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7/24/2019 Cours_Electrocinetique.pdf;filename= UTF-8''Cours Electrocinetique-2
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CHAP I - LE COURANT ELECTRIQUED'OHM
1. Vecteur densit de courant. Icourant.considrons des charges en mouv
un conducteur.Dsignons par v
leur vitesse moyinstant t et en un point P du condudensit volumique de ces charges mob
La quantit d'lectricit dq qui traverselmentaire dS dfinie autour de P,temps dt, est contenue dans le cylind
dS et de gnratrices dtv
: dq m
Le vecteur vi m
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La quantit dSnidtdqdI
/ e
du courant qui traverse la section dSune surface S non ferme l
conducteur on a : S dSniI
Dans un conducteur mtallique sens du courant est linverse ddplacement des lectrons.
2. Loi d'Ohm.
si les charges sont en mouvemenexiste dans le conducteur u
lectrostatique . En dsignant conductivit du conducteur, la loi dscrit:
Ei
En appliquant la relation prcd
portion de conducteur de rsistancd'Ohm s'crit :
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3. Rsistance des conducteurs.
La rsistance d'un conducteur est fsa conductivit et de sa forme gomtrPour un conducteur cylindrique de
de longueur l :
S
lR
1
SlR
Elle varie aussi avec la temprature t 1
0 0
: rsistivit 0 C : coefficient de tempraturet : temprature en C
Association des rsistances.
En srie : i iRR ; en parallle : i iRR /11 .
4. Units.L'unit d'intensit est I'ampre (A)
du vecteur densit de courant s'
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CHAP II - ENERGIE ELECTROCIN
1. Loi de Joule.
Dans un conducteur, la puissansous forme de chaleur, lintrieur d
lmentaire dV, est donne par la sous forme locale :
2
2 iE
dV
dP
La loi de Joule pour une portion dede rsistance R s'crit :
2IRIUP
- 21 VVU : diffrence de potentiel ade la rsistance.
- La puissance s'exprime en watts (W)i t I A
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2. Gnrateur - Rcepteur.
Un gnrateur de force Iectromrsistance interne ngligeable et travcourant d'intensit I, fournit au circuit epuissance lectrique gale :
IEP
Un rcepteur de force contre-lectr
parcouru par un courant d'intensit I, apuissance P telle que :
IEP
Les grandeurs E et E' s'expriment en v
3. Loi d'Ohm gnralise.
Entre deux points A et B d'un circuitrouvent placs des gnrateurs et desl l i d'Oh li ' i
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Lexpressionci-dessus est gnraledadapter les conventions suivantes:
- I est positif si le courant circule dengatif dans le cas contraire.
- E a le signe de la borne par laquellegnrateur quand on va de A vers B.
- E' a le signe de I.
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CHAP III - Les rgimes perm
sinusodaux
1. Grandeur sinusodale du temps.
Cest un signal de laforme Ax m cos tAx m sin
est la pulsation en radian p
(rad/s).t+ est la phase instantane et
lorigine des temps.
La priode du signal dfinie par x(t+TT = 2/. La frquence est f = 1/T.
2. Valeur moyenne, valeur efficace.
Pour un signal x(t) priodique de pdfinit
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la valeur
dttxT
txX Teff 022 1
Pour un signal sinusodal, la valeur m
nulle et la valeur efficace vaut :2
mA
.3. Vecteur tournant, vecteur de Fresne
Dans le plan Oxy, on considre un v
de norme mA tournant la vitesse alangle (t) valant t+.On obtient ainsi un vecteur tournaprojection sur laxe Ox fournit
sinusodale tAx m cos et celvibration tAx m sin .
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On peut galement figer cette reprschoisissant t=0.On obtient alors un point Mo fixe et
0OM qui ne tourne plus : cest le Fresnel associ la grandeur
tAx m cos ou tAx m sin
4. Grandeur complexe.
Le vecteur de Fresnel a pour affixecomplexe X = a + jb dont le mod
A
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5. Diples passifs en rgime sinusoda
Soit un diple passif utilis en rcepteur parcouru par un
tIti eff cos2 pris en rfrence
prsentant une ddp Utu eff cos2ses bornes.
A ces deux grandeurs instantanes, oncomplexes I et U :
eff
j
eff IeII 0
et effUU
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Rsistance Z=R |Z|=R ABobinedinductance L
Z=jL |Z|=L A
Condensateurde capacit C
Z=1/jC |Z|=1/C A
Dans le cas dun diple passif quelconqlimpdance
Z = R + j X
et ladmittanceY = 1/Z = G + j B
R : est la rsistance
X : est la ractanceG : est la conductanceB : est la susceptance.
Remarque : G nest pas linverse de R.
6. Les puissances.
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A B
i(t) Z
u(t)
A B
i(t) Z
u(t)La puissance instantane p(t) reue p
est : titutp
La puissance moyenne reue scrit
titutpP
Dans le cas dun rgime sinusodal, eni(t) en rfrence de phase, on a
tIti eff cos2 tUtu eff cos2
Soit
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On peut alors scinder p(t) en deux part
fpPtp
aveccos effeff IUP tIUp effefff 2cos
P est la puissance moyenne apppuissance active Pa, et pf reprsente fluctuante, fonction du temps et de la p
cos effeffa IUPP
La puissance ractive Pr est dfinie pasin effeffr IUP
Remarquons que la puissance active aun condensateur est nulle de mmconsomme par une bobine puisque le premier cas et =/2 dans le s
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CHAP IV - Rseaux lina
I - Dfinition :
Un rseau est dit linaire quand il relation linaire entre lintensit qui
circuit et Ia diffrence de potentiel applUn lment linaire prsente une indpendante de lintensit du coutraverse.
IIDiviseur de tension, diviseur de cou
1) Diviseur de tension
CACAB UUU
IZIZE21
IZV 22
EZZ
ZV
21
2
2
Z
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2) Diviseur de courant
IZIZUAB 211
IZZ
ZI21
21
et
IZZ
ZI
21
1
2
IIThorme de superposition
Soit un rseau linaire qui renferm
gnrateurs. Le courant qui traverse uquelconque est la somme des cofournirait chacun des gnrateurisolment, les autres gnrateurs tan
par leur impdance quivalentes.
Exercice 1 :Calculer le
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IIIThorme de Thvenin
Ce thorme a pour but de reprsenterpartie dun rseau actif linaire sous la simplifie dun gnrateur de tension q
1) Thorme :
Un rseau linaire actif vu de deux
sortie quelconque A et B peut tre remgnrateur de tension idal ETh en simpdance ZTh :
- la source idale ETh reprsenlectromotrice du rseau, vue des B,li d ZTh t li
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Dans le cas o la charge est une imtension aux bornes est donne par ladiviseur de tension.
2) Application : si on branche une rentre les points A et B, Ie courant qu
est gal : RZE
ITH
TH
R
3) Exercice 2 : dterminer l'aide du tThvenin le courant qui traverse la rslexercice 1.
IVThorme de Norton
Il permet de remplacer le rseau ci-degnrateur de courant quelconque.
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Tout circuit actif linaire possdant deusortie A et B peut tre remplac par unde courant idal I en parallleadmittance.
La valeur du gnrateur de courant e
courant mesur lorsque les sorties Acourt-circuites.
La valeur de ladmittance est gale
interne vue des points A et B lorsque passives les sources contenues dan(voir Thvenin).
Remarque : IN = courant dans la branccourt-circuit.
Dans le cas o la charge est une adcourant dans cette admittance est dondes diviseurs de courant :
CHYII
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Les thormes de Norton et de Thvenquivalents.
NNTH ZIE et THN EI
NTH ZZ et N Z
2) Exercice 3 : Calculer Ie courant qursistance R de lexercice 1 en athorme de Norton.
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V - Thorme de Kennely (transformtriangle)
Le circuit enest quivalent au rseau
A
AZ
Z
A
BZ
Z
A
CZ
Z
C
CBCABA
ABZ
ZZZZZZZ
A
CBCABA
BCZ
ZZZZZZZ
B
CBCABAAC
ZZZZZZZZ
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VI - Calcul dun rseau :
1) Lois de Kirchoff :
a) Loi des noeuds : La somme algcourants relatifs un noeud est nulle :
i > 0 pour les courants qui se dirignud;i < 0 dans le cas contraire.
b) Loi des mailles : la somme algtensions le long de toute maille ferme
2 ) Mthode des mailles indpendantesSoit un circuit qui comporte un nobranches, un nombre n de noeudcalculer toutes les variables de ce cirnombre dquations m tel que :
m = bn + 1
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Exemple :
Ecrivons les lois de Kirchoff dans les tr
313111
IIZIZE
325222 IIZIZE
3423536313
0 IZIIZIZIIZ
331311 IZIZZE
352522 IZIZZE
365432513
0 IZZZZIZIZ
0
0
2
1
552
331
I
I
I
ZZZZZZ
ZZZ
ZZZ
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De cet exemple, on dduit :
Les impdances Zmm de la maille m sla somme des impdances de cette impdances Zmn., sont les communes aux deux mailles m et n
affectes du signe + si les courants sosens, sinon du signe -. Les impdanZnm sont gales.La tension Vm est la somme
lectromotrices appartenant la maisont affectes du signe + si elles ont leque le courant Im, sinon du signe -.
Exercice 5 : calculer en appliquant la mmailles le courant qui traverse la rsislexercice 1.
3) Mthode des Noeuds :
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Avec l'exemple prcdent, on appelle Les potentiels aux diffrents noeuds e
potentiel de rfrence au noeugnrateurs de tension sont remplacgnrateurs de courant quivalents (TNorton), on remplace Les impdance
admittance Y = 1/ Z,
Ecrivons la loi des noeuds.
21413111 VVYVYYYE
325212422 VVYYVVYYE
36235222 VYVVYYYE
24143111 VYVYYYYE 35225421422
VYYVYYYVYYE
365225222 VYYYVYYYE
3
2
1
65252
525424
4431
0
0
V
V
V
YYYYY
YYYYYY
YYYY
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Ladmittance Ymm est gale la admittances qui aboutissent au Ladmittance Ymn, est ladmittance signe qui joint les nouds m et n. Les Ymn et Ynm sont gales.
Le courant Im est la somme des incourant des gnrateurs de caboutissent au noeud m. elles sont asigne + si les gnrateurs d
correspondants sont dirigs vers le ndu signe -.
Exercice 6 : Calculer le courant quirsistance R de lexercice 1 en amthode des noeuds.
Remarque : on constatera que cette mla plus rapide pour cet exercice, car
deux noeuds dans le circuit (dont 1 serfrence).
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VII - Thorme de MillMann
Ce thorme, qui n'est rien d'autre qunuds, permet d'effectuer des calculs
en simplifiant considrablement dinconnues dans la mise en quation dGrce ce thorme, il est possible dpotentiel dun point en lequel concoure
branches modlises par leur qThvenin.
Ecrivons que la somme des courants
chaque branche est nulle1
n
i i
iAB
Z
EU
n
iE
n
ii EY
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VIII - Thorme de rciprocit (MAXW
Dans un rseau linaire sourcerapport de La grandeur dentre (excgrandeur de sortie (rponse) est consque soient Les positions respectives d
d'excitation et de lendroit o lon rponse.Soit Ir Ie courant circulant dans la maillcrire :
s
Z
rrr
Z
r
Z
rr VVVVI
2
2
1
1
avecZ dterminant matrice impdanc
Si Le rseau ne comporte que La sourcvient :
Z
sr
sr VI
do srZs Ztr
I
V
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En intervertissant les sources, il faut v
avec
Z
rs
rs VI
Is est le courant circulant dans la brancest la source
do: rsrs
Z
s
r ZtrI
V
rs
Ztr
estlimpdance de transfert entreet la maille s.
Or, dans un rseau linaire passifimpdance est symtrique par radiagonale principale et les cofacteurssont gaux.
Donc le courant dans la maille r d
tension place dans la maille s est icourant dans la maille s Lorsque la mde tension est situe dans la maille r.
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Ce thorme continue sappliquer dales rseaux contiennent une source de
La tension entre les extrmits M et N due une somme de courant placpoints A et B de ce rseau est la mtension mesure entre les points A et
mme source de courant est placextrmits M et N.
D l t ti l d l
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CHAP IV - Les quadrip
1 - Dfinition :
Un quadriple Q est un rseau qui c
avec lextrieur par deux paires Lentre sera le cot o sont apsignaux.
Comme pour les diples, on ne sintrelinaires c d composs dlmen(sources et diples passifs). On pourles Q passifs, actifs, ractifs, symsuppose que les sources sont ligrandeurs internes).
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3- Paramtres d'un quadriple
Ce sont des fonctions des lments dqui permettent dexprimer les relationgrandeurs dentre et de sortie. Chaqpeut tre exprime en fonction de de
autres grandeurs. Soit six groupes de p
3.1- paramtres chane
Ce sont les grandeurs qui vrifient linaires :
221 IBVAV
221 IDVCI
Ou sous forme matricielle
2
2
2
2
1
1
I
Va
I
V
DC
BA
I
V
a est la matrice chane directe du qua
3 2- paramtres chane inverse ia
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3.3- paramtres impdance
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
IZ
I
I
ZZ
ZZ
V
V
3.4- paramtres admittance
2
1
2
1
2221
1211
2
1
V
VY
V
V
YY
YY
I
I
3.5- paramtres hybrides
2
1
2
1
2221
1211
2
1
V
Ih
V
I
hh
hh
I
V
3.6- paramtres hybrides inverse
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
Vg
I
V
gg
gg
V
I
On voit immdiatement que 1 hg
4- Dtermination des paramtres
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01
1
11
2
VI
Vh soit la sortie court-circ
01
2
21
2
VI
Ih soit la sortie court-circ
02
1
12
1
IV
Vh soit lentecircuit-ou
02
2
22
1
IV
Ih soit lentecircuit-ou
Remarque :Toutes les relations linair
avons utilises concernent le mme qest donc possible dexprimer un paramtres en fonction des paramtregroupe.
Par exemple : passage des paramparamtres Z
(1)2121111 VhIhV
et121111 IZIZV
(2) 2221212 VhIhI 221212 ZIZV (2) => 2212122 / hIhIV (1) => / hIhIhIhV
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On peut refaire ce calcul pour tousgroupes de paramtres (ta
correspondance).
5- Quadriples passifs
Les quadriples passifs constitueparticulier de rseaux passifs, le thrciprocit sapplique. Ceci se tradrelation supplmentaire entre les
ncessaires pour dfinir un Q passif.
Exemples
5.1- paramtre chane
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On a221
IBVAV 21 0 IBEAV EAI 2
221 IDVCI 21 IDECI CI 1
E
B
DACBI
1 Plaons maintenant la source E lent
221 IBVAV 21 IBEV BEI /2 221
IDVCI 21 IDI BEDI /1
B
EI 2
Thorme de rciprocit : i1 = i2
B
EE
B
DACB
1 CBDA
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5.2- deuxime exemple paramtre hyb
2121111 VhIhV EhIhV 121111 0 11 hI
2221212 VhIhI EhIhI 221212 hI 212
E
h
hI
11
12
1
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Eh
hI
11
21
2
Thorme de rciprocit : i1 = i2E
h
hE
h
h
11
21
11
12
Il vient 1221 hh Pour les autres paramtres, on peut m
2112 ZZ 2112 YY et
6- Quadriples symtriques (passifs)
On obtient dans ce cas unsupplmentaire en crivant que les des quations ne changent pas lorsqu
les grandeurs dentre et de sortie.Soit, par exemple :
2121111 IZIZV 1122112 IZIZV
2221212 IZIZV 1222211 IZIZV
On a la relation supplmentaire :2211
ZZ
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7- Association de Quadriples
7.1- Association en chane ou en casca
11 VVT 12 VV 11
IIT 12 II
2
2
2
2
1
1
I
Va
I
V
DC
BA
I
V
;
1
1
DC
BA
I
V
T
T
T
T
I
Vaa
I
V
DC
BA
DC
BA
I
V
2
2
2
2
1
1
aaaT
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7.2- Association en srie
111 VVVT 111 IIIT
222 VVVT 222 III T
T
T
T
T
I
IZZ
I
IZ
I
IZ
V
V
V
V
V
V
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
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7.3- Association en parallle
111 IIIT 111 VVVT
222 III T 222 VVVT
T
T
T
T
V
VYY
V
VY
V
VY
I
I
I
I
I
I
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
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7.4 - Association srie parallle
111 VVVT 111 IIIT
222 III T 222 VVVT
T
T
T
T
V
IHH
V
IH
V
IH
I
V
I
V
I
V
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
7 5 A i ti lll i
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7.5 - Association paralllesrie
111 IIIT 111 VVVT
222 VVVT 222 III T
T
T
T
T
V
VGG
I
VG
I
VG
V
I
V
I
V
I
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
8 G i d d i l
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8 - Gain dun quadriple
Le quadriple est associ un dimpdance interne Zg et chargimpdance ZCH
On dfinit le gain en tension :1
2
VVGV
On dfinit le gain en courant :1
2
I
IGi
On dfinit le gain en puissance :1
2
P
PGp
8.1Calcul du gain en tension en foncparamtres h
2121111
1 VhIhV
E t t l t I1 d
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En rapportant le courant I1 donn pa 2 dans la premire quation, on a :
CH
CHV
Zhh
Zh
V
VG
11
21
1
2
8.2Calcul du gain en courant
2121111
1 VhIhV
22212122 VhIhI 2212122 IZhIhI Ch
22
3 IZV Ch
De lquation (2) on tire le gain en cou
Ch
iZh
h
I
IG
22
21
1
2
1
9Impdance dentre du quadriple
2121111
1 VhIhV
O l l i d V2 d l
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45/50
On remplace lexpression de V2 de ldans lquation 1 et on trouve dentredu quadriple :
CH
CH
eZh
Zhh
I
VZ
22
11
1
1
1
10-Impdance de sortie du quadriple
2121111
1 VhIhV 21211111 VhIhIZG
112121 /1 hZVhI G
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