Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) L’approssimazione dell’Ottica Geometrica2) Immagini reali e virtuali3) Il diottro4) I sistemi ottici centrati5) Piani principali e nodali6) Diaframmi, Brillanza e Luminosità7) Lenti sottili8) Aberrazioni

Parte XXVI: Ottica Geometrica

Lo studio generale della propagazione delle onde nella materia può essere molto complicato

In generale bisognerebbe risolvere l’equazione delle onde, noti gli indici di rifrazione, leforme e le posizioni dei corpi attraversati dalla luce, e raccordare le componenti tangenzialidei campi su tutti i punti delle superfici di separazione (qualunque). Se a ciò si aggiunge chetali condizioni possono anche variare nel tempo, e che i fronti d’onda possono avere anchesimmetria bassissima se le sorgenti sono estese, si capisce come tale problema possadiventare complicatissimo se non addirittura insolubile.

Tuttavia, nei casi pratici, la lunghezza d’onda della luce (1m) è di solito molto più piccoladei raggi di curvatura dei fronti d’onda come pure delle superfici di separazione fra i mezzi.

dL’approssimazione dell’Ottica Geometrica vale in questo frequente limite

Ciò consente di introdurre il concetto di Raggio luminoso, come direzione perpendicolareal fronte d’onda (asse di un cono di apertura infinitesima dentro il quale viaggia l’onda) el’applicazione delle leggi della riflessione e della rifrazione anche se le superfici diseparazione fra i mezzi sono limitate e non piane

L’approssimazione dell’Ottica GeometricaL’approssimazione dell’Ottica Geometrica

Una sorgente puntiforme (un piccolo foro in uno schermo opaco) emette onde sferiche.In ottica geometrica questa è rappresentabile mediante un fascio di raggi passanti perla sorgente. Un tale fascio si dice omocentrico

Può accadere che dopo riflessioni e/o rifrazioni, anche da superfici piane, i fronti d’ondanon siano più sfere, di conseguenza i raggi né i loro prolungamenti non passino più perun punto. Un tale fascio si dice astigmatico, e può essere prodotto anche da sorgenti estese.Un’onda piana è rappresentabile come un fascio di raggi paralleli, che è omocentrico, poichéi raggi si incontrano all’infinito

Nel loro percorso i raggi emessi da una sorgente puntiforme si possono far passare da unaltro punto detto immagine reale della sorgente. A volte è possibile solo far sì che iprolungamenti dei raggi passino per un punto: in tal caso si parla di immagine virtuale

Quest’ultimo è il caso dello specchio piano

L’immagine si forma in uno spazio non accessibile

Immagini reali e virtualiImmagini reali e virtuali

Consideriamo il caso della rifrazione semplice, p.es. raggi rifratti dalla superficie liberadell’acqua, cioè di una sorgente puntiforme in un mezzo rifrangente

Osservatore

d

d’

i

r

h

Possiamo determinare d’, l’avvicinamento della sorgente, usando la legge della rifrazione

icos

rcos

n

d

icos

rcos

rsin

isind

rtg

itgdd;rtg

d

h;itg

d

h

Ne segue che al variare di i il rapporto cosr/cosi cambia, pertanto il fascio di raggi non èomocentrico. Se però si limitano i raggi (p.es. a mezzo di un diaframma) ad angoli piccoli,il rapporto tra i coseni tende ad 1

n

dd

Uno dei propositi dell’ottica geometrica è quello di ideare dispositivi per trasformareun fascio omocentrico in un altro omocentrico

Un tale dispositivo consente, evidentemente, di costruire una immagine reale, tale cioè chese si scambia la sorgente con l’immagine, il vecchio punto sorgente diventa il nuovo puntoimmagine

Consideriamo una superficie di separazione tra due mezzi di forma sferica e vediamose e sotto quali condizioni si può verificare la situazione descritta sopra

O C

Q

A

x

i

r

A’

x’

R

Il DiottroIl Diottro

Per il teorema dei seni applicato ai triangoli AQC e A’QC e tenendo conto che l’angolo AQCè il supplementare di i

2

1

n

n

Rx

Rx

Rx

Rx

isin

rsin

QA

AQQA

Rx

rsinAQ

Rx

isin

CQAsinACQsin;QA

CQAsin

Rx

rsin;

AQ

ACQsin

Rx

isin

È chiaro che il fascio rifratto sarà omocentrico se e solo se al variare di Q sulla superficiesferica la posizione del punto immagine, x’, non cambia. Questo non è il caso, perché il primomembro dell’ultima equazione cambia con Q mentre al secondo l’unica quantità variabileè proprio x’.

Se però ci si limita a piccoli angoli di vergenza (teoria di Gauss), il punto Q sarà moltovicino ad O, quindi si ottiene

2

1

n

n

Rx

Rx

x

x

OA

AO

QA

AQ

Dopo qualche semplice manipolazione si ottiene l’equazione del diottro

R

nn

x

n

x

n 1221

Ponendo x e/o x’ si ottengono le posizioni dei punti coniugati con l’infinito, dettefuochi

Rff;n

n

f

f

nn

nRf;

nn

nRf

12

2

1

2

1

12

22

12

11

Con queste definizioni e relazioni, si ottiene, sostituendo nell’equazione del diottro

121

x

f

x

f

Tecnicamente questa equazione rappresenta una proiettività, cioè una corrispondenzabilineare fra lo spazio sorgente e lo spazio immagine. In altre parole non è possibileDistinguere fra oggetto ed immagine, cioè il diottro consente di realizzare immaginireali (nell’ipotesi di piccoli angoli)

f2

Distanza focale

Data la sfericità del diottro potremmo far ruotare l’asse ottico di un piccolo angolo (perconsistenza con la teoria di Gauss). Ciò ci consente di capire come si forma l’immagine dipiccoli oggetti

O C’

’

Usando l’equazione del diottro ed il fatto che le vergenze sono piccole e la similitudine deitriangoli ABC e A’B’C, si trova una relazione che lega le dimensioni dell’oggetto edell’immagine

B

A

A’

B’

sinnsinnn

n

sin

sin

RxRxma

n

n

Rx

Rx

x

x

sin

sin;

x

OQsin;

x

OQsin

211

2

1

2

La quantità nsin è quindi un’invariante della proiettività. Con la relazione precedentesi può calcolare l’ingrandimento ’/

Con la conoscenza dei fuochi e del centro si può facimente costruire l’immagine

O C

Q

A

F2

Immagine realex>f1

O C

Q

A

F2

Immagine virtualex<f1

Per uno specchio sferico le costruzioni sono analoghe: basta conoscere la posizione del fuocoe considerare che gli indici di rifrazione dello spazio oggetto e dello spazio immagine sonoovviamente uguali

Un sistema ottico centrato è una sequenza di diottri, anche con differente raggio dicurvatura, che abbiano lo stesso asse ottico. Ad esempio una lente, o un obiettivo fotografico,un microscopio ottico, l’occhio, etc.

Siccome le immagini che forma un diottro sono reali, l’immagine formata dal primo diottropuò essere considerata come la sorgente per il secondo. L’immagine del secondo come lasorgente per il terzo e così via: è evidente che deve esistere una equazione che ha la stessastruttura dell’equazione del diottro per tutto il sistema ottico centrato

Per trovare questa equazione notiamo che possiamo eseguire un cambio di coordinate perun solo diottro come segue. Notiamo che il punto O è il coniugato di sé stesso. Se di un diottroconosciamo due punti tra loro coniugati O1 ed O2, possiamo riferire le coordinate delpunto sorgente (x) ad O1 e quelle del punto immagine (x’) ad O2.

Se a1 ed a2 sono le coordinate dei punti O1 ed O2 deve essere

01 1221212

2

1

1 afafaaa

f

a

f

Possiamo cambiare l’origine da O ad (O1,O2), semplicemente scrivendo

2211 axx;axx

Sistemi Ottici CentratiSistemi Ottici Centrati

Sostituendo nell’equazione del diottro

221111222122

2

11

1 1 axaxaxfaxf;ax

f

ax

f

Moltiplicando, dividendo per x1x2 e riordinando i termini

21

122121

2

22

1

11 1xx

afafaa

x

af

x

af

Notando che il numeratore della frazione a secondo membro è nullo perché O1 ed O2 sonopunti coniugati, e che i numeratori a primo membro altro non sono che le coordinate deifuochi rispetto alle nuove origini

12

2

1

1 x

F

x

F

Per un sistema ottico centrato, possiamo quindi cercare due punti coniugati qualsiasi,riferire le coordinate dei punti sorgente ed immagine a questi ed applicando la legge adogni diottro si troverà

11

1

1

1

n

n

x

F

x

F

La quantità invariante del diottro deve essere invariante anche per un sistema otticocentrato, ossia:

111222111 nnn sinnsinnsinn

Con questa equazione si potrà dunque determinare l’ingrandimento del sistema ottico,nell’ipotesi che tutte le vergenze siano piccole

In realtà, dato un sistema di diottri o di lenti, salvo che per modificarne se proprietà,non è per niente interessante conoscere tutto ciò che succede all’interno, ma solo la primae l’n+1-esima distanza focale interessano, solo le dimensioni dell’oggetto e quelle dellan+1-esima immagine contano, quindi scriveremo

222111

2

2

1

1 1

sinnsinn

x

F

x

F

Si noti che nelle applicazioni pratiche il primo e l’ultimo mezzo sono normalmente uguali(aria).

Resta il problema di costruire l’immagine di piccoli oggetti per un sistema diottrico. Lalegge dei punti coniugati vale per i punti, e la costruzione dell’immagine, salvo non volerfare la costruzione penna e righello per ogni diottro, necessita della conoscenza di puntispeciali, i punti cardinali, del sistema ottico

Cominciamoci a chiedere se esistano due punti (o piani) coniugati, detti punti principali chegodano della seguente proprietà: le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine sono identiche

Noti quindi due punti coniugati qualunque (O1, O2), da prendere come origini, e lecoordinate dei fuochi rispetto a questi, F1 e F2, la situazione sarà:

’

F1 F2O1 O2P1 P2

x1 x2

Vogliamo determinare le ascisse incognite di tali punti, x1 ed x2.

I punti principali di un sistema diottrico centratoI punti principali di un sistema diottrico centrato

Per definizione di punti principali e poiché le vergenze sono piccole, deve essere

2

21

12211222111

2222

1111

xn

xnsinnsinnsinPnsinPn

xtgsin;

xtgsin

L’ultima equazione accoppiata all’equazione dei punti coniugati è un sistema di equazioninelle incognite x1 e x2. Risolvendo

1

2122

2

1211 n

nFFx;

n

nFFx

L’utilità dei punti principali balena subito da questa espressione. Essendo P1 e P2 punticoniugati, possiamo adesso scegliere questi come origini (x1=x2=0) inoltre ’=

2

1

2

1

2

121 0

n

n

F

F

n

nFF

Siccome gli indici di rifrazione sono definiti positivi, le distanze focali devono avere lo stessosegno: o sono entrambe interne o entrambe esterne ai punti principali

Se il primo e l’ultimo mezzo sono uguali (p.es. l’aria) le distanze focali sono uguali

P1 P2

La conoscenza dei piani principali e delle distanze focali è tutto ciò che serve per costruirel’immagine

F1 F2

Altri punti cardinali importanti sono i punti nodali, che godono della proprietà che iraggi passanti per essi sono paralleli.

Frequentemente (si pensi ad un obiettivo di una macchina fotografica o all’occhio umano),si inseriscono dei diaframmi per limitare l’angolo di raccolta della luce. In realtà, diaframmisono sempre presenti: si pensi alle dimensioni stesse delle lenti che non possono raccogliereluce da tutte le direzioni, perché la loro estensione è limitata

L’angolo secondo cui la luce arriva al sistema ottico dipende, comunque dalla vicinanzadell’oggetto. Si dice diaframma di apertura il diaframma che fissa il massimo angolo solidoper il quale si possa inviare la luce al sistema ottico, e pupille le aperture virtuali da cui laluce potrebbe essere raccolta

A A’

Diaframma

Pupilla d’entrataPupilla d’uscita

a1

d1

a2

d2

Diaframmi, Brillanza e LuminositàDiaframmi, Brillanza e Luminosità

I (piccoli) angoli 1 e 2 possono essere determinati conoscendo le aperture delle pupillee le distanze dalla sorgente e l’immagine

2

222

1

111 22 d

atg;

d

atg

Gli angoli solidi corrispondenti saranno

24

24 22

212

1

sin;sin

È chiaro che la quantità di energia che nell’unità di tempo fluisce dentro lo strumento saràproporzionale all’angolo solido 1 ed all’area S1 della sorgente. La costante diproporzionalità, e cioè la potenza per unità di angolo solido ed unità di superficie si chiamabrillanza (o splendore) della sorgente. Per l’immagine vale assolutamente l’analogo, pertantosi ha

sorgimm

immimmimmsorgsorgsorg SB;SB

21

Dove il segno di disuguaglianza vale per tenere in conto dell’eventuale assorbimento delsistema ottico. Per un sistema ottico molto buono vale approssimativamente il segno diUguale. Con questo in mente possiamo cercare una relazione fra le brillanze.

Trascurando quindi le perdite per assorbimento delle lenti

222

211

22222

12211 22

S;SsinKsinK

Per piccoli angoli ed usando l’equazione di invarianza

22

221

1

222111

222

22

212

11 44

n

K

n

K

nn;KK

Se, come di solito accade, il primo ed il secondo mezzo sono uguali possiamo concludereche la brillanza della sorgente è uguale alla brillanza della immagine (in assenza diassorbimento)

Tuttavia, se il sistema ottico è l’occhio umano oppure è un obiettivo fotografico è importanteconoscere l’illuminanza, cioè l’energia che giunge all’immagine per unità di superficie, ovverol’integrale della brillanza sull’angolo solido sotteso dalla pupilla di uscita

22

222

22 4 d

aKKKU imm

Ma per l’occhio o per un obiettivo fotografico normalmente le distanze degli oggetti sonograndi rispetto a d2 ed f (la distanza focale), quindi nella formula queste quantità si possonoconfondere. Inoltre la brillanza della sorgente non dipende dal sistema ottico ma dallasorgente stessa e dalle condizioni di luce. Si definisce luminosità il rapporto Uimm/K. Si ha

2

4

f

a

K

UL imm

La luminosità dell’immagine dipende quindi dal rapporto N=f/a. Quando per un obiettivofotografico si dice che l’apertura del diaframma è 5.6, si intende che il rapporto fra ladistanza focale e l’apertura del diaframma è 5.6. Pertanto, un teleobiettivo (grande distanzafocale) non può consentire grandissime aperture di diaframma, e quindi avere una grandeluminosità, se non a costi elevati

La lente è il sistema ottico più semplice (due diottri). Si dice sottile quando il suo massimospessore è trascurabile rispetto ai raggi di curvatura delle superfici, r1 ed r2

O1 O2x1

A1A2

x2

d

È facile far vedere che la distanza focale dipende dai raggi di curvatura della lente

La legge dei punti coniugati è

Fxx

111

21

Applicando la legge del diottro ad entrame le superfici, e chiamando n l’indice di rifrazionerelativo del vetro all’aria

2211

1111

r

n

xdx

n;

r

n

x

n

x

Lenti sottiliLenti sottili

Trascurando lo spessore della lente d e sommando

21

111

1

rrn

F

Notare che in questa equazione il segno dei raggi di curvatura è positivo (negativo) sela superficie è convessa (concava) . Una lente biconvessa si dice convergente (la sua distanzafocale è positiva), una biconcava si dice divergente (f>0). Se una superficie e convessa mentrel’altra è concava, la lente è convergente o divergente in dipendenza del segno della secondaparentesi.

La convergenza di una lente si misura in diottrie (m-1), ossia l’inverso della distanza focale:5 diottrie f=20cm

Dato che lo spessore della lente è stato preso nullo, i piani principali coincidono e lacostruzione dell’immagine è banalmente la stessa di quella vista per i sistemi ottici centrati

Se lo spessore della lente non è trascurabile bisogna considerare la lente come un sistemaottico centrato, determinare le distanze focali in dipendenza dei raggi di curvatura maanche dello spessore

Spesso si vuole che il campo di un sistema ottico sia il più grande possibile, per aumentarela luminosità e per visualizzare il massimo campo di immagine (e.g. obbiettivo grandangolare).

Un sistema siffatto può facilmente mostrare le cosidette aberrazioni, essenzialmente dovutealla non applicabilità della teoria di Gauss.

Si possono distinguere 5 tipi di aberrazioni diverse: aberrazione sferica, coma, astigmatismo,curvatura di campo e distorsione.

Alla precedente va aggiunta l’aberrazione cromatica, che si verifica quando la sorgentenon emette luce monocromatica: variando l’indice di rifrazione con la frequenza, non puòaccadere che tutte le componenti della luce vengano focalizzate nello stesso punto.

Aberrazione sferica: se l’oggetto viene inquadrato da vicino, l’angolo diventa grande e glieffetti di curvatura della lente sono importanti. Succede che i raggi che passano vicino alcentro della lente sono quasi parassiali e focalizzati bene in uno stesso punto, mentre quelliche passano vicino ai bordi della lente sono focalizzati in punti più vicini alla lente:l’immagine può, quindi risultare sdoppiata o comunque si forma in una zona estesa

AberrazioniAberrazioni

Coma: Nel caso di sorgenti estese l’aberrazione sferica produce, a causa dei punti fuori asse,una sorta di coda dell’immagine, come la coda di una cometa, che è detta appunto coma

Astigmatismo: questo difetto ottico si verifica anche con lenti di piccola apertura. Persorgenti in asse con la lente, sappiamo tutto, ma per sorgente fuori asse (i raggi incidentinon sono paralleli all’asse ottico) non è detto che i raggi possano essere focalizzati.

Linea tangenziale

Linea sagittale

Cerchio di minimaconfusione

Lineette stigmatiche

A

Al crescere dell’angolo di inclinazione del raggio il luogo geometrico delle lineette Tangenziali e sagittali differisce sempre di più da quelle delle zone di minima confusione

A0As

Curvatura di campo: Se si corregge l’astigmatismo, facendo coincidere il più possibilele superfici stigmatiche, la superficie di miglior fuoco non sarà un piano. In altre paroleun oggetto molto piccolo sarà focalizzato bene, ma un oggetto esteso può essere sfocatoai bordi

At

Distorsioni: inquadrando oggetti estesi anche con piccole aperture, siccome l’ingrandimentotrasversale può benissimo non essere costante con la distanza dall’asse ottico si verificaquesta aberrazione

Oggetto Distorsione a cuscinoDistorsione a barile