Corrigé Dfhdfhdfh1. On pose

Sn =

55∑i=1

Xi

où les Xi ∼ N (4, 10) sont les notes des i étudiants. Il faut donc calculer

p

{−0, 5 ≤ S55

55− 10 ≤ 0, 5

},

Or

p

{−0, 5 ≤ S55

55− 10 ≤ 0, 5

}= p{522, 5 ≤ S55 ≤ 577, 5} = p

{522, 5− 55× 10√

10×√

55≤ Y ≤ 577, 5− 55× 10√

10 ·√

55

}où Y = S55−55×10√

10×√55∼ N (0, 1). Par le théorème de la limite centrale, on obtient que cette probabilité

vautΦ

(577, 5− 55× 10√

10 ·√

55

)− Φ

(522, 5− 55× 10√

10 ·√

55

)= 2Φ

(577, 5− 55× 10√

10 ·√

55

)− 1.

Je te laisse le loisir de calculer la valeur approchée :-)2. Le principe est identique, et il faut résoudre l’équation

p

{−0, 5 ≤ Sn

n− 10 ≤ 0, 5

}= 0, 95

Commep {9, 5n ≤ Sn ≤ 10, 5n} = p

{9, 5n− 10n√

10√n≤ Yn ≤

10, 5n− 10n√10√n

},

où Yn = Sn−10n√10√n∼ N (0, 1), on arrive donc finalement à résoudre l’équation

Φ

(0, 5n√10√n

)− Φ

(− 0, 5n√

10√n

)= 0, 95 ⇐⇒ 2Φ

(0, 5n√10√n

)− 1 = 0, 95.

Je te laisse le loisir de déterminer n :-)3. La question me parait un peu bizarre dans le sens où dans ce cas précis, les notes suivent une loi

uniforme sur [0, 20]. Ainsi, E[Xi] = 10 et Var(Xi) = 1003 ... pour moi le théorème centrale s’applique

bien ici. Je ne vois pas comment déterminer n dans ce cas précis sans le théorème de la limitecentrale. Il y a cependant le théorème de la loi faible des grand nombre (qui est une conséquencede l’inégalité de Tchébychev), mais je ne vois pas en quoi l’appliquer ici, désolé.

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