Cours Rdm - MS1 - Partie 1

Cours module MS1Organisation du module :

Cours 8hTD 18h (2x1h coef 2 = total coef 4)

DS 2h (coef 5)

1

MS1

ST4ST2 ST3 ST5 ST6 ST8ST7

S1

S2

390h

2

MS2

MS3ST1

MS4 MS5S3&4

Chapitre 1Statique des structures planes

Introduction la RdM Hypothses de travail Actions mcaniques Liaisons extrieures Equilibre des structures Hyperstaticit externe Efforts internes Hyperstaticit interne et totale

3

1. Introduction la RdM

Un peu dhistoire de la RdM...

Chapitre1

Introduction la RdM

Hypothses de travail

Actions mcaniques

Liaisons extrieures

Equilibre des structures

Hyperstaticit externe

Efforts internes

Hyperstaticit interne et totale

! 1 5 6 4

Gallil 1564 - 1642

1 6 3 5

Robert Hooke 1635 - 1703

1 6 5 4

Jacques 1er

Bernoulli

1654 - 1705

1 7 0 0

Daniel Bernoulli 1700 - 1782

1 7 0 7

Lonard Euler 1707 - 1783

1 7 3 6

Joseph Louis

Lagrange 1736 1813

Charles Augustin Coulomb

1736 - 1806

1 5 6 4

Fondation Acadmie des

Sciences Colbert

1 7 4 7

Fondation

Ecole des Ponts et

Chausses

1 7 7 3

Thomas Young

1773 - 1829

1 7 8 1

Simon Denis

Poisson 1781 - 1840

1 7 8 5

Henri Navier

1785 - 1836

1 7 9 4

Fondations :

Ecole des Travaux Publics

Ecole des Arts et Mtiers

Ecole Centrale Ecole Normale

de lan II

1 7 9 5

Gabriel Lam 1795 - 1870

1 7 8 9

Augustin Louis

Cauchy 1789 - 1857

1 7 9 5

Fondation

Ecole Polytechnique

1 7 9 7

Adhmar Barr de Saint Venant

1797 - 1886

1 7 9 9

Benot Paul Emile

Clapeyron 1799 - 1864

1 8 1 9

George Gabriel

Stokes 1819 - 1903

1 8 2 1

Jourawski

1821 - 1891

1 8 2 4 1 8 3 1

James Clerk Maxwell

1831 - 1879

1 8 2 2

Jacques

Antoine Charles Bresse

1822 - 1883

1 8 3 5

Christian Otto

Mohr 1835 - 1918

1 8 4 7

Alberto Castigliano

1847 - 1884

Gustav Robert Kirchhoff

1824 - 1887

RdM = Rsistance des Matriauxcest une science ancienne lie la construction

4


Les objectifs

Chapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Objet de la RdM : fournir les concepts gnraux de dimensionnement des structures.

Les outils : - lois de la mcanique - lois de comportement des matriaux

Toutefois le dimensionnement des structures nest pas lobjet du cours de RdM. Le calcul des lments structuraux est bas sur des rgles de vrification propres au matriau de construction utilis qui seront abordes en :

- cours de BA- cours de Bois- cours de CM

La RdM permet donc dtablir des outils communs pour ces calculs dans le cadre dhypothses bien prcises en utilisant des modles de calcul mcaniques.

On ne traitera dans ce cours et mme globalement lIUT quune partie de la RdM.

5


Dmarches et principes

Chapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


6


Dmarches et principes

Chapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


7

Construction

Plan Modle de calcul RdM

Calcul des efforts et dplacements


Rgles de calcul en GC

Chapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Principes gnraux - NotationsBases de calcul - Actions sur les structuresCalcul des structures en BtonCalcul des structures en AcierCalcul des structures mixtes Acier-BtonCalcul des structures en BoisCalcul des ouvrages en MaonnerieCalcul GotechniqueConception et dimensionnement des structures aux sismesCalcul des structures en alliages dAluminium

Eurocode 0 Eurocode 1 Eurocode 2Eurocode 3 Eurocode 4 Eurocode 5 Eurocode 6 Eurocode 7Eurocode 8Eurocode 9

8

2. Hypothses de travail

Nos hypothses pour le modlisation des structures du GC

Chapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


9

Les calculs de RdM sont raliss sur des modles idaliss (simplifis) de structures.

Dans 98% des cas les modles de calcul utilis en Gnie Civil sont des modles 2 dimensions.

Nous nous en tiendrons donc ltude des structures barres planes (2D) charges dans leur plan de symtrie. Dautre part le modle de calcul est construit partir de la ligne moyenne des lments (barres).

!"#! "$! "%!

! &$! &%!

Ligne moyenne : ligne qui joint les centres de gravit des sections

droites successives!

Les efforts sont considrs

comme appliqus sur cette ligne moyenne

'! '!

'! '!

Modle de calcul dun support de couverture

Modle de calcul dun portique

Structures barres

2. Hypothses de travailChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


10

Les sections des barres sont constantes ou lentement variables

Les barres possdent des dimensions transversales petites devant leur longueur

Si les barres sont courbes leur rayon de courbure est grand devant leurs dimensions transversales


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


11

Les structures tudies sont :

Proportionnalit et rversibilitentre cause et effet

On est donc dans un domaine restreint du fonctionnement des matriaux

Mais elles subissent de petits dplacementset des petites dformations

Tous les calculs seront donc raliss sur la structure non dforme

Calcul au premier ordre

! F

d

Les efforts appliqus sont constants ou lentement variables : statique pas deffet dynamique

Dformables

Elastiques linaires


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Les sections droites restent planes aprs dformation : hypothse de Navier-Bernoulli

! "#! "$!"#! "$!

Structure non charge

Structure charge

12

3. Modlisation des actions mcaniquesChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


!

Forces actives : W, S, G, I,

Interactions entre

sous-structures,

interactions

sol/structure

Actions appliques sur nos structures

Forces : objets mathmatiques : vecteurs

13


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Les forces concentres (rappels mathmatiques)

14

Une force est reprsente par un vecteur :

- une direction- un sens- un point dapplication- une intensit (N)

! "!

#!

$!

%!&!

#&!

#"!

Rappel sur quelques proprits

Laddition vectorielle :


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Les forces concentres (rappels mathmatiques)

15

Rappel sur quelques proprits

Le produit scalaire :

Le produit vectoriel :

!

"#!

"$!

!

!

"#!

"$!

!

%!

&!

'!

Le rsultat est un scalaire

Le rsultat est un vecteur


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


16

Moment dune force

Action distanceF

+o

MF/o


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


17

Moment dune force!

!

"!

#!

$!

%&!

%!

'!

(!

)!

Le moment est une grandeur oriente (vecteur !)porte par z


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


1814

Moment dune force

!

x

"!

#!

$!

%!

&!

'!

Simplification convention de signe

!

"#!

$%#&!

'! (!)!

#!

Force rpartie


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


19

Force uniformment rpartie

!

"#!

$%#&!

'! (!)!

*!

#!


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


20

Torseur

!

"#!"$!

"%!&!

'#!'$!

(!'%!

'!

)!*!

+!

Outil mathmatique permettant en 1 point donn la reprsentation

dun ensemble de vecteurs (forces)

!

MFi/o


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


21

si R = 0 le torseur reprsente un couple

M=Fd pour tout point du plan

si R = 0 et M = 0 quel que soit le point considr le torseur est appel torseur nul

Torseurs particuliers

!"!

"! #!

4. Modlisation des liaisons extrieuresChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


22

Les liaisons extrieures des structures du GC

Ces liaisons correspondent des modles idaliss des liaisons que lon rencontre dans les structures relles.

Le comportement de la structure est li la nature de ces appuis qui servent bloquer une ou plusieurs composantes du dplacement de chaque point dappui.

On rappelle que dans le plan un dplacement se rsume une translation dans le plan (vecteur admettant 2 composantes suivant des axes orthogonaux) et une rotation autour dun axe perpendiculaire au plan.

Translation

Rotation


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


23


Les structures tudies sont lies leur environnement extrieur par des liaisons. En Gnie Civil et dans le cas de structures planes les liaisons extrieures courantes sont au nombre de 3 :

Lappui simple ou appui dilatation, Lappui articul (articulation par abus de langage), Lappui encastr (encastrement par abus de langage).


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


24


Au niveau des appuis la structure exerce des actions (forces et/ou couples) sur le milieu extrieur (transmission des efforts).

En vertu du principe daction/raction le milieu extrieur exerce des actions rciproques (gales et opposes) sur la structure. Ces dernires sont appeles ractions et dpendent bien entendu de la nature des appuis assurant la liaison structure/milieu extrieur.

Structure

milieu extrieur

Liaison


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


25


Appui simple Appui articul Appui encastr

Dplacement(s) empch(s)

Une translation (dirige selon lorientation de

lappui)

La translation dans toute direction

La translation dans toute direction

La rotation autour de lappui

Grandeurs cinmatiquesDplacements

u v=0

u=0v=0

u=0v=0=0

Grandeurs statiquesRactions

Rx=0Ry

z=0

RxRy

z=0

RxRyz

!

x,!"!

M,!!!y,!#!

!

! !

!"#!

! "#!

"$!

! "#!

"$!z

!

"!Lappui simple est le seul appui orient


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Modlisation : dcomposition en sous-structures

!

"#$$%!&'$()%*!

+',-.%!/!

0!

1!"! Descente de charges

Dalle

Solive

Poutre principale

Murs porteurs

Fondations ... Sol


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


27

Modlisation : dcomposition en sous-structures

!

"#$$%!&'$()%*!

+',-.%!/!

0!

1!"!

! Actions transmises par la dalle

Actions transmises par la dalle

"#$! "#%!

%!$!

&!

'!

! Actions transmises par les solives

"!#!

$%#! $%"!&!

'!

Descente de charges

On isole llment calculer...

!

"!Les ractions

sont des charges externes

Solive

Poutre

5. Equilibre statique des structures planesChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


28

Notions dquilibre statique

Equilibre dun point

F -F

F - F = 0

F1

F2

F3

F1 + F2 + F3 = 0

Fi = 0

Equilibre dune structure plane

Equilibre obtenu si :- pas de translation densemble- pas de rotation densemble


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


29

Le rle des liaisons extrieures est dempcher le dplacement densemble de la structure ce quon appelle lquilibre statique.

Dun point de vue mcanique, pour assurer cet quilibre statique le torseur de toutes les actions extrieures appliques sur la structure (charges appliques et ractions) doit tre nul :

Cette dernire criture est appele PFS (Principe Fondamental de la Statique).Les deux premires quations traduisent limpossibilit de translation suivant les axes orthogonaux ox et oy (donc dans nimporte quelle direction du plan) alors que la troisime quation interdit la rotation densemble de la structure en nimporte quel point P du plan xy autour de laxe Pz.

Projection dans le plan

Equilibre statique des structures planes


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


30

Equilibre statique des structures planes

Les liaisons ont pour rle le maintien de la

structure en quilibre statique

Pas de dplacement densemble de la structure

3 quations dans le plan


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


31

!

"!

#!

"$%!

&! '!(!)!

!

"!

#!

"$%!

&! '!(!)!

*!

+!

,-&! ,-'!

,.&!

"$/!

Exemple :

6. Degr dhyperstaticit externeChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Dfinition de lhyperstaticit externe

On note n le nombre de ractions en dbut de problme. Dans le plan lquilibre tant rgit par 3 quations (celles du PFS) on retiendra que :

Si n-3 = 0 le problme est dit isostatique extrieur. Cette expression traduit un quilibre statique global respect et la possibilit de calculer les ractions uniquement partir du PFS,

Si n-3 < 0 lquilibre statique global nest pas forcment respect et la structure peut constituer un mcanisme ou structure cinmatiquement instable. Si cest le cas aucun calcul raliser (en Gnie Civil !!!),

Si n-3 > 0 la structure est dite hyperstatique extrieur de degr n-3. Cette expression traduit un quilibre statique global respect mais limpossibilit de calculer toutes les ractions partir des seules quations du PFS.

Dans le plan on peut crire 3 quations

dquilibre PFS

Les inconnues dterminer sont les

ractions

32

La notion dhyperstaticit externe est lie

la rsolution mathmatique de ce problme

6. Degr dhyperstaticit externeChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Hyperstaticit externe ...

33

Quelques exemples :

Structures isostatiques externes, hyperstatiques ou mcanismes ?

7. Dfinition des efforts internes : sollicitationsChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


34

Il existe en RdM deux manires de reprsenter les efforts internes

Les actions extrieures (charges appliques et ractions) crent en tout point de la structure des efforts dits internes.

Sollicitations ContraintesRelations

Modlisation des efforts internes

MS2


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


35


Sollicitations

Il sagit dune reprsentation mathmatique simplifie de leffet des charges extrieures qui conduit la dfinition defforts internes calculs au centre de gravit des sections : les sollicitations N, V et M!

Ligne moyenne

"#!

"$!

"%!

"&!

'#!

(#!

)#!

Chaque section se rsume en un point : son

CdG


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


36


Sollicitations

!

Ligne moyenne

"#!

"$!

"%!

"&!

'#!

(#!

)#!

!

Ligne moyenne

"#!

"$!

%#!

!

'#!

"(!

")!

%#!

!

'#!

Partie gauche Partie droite

! "#!

"$!

%#!

!

'#!

Partie gauche

R

MG1

!

"!

#!

$!

%&!

R

MG1

N

V

N : effort NormalV : effort Tranchant

M : Moment flchissant


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


37


Sollicitations

!

Ligne moyenne

"#!

"$!

"%!

"&!

'#!

(#!

)#!

!

"!

#!

$!

%&!

R

MG1

N

V

!

ND

VD MD

VG

NG

MG

La section est en

quilibre (statique)

!

Ligne moyenne

"#!

"$!

%#!

!

'#!

"(!

")!

%#!

!

'#!


VD=-VGND=-NGMD=-MG

fd=-fg


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


38

Exemple de calcul de sollicitations...

!

"!

#!

"$%!

&! '!(!)!

!

"!

#!

"$%!

&! '!(!)!

*!

+!

,-&! ,-'!

,.&!

"$/!


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Exemple de calcul de sollicitations...!

"!

#!

"$%!

&! '!(!)!

!

"!

#!

"$%!

&! '

!(!)!

*!

+!

#$%! #$%!

(!

,!

En prenant le signe des forces droiteet en regardant droite de la coupure :

NQ = 0VQ = P/2 - P = - P/2MQ = P/2x3L/4 PxL/4 = PL/8

En prenant le signe des forces gauche et en regardant gauche de la coupure :

NQ = 0VQ = P/2 = P/2MQ = - P/2xL/4 = - PL/8

39


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


40

!

"#!

"$!

"%!

&'(!)*+!

&'(!)*+!

&'(!)*+!

,'-!).+!

,'-!).+!

,'-!).+!

Conventions de signe : repre local


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


41

Etats de sollicitations

N seul Compression ou Traction

pure

M seulFlexion pure

M et VFlexion simple

M et V et N Flexion

compose

Vocabulaire li la nature des sollicitations prsentes dans

une section


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


42

Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre

!

"!

"#!

$! $#!

%&'!

%!

&'!

&'!

(!

(!)!&(!

*!)!&*!

+!)!&+!

*!+!

Effort normal constant sur le tronon (charge perpendiculaire la ligne moyenne)

Au signe prs la drive premire de V correspond au chargement

Au signe prs la drive premire de M correspond leffort tranchant


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


43


!

"!

"#!

$! $#!

%!

%!

&'!

&'!

(!

(!)!&(!

*!)!&*!

+!)!&+!

*!+!


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


44

Quelques rappels mathmatiques sur les fonctions de base

Fonctions linaires

Forme gnrale : y=ax+b

b : ordonne loriginey

x

a : pente de la droitea>0 droite croissantea


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


45


Fonctions paraboliques

Forme gnrale : y=ax +bx+cy

x

2

Variation de la fonction : drive premire y=2ax+bConcavit de la fonction : drive seconde y=2a

Drive positivefonction croissante

Drive ngativefonction dcroissante

Drive nulleextremum

drive seconde ngativeconcavit tourne vers les y


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


46


Fonctions paraboliques

Forme gnrale : y=ax +bx+cy

x

2

Variation de la fonction : drive premire y=2ax+bConcavit de la fonction : drive seconde y=2a

Drive positivefonction croissante

Drive ngativefonction dcroissante

Drive nulleextremum

drive seconde positiveconcavit tourne vers les y>0


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


47


Autre fonction

Forme gnrale : y=ax +bx +cx +dx+e

y

x

4

Variation de la fonction : drive premire yConcavit de la fonction : drive seconde y

3 2

drive seconde positiveconcavit tourne vers les y>0

drive seconde ngativeconcavit tourne vers les y


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Chargement du tronon de barre Fonction V(x) Fonction M(x)

Relations mathmatiques

Allures des fonctionsV____M____

Tronon de barre non charg V est constant

V(x)=a

M est linaireM(x)=-ax+b

Tronon de barre avec une charge

rpartieV est linaireV(x)=-px+b

M est parabolique

M(x)=px/2+bx+c


ponctuelle

V est constant de part et dautre de P.Saut damplitude P sous le point dapplication de P.

M est linaire de part et dautre de P.M admet un point remarquable au niveau du point dapplication de P.


Reprsentation forces droite

!

Ligne moyenne

"#!

"$!

%#!

!

'#!

"(!

")!

%#!

!

'#!


N

V M

x

a>0 a


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Chargement du tronon de barre Fonction V(x) Fonction M(x)

Relations mathmatiques

Allures des fonctionsV____M____

Tronon de barre non charg V est constant

V(x)=a

M est linaireM(x)=-ax+b


rpartieV est linaire

V(x)=px+b

M est parabolique

M(x)=-px/2+bx+c


ponctuelle

V est constant de part et dautre de P.Saut damplitude P sous le point dapplication de P.

M est linaire de part et dautre de P.M admet un point remarquable au niveau du point dapplication de P.


Reprsentation forces gauche

!

Ligne moyenne

"#!

"$!

%#!

!

'#!

"(!

")!

%#!

!

'#!


N

V M

x

a>0 a


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


Exemple de trac

!

! "#$%!

$%!

fg

50

8. Degr dhyperstaticit interne et totaleChapitre1

Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


51

Hypersaticit interne

Rappel lhyperstaticit externe lie au calcul des ractions

Le degr dhyperstaticit interne est quand lui lie au calcul des

sollicitations1 coupure = 3

inconnus M, N, V

Lors du calcul des sollicitations on est amen couper la structure en deux parties (on isole la partie droite ou gauche). Si cette coupure se fait au niveau dune seule barre on peut alors calculer les 3 inconnues N, M et V.


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes


52


Exemple les cadres ferms

En revanche, si cette coupure concerne plusieurs barres, on se sait plus rpartir sur les diffrentes coupures les efforts de droite ou de gauche.

1re coupure3 inconnues et 2 sous structures

calcul immdiat possible

1re coupure3 inconnues mais structure entire

2me coupure3 inconnues de plus et 2 sous structures


Introduction la RdM


Actions mcaniques

Liaisons extrieures



Efforts internes



DH int= 3x nb cadres ferms - nb darticulations internes

Hypersaticit totaleDH tot=DH ext + DH int

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Cours Rdm - MS1 - Partie 1