Corrente Alternada - sistemas polifásicos · polifásicos de corrente alternada, já a preferência dada ao sistema trifásico é justificada pela possibilidade de se efectuar o

Manuel Vaz Guedes

C o rre nte A lte rnad a

SISTEMA S POLIFÁ SICOS

Núc le o de Es tudos de M á quina s E lé c tr ic a s

Faculdade de Eng enha r i a da Uni v er s i dade do Por t o

1993

Núcleo de Estudos de

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

≈ T e x t o d e a p o i o p a r a a s d i s c i p l i n a s d e M á q u i n a s E l é c t r i c a s ≈

Co rrente Alternad a

SIST EM AS PO LIFÁSICO S

M a nue l Va z Gue de s

(Prof. Associado com Agregação)Núc l e o de E s tudos de M á qui na s E l é c tr i c a s

FACULDADE de ENGENHARIA da UNIVERSIDADE do PORTO

Í nd ice1. Gr a n dezas P er i ó di c a s

2 . Gr a n dezas E l éc tr i c a s Al t er n adas S i n u so i dai s

2.1 Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais

2.1.1 Representação Matemática

2.1.2 Representação Fasorial

2.1.3 Representação Simbólica

2.1.4 O Método Simbólico

2.2 Grandezas Alternadas Sinusoidais com a Mesma Frequência

2.3 Grandezas Eléctricas Alternadas Sinusoidais

2.4 Exemplo de Aplicação

3. Si s t ema s P o l i fá s i c os

3.1 Grandezas Alternadas Sinusoidais Polifásicas

3.2 Sistema Trifásico Simétrico

3.3 Sistema Difásico

3.4 Sistema Hexafásico

B i b l i o gr afi a

A Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais (resumo)

B Símbolos para Grandezas e Unidades

pp. 2÷35

Núcleo de Estudos de

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

≈ T e x t o d e a p o i o p a r a a s d i s c i p l i n a s d e M á q u i n a s E l é c t r i c a s ≈

Corrente A lternada

SISTEMA S POLIFÁ SICOS

Manuel Vaz Guedes

(Prof. Associado com Agregação)

N ú c l e o d e E s t u d o s d e M á q u i n a s E l é c t r i c a s

FACULDADE de ENGENHARIA da UNIVERSIDADE do PORTO

Na distribuição de energia eléctrica utiliza-se preferencialmente a corrente alternada

sinusoidal. A principal razão para essa preferência deve-se à possibilidade de facilmente se

alterar o valor da tensão alternada, elevando-o ou baixando-o, através de transformadores.

Existem outras vantagens na utilização da corrente alternada mas a possibilidade de

ser transportada a longas distâncias, de uma forma eficiente e económica, faz com que os

diversos sistemas produtores de energia eléctrica sejam dotados com máquinas eléctricas

geradoras de corrente alternada (alternadores ). Nos casos em que é aconselhável utilizar

geradores de corrente contínua (dínamos), podem usar-se aparelhos electrónicos de potência

para conversão da corrente contínua em corrente alternada (inversores), antes de promover o

transporte ou a utilização da energia eléctrica.

g

t

g1

0

g2 g3

T 2T 3T

Mas, para algumas aplicações da corrente alternada existe a necessidade de utilizar

C o rr e n te A lt e rn a d a — S I S T E M A S P O LI F Á S I C O S ~ 3 ~

© Manuel Vaz Guedes, 1993 N EM E

sistemas polifásicos de corrente alternada. Isso sucede quando se pretende fornecer a uma

carga uma potência constante, ou quando se pretende obter um campo girante de forças

magnetomotrizes, ou, ainda, quando se pretende obter uma forma de onda rectificada com

uma pequena ondulação (“ripple”). Se todas estas vantagens justificam a utilização de sistemas

polifásicos de corrente alternada, já a preferência dada ao sistema trifásico é justificada pela

possibilidade de se efectuar o transporte de energia eléctrica com apenas 3/4 do peso de cobre

que o transporte da mesma energia, à mesma distância, com a mesma tensão, e com o mesmas

perdas requereria, se fosse efectuada em corrente alternada monofásica; além de ser

vantajoso para a criação de uma campo de força magnetomotriz girante, necessário ao

funcionamento do motor de indução.

1 . Grandezas Pe r iód icas

Nos sistemas eléctricos existem grandezas físicas que mantêm o mesmo valor apesar

da variação do tempo — são as grandezas constantes; e existem grandezas com um valor que

varia ao longo do tempo — são as grandezas variáveis.

De entre as grandezas variáveis, existem algumas que retomam as mesmas

características ao fim de um intervalo de tempo constante — são as grandezas periódicas.

t T 2T 3T 4T 5T

Fig. 1 - Grandeza periódica

O intervalo de tempo T, ao fim do qual uma grandeza física retoma as mesmas

características, chama-se período. Assim, g(t) = g(t + T) = … = g(t + nT). A unidade em que se

exprime o período é o segundo, [s].

Ao número de vezes em que a grandeza eléctrica retoma as mesmas características

durante um segundo chama-se frequência. Trata-se de um valor que traduz o número de

períodos que ocorrem durante um segundo. Para determinar esse valor divide-se a unidade

pela duração de um período, f =1/T . A unidade em que a frequência se exprime é o hertz, [Hz].

Uma das características de uma grandeza periódica é o seu valor médio, que se define,

no domínio do tempo, como: Ga = (1/T)·⌡⌠0

Tg(t) dt .

É através do valor médio que se pode caracterizar uma grandeza periódica.

Gra ndeza peri ódi ca a l t erna da pura — é uma grandeza periódica com valormédio nulo, Ga = 0.

Gra ndeza peri ódi ca pul sa t óri a — é uma grandeza periódica com valor médiodiferente de zero, Ga ≠ 0.

Entre as grandezas periódicas pulsatórias salientam-se, também, as grandezas

C o rr e n te A lt e rn a d a — S I S T E M A S P O LI F Á S I C O S – 4 –


periódicas onduladas.

Gra ndeza peri ódi ca ondul a da — é uma grandeza pulsatória que tem sempre omesmo sinal.

Entre as diversas grandezas físicas periódicas têm grande importância as grandezas

eléctricas alternadas puras. Trata-se de grandezas que assumem o mesmo valor, mas com o

sinal contrário, ao fim de cada semi-período (T/2), g(t) + g(t + T/2) = 0.

t

g

0

Fig. 2 - Grandeza periódica alternada pura

Devido ao princípio de funcionamento dos geradores de corrente alternada as

grandezas eléctricas são sinusoidais, isto é, essas grandezas têm uma variação no tempo dada

pela expressão,

g(t) = Gm·sen(ωt + ϕ)

2 . Grandezas Eléc tr icas Alte rnadas Sinusoidais

Devido às suas características, a forma de onda das grandezas eléctricas alternadas

que melhor resultados apresentou, ao longo da história da energia eléctrica, foi a sinusoide.

Essa forma de onda exprime-se, sobre uma forma analítica, como

g = Gm·sen(ωt + ϕ) (1)

Nesta expressão há a considerar os seguintes valores:

g — valor instantâneo - valor assumido pela grandeza em cada momento.

(Representa–se por uma letra minúscula).

Gm — valor máximo ou amplitude - ou valor de pico – é o maior valor assumido pela

função durante um semi-período. (Representa-se por uma letra maiúscula com o

índice m ou por uma letra maiúscula acentuada com um til, Ñ).

ωt + ϕ — ângulo de fase - costuma dizer-se simplesmente fase. É um ângulo e

exprime-se em radianos, [rad]

ω — pulsação - é uma velocidade angular, que se exprime em radianos por segundo,

[rad/s]. Verifica-se que ω = 2π f .

ϕ — esfasamento - é o valor do ângulo de fase na origem do tempo. Pode tomar um

valor positivo (avanço de fase) ou negativo (atraso de fase). Também se exprime

em radianos, [rad]

Note-se que a função y = Ym·cos(ωt + ϕ) tem, evidentemente, a forma sinusoidal,



porque: y = Ym·cos(ωt + ϕ) = Ym·sen(ωt + ϕ + π/2).

Para as grandezas alternadas sinusoidais ainda há que salientar os seguintes

aspectos, representados na figura 3.

Alternância — conjunto de valores assumidos pela grandeza eléctrica num mesmo

sentido.

Ciclo — conjunto de uma alternância positiva e de uma alternância negativa.

0 T/2 tT0 T/2 tT

Alternância Ciclo

Fig. 3 - Alternância e ciclo de uma grandeza sinusoidal

No estudo das grandezas alternadas sinusoidais definem-se alguns valores

importantes.

Valor Médio — Ga = (1/T)·⌡⌠0

Tg(t) dt — é um valor nulo para um número inteiro de

períodos, porque as duas alternâncias da grandeza sinusoidal são iguais.

Valor Eficaz (ou valor médio quadrático) — G = Gef = (1/T)·⌡⌠0

Tg2(t) dt — é um valor que,

no caso da corrente eléctrica, é igual à intensidade da corrente contínua que no

mesmo intervalo de tempo, e na mesmas condições, liberta, por efeito Joule, a mesma

quantidade de calor, numa mesma resistência eléctrica. Para uma corrente alternada

sinusoidal determina-se G = Gef = (1/ 2 )·Gm. Assim, as grandezas alternadas

sinusoidais podem ser escritas na forma da expressão (2).

g = 2 G·sen(ωt + ϕ) (2)

Valor Médio Absoluto (ou valor médio rectificado) — Gr = (1/T)·⌡⌠0

T|g(t)| dt — verifica-se

que para uma grandeza alternada sinusoidal é: Gr = (2/π)·Gm.

Quando não se caracteriza o valor de uma grandeza alternada sinusoidal, deve-se considerar

que é um valor eficaz. Este é o valor lido nos aparelhos de medida usuais, que são utilizados na

prática corrente.

Como valores característicos de uma grandeza alternada sinusoidal, ainda se

determinam os seguintes factores:

F a ctor d e F orma (F F )— é a razão entre o valor eficaz (ou valor médio quadrático) e ovalor médio absoluto da grandeza.



FF = 1T

· g2(t) dt0

T 1

T· g(t) dt

0

T

Para uma grandeza alternada sinusoidal tem o valor: FF = 1,11.

F a ctor d e Pi co (ou factor de vértice) — é a razão entre o valor máximo da grandeza e oseu valor eficaz (ou valor médio quadrático).

Factor de Pico = Gmax

1T

· g2(t) dt0

T

Para uma grandeza alternada sinusoidal tem o valor: factor de pico = 2 = 1,41.

2.1 . Representação das Grandezas Alte rnadas Sinusoidais

No estudo das grandezas alternadas sinusoidais torna-se importante representar

essas grandezas. Existem vários métodos de representação das grandezas sinusoidais, e a sua

utilização depende, fundamentalmente, do tipo de estudo que se está a efectuar, e dos meios de

cálculo disponíveis. Por isso, o método fasorial de representação de grandezas sinusoidais

teve já uma época de grande utilização e hoje apenas serve de auxiliar à aplicação de outros

métodos, enquanto que o método simbólico é o que melhor se adapta à utilização dos

modernos meios digitais de cálculo numérico.

Vão ser estudados, seguidamente, os diferentes métodos de representação das

grandezas sinusoidais, que se encontram apresentados, resumidamente, no apêndice A.

2.1.1 Repr esentação M atemáti ca

Uma grandeza com variação sinusoidal no

tempo pode ser representada pela respectiva função

matemática — seno ou cosseno. É este o tipo de

representação que habitualmente se utiliza para

caracterizar o valor instantâneo de uma grandeza

alternada sinusoidal: g = 2 ·G·cos(ωt + ϕ) ,

Acompanhando esta representação da grandeza pode

estar um oscilograma da função.

Exemplo_2.1.1–1 — Num circuito eléctrico monofásico a

tensão eléctrica de alimentação tem por expressão u = 2 ·220·cos(ωt) V, enquanto que a corrente

eléctrica absorvida pelo circuito tem por expressão i = 2 ·50·cos(ωt + ϕ) A. Pode-se determinar aexpressão da potência eléctrica instantânea p = u·i, recorrendo às regras da Álgebra e da Trigonometriacosα·cosß = (1/2)·(cos (α–ß) + cos(α+ß)).

p = u·i = ( 2 ·220·cos(ωt))·( 2 ·50·cos(ωt + ϕ)) = 22 000·(cos(ωt)·cos(ωt + ϕ)) =

= 22 000·((1/2)·(cos(ϕ) + cos(2ωt + ϕ)) = 11000(cos(ϕ) + cos(2ωt + ϕ)) W

A potência instantânea fornecida ao circuito é pulsatória, com uma frequência dupla da frequência darede de alimentação 11 0 00·cos(2·(2πf)t + ϕ), em torno de um valor constante 11 000·cos(ϕ).

0

0 T/2 T

t

3T/2

g



2.2.2 Repr esentação Fasor i a l

Nos estudos dos sistemas eléctricos de corrente alternada sinusoidal utiliza-se,

frequentemente, como um auxiliar de cálculo ou para melhorar a compreensão dos

fenómenos em estudo, um método gráfico de representação de uma grandeza sinusoidal.

Se num sistema de eixos ortogonais se considerar um

segmento orientado de recta que tem uma extremidade no centro

do referencial, tem um comprimento constante G, e forma um

determinado ângulo θ com o eixo das abcissas, colocado em

posição horizontal, e se considerar que esse segmento de recta roda

com uma velocidade angular tal que θ = ωt + ϕ, então a projecção

desse segmento sobre o eixo das ordenadas, quando multiplicada por 2 , é igual ao valor

instantâneo de uma grandeza sinusoidal: g = 2 ·G·sen(θ) = 2 ·G·sen(ωt + ϕ).

Outra qualquer grandeza alternada sinusoidal, com a mesma frequência f, e,

portanto, com a mesma pulsação ω, poderia ser representada por outro segmento de recta,

esfasado do primeiro de um ângulo igual à diferença dos ângulos de fase entre os dois

segmentos de recta e rodando, também, com a velocidade angular ω.

Desta forma, as duas grandezas, e a sua interrelação,

poderia ser representada apenas pelos dois segmentos de recta, nas

posições correspondentes a t = 0. E, sem a representação dos eixos de

referência. Surge, assim, uma forma geométrica de representar

grandezas alternadas sinusoidais com a mesma frequência: a

representação fasorial.

A representação fasorial, a cada grandeza alternada sinusoidal, faz corresponder um

fasor, representação geométrica polar caracterizada por um módulo igual ao valor eficaz da

grandeza | G | = G, a uma dada escala, e uma direcção relativamente a um eixo, ou um

argumento (arg), igual ao ângulo de fase /G = arg( G ) = θ = ωt + ϕ, medido no sentido

trigonométrico.

Conforme o tipo de grandeza alternada sinusoidal, assim o valor instantâneo da

grandeza obtém-se multiplicando por 2 a projecção do fasor sobre o eixo da origem dos

ângulos, para uma variação em cosseno g = 2 ·G·cos(θ), ou sobre o outro eixo, se a variação for

em seno g = 2 ·G·sen(θ), atendendo sempre à escala de desenho dos segmentos de recta.

Estando as grandezas representadas graficamente por fasores, as diferentes

operações aritméticas sobre as grandezas alternadas sinusoidais traduzem-se por operações

geométricas sobre os fasores representativos das diferentes grandezas.

Exemplo_2.1.2–1 — Uma máquina eléctrica monofásica está alimentada por uma tensão alternadasinusoidal de 220 V, e absorve uma corrente eléctrica de 30 A com um esfasamento em atrasorelativamente à tensão de π/6 rad. A representação desta situação pode ser feita por fasores, desdeque: a marcação dos ângulos obedeça ao critério trigonométrico quanto ao sentido; se considere que ofasor da tensão coincide com a representação do eixo da origem das fases; e se estabeleça uma escalaadequada de representação: 110 V ÷ 5 cm; 30 A ÷ 3 cm.

u(t) = 2 ·220·cos(ωt) V i(t) = 2 ·30·sen(ωt–(π/6)) A

θ = ω t + ϕ

g =

G·s

en(θ

)

rotação

G

θ = ω t + ϕ

ψ = ω t + φG1

G2



U

I

π/6

Esta representação fasorial, para além de uma possível determinação do valor instantâneo da tensão oudo valor instantâneo da corrente eléctrica, teria pouca utilidade!…

É de notar que, no mesmo diagrama fasorial, só estão representadas grandezas

alternadas sinusoidais com a mesma frequência, e que não é necessário dar aos fasores uma

origem comum; basta que conservem os seus elementos característicos: o módulo e o

argumento.

Como a representação geométrica de um número complexo G = a + j b, também pode

ser feita por um segmento de recta com uma determinada amplitude | G | = a2 + b2 , e com um

determinado argumento arg( G ) = / G = arctg(b/a), no estudo das grandezas alternadas

sinusoidais aparece, frequentemente, a associação da representação fasorial e da

representação simbólica.

2.1.3 Repr esentação S i mbó l i ca

Na representação simbólica as grandezas alternadas sinusoidais são representadas

por números complexos. Um numero complexo G é formado por uma parte real a, e por uma

parte imaginária b, que é afectada pelo operador j = –1 , assim: G = a + j b, e o seu conjugado é

G * = a – jb.

O operador j = –1 é caracterizado por promover uma rotação de π/2 rad no sentido

directo, ou trigonométrico, ou em avanço, quando é aplicado a um fasor, j b ≡ b / 90° .

Verifica-se que o operador j tem as seguintes propriedades: j2 = –1, j3 = –j, j4 = 1.

Baseado no teorema de Euler, ejß = exp(jß) = cos ß + j sen ß, que é uma propriedade da

função exponencial no domínio complexo, é possível representar uma grandeza alternada

sinusoidal por um número complexo.

G = G·ejθ = G·exp(jθ) = G·cos θ + j G· sen θ = a + j b

Atendendo à correspondência expressa na equação anterior,

verifica-se que:

a = G ·cos θ e b = G ·sen θ

Atendendo à figura, também se verifica que:

θ = arctg (b/a) e | G | = ( a2 + b2 )

Assim, o valor instantâneo de uma grandeza alternada sinusoidal obtém-se,

tomando o produto por 2 da parte real (Re) do fasor alternado, G·exp(j(ωt + ϕ)), quando a

variação da grandeza é em cosseno.

g(t) = 2 ·G·cos(ωt + ϕ) = 2 ·Re(G·exp(j(ωt + ϕ)) =

= 2 ·Re(G·exp(j(ωt))·exp(j ϕ)) = 2 ·Re(G·exp(j ϕ)·exp(j(ωt))) =

= 2 ·Re[ G ·exp(j(ωt))]

θ = ω t + ϕ

R e

I m

b

a

G = a + j b

G



Desta forma, a grandeza com variação sinusoidal no tempo g(t) é expressa pelo f aso r G ,

definido como G = G·exp(j ϕ), que é uma grandeza escalar constante (e é representado por uma

letra maiúscula sublinhada).

A representação geométrica do fasor exp(j(ωt)), é um fasor de amplitude unitária,

|exp(j(ωt))| = 1, que gira com uma velocidade angular igual à pulsação ω: é um f aso r gi r an t e.

Quando é multiplicado por um fasor, G = G·exp(j ϕ), provoca-lhe um acréscimo uniforme, com o

tempo, do ângulo de fase.

O lugar geométrico dos pontos ocupados pelo extremo do

fasor unitário girante exp(j(ωt)), ao longo do tempo t, está

sobre uma circunferência.

O fasor alternado G ·exp(j(ωt)) é um fasor girante,

com o sentido de rotação definido pelo sinal do argumento

da função exponencial. Um sinal positivo, (+ωt), implica

uma rotação com velocidade angular ω (rad/s), no sentido

directo, ou trigonométrico. O ângulo de esfasamento ϕ,

traduz o valor do argumento (arg) do fasor, G = | G | / ϕ , no

instante inicial, t = 0.

Como os fasores representativos de todas as grandezas sinusoidais com a mesma

frequência, que entram na caracterização de um circuito eléctrico, estão multiplicados por

exp(j(ωt)), pode-se simplificar a notação representando a grandeza alternada sinusoidal pelo

fasor G = G·exp(j ϕ), que corresponde ao instante inicial t = 0; é o fasor inicial da grandeza.

Exemplo_2.1.3–1 — Um circuito eléctrico linear é percorrido por uma corrente sinusoidal com aintensidade de 25 A (valor eficaz), esfasada de π/7 rad sobre uma tensão sinusoidal com um valor (eficaz)

de 380 V; ambas as grandezas têm a frequência de 50 Hz.

Os fasores representativos destas grandezas são:

O fasor da tensão (≡ origem das fases) — U = 380·exp(0) = 380 + j 0 V.

O fasor da corrente eléctrica — I = 25·exp(j (π/7)) = 22,524 + j 10,847 A

O valor instantâneo destas grandezas é dado por:

u(t) = 2 ·Re( U ·exp(jωt)) = 2 ·Re((380·exp(j0))·exp(j314 t)) V

i(t) = 2 ·Re( I ·exp(jωt)) = 2 ·Re((25·exp(jπ/7))·exp(j314 t)) A

2.1.4 O M étodo S i mbó l i co

A representação por um número complexo de uma grandeza com variação sinusoidal

no tempo pode ser estendida a grandezas que têm uma variação sinusoidal no espaço; como é o

caso da distribuição da força magnetomotriz no espaço do entreferro de uma máquina

eléctrica.

Quando a posição de um ponto no espaço é dada pelo ângulo (eléctrico) α, é:

f(α) = F·cos(α – αo) =

= Re[F·cos(α – αo) + j sen(α – αo)] = Re[F·exp(j(α – αo))] =

= Re[F·exp(j(α)·exp(– j αo ))] = Re[ f · r *(α)]

R e

I m

exp(

jwt)



Assim, a grandeza f(α) é expressa pelo fasor espacial f , definido como f = F·exp(j αo ). É uma

grandeza com medida F e ângulo de direcção, ou simplesmente direcção, αo . O fasor unitário

r (α), multiplicado pelo fasor espacial f , promove uma rotação de um ângulo α, a somar aoângulo de direcção αo do fasor espacial.

R e

I m

f

rα

f( )α0

α

R e

I m

αo

O estudo de sistemas electromecânicos, com fenómenos físicos dependentes do

próprio movimento do sistema, pode ser feito através dos bicomplexos, que servem para

representar grandezas com variação sinusoidal no tempo e no espaço; essas grandezas sãorepresentadas pelo bi f aso r , b = B·exp(j (ωt + ϕ))·exp(j (α – αo)), 1.

Existe, também, uma outra representação complexa para as grandezas que são

solução de problemas, em regime permanente e em regime transitório, dos circuitos eléctricos.

Nesse tipo de representação, considera-se que as grandezas eléctricas associadas a um

circuito, em qualquer regime, têm uma forma geral correspondente a uma variação sinusoidal

amortecida,

a(t) = 2 ·A·exp(– λt)·cos(ωt + ϕ) =

= 2 ·Re(A·exp(– λt)·exp(j (ωt + ϕ))) = 2 ·Re(A·exp(j (ωt + ϕ) – λt))) =

= 2 ·Re(A·exp(j ϕ )·exp(jωt – λt))) =

= 2 ·Re( A ·exp(δt)) com δ = jω – λ

Desta forma, uma grandeza sinusoidal amortecida, que é a expressão geral do

comportamento, em regime permanente e em regime transitório, duma grandeza física

característica, é representada por um f aso r espi r al a = A ·exp(δt), com δ = jω – λ, e

A = A·exp(j ϕ ).

Para λ = 0 o fasor espiral a transforma-se num fasor temporal alternado, A ·exp(jωt).

Para t = 0 o fasor espiral a representa o fasor A = A·exp(j ϕ).

Para ω = 0 o fasor espiral a representa uma grandeza contínua amortecida, 2 ·A·exp(–λt).

Para λ = 0 e ω = 0 o fasor espiral a representa uma grandeza contínua 2 ·A.

Por isso, o fasor espiral pode representar todo o tipo de variação da grandeza física

característica a(t).

1 Manuel Corrêa de Barros; “Método Simbólico para Estudo das Máquinas de CorrenteAlternada”, Porto, 1947



A representação gráfica, no plano de Gauss,

do lugar geométrico dos pontos ocupados pela

extremidade do fasor a com a variação do tempo é

uma espiral.

Quando λ = 0 o lugar geométrico é uma

circunferência correspondente ao fasor girante,

A ·exp(jωt).

A necessidade de estudar o comportamento

dos circuitos eléctricos por meios analíticos levou ao

desenvolvimento do método simbólico. Através dos

tempos tem vindo a aumentar a sua aplicação, e,

actualmente, devido à facilidade da sua programação computacional, tem uma grande

utilização na modelização e na análise do funcionamento das máquinas eléctricas.

2.2 Grandezas A l ternadas S i nuso i dai s com a M esma F r eq uênci a

Em regime permanente, e numa rede alimentada por uma tensão sinusoidal de

frequência f, quase sempre, todas as tensões e todas as correntes têm a mesma frequência.

Também a pulsação, ω = 2π f , é a mesma para todas essas grandezas; o que sucede sempre que

se admite que o circuito eléctrico é linear.

Como a soma de duas grandezas alternadas sinusoidais com a mesma frequência é

uma grandeza alternada sinusoidal com a mesma frequência, podem efectuar-se operações

algébricas com essas grandezas. O método de representação das grandezas será aquele que

melhor se adapte ao estudo a efectuar.

Num estudo envolvendo duas grandezas alternadas sinusoidais é muito importante o

esfasamento entre elas. Considera-se que duas grandezas estão esfasadas quando os

respectivos máximos, ou outro qualquer ponto característico, não ocorrem simultaneamente.

i1

i2ϕ

i

0

θ

Fig. 4- Duas correntes alternadas sinusoidais esfasadas de ϕ: i1 = 2 I cos ωt e i2 = 2 I cos (ωt + ϕ)

Existem situações típicas de esfasamento entre duas grandezas alternadas

sinusoidais que recebem nomes próprios, e que também podem ser caracterizadas na

representação simbólica das grandezas, através do respectivo argumento. Assim diz-se que

duas grandezas estão

em fase — o que corresponde a um ângulo de esfasamento de 0 rad; nesta situação,G 1 = G1 / ϕ , e G 2 = G2 / ϕ ;

t = 0

Re

Im



em quadratura — o que corresponde a um ângulo de esfasamento de π/2 radpodendo ser em avanço, +π/2, ou em atraso, –π/2; nesta situação, G 1 = G1 / ϕ , e

G 2 = G2 / ϕ ± π/2 = ±j (G2 / ϕ ) , e

em oposição — o que corresponde a um ângulo de esfasamento de π rad; nestasituação, G 1 = G1 / ϕ , e G 2 = G2 / ϕ ± π = j 2 (G2 / ϕ ) = – (G2 / ϕ ).

g1

g2

0

em fase

g

θ

g1

g2

0

em quadratura

g

θ

Fig. 5 - Situações de esfasamento típicas

Na situação de oposição de fase uma das grandezas alternadas sinusoidais toma um

valor máximo positivo no instante em que a outra grandeza toma um valor mínimo negativo.

A determinação da derivada, em ordem ao tempo, d /dt, de uma grandeza sinusoidal

g(t) = 2 G·cos(ωt + α) pode ser feita com o auxílio da notação simbólica,

dg(t )/dt = d[ 2 G·cos(ωt + α)]/dt = – ω 2 G·sen (ωt + α) =

= ω 2 G·cos(ωt + α + π/2)

A respectiva representação simbólica é

dg(t )/dt = ω exp(j(π/2))· 2 G·exp(j (ω t+α ) ) = jω G ·exp(j (ω t ) )

A derivação em cálculo simbólico traduzir-se-á na multiplicação do fasor

representativo da grandeza por jω, ou seja, em multiplicar a grandeza por ω e esfasá-la de

π/2 no sentido trigonométrico, avanço. (≡ quadratura avanço).

A integração em cálculo simbólico traduzir-se-á na divisão do fasor representativo

da grandeza por jω, ou seja em dividir a grandeza por ω e esfasá-la de π/2, no sentido

anti-trigonométrico, atraso. (≡ quadratura atraso)

Nos cálculos envolvendo grandezas sinusoidais com a mesma frequência, recorre-se

frequentemente, ao acompanhamento desse cálculo com a construção de um diagrama

fasorial, (na realidade faz-se apenas um esboço), representativo das relações entre as

grandezas. Surge, assim, a possibilidade de estabelecer relações entre as diferentes grandezas,

quer através da regra de adição de fasores (regra do paralelogramo), quer através da relação

entre as projecções desses fasores nos respectivos eixos de referência.

Exemplo_2.2–1 — Duas grandezas sinusoidais, com a mesma frequência, têm por expressão:

g1(t) = 2 ·6·cos(ωt + π/4) e g2(t) = 2 ·4·cos(ωt – π/6)

Pretende-se conhecer a expressão da grandeza sinusoidal resultante da adição das duas grandezas.

Utilizando a representação simbólica:

G1 = 6 / π/4 = 4,243 + j 4,243 G2 = 4 / – π/6 = 3,464 – j 2



G1 + G2 = (4,243 + j 4,243) + (3,464 – j 2) = 7,707 + j 2,243 = 8,027 / 0,283

assim, g(t) = g1(t) + g2(t) = 2 ·8,027·cos(ωt + 0,283)

Utilizando a representação fasorial, (acompanhada da figura que é esboçada com uma escala aproximada ±)

0g1x = 6·cos(π/4) 0g1y = 6·sen(π/4)

0g2x = 4·cos(–π/6) 0g2y = 4·sen(–π/6)

as projecções segundo os eixos ortogonais são

0gx = 0g1x + 0g2x 0gy = 0g1y + 0g2y

0gx = (6·cos(π/4) + 4·cos(–π/6)) = (4,243 + 3,464) = = (7,707)

0gy = (6·sen(π/4) + 4·sen(–π/6)) = (4,243 – 2) = = (2,243)

|g| = 7,7072 + 2,2432 = (8,027) / g = arctg(0gy/0gx) = arctg(2,243/7,707) = 0,283 rad

Também, o fasor G = |g| / g , ou g(t) = 2 ·(8,027)· cos (wt + 0,283)

Note-se que o problema, ainda poderia ser resolvido por construção gráfica; o que implicaria a definiçãode uma escala para as grandezas, e a aplicação da regra do paralelogramo aos fasores de g1 e g2.

2.3 Grandezas El éctr i cas A l ternadas S i nuso i dai s

Na maioria dos sistemas eléctricos de energia utiliza-se corrente eléctrica alternada

sinusoidal.

Nos circuitos eléctricos é possível isolar porções de circuito compreendidas entre dois

terminais ou nós — são os dipolos. Assim, um dipolo é a representação de um qualquer

aparelho eléctrico com dois terminais: resistência, bobina, condensador, gerador, motor, etc…

Neste estudo apenas se consideram os dipolos que são atravessados por uma corrente eléctrica

sinusoidal quando lhes é aplicada um tensão sinusoidal. Trata-se, pois, dos dipolos lineares.

O estudo das grandezas originadas por dipolos não lineares pode ser feito através do texto

“Grandezas Periódicas Não Sinusoidais”.

Para um dipolo podem ser consideradas duas funções: gerador ou produtor, e receptor

ou consumidor. A estas duas formas correspondem diferentes orientações das grandezas

características: tensão e corrente eléctrica, conforme a figura 6.

i

u

Gerador ou Produtor Receptor ou Consumidor

i

u

Fig. 6 - Dipolo gerador e dipolo receptor

No dipolo gerador é positiva a potência eléctrica instantânea, p = u i, fornecida aoconsumidor. No dipolo receptor é positiva a potência eléctrica recebida pelo consumidor.

Os dipolos eléctricos são formados por associação de dipolos elementares: uma

resistência, ou uma bobina, ou um condensador. No caso de ser aplicada uma tensão

g1xg2x

g1y

g2y

6

origem dos

ângulos0

π/4

–π/6



sinusoidal a um dipolo passivo interessa verificar o que sucede às outras grandezas eléctricas.

r esi stênci a Z = R

Uma resistência eléctrica é formado por um condutor eléctrico que oferece uma certa

oposição à passagem da corrente eléctrica. Quando é aplicada uma tensão alternada

sinusoidal aos terminais de uma resistência eléctrica verifica-se a relação entre os valores

eficazes I = U/R (Lei de Ohm), sem que a corrente eléctrica fique esfasada em relação à tensão.

A representação simbólica das grandezas eléctricas intervenientes num circuito

puramente óhmico, é: U = R· I . O fasor da tensão U está em fase com o fasor da corrente

eléctrica I .

i ndutânci a Z = jω L

Uma bobina eléctrica é formada por um condutor eléctrico enrolado em torno de uma

superfície cilíndrica oca. Aplicando uma tensão alternada sinusoidal nos terminais da

bobina, resulta que a corrente eléctrica ainda tem um comportamento sinusoidal no tempo,

mas fica esfasada π/2 em atraso (quadratura atraso) e o seu valor eficaz é dado pela relação

I = U/X. Em que X é a reactância da bobina que é igual ao produto da pulsação pelo valor da

indutância da bobina: X = ωL. Com [L] em henry, [ω] em rad/s, e [X] em ohm


puramente indutivo, é: U = j(X· I ) = j X· I . O fasor da tensão U está esfasado de π/2 rad em avanço

(j ) sobre o fasor da corrente eléctrica I , conforme está representado na figura 7.

No estudo das máquinas eléctricas é muito importante o conhecimento do

comportamento das grandezas eléctricas numa bobina com núcleo de material

ferromagnético, que é um dipolo não linear.

condensador Z = – j /ω C

Um condensador é um dipolo formado por duas placas condutoras a potenciais

eléctricos diferentes, separadas por um meio dieléctrico. Neste caso, quando se aplica uma

tensão alternada sinusoidal nos terminais do condensador, a corrente eléctrica no circuito

vem esfasada de π/2 em avanço (quadratura avanço) e o seu valor eficaz é dado pela relação

I = U/X, em que X é a reactância do condensador que é igual a X = 1/ωC. Com [C] em farad, [ω]

em rad/s, e [X] em ohm.


puramente capacitivo, é: U = (1/jX)· I = –j ((1/X)· I ). O fasor da tensão U está esfasado de π/2 rad

em atraso (– j ) sobre o fasor da corrente eléctrica I , conforme está representado na figura 7.

RL

C

U

U

U

I

I

I

Resistência Indutância Condensador

Fig. 7 - Dipolos passivos em corrente alternada sinusoidal



Nos circuitos eléctricos não existem normalmente dipolos isolados, mas os dipolos

elementares podem estar associados, em série ou em paralelo, de forma a obter-se um novo

dipolo, com características próprias. Para este tipo de dipolo convém conhecer também as

respectivas grandezas eléctricas: tensão, corrente eléctrica e impedância, o que pode ser

determinado através das leis dos circuitos eléctricos, e recorrendo a uma representação

apropriada das grandezas sinusoidais.

Note-se que os dipolos elementares dificilmente têm existência real. O que

normalmente sucede é que uma resistência eléctrica tem sempre um coeficiente de auto-

-indução, embora muito pequeno, e uma bobina tem sempre resistência eléctrica, embora

muito pequena.

No caso de uma associação complexa de dipolos verificam-se as leis dos circuitos

eléctricos:

lei dos nós — a soma das correntes eléctricas que convergem num nó é igual à somadas correntes eléctricas que divergem do nó, ∑ i c = ∑ i d;

lei das malhas — a soma algébrica das forças electromotrizes é igual à soma algébrica

das quedas de tensão numa malha de um circuito eléctrico.

No caso de todas as resistências de um dipolo de grande complexidade estarem

reduzidas a uma resistência equivalente R, e de todas as reactâncias, indutivas ou capacitivas,

estarem reduzidas a uma reactância equivalente X, que, normalmente, é indutiva, e estes dois

elementos se encontrarem ligados em série, a relação entre a tensão e a corrente é dada pela

Lei de Ohm em corrente alternada.:

U = Z · I

Atendendo a que as grandezas alternadas sinusoidais são representadas por fasores, é

necessário observar que as relações entre grandezas são sempre relações entre fasores, e

traduzi–lo nas respectivas operações, que terão de ser fasoriais, ou que terão de envolver

grandezas simbólicas.

U R = R· I U X = j X· I e U = U R + U X = R· I + j X· I = Z · I

R2 + X2 = | Z | e arctg(X/R) = arg( Z ) = / Z .

em que Z é a impedância complexa do circuito.

Num dipolo receptor que se encontra alimentado por uma

tensão instantânea u, e que é percorrido por uma corrente eléctrica instantânea i, o valor da

potência instantânea consumida pelo dipolo é, p = u i.

i

u

Fig. 8 - Dipolo receptor

Se u = 2 ·U cos ωt, e i = 2 ·I cos(ωt–ϕ), verifica-se, como no exemplo 2.1.1–1, que p =

= ui = UI·cos ϕ + UI·cos(2ωt–ϕ). A potência instantânea é pulsatória e formada pela soma de um

termo constante, P = UI cos ϕ , e de um termo alternado sinusoidal, UI cos(2ωt–ϕ), com uma

R·I

jX·I

Z·I

arg(Z)



frequência dupla da frequência da tensão de alimentação.

Ao valor P = U I cos ϕ chama-se po t ên c i a act i v a absorvida pelo circuito. A

unidade em que se exprime é o watt, W.

Ao valor S = U I chama-se po t ên c i a apar en t e do circuito. A unidade em que se

exprime é o volt–ampere, VA. A potência aparente dá sempre uma indicação da capacidade de

um sistema eléctrico produzir uma dada transformação de energia.

À relação entre a potência activa e a potência aparente, λ = P/S, chama-se factor de

potência. No caso da tensão e da corrente eléctrica serem grandezas alternadas sinusoidais o

valor do factor de potência é dado pelo cosseno do ângulo de esfasamento entre aquelas

grandezas, λ = P/S = cos ϕ = (UI cos ϕ)/UI.

Exemplo_2.3–1 — Um circuito eléctrico é formado por uma associação em série de uma resistência, deuma indutância e de um condensador. A tensão de alimentação é de 100 V, 50 Hz, e o valor dosparâmetros do circuito é: resistência R = 12 Ω; indutância L = 15,9 mH; capacidade C = 318 µF.

A pulsação das grandezas alternadas é ω = 2π f, ω = 314 rad/s

A reactância indutiva é XL = ωL, XL = 314*15,9x10–3 = 5 Ω

A reactância capacitiva é XC = –1/ωC, XC = –1/(314*318x10–6) = –10 Ω

A reactância total da série dos dois elementos é X = XL + XC, X = 5 – 10 = –5 Ω, (o efeito do condensador

ultrapassa o efeito da indutância).

A impedância total do circuito é Z = R2 + X2 , Z = 122+ 52 = 13 Ω

A corrente eléctrica que percorre o circuito é I = U/Z, I = 100/13 = 7,692 A

O factor de potência do circuito é λ = cos ϕ = R/Z, λ = cos ϕ = 12/13 = 0,92 (cap.)

A utilização da notação simbólica, e de meios de cálculo compatíveis, permite resolver o problemade uma forma mais expedita.

A impedância complexa do circuito é Z = R + jX, Z = 12 – j5 Ω

Considerando a tensão, como o origem das fases, é U = 100 + j0 = 100 / 0 V

A corrente eléctrica é I = U / Z , I = (100+j0)/(12 – j5) = 7,101 + j2,959 = 7,692 /0,395 A(a corrente eléctrica está avançada de +0,395 rad sobre a tensão)

O factor de potência é λ = cos ϕ = cos(0,395) = 0,92 (capacitivo)

O factor de potência de um circuito ou de uma instalação eléctrica é um valor

importante porque dá uma informação sobre o ângulo de esfasamento entre a tensão e a

corrente eléctrica, nos terminais da instalação.

Para medir o factor de potência, no caso de grandezas alternadas sinusoidais, pode-se

recorrer à definição, ou utilizar fasímetros. Recorrendo à definição utiliza-se uma montagem

de medida, como a da figura. 9 a), em que se lê o valor da potência activa absorvida no

wattímetro de corrente alternada, o valor eficaz da tensão no voltímetro e o valor eficaz da

intensidade da corrente eléctrica no amperímetro.

Quando o valor eficaz das grandezas eléctricas for elevado, utilizam-se

transformadores de medida: transformador de tensão TT, e transformador de intensidade TI.

O esquema de medida é o apresentado na figura 9 b), sendo necessário considerar o valor da

razão de transformação dos transformadores de medida na determinação do valor das

grandezas.



a)

WA

V W A

TT

T I

b)

V

Fig. 9 - Montagem de medida para determinação do factor de potência do dipolo

Quando no circuito receptor está a passar uma corrente

eléctrica esfasada, em atraso, de um ângulo ϕ, sobre a tensão

aplicada ao circuito, essa corrente pode-se considerar resultante

da composição fasorial de uma componente activa de correnteeléctrica Ia = I·cos ϕ e de uma componente reactiva Ir = I·sen ϕ.

A corrente eléctrica reactiva não produz trabalho útil, apenas serve para criar e manter o

campo magnético, nos dipolos indutivos, que constituem o receptor. Atendendo a que são

grandezas fasoriais entre as três correntes eléctricas existe a relação I = Ia2 + Ir

2 . Assim,

num circuito indutivo em que a componente reactiva tenha um valor significativo, o valor dacorrente, realmente, absorvida pelo circuito ( I ), é superior ao valor da corrente activa ( I a). Este

aumento do consumo real de corrente eléctrica costuma ser onerado pelos serviços

fornecedores de energia eléctrica, que, necessariamente, terão de a produzir…

Define-se po t ên c i a r eact i v a — Q = U I sen ϕ — como o produto do valor eficaz da

tensão pela corrente eléctrica reactiva. A unidade de potência reactiva é o volt–ampere

reactivo, var.

A potência reactiva tem o sinal de ϕ, isto é, do ângulo de esfasamento. Assim para um

receptor,

Ci r cui to esfasamentoϕ

Potência reactivaQ

ÓHMICO = 0 = 0

INDUTIVO > 0 > 0

CAPACITIVO < 0 < 0

Verifica-se (aplicando o critério do consumidor) que apenas os dipolos indutivos

consomem potência reactiva, enquanto que os dipolos capacitivos a fornecem. Desta forma,

pode-se efectuar uma compensação do factor de potência através de uma instalação de um

produtor de energia reactiva, como um banco de condensadores, no circuito receptor. Assim, a

rede eléctrica passará a fornecer menos energia reactiva …

Exemplo_2.3–2 — Na exploração de uma rede eléctrica existe um valor do factor de potência λ$ a partir

do qual é obrigatória a instalação de um sistema de compensação do factor de potência. Por isso,quando o factor de potência da instalação λι é inferior ao valor limite há que produzir a sua correcção.

≡ UIa

I r

o

Iϕ



Analisando o diagrama fasorial verifica-se que é necessário fornecer uma corrente eléctrica reactiva I C,

com um valor que resulta da composição fasorial dascorrentes eléctricas: I $ = I + I C. Assim, I C = I – I $; ou

recorrendo às projecções dos fasores, resulta que: IC = | I·senϕ – I$·sen (ϕ$)|.

A corrente eléctrica I C poderia ser fornecida, por uma

banco de condensadores, ou por uma máquina síncronafuncionado como compensador, ou por um sistemaelectrónico de potência para correcção do factor depotência, (static VAR system).

As três formas de potência eléctrica — potência aparente S, potência activa P, e

potência reactiva Q — estão ligadas pela relação: S2 = P2 + Q2.

A representação simbólica da potência de um circuito que é alimentado por uma

tensão representada pelo fasor U = U·exp(j φ), e é percorrido por uma corrente eléctrica

representada por I = I·exp(j θ), é dada por:

S = U · I * =

= U · I * = U·I·exp(j (φ-θ)) = U·I·exp(j ϕ) = U·I·cos(ϕ) + j U·I·sen(ϕ) = P + j Q

2.4 Exempl o de A pl i cação

O estudo das máquinas eléctricas de corrente alternada faz-se com utilização dos

diversos métodos de representação das grandezas alternadas sinusoidais. Baseado num estudo

clássico de uma máquina eléctrica 2 com auxílio do método simbólico, apresenta-se um

exemplo de aplicação.

Exemplo_2.4 — Um motor série monofásico de colector de lâminas, que é uma máquina assíncrona, temo seu funcionamento regido por uma equação simbólica,

U = (1 – s)·K e · Φ + jω ·Ni · Φ + R · I + jX’ · I

em que, R é a resistência equivalente do circuito do motor (indutor mais induzido mais compensação) , X’ éuma reactância que inclui a reactância de fugas do enrolamento indutor e do enrolamento induzido e doenrolamento de compensação, Φ o fluxo magnético por polo produzido pela corrente eléctrica I,Ke = (p/a)·Z·ns é uma constante característica da máquina na rede eléctrica de alimentação, Ni é onúmero total de espiras do enrolamento indutor, e s é o deslizamento, com s = (ns – n)/ns.

Diagrama Fasorial —

O diagrama fasorial característico deste tipo demotor eléctrico pode ser construído, atendendo aque existe um esfasamento entre o fluxo magnéticoΦ e a corrente eléctrica que o cria I , dado peloângulo de perdas αo do material ferromagnético.

1) definem-se as escalas, e a origem das fases Φ

2) traça-se o fasor representativo do fluxomagnético Φ , e esfasada, em avanço, de um ângulo αo a direcção da corrente eléctrica I .

2 Carlos Castro Carvalho; “Motores Monofásicos Série de Colector”, Porto, 1960

≡ UIa

IC

o

I$ϕ$

ϕ

I

U

I

Φ

R·Ij X'I

E = (1–s)·Ke·Φ

j ωNi·Φ

ϕ

αο0



3) determina-se, e traça-se o fasor R· I , a partir da sua extremidade o fasor X’·I que está esfasado e mavanço de π/2 rad ( j X’· I ).

4) adiciona-se o fasor E = (1 – s)·Ke· Φ , que tem a mesma direcção de Φ .

5) pela extremidade do fasor E , traça-se o fasor jω·Ni· Φ , que se encontra esfasado em avanço de π/2

rad sobre o fasor Φ .

6) o fasor que une a origem 0 com a extremidade do fasor jω·Ni· Φ é o fasor representativo da tensão U ,

que está esfasado em avanço sobre o fasor da corrente eléctrica de um ângulo ϕ.

Esquema Eléctrico Equivalent e — Considerando que não existe saturação do circuito magnético damáquina, e que, portanto, o fluxo magnético é proporcional à corrente eléctrica que o cria, Φ = k· I , épossível escrever E = (1 – s)·Ke· Φ = (1 – s)·R´· I . Também jω·Ni· Φ = jXe· I . A equação da tensão para o motor

monofásico série compensado com colector de lâminas, passa a ser

U = (1 – s)·R ´ · I + jXe · I + R · I + jX’ · I = (1 – s)·R ´ · I + R · I + jX· I

Nestas condições, o motor pode ser representado pelaimpedância complexa Z = ((1–s)·R ´ + R ) + jX.

A queda de tensão na resistência variável (1–s)·R´ representa aforça electromotriz que se desenvolve no circuito eléctrico doinduzido.

Grandezas Características — considerando o circuito eléctricorepresentativo do motor pode determinar-se o valor de algumas grandezas características:

Intensidade de corrente eléctrica I = U / [R + (1–s)R´ ]2+ X2

Factor de potência λ = cos ϕ = [R+(1–s)R´] / [R + (1–s)R´ ]2+ X2

Potência activa absorvida P = [R+(1–s)R´]·I2 = ([R+(1–s)R´ ]·U2) / ([R + (1–s)R´ ]2+ X2)Potência transformada Pelectromecânica = (1–s)R´·I2 = ((1–s)R´·U2) / ([R + (1–s)R´ ]2+ X2)

3 Sistemas Pol i fásicos

Nos sistemas eléctricos de energia utilizam-se sistemas polifásicos de grandezas

alternadas sinusoidais, porque se verifica que tais sistemas possuem vantagens sobre o

sistema monofásico.

Uma das vantagens consiste na possibilidade de fornecimento de uma potência

constante, enquanto que o sistema monofásico apenas permite o fornecimento de uma

potência pulsatória, em torno de um valor médio. Outra vantagem é a possibilidade de se

promover a rectificação da forma de onda, que no caso de um rectificador polifásico terá uma

ondulação (“ripple”) menor, e portanto fornecerá uma onda rectificada com menor riqueza de

harmónicos, do que no caso de um rectificador monofásico.

Como se demonstrará adiante, com um sistema polifásico é possível construir uma

onda girante de força magnetomotriz, o que é muito importante para assegurar o

funcionamento de certo tipo de máquinas eléctricas.

Apesar da possibilidade de utilização de vários sistemas polifásicos — difásicos,

trifásicos, hexafásicos, ou dodecafásicos — é o sistema trifásico o que maior importância tem,

devido a vantagens que levaram à sua vasta aplicação.

R X

(1–s)·R´U

I



3.1 Grandezas A l ternadas S i nuso i dai s P o l i f ási cas

Considera-se um sistema polifásico um conjunto de circuitos monofásicos, com a

mesma frequência, ligados entre si ou não, que apresentam certas características comuns.

Quando os diferentes sistemas monofásicos não estão ligados constituem um sistema

separado. Mas, quando os diferentes sistemas estão ligados, constituem um sistema

combinado. Neste caso, todas as fases poderão estar ligadas a um único condutor o neutro, que

constitui o circuito de retorno de todos os circuitos das diferentes fases. Num sistema

simétrico, o ponto neutro está ao potencial zero, e frequentemente está ligado à terra.

i 1

u1u2

u3

i 2

i 3

u12

u23

u31

Fig.10 - Sistema polifásico (m = 3) combinado

Assim, um sistema polifásico simétrico é um conjunto de m grandezas sinusoidais,

com a mesma frequência, com o mesmo valor eficaz, em que duas grandezas consecutivas

estão esfasadas, entre si, de um ângulo múltiplo de 2·π/m.

g1 = 2 ·G·cos(ωt + ϕ)

g2 = 2 ·G·cos(ωt + ϕ – 2·π/m)

… … …

gm= 2 ·G cos[ωt + ϕ – (m-1)·2·π/m]

Verifica-se que a condição suficiente para que um sistema polifásico seja simétrico éque seja nula a corrente eléctrica no condutor neutro; io = –(i1 + i2 + … + im), porque pela lei de

Kirchoff dos nós é i1 + i2 + … + im + io = 0.

Como I 1 = Im exp(jϕ), I 2 = Im exp(j(ϕ – 2π/m)), … , I m = Im exp(j(ϕ – (m–1)·2π/m)))

resulta que I 1 + I 2 + … + I m = Im [exp(j(ϕ)) + exp(j(ϕ – 2π/m)) + … + exp(j(ϕ – ((m–1)·2π/m)))].

Verifica-se que a soma dos m fasores unitários, esfasados, entre si, de 2·π/m, é nula;

graficamente formam um polígono regular inscrito numa circunferência, formam umpolígono fechado. Assim, io = 0.

2·π/mI 1

I 2

I 3

I m

…

Fig. 11 - Soma de m fasores esfasados entre si de 2·π/m



Um resultado prático desta demonstração é que no caso de um sistema polifásico

simétrico o neutro, condutor que está ligado ao ponto de convergência dos ramos de uma

estrela, pode ser suprimido. Na realidade, as instalações eléctricas raramente formam um

sistema simétrico de grandezas !…

Uma das vantagens dos sistemas polifásicos é a possibilidade de obter tensões

eléctricas com diferentes valores. Existe tensão simples entre uma fase e o neutro, e tensão

composta entre os condutores de duas fases diferentes.

1

2

3

4

5

6

n

m = 6

Tensão simples

n5un1u n2u n3u n4u n6u

Tensão composta diametral

Tensão composta poligonal

14u 25u 36u 41u 63u52u

12u 23u 34u 45u 61u56u

Fig. 12 - Tensões poligonais e diametrais (m = 2·n)

As tensões compostas, no caso dos sistemas polifásicos com um número de fases par,

podem ter valores diferentes conforme as fases que se consideram. Nessa situação distinguem-

-se a tensão diametral, que é a que tem maior valor eficaz, e a tensão poligonal, que é a que tem

um menor valor eficaz.

Num circuito eléctrico polifásico os diferentes dipolos de cada uma das fases podem

estar ligados: em estrela, em poligonal e em zigue-zague.

em estrela – os diferentes dipolos estão ligados a um ponto comum. O

outro terminal está ligado ao condutor correspondente

da rede eléctrica.

em poligonal – é uma ligação em série dos diferentes dipolos de forma

a efectuar um circuito eléctrico fechado.

em zigue-zague – é uma ligação em estrela de enrolamentos polifásicos (activos) em que cada ra

Num sistema polifásico a potência instantânea é igual à soma daspotências instantâneas de cada uma das fases: p = ∑k uk·ik, com k = 1, … , m.

Quando num sistema polifásico com m fases, as tensões e as correntes eléctricas constituem

um sistema polifásico simétrico, a potência instantânea do sistema é constante, e é igual à

potência média. Este tipo de sistema diz-se de cargas equilibradas.

Num sistema polifásico também se define a potência activa do sistema comoP = ∑k Pk. A potência reactiva do sistema é Q = ∑k Qk, assim como a potência aparente

S = ∑k Sk. Para cada fase verifica-se que Sk2 = Pk2 + Qk2. No entanto só se verifica, para o

sistema, que S2 = P2 + Q2, quando for constante o ângulo de esfasamento entre as diferentes



fases do sistema.

3.2 S i stema T r i f ási co S i métr i co

Nas redes eléctricas de energia utiliza-se um sistema trifásico porque apresenta

algumas vantagens sobre a utilização de um sistema monofásico. Para o mesmo volume e

preço da máquina, um alternador trifásico tem uma potência superior a um alternador

monofásico. A secção total dos condutores utilizados no transporte de uma dada quantidade

de energia é menor do que no caso de um sistema monofásico que, no mesmo tempo, tivesse de

transmitir a mesma energia. No sistema trifásico dispõe-se de dois valores de tensão. O

sistema trifásico permite utilizar o motor de indução trifásico, que é um motor robusto, de

construção simples e muito fiável.

Os sistemas trifásicos são sistemas formados por três grandezas alternadas

sinusoidais, de igual amplitude e esfasadas de 2π/3 radianos. (f = 50 Hz; T = 20 ms; intervalo entre

os zeros de duas fases consecutivas ∆t = 20/3 ≅ 6,7 ms).

g

t

g1 g2 g3

0

Fig. 13 - Sistema trifásico de grandezas

A forma de onda das grandezas de um sistema trifásico simétrico encontra-se na fig.

13, enquanto que a sua representação fasorial se encontra na figura 14.

G 2

g = √2 G cos t

g = √2 G cos( t – 2·π/3)2 ω

g = √2 G cos( t – 4·π/3)3 ω

1 ω

G 1

G 3

2·π/3

2·π/3

2·π/3

Fig. 14 - Sistema trifásico de grandezas (directo) — representação fasorial

As três grandezas trifásicas, g1 g2 g3, podem suceder-se segundo duas sequências

distintas, formando um sistema de grandezas directo, ou um sistema de grandezas inverso,

(tomando como positivo o sentido trigonométrico, ou contrário ao movimento dos ponteiros de um

relógio).



Sistema directo Sistema inverso

g1 = 2 G cos(ωt + ϕ) g1 = 2 G cos(ωt + ϕ)

g2 = 2 G cos(ωt + ϕ – 2·π/3) g2 = 2 G cos(ωt + ϕ + 2·π/3)

g3= 2 G cos(ωt + ϕ – 4·π/3) g3= 2 G cos(ωt + ϕ + 4·π/3)

No caso de um sistema trifásico de tensões existe um ponto, acessível ou não, em que a

tensão é nula — trata-se do ponto neutro.

Num sistema trifásico de tensões pode-se ter disponível o valor da tensão entre fase eneutro, que na figura 15 está representada pelo fasor U 1, ou pelo fasor U 2, ou pelo fasor U 3:

trata-se da t en são si m pl es.

Num sistema trifásico de tensões tem-se acessível a tensão entre duas fases, porexemplo U 12 = U 1 - U 2, que é a t en são co m po st a.

Verifica-se, através da construção geométrica, que Uc = 3 Us,

e que U 12 + U 23 + U 31 = 0.

Note-se que na, figura 15, como | U 1| = |– U 2| a parte do desenho a ponteado é um

losango, em que | U 12| é uma diagonal e M o seu ponto médio. Assim, como | U 12| = 2·nM =

= 2·(| U 1|·sen 60°) = 3 ·| U 1|, ou Uc = 3 ·Us.

U 1 2

U 2 3

U 3 1

1

2

3

U1

U3- U 2

U1 2

n

M

Fig. 15 - Tensões simples e tensões compostas

Na rede eléctrica nacional de distribuição, em baixa tensão, o valor eficaz da tensão

simples é 220 V, e o valor eficaz da tensão composta é 380 V.

Os circuitos receptores trifásicos são formados por três elementos que podem ser

ligados de três formas.

Estrela com o neutro acessível

Os elementos estão derivados entre fase e neutro. Portanto, é-lhes aplicada a tensãosimples. A lei dos nós aplicada à estrela permite escrever io = i1 + i2 + i3, ou em notação

simbólica I o = I 1 + I 2 + I 3.

A cada elemento da carga está aplicada a tensão simples, assim I1 = U1/Z1, I2 =

= U2/Z2, I3 = U3/Z3.



yo

1

2

3

N

i 1

i 2

i 3

i o

Fig. 16 - Ligação de receptores em estrela com o neutro acessível

Se os três elementos da carga forem iguais, as correntes eléctricas são grandezas

iguais, esfasadas de 2π/3 radianos e a sua soma fasorial é nula; não circula corrente eléctrica

no condutor neutro.

Estrela sem o neutro acessível

y

1

2

3

i 1

i 2

i 3

Fig. 17 - Ligação de receptores em estrela sem neutro acessível

No caso da ligação dos receptores em estrela sem neutro acessível, aplicando a lei dosnós, verifica-se a relação entre as diferentes correntes eléctricas i1 + i2 + i3 = 0, ou utilizando a

representação simbólica, I 1 + I 2 + I 3 = 0.

Triângulo

Nesta situação a cada elemento da carga está aplicada a tensão composta Uc = 3 ·Us,

e a corrente eléctrica em cada linha é a diferença das correntes eléctricas em cada ramo queconverge nessa linha, I 1 = I 12 – I 31, I 2 = I 32 – I 12, I 3 = I 31 – I 23.

3

D1

2

ii 2i 3

Fig. 18 - Ligação dos elementos do receptor em triângulo



No caso do triângulo ser equilibrado, isto é quando as impedâncias dos elementos são

iguais, demonstra-se, por uma construção geométrica análoga à utilizada para a relação entre

tensão composta e simples, que a corrente eléctrica na linha é igual a 3 vezes a corrente

eléctrica em cada ramo do triângulo (corrente na malha);

Ilinha = 3 ·(IA – IB) = 3 ·Imalha

Exemplo_3.2–1 — No estudo de um transformador trifásico supõe-se que ele constitui um sistema decargas equilibradas, em que todos os enrolamentos de um dos lados (primário ou secundário) são iguais.Por isso, só é necessário estudar uma fase do transformador e converter os resultados do estudodesse transformador monofásico para as grandezas trifásicas, atendendo às ligações das fases.

Um transformador trifásico Dyo, triângulo–estrela com neutro acessível,tem os valores de tensão nominal U1n = 30 kV, U2n = 400 V e os valores deintensidade da corrente eléctrica I1n= 20 A, I2n = 1500 A, pode ser

estudado através da análise do funcionamento de um transformadormonofásico:

T e nsão pr im ár ia, U m 1 , — a cada fase do triângulo do primário está aplicada a tensão compostaque é o valor da tensão nominal do enrolamento, Um1 = 30 KV.

In t e ns idade da c o r r e nt e p r im ár ia, Im 1 — a corrente eléctrica que percorre o enrolamento

primário é a corrente na malha do triângulo, enquanto que o valor nominal fornecido é a intensidade de

corrente eléctrica na linha, Im1 = Ilinha / 3 , Im1 = 20/ 3 = 11,54 A.

T e nsão se c undár ia, U m 2 — a cada um dos ramos da estrela está aplicada a tensão simples , mas

a informação é sobre a tensão nominal, que é um valor composto, Um2 = 400/ 3 = 230,9 V

In t e ns idade da c o r r e nt e se c undár ia, Im 2 — a corrente que percorre uma fase doenrolamento secundário é a corrente que circula nas linhas a jusante, Im2 = 1500 A.

Os receptores em corrente alternada trifásica podem ser ligados em estrela ou em

triângulo. Existe um teorema, o teorema de Kenelly, ou da transfiguração, que permite passar

de uma configuração para outra que lhe é equivalente.

Uma malha triangular de impedâncias ZAB, ZBC, ZCA, pode ser substituída por três

impedâncias, ZA, ZB, ZC, dispostas em estrela tendo por valor:

ZA = ZAB·ZCA

ZAB + ZBC + ZCA ZB = ZBC·ZAB

ZAB + ZBC + ZCA ZC = ZCA·ZBC

ZAB + ZBC + ZCA

A

B

C

Z A B

Z B C

Z CA

C

Z

A

B

Z

Z

AB

C

Fig. 19 - Aplicação do teorema de Kenelly

P S



Note-se que:

Z em A = (produto dos Z que convergem em A)/(soma dos Z da malha)

As fórmulas para a passagem inversa, estrela–triângulo, são:

ZAB = ZAZB + ZBZC + ZCZAZC

ZBC = ZAZB + ZBZC + ZCZAZA

ZCA = ZAZB + ZBZC + ZCZAZB

Note-se que:

Z em AB = (somatório de todos os produtos de dois Z da estrela)/(Z do

triângulo em C)

Exemplo_3.2–2 — No estudo do motor de indução trifásico costuma considerar-se que as três fases doenrolamento estatórico são iguais; portanto, têm a mesma impedância: ZUV = ZVW = ZWU = ZD

Quando o enrolamento trifásico estatórico está ligado em triângulo e se conhece a respectivaimpedância ZD , pode interessar o estudo da estrela equivalente,

ZY = (ZD)2/ 3·ZD = ZD / 3

Quando a informação é relativa a uma estrela ZY e se pretende estudar o triângulo equivalente é:

ZD = 3·(ZY)2/ ZY = 3·ZY

Num sistema trifásico a potência activa absorvida por um agrupamento de cargas emestrela ou em triângulo é a soma da potência activa absorvida por cada elemento: P = P1 + P2 +

+ P3. A potência reactiva absorvida pelo agrupamento é a soma da potência reactiva

absorvida por cada elemento: Q = Q1 + Q2 + Q3.

A potência aparente absorvida pelo conjunto é dada por S = P2 + Q2 , porque é

constante (2·π/3) o esfasamento entre as gradezas de duas fases consecutivas. O factor de

potência do conjunto é dado pela razão entre o valor da potência activa e o valor da potência

aparente do conjunto, factor de potência λ = P/S.

Conforme o tipo de montagem equilibrada utilizada podem obter-se diferentes

relações.

Ligação em estrela equilibrada

Potência activa — os três receptores estão submetidos à tensão simples U, e são

atravessados pelas correntes eléctricas na linha, que têm o

mesmo valor eficaz, I.

P1 = P2 = P3 = U I cos ϕ P = P1 + P2 + P3 = 3 U I cos ϕ

como Us = U = Uc/ 3 , resulta que P = 3 · Uc I cos ϕ.

Potência reactiva —

Também é Q1 = Q2 = Q3 = U I sen ϕ e Q = 3 Uc I sen ϕ



Ligação em triângulo equilibrado

Potência activa — os três receptores estão submetidos à tensão composta Uc, e são

atravessados pelas correntes eléctricas na malha, que têm ummesmo valor eficaz, Ima.

P1 = P2 = P3 = Uc Ima cos ϕ P = P1 + P2 + P3 = 3 Uc Ima cos ϕ

como Imalha = Ilinha/ 3 = I/ 3 resulta que P = 3 · Uc I cos ϕ.

Potência reactiva —

Também é Q1 = Q2 = Q3 = Uc·Ima·sen ϕ e Q = 3 · Uc·I·sen ϕ

Desde que os sistema seja trifásico e esteja equilibrado, as expressões para a potênciaem corrente alternada, considerando a tensão composta Uc e a corrente eléctrica na linha I,

são:

P = 3 ·Uc·I cos ϕ; Q = 3 ·Uc·I sen ϕ; S = 3 ·Uc·I; e λ = P/S = cos ϕ

Exemplo_3.2–3 — Os valores nominais das grandezas de uma máquina eléctrica são sempre valoresmáximos. Um motor de indução trifásico tem os seguintes valores nominais de catálogo:

Pmec = 4 kW, Uc = 380 V, n = 1420 rot/min, η = 79 %, λ = cos ϕ = 0,89

Com estes valores é possível determinar:

a potência eléctrica absorvida — Pel = Ptotal = Pútil /η = Pmec/η, Pel = 4x103/0,79 = 5,06 kW

como a potência eléctrica absorvida é uma potência activa P = 3 ·Uc·In·cosϕ , pode-se determinar

a intensidade da corrente eléctrica nominal — In = Pel/( 3 ·Uc·cos ϕ), In = 5,06x103/585,8 = 8,6

A

Para medir a potência activa utilizam-se wattímetros numa montagem de medida

que depende das características do sistema.

Se o sistema está equilibrado basta medir a potência consumida por uma fase e

multiplicá-la por três. É por isso necessário só um wattímetro numa montagem de medida

análoga à da figura 9.

Se o sistema trifásico está desequilibrado, é necessário medir a potência consumida

por cada circuito e adicionar as três potências. A montagem de medida será constituída por

três wattímetros, um por cada fase.

Quer o circuito esteja equilibrado, ou não,

mas desde que não possua o condutor neutro, a

potência total pode ser medida com o auxílio de dois

wattímetros, segundo uma montagem de medida

como a da figura 20, tendo o devido cuidado na

interpretação do sentido do desvio dos ponteiros dos

aparelhos.

Também neste tipo de montagem pode

existir a necessidade de utilizar transformadores de

medida: transformador de tensão TT, e transformador de intensidade TI.

Numa máquina eléctrica, através da Técnica dos Enrolamentos para máquinas de

W1

W2

1

2

3

C

A

R

G

A

Fig. 20 - Montagem com dois wattímetros



corrente alternada, é possível distribuir um conjunto de condutores pelas ranhuras de um

estator, ou de um rotor, de tal forma que a distribuição do enrolamento no espaço,

caracterizado pelo ângulo eléctrico α, seja, praticamente, igual à de um bobina com N espirasefectivas com uma distribuição sinusoidal: N(α) = N·cos α. (Note-se que αelect. = p ·θgeomet., em

que p é o número de pares de pólos da máquina).

Essa bobina quando é percorrida por uma corrente eléctrica sinusoidal monofásica,

i = 2 ·I cos ωt, só pode criar um campo de força magnetomotriz: F = Ni = 2 ·NI cos α cos ωt.

Este campo é alternado sinusoidal, e pode-se considerar com a soma de dois campos girantes,

com igual amplitude, mas que giram em sentido contrário (Teorema de Leblanc):

F (α,t) = Ni = 2 ·NI cos α cos ωt = (1/ 2 )NI[cos (ωt + α) + cos (ωt – α)]

8888 9999

Com este campo alternado, ou com os dois campos girantes, de igual amplitude mas

girando em sentidos contrários, não se consegue produzir um efeito útil numa máquina

eléctrica. Uma das formas mais simples para obter um único campo de força magnetomotriz

girante num só sentido é com a utilização de um sistema trifásico simétrico de correntes

eléctricas. Esta técnica está aplicada no motor de indução trifásico, que é um motor com uma

vasta utilização.

a

a'

b

b'

c

c'

Fig. 21 - Criação de um campo de forças magnetomotrizes girante

Para criar o campo de forças magnetomotrizes girantes a partir de um sistema

trifásico de correntes eléctricas, utilizam-se três bobinas distribuídas com o mesmo número

de espiras efectivas N, mas esfasadas no espaço do entreferro de 2π/3 radianos eléctricos, a b c

Cada uma dará origem a uma força magnetomotriz alternada, e as três adicionar-se-ão no

entreferro da máquina, formando um campo girante (Teorema de Ferraris).

N·ia = 2·N·I·cos ωt ·cos α

N·ib = 2·N·I·cos (ωt – 2π/3) ·cos (α – 2π/3)

N·ic = 2·N·I·cos (ωt – 4π/3) ·cos (α – 4π/3)

F(α,t) = Ni = Nia + Nib + Nic = 3·N·I

2·cos(ωt – α)

O campo girante obtido é uma onda de força magnetomotriz caracterizada por ser

função do espaço e do tempo; num dado ponto dos espaço, α fixo, a variação do campo com o

tempo é sinusoidal; num dado instante, t fixo, o campo varia sinusoidalmente ao longo da

periferia do entreferro. Note-se que o campo de força magnetomotriz girante tem umavelocidade angular ωs com um valor que coincide com o valor da pulsação da corrente

alternada sinusoidal que o cria, porque ω = 2·π·f.



Uma das vantagens do sistema trifásico é que promove uma economia no metal dos

condutores utilizados, face ao sistema monofásico, quando se pretende transportar a mesma

quantidade de energia, com a mesma tensão, com as mesmas perdas, e a uma mesma

distância. Demonstra-se que é maior a secção da linha monofásica necessária para otransporte da quantidade de energia: Smono = (4/3) Strif .

Quando o sistema de grandezas é trifásico mas assimétrico, o seu estudo pode ser feito

através do Método das Componentes Simétricas. Com o auxílio deste método, faz-se a

decomposição de um sistema de grandezas trifásicas assimétricas numa soma de sistemas

trifásicos simétricos: um directo, um inverso e um homopolar. Devido à sua importância na

Teoria das Máquinas Eléctricas, este método será tratado numa publicação específica.

3.3 S i stema di f ási co

Um sistema difásico de grandezas sinusoidais é um sistema formado por duas

grandezas com variação sinusoidal no tempo, com igual valor eficaz e esfasadas entre si de

π/2 rad. (f = 50 Hz; T= 20 ms; intervalo entre os zeros das duas fases ∆t = 20/2 = 10 ms)

g1 = 2 ·G cos(ωt + ϕ) g2 = 2 ·G cos(ωt + ϕ – π/2)

Verifica-se assim que um sistema difásico é constituído por duas fases sucessivas de

um sistema tetrafásico (m = 4): trata-se de um sistema hemi-tetrafásico. Note-se que um

sistema polifásico com m = 2 teria as grandezas em oposição de fase, estariam esfasadas de π

rad, e, portanto, com esse sistema de grandezas alternadas não seria possível obter um campo

girante, nem se conseguiria fornecer uma potência instantânea constante.

Exemplo_3.3–1 — A determinação do valor da potência instantânea num sistema difásico “puro”(m = 2 ⇒ 2π/m = π), com

u1 = 2 Ucos(ωt) e i1 = 2 Icos(ωt – ϕ); u2 = 2 Ucos(ωt – π) e i2 = 2 Icos(ωt – ϕ – π),

p = u1·i1 + u2·i2 = 2·U·I·cos(ωt)·cos(ωt – ϕ) + 2·U·I·cos(ωt – π)·cos(ωt – ϕ – π) =

= 2·U·I cosϕ – 2·U·I·cos(2ωt – ϕ – π)

A potência instantânea não é constante, mas depende do tempo t.

A determinação do valor da potência instantânea num sistema hemi–tetrafásico (m = 4 ⇒ 2π/m = π/2),com

u1 = 2 Ucos(ωt) e i1 = 2 Icos(ωt – ϕ); u2 = 2 Ucos(ωt – π/2) e i2 = 2 Icos(ωt – ϕ – π/2),

p = u1·i1 + u2·i2 = 2·U·I·cos(ωt)·cos(ωt – ϕ) + 2·U·I·cos(ωt – π/2)·cos(ωt – ϕ – π/2) =

= 2·U·I cosϕ + U·I·(2cos(2ωt – ϕ – π)·cos(π/2)) = 2·U·I cosϕ

A potência instantânea não depende do tempo t; é constante e igual à potência média.

0

0 T/2 T

u1(t)

u2(t)

U1

U2Uc

I1

I2

Fig. 22 - Sistema difásico de tensões



Atendendo à relação entre os lados de um triângulo rectângulo, verifica-se que a

relação entre a tensão simples e a tensão composta é dada por Uc = 2 ·Us; porque a tensão

composta é U c = U 1 – U 2 Num sistema difásico com cargas equilibradas, no condutor neutro,

condutor que está ligado ao ponto de convergência dos ramos de uma estrela, circula uma

corrente eléctrica dada por I o = –( I 1 + I 2), ou | I o| = 2 ·I.

Considerando que o sistema de cargas está equilibrado, a potência média de um

sistema difásico é:

P = P1 + P2 = 2 Us I cos ϕ ou P = 2 Uc I cos ϕ

Portanto,

u1(t) = 2 ·U·cos(ωt) i1(t) = 2 ·I·cos(ωt – ϕ)

Uc = 2 ·Us

u2(t) = 2 ·U·cos(ωt – π/2) i2(t) = 2 ·I·cos(ωt – ϕ – π/2)

P = 2·U·I·cos(ϕ) = 2 ·Uc·I·cos(ϕ)

Um sistema difásico (hemi-tetrafásico) de tensões pode ser obtido mediante uma

ligação Scott de transformadores monofásicos.

Na ligação Scott, os dois

transformadores monofásicos estão

dimensionados com a mesma indução

magnética, de que resulta a mesma tensão

por espira. O transformador base tem o

ponto médio do enrolamento primário

acessível e o transformador altura tem um

dos terminais do primário ligado ao ponto

médio do transformador base, o outro

terminal está ligado à rede trifásica.

Com um sistema difásico de tensões também é possível obter, numa máquina

eléctrica, um campo girante de forças magnetomotrizes. Para isso constrói-se um sistema debobinas, com Nk espiras efectivas cada uma, esfasadas no espaço do entreferro de π/2 radianos

eléctricos. Cada uma das bobinas é percorrida pela corrente eléctrica de uma fase de um

sistema difásico. Cada bobina dá origem a uma força magnetomotriz,

Fp= 2 ·NpI cos ωt cos α Fa = 2 ·NaI cos (ωt + π/2) cos (α – π/2)

adicionando os efeitos das duas forças magnetomotrizes,

F = Fp + Fa = 2 ·NpI cos ωt cos α + 2 ·NaI cos (ωt + π/2) cos (α – π/2)

= 2 ·(Np– Na) I cos ωt cos α + 2 ·Na I cos (ωt + α)

Trata-se de um campo de força magnetomotriz formado pela sobreposição de um

campo alternado sinusoidal com um campo girante — é um campo elíptico.

Com hoje já não existem, salvo em obsoletas instalações eléctricas, sistemas de

distribuição de energia eléctrica difásicos simétricos, o campo elíptico só é utilizado em

máquinas eléctricas próprias para sistemas de controlo. No entanto, existe um caso em que o

campo é utilizado mediante a criação de um sistema difásico, (aproximadamente difásico !…),

RST

base

M

U2

altura

U1

Ligação Scott de Transformadores Monofásicos



na própria máquina: é no m o t o r de i n dução m o n o f ási co .

No motor de indução monofásico, mediante a utilização de um condensador, usado

permanentemente ou só no momento do arranque, cria-se um sistema difásico (assimétrico)

de correntes eléctricas. Como existem duas bobinas no estator da máquina, uma auxiliar e a

outra principal, esfasadas de π/2 radianos eléctricos, cria-se um campo elíptico.

F = 2 ·(NpIp – NaIa ) cos ωt cos α + 2 ·NaIa cos (ωt + α)

= ( 2 /2)·(NpIp – NaIa )·[cos (ωt + α) + cos (ωt – α)] + 2 ·NaIa cos (ωt + α)

= [(1/ 2 )·(NpIp + NaIa )] cos (ωt + α) + [(1/ 2 )·(NpIp – NaIa )] cos (ωt – α)

campo girante directo 8888 campo girante inverso 9999

Desta forma consegue-se criar um campo girante directo, com uma amplitude maior

do que a do campo girante inverso, o que garante que, no momento de arranque, a máquina

possua um campo girante dominante, que o circuito rotórico tenderá a acompanhar. O que

não sucede com uma máquina alimentada exclusivamente em tensão alternada sinusoidal

monofásica, porque nela existem dois campos girantes de igual amplitude, mas girando em

sentidos contrários (Teorema de Leblanc). Neste caso o circuito rotórico não os acompanha

porque se anulam os seus efeitos.

M1 ~

C a

pa

a´ p

p

Fig. 23- Motor de Indução Monofásico

Os sistemas difásicos de grandezas alternadas apenas são utilizados para alimentar

duas redes monofásicas; caso da sua utilização em Tracção Eléctrica. Isto, porque é possível

efectuar a transformação trifásico-difásico com uma simples montagem de transformadores

monofásicos: a ligação Scott. Esta montagem de transformadores apresenta virtualidades nas

situações de regime de cargas difásicas equilibradas que aconselham a sua aplicação em

certas redes de distribuição de energia.

3.4 S i stema hexaf ási co

O sistema hexafásico é um sistema formado por seis

grandezas sinusoidais com o mesmo valor eficaz e esfasadas

entre si de π/6 rad. (f = 50 Hz; T = 20 ms; intervalo entre os zeros de

duas fases consecutivas ∆t = 20/6 ≅ 3,3 ms). As respectivas

grandezas obedecem à formula geral:

gk= 2 ·G cos[ωt + ϕ – (k-1)·2·π/6] com k = 1, 2, …, 6

Este sistema admite uma ligação das cargas em estrela

ou em hexágono. Com uma ligação em estrela, a qual pode ter o

neutro acessível, podem-se aplicar diversos tipo de tensão:1

2

3

4

5

6n

Fig. 24 - Sistema hexafásico



tensão simples (entre fase e neutro) — u1, u2, u3, u4, u5, u6

tensão composta diametral — u14, u25, u36, u41, u52, u63

tensão composta — u13, u24, u35, u46, u51, u62

tensão composta poligonal — u12, u23, u34, u45, u56, u61

Quando existe simetria de cargas a expressão para a potência é: P = 6 Us I cos ϕ.

Os sistemas alternados hexafásicos que podem ser obtidos directamente a partir de

máquinas síncronas hexafásicas, ou através de uma transformação do número de fases com

um transformador trifásico-hexafásico, têm utilização na alimentação de rectificadores. Nos

últimos anos têm sido apresentados alguns trabalhos de investigação envolvendo a utilização

de máquinas síncronas e de motores de indução hexafásicos.

A

B

C

a1

b2

c3

d4

e5

f6

N

Bibl iografiaAndré Angot; “Compléments de Mathématiques”, Masson et Cie., 1972

Carlos Araújo Sá; “Aspectos Gerais de Máquinas Eléctricas”, FEUP ,1991

Carlos Castro Carvalho; “Motores Monofásicos Série de Colector”, Porto, 1960

Carlos Castro Carvalho; “Apontamentos para a Disciplina de Máquinas Eléctricas II”, AEFEUP, 1983

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E. A. Guillemin; “The Matematics of Circuit Analysis”, M IT Press, 1949

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Manuel Vaz Guedes; “Grandezas Periódicas Não Sinusoidais”, AEFEUP, 1992

MIT E.E. Staff; “Electrical Circuits”, MIT Press, 1940



Apêndice A – Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais

As grandezas alternadas sinusoidais podem ser representadas de diversas formas,conforme a conveniência do estudo que está a ser feito e dos meios de cálculo disponíveis.

Representação matemática

Neste tipo de representação utiliza-se uma função matemática para expressar o

comportamento da grandeza eléctrica. É o tipo de representação utilizado para caracterizar o

valor instantâneo de uma grandeza → g = 2 ·G cos(ωt + ϕ).

Representação fasorial

No estudo dos sistemas eléctricos de corrente alternada utiliza-se frequentemente a

representação fasorial das grandezas eléctricas. Trata-se de uma representação geométrica,

na forma polar, que a cada grandeza faz corresponder um fasor caracterizado por um módulo,

igual ao valor eficaz da grandeza, | G | = G, a uma dada escala, e uma direcção relativamente a

um eixo origem, igual ao ângulo de fase, / G = θ = ωt + ϕ.

G|G|

θ = t + ω h

Fig. A.1 - Representação fasorial

Note-se que o valor instantâneo da grandeza alternada sinusoidal g = 2 ·G·cos(θ)

obtém-se multiplicando por 2 a projecção do fasor sobre o eixo da origem dos ângulos.

Neste tipo de representação as diferentes operações aritméticas sobre as grandezas

alternadas sinusoidais traduzem-se por operações geométricas sobre os fasores

representativos das diferentes grandezas.

No trabalho com grandezas alternadas sinusoidais ocorre frequentemente a

associação das duas representações, fasorial e simbólica, sobre o nome de fasor.

Representação simbólica

É um tipo de representação das grandezas alternadas sinusoidais em que se utilizam

números complexos. Uma grandeza é representada por um número complexo G formado por

uma parte real, a, e por uma parte imaginária, b, afectada pelo operador j = –1 ; assim

G = a + j b.

Re

G

θ = t + ω h

Im

a

b

G = a + jb

Fig. A.2 - Representação simbólica



O operador j = –1 é caracterizado por promover uma rotação de π/2 rad no sentidodirecto, ou trigonométrico, quando é aplicado a um fasor.

Verifica-se que j2 = –1, j3 = –j, j4 = 1.

Baseado no teorema de Euler, ej ß = exp(j ß) = cos ß + j sen ß, que é uma propriedade da

função exponencial no domínio complexo, é possível representar uma grandeza alternada

sinusoidal com números complexos.

G = G ej θ = G exp(jθ) = G (cos θ + j sen θ) = G ·cos θ + j G ·sen θ = a + j b (a.1)

Atendendo à correspondência expressa em (a.1), verifica-se que:

a = G ·cos θ e b = G ·sen θ

Atendendo à figura A.2, também se verifica que:

θ = arctg (b/a) e G = ( a2 + b2 )

Para evitar a escrita frequente da função exponencial pode utilizar-se para a

representação simbólica das grandezas alternadas sinusoidais uma notação devida a

Arthur E. Kenelly (1894) : G = G / θ .

O valor instantâneo de uma grandeza alternada sinusoidal obtém-se, tomando o

produto por 2 da parte real do fasor alternado G·exp(j (ωt + ϕ)), quando a variação da

grandeza é em cosseno g(t) = 2 ·Re(G·exp(j (ωt + ϕ)) = 2 ·G·cos(ωt + ϕ). A grandeza sinusoidal é

representada pelo f aso r G = G·exp(j ϕ) = G / ϕ .

Na aplicação da notação simbólica aos circuitos eléctricos resulta, para a lei de Ohm

em corrente alternada, a expressão U = Z I . Se U = U / 0 e I = I /− φ , o cociente U / I é igual a

(U/I) / φ = Z / φ . Atendendo à figura A.2 pode-se escrever U / I = R + j X = Z .

A determinação da derivada, em ordem ao tempo, de uma grandeza sinusoidal pode

ser feita com o auxílio da notação simbólica,

dg(t )/dt = d[ 2 G cos(ωt + α)]/dt = – ω 2 G·sen (ωt + α) =

= ω 2 G·cos(ωt + α + π/2)

em notação simbólica é

dg(t )/dt = ω⟨exp(j(π/2))· 2 G·exp(j (ω t+α ) ) = jω· G ·exp(j (ω t ) )

A derivação em cálculo simbólico traduzir-se-á na multiplicação do fasor

representativo da grandeza por jω, ou seja, em multiplicar a grandeza por ω e esfasá-la de

π/2 no sentido trigonométrico, avanço.

A integração em cálculo simbólico traduzir-se-á na divisão do fasor representativo

da grandeza por jω, ou seja em dividir a grandeza por ω e esfasá-la de π/2, no sentido

anti-trigonométrico, atraso.

As grandezas alternadas sinusoidais, em estudo, podem ser uma função do tempo

através do ângulo de fase (ωt + ϕ); b(t) = 2 ·B cos(ωt + ϕ). Nesse caso diz-se que as grandezassão representadas pelo fasor temporal, ou simplesmente pelo fasor B = Bm exp(j ϕ). Mas as

grandezas alternadas sinusoidais, também, podem ser apenas função de uma ângulo espacial(α – αo ); f(α) = Fm cos(α – αo ). Então, diz-se que as grandezas são representadas pelo fasorespacial, f = Fm exp(jαo ). A representação simbólica destas grandezas será: b = B exp(jωt),

e f = f exp(– j α).



Apêndice B – Símbolos para Grandezas e Unidades

G R A ND E ZA U NI DA D E

comprimento l metro m

massa m quilograma kg

tempo t segundo s

ângulo (plano) α, β, γ radiano rad

ângulo de rotação θ radiano rad

velocidade angular ω, Ω radiano por segundo rad/s

força F newton N

binário T newton metro N·m

energia E, W joule J

potência P watt W

campo eléctrico E volt por metro V/m

potencial (eléctrico) V volt V

tensão u, U volt V

força electromotriz e, E volt V

capacidade C farad F

intensidade da corrente eléctrica i, I ampere A

campo magnético H ampere por metro A/m

força magnetomotriz F, Fm ampere A

indução magnética B tesla T

fluxo magnético ψ, φ; Ψ, Φ weber Wb

potencial vector magnético A weber por metro Wb/m

coef. auto-indução L henry H

coef. indução mútua M henry H

resistência R ohm Ω

relutância R, Rm 1 por henry H–1

potência aparente S volt–ampere VA

potência activa P watt W

potência reactiva Q volt–ampere reactivo var

factor de potência λ - -

frequência f hertz H z

pulsação ω radianos por segundo rad/s

diferença de fase ϕ, φ radiano rad

deslizamento s - -

número de espiras N - -

número de fases m - -

número de pares de pólos p - -número de rotações por

unidade de tempo n rotações por segundo rot/s

temperatura absoluta T kelvin K

temperatura Celsius t grau Celsius º C

– M VG.93 –

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Corrente Alternada - sistemas polifásicos · polifásicos de corrente alternada, já a preferência dada ao sistema trifásico é justificada pela possibilidade de se efectuar o