 7,5µ

X > = 30µ

X > = 7µ

X = 7≠ µ

X > = 7,5µ

X < = 7µ

X > = 30µ

X = = 30µ

X = = 7µ

X > = 7µ


www.hedefaof.com


8. Uygulanan yeni teknoloji veya yöntemin ana kütlevaryans›n› de¤ifltirmedi¤i iddias› çift tarafl› olarak testedilmek istendi¤inde, belirli bir α anlaml›l›k seviyesiiçin hangi teorik test istatisti¤i kullan›l›r?

a.

b.

c. Z α

d. Z α /2

e. t α ,v

9. Ana kütle standart sapmas› 4 olan bir ana kütledenrassal olarak 17 örnek al›narak örnek kütle varyans› he-sapland›¤›nda 20 oldu¤u belirlenmifltir. Ana kütle var-yans›nda de¤iflim olup olmad›¤› hakk›nda karar ver-mek amac›yla yap›lan hipotez testinde test istatisti¤i neolur?

a. 16b. 17c. 18d. 19e. 20

10. Ana kütle varyans›n›n 25’den büyük oldu¤u iddias›-n› test etmek amac›yla 16 bireylik örnekleme yap›lm›flolup, örnek kütlenin standart sapmas› 6 olarak bulun-mufltur. Bu verilerle, teorik test istatisti¤i 25,0 ve hesap-lanan test istatisti¤i 21,6 bulundu¤una göre, ana kütlevaryans› hakk›nda ne karar verilebilir?

a. Ana kütle varyans› 25’den büyük de¤ildir.b. Ana Kütle varyans› 25’den büyüktür.c. Ana kütle varyans› 25’den küçüktür.d. Ana kütle varyans› 6’dan küçüktür.e. Ana kütle varyans› 6’dan büyük de¤ildir.

1. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Hipotezlerin Kurulmas›”konusuna bak›n›z.

2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Hipotezlerin Kurulmas›”konusuna bak›n›z.

3. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük Örneklemelerde Or-talamalar›n Testi” konusuna bak›n›z.

4. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük Örneklemelerde Or-talamalar›n Testi” konusuna bak›n›z.

5. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Büyük ÖrneklemelerdeOranlar›n Testi” konusuna bak›n›z.

6. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük ÖrneklemelerdeOranlar›n Testi” konusuna bak›n›z.

7. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küçük Örneklemelerde Or-talamalar Aras›ndaki Farklar›n Testi” konusunabak›n›z.

8. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Varyanslar›n Testi” konu-suna bak›n›z.

9. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Varyanslar›n Testi” konu-suna bak›n›z.

10. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Varyanslar›n Testi” konu-suna bak›n›z.


Veriler; μ = 880 ton/gün, n=50, ton/gün veS=21 ton/gün dür. Ana kütle standart sapmas› (σ ) bilin-memekle birlikte, n>30 oldu¤undan σ =S=21 ton/günalabiliriz.Hipotezler;

H0 : = μ = 880 ton/gün

H1 : > μ = 880 ton/gün (Tek tarafl› test)Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,05 oldu¤undan Z çizelgesinden 0,45 olas›l›¤›na

karfl›l›k gelen Zα =Z0.05=1,645 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; Zh > Zα ise H0 red edilir, H1 kabul edi-lir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

σσ

X= =

21

50= 2,97

n

ZhX

X

=- µ

σ

X

X

X = 892

χα/2,V2

χα,V2


www.hedefaof.com


Karar : Zh>Zα /2 oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hipo-tezi kabul edilir. %95 olas›l›kla uygulanan yeni yöntemüretimi artt›rm›flt›r.

S›ra Sizde 2

Veriler; μ = 50 ton/km2 , n=5, = 35 ton/km2 ve S=15ton/km2 d›r. Hipotezler;

H0 : = μ = 50 ton/km2

H1 : < μ = 50 ton/km2 (Tek tarafl› test)

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,05 ve v=n-1=5-1=4 oldu¤undan, t çizelgesinden

t α .v = t0.05,4 = 2,132 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; ise H0 red edilir, H1 kabuledilir fleklinde tan›mlar›z.Test istatisti¤i;

Karar : oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hi-potezi kabul edilir. %95 olas›l›kla a¤açland›rma çal›fl-malar› erezyonu azaltm›flt›r.

S›ra Sizde 3

Veriler; π = 0,60 , n=200, P = 0,70 dir. Hipotezler;

H0 : P = π = 0,60

H1 : P > π = 0,60 (Tek tarafl› test)Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,01 oldu¤undan Z çizelgesinden 0,49 olas›l›¤›na

karfl›l›k gelen Zα =Z0.01=2,33 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; Zh > Zα ise H0 red edilir, H1 kabul edi-lir fleklinde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

Karar : Zh> Zα oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 hipo-tezi kabul edilir. %95 olas›l›kla kömür iflletmelerindekaz›c› makinelerin çal›flma oranlar› daha yüksektir.

S›ra Sizde 4Veriler; μ 1 − � μ 2 =� 0 Saat, n1 = 10 ve n2 = 12 , 1=48 Saatve 2=38 Saat, S1=12 Saat ve S2=10 Saat dir.

Hipotezler;

H0 : ( 1 - 2) = (μ 1− μ 2) = 0

H1 : ( 1 - 2) < (μ 1− μ 2) = 0 (Tek tarafl› test)

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,05 ve v=n1+ n2 - 2 = 10 + 12 - 2 = 20 oldu¤undan,t çizelgesinden tα .v = t0.05,20= 1,725 de¤erini buluruz.Red Bölgesini; ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklin-de tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

Karar : oldu¤undan H0 hipotezi red, H1

hipotezi kabul edilir. %95 olas›l›kla yeni ilaç hastal›kiyileflme süresinde azalma yaratmaktad›r.

S›ra Sizde 5Veriler; σ =� 10kg/cm2 ve σ 2� = 100 (kg/cm2)2 , n = 16 ,S=14 kg/cm2 ve S2=196 (kg/cm2)2 dir. Hipotezler;

th t ,v> α

th =(48-38)-0

4,92= 2,03

Sn S n S

n n nX1-X2=

( 1. 12)+( 2. 2

2)

n1 + 2 -2.

1

1+

1

2

=(10.122))+ (12.102)

10+12-2.

1

10+

1

12= 4,92

thX X

SX X

=( 1 - 2)-( 1 - 2)

1- 2

µ µ

XX

XX

X

X

Zh =0,70-0,60

0,035= 2,86

σπ π

π =.(1- )

=0,60.(1-0,60)

200= 0,035

n

ZhP

=- π

σπ

th t ,v> α

th =35-50

6,71= 2,24

SX =S

n=

15

5= 6,71

th =X -

SX

µ

th t ,v> α

X

X

X

Zh =892-880

2,97= 4,04

www.hedefaof.com


H0 : S2 = σ 2 = 100

H1 : S2 > σ 2 = 100 (Tek tarafl› test)

Anlaml›l›k düzeyine göre teorik test istatisti¤i;α =0,05 ve v=n-1=16-1=15 oldu¤undan, χ 2 çizelgesin

den = = 25,0 de¤erini buluruz.

Red Bölgesini; ise H0 red, H1 kabul edilir flek-linde tan›mlar›z.

Test istatisti¤i;

Karar : oldu¤undan H0 hipotezi red, H1

hipotezi kabul edilir. %95 olas›l›kla çimento fabrikas›-n›n üretti¤i çimentodan yap›lan betonlar›n sa¤laml›¤›-n›n standart sapmas› 10 kg/cm2 ‘den fazlad›r.


Ankara: Baflkent Üniversitesi.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mü-

hendislik Mimarl›k Fakültesi Maden Mühendisli¤iBölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversite-si.

Montgomery, D.C. & Runger G.C. (2003). Applied Sta-

tistics and Probability for Engineers. USA: John Wi-ley & Sons.

Newbold, P. (2005). ‹flletme ve ‹ktisat ‹çin ‹statistik. Ümitfienesen (Çev.). ‹stanbul: Literatür.

Püskülcü, H. & ‹kiz, Fw. (1989). ‹statisti¤e Girifl. ‹zmir:Bilgehan.




χh2

,v2> χα

χσ

h2 =

(n -1).S=

(16-1).196

100= 29,4

2

2

χh2

,v2> χα

χ0.05,152χα,v

2


www.hedefaof.com

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;De¤iflkenler aras› iliflkilerde ba¤›ml›l›k olmas› durumunda, bu iliflkinin fonksiyo-nunu, yönünü ve derecesini belirlemede kullan›lan yöntemleri aç›klayabilecek, De¤iflkenler aras› iliflkilerin do¤rusal oldu¤u durumlar için regresyon mode-li parametrelerini hesaplayabilecek, korelasyon katsay›s›n› hesaplay›p testedebilecek ve regresyon model parametrelerini tahminlerde kullanabilecek,De¤iflkenler aras› iliflkilerin e¤risel (üstel) oldu¤u durumlar için regresyonmodeli parametrelerini hesaplayabilecek, belirlilik katsay›s›n› hesaplay›pregresyon modelinin gözlem de¤erlerini ne derecede aç›klayabildi¤iniyorumlayabilecek bilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Deneysel ‹liflki • Ba¤›ml› De¤iflken• Ba¤›ms›z De¤iflken• Regresyon• Korelasyon Katsay›s›• Serpilme Diyagram›

• Do¤rusal Regresyon • En Küçük Kareler Yöntemi• Normal Denklemler• Standart Hata• Üstel Regresyon• Belirlilik Katsay›s›

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

N


‹statistik

Regresyon veKorelasyon

• DE⁄‹fiKENLER ARASI ‹L‹fiK‹LER• DO⁄RUSAL REGRESYON VE

KORELASYON• E⁄R‹SEL (ÜSTEL) REGRESYON VE

BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI


www.hedefaof.com

DE⁄‹fiKENLER ARASI ‹L‹fiK‹LER Günlük hayat›m›zda ve bilimsel çal›flmalarda karfl›laflt›¤›m›z sorunlar›n ço¤unlu¤u-nun çözümü için, iki veya daha fazla say›da de¤iflken aras›nda bir iliflki olup olma-d›¤›n› araflt›r›r›z. De¤iflkenler aras›nda bir iliflki bulunup bulunmad›¤›n› belirleme-de ve e¤er varsa bu iliflkinin derecesini saptamada, istatistiksel yöntemlerden reg-resyon-korelasyon analizlerini kullan›r›z. Regresyon-korelasyon analizleriyle de-¤iflkenler aras›nda anlaml› bir fonksiyonel iliflkinin varl›¤›n›n belirlenmesindensonra, bu fonksiyon yard›m›yla bir de¤iflken de¤eri için di¤er de¤iflkenin alabile-ce¤i de¤erin tahminini yap›labiliriz.

‹statistiksel anlamda de¤iflkenler aras›ndaki iliflki, bunlar›n kendi aralar›nda ne-den-sonuç iliflkisinin bulunmas› ve de¤erlerinin karfl›l›kl› de¤iflimleri aras›nda birba¤l›l›k olmas› fleklinde anlafl›l›r. Örne¤in, kiflilerin geliri ile harcamalar› ve çocuk-larda yafl ile boy aras›nda bir neden-sonuç iliflkisi bulunmakta olup, kiflilerin gelir-leri de¤ifltikçe harcamalar› ve çocuklar›n yafllar› de¤ifltikçe boylar› da de¤iflmekte-dir. Bu durumda, kiflilerin geliri ile harcamalar› aras›nda ve çocuklar›n yafllar› ileboylar› aras›nda bir iliflki bulundu¤u söylenebilir. Neden niteli¤indeki de¤iflken ilesonuç niteli¤indeki de¤iflken aras›ndaki fonksiyonel iliflkinin belirlenmesinde reg-resyon, iliflkinin güçlü olup olmad›¤›n› belirlemede ise korelasyon analizlerindenyararlanabiliriz.

Belirleyici ve Deneysel ‹liflkiler Baz› de¤iflkenlerin aras›nda belirli bir teoriye dayanan ve kesin bir matematik birfonksiyonla ifade edilen iliflkiler vard›r. Belirleyici (deterministik) iliflkiler olarak daisimlendirilen bu iliflkilerin günümüzde geçerlili¤i teorik olarak ispatlanm›flt›r. Ör-ne¤in, bir borunun kesit alan› F (m2) ve borudan geçen suyun h›z› V (m/sn) ise,borunun kesit alan›, suyun h›z› ve borudan bir saniyede geçen su miktar› Q (m3/sn)aras›nda kesin olarak Q = FV bilinen fonsiyonel iliflkisi vard›r. Bu gibi teorik ola-rak matematiksel fonksiyonu bilinen de¤iflkenler aras› iliflkiler için tekrar regres-yon analizleriyle fonksiyonel iliflki araflt›r›lmas›na gerek yoktur.

Günlük hayatta karfl›lafl›lan baz› olaylar hakk›nda teorik iliflkiler bilinmez. Budurumda, de¤iflkenler için gözlemler yap›ld›ktan sonra öncelikle de¤iflkenler aras›iliflkinin matematiksel modeli belirlenir ve daha sonra bu model parametrelerininhesaplanmas›nda da regresyon analizleri kullan›l›r. Deneysel (ampirik) iliflkilerolarak isimlendirilen bu tür iliflkilerden elde edilebilecek regresyon denklemi ise,

Regresyon ve Korelasyon

Bununla birlikte, regresyon-korelasyon analizlerininhangi tip de¤iflkenleraras›ndaki fonksiyoneliliflkinin araflt›r›lmas›ndakullan›labilece¤inibelirlemek için de¤iflkenleraras› iliflki türlerini debilmek gerekir.

Baz› de¤iflkenler aras›iliflkiler teorik olarakbilinmekle birlikte,matematik eflitli¤in baz›parametrelerinin deneyselolarak saptanmas›gerekebilmektedir. Bu tipde¤iflkenler aras› iliflkilereyar› belirleyici iliflkilerdenilmektedir. Örne¤in,ideal gaz kanununda gazhacmi (V) ile gaz bas›nc› (P)aras›nda P.Vγ = Sabitfleklinde matematiksel biriliflki var olup, buradaki γparametresinin deneyselolarak tahmin edilmesigerekmektedir (Püskülcü ve‹kiz, 1989).

www.hedefaof.com

daha sonraki tahminlerde kullan›labilir. Örne¤in, ifl kazalar›na ifl yerlerinin fizikselfaktörlerinin etkileri hakk›nda kesin bilinen bir teorik iliflki olmamakla birlikte,derlenecek istatistiksel verilerin regresyon analizi ile tahmin amaçl› bir model ge-lifltirilebilir.

Ba¤›ml› ve Ba¤›ms›z De¤iflkenlerDe¤iflkenler aras›ndaki neden-sonuç iliflkisinde neden ba¤›ms›z, sonuç ise ba-¤›ml› de¤iflkendir. Matematiksel olarak ba¤›ml› ve ba¤›ms›z de¤iflken aras›ndakiiliflki Y= f(x) olarak gösterilir. Burada, X: Ba¤›ms›z de¤iflken ve Y: Ba¤›ml› de¤ifl-ken olarak tan›mlan›r. Ba¤›ms›z de¤iflkenlerin de¤erlerini biz ya arzumuza göredüzenleriz veya kontrol etmeden ald›klar› de¤erleri gözleriz. Ba¤›ml› de¤iflken-ler ise ba¤›ms›z de¤iflkenlerin ald›¤› de¤ere göre de¤er al›rlar.

Ba¤›ms›z de¤iflkenin ayr› de¤erler ya da durumlar almas›, araflt›rmac›n›n yapa-ca¤› ayarlamalarla sa¤lan›r. Bununla birlikte, ba¤›ms›z de¤iflkenin alaca¤› de¤erlerya da durumlar gerçek hayatta anlam› olmal› ve aralar›nda yeterince fark olmal›d›r.Örne¤in, çal›flma süresinin verimlili¤e etkilerinin araflt›r›ld›¤› bir durumda, çal›flmasüresini dakikalarla ifade etmenin bir anlam› yoktur. Ayr›ca, ba¤›m›z de¤iflkeninalaca¤› de¤er ya da durumlar›n say›s›, iliflkinin fonksiyonel fleklinin belirlenebilme-si için üçten fazla (n>3) olmal›d›r.

De¤iflkenler aras› iliflkinin matematiksel fonksiyonu do¤rusal, üssel, e¤risel ve-ya çoklu bir model olabilmektedir. Afla¤›daki bölümlerde, do¤rusal regresyon mo-delinin parametrelerinin hesaplanmas› detayl› bir flekilde ele al›nmakta ve dahasonra üstel model parametrelerini hesaplanma yöntemleri hakk›nda bilgiler veril-mektedir.

De¤iflkenler Aras› ‹liflkinin Yönü ve DerecesiDe¤iflkenler aras› iliflkide, de¤iflkenlerin ayn› yönde mi yoksa ters yönlerde mi de-¤ifltikleri önemlidir. Örne¤in iki de¤iflken aras› iliflkide, iki de¤iflken ayn› yöndede¤ifliyorsa yani ba¤›ms›z de¤iflken artarken ba¤›ml› de¤iflken de art›yorsa, bu ilifl-kinin fonksiyonu artan bir fonksiyondur. Buna karfl›l›k, ba¤›ms›z de¤iflken artar-ken ba¤›ml› de¤iflken azal›yorsa, bu iliflkinin fonksiyonu ise azalan bir fonksiyonele¤riye sahiptir.

‹ki de¤iflken aras›ndaki ba¤l›l›¤›n kuvvetine, iliflkinin derecesi denilmektedir.Baz› gözlemlenen de¤iflkenler aras›nda çok kuvvetli fonksiyonel iliflkiler elde edi-lebilirken, baz›lar›nda ise oldukça zay›f bir iliflki elde edilebilmektedir. De¤iflken-ler aras›nda hiçbir iliflkinin olmamas› da söz konusu olabilmektedir De¤iflkenleraras› iliflkinin derecesinin belirlenmesinde korelasyon katsay›s› kullan›lmaktad›r.

BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYON VE KORELASYON Basit do¤rusal regresyon analizinde, tek bir ba¤›ms›z de¤iflken (X) ile ba¤›ml› de-¤iflken (Y) aras›ndaki iliflki do¤rusal fonksiyonla ifade edilir. Basit do¤rusal regres-yonda, do¤runun denklemi;

Y = a + bX

fleklindedir (fiekil 6.1). Burada; a do¤runun sabiti olup, X= 0 oldu¤unda do¤rununY ekseninde kesti¤i de¤eri gösterir. b ise do¤runun e¤imi olup, X’deki bir birimlikde¤iflmenin Y’de yapt›¤› de¤iflikli¤i gösterir. a ve b katsay›lar›na regresyon katsa-y›lar› denilmektedir.


Bir araflt›rmada ba¤›ml›de¤iflken, güvenilir birflekilde ölçülebilir olmal›d›r.Ayr›ca, ba¤›ml› de¤iflkenolarak ölçülen sonucun basitve karmafl›kl›ktan uzakolmas› tercih edilir.

‹ki adet de¤er aras›ndaancak bir do¤rusal iliflkininvar oldu¤u söylenebilirken,veri say›s› artt›kça ba¤›ml›ve ba¤›ms›z de¤iflkenleraras›nda do¤rusal olmayaniliflkiler de görülebilir.

www.hedefaof.com

Serpilme Diyagram›‹ki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin do¤rusal fonksiyona uyup uymad›¤›n› belirlemekiçin regresyon analizine, serpilme diyagram› çizilerek bafllan›r. Serpilme diyagram›,kartezyen koordinatl› bir grafik üzerinde X ve Y de¤erlerine sahip verilerin nokta-sal gösterimidir (fiekil 6.2). Serpilme diyagram›nda noktalar›n oluflturdu¤u flekli in-celeyerek, de¤iflkenler aras›nda do¤rusal fonksiyonla ifade edilebilecek iliflki olupolmad›¤›n›, iliflkinin yönünü ve yaklafl›k derecesini tahmin edebiliriz.

De¤iflkenler aras› iliflkide, her iki de¤iflken birlikte art›yor veya azal›yorsa iliflki-nin yönü pozitif olup, bu durumda de¤iflkenler aras›nda artan bir iliflki oldu¤unusöyleyebiliriz (fiekil 6.3.a). Bununla birlikte, de¤iflkenlerden biri artarken di¤eriazal›yorsa iliflkinin yönü negatif olup, bu durumda da de¤iflkenler aras›nda azalanbir iliflki oldu¤unu söyleyebiliriz (fiekil 6.3.b).

Serpilme diyagram›nda iflaretlenen noktalar ayn› çizgi üzerinde bulunuyorsa,de¤iflkenler aras›nda kesin veya güçlü bir iliflki vard›r (fiekil 6.4.a). Serpilme diyag-

1176. Ünite - Regresyon ve Kore lasyon

fiekil 6.1

Basit do¤rusalregresyon denklemi

fiekil 6.2

Ba¤›ms›z (X) veba¤›ml› (Y)de¤iflken verilerininserpilmediyagram›ndakigörünümü.

Basit do¤rusal regresyondado¤runun e¤imi (bkatsay›s›), iliflkinin yönühakk›nda bize önemli bilgilerverir. E¤er, b’nin iflaretipozitif (+) ise de¤iflkenleraras›nda aratan, negatif (-)ise azalan bir iliflkioldu¤unu anlar›z.

www.hedefaof.com

ram›nda noktalar›n da¤›l›m› herhangi bir yönde de¤iflim e¤ilimi göstermeyecek fle-kilde da¤›n›kl›k gösteriyorsa da, de¤iflkenler aras›nda iliflki olmad›¤›n› ya da iliflki-nin derecesinin zay›f oldu¤unu söyleyebiliriz (fiekil 6.4.b).

Ana kütleden yap›lan gözlem de¤erleri genellikle bir do¤ru üzerinde s›ralanma-y›p, rassall›¤a ba¤l› olarak do¤rudan sapmalar gösterirler. Bu durumda, de¤iflken-ler aras›ndaki do¤rusal iliflkinin denklemi;

Y = a + bX + e

fleklinde, e hata terimini de içerir (fiekil 6.5).


fiekil 6.3

De¤iflkenleraras›ndaartan veazalando¤rusal iliflki

fiekil 6.4

De¤iflkenleraras›ndagüçlü ve zay›fdo¤rusal iliflki

Hata teriminin baz› önemliözellikleri flunlard›r;- Hata terimi e rassal bir

de¤iflken olup, hataterimlerinin ortalamas›s›f›ra eflittir.

- Hata teriminin varyans›sabit olup, kendiortalamalar› etraf›ndaayn› de¤iflkenli¤e sahiptir.

- Hata terimleri kendiortalamalar› etraf›ndasimetrik bir normal da¤›l›flgösterirler.

www.hedefaof.com

En Küçük Kareler YöntemiSerpilme diyagram›nda X de¤erleri ile Y de¤erlerinin çak›flt›¤› gözlem noktalar›n›ngörünüflü do¤rusal bir e¤ilim gösteriyorsa, X ile Y aras›ndaki fonksiyonel iliflkininyaklafl›k olarak do¤rusal olabilece¤i kanaatine var›r›z. Bununla birlikte, gözlemnoktalar› aras›ndan çok say›da do¤ru geçirebiliriz. Önemli olan, X de¤erlerine kar-fl›l›k Y de¤erlerini en küçük hata ile tahmin etmeye yarayacak do¤ruyu (Y’) geçir-mektir. Serpilme diyagram›nda oluflan n adet nokta aras›ndan en küçük hata ile birdo¤ru geçirmede en küçük kareler yöntemi kullan›lmaktad›r.

Xi de¤erlerine karfl›l›k Yi gözlem de¤erleri ile do¤rusal regresyon denklemin-den tahmin edilen teorik Y’i de¤erler aras› farklarla hata terimlerini afla¤›daki gibihesaplayabiliriz (fiekil 6.5).

ei = Yi - Y’i

Y’i = a + bXi

ei = Yi - a - bXi

Hata terimlerinin her iki taraf›n›n karesini al›p, bütün n gözlem için toplarsak;

ifadesini elde ederiz. Hata kareleri toplam›n› en küçük yapabilmek için, E eflitli¤i-nin a ve b katsay›lar›na göre k›smi türevlerini al›p, elde edece¤imiz eflitlikleri s›f›-ra eflitlememiz gerekir.

∂∂

= − − − =

∂∂

= − − −

∑

∑

Ea

Y a bX

Eb

Y a bX X

i i

i i

2 1 0

2

.( ).( )

.( ).( ii ) = 0

E e Y a bXii

n

ii

n

i= = − −= =∑ ∑2

1 1

2( )


fiekil 6.5

Regresyondo¤rusunun hataterimleri

En küçük kareleryönteminde, gözlem verileriaras›ndan geçirilen do¤ru ilegözlem verileri aras›ndakihatalar›n (gözlemlerindo¤rudan olanuzakl›klar›n›n) karelerintoplam› en küçükolmaktad›r. Bu yöntemde, Xde¤erlerine karfl›l›k gelendo¤ru üzerindeki Y’ tahminde¤eri ile Y gözlem de¤eriaras›ndaki farklar›n(hatalar›n) toplam› da s›f›rolmaktad›r.

www.hedefaof.com

K›smi türevi al›n›p s›f›ra eflitlenen bu eflitlikleri afla¤›daki gibi sadelefltirebiliriz.

Bu eflitliklerde de, negatif iflaretli terimleri eflitli¤in sa¤ taraf›na geçirir ve eflit-likleri yeniden düzenlersek, normal denklemler denilen afla¤›daki eflitlikleri eldeederiz.

Bu iki bilinmeyenli (a ve b) iki eflitlik sisteminde, bilinenler olan toplam de¤erleri hesaplanarak yerine konulduktan sonra, eflit-

lik sisteminin çözümü ile bilinmeyen a ve b katsay›lar› hesaplanabilir.Seri de¤erlerinin ortalamadan farklar›n›;

eflitliklerinde oldu¤u gibi hesaplayabiliriz.Normal denklemleri, seri de¤erlerinin ortalamadan farklar› cinsinden yeniden

küçültülmüfl de¤erlerle yazarsak;

eflitliklerini elde ederiz.Seri de¤erlerinin ortalamadan farklar› toplam› s›f›rd›r.

Bu durumda, küçültülmüfl de¤erlerle yaz›lan ikinci eflitlikten geriyeeflitli¤i kal›r ve bu eflitlikten de do¤runun e¤imi olan b katsay›s›-

n› afla¤›daki gibi hesaplayabiliriz.

Birinci normal denklemin her iki taraf›n›n örnek say›s›na (n) bölünmesiyle el-de edece¤imiz eflitlik yard›m›yla da;

do¤rusal regresyon eflitli¤inin sabiti olan a parametresini hesaplar›z.

Y

nnn

a bX

nY a bX a Y bX

i i∑ ∑= +

= + ⇒ = −

bx y

x

i i

i

= ∑∑ 2

x y xi i i= ∑∑ 2

x X X

y Y Y

i i

i i

∑ ∑∑ ∑

= − =

= − =

( )

( )

0

0

y n a b x

x y a x b x

i i

i i i i

= +

= +

∑∑∑∑∑

.

2

x X X y Y Yi i i i= − = −ve

X X Yi i i2∑ ∑ve

Y Xi i∑ ∑,

Y n a b X

X Y a X b X

i i

i i i i

∑ ∑∑∑∑

= +

= +

.

2

( )

( )

− + + =

− + + =

∑∑

Y a bX

X Y aX bX

i i

i i i i

0

02


www.hedefaof.com

Do¤rusal regresyon modelinin parametrelerinin grafiksel görünümü fiekil 6.6’daverildi¤i gibidir. fiekil 6.6’dan da görüldü¤ü gibi, a : do¤runun sabitini ve b : do¤-runun e¤imini göstermektedir. Regresyon do¤rusunun e¤imi olan b parametresi-nin iflareti, de¤iflkenler aras› iliflkinin yönünün bir göstergesidir. E¤er X ba¤›ms›zde¤iflkeni artarken Y’de art›yorsa b parametresinin iflareti pozitif (+), X ba¤›ms›zde¤iflkeni artarken Y azal›yorsa b parametresinin iflareti ise negatif (-) olur.

Örnek 6.1:‹nflaat zemin kaz›s›nda, kaz›lan malzemenin kuvars içeri¤i ile kaz› makinesi

keski ucu afl›nma miktar› aras›ndaki iliflkiyi araflt›rmak üzere yap›lan deneyler so-nucunda afla¤›daki veriler elde edilmifltir. Kuvars içeri¤i ile afl›nma miktar› aras›n-da do¤rusal iliflki varoldu¤u bilindi¤ine göre, regresyon parametrelerini,

a) Normal denklemleri oluflturarak,b) Seri de¤erlerinin ortalamadan farklar›n› kullanarak hesaplay›n›z.

Çözüm: a) Normal denklemler;

oldu¤undan, öncelikle denklemin bilinenlerini hesaplar›z. Ancak, regresyon para-metrelerini hesaplamada, ba¤›ml› ve ba¤›ms›z de¤iflkenin belirlenmesi oldukçaönemlidir. Ele ald›¤›m›z örnekte, kuvars oran›n›n afl›nma miktar›n› etkileme ihti-mali söz konusu oldu¤undan, bu durumda ba¤›ms›z de¤iflken (X) kuvars oran› veba¤›ml› de¤iflken (Y) afl›nma miktar› olacakt›r.

Veri say›s› n=5 dir.

Y n a b X

X Y a X b X

i i

i i i i

∑ ∑∑∑∑

= +

= +

.

2


fiekil 6.6

Regresyondo¤rusunungrafiksel görünümü

Kuvars Oran› (%) Afl›nma Miktar› (mg)

15 5

30 15

45 40

60 70

75 100

www.hedefaof.com

Hesaplanan bu de¤erler normal denklemlerde yerine konulursa;

230 = 5.a + 225.b14025 = 225.a + 12375.b

eflitlik sistemi elde edilir. Bu eflitlik sistemini dengelemek için;

ifllemi yap›ld›¤›nda, afla¤›daki dengelenmifl eflitlik sistemi elde edilir.

10350 = 225.a + 10125.b14025 = 225.a + 12375.b

Bu iki eflitli¤i birbirinden ç›kar›rsak ve b parametresini yaln›z b›rak›rsak, b=1,633 de¤erini elde ederiz. Daha sonra b parametresini herhangi bir normal denk-lemde yerine koyarak a parametresini a= -27,5 olarak hesaplar›z. Bu hesaplamalarsonras›nda ise regresyon do¤rusunu elde ederiz.

a = -27,5 ve b = 1,633

(mg)

b) Seri de¤erlerinin ortalamadan farklar›n› al›rsak, afla¤›daki küçültülmüfl de-¤erleri elde ederiz.

Y = -27,5 + 1,633.X

2255

2302255

52255

225. . . . .= +a b

Y n a b X

X Y a X b X

i i

i i i i

∑ ∑∑∑∑

= +

= +

.

2


X Kuvars Oran› (%)Y Afl›nma Miktar›

(mg) X2 XY

15 5 225 75

30 15 900 450

45 40 2025 1800

60 70 3600 4200

75 100 5625 7500

X = 225∑ Y = 230∑ X 2 = 12375∑ XY = 14025∑

X Kuvars

Oran› (%)

Y Afl›nma

Miktar› (mg) x X X= − y Y Y= − x2 xy

15 5 -30 -41 900 1230

30 15 -15 -31 225 465

45 40 0 -6 0 0

60 70 15 24 225 360

75 100 30 54 900 1620

X

X

= 225

=2255

= 45

∑ Y

Y

= 230

=2305

= 46

∑ x = 0∑ y =∑ 0 x2 2250=∑ xy =∑ 3675

www.hedefaof.com

Regresyon do¤rusunun e¤imi;

Regresyon do¤rusunun sabiti;

Regresyon do¤rusu;

(mg)

Gözlem noktalar› aras›ndan geçen do¤ru afla¤›daki flekildeki gibidir.

Bir kimyasal deneyde kar›flt›rma h›z›na ba¤l› olarak afla¤›daki ürün verim de¤erleri eldeedilmifltir. Kar›flt›rma h›z› ile verim aras›ndaki iliflkinin do¤rusal oldu¤unu göz önüne ala-rak regresyon parametrelerini hesaplay›n›z.

Y .X' = − +27 5 1 633, ,

a Y bX= − = − = −46 1 633 45 27 5( , . ) ,

bx y

x

i i

i

= = =∑∑ 2

36752250

1 633,


fiekil 6.7

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Kar›flt›rma H›z› (devir/dakika) Verim (%)

25 65

30 70

35 74

40 75

45 78

50 82

www.hedefaof.com

Standart Hata ve Tahminlerin Güven Aral›¤›Araflt›rma veya deneysel çal›flmalarda, gözlenen her X de¤erine karfl›l›k gözlenmiflY de¤erleri vard›r. Regresyon analizi ile elde edilen do¤ru denklemi yard›m›yla isegözlenen her X de¤erine karfl›l›k Y’ tahminlerini yapabiliriz. En küçük kareler yön-temiyle regresyon denklemini elde ederken, gözlem de¤erleri ile tahmin de¤erleriaras›ndaki farklar›n (hatalar›n) kareleri toplam›n› en küçük yapt›¤›-m›zdan, en küçük de olsa bir tahmin hatas› vard›r. Gözlem de¤erler ile tahmin de-¤erlerinin toplam› birbirine eflit olmakla birlikte, de¤erler tek tek karfl›laflt›r›ld›¤›n-da aralar›nda az ya da çok farklar olabilmektedir. Bu tahmin hatalar›n›n genel veortalama ölçüsüne tahminlerin standart hatas› denilir.

Basit do¤rusal regresyonda tahminlerin standart hatas›, büyük örneklemelerde(n ≥ 30) ;

küçük örneklemelerde (n < 30) ise;

eflitlikleriyle hesaplan›r. Burada, Sy= tahminlerin standart hatas›, n= gözlem say›s›ve k= regresyon do¤rusundaki parametre say›s›d›r.

Da¤›lma diyagram›nda noktalar›n regresyon do¤rusu etraf›ndaki da¤›l›mlar›n›nortalama bir ölçüsü olan standart hata, yap›lan tahminlerde gerçe¤e nazaran ne ka-dar sapma (hata pay›) beklenildi¤ini gösterir.

Büyük örneklemelerde, regresyon do¤rusuna göre tahmin hatalar›n›n da¤›l›m›normal oldu¤undan, herhangi bir X de¤iflken de¤eri için yap›lacak Y’ noktasal tah-mininin güven aral›¤›n› da, belirli bir güven düzeyi (α) için standart normal de¤er(Zα/2) yard›m›yla belirleyebiliriz.

Küçük örneklemelerde ise regresyon do¤rusuna göre tahmin hatalar›n›n da¤›-l›m›, verilerin azl›¤› nedeniyle normal da¤›l›ma göre daha yayvan oldu¤undan,herhangi bir X de¤iflken de¤eri için yap›lacak Y’ noktasal tahmininin güven aral›-¤›n›, belirli bir güven düzeyi (α) ve v=n-2 serbestlik derecesi için Student t da¤›l›flde¤eri (ta/2, v) yard›m›yla belirleyebiliriz.

Örnek 6.2: Bir tu¤la-kiremit fabrikas›nda kullan›lan kil malzemesinin %Al2O3 içeri¤i ile ku-

surlu ürün oran› aras›ndaki iliflki araflt›r›ld›¤›nda, afla¤›daki veriler için Y' = 3,84 -0,165.X regresyon denklemi elde edilmifltir.

a) Regresyon denklemi ile yap›lacak tahminlerin standart hatas›n› bulunuz.b) Kil malzemesinin %Al2O3 içeri¤i 15 oldu¤unda, %90 güvenirlikle (α = 0,10)

kusurlu ürün oran› (%) güven aral›¤› ne olur?

Y t SV y'

/ , .∓ α 2

Y Z Sy'

/ .∓ α 2

SY Y

n - ky

2

=− ′( )∑

SY Y

ny

2

=− ′( )∑

( )'Y Y− =∑


Basit do¤rusal regresyondenkleminin a ve b olmaküzere iki parametresioldu¤undan, basit do¤rusalregresyon için k=2’dir.

Standart hata büyüdükçetahminlerin güvenilirli¤iazal›r, küçüldükçe ise artar.Standart hatan›n s›f›r (0)olmas› durumunda, gözlemnoktalar› regresyon do¤rusuüzerinde yer al›r.

www.hedefaof.com

Çözüm:a) Y’ = 3,84 - 0,165.X regresyon denklemini kullanarak, gözlemlenen her bir X

de¤eri için tahmin de¤erlerini hesaplayabiliriz.

X=12 için Y’ = 3,84 - 0,165, X = 3,84 - 0,165.12 = 1,86

Küçük örnekleme (n<30) yap›ld›¤›ndan tahminlerin standart hatas›n› afla¤›dakieflitlikle hesaplar›z.

oldu¤undan standart hatay›


b) X=15 %Al2O3 için kusurlu ürün oran›n›n nokta tahmini;

Serbestlik derecesi v = n - k = 5 - 2 = 3’dür%90 güvenirlik seviyesinde α = 0,10 ve α/2 = 0,05 dir. n<30 oldu¤undan Stu-

dent çizelgesinden elde ederiz.

Güven aral›¤›n› eflitli¤inden;

AGS= 1,22 ve ÜGS= 1,50 buluruz.

1,36 (2,353.0,061)∓

Y t SV y'

/ , .∓ α 2

t = t =2,353/2, 0.05,3α v

Y X' , , . , , . , % = − = − =3 84 0 165 3 84 0 165 15 1 36 olarakbuluruuz.

SY Y

n - 2n

S5 - 2

y

2

y

=− ′( )

− = =

= =

∑

∑ ( ) ,

,

'Y Y ve2 0 011 5

0 01100 061,


Al2O3 içeri¤i (%) Kusurlu Ürün Oran› (%)

12 1,8

14 1,6

16 1,2

18 0,9

20 0,5

X Al2O3

içeri¤i (%)

Y Kusurlu

Ürün Oran› (%)Y' (%) Y-Y' (%) (Y-Y' )2

12 1,8 1,86 -0,06 0,0036

14 1,6 1,53 0,07 0,0049

16 1,2 1,20 0 0

18 0,9 0,87 0,03 0,0009

20 0,5 0,54 -0,04 0,0016

( ) ,'Y Y− =∑ 2 0 011

www.hedefaof.com

Bir deneysel çal›flmada 36 adet gözleme dayanan X ve Y de¤iflkenleri aras›nda Y' = 5 +0,2.X do¤rusal iliflkisi elde edilmifltir. Regresyon denklemiyle yap›lacak tahminlerin stan-dart hatas› 0,06 oldu¤una göre, X=1,4 de¤eri için %90 güvenirlikle (α = 0,10) tahmin edi-len de¤erin güven aral›¤› ne olur?

Korelasyon Katsay›s›Regresyon denkleminden elde edilen tahmin de¤erleri ile gözlem de¤erleri aras›n-da fark yoksa ve gözlem de¤erleri regresyon do¤rusu üzerinde yer al›yorsa, reg-resyon denkleminin gözlem de¤erlerini tam olarak aç›klayabildi¤ini ve iki de¤ifl-ken aras›ndaki iliflkinin tam oldu¤unu söyleyebiliriz. Buna karfl›l›k, X de¤erleri içinregresyon denklemi ile yap›lacak tahminlerde belirli bir standart hata hesaplanabi-liyorsa, de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin derecesi standart hatan›n büyüklü¤üne gö-re de¤iflmektedir.

‹ki de¤iflken aras›ndaki do¤rusal regresyon denkleminin gözlenen de¤erleri nederecede aç›klad›¤›n› incelemede ve de¤iflkenler aras› iliflkinin derecesinin belirlen-mesinde korelasyon katsay›s› kullan›l›r. Korelasyon katsay›s›, ba¤›ms›z de¤iflkenX’in ba¤›ml› de¤iflken Y üzerindeki do¤rusal etkisinin derecesini göstermektedir.

Korelasyon katsay›s›n›n (r) hesaplanmas›nda afla¤›daki eflitliklerden birisikullan›labilir.

‹ki de¤iflkenin birlikte de¤iflim ölçüsü olarak da tan›mlanan korelasyon katsa-y›s› -1 ile +1 aras›nda de¤erler alabilmektedir. Korelasyon katsay›s›n›n;

• r = 1 olmas›, de¤iflkenler aras› iliflkinin tam oldu¤unu,• r = 0 olmas› ise de¤iflkenler aras›nda hiçbir iliflkinin olmad›¤›n› gösterir.Ayr›ca, korelasyon katsay›s› 1’e yaklaflt›kça de¤iflkenler aras› iliflkinin güç-

lendi¤ini ve s›f›ra yaklaflt›kça ise zay›flad›¤›n› söyleyebiliriz. Bununla birlikte, ko-relasyon katsay›s› büyüklü¤ünün anlaml›l›¤› de¤erlendirilirken, de¤iflken gözlemsay›lar› da dikkate al›nmal›d›r.

Örnek 6.3: Örnek 6.1’deki verilere kullanarak de¤iflkenler aras› korelasyon katsay›s›n›

hesaplay›n›z.

Çözüm: Gözlem verilerini kullanarak X ve Y de¤iflkenlerinin ortalamalar›n› afla¤›daki gi-

bi hesaplar›z.

Y X

Y X

= =

= = = =

∑ ∑230 225

2305

462255

45

∓

r =(X-X).(Y-Y)

(X-X) . (Y-Y)

r =x.y

x . y

2 2

2 2

∑∑∑

∑∑ ∑


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Korelasyon katsay›s›n›n (r)iflareti yard›m›ylade¤iflkenler aras› iliflkininyönünü de belirlemekmümkündür. Ba¤›ms›zde¤iflken X artarken ba¤›ml›de¤iflken Y de art›yorsakorelasyon katsay›s›n›niflareti pozitif (+), X artarkenY azal›yorsa korelasyonkatsay›s›n›n iflareti negatif(-) olmaktad›r. Ayr›ca,regresyon do¤rusununiflareti ile korelasyonkatsay›s›n›n iflareti de ayn›yönde olmaktad›r.

Korelasyon katsay›s›nagüvenirli¤in artt›r›lmas› verassal nedenlerin etkilerininazalt›labilmesi için gözlemsay›s› mümkün oldu¤uncaartt›r›lmal›d›r. Korelasyonkatsay›s›n›n testi konusundada görülece¤i gibi, anakütleden yap›lacakörnekleme boyutu (gözlemsay›s›) artt›kça korelasyonkatsay›s›n›n standart hatas›azalmaktad›r.

www.hedefaof.com

De¤iflkenlerin ortalamalar› yard›m›yla, seri de¤erlerinin ortalamadan farklar›olan küçültülmüfl x ve y de¤erleri ile bunlara ba¤l› olarak da x2, y2 ve xy de¤erle-rini afla¤›daki çizelgede oldu¤u gibi hesaplar›z.

Korelasyon katsay›s›n›;


S›ra Sizde 1 sorusundaki verileri kullanarak korelasyon katsay›s›n› hesaplay›n›z.

Korelasyon Katsay›s›n›n Test EdilmesiKorelasyon katsay›s›n›n test edilmesi de hipotez testleri bölümünde aç›klanan ifl-lemlerin benzeri bir flekilde gerçeklefltirilmektedir. Korelasyon katsay›s›n›n, anakütleden örneklenen de¤iflken de¤erleri ile hesapland›¤› göz önüne al›narak hipo-tezler oluflturulmaktad›r. Daha önceden ana kütle de¤iflkenleri hakk›nda her han-gi bir iliflki bilinmedi¤inden, H0 hipotezi ana kütle de¤iflkenleri aras› korelasyonuns›f›r oldu¤u ve örnek kütleler aras›nda hesaplanan korelasyonun da s›f›ra eflit ol-mas› gerekti¤i fleklinde oluflturulur. Karfl›t hipotez H1 ise örnek kütleler aras›ndahesaplanan korelasyon katsay›s›n›n rassal olarak hesaplanmad›¤›, gerçekte de¤ifl-kenler aras›nda anlaml› bir iliflki var oldu¤u, dolay›s›yla s›f›ra eflit olmamas› gerek-ti¤i fleklinde oluflturulur.

H0 : r = ρ = 0H1 : r ≠ ρ = 0

Korelasyon katsay›s›n›n testinde red bölgesinin tan›mlanmas›nda teorik test is-tatisti¤i, gözlem say›s› n ≥ 30 ise Z da¤›l›fl›ndan ve n < 30 ise t da¤›l›fl›ndan yarar-lan›larak belirlenir.

Red bölgesi : n ≥ 30 oldu¤unda Zh>Zα/2 ise H0 hipotezi red, H1 kabul edilir.n<30 oldu¤unda th > tα/2,v ise H0 hipotezi red, H1 kabul edilir.Test istatisti¤i Zh veya th, ana kütleden örneklemelerle hesaplanacak r’lerin da-

¤›l›m›n›n standart hatas›na (Sv) ba¤l› olarak afla¤›daki eflitlik yard›m›yla hesaplan›r.

Zh hv

v

tr

S

Sr

n

= =

=−−

12

2

rx y

x y= = =∑

∑ ∑.

. .,

2 2

3675

2250 61700 973


X (%) Y (mg) x X X= − y Y Y= − x2 y2 xy

15 5 -30 -41 900 1681 1230

30 15 -15 -31 225 961 465

45 40 0 -6 0 36 0

60 70 15 24 225 576 360

75 100 30 54 900 2916 1620

x = 0∑ y =∑ 0 x2 2250=∑ y2 6170∑ = xy =∑ 3675

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Do¤rusal regresyoneflitli¤inin iki adetparametresi (a ve b)oldu¤undan, t da¤›l›fl›n›nserbestlik derecesi v = n - 2olur.

www.hedefaof.com

(Zh veya th) > (Zα/2veya tα/2,v) ise H0 red edilir ve iki de¤iflken aras›nda anlam-l› bir do¤rusal iliflki vard›r karar›na var›l›r. Bu durumda, X ve Y de¤iflkenleri ara-s›nda gözlem de¤erleri ile elde edilen regresyon denklemi ile anlaml› ve güvenilirtahminler yap›labilir.

(Zh veya th) < (Zα/2 veya tα/2,v) ise H0 kabul edilir ve iki de¤iflken aras›nda ilifl-ki yoktur karar›na var›l›r. Bu durumda, X ve Y de¤iflkenleri aras›nda gözlem de¤er-leri ile elde edilen regresyon denklemi ile güvenilir tahminler yap›lamaz.

Örnek 6.4 :Örnek 6.3’de hesaplanan korelasyon katsay›s›n›n anlaml›l›¤›n› ve dolay›s›yla el-

de edilen regresyon denklemi ile yap›lacak tahminlerin güvenilir olup olmad›¤›n›α=0,05 güven (anlaml›l›k) düzeyi için test ediniz.

Çözüm :Veriler; n=5 , r=0,973 ve α=0,05 dir. Hipotezler;H0 : r = ρ= 0H1 : r ≠ ρ= 0 (Çift tarafl› test)Gözlem say›s› n<30 oldu¤undan küçük örnekleme yap›lm›flt›r. Bu durumda,

teorik test istatisti¤ini;α/2 =0,025 ve v=n-2=5-2=3 oldu¤undan, t çizelgesinden tα/2.v= t0.025,3 = 3,182

olarak elde ederiz. Red Bölgesini; th>tα/2,v ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.Test istatisti¤i;

Karar : th= 7,316 > t∝/2,v = 3,182 oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 kabul edilir.Korelasyon katsay›s› anlaml›d›r ve tu¤la-kiremit fabrikas›nda kullan›lan kil malze-mesinin %Al2O3 içeri¤i ile kusurlu ürün oran› aras›nda gözlem de¤erleri ile eldeedilen regresyon denklemiyle yap›lacak tahminler %95 olas›l›kla güvenilir olacakt›r.

Bir araflt›rma çal›flmas›nda 10 adet gözleme dayal› X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki iliflkininkorelasyon katsay›s› r=0,89 elde edilmifltir. %5 güven düzeyi için korelasyon katsay›s›n›nanlaml›l›¤›n› test ediniz.

Örnek 6.5 :Bir kent merkezinde ›s›nma döneminde (Ekim-Nisan aylar›) ayl›k ortalama ha-

va s›cakl›klar› ve do¤algaz tüketimlerinin afla¤›daki gibi oldu¤u belirlenmifltir. Ay-l›k ortalama hava s›cakl›¤› ile do¤algaz tüketimi aras›ndaki iliflkinin do¤rusal oldu-¤u tahmin edilmektedir.

S1 rn 2

S1

5 2

t

v

2

v

h

=−−

=−

−=

= =

( , ),

,,

0 9730 133

0 9730 1

2

rSv 333

7 316= ,


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

www.hedefaof.com

a) Basit do¤rusal regresyon denklemini bulunuz.b) Korelasyon katsay›s› ve standart hatay› hesaplay›n›zc) Korelasyon katsay›s›n› test ederek, regresyon denkleminin anlaml› ve güve-

nilir olup olmad›¤›n› yorumlay›n›z (α=0.05).d) Hava s›cakl›¤›n›n 12°C olmas› durumunda günlük do¤al gaz tüketiminin gü-

ven aral›¤›n› %95 güvenirlikle tahmin ediniz.

Çözüm :Ele ald›¤›m›z örnekte, ortalama hava s›cakl›¤›n›n günlük do¤algaz tüketimini

etkileme ihtimali söz konusu oldu¤undan, bu durumda ortalama hava s›cakl›¤› ba-¤›ms›z de¤iflken (X) ve günlük do¤al gaz tüketim miktar› ba¤›ml› de¤iflken (Y) ola-cakt›r. Veri say›s› n=7 dir.

a) Regresyon denklemini;

eflitliklerinden hesaplayabiliriz.

Y7987

X777

bxy

x2

= = = =

= =−

= −∑∑

114 11

1271200

6 355,

a = Y-bXX =114-(-6,355 . 11)=183,905

′ = −Y .X183 905 6 355, ,

b=xy

x

a = Y-bX

2

∑∑


Ortalama Hava S›cakl›¤› (°C) Ort. Günlük Tüketim (1000 m3)

20 62

14 93

8 138

5 174

7 132

10 116

16 88

Y X y x y2 x2 x.y

62 20 -52 9 2704 81 -468

93 14 -21 2 441 4 -42

138 8 24 -4 576 16 -96

174 5 60 -7 3600 49 -420

132 7 18 -5 324 25 -90

116 10 2 0 4 0 0

88 16 -31 5 961 25 -155

∑Y=798 ∑X=77 ∑y=0 ∑x=0 ∑y2=8610 ∑x2=200 ∑x.y= -1271

www.hedefaof.com

Regresyon denkleminden de görüldü¤ü gibi, hava s›cakl›¤› (X) artarken gün-lük do¤al gaz tüketimi azalmaktad›r. Regresyon denklemi e¤iminin iflareti nega-tiftir (-).

b) Korelasyon katsay›s›n›;

olarak hesaplar›z.Tahminlerin standart hatas›;

eflitli¤inden hesaplan›r. Bunun için öncelikle, regresyon denklemini( ) kullanarak her bir X de¤eri için Y' de¤erlerini tahmin ede-riz. Daha sonra, gözlem ile tahmin de¤erleri aras› farklar›n karelerinin toplam›n›buluruz.

c) Korelasyon katsay›s›n›n testi :Veriler; n=7 , r=-0,9686 ve α=0,05dir. Hipotezler;H0 : r = ρ= 0H1 : r ≠ ρ = 0 (Çift tarafl› test)Gözlem say›s› n<30 oldu¤undan küçük örnekleme yap›lm›flt›r. Bu durumda,

teorik test istatisti¤ini;∝/2 =0,025 ve v=n-2=7-2=5 oldu¤undan, t çizelgesinden tα/2.v = t0.025,5 = 2,571

olarak elde ederiz. Red Bölgesini; th>tα/2,v ise H0 red edilir, H1 kabul edilir fleklinde tan›mlar›z.

SY Y

n 2y

2

=− ′( )

−=

−=

∑ 640 7567 2

11 32,

,

Y Y2

− ′( ) =∑ 640 756,

′ = −Y .X183 905 6 355, ,

SY Y

n 2y

2

=− ′( )

−∑

rxy

x . y 200 . 86102 2= =

−= −∑

∑ ∑1271

0 9686,


X Y Y' Y-Y' (Y-Y')2

20 62 56,805 5,195 26,988

14 93 94,935 -1,935 3,744

8 138 133,065 4,935 24,354

5 174 152,13 21,87 478,297

7 132 139,42 -7,42 55,056

10 116 120,355 -4,355 18,966

16 88 82,225 5,775 33,351

www.hedefaof.com

Test istatisti¤i;

Karar : th= 8,726 > t∝/2,v= 2,571 oldu¤undan H0 hipotezi red, H1 kabul edilir.Korelasyon katsay›s› anlaml›d›r ve hava s›cakl›¤› ile günlük do¤al gaz tüketim mik-tar› aras›nda gözlem de¤erleri ile elde edilen regresyon denklemiyle yap›lacak tah-minler, %95 olas›l›kla güvenilir olacakt›r.

d) Hava s›cakl›¤›n›n X=12°C olmas› durumunda günlük do¤al gaz tüketiminin%95 güvenirlikle tahmini;

Y'=183,905-6,355.X

X=12°C için nokta tahmini;

Y'=183,905-(6,355.12)=107,645 (1000 m3)

∝= 0,05 , α/2=0,025 ve v=n-2=7-2=5 oldu¤undan t çizelgesinden; tα/2,v= t0.025,5=2,571 elde ederiz.

AGS = Y'-tα/2,v.Sy =107,645 - (2,571.11,32)=78,541 (1000 m3)

ÜGS = Y'+tα/2,v.Sy=107,645+(2,571.11,32)=136,749 (1000 m3)

Hava s›cakl›¤›n›n X=12°C olmas› durumunda %95 ihtimalle en az 78541 m3 veen fazla da 136749 m3 günlük do¤al gaz tüketiminin olaca¤› tahmin edilmektedir.

E⁄R‹SEL (ÜSTEL) REGRESYON VE BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI Gözlem verilerinin serpilme diyagram›ndaki flekli do¤rusal olmayan bir e¤ri biçimigösteriyorsa, gözlem de¤erleri aras›ndan üstel bir e¤ri geçirilebilece¤i tahmin edi-lebilir. Üstel fonksiyonlar tek tarafl› veya çift tarafl› logaritmik dönüflümler yap›la-rak do¤rusallaflt›r›l›p, do¤rusal regresyon kurallar› uygulanarak regresyon paramet-releri belirlenebilir.

Üstel regresyon denklemi e¤risel bir flekle sahip oldu¤undan, X ve Y de¤iflken-leri aras›ndaki regresyon denkleminin gözlem de¤erlerini tam olarak aç›klay›paç›klayamad›¤›n› ve iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin derecesini belirlemede kore-lasyon katsay›s› ( r ) kullan›lamaz. Üstel regresyon denkleminin gözlenen de¤erle-ri ne derece aç›klay›p aç›klamad›¤›n› anlamada belirlilik katsay›s› (R2 ) kullan›l›r.

Üstel Regresyon Ba¤›ms›z X ile ba¤›ml› Y de¤iflkeni aras›ndaki fonksiyonel iliflkinin fiekil 6.8’dekigibi e¤risel olmas› durumunda, gözlem de¤erleri aras›ndan y=aXb fleklinde bir üs-

S1 rn 2

S1

7 2

t

v

2

v

h

=−−

=− −

−=

= =−

( , ),

,

0 96860 111

0 968

2

rSv

660 111

8 726,

,=


www.hedefaof.com

tel bir e¤ri geçirebiliriz. X ve Y de¤iflkenlerinin her ikisinin de logaritmas›n› al›r veserpilme diyagram›n› tekrar çizersek, üstel fleklin do¤rusallaflt›¤›n› gözlemleriz (fie-kil 6.9).

Üstel fonsiyonun logaritmik dönüflümle do¤rusallaflmas›;

Y=aXb

InY=lna+b.lnX

eflitli¤indeki gibi olur. Logaritmik dönüflüm sonras›nda

Z=lnY, A=lna, B=b ve V=lnX

atamalar› yap›ld›¤›nda;

Z=A+BV

fleklinde do¤rusal regresyon denklemi elde edilebilir. Bu flekilde do¤rusallaflt›r›lanüssel iliflki için, do¤rusal regresyon yönteminde uygulanan yöntemlerle regresyonparametreleri hesaplanabilir.

Do¤rusallaflt›r›lan üstel regresyon denklemi için elde edilecek afla¤›daki normaldenklemlerden A ve B parametreleri hesaplanabilir.


fiekil 6.8

Gözlemde¤erlerinin üstelgörünüflü

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5-2 -1,5 -1 1-0,5 0 0,5

LnX

LnY

fiekil 6.9

Logaritmik gözlemde¤erlerinindo¤rusal görünüflü

www.hedefaof.com

Z ve V logaritmik de¤iflkenleri için küçültme ifllemleriyapt›¤›m›zda da A ve B parametrelerini;

eflitliklerinden hesaplayabiliriz.Hesaplanan A parametresi için a=eA ve b=B dönüflümlerini yaparak da üstel

regresyon denklemini elde ederiz.

Belirlilik Katsay›s› ve Standart hataDo¤rusal regresyonda iki de¤iflken aras›nda iliflki olup olmad›¤›n› veya regresyondo¤rusunun gözlem de¤erlerini aç›klay›p aç›klamad›¤›n› anlamada korelasyon kat-say›s› kullan›lmaktad›r. Korelasyon katsay›s›n›n iflareti, daima do¤runun e¤imininiflaretiyle uyumludur. Üstel regresyon denklemi ise e¤risel oldu¤undan, bu e¤rininbirden fazla e¤imi söz konusudur. Bu durumda, üstel regresyon denklemi için ko-relasyon katsay›s›n› kullanamay›z. Bu nedenle, üstel regresyon denkleminin göz-lem de¤erlerini ne derece aç›klay›p aç›klamad›¤›n› anlamada belirlilik katsay›s›(R2) kullan›l›r.

Belirlilik katsay›s› afla¤›daki eflitlikle hesaplanabilir.

Burada, R2 : belirlilik katsay›s›n›, Sy : regresyon denklemiyle yap›lacak tahmin-lerin standart hatas›n› ve σy : ba¤›ml› de¤iflken Y’nin standart sapmas›n› göster-mektedir.

Belirlilik katsay›s› 0 ie 1 aras›nda de¤erler al›r. Belirlilik katsay›s›n›n s›f›r (R2=0)olmas› durumunda de¤iflkenler aras›nda hiçbir iliflki olmad›¤›, bir (R2=1) olmas›durumunda ise de¤iflkenler aras›nda tam bir iliflki oldu¤u karar›na var›r›z. R2’ninde¤eri 1,0’a yaklaflt›kça belirlilik artar ve de¤iflkenler aras› iliflki güçlenir, 0’a yak-laflt›kça ise belirsizlik artar ve de¤iflkenler aras› iliflki zay›flar.

Üstel regresyon denklemi ile yap›lacak tahminlerde de standart hata;

eflitli¤i ile hesaplan›r. Burada, k = üstel regresyon denklemi parametre say›s›d›r(Üstel regresyon denkleminin a ve b parametresi oldu¤undan k = 2’dir).

SY Y

n ky

2

=− ′( )

−∑

R = 1-S

2 y2

y2σ

Y aX b' =

Bvz

v

A Z BV

=

= −

∑∑ 2

.

z Z Z v V V= − = −ve

Z n A B V

V Z A V b V

i i

i i i i

∑ ∑∑∑∑

= +

= +

.

2


Belirlilik katsay›s› R2’nin0,5’den büyük olmas›(R2>0,5) durumunda,regresyon denkleminingözlem de¤erlerinin%50’den fazlas›yla uyumluoldu¤u ve %50’den fazlas›n›aç›klayabildi¤inisöyleyebiliriz. Ayr›ca, R2>0,5olmas› durumunda,de¤iflkenler aras›nda güçlübir iliflki oldu¤u söylenebilir.

www.hedefaof.com

Ba¤›ml› de¤iflken Y’nin standart sapmas› ise afla¤›daki eflitliklerle hesaplan›r.

• n≥30 için

• n<30 için

Üstel regresyon e¤risine göre tahmin hatalar›n›n da¤›l›m› normal oldu¤undan,herhangi bir X de¤iflken de¤eri için yap›lacak Y’ noktasal tahmininin güven aral›-¤›n› da, gözlem say›s›na göre belirli bir güven düzeyi (α) için standart normal de-¤er (Zα/2) veya Student t istatistik de¤eri (tα/2,v) ile do¤rusal regresyonda oldu¤ugibi belirleriz.

Korelasyon katsay›s›n›n testinde, red bölgesi tan›mlama ve test istatisti¤i hesap-lamada kullan›lan yöntem, belirlilik katsay›s›n›n test edilmesinde kullan›lamaz. An-cak, X ve Y de¤iflkenlerinin logaritmik gözlem de¤erleriyle hesaplanacak korelas-yon katsay›s›n›n testi için, do¤rusal korelasyon katsay›s› testindeki yöntem uygula-nabilir.

E¤risel ve iki den fazla de¤iflkenli regresyon analizlerinde, regresyon denkleminin gözlemde¤erlerini aç›klay›p aç›klamad›¤›nda kullan›lan belirlilik katsay›s›n›n testinde, F testi(varyans analizi) uygulanmaktad›r. F testi bu ünitenin kapsam› d›fl›nda tutulmufltur. F tes-ti hakk›nda ayr›nt›l› bilgiyi Neyran Orhunbilge’nin “Uygulamal› Regresyon ve KorelasyonAnalizi” (‹stanbul Üniversitesi, ‹flletme Fakültesi Yay›nlar› No:267) kitab›ndan elde edebi-lirsiniz.

Örnek : Türkiye Madencilik Sektöründe son befl y›lda meydana gelen ifl kazalar› ile sa-

bit sermaye yat›r›mlar› aras›nda afla¤›daki veriler elde edilmifltir.

a) Sabit sermaye yat›r›mlar› ile ifl kazalar› aras›ndaki fonksiyonel iliflkiyi serpil-me diyagram›nda inceleyerek, iliflkinin do¤rusal veya üstel olup olmad›¤›na kararveriniz.

b) Regresyon denklemini bulunuz.c) Regresyon denklemiyle yap›lacak tahminlerin standart hatas›n› ve belirlilik

katsay›s›n› hesaplay›n›z. Belirlilik katsay›s›n› ele alarak, elde edilen regresyondenkleminin gözlem de¤erlerini ne derecede aç›klayabildi¤ini yorumlay›n›z.

Çözüm : a) Mant›ksal olarak, sabit sermaye yat›r›mlar› ifl kazalar›n› etkiledi¤inden, sabit

sermaye yat›r›mlar› ba¤›ms›z de¤iflken (X) ve ifl kazalar› say›s› ba¤›ml› de¤iflken

σyY Y

n=

−

−∑ ( )2

1

σyY Y

n=

−∑ ( )2


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Sabit Sermaye

Yat›r›m›

(Milyon TL)

‹fl Kazas› Say›s›

707 15040

865 11007

1041 8848

1049 7856

1253 7069

www.hedefaof.com

(Y) dir. X ve Y aras›ndaki fonksiyonel iliflkinin serpilme diyagram›ndaki görünüflüafla¤›daki gibidir.

Serpilme diyagram›ndan da görüldü¤ü gibi, sabit sermaye yat›r›mlar› artt›kça iflkazalar› say›s› e¤risel olarak azalmaktad›r. Bu durumda, X ile Y aras›nda üstel birregresyon iliflkisi oldu¤unu söyleyebiliriz.

b) Üstel regresyon denklemini elde edebilmek için öncelikle X ve Y de¤iflken-leri de¤erlerine logaritmik dönüflümler uygular›z ve daha sonra regresyon para-metrelerini hesaplar›z.

Do¤rusallaflt›r›lm›fl üstel regresyon parametreleri;

Bvz

v= =

−= −∑

∑ 2

0 25720 1894

1 358,

,,

v z vz2 20 1894 0 3606 0 2572= = = −∑ ∑, , ,

VV

nZ

Z

n= = = = = =∑ ∑103 438

520 688

45 8455

9 169,

,,

,

V Z= =∑ ∑103 438 45 845, ,


X Y V (LnX) Z (LnY)

707 15040 20,377 9,618

865 11007 20,578 9,306

1041 8848 20,763 9,088

1049 7856 20,771 8,969

1253 7069 20,949 8,863

V Z v V V= − z Z Z= − v2 z2 vz

20,377 9,618 -0,311 0,449 0,0967 0,2016 -0,1396

20,578 9,306 -0,109 0,137 0,0119 0,0188 -0,0149

20,763 9,088 0,076 -0,081 0,0058 0,0066 -0,0062

20,771 8,969 0,083 -0,200 0,0069 0,0400 -0,0166

20,949 8,863 0,261 -0,306 0,0681 0,0936 -0,0799

www.hedefaof.com

Üstel regresyon parametreleri ve denklemi;

b=B=-1,358

a=eA=e37,263=15244,6.1012

Y'=15244,6.1012.X-1,358

c) Tahminlerin standart hatas›n› afla¤›daki eflitlikle hesaplayabilmek için önce-likle her bir X de¤eri ile Y' de¤erlerini tahmin ederiz.

Belirlilik katsay›s›n›;

eflitli¤inden hesaplar›z. Ancak bunun için öncelikle Y de¤iflkeninin standart sap-mas›n› (σy) hesaplamam›z gerekmektedir.

σyY Y

n=

−

−∑ ( )2

1

R 1S2 y

2

y2

= −σ

SY Y

ny =−

−=

−=∑ ( )

,' 2

28321515 2

526 7

( ')Y Y− =∑ 2 832151

A Z BV= − = − − =. , ( , . , ) ,9 169 1 358 20 688 37 263


X

(106 TL)Y Y' Y-Y' (Y-Y')2

707 15040 14642 398 158295

865 11007 11134 -127 16109

1041 8848 8658 190 36097

1049 7856 8568 -712 507603

1253 7069 6731 338 114046

Y Y Y− ( )Y Y− 2

15040 5076 25765776

11007 1043 1087849

8848 -1116 1245456

7856 -2108 4443664

7069 -2895 8381025

Y

Y

=

= =

∑ 49820

498205

9964( )Y Y− =∑ 2 40923770

www.hedefaof.com

Elde edilen üstel regresyon denklemi, gözlem de¤erlerinin %97,3’ünü aç›klaya-bilmektedir. oldu¤undan, de¤iflkenler aras›nda oldukça güçlübir iliflkinin var oldu¤unu söyleyebiliriz.

Ayn› deprem büyüklü¤ünde bir kent merkezindeki dolgu zeminde uzakl›¤a ba¤l› olarakölçülen en büyük (maksimum) h›zlar afla¤›daki gibidir.a) Uzakl›k ile h›z aras›ndaki fonksiyonel iliflkiyi serpilme diyagram›nda inceleyerek, ilifl-kinin do¤rusal veya üstel olup olmad›¤›na karar veriniz.b) Regresyon denklemini bulunuz.

R2 0 973 0 5= >, ,

σ

σ

yY Y

n=

−

−=

−=

= − = −

∑ ( ),

(

2

140923770

5 13198 6

1R 1S

2 y2

y2

5526 7

3198 60 973

2

2

, )

( , ),=

Uzakl›k(km) H›z(cm/sn)

5 40

10 33

15 32

20 29

25 28


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

www.hedefaof.com


De¤iflkenler aras› iliflkilerde ba¤›ml›l›k olmas› du-

rumunda, bu iliflkinin fonksiyonunu, yönünü ve

derecesini belirlemede kullan›labilecek yöntem-

leri aç›klamak.

De¤iflkenler aras›ndaki iliflki, bunlar›n kendi ara-lar›nda neden-sonuç iliflkisinin bulunmas› ve de-¤erlerinin karfl›l›kl› de¤iflimleri aras›nda bir ba¤-l›l›k olmas› fleklinde anlafl›l›r. De¤iflkenler aras›n-daki neden-sonuç iliflkisinde neden ba¤›ms›z (X),sonuç ise ba¤›ml› de¤iflkendir (Y). De¤iflkenleraras›ndaki fonksiyonel iliflkinin belirlenmesinderegresyon, iliflkinin güçlü olup olmad›¤›n› belir-lemede ise korelasyon analizlerinden yararlana-biliriz. De¤iflkenler aras› iliflkinin regresyon mo-deli parametrelerini belirler ve daha sonraki tah-minlerde kullan›labiliriz.De¤iflkenler aras› iliflkinin fonksiyonu artan veyaazalan olabilir. Baz› gözlemlenen de¤iflkenleraras›nda çok kuvvetli fonksiyonel iliflkiler eldeedilebilirken, baz›lar›nda ise oldukça zay›f biriliflki elde edilebilmektedir. De¤iflkenler aras›ndahiçbir iliflkinin olmamas› da söz konusu olabil-mektedir De¤iflkenler aras› iliflkinin derecesininbelirlenmesinde korelasyon katsay›s› kullan›l-maktad›r.

De¤iflkenler aras› iliflkilerin do¤rusal oldu¤u du-

rumlar için regresyon modeli parametrelerini

hesaplamak, korelasyon katsay›s›n› hesaplay›p

test etmek, ve regresyon model parametrelerini

tahminlerde kullanmak.

Bir ba¤›ms›z de¤iflken (X) ile ba¤›ml› de¤iflken(Y) aras›ndaki iliflkinin serpilme diyagram›ndaY = a + bX fleklinde basit do¤rusal görünüme sa-hip oldu¤u durumlarda, regresyon denklemininparametrelerini en küçük kareler yöntemi ile he-saplayabiliriz. En küçük kareler yöntemiyle eldeetti¤imiz normal denklemler veya küçültülmüflde¤erlerden regresyon parametrelerini (a ve b)hesaplayabilmekteyiz. En küçük kareler yönte-mi, gözlem de¤erleri aras›ndan hata kareleri top-lam›n› en küçükleyecek do¤ru geçirilmesini ga-ranti etmekle birlikte, elde etti¤imiz basit regres-yon modeli ile yap›lacak tahminlerde, tahmin ha-talar› da gözlenebilir. Bu tahmin hatalar›n›n ge-nel ve ortalama ölçüsüne tahminlerin standart

hatas› denilmektedir. Regresyon denklemi ile ya-p›lacak tahminlerin güven aral›¤›n› belirlemede,tahminlerin standart hatas› kullan›maktad›r.‹ki de¤iflken aras›ndaki do¤rusal regresyon denk-leminin gözlenen de¤erleri ne derecede aç›klad›-¤›n› incelemede ve de¤iflkenler aras› iliflkinin de-recesinin belirlenmesinde korelasyon katsay›s›(r) kullan›lmaktad›r. Korelasyon katsay›s› 1’eyaklaflt›kça de¤iflkenler aras› iliflkinin güçlendi¤i-ni ve s›f›ra yaklaflt›kça ise zay›flad›¤›n› söyleye-bilmekteyiz. Korelasyon katsay›s›n›n anlaml›l›¤›-n›n test edilmesinde, hipotez testleri bölümündeaç›klanan ifllemlerin benzeri yöntemler uygulan-maktad›r.

De¤iflkenler aras› iliflkilerin e¤risel (üstel) oldu¤u

durumlar için regresyon modeli parametrelerini

hesaplamak belirlilik katsay›s›n› hesaplay›p reg-

resyon modelinin gözlem de¤erlerini ne derecede

aç›klayabildi¤ini yorumlamak.

Gözlem verilerinin serpilme diyagram›ndaki flek-li üstel bir e¤ri görünümünde ise gözlem de¤er-lerine logaritmik dönüflümler yap›larak do¤rusal-laflt›r›l›p, do¤rusal regresyon kurallar› uygulana-rak regresyon parametreleri hesaplanabilmekte-dir. Üstel regresyon denkleminin gözlenen de-¤erleri ne derece aç›klay›p aç›klamad›¤›n› anla-mada belirlilik katsay›s› (R2 ) kullan›lmaktad›r.

∓

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. Serpilme diyagram›nda basit do¤rusal iliflki gözle-nen de¤iflkenler aras›nda normal denklemler 20=5a+40bve 240=40a+360b oldu¤una göre do¤runun e¤imi (b)ne olur?

a. 1b. 2c. 3d. 6e. 12

2. ‹ki de¤iflken aras›nda azalan bir do¤rusal iliflki var-sa, afla¤›dakilerden hangisi regresyon denkleminin e¤i-mi olabilir?

a. + 0,9 b. + 1,2c. + 2,5d. -1,2e. 0

3. ‹ki de¤iflken aras›nda herhangi bir iliflki yoksa, ko-relasyon katsay›s› ne olabilir?

a. 1b. 0,9c. -0,9d. 0,8e. 0

4. Korelasyon katsay›s› hangi de¤erler aras›nda bulu-nur?

a. -1 ≤ r ≤ +1b. 0 ≤ r ≤ +1c. -1 ≤ r ≤ 0d. -0,5 ≤ r ≤ +0,5e. -0,1 ≤ r ≤ +0,1

5. Bir araflt›rmada n=36 adet gözlem de¤eri aras›ndanY'=32-6.X fleklinde do¤rusal regresyon denklemi geçi-rilmifltir. Tahminlerin standart hatas› SY =2 hesaplanm›flve α=0,10 güven düzeyi için standart normal de¤erinZα/2=1,96 oldu¤u belirlenmifltir. Bu durumda, X=2 içintahminlerin alt güven s›n›r› (AGS) ne olur?

a. 20b. 23,92c. 16,08d. 12e. 3,92

6. Eskiflehir’de son befl y›ll›k ya¤›fl miktar› (X) ile bu¤-day verimi (Y) aras›ndaki iliflki araflt›r›ld›¤›nda do¤rusalbir regresyon iliflkisinin var oldu¤u belirlenmifltir. Reg-resyon denklemi tahminleri ile gözlem de¤erleri farkla-r›n›n kareleri toplam› oldu¤unagöre, tahminlerin standart hatas› nedir?

a. 5b. 25c. 375d. 625e. 1875

7. Eskiflehir’de son befl y›ll›k ya¤›fl miktar› (X) ile bu¤-day verimi (Y) aras›nda araflt›r›lan do¤rusal bir regres-yon denklemi için korelasy›n katsay›s›n›n r=0,96 ve ko-relasyon katsay›s›n›n standart hatas›n›n Sv=0,16 oldu¤ubelirlenmifltir. Bu durumda test istatisti¤inin de¤eri neolur?

a. Zh=2

b. th=2c. Zh=6d. th=6e. th=12

8. Bir araflt›rmada elde edilen üstel regresyon denkle-mi ile yap›lan tahminlerin standart hatas› Sy=4 ve ba-¤›ml› Y de¤iflkeninin standart sapmas› σy=20 olarak el-de edilmifltir. Belirlilik katsay›s› hesaplanarak elde edi-len regresyon denkleminin gözlem de¤erleri hakk›ndane söylenebilir.

a. %4’ünü aç›klayabilmektedir.b. %20’sini aç›klayabilmektedir.c. %56’s›n› aç›klayabilmektedir.d. %90’›n› aç›klayabilmektedir.e. %96’s›n› aç›klayabilmektedir.

9. Afla¤›daki belirlilik katsay›s› de¤erlerinden hangisin-de, tahminlerin standart hatas› en küçüktür?

a. 0,20b. 0,50c. 0,75d. 0,80e. 0,95

( ')Y Y− =∑ 2 1875


www.hedefaof.com


10. Bir madencilik firmas›n›n y›ll›k üretim kapasitesi(X) ile karl›l›¤› (Y) aras›nda Y'=1200.X0,5fleklinde üstelregresyon denklemi elde edilmifltir. Firman›n y›ll›k üre-tim kapasitesi X=40000 ton oldu¤unda, y›ll›k karl›l›¤› neolur?

a. 200.000 TLb. 240.000 TLc. 2.400.000 TLd. 400.000 TLe. 4.000.000 TL

1. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “En Küçük Kareler Yönte-mi” konusuna bak›n›z.

2. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Korelasyon Katsay›s›” ko-nusuna bak›n›z.

3. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Korelasyon Katsay›s›” ko-nusuna bak›n›z.

4. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Korelasyon Katsay›s›” ko-nusuna bak›n›z.

5. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Standart Hata ve Tahmin-lerin Güven Aral›¤›” konusuna bak›n›z.

6.b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Standart Hata ve Tahmin-lerin Güven Aral›¤›” konusuna bak›n›z.

7. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Korelasyon Katsay›s›n›nTest Edilmesi” konusuna bak›n›z.

8. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Belirlilik Katsay›s› ve Stan-dart Hata” konusuna bak›n›z.

9. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Belirlilik Katsay›s› ve Stan-dart Hata” konusuna bak›n›z.

10. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Üstel Regresyon” konusu-na bak›n›z.


www.hedefaof.com


S›ra Sizde 1

Regresyon do¤rusunun e¤imi;

Regresyon do¤rusunun sabiti;

Regresyon do¤rusu;

(%)

S›ra Sizde 2

X=1,4 için nokta tahmini;% olarak buluruz. Y ' ± Z∝/2 . Sy

%90 güvenirlik seviyesinde α=0,10 ve α/2=0,05 dir. n>30 oldu¤undan Z çizelgesinden Zα/2=Ζ0,05 =1,645 elde ederiz.Güven aral›¤›n› Y ' ± Z∝/2 . Sy eflitli¤inden; AGS=5,18 ve ÜGS=5,38 buluruz.

S›ra Sizde 3

5 28 1 645 0 06, ( , . , )∓

Y X' , . ( , . , ) ,= + = + =5 0 2 5 0 2 1 4 5 28

Y X' = +50 4 0 63, , .

a Y bX= − = − =74 0 63 37 5 50 4( , . , ) ,

bx y

x

i i

i

= = =∑∑ 2

275437 5

0 63,

,


X Kar›flt›rma H›z›

(devir/dakika)Y Verim (%) x X X= − y Y Y= − x2 xy

25 65 -12,5 -9 156,25 112,5

30 70 -7,5 -4 56,25 30

35 74 -2,5 0 6,25 0

40 75 2,5 1 6,25 2,5

45 78 7,5 4 56,25 30

50 82 12,5 8 156,25 100

X

X

=

= =

∑ 225

2256

37 5,

Y

Y

=

= =

∑ 444

4446

74

x =∑ 0 y =∑ 0 x2 437 5=∑ , xy =∑ 275

X Y x y x2 y2 xy

25 65 -12,5 -9 156,25 81 112,5

30 70 -7,5 -4 56,25 16 30

35 74 -2,5 0 6,25 0 0

40 75 2,5 1 6,25 1 2,5

45 78 7,5 4 56,25 16 30

50 82 12,5 8 156,25 64 100

x2 437 5=∑ , y2 178=∑ xy =∑ 275

www.hedefaof.com


Korelasyon katsay›s›n›;


S›ra Sizde 4

Veriler; n=10 , r=0,89 ve α=0,05 dir. Hipotezler;H0 : r = = 0H1 : r ≠ ρ = 0 (Çift tarafl› test)Gözlem say›s› n< 30 oldu¤undan küçük örnekleme ya-p›lm›flt›r. Bu durumda, teorik test istatisti¤ini;α/2 =0,025 ve v=n-2=10-2=8 oldu¤undan, t çizelgesin-den tα/2.v = t0.025,8 = 2,306 olarak elde ederiz. Red Bölgesini; ise H0 red edilir, H1 kabuledilir fleklinde tan›mlar›z.Test istatisti¤i;

Karar : th= 5,53 > tα/2,v= 2,306 oldu¤undan H0 hipotezired, H1 kabul edilir. Korelasyon katsay›s› anlaml›d›r.

S›ra Sizde 5

Mant›ksal olarak, uzakl›k deprem dalgas› yay›l›m h›z›n›etkiledi¤inden, uzakl›k ba¤›ms›z de¤iflken (X) ve h›zba¤›ml› de¤iflken (Y) dir. X ve Y aras›ndaki fonksiyoneliliflkinin serpilme diyagram›ndaki görünüflü incelendi-¤inde, X ve Y ara›snda üstel fonksiyonel iliflkinin oldu-¤u tahmin edilmektedir.

Üstel regresyon denklemini elde edebilmek için önce-likle X ve Y de¤iflkenleri de¤erlerine logaritmik dönü-flümler uygular›z ve daha sonra regresyon parametrele-rini hesaplar›z.

Do¤rusallaflt›r›lm›fl üstel regresyon parametreleri;

Üstel regresyon parametreleri ve denklemi;b=B=-0,217a=eA=e4,028=5 6,15

Y X' ,, .= −56 15 0 217

A Z BV= − = − − =. , ( , . , ) ,3 47 0 217 2 567 4 028

Bvz

v= =

−= −∑

∑ 2

0 3511 615

0 217,

,,

v vz2 1 615 0 351= = −∑, ,

VV

nZ

Z

n= = = = = =∑ ∑12 835

52 567

17 3515

3 470,

,,

,

V Z= =∑ ∑12 835 17 351, ,

S1 rn 2

S1

10 2

t

v

2

v

h

=−−

=−

−=

= =

( , ),

,,

0 890 161

0 890 16

2

rSv 11

5 53= ,

t th v> α/ ,2

rx y

x y= = =∑

∑ ∑.

. , .,

2 2

275

437 5 1780 9854

X Y V (LnX) Z (LnY)

5 40 1,609 3,689

10 33 2,303 3,497

15 32 2,708 3,466

20 29 2,996 3,367

25 28 3,219 3,332

V Z v V V= − z Z Z= − v2 vz

1,609 3,689 -0,958 0,219 0,917 -0,210

2,303 3,497 -0,264 0,027 0,070 -0,007

2,708 3,466 0,141 -0,004 0,020 -0,001

2,996 3,367 0,429 -0,103 0,184 -0,044

3,219 3,332 0,652 -0,138 0,425 -0,090

1,615 -0,351

www.hedefaof.com


Akdeniz, F. (2007). Olas›l›k ve ‹statistik. Adana: Nobel.Cula, S. & Muluk, Z. (2006). Temel ‹statistik Yöntemleri.

Ankara: Baflkent Üniversitesi.Çömlekçi, N. (1989). Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri.

‹stanbul: Bilim Teknik.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mü-

hendislik Mimarl›k Fakültesi Maden Mühendisli¤iBölümü. Eskiflehir: Eskiflehir Osmangazi Üniversite-si.

Navidi, W. (2008). Statistics for Engineers and Scien-

tists. New York, NY: McGraw-Hill.Newbold, P. (2005). ‹flletme ve ‹ktisat ‹çin ‹statistik. Ümit

fienesen (Çev.). ‹stanbul: Literatür.Orhunbilge, N. (1996). Uygulamal› Regresyon ve Kore-

lasyon Analizi. ‹flletme Fakültesi Yay›n No: 267. ‹s-tanbul: ‹stanbul Üniversitesi.

Püskülcü, H. & ‹kiz, F. (1989). ‹statisti¤e Girifl. ‹zmir:Bilgehan.





www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Bölgesel de¤iflkenlerin özelliklerini aç›klayabilecek, Semi-variogram fonksiyonunun özelliklerini aç›klayabilecek, Kuramsal semi-variogram model (küresel, üstel ve do¤rusal) parametrelerinihesaplayabilecek ve temel uygulamalarda kullanabilecek bilgi ve becerileresahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Jeoistatistik• Bölgeselleflmifl de¤iflken • Yönsel de¤iflim (anizotropi)• Variogram• Semi-variogram• Külçe varyans› (nugget)

• Eflik de¤er (sill) • Etki mesafesi• Külçe etki oran›• Anizotropi oran›• Örnek çiftleri• Küresel model

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNN

Co¤rafi BilgiSistemleri ‹çinTemel

‹statistik

JeoistatistikselKavramlar

• BÖLGESELLEfiM‹fi DE⁄‹fiKENLER• VAR‹OGRAM VE SEM‹-VAR‹OGRAM• KURAMSAL SEM‹-VAR‹OGRAM

MODELLER‹


www.hedefaof.com

BÖLGESELLEfiM‹fi DE⁄‹fiKENLER Klasik istatistikte, örneklerin birbirinden ba¤›ms›z ve say›sal bir de¤ere sahip bi-reyler olduklar› kabul edilir. Buna karfl›l›k, konumsal veya mekansal örnekler isebelirli bir co¤rafi bölge içerisinde birbirleri aras›nda ba¤›ml›l›¤› ve alansal, ha-cimsel veya a¤›rl›ksal de¤erleri olan örneklerdir. Bu gibi örneklerin klasik istatis-tiksel yöntemlerle analizinin yap›lmas›, önemli belirsizliklere ve hatalara yol aça-bilmektedir. Örne¤in, çevre, ya¤›fl, bitki örtüsü, toprak, jeolojik yap› ve maden-lerin de¤iflkenli¤i bölgesel olarak farkl›l›klar içerebilmekte ve al›nan örnekler,al›nd›¤› konum koordinatlar›yla ve al›nd›¤› miktarla (hacimsel ve a¤›rl›ksal) ifa-de edilebilmektedir.

Klasik istatistik yöntemler, al›nan örneklerin yerlerini (konumlar›n›), birbirleri-ni ne flekilde takip ettiklerini, örneklerin etki alanlar›n›n ne oldu¤unu ve bu etkialan›n›n yönsel de¤ifliminin nas›l oldu¤unu dikkate almayan yöntemlerdir. Bu ne-denle, klasik istatistik yöntemleri kullanan enterpolasyon yöntemleriyle yap›lacaktahminlerde, hata büyüklü¤ü artmakta ve tahminlerin güvenilirli¤i azalmaktad›r.

George Matheron taraf›ndan 1963 y›l›ndan itibaren gelifltirilmeye bafllanm›flolan jeoistatistik, farkl› nicelikte ve duyarl›l›ktaki veri örneklerinin birbiri aras›nda-ki konumsal iliflkisini göz önünde bulunduran uygulamal› istatistik bilim dal›d›r.Jeoistatistik yöntemler, bölgeselleflmifl de¤iflkenler olarak bilinen, bulunduklar› yer-lere göre konumsal farkl›l›k gösteren ve birçok özelli¤in tan›mlanmas›nda kullan›-lan yöntemlerin genel ad›d›r. Jeoistatisti¤in ilk uygulamalar›, maden yataklar›ndanal›nan bölgesel de¤iflkenlik gösteren tenör, kalori ve kal›nl›k gibi örnek de¤erleriile örneklenmemifl noktalar›n de¤erlerinin kestirilmesi ve maden yataklar›nda re-zerv tahmini yap›lmas› çal›flmalar›ndan oluflmufltur. Ancak, daha sonra güçlü ma-tematiksel temelleri olmas› nedeniyle jeoistatistik, demografik de¤iflimler, çevre veiklim de¤iflimlerinin izlenmesi, ya¤›fllar›n tahmini, tar›msal hasat tahmini, bitki, or-man, zemin ve toprak alanlar›ndaki de¤iflimlerin izlenmesi ve haritalanmas› çal›fl-malar›nda kullan›lmaya bafllanm›flt›r.

Belirli bir bölgeye özgü de¤erler alan ve konumlar› koordinatlarla tan›mlananörneklenmifl de¤iflkenlere, bölgeselleflmifl de¤iflkenler denilir. Bölgeselleflmifl de¤ifl-kenler, rassal örneklenmifl de¤iflkenler olmad›klar›ndan, örnekleme yap›lmam›flnoktalar›n bilinmeyen de¤erlerinin tahmininde, rassal örnekleme kurallar›n› kulla-namay›z. Matematiksel bir bak›fl aç›s›yla incelendi¤imizde, bölgeselleflmifl de¤iflke-nin de¤erini bulundu¤u konumun bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.

Jeoistatistiksel Kavramlar

Co¤rafi anlamda bölgeselfarkl›l›klar gösteren,birbirleriyle belirli birmesafe içerisinde ba¤›ml›olan ve miktarsal ölçülerleal›nan örnekler yard›m›ylatahminde, klasik istatistikyöntemler yerinejeoistatistiksel yöntemleruygulamam›z gerekmektedir.

Rassal olarak seçilen ölçmenoktalar›ndaki de¤iflkende¤erleri yersel olarakba¤›ms›zken, seçildiklerialan bir bölge oluflturuyorsabölgesel anlamda birbirleriile iliflkilidir.

www.hedefaof.com

De¤iflkenin konumsal ba¤›ml›l›¤›n› ifade etmek için, x bir noktan›n koordinat›-n› ifade edecek flekilde, Z(x) gösterimi kullan›lmaktad›r. x noktas›nda ölçülmüfl zörnek de¤erini Z(x) rassal de¤iflkeni fleklinde ifade edebiliriz. Böylece Z(x) rassalde¤iflkeni farkl› olas›l›ksal da¤›l›mla her x örnek noktas›nda farkl› z ölçüm de¤eri-ne sahip olabilmektedir. Asl›nda bu karars›z ve düzensiz yap›n›n ard›nda, birbiri-ne yak›n olanlar, birbirine uzak olanlardan daha fazla benzerlik e¤ilimi göstermek-tedir. Bu karakteristik davran›fl veya yap›, bölgeselleflmifl de¤iflkenin konumsal tu-tarl›l›¤›n› göstermektedir. Bu durum bölgeselleflmifl de¤iflkenin iki karakteristik ya-p›s›n› vurgulamaktad›r;

• Do¤al bir oluflumun rassal veya karars›z de¤erleri yersel özellikler gösterebilir.• Do¤al bir oluflumun yap›s› bölgesel anlamda genel da¤›l›m› ile iliflkili olabilir.Olas›l›ksal yorumlama bu iki karakteristik yap›y›, rassal fonksiyonlar›n içinde

göz önünde bulundurmaktad›r (Journel and Huijbregts, 1978).x noktas›nda Z(x) yersel olarak bir rassal de¤iflkendir. Bölgesel olarak incelen-

di¤inde Z(x) ve Z(x+h), h uzakl›¤›na ba¤l› olarak her ölçüm noktas›nda ba¤›ms›zde¤ildir ve konumsal otokorelasyonla birbirleri aras›nda bir iliflki söz konusudur(Journel and Huijbregts, 1978).

Bölgeselleflmifl de¤iflkenlerin özelliklerini afla¤›daki gibi özetleyebiliriz.

Yersellik (Lokalizasyon)Bölgesel de¤iflkenlerin de¤erleri, belirli bir geometrik alan (veya üç boyutlu ola-rak hacim) s›n›rlar› içinde birbirine ba¤›ml› de¤iflimler gösterir. Do¤adan elde edi-len birbirine yak›n mesafedeki veriler benzer özellikler gösterirken, aralar›ndakiuzakl›k artt›kça bu benzerlik azalmaktad›r. Bu durum yersellik (lokalizasyon)kavram› ile aç›klanmaktad›r. Yersellik, belirli konumsal noktalardan al›nan örnekde¤erlerinin, konumlar›na ba¤l› olarak sistematik bir iliflki içinde olmas›n› ifadeetmektedir.

Belirli bir bölgenin herhangi bir noktas›ndaki de¤iflken de¤eri, o noktadan al›-nacak örne¤in flekli, boyutlar› ve do¤rultusu ile de aç›klan›r. Bunlardan herhan-gi birinde yap›lacak de¤ifliklikle, yeni bir bölgeselleflmifl de¤iflken elde edilir. Ör-ne¤in, ayn› yerden 1 kg’l›k ve 10 kg’l›k iki örnek al›nd›¤›m›zda, iki örne¤ide ay-n› yerden almam›za ra¤men, iki ayr› bölgeselleflmifl de¤iflken elde ederiz. Örnekbüyüklükleri birbirinden farkl› oldu¤undan, örneklerin ortalama de¤erleri defarkl›laflacakt›r.

Devaml›l›k Konumsal olarak al›nan baz› örnekler aras›nda belirli bir mesafe içerisinde sürekliveya devaml› bir iliflki gözlenirken, belirli bir mesafeden sonra ise gözlenmez. Bir-birine komflu baz› konumsal örnekler aras›nda ise hiçbir devaml›l›k gözlenmez.Örne¤in, sedimanter orijinli cevherler hidrotermal orijinli cevherlerden, genellikleçok daha iyi devaml›l›k gösterirler. Bununla birlikte, baz› nadir metalik maden (al-t›n, platin gibi) yataklar›nda ise belirli bir devaml›l›k görülmez ve maden yata¤›n-daki cevher da¤›l›m› rassald›r.

Yönsel De¤iflim (Anizotropi) Bir bölgeselleflmifl de¤iflken için al›nan konumsal örne¤in etki alan› bütün yönler-de ayn› uzan›m› göstermeyebilmektedir. Belirli bir yönde, belirli bir mesafe içeri-sinde süreklilik gözlenmesine karfl›l›k, bir baflka yönde süreksiz ve düzensiz de¤i-


www.hedefaof.com

fliklikler görülebilmektedir. Bölgeselleflmifl bir de¤iflken örnekleri aras›nda belirlibir mesafe içerisinde devaml›l›¤›n yönsel farkl›l›klar göstermesi, ilgili de¤iflkeninanizotropik bir de¤iflken oldu¤unu ifade eder.

Geçifller Konumsal olarak al›nan baz› örnekler aras›nda belirli aral›klarla devaml›l›k gözle-nirken, baz› mesafe aral›klar›nda ise devaml›l›k gözlenmeyebilir. Bu olay geçifllerhalinde devam eder.

VAR‹OGRAM VE SEM‹-VAR‹OGRAMJeoistatistiksel yöntemlerde, konumsal de¤iflkenler aras›nda belirli bir uzakl›¤a veyöne ba¤l› bir bölgeselleflmifl iliflkinin var oldu¤u ve bu iliflkinin variogram fonksi-yonu ile ifade edilebilece¤i aç›klanmaktad›r. Variogram fonksiyonu yard›m›yla de-¤iflkenlerin yap›sal özellikleri belirlenebilmekte ve bilinmeyen noktalar›n de¤erle-rinin tahmininde, bu özellikler kullan›labilmektedir.

Bölgeselleflmifl de¤iflkenin de¤erleri aras›ndaki farklar [z(x1)-z(x2)] de¤iflkeninbenzerlik derecesini ortaya koydu¤undan, uzakl›¤a ba¤l› iliflkiyi incelemede önem-lidir. Bölgeselleflmifl de¤iflkenlerden al›nan iki örnek de¤eri aras›ndaki fark, bu ör-neklerin hacmine ve aralar›ndaki uzakl›¤a ba¤l› olarak de¤iflir. Bölgeselleflmifl anakütleden düzenli aral›klarla yap›lan örneklemeler sonucunda, aralar›nda uzakl›kla-ra ba¤l› olarak oluflan örnek çiftleri aras› farklar›n kareleri toplam›n›n örnek çiftisay›s›na oran›na variogram denilmekte olup, bu fonksiyon afla¤›daki gibidir.

Burada, 2γ* (h) = h uzakl›k fark›na göre hesaplanan deneysel variogram, n =örnek çiftlerinin say›s›, z(x) = x noktas›ndan al›nan örne¤in de¤iflken de¤eri,z(x+h) = x noktas›ndan h uzakl›kta al›nan örne¤in de¤eridir.

Variogram›n yar›s› semi-variogram› verir ve afla¤›daki fonksiyonla ifade edilir.

Örneklenen de¤iflken de¤erleri ile elde edilen semi-variogram de¤erlerine, de-neysel semi-variogram de¤erleri denilmektedir. Deneysel semi-variogram de¤erle-rini hesaplamaya bafllamadan önce, örneklenen de¤iflken de¤erlerinin da¤›l›m mo-delinin belirlenmesi gerekmektedir. Konumsal de¤iflkenlerin da¤›l›m›, normal, log-normal veya üstel (eksponansiyel olabilmektedir. E¤er, da¤›l›m modeli araflt›r›lma-dan deneysel semi-variogram hesaplamalar› yap›l›rsa, elde edilen de¤erlere modeluyarlamak mümkün olamayabilir. Örne¤in, lognormal da¤›l›ma sahip bir de¤iflkeniçin deneysel semi-variogram hesaplamalar›n›, de¤iflkenin logaritmik de¤erleri ileyapmazsak, elde edilen de¤erlere uyan model ya hatal› olacakt›r, ya da uygun birmodel bulmak mümkün olamayacakt›r.

Deneysel Semi-Variogram Parametreleri Örneklenen veri çiftleri de¤iflken de¤erleri aras›ndaki aras›ndaki farklar›n kareleritoplam›n›n uzakl›¤a ba¤l› de¤iflimi ile elde edilen deneysel semi-variogram›n ge-

c* 2(h) =

1

2nz(x)-z(x+ h)

∑

2 (h) =1

nz(x)-z(x+ h)* 2

c

∑

1477. Ünite - Jeo istat ist iksel Kavramlar

Variogramhesaplamalar›nda, örnekçiftlerinin say›s›n›n 30’danaz olmamas› tercih edilir.Örnek çiftlerinin say›s›azald›kça, semi-variogramde¤erlerinde afl›r› sapmalargörülmeye bafllamaktad›r.

Semi-variogram, genelanlamda h’n›n artan birfonksiyonudur. ‹ki ayr›noktadan al›nan de¤erler,bu noktalar birbirindenuzaklaflt›¤› oranda farkl›olmaktad›r.

www.hedefaof.com

nel olarak külçe varyans› (nugget), eflik de¤er (sill) ve etki mesafesi olmak üzereüç önemli parametresi vard›r. Bu parametrelerin de¤iflken yap›s›n› aç›klamadakiönemi afla¤›da s›ra ile aç›klanm›flt›r.

Külçe Varyans› (C0)Teorik olarak semi-variogram fonksiyonunun orijin civar›ndaki de¤eri s›f›r “0” ol-mal›d›r. Ancak, baz› de¤iflkenler için elde edilen semi-variogram fonksiyonundaorijinde de süreksizlikler görülebilir ve bu durum da, de¤iflkenin de¤ifliminde kül-çe (nugget) varyans›n›n etkisi gözlemlenir (fiekil 7.1). Semi-variogram›n orjindekisüreksizli¤ini gösteren külçe varyans›, örnekleme ve ölçüm hatalar›ndan veya de-¤iflkenin yap›s›ndan kaynaklanmaktad›r. Örne¤in, alt›n madeni yataklar›nda kaya-lar içerisinde çökelmifl serpinti halinde alt›nlar olabilece¤i gibi, yer yer külçe halin-de alt›n oluflumlar›na da rastlanabilmektedir.

Eflik De¤er (C0+C) Deneysel semi-variogram de¤erlerindeki düzenli flekildeki art›fl›n sona ermesi vebelirli bir tepe noktas›na (eflik de¤ere) ulaflmas›ndan sonra, semi-variogram de¤er-leri sabit kal›r. Semi-variogram de¤erlerinin ulaflt›¤› en üst de¤ere, eflik de¤er (sill)denilir. Bu noktadan sonra iki örne¤in de¤erlerinin ortalama varyasyonu aralar›n-daki uzakl›¤a ba¤l› olmamakta, z(x) ve z(x+h) aras›nda hiçbir iliflki kalmamakta-d›r. γ* (h)’n›n sabit oldu¤u a uzakl›¤›ndan sonra, jeoistatistikle elde edilen sonuçklasik istatistikle elde edilen sonucun ayn›s› olmaktad›r (fiekil 7.1).

Külçe Etki Oran› (ε)Deneysel semi-variogram de¤erlerinden külçe etkisinin (C0), yap›sal varyansa (C)

oran›na külçe etki oran› (ε = C0/C) denilir. Jeoistatistiksel yöntemlerle yap›lacaktahminlerde, külçe etki oran› (ε) ile orant›l› olarak tahmin de¤erlerinde düzeltmeyap›l›r. Külçe etki oran› (külçe etki), de¤iflekenin rassal de¤ifliminin büyüklü¤ünügösterir.

Etki Mesafesi (a)Bölgesel de¤iflkenin iki örnek de¤eri aras›nda, uzakl›¤a ba¤l› iliflkinin bulundu¤uen büyük mesafeye etki mesafesi denir. Deneysel semi-variogram de¤erlerindekiγ* (h)’daki art›fl, etki uzakl›¤› ad› verilen belirli bir a uzakl›¤›n›n ötesinde genellik-le de¤iflmemekte ve sabit kalmaktad›r. Etki mesafesinden daha uzak mesafedekiörnek de¤iflken de¤erleri birbirinden ba¤›ms›z kabul edilir. Etki mesafesine yap›-sal uzakl›k da denilmektedir.

Yönsel Etki Mesafesi Oran› (Anisotropi Oran›) Deneysel semi-variogram analizlerinde, bölgeselleflmifl de¤iflkenin de¤erlerindeuzakl›¤›a ba¤l› yönsel geliflimler olup olmad›¤› da araflt›r›l›r. Deneysel semi-variog-ram de¤erlerinin yönsel de¤iflim gösterdi¤i durumlarda, araflt›r›lan her bir yön içinetki mesafesi hesaplan›r. Yönsel semi-variogram de¤erleri aras›ndan en büyük et-ki mesafesinin (amax ), en küçük etki mesafesine (amin ) oran›na, yönsel etki me-afesi oran› veya anizotropi oran› denilir. Yönsel etki mesafesi oran›, jeoistatistikseltahminlerde kullan›lacak elipsoidal etki alan›n› belirlemede kullan›l›r.


Külçe varyans›, örneklenende¤iflkenin bölgeselhomojenli¤ini gösterir.Yüksek de¤erdeki külçevaryans›, de¤iflkenin çokzay›f flekilde genifl bir alanayay›ld›¤›n› veya örneklemeve analiz hatalar›n›nyap›ld›¤›n› gösterir. Düflükde¤erdeki külçe varyans› isede¤iflkenin en k›samesafede bile devaml›l›¤ave süreklili¤e sahipoldu¤unu gösterir.

Eflik de¤er, genellikle külçevaryans› (C0) ve yap›salvaryans›n (C) toplam›naeflittir (C0+C). Külçe etkisigörülmeyen de¤iflkenlerinsemi-variogram de¤erleriiçin eflik de¤er sadeceyap›sal varyanstan oluflur.Pratikte eflik de¤er,variogram› hesaplamak içinkullan›lan tüm bölgeselde¤iflken de¤erlerininvaryans›na eflittir ( C0+C= σ2).

www.hedefaof.com

Semi-Variogram›n Yönsel De¤iflimi (Anizotropi)Deneysel semi-variogram›n inceledi¤i de¤iflken, eflyönlü (izotrop) bir yap› gösteri-yorsa, di¤er bir de¤iflle yönsel bir da¤›l›m göstermiyorsa ve do¤rultudan ba¤›ms›zise bu tür semivariogramlara ortalama semi-variogram ad› verilir. Ortalama semi-variogram yönden ba¤›ms›z olarak, olanakl› tüm veri çiftlerini deneysel semi-vari-ogram de¤erleriyle hesaplan›r.

Bununla birlikte, semi-variogram fonksiyonunun ayn› eflik (sill) de¤erine, fark-l› yönlerde farkl› etki mesafelerinde ulaflmas› halinde, de¤iflkenin uzakl›¤a ba¤l›de¤ifliminin anizotropik oldu¤u söylenebilir. Örne¤in, jeolojik katmansal yap›lardayatay ve düfley yönde görülen etki uzakl›¤›n›n de¤iflmesi, en belirgin anizotropi-dir. Düfley semivariogram yatay semivariograma k›yasla daha k›sa uzakl›klardaeflik (sill) de¤erine ulafl›r. Dere yataklar›na dik veya paralel tortul (sedimanter) ka-yaçlarda ise yansal anizotropi göze çarpmaktad›r.

Semi-Variogram Fonksiyonunun Orijine Yak›n Davran›fl› Semi-variogram fonksiyonunun orijin civar›ndaki flekli, bölgeselleflmifl de¤iflken-lerin önemli özelliklerini aç›klar. Semi-variogram fonksiyonunun bafllang›ç nok-tas› ile bölgeselleflme olay›n›n devaml›l›¤› aras›nda önemli bir ba¤lant› vard›r. Se-mi-variogram›n bafllang›ç noktas› civar›nda gösterdi¤i davran›fl genel olarak üçtip olmaktad›r.

• Parabolik davran›fl (devaml› tip): Semi-variogram, bafllang›ç noktas› civa-r›nda paraboliktir (fiekil 7.2.a). De¤iflkenin tam anlam›yla düzenli oldu¤unuve devaml›l›¤›n› gösterir.

• Do¤rusal davran›fl (do¤rusal tip): Semi-variogram, bafllang›ç noktas› civar›n-da do¤rusal bir flekilde sürekli art›yor ya da azal›yorsa, bu durum bölgesellefl-mifl de¤iflkenin belirli bir mesafe içinde devaml›l›¤›n› ifade eder (fiekil 7.2.b).

• Orijinde süreksizlik (külçe tip): Bafllang›ç noktas› civar›nda devaml›l›¤›n gö-rülmedi¤i bu duruma külçe (nugget) etkisi denilir (fiekil 7.2.c). Bölgesellefl-mifl de¤iflkenin devaml›l›¤›n›n çok zay›f oldu¤unu ifade eden bu tip davra-n›fl, genellikle nadir metal (alt›n, gümüfl, platin vd.) maden yataklar›ndagözlemlenir.


fiekil 7.1

C0

Külçe

EflikC0+C

γ ∗(h)

Deneyselvariogram

Etki Uzakl›¤›(a)

Variogrammodeli

Semi-VariogramFonksiyonununParametreleri

γ* (h) fonksiyonunun yönselgeliflimini belirleyebilmekiçin, de¤iflik yönler boyuncaelde edilen örnek çiftleriyleayr› ayr› semi-variogramhesaplanmal›d›r. Yönde¤ifltikçe hesaplanacak γ* (h)’lardaki de¤iflikliklerinaraflt›r›lmas›, mümkünanizotropi durumlar›n›, yanide¤iflken de¤erindeki yönselde¤iflkenli¤i ortayaç›karmaktad›r.

www.hedefaof.com

Afla¤›daki fiekil 7.3’de, bir mangan cevheri yata¤›nda 100m aral›klarla yap›lansondajlardan elde edilen ortalama tenör (%Mn) de¤erleri görülmektedir. Bu son-daj verilerini ele alarak, do¤u-bat› yönünde ve kuzey-güney yönünde deneyselsemi-variogram de¤erlerini hesaplay›p, grafiksel olarak gösteriniz. Mangan ma-den yata¤›n›n tenör (%Mn) de¤iflminde yönsel de¤iflim farkl›l›¤› olup olmad›¤›n›yorumlay›n›z.

Çözüm: Öncelikle do¤u-bat› yönü ele al›narak, birbirine 100 m uzakl›kl› örnek çiftleri

aras› deneysel semi-variogram afla¤›da hesaplanm›flt›r. fiekil 7.4’de örnek çiftleriaras› iliflkiler görülmektedir.

c* 2(h)

12n

z(x) z(x h)= − +

∑


fiekil 7.2

Semi-VariogramDavran›fllar›(Tercan ve Saraç,1998)

Ö R N E K

fiekil 7.3

Deneysel semi-variogram›nhesaplanmas› içinkullan›lanmangan cevheriyata¤› sondajsonuçlar›

www.hedefaof.com

γ* (100) = 1,39 (%)2

Do¤u-bat› yönünde 200 m aral›kl› örnek çiftleri aras› iliflkiler fiekil 7.5’de görül-dü¤ü gibi olup, bu durum için,

semi-variogram de¤eri hesaplanm›flt›r.

c∗ =

=(200)

12 33

188 2 85 2

., (%)

c∗ = − + − + − + +(200)1

2 3339 35 35 35 35 322 2 2

.( ) ( ) ( ) ...... (( ) ( )25 24 24 272 2− + −

c∗ =

(100)

12 36

100.

c∗ = − + − + − +(100)1

2 3635 37 37 35 35 342 2 2

.( ) ( ) ( ) .......++ − + −

( ) ( )24 25 25 272 2


fiekil 7.4

Do¤u-bat› yönünde100 m aral›kl›örnek çiftleri aras›iliflki

fiekil 7.5

Do¤u-bat› yönünde200 m aral›kl›örnek çiftleri aras›iliflki

www.hedefaof.com

Do¤u-bat› yönünde 100 m, 200 m, 300 m ve 400 m aral›klarla, kuzey-güney yö-nünde 100 m, 200 m ve 300 m aral›klarla örnek çiftleri aras›nda hesaplanm›fl deney-sel semi-variogram de¤erleri Çizelge 7.1’de verildi¤i gibidir. Bu semi-variogram de¤er-leri, örnekler aras› mesafenin fonksiyonu olarak fiekil 7.6’daki gibi de gösterilebilir.

fiekil 7.6’dan da görüldü¤ü gibi her iki yöndeki yap›da önemli farklar vard›r. Ku-zey-güney semi-variogram› do¤u-bat›dan daha dik olarak yükselmektedir. Bu durum-da do¤u-bat› yönünde daha büyük bir devaml›l›¤›n oldu¤unu söylemek mümkündür.

Bir kent merkezinde bulunan 680 m uzunluklu ana bulvarda, eksoz gaz› yay›l›m›n›n ko-numsal de¤iflmini belirlemek amac›yla 20 m aral›klarla karbon monoksit ölçümleri yap›l-m›fl olup, bulvar bafl›ndan bafllayarak bulvar sonuna kadar yap›lan ölçümlerin sonuçlar›afla¤›da verildi¤i gibidir. Bulvar boyunca yap›lan karbonmonoksit ölçümleri için 20 m ve40 m için semi-variogram de¤erlerini hesaplay›n›z.

YönÖrnekler Aras›

Mesafeler (ft)

Deneysel Semi

Variogram (%)2

Örnek Çiftleri

Say›s›

Do¤u-Bat›

100

200

300

400

1,39

2,85

3,39

5,17

36

33

27

23

Kuzey-Güney

100

200

300

4,86

8,94

15,07

36

27

21


Çizelge 7.1Mangan cevherisondaj örnekleri içiniki ana yöndehesaplanm›fldeneysel semi-variogram de¤erleri

Do¤u-Bat›

Kuzey-Güney

Örnek Çiftleri Aras› Mesafe (m)

fiekil 7.6

Mangan cevherisondaj örnekleriiçin iki ana yöndehesaplanm›fldeneysel semi-variogramde¤erleri grafi¤i

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Ölçüm

Yeri (m)

CO

(ppm)

Ölçüm

Yeri (m)

CO

(ppm)

Ölçüm

Yeri (m)

CO

(ppm)

Ölçüm

Yeri (m)

CO

(ppm)

Ölçüm

Yeri (m)

CO

(ppm)

0 20 140 35 280 44 420 34 560 26

20 22 160 37 300 48 440 37 580 26

40 28 180 42 320 44 460 33 600 28

60 26 200 36 340 46 480 33 620 27

80 33 220 38 360 37 500 29 640 29

100 38 240 39 380 39 520 32 660 24

120 33 260 41 400 39 540 27 680 28

www.hedefaof.com

KURAMSAL SEM‹-VAR‹OGRAM MODELLER‹Bölgeselleflmifl de¤iflkenin özelliklerinin belirlenmesi ve daha sonra örneklenme-mifl noktalar›n kestiriminde kullanmak üzere, araziden al›nan örneklerle hesapla-nan deneysel semi-variogram de¤erlerinin modellenmesi (uygun e¤ri tipinin bulun-mas›) gerekir. Deneysel semi-variogram de¤erlerine model uyarlama konusundabirçok çal›flma yap›lm›fl olup, bu modellerin fonksiyonlar› afla¤›da tan›t›lmaktad›r.

Küresel (Spherical) ModelMatheron’un önerdi¤i bu küresel modelde, semivariogram fonksiyonu orijine ya-k›nlaflt›kça do¤rusal özellik göstermektedir (fiekil 7.7). Modelde, orijinden çizilente¤et etki uzakl›¤›n›n (a) 2/3’ünde eflik de¤er (sill - C) ile kesiflmektedir. Küreselmodel afla¤›daki gibi tan›mlanmaktad›r.

h ≤ a oldu¤u zaman

γ(h) = C h ≥ a oldu¤u zaman

Burada γ(h) = kuramsal semi-variogram fonksiyonunu, h = örnek çiftleri aras›uzakl›¤›, C = semi-variogram fonksiyonunun ulaflt›¤› en büyük yüksekli¤i (yap›salvaryans›), a = örneklerin birbirinden ba¤›ms›z oldu¤u uzakl›¤› (etki mesafesini)göstermektedir.

Baz› semi-variogram fonksiyonlar› külçe (nugget) etki nedeniyle orijinden bafl-lamayabilir. Bu durumda külçe etkili küresel model için,

γ(o) = C0

h ≤ a oldu¤u zaman

γ(h) = C0 + C h ≥ a oldu¤u zaman

c(h)3h2a

h

2a

3

3= + −

C C0

c(h)3h2a

h

2a

3

3= −

C


Külçe etkisi görülmeyenküresel modellerde, semi-variogram fonksiyonununyap›sal varyans› (C) ayn›zamanda modelin eflikde¤eri olarak da tan›mlan›r.

fiekil 7.7

Küresel Semi-Variogram Model

www.hedefaof.com

fleklinde bir fonksiyon kullan›labilir (fiekil 7.8).

Küresel semi-variogram parametreleri a=100 m, C0=2,5 (%Zn)2 ve C=10,5 (%Zn)2

olan bir maden yata¤›nda, konumsal olarak aralar›nda 50 m mesafe bulunan ikinokta aras›ndaki ortalama semi-variogram› hesaplay›n›z.

Çözüm:Örnek verileri inceledi¤imizde, külçe varyans›n›n (C0) varl›¤› nedeniyle, küre-

sel modelin külçe etkili bir model oldu¤unu belirlemekteyiz. ‹ki nokta aras›ndakimesafe h=50 m oldu¤una göre, ortalama semi-variogram afla¤›daki gibi hesaplar›z.

γ(50) = 9,72 (%Zn)2

Bir kömür madeni iflletmesinde sodaj yap›larak elde edilen kal›nl›k verileri ile variogramanalizi yap›lm›fl ve kal›nl›k de¤ifliminin afla¤›daki küresel semi-variogram modeli para-metreleri ile ifade edilebilece¤i belirlenmifltir. Aralar›nda 150 m mesafe bulunan iki nok-ta aras›ndaki ortalama semi-variogram› hesaplay›n›z.Küresel model parametreleri : a=400 m ve C=90 (m)2

Üstel (Eksponansiyel) ModelEksponansiyel modelin fonksiyonel flekli de orijinden bafllar, yavafl yavafl yükselirve eflik de¤ere (sill’e) tamamen ulaflamaz. Uygulamada eflik de¤erinin (sill -C)%95’ine ulafl›ld›¤›nda etki uzakl›¤› (range -a) de¤eri bulunur. Eksponansiyel mode-lin fonksiyonu afla¤›daki gibidir.

γ(h) = C [1 - exp(-h/a)]

c(50)3*502 *100

(50)

2 * (100)

3

3= + −

2 5 10 5, , *

c(h)3h2a

h

2a

3

3= + −

C C0


fiekil 7.8

Külçe Etkili BirKüresel Model

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

www.hedefaof.com

Küresel ve eksponansiyel modeller fiekil 7.9’da karfl›laflt›r›lmaktad›r.

Bir bölgede topraktan al›nan örneklerin arsenik (As) içeri¤i (ppm) için yap›lan va-riogram analizleri sonucunda, afla¤›da parametreleri verilen üstel (eksponansiyel)semi-variogram modeli elde edilmifltir. Ölçüm yap›lamayan ve aralar›nda 100 mmesafe bulunan iki nokta aras›nda ortalama semi-variogram ne olur?Üstel (eksponansiyel) model parametreleri : a= 250 m ve C=600 (ppm)2 As

Çözüm:‹ki nokta aras› mesafe h=100 m oldu¤una göre, üstel model ile iki nokta aras›

ortalama semi-variogram› afla¤›daki gibi hesaplar›z.

γ(h) = C [1 - exp(-h/a)]

γ(100) = 197,8 (ppm)2 As

Do¤rusal ModelSemi-variogram fonksiyonunun orijinden bafllayarak do¤rusal olarak sürekli art›flgösterdi¤i ve herhangi bir eflik de¤erine ulaflamad›¤› durumlarda, afla¤›daki gibido¤rusal modeller kullan›labilir (fiekil 7.10).

γ(h) = p.hλ

Burada, p = do¤runun e¤imini, λ = do¤runun üssel art›fl katsay›s›n› göstermek-tedir. Semi-variogram fonksiyonunun tam do¤rusal olmas› halinde λ = 0’d›r. Ge-nellikle λ, 0 ile 2 aras›nda de¤erler al›r (2’ye eflit olmamal›d›r).

c(100) 1- e-100

250=

600 *


fiekil 7.9

Küresel veeksponansiyel semi-variogramfonksiyonlar›n›nkarfl›laflt›r›lmas›

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Bir demir madeni yata¤›ndan al›nan örneklerin %Fe tenör içeri¤i için yap›lan va-riogram analizleri sonucunda, verilerin γ(h) = 0,06.h (%)2 Fe fleklinde do¤rusal se-mi-variogram modeline uygun davran›fl gösterdikleri belirlenmifltir. Bu durumda,aralar›nda 250 m mesafe bulunan iki nokta aras›nda ortalama semi-variogramde¤eri ne olur?

Çözüm :‹ki nokta aras›ndaki mesafe h=250 m oldu¤una göre, ortalama do¤rusal semi-

variogram de¤erini afla¤›daki gibi hesaplar›z.

γ(h) = 0,06.h

γ(250) = 0,06 * 250 = 15 (%)2 Fe

Erozyonla mücadele alan› ilan edilen bir bölgede, erozyon duyarl›l›k faktörü (K faktörü)ölçümü amaçl› örneklemeler yap›lm›flt›r. K faktörü için yap›lan variogram analizleri sonu-cunda, verilerin γ(h) = 2.10-5.h fleklinde do¤rusal semi-variogram modeline uygun davra-n›fl gösterdikleri belirlenmifltir. Bu durumda, aralar›nda 200 m mesafe bulunan iki noktaaras›nda ortalama semi-variogram de¤eri ne olur?

Ortalama tenörü %38 Fe ve standart sapmas› %10 Fe olan bir demir madeni yata-¤›nda aç›lan sondajlardan elde edilen örnek çiftleriyle hesaplanan deneysel semi-variogram de¤erleri afla¤›da verildi¤i gibidir. Deneysel semi-variogram de¤erlerinidikkate alarak kuramsal küresel semi-variogram modeli parametrelerini bulunuz.

Örnek Çiftleri

Aras›Mesafe (m)

Deneysel Semi-Var.

(%)2 Fe

50 40

100 60

150 76

200 106

250 94

300 110

350 98


fiekil 7.10

Do¤rusal model

Ö R N E K

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Çözüm :Öncelikle mesafeye ba¤l› olarak deneysel semi-variogram de¤erlerini kartez-

yen koordinat›nda haz›rlanm›fl grafi¤e afla¤›daki fiekil 7.11’deki gibi aktar›r›z. Kü-resel modelde külçe etkisi (C0) ve eflik de¤eri (C) toplam› varyansa (σ2) eflit (C0 +C = σ2= 100) oldu¤undan, grafik üzerinde varyans› gösteren bir çizgi çizeriz. De-neysel semi-variogram de¤erlerinin ilk iki veya üçünden geçen bir do¤ru çizerek,varyans çizgisini kestiririz. Bu kesiflim noktas›ndan uzakl›k eksenine inilen bir dik-me ise a etki mesafesinin üçte ikisine eflit olacakt›r. fiekil 7.11’de görüldü¤ü gibi,varyans (σ2) çizgisini kesen noktadan inilen dikme h=200 m de uzakl›k ekseninikesmektedir. Bu durumda;

oldu¤undan, a=300 m olacakt›r.

‹lk iki veya üç noktadan çizilen do¤ru, semi-variogram γ* (h) eksenini 20 de¤e-rinde kesmektedir. Bu durumda, küresel model külçe etkisi (C0) içermektedir vekülçe etkisinin de¤eri C0=20 (%)2 Fe’dir.

Külçe etkisi (C0) ve eflik de¤eri (C) toplam› C0 + C = σ2 = 100 oldu¤undan, budurumda eflik de¤eri;

C = σ2 - C0 = 100 - 20 = 80 (%)2 Fe

olarak bulunur.Elde edilen parametrelere göre küresel modeli afla¤›daki gibi yazabiliriz.

h ≤ a

γ (h) = C0 + C h ≥ a

c( )h C Cha

h

a= + −

0

3

3

23 2

23

a 0 m= 20


fiekil 7.11

Demir madeniyata¤› verileri ileelde edilen deneyselsemi-variogrammodeli

www.hedefaof.com

h ≤ 300 m

γ (h) = 20 + 80 h ≥ 300 m

Organik madde (OM) içeri¤i ortalamas› %5 ve standart sapmas› %2 olan bir ormanl›kalanda, topraktan al›nan örnek çiftleriyle hesaplanan deneysel semi-variogram de¤erleriafla¤›da verildi¤i gibidir. Deneysel semi-variogram de¤erlerini dikkate alarak kuramsalküresel semi-variogram modeli parametrelerini bulunuz.

Bir gümüfl madeni iflletmesinde 10 m aral›klarla basamaklarda aç›lan patlatmadeliklerinden al›nan k›r›nt› örneklerinin analizi ile elde edilen verilerle hesapla-nan deneysel semi-variogram verileri afla¤›da verildi¤i gibidir. Örnekleme yap›lanbasamak patlatma delikleri ortalama tenörü 220 gr/ton ve varyans› 15000 (gr/ton)2

oldu¤una göre,a) Ortalama semi-variogram model (küresel) parametrelerini bulunuz.b) Yönsel semi-variogram model parametrelerini bularak, anizotropinin güçlü

oldu¤u yönü ve anizotropi oran›n› belirleyiniz.

Örnekler Aras›Me-

safeh - (m)

Deneysel Semi-Variogram De¤erleri

γ* (h) (gr/ton)2

Ortalama Kuzey-Güney Do¤u-Bat›

10 5000 2850 7500

20 10300 6250 15000

30 13750 8750 12950

40 13900 10800 15550

50 15350 14200 15900

60 16200 13750 13200

70 14325 16225 15450

80 13800 13800 14650

Örnek Çiftleri

Aras› Mesafe (m)

Deneysel Semi-

Var. (%)2 OM

50 1,9

100 2,8

150 3,6

200 3,8

250 4,2

300 3,9


c( ). .

hh h

= + −

20 802

3 300 2 300

3

3

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Çözüm :a)

Küresel model parametreleri;a = 45 m C = 15000 (gr/ton)2

b)

Anizotropi Yönü : Kuzey-güney Anizotropi Oran› : (amax/amin = 2,5)


www.hedefaof.com


Bölgesel de¤iflkenlerin özelliklerini aç›klamak.

Belirli bir bölgeye özgü de¤erler alan ve konum-lar› koordinatlarla tan›mlanan örneklenmifl de¤ifl-kenlere, bölgeselleflmifl de¤iflkenler denilir. Bölge-selleflmifl de¤iflkenlerin belirli bir geometrik alan(veya üç boyutlu olarak hacim) s›n›rlar› içindebirbirine ba¤›ml› de¤iflimler göstermesi yersellik(lokalizasyon) kavram› ile aç›klanmaktad›r. Böl-geselleflmifl de¤iflken örnekleri aras›nda belirli birmesafe içerisinde devaml›l›k ve devaml›l›kta yön-sel farkl›l›klar (anizotropi) görülebilmektedir.

Semi-variogram fonksiyonunun özelliklerini

aç›klamak.

Bölgeselleflmifl de¤iflken için yap›lan örnekle-meler sonucunda, aralar›nda uzakl›klara ba¤l›olarak oluflan örnek çiftleri aras› farklar›n kare-leri toplam›n›n örnek çifti say›s›na oran›na vari-

ogram, variogram›n yar›s›na da semi-variogramdenilmektedir.Örneklenen de¤iflken de¤erleri ile elde edilen se-mi-variogram de¤erlerine, deneysel semi-variog-ram de¤erleri denilmektedir. Deneysel semi-vari-ogram de¤erlerinin orjindeki süreksizli¤ini külçe

varyans› (nugget), ulaflt›¤› en üst de¤ere eflik de-¤er (sill) ve ulaflt›¤› en büyük mesafeye etki me-safesi denilmektedir. Yönsel olarak de¤iflen semi-variogram de¤erleri analiz edilerek, en büyük et-ki mesafesinin (amax ) ve en küçük etki mesafesi-nin (amin ) gözlendi¤i yönlerin bulunmas› ve yön-sel etki mesafesi oran›n›n hesaplanmas›, jeoista-tistiksel tahminlerde kullan›lacak elipsoidal etkialan›n› belirlemede önemli olmaktad›r. Bölgeselleflmifl de¤iflkenin devaml›l›¤›na ba¤l›olarak semi-variogram fonksiyonu, bafllang›çnoktas› civar›nda devaml›, do¤rusal veya külçeetkili davran›fl gösterebilmektedir.

Kuramsal semi-variogram model (küresel, üstel

ve do¤rusal) parametrelerini hesaplamak ve te-

mel uygulamalarda kullanmak.

Örneklenen de¤iflken de¤erleri ile hesaplanandeneysel semi-variogram de¤erleri, bafllang›çnoktas› civar›nda do¤rusal ve etki mesafesindensonra varyansa yak›n bir görünüfle sahipse küre-sel modeli uyarlayabiliriz. Küresel model külçeetkili veya etkisiz olabilir. Deneysel semi-variog-ram de¤erlerine üstel (ekponansiyel) veya do¤-rusal model de uyarlayabiliriz. Kuramsal semi-variogram parametrelerini kullanarak, ölçüm ya-p›lmam›fl noktalar aras›ndaki ortalama semi-va-riogram de¤erlerini hesaplayabilmek mümkünolmaktad›r.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. Do¤adan elde edilen birbirine yak›n mesafedekiveriler benzer özellikler gösterirken, aralar›ndaki uzak-l›k artt›kça bu benzerli¤in azalmas› hangi kavramlaaç›klan›r?

a. Devaml›l›kb. Yönsellikc. Rassall›kd. Yersellike. Geçifller

2. Belirli bir bölgeye özgü de¤erler alan ve konumlar›koordinatlarla tan›mlanan örneklenmifl de¤iflkenlere nead verilir?

a. Ba¤›ml› de¤iflkenb. Ba¤›ms›z de¤iflkenc. Rassal de¤iflkend. Zaman de¤iflkenie. Bölgeselleflmifl de¤iflken

3. Semi-variogram fonksiyonunun orijininde süreksiz-liklerin görülmesi durumunda, de¤iflkenin de¤iflimindene tür bir etki görülür?

a. Eflik de¤erb. Külçe varyans›c. Yap›sal varyansd. Yönsel de¤iflime. Etki mesafesi

4. Arazide bir hat boyunca 10 m aral›klarla 8 adet ör-nek al›nm›flt›r. Örneklerin de¤iflken de¤erleri afla¤›da-ki gibi oldu¤una göre, h=10 m için semi-variogram›nde¤eri nedir?

a. 3b. 5c. 7d. 8e. 14

5. Arazide bir hat boyunca 10 m aral›klarla 10 adet ör-nek al›nm›flt›r. Örneklerin de¤iflken de¤erleri afla¤›dakigibi oldu¤una göre, h=20 m için kaç adet örnek çiftioluflur?

a. 6b. 7c. 8d. 9e. 10

6. Küresel semi-variogram parametreleri a=30 m veC=10 olan bir de¤iflken için, konumsal olarak aralar›n-da 10 m mesafe bulunan iki nokta aras›ndaki ortalamasemi-variogram de¤eri ne olur?

a. 0,48b. 4,8c. 0,5d. 5,0e. 8,0

7. Küresel semi-variogram parametreleri a=250 m,C0=10 ve C=40 olan bir de¤iflken için, konumsal olarakaralar›nda 300 m mesafe bulunan iki nokta aras›ndakiortalama semi-variogram de¤eri ne olur?

a. 10b. 20c. 30d. 40e. 50

8. Bir variogram analizi sonucunda, verilerin γ(h) =5.10-3.h fleklinde do¤rusal semi-variogram modeline uy-gun davran›fl gösterdikleri belirlenmifltir. Bu durumda,aralar›nda 100 m mesafe bulunan iki nokta aras›nda or-talama semi-variogram de¤eri ne olur?

a. 0,005b. 0,05c. 0,5d. 5,0e. 50,0

Örnek Yeri (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

De¤iflken De¤eri 14 18 16 19 20 21 24 22 27 26

Örnek Yeri (m) 0 10 20 30 40 50 60 70

De¤iflken De¤eri 20 22 26 25 29 31 32 32


www.hedefaof.com


9. Bir semi-variogram modeli parametrelerini belirle-me çal›flmas›nda, deneysel semi-variogram de¤erlerininilk ikisinden geçen do¤ru ile varyans çizgisini kesmiflve bu kesiflimden inilen bir dikme h=50 m’de uzakl›keksenini kesmifltir. Bu durumda modelin etki mesafesikaç m olur?

a. 25b. 50c. 75d. 100e. 150

10. Bir yönsel variogram analizi çal›flmas›nda, etki me-safesi do¤u-bat› yönünde 200 m ve kuzey-güney yö-nünde 50 m bulunmufltur. Anizotropi oran› nedir?

a. 4,0b. 3,0c. 2,0d. 1,0e. 0,25

1. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Bölgeselleflmifl De¤iflkenler”konusuna bak›n›z.

2. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Bölgeselleflmifl De¤iflkenler”konusuna bak›n›z.

3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Deneysel Semi-VariogramParametreleri” konusuna bak›n›z.

4. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Variogram ve Semi-Variogram” konusuna bak›n›z.

5. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Variogram ve Semi-Variogram” konusuna bak›n›z.

6. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küresel Model” konusunabak›n›z.

7. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Küresel Model” konusunabak›n›z.

8. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Do¤rusal Model” konusunabak›n›z.

9. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kuramsal Semi-VariogramModelleri” konusuna bak›n›z.

10.a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Deneysel Semi-VariogramParametreleri” konusuna bak›n›z.


www.hedefaof.com


S›ra Sizde 1

c∗ =

=(20)

12 33

658 9 97.

,

c∗ = − + − + − +(40)1

2 3320 28 22 26 28 332 2 2

.( ) ( ) ( ) ............... ( ) ( )+ − + −

27 24 29 282 2

c∗ =

=(20)

12 34

502 7 38.

,

c∗ = − + − + − +(20)1

2 3420 22 22 28 28 262 2 2

.( ) ( ) ( ) ............... ( ) ( )+ − + −

29 24 24 282 2

c* 2(h)

12n

z(x) z(x h)= − +

∑


S›ra Sizde 2

Veriler : a=400 m, C=90 (m)2 ve h=150Küresel model külçe etkisizdir.

γ (150) = 48,25 (m)2

S›ra Sizde 3

h=200 m oldu¤una göre, ortalama do¤rusal semi-vari-ogram de¤erini afla¤›daki gibi hesaplar›z.γ (h) = 2.10-5.hγ (200) = 2.10-5 * 200 = 0,004

S›ra Sizde 4

σ = 2%⇒ σ2 = 4 (%)2

C0=1,0 (%)2 ve C=3,0 (%)2

olarak elde ederiz.

23

166 249a a m= ⇒ =

c(150)3*1502 * 400

(150)

2 * (400)

3

3= −

90 *

c(h)3h2a

h

2a

3

3= −

C

Örnek Çiftleri Aras›

Mesafe (m)

Deneysel SemiVar.

(%)2 OM

50 1,9

100 2,8

150 3,6

200 3,8

250 4,2

300 3,9

www.hedefaof.com


Clark, I. (1979). Practical Geostatistics. London: AppliedScience.

Journel, A.G. & Huijbregts, CH.J. (1978). Mining

Geostatistics. San Diego: Academic.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i.

Mühendislik Mimarl›k Fakültesi Maden Mühendisli¤iBölümü. Eskiflehir: Eskiflehir OsmangaziÜniversitesi.

Olea, R. A. (1999). Geostatistics for Engineers and Earth

Scientists. Boston: Kluwer Academic.Pekin, A. (1999). Aç›k ‹flletme Basamak Tenörlerinin

Kriging Tahminlerinde ‹statistiksel Da¤›l›m

Modellerinin Etkileri. (Yay›mlanmam›fl doktora tezi).Eskiflehir Osmangazi Üniversitesi/Fen BilimleriEnstitüsü, Eskiflehir.

Tercan, A.E. & Saraç, C. (1998). Maden Yataklar›n›n

De¤erlendirilmesinde Jeoistatistiksel Yöntemler.

Ankara: Jeoloji Mühendisleri Odas›.Tüysüz, N. & Yaylal›, G. (2005). Jeoistatististik -

Kavramlar ve Bilgisayarl› Uygulamalar. Trabzon:Karadeniz Teknik Üniversitesi

Uyguçgil, H. (2007). Çok De¤iflkenli Maden

Yataklar›nda Rezerv Tenör Tahmininde Jeoistatistik

ve Co¤rafi Bilgi Sistemleri Tekniklerinin Kullan›m›.

(Yay›mlanmam›fl doktora tezi). Eskiflehir OsmangaziÜniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskiflehir.


www.hedefaof.com

www.hedefaof.com

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Konumsal tahminde kullan›lan klasik istatistik ve jeoistatistik yöntemler ara-s›ndaki fark› belirleyebilecek, Konumsal tahminde en yak›n komflu, yüzey trend analizi ve uzakl›¤›n tersiy-le a¤›rl›kland›rma yöntemlerini kullanabilecek, Konumsal tahmininde Kriging yöntemini aç›klayabilecek ve farkl› semi-vari-ogram modelleri ile noktasal tahmin uygulamalar› yapabilecek bilgi ve bece-rilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Uzakl›¤›n Tersi• En yak›n komflu• Yüzey trend analizi• Konumsal Tahmin• Öklid Uzakl›¤›• A¤›rl›k Katsay›lar›

• Kriging Eflitli¤i• Nokta Kriging• Arama kapsama alan›• Hariç tutma aç›s›• Kriging tahmin varyans›• ‹nterpolasyon

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

N


‹statistik

• UZAKLI⁄A BA⁄LI TAHM‹NYÖNTEMLER‹

• KLAS‹K KONUMSAL TAHM‹NYÖNTEMLER‹

• KR‹G‹NG TAHM‹N YÖNTEM‹

Konumsal Tahmin(‹nterpolasyon) veKriging


www.hedefaof.com

UZAKLI⁄A BA⁄LI TAHM‹N YÖNTEMLER‹Konumsal örneklemeler sonras›nda, örnek noktalar› de¤erleri yard›m›yla örnekal›nmam›fl noktalar, alanlar veya hacimsel bloklar için tahminler yapmaya çal›fl›r›z.Bu tahminlerde, klasik istatistik yöntemleri kullanan uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›klan-d›rma, en yak›n komfluluk ve yüzey trend analizi gibi interpolasyon (tahmin) yön-temleri kullan›labilmektedir. Bu yöntemlerden uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›rmadaörnek nokta de¤erlerinin a¤›rl›klar› uzakl›¤a ba¤l› olarak de¤iflmekte, en yak›nkomfluluk yönteminde sadece en yak›n örnek noktas› dikkate al›nmakta ve yüzeytrend analizi yönteminde ise tüm örnek noktalar›n›n a¤›rl›klar› ortalama bir poli-nom ile ifade edilmektedir.

Klasik konumsal tahmin yöntemler, al›nan örneklerin birbirlerini ne flekilde ta-kip ettiklerini, örneklerin etki alanlar›n›n ne oldu¤unu ve bu etki alan›n›n yönselde¤ifliminin nas›l oldu¤unu dikkate almayan yöntemlerdir. Klasik yöntemler kulla-narak yap›lacak konumsal tahminlerde, hata büyüklü¤ü artmakta ve tahminleringüvenilirli¤i azalmaktad›r. Bu nedenlerle de, co¤rafi anlamda bölgesel farkl›l›klargösteren, birbirleriyle belirli bir mesafe içerisinde ba¤›ml› olan ve miktarsal ölçü-lerle al›nan örnekler yard›m›yla tahminde, klasik yöntemler yerine jeoistatistikselkriging yöntemlerini uygulamam›z gerekmektedir.

‹smini Güney Afrikal› araflt›rmac› D.G. Krige’den alan jeoistatistiksel Krigingyönteminde, örneklerin düzensiz ve süreklili¤in yönsel olarak de¤iflti¤i durumlar-da, bir noktan›n veya blo¤un ortalama de¤erini en küçük hata ile yans›z olaraktahmin etmede variogram fonksiyonu kullan›lmaktad›r. Kriging yöntemi, tahminhatalar›n›n varyans›n› en küçükleyen ve yans›z tahminler yapmam›z› sa¤layan biryöntemdir. Kriging yönteminde, nokta veya blok çevresindeki örnek de¤erlerininblok de¤erine etkisini aç›klayan a¤›rl›k katsay›lar›, semi-variogram fonksiyonu yar-d›m›yla bulunmaya çal›fl›lmaktad›r. Bu a¤›rl›k katsay›lar›, tahmin varyans›n› en kü-çükleyecek bir kombinasyonu içerir.

Bu ünitede, klasik konumsal tahmin yöntemleri karfl›s›nda kriging yöntemininönemi aç›klanacakt›r. Kriging yöntemi oldukça kapsaml› ve farkl› de¤iflken yap›la-r› için gelifltirilmifl birçok yöntemi kapsamaktad›r. Ancak bu ünitede, konununönemini belirtme ve temel kavramlar› ö¤renme amac›yla, sadece nokta tahminin-de kullan›lan kriging yöntemi basit örneklerle ele al›nm›flt›r.

Konumsal Tahmin(‹nterpolasyon) ve Kriging

Jeoistatisti¤in öncüsü olanGüney Afrikal› madenmühendisi Daniel G. Krige,1951 y›l›nda bölgeselleflmiflde¤iflkenler teorisi vevariogram fonksiyonunutemel alan uygulamalar›alt›n maden yataklar›ndakullanm›flt›r. 1960 y›l›ndada Frans›z mühendisGeorges Matheron, D.GKrige’nin çal›flmas›na sayg›gere¤i, maden yataklar›n›nrezerv tahimin içingelifltirdi¤i yönteme Krigingyöntemi ad›n› vermifltir.

www.hedefaof.com

KLAS‹K KONUMSAL TAHM‹N YÖNTEMLER‹‹statistik yöntemler temelinde gelifltirilen interpolasyon (ara de¤er bulma) yöntem-lerinin ortak noktas›, her yöntemin örnek noktalar›n›n konumsal bilgisini kullan›-yor olmas›d›r. Konumsal interpolasyon yöntemleriyle de¤iflken de¤eri bilinmeyennoktalar için tahmin yapabilmede, tamini yap›lacak nokta çevresindeki örnek nok-ta de¤erlerinin a¤›rl›kland›r›lm›fl do¤rusal bileflenine gereksinim duyulmaktad›r.Örne¤in, de¤iflken de¤eri bilinmeyen x0 noktas› çevresinde bulunan n adet xi nok-tas›ndan örneklenen Z (xi) de¤iflken de¤erleri ile Z* (x0) de¤iflken de¤erini afla¤›-daki eflitlik yard›m›yla tahmin edebiliriz.

Burada, Z*(x0) : x0 noktas› için tahmin edilen de¤iflken de¤erini,

Z(xi) : xi noktas›ndaki örnek noktas› de¤iflken de¤erini,Wi : i inci örnek de¤iflken de¤erlerinin a¤›rl›¤›n›,n : örneklenen nokta say›s›n› ifade etmektedir.

Konumsal olarak örneklenen de¤iflken de¤erlerinin a¤›rl›k de¤erleri (Wi), tah-min için kullan›lan klasik istatististik temelli yönteme göre farkl›l›k göstermektedir.Afla¤›daki bölümlerde örneklenen de¤iflken de¤erlerini a¤›rl›kland›rmada kullan›-lan uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›rma, en yak›n komfluluk ve yüzey trend analizi in-terpolasyon yöntemleri tan›t›lacakt›r.

En Yak›n Komflu YöntemiGenellikle s›n›fland›rma ve kümeleme çal›flmalar›nda kullan›lan en yak›n komfluyönteminde, örnekleme yap›lmam›fl herhangi bir noktan›n de¤iflken de¤erini tah-min etmede, örnek noktalar› aras›nda en yak›n olan noktan›n de¤iflken de¤eri be-lirlenerek, tahmin edilecek noktaya atamas› yap›lmaktad›r.

En yak›n komflu yöntemiyle tahminde öncelikle, örnek noktalar› ile tahmin ya-p›lacak nokta aras›ndaki uzakl›klar›n hesaplanmas› gerekir. Konumsal noktalararas› uzakl›klar›n hesaplanmas›nda ise genellikle Öklid yöntemi kullan›lmaktad›r.Herhangi iki noktan›n konumu iki boyutlu düzlemde veya üç boyutlu uzayda ifa-de edilmesine göre, noktalar aras› Öklid uzakl›klar› afla¤›daki gibi hesaplan›r.

‹ki boyutta uzakl›k: ‹ki boyutlu bir düzlemde (x1, y1) koordinatlar›nda yer alan P1 noktas› ile (x2,

y2) koordinatlar›nda yer alan P2 noktas› aras›ndaki Öklid uzakl›¤›n› flu flekildehesaplar›z.

Üç boyutta uzakl›k:Üç boyutlu uzayda (x1, y1, z1) koordinatlar›nda yer alan P1 noktas› ile (x2,

y2, z2) koordinatlar›nda yer alan P2 noktas› aras›ndaki Öklid uzakl›¤›n› flu flekil-de hesaplar›z.

d P P x x y y( , ) ( ) ( )1 2 1 22

1 22= − + −

Z x W Z xi ii

n* ( ) . ( )0

1

==∑


Milat’dan önce 330-275y›llar›nda yaflam›fl olan‹skenderiyeli (M›s›rl›) birmatematikçi olan Öklid’ingeometri alan›ndagelifltirdi¤i aksiyom veyöntemler 19. yüzy›l›nbafllar›na kadar rakipsizkalm›flt›r. Elementler isimli13 ciltlik kitab›nda bafll›ca,düzlem geometrisi,aritmetik, say›lar teorisi,irrasyonel say›lar ve kat›cisim geometrisi konular›n›ele alm›flt›r.

www.hedefaof.com

Örnekleme yap›lmam›fl noktan›n de¤iflken de¤erini en yak›n komfluluk yönte-miyle tahmin etmede, öncelikle örnek noktalar› aras›ndan en küçük d(i, j) uzakl›-¤›ndaki örnek noktas› veya k say›da örnek noktalar› belirlenmektedir. Bir komflunokta ile tahmin yap›ld›¤› durumda, en yak›n komflu örnek noktas› de¤iflken de-¤erleri, örnekleme yap›lmam›fl noktaya atanmakta ve de¤iflken de¤eri tahmin edil-mektedir.

Örnekleme yap›lmam›fl SA noktas›na en yak›n k adet komflu Si noktas› de¤ifl-ken de¤erlerinin Z(Si) oldu¤u durumda, uzakl›kla a¤›rl›kland›r›lm›fl ortalama de¤ifl-ken de¤eri Z*(SA) afla¤›daki gibi hesaplan›r.

En yak›n komflu yöntemi, sadece en yak›n komflu örnek noktas› veya noktala-r›n›n de¤iflken de¤eri ile tahmin yapmakta ve daha uzak noktalardaki di¤er nokta-lar› dikkate almamaktad›r. Tahminlerde kullan›lacak komflu noktalar›n say›s›n›n(k) kaç adet olaca¤› belirsizdir. Ayr›ca, örnek noktalar› aras›ndaki ba¤›ml›l›¤›, de-vaml›l›¤› ve yönsel süreklili¤i dikkate almayan bir yöntemdir. En yak›n komflu yön-temi genellikle blok modellemede örnek noktas› olmayan bloklara de¤iflken de¤e-ri atamada kullan›lmaktad›r.

Bir kent merkezinde 5 ayr› istasyonda Ocak ay›nda ölçülen kükürt dioksit (mg/m3) miktarlar› afla¤›daki çizelgedeki gibidir. En yak›n komflu yöntemine görekent merkezinde (X=4150 , Y=2350) koordinatlar›nda bulunan hastane (SH) ci-var›nda kükürt dioksit miktar› ne olabilir?

Z S

d S S Z S

d S SA

i A ii

k

i Ai

k* ( )

( , ). ( )

( , )

= =

=

∑

∑

1

1

d P P x x y y z z( , ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22

1 22

1 22= − + − + −

‹stasyon NoSi

Konumsal Koordinatlar (m) Z(Si) SO2 (µg / m3)

(X) (Y)

1 4075 2345 50

2 4160 2370 15

3 4200 2340 65

4 4180 2325 30

5 4150 2310 70

1698. Ünite - Konumsal Tahmin ( ‹nterpolasyon) ve Kr ig ing

Birden fazla (k adet) enyak›n komflu nokta iletahmin yap›ld›¤› durumdaise, en yak›n komflunoktalar›n uzakl›klaa¤›rl›kland›r›lm›fl ortalamade¤iflken de¤eri, örneklemeyap›lmam›fl noktayaatanmaktad›r.

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Çözüm:Hava kirlili¤inin ölçüldü¤ü (S1) istasyonu ile hastane (SH) aras› öklid uzakl›¤›n›

afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Di¤er istasyonlar ile hastane aras› uzakl›klar afla¤›daki çizelgedeki gibi he-saplan›r.

Çizelgeden de görüldü¤ü gibi, SH hastane noktas›na en yak›n komflu nokta S2noktas›d›r. Bu durumda SH noktas›n›n kükürt dioksit oran›n›n 15 µg /m3 olaraktahmin ederiz.

En yak›n iki komflu nokta (k=2) ile tahmin yapmak istersek, noktalar aras›uzakl›klarla a¤›rl›kland›r›lm›fl tahmini de¤iflken de¤erini afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Z S

d S S Z S

d S SH

i H ii

k

i Hi

k* ( )

( , ). ( )

( , )

( , *= ==

=

∑

∑

1

1

39 1 300 22 4 1539 1 22 4

24 5 3) ( , * )( , , )

, /++

= µg m

d S S x x y yH H H( , ) ( ) ( )

( ) (

1 12

12

24075 4150 2345 2

= − + −

= − + − 3350 75 22) ,=

‹stasyon NoSi

Konumsal Koordinatlar (m) H Noktas›naUzakl›k (m)

d(Si , SH)(X) (Y)

1 4075 2345 75,2

2 4160 2370 22,4

3 4200 2340 51,0

4 4180 2325 39,1

5 4150 2310 40,0


www.hedefaof.com

Bir tar›msal araflt›rma merkezi taraf›ndan bir bölgede ekmeklik bu¤day bitki boylar›n›araflt›rmak üzere yap›lan çal›flmada, 5 ayr› tarladan al›nan örneklerin ortalama bitki boy-lar›n›n afla¤›daki çizelgedeki gibi oldu¤u belirlenmifltir. Tarlalar›n yaklafl›k orta noktas›-na karfl›l›k gelen noktalar›n koordinatlar› da çizelgede verilmifltir. Ölçüm yap›lamayan Atarlas›n›n konumu X=6400 ve Y=4600 oldu¤una göre, A tarlas›n›n ortalama bitki boyununne olabilece¤ini en yak›n 2 komflu noktay› dikkate alarak tahmin ediniz.

Yüzey Trend AnaliziYüzey trend analizi yönteminde öncelikle, örnek noktalar›n›n de¤iflken de¤erleriile iki boyutlu veya (xi , yi) üç boyutlu (xi , yi , zi) konumsal koordinatlar› dikkateal›narak, en küçük kareler yöntemiyle p’inci dereceden polinom denklemi eldeedilmektedir. Elde edilen denklem yard›m›yla da, de¤iflken de¤eri bilinmeyennoktalar için tahminler yap›lmaktad›r. Yüzey trend analiz yöntemi, genellikle to-po¤rafik yüzeylerin düzenli grid (kare) a¤lar fleklinde modellenmesinde kullan›lanbir yöntemdir.

Yüzey trend analizinde, her bir örnek noktas› polinom denkleminin elde edil-mesinde kullan›lmaktad›r. En küçük kareler yöntemiyle polinom denklemi eldeedilirken, polinom katsay›lar›n› da anlaml›l›k aç›s›ndan test etmek gerekir. Sonuçolarak da, en küçük hata ile tahminlerde kullanabilece¤imiz polinom denklemineulaflmak gerekir.

De¤iflken de¤eri bilinmeyen (x, y) noktas› için yap›lacak tahminde kullan›labi-lecek en basit do¤rusal ve ikinci dereceden polinom denklemi afla¤›daki gibi ifa-de edilebilir.

Basit do¤rusal model:

‹kinci dereceden polinom:

Yüzey trend analizi yöntemiyle, örnek al›nmam›fl konumsal noktalara polinomdenklemi yard›m›yla ortalama bir tahmin yap›ld›¤›ndan, afl›r› düflük veya yüksekde¤iflken de¤erlerinin tahmininde afl›r› yan›lt›c› sonuçlar verebilmektedir. Tahmin-lerin güvenilirli¤ini artt›rmak için yüksek dereceli polinomlar elde etmek gerekir.Ancak, polinom derecesini artt›rd›kça, en küçük kareler yöntemiyle elde edileceknormal denklemlerin say›s› da artar ve denklem parametrelerinin elde edilmesin-de güçlükler ortaya ç›kabilir.

Z x y x y x x xy* ( , ) = + + + + +β β β β β β0 1 2 32

42

5

Z x y x y* ( , ) = + +β β β0 1 2

Tarla NoSi

Konumsal Koordinatlar (m) Z(Si)Bitki Boyu

(mm)(X) (Y)

1 6100 4700 76

2 6400 4800 85

3 6900 4750 107

4 6600 4500 102

5 6300 4250 94


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Yüzey trend analiz yöntemi,maden ve petrol aramaçal›flmalar› ile çevrearaflt›rmalar›nda efl yükseltiveya efl de¤iflken de¤eriharitalama çal›flmalar›ndayayg›n bir flekildekullan›lmaktad›r.

www.hedefaof.com

Uzakl›¤›n Tersi ‹le A¤›rl›kland›rma YöntemiUzakl›¤›n tersi ile a¤›rl›kland›rma, yak›n noktalara uzak noktalardan daha yükseka¤›rl›k de¤eri atayan ve tüm mümkün örnek noktalar›n› dikkate alan bir tahmin(interpolasyon) yöntemidir. Her örnek noktas›, de¤eri tahmin edilecek noktayaolan uzakl›¤›na göre ters oranda a¤›rl›k de¤eri al›r. x0 noktas›ndaki tahmini de¤erafla¤›daki flekilde hesaplan›r.

Burada; Z*(x0) : x0 noktas›ndaki tahminin de¤erini,

Z(xi) : xi noktas›ndaki örnek noktas›n›n de¤erini,Wi : xi noktas›ndaki örne¤in x0 noktas›na göre ters uzakl›k a¤›rl›¤›n›,d : örnek noktas› ile tahmini yap›lacak nokta aras›ndaki uzakl›¤›,p : üssel de¤eri,n : örnek nokta say›s›n› ifade etmektedir.

Uzakl›¤›n tersi ile a¤›rl›kland›rma yönteminde tahmin de¤erlerini önemli ölçü-de etkileyen, eflitlikte tan›mlanmayan parametreler bulunmaktad›r. Bu parametre-lerin en önemlilerinden biri “etki mesafesi”dir. Etki mesafesi, belirli uzakl›ktakigözlem de¤erlerinin hesaplamada kullan›labilece¤ini ifade eder. Etki mesafesin-den daha uzakta olan noktalar hesaplamalara dahil edilmez. Bu parametrelerin birdi¤eri “hariç tutma aç›s›”d›r. Bu parametre sayesinde hariç tutma aç›s›n›n süpür-dü¤ü alanda bulunan gözlem de¤erlerinin sadece en yak›nda olan› hesaplamayadahil edilmektedir. Böylece tek yönde ortaya ç›kacak fazla a¤›rl›k de¤erinin mey-dana getirece¤i yan›lt›c› sonuçlardan kaç›n›lm›fl olacakt›r (Uyguçgil, 2007).

Bir gümüfl madeni yata¤›ndan al›nan 5 adet örnek ile A noktas›n›n tenörü (metalolarak gümüfl içeri¤i) uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›rma yöntemiyle tahmin edil-mek istenmektedir. Örnek noktalar›n›n konumsal koordinatlar› ve örneklenen de-¤iflken de¤erleri (tenör de¤erleri) afla¤›da çizelgede verildi¤i gibidir. Örnek nokta-lar›n›n ve de¤iflken de¤eri tahmin edilecek A noktas›n›n konumlar› da afla¤›dakiflekilde verilmifltir.

Z x W Z x

Wd x

d x

i i

iip

i

ip

ii

n

* ( ) . ( )

( )

( )

0

1

1

1

=

=

∑

∑=


Eflitlikteki p de¤eriazald›kça, örnek noktalar›naatanan a¤›rl›k de¤erleribirbirine yaklafl›r, artt›kçade¤erler farkl›lafl›r. Enyüksek a¤›rl›k de¤eri enyak›n örnek noktas› içinatan›r. Genellikle p de¤eri 1veya 2 olarakkullan›lmaktad›r.

Örnek No Si

Konumsal Koordinatlar (m) Tenörler Z(Si)(gr/ton Ag)(X) (Y)

A 4150 2340 -

1 4080 2340 320

2 4160 2370 450

3 4200 2340 380

4 4170 2332 400

5 4150 2310 280

Ö R N E K

www.hedefaof.com

Çözüm:Örnek noktalar›n›n de¤iflken de¤eri tahmin edilecek blok merkezinde bulunan

A noktas›na olan uzakl›klar›, uzakl›klar›n tersleri ve uzakl›k tersleri toplam›na gö-re a¤›rl›klar› afla¤›da verildi¤i gibi hesaplanm›flt›r.

A noktas›ndan uzakl›klar› Öklid yöntemiyle hesaplar›z. Örne¤in, 1 nolu noktaile A noktas› aras› uzakl›k afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Üs de¤erini p=1 alarak ters uzakl›klar›;

ifllemi ile hesaplar›z. Ters uzakl›klar›n toplam› oldu¤un-dan, S1 noktas›n›n a¤›rl›¤›n›;

10 1457

d S Si A( , ),∑ =

1 170

0 01431d S SA( , )

,= =

d S S x x y y

d S S

A A A

A

( , ) ( ) ( )

( , ) ( )

1 12

12

124080 4150

= − + −

= − ++ − =( ) ,2340 2340 70 002 m


Örnek NoSi

A Noktas›ndanUzakl›k (m)

Ters Uzakl›k (1/m)

A¤›rl›klar Wi

1 70,00 0,0143 0,098

2 31,62 0,0316 0,217

3 50,00 0,0200 0,137

4 21,54 0,0464 0,319

5 30,00 0,0333 0,229

Toplam 0,1457 1,000

www.hedefaof.com

ifllemi ile hesaplar›z.Blok merkezi olan SA noktas›n›n tahmini tenörünü (Z*) afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Organik tar›m yap›lmak istenen bir arazide, afla¤›da konumsal koordinatlar› verilen 4noktadan toprak örnekleri al›nm›fl ve pH analizleri yap›lm›flt›r. Örnek al›namayan A nok-tas›n›n pH de¤erini uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›rma yöntemiyle tahmin ediniz.

KR‹G‹NG TAHM‹N YÖNTEM‹ Kriging yöntemi, bir noktan›n veya blo¤un de¤iflken de¤erini, noktan›n veya blo-¤un kendi içindeki ve çevresindeki örnek de¤erleri setinin do¤rusal kombinasyo-nu olarak tahmin etmede kullan›lan tekniktir (Konuk ve Önder, 1999). Krigingyöntemi, do¤rusal ve sistematik sapmas› olmayan (yans›z) en iyi tahminleyici ola-rak tan›mlanmaktad›r. Bir noktan›n veya blo¤un de¤iflken de¤erini en küçük hataile tahmin etmeye çal›flan bir yöntem olarak bilinmektedir.

Kriging yönteminin amac›, de¤iflken de¤eri bilinmeyen bir nokta veya blokçevresindeki ve içindeki örnek de¤erlerinin a¤›rl›k katsay›lar›n›, semi-variogrammodel parametreleri yard›m›yla hesaplayarak, tahmin varyans›n› en küçükleyecekflekilde de¤iflken de¤erini tahmin etmektir. Bir nokta veya blo¤un tahmini de¤ifl-ken de¤eri, örneklenen gözlem de¤erlerinin konumsal düzenine ve veri yap›s›n›inceleyen semi-variogram fonksiyonuna dayanmaktad›r.

Kriging yönteminin klasik konumsal tahmin yöntemlerine göre en önemli üs-tünlükleri;

• Tahminde kullan›lan örneklerin etki alan›n› ve yönsel de¤iflimini dikkate al-mas›,

• ‹ki veya üç boyutlu blok de¤iflken de¤erlerinin tahmininde, blok boyutlar›-n› dikkate almas›,

Z (S ) .Z(S ) .Z(S ) .Z(S ) .Z(S ) .Z*A 1 1 2 2 3 3 4 4 5= + + + +W W W W W ((S )

Z (S ) 0 0) (0,217 * 450) )

5*

A = + +( , * ( , *098 32 0 137 380 ++

+

=

(0,319 * 400)

(0,229 * 280)

Z (S ) 372,8 gr / ton A*A gg

Wd S S

d S S

A

i A

11

1

10 01430 1457

0 098= = =

∑

( , )

( , )

,,

,


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Örnek No

Si

Konumsal Koordinatlar (m) Z(Si)

(pH)(X) (Y)

A 5400 3600 -

1 5100 3450 4,8

2 5200 3750 5,9

3 5650 3725 6,4

4 5550 3500 5,7

Kriging yöntemiyle a¤›rl›kkatsay›lar›n›n hesaplamayöntemi, uzakl›¤›n tersi ilea¤›rl›kland›rma yönteminek›yasla daha karmafl›kt›r.Uzakl›¤›n tersi ilea¤›rl›kland›rma yöntemindeuzakl›¤a ba¤l› basitalgoritmalar kullan›l›rken,kriging yönteminde verininkonumsal yap›s›n› ele alansemivariogram modellerikullan›lmaktad›r.

www.hedefaof.com

• Blok de¤iflken de¤erleri tahmin edilirken, her bir blo¤un tahmin hatas›n›nbelirlenmesine olanak sa¤lamas›,

• Di¤er yöntemlere göre tahminlerin varyans›n› en küçüklemesidir.Kriging yönteminde, de¤iflken de¤eri bilinmeyen belirli bir nokta, alan veya ha-

cimsel blok için tahminler yap›labilmektedir. Afla¤›da, anlafl›l›rl›¤›n›n kolay olmas›nedeniyle, belirli bir noktan›n bilinmeyen de¤iflken de¤erinin kriging yöntemiyletahmini tan›t›lacakt›r.

Nokta Kriging De¤iflken de¤eri bilinmeyen bir nokta için kriging yöntemiyle tahmin yapabilmekiçin öncelikle örnek noktalar› dikkate al›narak semi-variogram parametrelerininbelirlenmifl olmas› gerekir. Daha sonra, de¤eri bilinmeyen nokta etraf›ndaki kom-flu örnek noktalar›ndan hangilerinin tahminde kullan›laca¤›n› belirlemek gerekir.Bunun için de¤eri bilinmeyen nokta etraf›nda, bir arama kapsama alan› belirlenir.Bu kapsama alan›, semi-variogram modelinin etki mesafesine (a) eflit olmal›d›r. Et-ki mesafesi tüm yönlerde ayn› de¤ere sahipse (izotropik durum varsa), etki mesa-fesi yar›çapl› dairesel bir alan, kapsama alan› olur. Ancak, etki mesafesinin yönselde¤iflimi (anizotropik de¤iflim) sözkonusu ise, etki mesafesinin büyük ve küçükoldu¤u yönlere göre belirlenecek elipsoidal bir kapsama alan› olacakt›r.

De¤iflken de¤eri tahmin edilecek nokta için arama kapsama alan›ndaki örneknoktalar›n›n belirlenmesinden sonra, tahmin edilecek nokta ile örnek noktalar›aras› ortalama semi-variogram de¤erleri dikkate al›narak her bir noktan›n a¤›rl›kkatasay›lar› hesaplan›r. Arama kapsama alan›ndaki örnek noktalar›n›n a¤›rl›klar›kullan›larak da, noktasal de¤iflken de¤eri tahmin edilir.

De¤iflken de¤eri ( ) bilinmeyen A noktas›n›n çevresinde arama kapsamaalan› içinde bulunan n adet komflu örnek noktalar›n›n (Si) de¤iflken de¤erleri(Z(Si)) ve örnek noktalar›n a¤›rl›k katsay›lar› (Wi) yard›m›yla, A noktas›n›n de¤ifl-ken de¤eri;

eflitli¤i ile hesaplan›r. Tahmin varyans›n› en küçükleyen katsay›lar›n toplam›, yans›zl›k koflulunu sa¤-

lamak amac›yla daima bire eflit olmal›d›r.

Tahminlerin varyans›, semi-variogram fonksiyonlar›na ba¤l› olarak afla¤›dakigibi hesaplanabilir.

Burada, = tahmin varyans›

= A noktas› ile Si örnekleri aras› ortalama semi-variogram, γ(S , v)i

σe2

σ γ γe2

i i i j i jj 1

n

i 1

n

i 1

n2 W . (S ,A) W .W . (S ,S )= −

===∑∑∑

W 1ii 1

n=

=∑

Z W .Z(S )A*

i ii 1

n=

=∑

ZA*


Arama kapsama alan›içerisindeki örnek noktasay›s›n›n 15 veya 16 olmas›ideal bir durumdur. Bu alaniçindeki örnek nokta say›s›4’ün alt›nda olursa, krigingyöntemiyle yap›lacaktahminler yan›lt›c› sonuçlarverebilmektedir (Tüysüz veYaylal›, 2005).

www.hedefaof.com

= Si örne¤indeki bir nokta ile Sj örne¤indeki di¤er bir nokta çiftleri ara-s›ndaki ortalama semi-variogramd›r.

Tahmin varyans›n›n büyüklü¤ü, afla¤›daki hususlara ba¤l› olarak de¤iflir:a) Semi-variogramla aç›klanan bölgeselleflmifl de¤iflkenin karakteristi¤ine,b) Tahmin için kullan›lan toplam örnek say›s›na,c) De¤iflken de¤eri tahmin edilen nokta çevresindeki birbirleriyle ilgili örnek-

lerin birbirlerine göre konumuna,d) Her bir örne¤e atanan a¤›rl›¤a,

Tahmin varyans›, onun a¤›rl›¤›na göre diferansiyelinin al›nmas›yla minimizeedilebilir ve diferansiyeli s›f›ra eflittir.

Bu diferansiyel, n eflitlik ve n bilinmeyen (W1,W2, .... Wn) sa¤layacakt›r. Bura-

da bulunacak olan a¤›rl›klar toplam›n› ile s›n›rland›rmak için, di¤er bir

bilinmeyen olarak Lagrangian çarpan› (λ) eflitlik sistemini dengeleyici bir unsur

olarak ifllemlere dahil edilir. Bu durumda, n+1 eflitlik ve n+1 bilinmeyen ortaya ç›-

kar ve W1,W2, .... Wn ile λ saptanabilir (Konuk ve Önder, 1999).Kriging yöntemiyle Si örnek noktalar›n›n a¤›rl›klar›n›n hesaplanmas› için, afla¤›-

daki eflitlik sisteminin çözümü gereklidir.

Burada, Wj = bilinmeyen a¤›rl›klar ve λ = Lagrangian çarpan›d›r.

Bu eflitlik setinin çözümü, en iyi do¤rusal ve yans›z tahminciyi veren a¤›rl›klarsetini üretecektir. Bu a¤›rl›klara ve Lagrangian çarpan›na ba¤l› olarak da krigingvaryans›,

eflitli¤i ile hesaplanabilir. Bu kriging varyans›, en küçük tahmin varyans›n› göster-mektedir.

Kriging yönteminin, tahmin varyans›n› en küçükleyen ve en iyi do¤rusal veyans›z tahminciyi (a¤›rl›klar›) veren bir yöntem oldu¤u, afla¤›daki örnekte uygula-mal› olarak ispatlanmaya çal›fl›lacakt›r. Burada, öncelikle uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›k-land›rarak tahmin, daha sonra ise kriging ile tahmin yöntemleri ele al›nacakt›r.

σ γ λk2

i ii 1

nW . (S ,A)= +

=∑

W . (S ,S ) (S ,A)

W 1

j i j ij 1

n

ii 1

n

γ λ γ+ =

=

=

=

∑

∑

W 1ii 1

n=

=∑

∂

∂= =

σe2

iW0 ................. i 1,2, .............. n

γ(S ,S )i j


www.hedefaof.com

Bir gümüfl madeni yata¤›ndan al›nan sondaj örnek tenör (% Metal Gümüfl-Ag) ve-rileri ile yap›lan variorgram analizleri sonras›nda, hesaplanan deneysel semi va-riogarm de¤erlerinin küresel modele uydu¤u ve model parametrelerinin afla¤›dakigibi oldu¤u belirlenmifltir.

Külçe etkisi : C0= 100 (gr/ton)2 AgEflik de¤er : C = 700 (gr/ton)2 AgEtki mesafesi : a= 100 m

Maden yata¤›nda A noktas›nda tenör de¤eri bilinmemekte olup, etki mesfesiiçerisinde A noktas›na komflu iki adet sondaj (örnek) noktas› bulunmaktad›r. Anoktas› ile sondaj noktalar› (S1 ve S2) noktalar› aras› uzakl›klar ve sondaj noktala-r›ndan al›nan örneklerin tenör de¤erleri (gr/ton Ag) afla¤›daki çizelgelerde verildi-¤i gibidir.

a) Uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›rma yöntemiyle A noktas›n›n tenör de¤erinitahmin ediniz.

b) Kriging yöntemiyle A noktas›n›n tenör de¤erini tahmin ederek, tahminin kri-ging varyans›n› bulunuz.

Çözüm:a) Uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›rma yöntemiyle tahmin:Örnek noktalar›n›n de¤iflken de¤eri tahmin edilecek A noktas›na olan uzakl›k-

lar›, uzakl›klar›n tersleri ve uzakl›k tersleri toplam›na göre a¤›rl›klar› afla¤›da veril-di¤i gibi hesaplanm›flt›r.

De¤iflken de¤eri bilinmeyen A noktas›n›n tahmini tenörünü ( ) afla¤›daki gi-bi hesaplar›z.

Z W Z SA ii

n

i* . ( )=

=∑

1

Z A*


Sondaj N. No Si Tenörler Z(Si) (gr/ton Ag)

1 400

2 500

Noktalar Noktalar Aras› Uzakl›k (m)

S1 ile A 20

S2 ile A 30

S1 ile S2 36

Örnek No

Si

A

Noktas›ndan Uzakl›k (m)

Ters

Uzakl›k (1/m)A¤›rl›klar Wi

1 20 0,0500 0,6

2 30 0,0333 0,4

Toplam 0,0833 1,000

Ö R N E K

www.hedefaof.com

b) Kriging yöntemiyle tahmin :Kriging yöntemiyle Si örnek noktalar›n›n a¤›rl›klar›n›n hesaplanmas› için, afla¤›-

daki eflitlik sistemini kullan›r›z.

‹ki örnek noktam›z (S1 ve S2) oldu¤undan, afla¤›daki üç adet kriging eflitli¤isözkonusudur.

W1 + W2 = 1

Burada, : S1 ve S2 örnek noktalar›n›n kendi içindeki or-talama semi-variogram›,

: S1 ve S2 noktalar› aras›ndaki ortalama semi-variogram›,

: A noktas› ile S1 ve S2 noktalar› aras›ndaki ortalama semi-variogram› ifade etmektedir.

Örnek noktalar›n›n kendi içinde herhangi bir mesafe söz konusu olmad›¤›n-dan; olur.

Örnek noktalar› aras› ve örnek noktalar› ile A noktas› aras› ortalama semi-vari-ogramlar› afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Külçe etkili küresel model;

olup, burada h : Si ve Sj noktalar› aras› uzakl›kt›r.

Külçe etkisi C0=100 (gr/ton)2 Ag, eflik de¤er C=700 (gr/ton)2 Ag ve etki mesa-fesi a=100 m olarak verilmiflti.

S1 ve S2 noktalar› aras› uzakl›k h=36 m oldu¤undan, S1 ve S2 noktalar› aras› or-talama semi-variogram;

γ( , ) ... .

S S C Cha

h

ai j = + −

0

3

3

32 2

γ γ( , ) ( , )S S S S1 1 2 20 0= =ve

γ γ( , ) ( , )S A S A1 2ve

γ γ( , ) ( , )S S S S1 2 2 1ve

γ γ( , ) ( , )S S S S1 1 2 2ve

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A2 2 2+ =

W . (S ,S ) (S ,A)

W 1

j i j ij 1

n

ii 1

n

γ λ γ+ =

=

=

=

∑

∑

Z .Z(S ) .Z(S )

Z 0 400) (0,400 *500)

Z

A*

1 1 2 2

A*

= +

= +

W W

( , *6

AA* gr / ton Ag= 440


www.hedefaof.com

S1 ve A noktas› aras› uzakl›k h=20 m oldu¤undan, S1 ve SA noktalar› aras› orta-lama semi-variogram;

(gr/ton)2 Ag


(gr/ton)2 Ag

‹ki örnek noktas› ile A noktas› de¤iflken de¤erini tahmin için kullanaca¤›m›za¤›rl›k katsay›lar›n› hesaplamak için;

Kriging eflitlik sistemini elde etmifltik. Bu eflitlik sisteminin bilinenlerini yerineyazarsak;

üç bilinmeyenli (W1 , W2 ve λ) ve üç adet eflitlik elde ederiz. Bu eflitlik sistemi-ni, W1 =1–W2 yazarak çözdü¤ümüzde, bilinmeyenleri;

λ = 125,54W1 = 0,6065W2 = 0,3935

olarak hesaplar›z.Hesaplanan a¤›rl›k katsay›lar›n› kullanarak, de¤iflken de¤eri bilinmeyen A nok-

tas›n›n tahmini tenörünü ( ) afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Z W Z S

W W

A ii

n

i* . ( )=

= +

=∑

1

Z .Z(S ) .Z(S )A*

1 1 2 2

Z A*

( * ) ( * , ) ,

( * , ) ( * )

W W

W W

1 2

1 2

0 461 67 307 20

461 67 0

+ + =

+ +

λ

λ ==

+ =

405 55

11 2

,

W W

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A

W W

2 2 2

1 2 1

+ =

+ =

γ( , ) .**

( )

* ( )S A2

3

3100 700

3 302 100

30

2 100= + −

= 405 55,

γ( , ) .**

( )

* ( )S A1

3

3100 700

3 202 100

20

2 100= + −

= 307 20,

γ( , ) .**

( )

* ( )S S1 2

3

3100 700

3 362 100

36

2 100= + −

= 461 67 2, (gr / ton) Ag


www.hedefaof.com

Kriging yöntemiyle yap›lan tahminin varyans›n›, afla¤›daki eflitlikle bulabiliriz.

Bir kent merkezine kullanma suyu sa¤layan akarsu yata¤›n›n de¤iflik noktalar›ndan al›nanörneklerin kurflun içeri¤i de¤iflmleri için yap›lan variorgram analizleri sonras›nda, hesap-lanan deneysel semi variogram de¤erlerinin küresel modele uydu¤u ve model parametre-lerinin afla¤›daki gibi oldu¤u belirlenmifltir.

Eflik de¤er : C= 20 (ppm)2 PbEtki mesafesi : a= 50 m

Akarsu yata¤›nda A noktas›nda bulunan bir sanayi tesisinin akarsuya ne kadar kurflun de-flarj etti¤i tahmin edilmek istenmektedir. Etki mesafesi içerisinde A noktas›na komflu ikiadet örnek noktas› bulunmaktad›r. A noktas› ile örnek noktalar› (S1 ve S2) aras› uzakl›k-lar ve örnek noktalar›ndan elde edilen verilerin kurflun içerikleri (ppm Pb) afla¤›daki çi-zelgelerde verildi¤i gibidir. Kriging yöntemiyle A noktas›n›n kurflun içeri¤ini tahmin ede-rek, tahminin kriging varyans›n› bulunuz.

Bir sanayi sitesi sahas›nda yap›lan gürültü ölçümleri sonucunda, al›nan örnek-ler ile yap›lan variorgram analizleri sonras›nda hesaplanan deneysel semi vari-ogram de¤erlerinin do¤rusal modele uydu¤u ve modelin afla¤›daki gibi oldu¤ubelirlenmifltir.

Sanayi sitesi sahas›nda A noktas›nda gürültü ölçümü yap›lamad›¤›ndan, bunoktan›n gürültü seviyesi tahmin edilmek istenmektedir. A noktas›na komflu ikiadet örnek noktas›nda ölçüm yap›lm›fl olup, A noktas› ile örnek noktalar› (S1 ve

γ(h) = −140 0 2. ,h

σ

σ

k2 = + +

=

( , * , ) ( , * , ) ,0 6065 307 20 0 3935 405 55 125 54

42k 770 54 2, ( / )gr ton Ag

σ γ λk2

i ii 1

nW . (S ,A)= +

=∑

Z 0 400) (0,3935*500)

Z gr / ton

A*

A*

= +

=

( , *

,

6065

439 35 Ag


Uzakl›¤›n tersiylea¤›rl›kland›rma yöntemindede¤iflken de¤eri bilinmeyenbir nokta için yap›lantahminin varyans›belirlenemezken, krigingyöntemindebelirlenebilmektedir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Örnek N. No Si Kurflun ‹çeri¤i Z(Si) (ppm Pb)

1 5

2 2


S1 ile A 10

S2 ile A 40

S1 ile S2 50

Ö R N E K

www.hedefaof.com

S2) noktalar› aras› uzakl›klar ve örnek noktalar›nda ölçülen gürültü seviyeleri (dB-Desibel) afla¤›daki çizelgelerde verildi¤i gibidir. Kriging yöntemiyle A noktas›n›ngürültü seviyesini tahmin ederek, tahminin kriging varyans›n› bulunuz.

Çözüm: ‹ki örnek noktam›z (S1 ve S2) oldu¤undan, afla¤›daki üç adet kriging eflitli¤i

sözkonusudur.

Örnek noktalar›n›n kendi içinde herhangi bir mesafe söz konusu olmad›¤›n-dan; olur.

Örnek noktalar› aras› ve örnek noktalar› ile A noktas› aras› ortalama semi-vari-ogramlar› afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Do¤rusal model;

olup, burada h : Si ve Sj noktalar› aras› uzakl›kt›r.S1 ve S2 noktalar› aras› uzakl›k h=100 m oldu¤undan, S1 ve S2 noktalar› aras›

ortalama semi-variogram;


(dB)2


γ( , ) * ( ) ,,S A10 2140 25 73 5= =−

γ

γ

(h)

( )

=

= =

−

−

140

140 100 55 7

0 2

1 20 2 2

.

( , ) * ( ) ,

,

,

h

S S db

γ(h) = −140 0 2. ,h

γ γ( , ) ( , )S S S S1 1 2 20 0= =ve

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A

W W

2 2 2

1 2 1

+ =

+ =


Örnek N. No Si Gürültü Z(Si) (dB)

1 50

2 80


S1 ile A 25

S2 ile A 75

S1 ile S2 100

www.hedefaof.com

(dB)2

‹ki örnek noktas› ile A noktas› de¤iflken de¤erini tahmin için kullanaca¤›m›za¤›rl›k katsay›lar›n› hesaplamak için;

Kriging eflitlik sistemini elde etmifltik. Bu eflitlik sisteminin bilinenlerini yerineyazarsak;

üç bilinmeyenli (W1, W2 ve λ) ve üç adet eflitlik elde ederiz. Bu eflitlik sistemini,W1 = 1–W2 yazarak çözdü¤ümüzde, bilinmeyenleri;

λ = 38,4W1 = 0,37W2 = 0,63

olarak hesaplar›z.Hesaplanan a¤›rl›k katsay›lar›n› kullanarak, de¤iflken de¤eri bilinmeyen A nok-

tas›n›n tahmini kurflun içeri¤ini ( ) afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Kriging yöntemiyle yap›lan tahminin varyans›n›, afla¤›daki eflitlikle bulabiliriz.

σ γ λ

σ

k2

i ii 1

n

k2

W . (S ,A)= +

= +

=∑

( , * , ) ( , * ,0 37 73 5 0 63 59 0 )) , ,+ =38 4 102 765 2(dB)

Z W Z S

W W

A ii

n

i* . ( )

( ,

=

= +

=

=∑

1

37

Z .Z(S ) .Z(S )

Z 0

A*

1 1 2 2

A* **

,

50

68 9

) (0,63*80)

Z dBA*

+

=

ZA*

( * ) ( * , ) ,

( * , ) ( * ) ,

W W

W W

W

1 2

1 2

0 55 7 73 5

55 7 0 59 0

+ + =

+ + =

λ

λ

11 2 1+ =W

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A

W W

2 2 2

1 2 1

+ =

+ =

γ( , ) * ( ) ,,S A20 2140 75 59 0= =−


www.hedefaof.com

Bir sodyum sülfat tuzu kristallefltirme havuzundan al›nan örnekler ile yap›lan variorgramanalizleri sonras›nda hesaplanan deneysel semi variogram de¤erlerinin do¤rusal modeleuydu¤u ve modelin γ(h) = 0,001.h1,65 oldu¤u belirlenmifltir. Havuzun A noktas›ndan ör-nek al›namamakta olup, bu noktan›n sodyum sülfat içeri¤i (% Na2SO4) tahmin edilmek is-tenmektedir. A noktas›na komflu iki noktadan al›nan örneklerin analizi yap›lm›fl olup, Anoktas› ile örnek noktalar› (S1 ve S2) noktalar› aras› uzakl›klar ve örnek noktalar›n›n sod-yum sülfat içerikleri afla¤›daki çizelgelerde verildi¤i gibidir. Kriging yöntemiyle A noktas›-n›n sodyum sülfat içeri¤ini tahmin ederek, tahminin kriging varyans›n› bulunuz.


Örnek N. No Si Z(Si) (% Na2SO4)

1 38

2 46


S1 ile A 100

S2 ile A 300

S1 ile S2 400

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

www.hedefaof.com


Konumsal tahminde kullan›lan klasik istatistik

ve jeoistatistik yöntemler hakk›nda aras›ndaki

fark› belirlemek.

Klasik konumsal tahmin yöntemler, al›nan ör-neklerin devaml›l›¤›n›, etki alan›n› ve yönsel de-¤iflimini dikkate almayan yöntemler oldu¤undan,yap›lacak konumsal tahminlerde hata büyüklü¤üartmakta ve tahminlerin güvenilirli¤i azalmakta-d›r. Bu nedenlerle de, bölgeselleflmifl de¤iflken-ler için konumsal tahminlerde, klasik yöntemleryerine jeoistatistiksel kriging yöntemlerini uygu-lamam›z gerekmektedir.

Konumsal tahminde en yak›n komflu, yüzey

trend analizi ve uzakl›¤›n tersiyle a¤›rl›kland›r-

ma yöntemlerini kullanmak.

En yak›n komflu yönteminde, örnek noktalar›aras›nda en yak›n olan noktan›n de¤iflken de¤e-ri belirlenerek, tahmin edilecek noktaya atamas›yap›lmaktad›r. En yak›n komflu yöntemiyle tah-minde, en yak›n komflu noktay› bulabilmek içinkonumsal noktalar aras› uzakl›klar›n hesaplan-mas›nda Öklid yöntemi kullan›lmaktad›r. Bu yön-tem, en yak›n komflu örnek noktas›ndan dahauzak noktalardaki de¤iflken de¤erlerini, örneknoktalar› aras›ndaki ba¤›ml›l›¤›, devaml›l›¤› veyönsel süreklili¤i dikkate almayan bir yöntemdir.Yüzey trend analizi yönteminde, örnek noktala-r›n›n de¤iflken de¤erleri ile konumsal koordinat-lar› dikkate al›narak, en küçük kareler yöntemiy-le p’inci dereceden polinom denklemi elde edil-mekte ve bu denklem yard›m›yla de¤iflken de¤e-ri bilinmeyen noktalar için tahminler yap›lmakta-d›r. Bu yöntemle ortalama bir tahmin yap›ld›¤›n-dan, afl›r› düflük veya yüksek de¤iflken de¤erleri-nin tahmininde yan›lt›c› sonuçlar ortaya ç›kabil-mektedir. Uzakl›¤›n tersi ile a¤›rl›kland›rma yönteminde,her örnek noktas›n›n, de¤eri tahmin edilecek nok-taya olan uzakl›¤›na göre ters oranda a¤›rl›¤› be-lirlenerek tahmin yap›lmaktad›r. Uzakl›¤›n tersiile a¤›rl›kland›rma yöntemi, belirli bir etki mesa-fesi içerisindeki örnek noktalar›n› dikkate alan veetki mesafesi d›fl›ndaki daha uzakta olan nokta-lar› hesaplamalara dahil etmeyen bir yöntemdir.

Konumsal tahmininde Kriging yöntemini

aç›klamak ve farkl› semi-variogram modelleri ile

noktasal tahmin uygulamalar› yapmak.

Kriging yöntemi, de¤iflken de¤eri bilinmeyen birnokta veya blok çevresindeki ve içindeki örnekde¤erlerinin a¤›rl›k katsay›lar›n›, semi-variogrammodel parametreleri yard›m›yla hesaplayan vetahmin varyans›n› en küçükleyecek flekilde de-¤iflken de¤erini tahmin eden bir yöntemdir. Buyöntemde, de¤iflken de¤eri tahmin edilecek nok-ta için arama kapsama alan›nda belirlenen örneknoktalar› ile tahmin edilecek nokta aras› ortala-ma semi-variogram de¤erleri dikkate al›narak herbir noktan›n a¤›rl›k katasay›lar› hesaplanmaktave bu katsay›lar kullan›larak da noktasal de¤ifl-ken de¤eri tahmin edilmektedir. Kriging yönte-mi, tahmin varyans›n› en küçükleyen ve en iyido¤rusal ve yans›z tahminciyi (a¤›rl›klar›) verenbir yöntemdir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

www.hedefaof.com


1. De¤iflken de¤eri bilinmeyen bir konumsal noktan›nde¤iflken de¤erini tahminde, afla¤›dakilerin hangisindeörnek nokta de¤erlerinin a¤›rl›klar› semi-variogramfonksiyonuna ba¤l› olarak hesaplan›r?

a. En yak›n komflu b. Uzakl›¤›n tersiyle a¤›l›kland›rmac. Yüzey trend analizid. Kriging e. Regresyon

2. Afla¤›dakilerden hangisi en yak›n komflu yöntemiy-le tahminin sak›ncas› de¤ildir?

a. Uzak noktalardaki di¤er noktalar› dikkate alma-mas›

b. Tahminde kullan›lacak komflu nokta say›s› be-lirsizdir

c. Tahminde sadece en yak›n komflu nokta veyanoktalar› dikkate almas›

d. Örnek noktalar aras› ba¤›ml›l›k dikkate al›nmaze. Örnek noktalar aras› devaml›l›k dikkate al›nmaz

3. Bir de¤iflken de¤eri için 5 noktadan örnek al›nm›flfakat A noktas›ndan al›namam›flt›r. Örnek noktalar› ileA noktas› aras› mesafeler ve örnek noktalar›n›n de¤ifl-ken de¤erleri afla¤›daki gibidir. En yak›n 2 komflu nok-tas› dikkate al›nd›¤›nda A noktas›n›n de¤iflken de¤erine olur?

a. 6,4b. 8,6c. 10,3d. 12,3e. 24,6

4. Her bir örnek noktas› kullan›larak elde edilen poli-nom denklemi yard›m›yla tahmin yöntemi afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. En yak›n komflu b. Uzakl›¤›n tersiyle a¤›l›kland›rmac. Yüzey trend analizid. Kriging e. Regresyon

5. Afla¤›da 2 örnek noktas›n›n A noktas›na uzakl›klar›verilmifltir. Uzakl›¤›n tersi dikkate al›nd›¤›nda, A nokta-s›n›n de¤iflken de¤erini tahminde S1 örnek noktas›n›na¤›rl›¤› ne olur?

a. 0,240b. 0,286c. 0,565d. 0,714e. 0,760

6. Afla¤›dakilerden hangisi Kriging yönteminin klasikkonumsal tahmin yöntemlerine göre en önemli üstün-lü¤ü de¤ildir?

a. Örneklerin birbirinden ba¤›ms›z oldu¤unu dik-kate al›r.

b. Örneklerin etki alan›n› dikkate al›r.c. Örneklerin de¤iflken de¤erlerinin yönsel de¤ifli-

mini dikkate al›r.d. Blok de¤iflken de¤eri tahminlerinde, blok bo-

yutlar›n› dikkate al›r.e. Tahminlerin varyans›n› en küçükler.

7. Arama kapsama alan› içerisindeki örnek nokta say›-s› kaç›n alt›nda olursa, Kriging yöntemiyle yap›lacaktahminler yan›lt›c› sonuçlar verir?

a. 4b. 8c. 10d. 15e. 16


Si

Nokta No

d(Si,SA) A Noktas›na

Uzakl›¤› (m)

Z(Si) De¤iflken

De¤eri

1 42 5

2 56 9

3 22 10

4 68 12

5 30 14

Örnek No Si A Noktas›ndan Uzakl›k (m)

1 20

2 50

www.hedefaof.com


8. Bir kömür madeninde kal›nl›k örnekleriyle yap›lanvariogram analizleri sonras›nda, kal›nl›k de¤eri bilin-meyen A noktas› için etki alan›nda bulunan 4 örneknoktas› ile kriging a¤›rl›k katsay›lar› afla¤›daki gibi he-saplanm›flt›r. A noktas› kal›nl›¤›n›n kriging tahmin de-¤eri ( ) nedir?

a. 3,3b. 6,3c. 7,4d. 8,4e. 9,6

9. Bir alt›n madeninde variogram analizleri yap›ld›ktansonra, alt›n içeri¤i (gr/ton Au) bilinmeyen A noktas›için komflu iki örnek noktas› ile tahmin yap›lmak isten-mektedir. A noktas› ile örnek noktalar aras› ortalamasemi-variogram de¤erleri afla¤›daki gibi oldu¤una göre,A noktas›n›n tahmininde kullan›lacak S2 örne¤inin kri-ging a¤›rl›k katsay›s› de¤eri ne olur?

a. 0,10b. 0,17c. 0,33d. 0,67e. 0,83

10. Bir arazide topo¤rafik ölçüm cihazlar›yla yap›lanyükselti ölçümleri sonras›nda variogram madellemesigerçeklefltirilmifltir. Yükseltisi ölçülemeyen A noktas›için etki alan›nda bulunan 4 örnek noktas› ile hesapla-nan kriging a¤›rl›k katsay›lar› ve ortalama semi variog-ram de¤erlerinin afla¤›daki gibi oldu¤u belirlenmifltir.Kriging eflitliklerinin çözümü s›ras›nda lagrange çarpa-n› de¤eri λ = 12,5 hesapland›¤›na göre, A noktas›n›nkriging tahmin varyans› de¤eri de¤eri ( ) ne olur?

a. 1,0b. 3,5c. 12,5d. 28,5e. 41,0

σk2

ZA*

Nokta No Wi Kriging A¤›rl›k

Katsay›s›

Zi Kömür Kal›nl›¤›

(m)

1 0,15 6,0

2 0,25 8,0

3 0,20 7,0

4 0,40 5,0

NoktalarOrtalama Semi-Variogram

(%)2 Au

S1 ile A ( )γ( , )S A1 10

S2 ile A ( )γ( , )S A2 20

S1 ile S2 ( )γ( , )S S1 2 15

S1 ile S1 ( )γ( , )S S1 1 0

S2 ile S2 ( )γ( , )S S2 2 0

NoktalarOrtalama Semi-Variogram

(M)2

S1 ile A ( )γ( , )S A1 20

S2 ile A ( )γ( , )S A2 10

S3 ile A ( )γ( , )S A3 30

S4 ile A ( )γ( , )S A4 40

Nokta No Wi Kriging A¤›rl›k Katsay›s›

1 0,05

2 0,25

3 0,30

4 0,40

www.hedefaof.com


1. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kriging Tahmin Yöntemi”konusuna bak›n›z.

2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “En Yak›n Komflu Yöntemi”konusuna bak›n›z.

3. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “En Yak›n Komflu Yöntemi”konusuna bak›n›z.

4. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Yüzey Trend Analizi” ko-nusuna bak›n›z.

5. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Uzakl›¤›n Tersiyle A¤›rl›k-land›rma Yöntemi” konusuna bak›n›z.

6. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kriging Tahmin Yöntemi”konusuna bak›n›z.

7. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kriging Tahmin Yöntemi”konusuna bak›n›z.

8. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kriging Tahmin Yöntemi”konusuna bak›n›z.

9. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kriging Tahmin Yöntemi”konusuna bak›n›z.

10. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Kriging Tahmin Yöntemi”konusuna bak›n›z.


Tarlalar ile A noktas› aras› uzakl›klar afla¤›daki afla¤›da-ki eflitlikle hesaplan›r.

En yak›n iki komflu nokta S2 ve S4 oldu¤undan, nokta-lar aras› uzakl›klarla a¤›rl›kland›r›lm›fl tahmini de¤iflken de¤erini afla¤›daki gibi hesaplar›z.

S›ra Sizde 2

Örnek noktalar›n›n de¤iflken de¤eri tahmin edilecekblok merkezinde bulunan A noktas›na olan uzakl›klar›Öklid yöntemiyle hesaplanm›flt›r. Uzakl›klar›n terslerive uzakl›k tersleri toplam›na göre a¤›rl›klar› afla¤›da ve-rildi¤i gibi hesaplanm›flt›r.

Blok merkezi olan SA noktas›n›n tahmini tenörünü (Z*)afla¤›daki gibi hesaplar›z.

S›ra Sizde 3

‹ki örnek noktam›z (S1 ve S2) oldu¤undan, afla¤›daki üçadet kriging eflitli¤i sözkonusudur.

Örnek noktalar›n›n kendi içinde herhangi bir mesafesöz konusu olmad›¤›ndan;

Örnek noktalar› aras› ve örnek noktalar› ile A noktas›aras› ortalama semi-variogramlar› afla¤›daki gibi hesap-lar›z.Küresel model;

olup, burada h : Si ve Sj noktalar› aras› uzakl›kt›r.Eflik de¤er C=20 (ppm)2 Pb ve etki mesafesi a=50 molarak verilmiflti.

γ

γ

( , ) ... .

( , )

S S Cha

h

ah a

S S C

i j

i j

= −

≤

=

32 2

3

3

hh a≥

γ γ( , ) ( , )S S ve S S1 1 2 20 0= = olur

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A

W W

2 2 2

1 2 1

+ =

+ =

Z (S ) .Z(S ) .Z(S ) .Z(S ) .Z(S )

Z (S

*A 1 1 2 2 3 3 4 4

*A

= + + +W W W W

)) 0 ) (0,248*5,9) ) (0,345*5= + + +( , * , ( , * ,185 4 8 0 222 6 4 ,,7)

Z (S ) pH*A = 5 7,

Z S

d S S Z S

d S SA

i A ii

k

i Ai

k*( )

( , ). ( )

( , )

( *

=

=

=

=

∑

∑1

1

200 85)) ( , * )( , )

,++

=223 6 102

200 223 694 0cm

d S S x x y yi A i A i A( , ) ( ) ( )= − + −2 2


Tarla No Si

Konumsal Koordinatlar (m) A Noktas›naUzakl›k (m)

d (S‹, SA)(X) (Y)

1 6100 4700 316,2

2 6400 4800 200,0

3 6900 4750 522,0

4 6600 4500 223,6

5 6300 4250 364,0

Örnek No Si

ANoktas›ndanUzakl›k (m)

Ters Uzakl›k(1/m)

A¤›rl›klar Wi

1 335,4 0,0030 0,185

2 250 0,0040 0,248

3 279,5 0,0036 0,222

4 180,3 0,0055 0,345

Toplam 0,0161 1,000

www.hedefaof.com


S1 ve S2 noktalar› aras› uzakl›k h=50 m etki mesafesineeflit (h=a=50 m) oldu¤undan, S1 ve S2 noktalar› aras› or-talama semi-variogram;

S1 ve A noktas› aras› uzakl›k h=10 m oldu¤undan, S1 veSA noktalar› aras› ortalama semi-variogram;

S2 ve A noktas› aras› uzakl›k h=40 m oldu¤undan, S2 veSA noktalar› aras› ortalama semi-variogram;

‹ki örnek noktas› ile A noktas› de¤iflken de¤erini tah-min için kullanaca¤›m›z a¤›rl›k katsay›lar›n› hesapla-mak için;

Kriging eflitlik sistemini elde etmifltik. Bu eflitlik sistemi-nin bilinenlerini yerine yazarsak;

üç bilinmeyenli (W1,W2, λ) ve üç adet eflitlik elde ede-riz. Bu eflitlik sistemini, W1=1-W2 yazarak çözdü¤ümüz-de, bilinmeyenleri;λ=2,4W1=0,824W2=0,176olarak hesaplar›z.Hesaplanan a¤›rl›k katsay›lar›n› kullanarak, de¤iflkende¤eri bilinmeyen A noktas›n›n tahmini kurflun içeri¤i-ni ( ) afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Kriging yöntemiyle yap›lan tahminin varyans›n›, afla¤›-daki eflitlikle bulabiliriz.

S›ra Sizde 4

‹ki örnek noktam›z (S1 ve S2) oldu¤undan, afla¤›daki üçadet kriging eflitli¤i sözkonusudur.

Örnek noktalar›n›n kendi içinde herhangi bir mesafesöz konusu olmad›¤›ndan;

Örnek noktalar› aras› ve örnek noktalar› ile A noktas›aras› ortalama semi-variogramlar› afla¤›daki gibi hesap-lar›z.Do¤rusal model;

olup, burada h : Si ve Sj noktalar› aras› uzakl›kt›r.S1 ve S2 noktalar› aras› uzakl›k h=400 m oldu¤undan,S1 ve S2 noktalar› aras› ortalama semi-variogram;

S1 ve A noktas› aras› uzakl›k h=100 m oldu¤undan, S1 ve SA noktalar› aras› ortalama semi-variogram;

S2 ve A noktas› aras› uzakl›k h=300 m oldu¤undan, S2 ve SA noktalar› aras› ortalama semi-variogram;

Kriging eflitlik sisteminin bilinenlerini yerine yazarsak;

üç bilinmeyenli (W1, W2 ve λ) ve üç adet eflitlik eldeederiz. Bu eflitlik sistemini, W1 =1-W2 yazarak çözdü¤ü-müzde, bilinmeyenleri;λ=−2,71

( * ) ( * , ) ,

( * , ) ( * ) ,

W W

W W

1 2

1 2

0 19 65 2 0

19 65 0 12 2

+ + =

+ + =

λ

λ 33

11 2W W+ =

γ( , ) , * ( ) , (%) ( ),S SA21 65 2

2 40 001 300 12 23= = Na SO

γ( , ) , * ( ) , (%) ( ),S SA11 65 2

2 40 001 100 2 00= = Na SO

γ

γ

(h) =

= =

0 001

0 001 400 19 65

1 65

1 21 65

, .

( , ) , * ( ) , (

,

,

h

S S %%) )22 4Na SO

γ(h) = 0 001 1 65, . ,h

γ γ( , ) ( , )S S S S1 1 2 20 0= =ve olur

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A

W W

2 2 2

1 2 1

+ =

+ =

σ γ λ

σ

k2

i ii 1

n

k2

W . (S ,A)= +

= +

=∑

( , * , ) ( , *0 824 5 92 0 176 18,, ) ,

, ( )

88 2 4

8 22 2

+

=σk ppm Pb

Z W Z S

W W

A ii

n

i* . ( )

( ,

=

= +

=

=∑

1

82

Z .Z(S ) .Z(S )

Z 0

A*

1 1 2 2

A* 44 5

4 47

*

,

) (0,176* 2)

Z ppm PbA*

+

=

ZA*

( * ) ( * ) ,

( * ) ( * ) ,

W W

W W

W W

1 2

1 2

1

0 20 5 92

20 0 18 88

+ + =

+ + =

+

λ

λ

22 1=

W S S W S S S A

W S S W

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2

. ( , ) . ( , ) ( , )

. ( , )

γ γ λ γ

γ

+ + =

+ .. ( , ) ( , )γ λ γS S S A

W W

2 2 2

1 2 1

+ =

+ =

γ( , ) .**

( )

*( ),S A2

3

320

3 402 50

40

2 5018 8= −

= 88 2( )ppm Pb

γ( , ) .**

( )

*( ),S A1

3

320

3 102 50

10

2 505 92= −

= (( )ppm Pb2

γ( , ) ( )S S C1 2220= = ppm Pb

www.hedefaof.com


W1=0,24W2=0,76olarak hesaplar›z.Hesaplanan a¤›rl›k katsay›lar›n› kullanarak, de¤iflkende¤eri bilinmeyen A noktas›n›n tahmini kurflun içeri¤i-ni ( ) afla¤›daki gibi hesaplar›z.

Kriging yöntemiyle yap›lan tahminin varyans›n›, afla¤›-daki eflitlikle bulabiliriz.

Baltac›, A.G. (2007). Jeoistatistiksel Kestirimde Lokal Be-

lirsizli¤in De¤erlendirilmesinde Alternatif Yakla-

fl›mlar. (Yay›mlanmam›fl doktora tezi). HacettepeÜniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.

Clark, I. (1979). Practical Geostatistics. London: Appli-ed Science.

Darakç›, H.Ç. (2010). K-En Yak›n Komflu Yöntemi.

h t t p : / / a k a d em i k .ma l t e p e . e du . t r / ~ t t b i l -gin/BIL518/presentations/HalilCagdasDARAK-CI/Sunum1/K-Nearest%20Neighbor%20Estimati-on.ppt

Gülband›lar, E. (2010). Bellek Tabanl› S›n›fland›rma:

En Yak›n K-Komflu Algoritmas›. http://mf.dumlupi-nar.edu.tr/~eyup/DM/dm5.pdf

Journel, A.G. & Huijbregts, CH.J. (1978). Mining Geos-

tatistics. San Diego: Academic.Konuk, A. & Önder, S. (1999). Maden ‹statisti¤i. Mühen-


Olea, R. A. (1999). Geostatistics for Engineers and Earth

Scientists. Boston: Kluwer Academic.Özsakarbafl›, F. (2008), Classification of Forest Areas by

K Nearest Neighbor Method: Case Study, Antalya.

(Yay›mlanmam›fl yüksek lisans tezi). Ortado¤u Tek-nik Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.

Pekin, A. (1999). Aç›k ‹flletme Basamak Tenörlerinin

Kriging Tahminlerinde ‹statistiksel Da¤›l›m Model-

lerinin Etkileri. (Yay›mlanmam›fl doktora tezi). Es-kiflehir Osmangazi Üniversitesi/Fen Bilimleri Ensti-tüsü, Eskiflehir.

Tercan, A.E. & Saraç, C. (1998). Maden Yataklar›n›n

De¤erlendirilmesinde Jeoistatistiksel Yöntemler. An-kara: Jeoloji Mühendisleri Odas›.

Tüysüz, N. & Yaylal›, G. (2005). Jeoistatististik - Kav-

ramlar ve Bilgisayarl› Uygulamalar. Trabzon: Kara-deniz Teknik Üniversitesi

Uyguçgil, H. (2007). Çok De¤iflkenli Maden Yataklar›n-

da Rezerv Tenör Tahmininde Jeoistatistik ve Co¤rafi

Bilgi Sistemleri Tekniklerinin Kullan›m›. (Yay›mlan-mam›fl doktora tezi). Eskiflehir Osmangazi Üniversi-tesi/Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskiflehir

Z W Z S

W W

A ii

n

i* . ( )

( ,

=

= +

=

=∑

1

24

Z .Z(S ) .Z(S )

Z 0

A*

1 1 2 2

A* **

,

38

44 08 2 4

) (0,76 * 46)

Z % Na SOA*

+

=

ZA*


σ γ λ

σ

k2

i ii 1

n

k2

W . (S ,A)

(0,24 * 2,0) (0,76 *12,23

= +

= +

=∑

)) - 2,71

7,06 (%) Na SO

i 1

n

=∑

=

22 4

www.hedefaof.com


Ki Kare Tablosu

www.hedefaof.com


T Tablosu

www.hedefaof.com


Z Tablosu

0 z

www.hedefaof.com

Documents

CO⁄RAF‹ B‹LG‹ S‹STEMLER‹ ‹Ç‹N TEMEL ‹STAT‹ST‹K · PDF fileANA KÜTLE ORTALAMASINA ‹L‹ﬁK‹N TESTLER ... Co¤rafi Bilgi Sistemleri ‹çin Temel ‹statistik