Corso di biomatematica lezione 5: propagazione degli errori Davide Grandi

Corso di biomatematica Corso di biomatematica lezione 5:lezione 5:

propagazione degli erroripropagazione degli errori

Davide Grandi

Sommario•Dalla somma in quadratura:•Somme e differenze•Prodotti e quozienti•Funzioni arbitrarie di una variabile•La potenza•Formula generale

•Livelli di confidenza•Rigetto dei dati•Metodo dei minimi quadrati

Propagazione degli errori

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• NotaNotaUsiamo nei lucidi seguenti

Per indicare l’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y

dove intendiamo non la deviazione standard, legata alla

bontà di una misura, ma l’errore standard, ovvero l’errore

della media, legato alla deviazione standard dalla relazione

y

Nx



• Relazione lineareRelazione linearePartiamo dalla relazione lineare

conL’errore o l’accuratezza relativo alla stima

di y dovuto alla misura di x

kxy

kxy

xky



• Somme (e differenze)Somme (e differenze)Se invece abbiamo

conAbbiamo già visto che l’errore o

l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di x e di z

sarà

Che solo in alcuni casi può approssimarsi a

(stima per eccesso)

zxy

zxy

22

zxy

zxy



• Prodotti e quozientiProdotti e quozientiSe invece abbiamo

L’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla

misura di a,b,c,d sarà (errore relativo)

dcbay

dcbaydcbay

2222



• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoDato il caso semplice

Abbiamo che l’errore relativo per a (o per b) sarà

Per cui esprimerò a (o b) come

bay

aa

a

aa a1



• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoDa questo avremo che

Il valore più probabile più grande sarà con numeratore

grande (segno +) e denominatore piccolo (meno)

b

a

ba

bay

b

a

1

1



• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoOvvero

E siccome vale

avremo

b

a

ba

bay

b

a

1

1

bb

11

1

bab

ay ba 1



• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoLa somma in quadratura introdotta la

lezione precedente giustifica il passaggio da

a

bab

ay ba 1

22

1bab

ay ba



• Funzioni arbitrarieFunzioni arbitrarieData una funzione di diverse variabili

Avremo che l’errore (o l’accuratezza) dato dalla misura delle

variabili x,…z sarà:

E non è mai più grande della somma ordinaria dei termini

22

.........

zxy zy

xy

),....,( zxyy



• PotenzaPotenzaNel caso in cui

avremoxy n

xyxy n



• Livello di confidenzaLivello di confidenzaSe abbiamo trovato con una misura un

valore medio (migliore stima)

Rappresentato con la deviazione standard della media,

possiamo dire che la probabilità che il calcolo del valore

medio cada nell’intervallo

È il 68% (circa)

yyvalore

yy yy ,



• Livello di confidenzaLivello di confidenzaPartiamo dunque dall’ipotesi di avere una

distribuzione centrata sul valore vero yv, la cui larghezza

viene stimata dal parametro .In questo modo avremo che la discrepanza

tra il valor medio ed il valor vero (espressa in unità di ) sarà

In questo modo posso calcolare la probabilità che una misura

(una media) cada al di fuori di t

yy

t v



• Livello di confidenzaLivello di confidenzaCome

P(fuori da t) = 1 – P(entro t)

Nel caso la probabilità della mia misura sia grande essa

risulterà accettabile, altrimenti inaccettabile (o significativa)

Ad esempio P(fuori da 2) = 4.6%P(fuori da 1.96) = 5%P(fuori da 2.32) = 2%



• Rigetto dei datiRigetto dei datiDati ad esempio 6 valori di cui uno

“sospetto”, in quanto calcolato il valor medio e la deviazione

standard noto che dista dal valor medio 2 . A questo punto

abbiamo visto cheP(fuori da 2) = 4.6% 5% (0.05)Questo implica che 1 misura ogni 20 circa

dovrebbe essere 2 oltre il valor medio, quindi:Sse ho fatto 20 misure non ha senso

rigettarla (rientra nella coda statistica), invece nel nostro caso la

probabilità sarà:6 x 0.05= 0.3Ovvero solo 1/3 di misura dovrebbe essere

oltre 2



• Rigetto dei datiRigetto dei datiQuesto implica che se riteniamo 1/3 di

misura altamente improbabile, possiamo rigettare il dato

“erroneo”.

Il criterio di Chauvenet pone il limite di improbabilità a ½

ovvero date N misure ed una di queste oltre ad esempio 2

calcoliamo NP(fuori da 2) e se è minore di ½ “posso”

rigettare il rispettivo dato..



• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiSupponiamo di avere ottenuto una serie N

di misure di una variabile yi, ognuna in corrispondenza di un

determinato valore xi, ovvero di possedere una serie di

coppie(x1,y1), (x2,y2), ……. (xN,yN),E di voler stabilire se esiste una relazione

ad esempio lineare tra le due classi di parametri, ovvero se

posso scriverey=a+bxPuò ad esempio essere il caso di

determinare le costanti a e b con sufficiente precisione in quanto

rappresentano l’obiettivo finale della mia misura



• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiAgendo come nel caso del calcolo del valor

medio, se i miei dati si possono disporre su una retta dovrò

minimizzare la distanza di ciascuna coppia di valori dalla

retta di equazione y=a+bx, ottenendo:

yxxyx

a i iiii2

yxyxN

b iii i



• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiDove abbiamo semplificato

Si può affermare che la misura di tutti gli yi sia normalmente

distribuita attorno al suo valore y=a+bx con larghezza

22 xxN ii

N

iy iiN

bxay1

22

2

1



• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiPossiamo anche calcolare gli scarti per i

coefficienti a e b, che saranno:

yb

N

ya

ix

2

Regressione lineare


• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiIl metodo dei minimi quadrati che permette

di stimare a e b dall’equazione y=a+bx (x e y valori

medi) in pratica cerca di minimizzare l’errore residuo ei nella

relazioneyi = a+bxi + ei

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