Cover of Basic Math Unicode · 2020. 6. 13. · PHNOM PENH INTERNATIONAL UNIVERSITY BASIC CONCEPT LOGIC By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea 2 ឧទហរណ៍ទី៣ p :"

saklviTüal½yPñMeBjGnþrCati

PHNOM PENH INTERNATIONAL UNIVERSITY

គណិតវិទយមូល ្ឋ ន និងសថតិិ BASIC MATHEMATICS AND STATISTICS

Mr. Chhim Meng Mr. Yim Ayuvathanak Vichea

2012


By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea i

រមភកថ (Preface) ្របេទសកមពុជ្រតូវបនេធ្វើករែកទ្រមងព់ីរបបេសដ្ឋកិចចែផនករមកជេសដ្ឋកិចចទីផ រ

េសរ។ី កំែណទ្រមងរ់បបទីផ រេសរេីនះេហើយែដលនឱំយមនករអភវិឌ េលើ្រគបវ់ស័ិយទងំអស់ របស់្របេទសជតិ ជពិេសសវស័ិយបេចចកវទិយដទ៏ំេនើបមនកររកីចេ្រមើនគួរឱយចប់ រមមណ៍យ៉ង ខ្ល ងំទងំកនុង្រកបខណ្ឌ អងគភពចំណុះរដ្ឋ និង្រកុមហុ៊នឯកជនកនុង្រសុកកដូ៏ចជ្រកុមហុ៊នបរេទស ផងែដរ។ កររកីចេ្រមើនៃនបេចចកវទិយត្រមូវឱយមនុស ខិតខំែស្វងរកនូវចំេណះដងឹថមីៗេដើមប្ីរគប្់រគង និងេ្របើ្របស់នូវបេចចកវទិយទងំអស់េនះ។

វស័ិយអបរ់ជំគន្លឹះដសំ៏ខនៃ់នករអភវិឌ បេចចកវទិយទំេនើប េដើមបបីំេពញនូវត្រមូវករ និង ភពរកីចេ្រមើនែផនកវទិយ ្រស្ដកនុងេគលេ ្រទ្រទងភ់ពរកីចេ្រមើនទងំែផនកជវីភព និង ម រតី ្របជពលរដ្ឋ។ កនុងេនះមុខវទិយ គណិតវទិយមូល ្ឋ ន និងសថិតិកម៏នចំែណកយ៉ងសំខន ់ែដលមនិ ចខ្វះបនកនុងករចូលរមួអភវិឌ នប៍េចចកវទិយ និងភពរកីចេ្រមើនៃន្របេទសជតិ។ េ យក ្ដ េនះេហើយេទើបេធ្វើឱយេយើងខញុ ំេរៀបចំេសៀវេភេនះេឡើងកនុងេគលបណំងចូលរមួចំែណក អភវិឌ នប៍ំណិន និង ម រតីវភិគរបស់សិស និសិ តកដូ៏ចជមតិ្ដអនក នទងំអស់ែដរ។

គណិតវទិយមូល ្ឋ ន និងសថិតិេនះមន៦ជំពូក កនុងេនះជំពូកទ១ីសិក អពំីគំនតិជមូល ្ឋ នៃនតកកវទិយ ជំពូកទី២សិក អំពីអនុគមន ៍ នងិ្រកហ្វ ជំពូកទ៣ីសិក អំពីករ្របកស់មស

ជំពូកទ៤ីសិក អពំីសំណង្របច្ំរគ ជំពូកទ៥ីសិក អំពីសថិតិពពិណ៌ន េហើយជំពូកទ៦ីសិក អំពបីំែណងែចកៃនអេថរៃចដនយ។ ជំពូកទងំ្របមំយួេនះមនបង្ហ ញនិយមនយ័ ឧទហរណ៍ ដំេ ះ្រ យ ្រទឹស្ដីបទ លកខណៈមូល ្ឋ នរបស់ ជេ្រចើន នងិលំ តស់្រមបអ់នុវត្តនផ៍ង។

េយើងខញុ ំសូមអភយ័េទសពីសំ កម់តិ្ដអនក នទងំអស់អំពីកំហុសអកខរ វរិទុធ និងចំណុច ខ្វះខតេផ ងៗែដលេកើតេឡើងេ យអេចតន។ េយើងខញុ ំរងច់ទំទួលករែកលម្អេ យេសចក្ដីេ ម នស រកី យពីសំ កម់តិ្ដអនក ន និងអនក្រ វ្រជវ្រគបម់ជឈ ្ឋ នេដើមបឱីយេសៀវេភេនះកនែ់ត ល្អែថមមយួក្រមតិេទៀត។


By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea ii

មតិក (Contents)

Page

Preface…....…...…………………………………………………………... i

Contents …....…...……………………………………………………….. ii

Chapter1: Basic Concept Logic…....…...…………………………. 1

1.1 Statement and Compound Statements.................................................... 1

1.2 Conjunction, p q.................................................................................. 1

1.3 Disjunction, p q................................................................................... 2

1.4 Negation, p .............................................................................................2

1.5 Conditional and Biconditional Statements.............................................. 3

1.6 Propositions and Truth Tables................................................................ 4

1.7 Tautologies and Contradictions.............................................................. 5

1.8 Logical Equivalence................................................................................ 5

1.9 Arguments............................................................................................... 6

Exercises................................................................................................. 8

Chapter2: Functions and Graphs…....…...………………………. 10

2.1 Functions................................................................................................. 10

2.2 Graph of a Function................................................................................ 12

2.3 Linear Function....................................................................................... 13

2.4 Functional Models.................................................................................. 15

Exercises................................................................................................. 19

Chapter3: Compound Interest…....…...…………………………... 21

3.1 Interest.....................................................................................................21

3.2 Interest Rate............................................................................................ 21


By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea iii

3.3 Simple Interest....................................................................................... 21

3.4 Compound Interest.................................................................................. 23

3.5 Equivalent Rate....................................................................................... 24

3.6 Continuous Compounding Interest......................................................... 25

3.7 Present Value of Future Money.............................................................. 26

3.8 Effective Interest Rate............................................................................. 27

Exercises................................................................................................. 28

Chapter4: Annuities…....…...…………………………...................... 29

4.1 Definition................................................................................................ 29

4.2 Future Value of Ordinary Annuity.......................................................... 29

4.3 Future Value of Annuity Due................................................................. 30

4.4 Future Value of Ordinary Annuity of k Period ...................................... 32

Without Payment After nth

4.5 Present Value of Ordinary Annuity........................................................ 33

4.6 Present Value of Annuity Due................................................................ 34

4.7 Amortization of Debt.............................................................................. 35

4.8 Sinking Fund........................................................................................... 36

Exercises................................................................................................. 38

Chapter5: Descriptive Statistics …....…...………………………... 40

5.1 Three Kinds of Averages........................................................................ 40

5.2 Frequency Table and Histogram............................................................. 42

5.3 Weighted Mean....................................................................................... 44

5.4 Measure of Dispersion ........................................................................... 44

5.5 Average Percentage Increases – The Geometric Mean.......................... 47

5.6 Grouped Data.......................................................................................... 48

5.7 Shape of Frequency Distribution............................................................ 54


By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea iv

Exercises................................................................................................. 56

Chapter6: Distribution of Random Variables…....................... 58

6.1 Concept of a Random Variables............................................................. 58

6.2 Discrete Probability Distribution............................................................ 59

6.3 Expected Value....................................................................................... 61

6.4 Variance of a Random Variable.............................................................. 62

6.5 Binomial Distribution............................................................................. 64

6.6 Hypergeometric Distribution.................................................................. 65

6.7 Poisson Distribution................................................................................ 66

6.8 Properties of the Mean and Variance...................................................... 67

Exercises................................................................................................. 68

References …........................................................................................... 71

PHNOM PENH INTERNATIONAL UNIVERSITY BASIC CONCEPT LOGIC

By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea 1

ជំពកូទ១ី គំនតិជមូល ្ឋ នៃនតកកវិទយ (BASIC CONCEPT LOGIC)

១.១ សេំណើ និងសេំណើសមស (Statements and Compound Statements) និយមន័យ អំណះអំ ងែដលេគសេ្រមចបនថ ឬមយួពិត ឬមយួ មនិពិត េ ថ សំេណើ ។ ភពពតិ ឬមនិពិតៃនសំេណើ េ ថតៃម្លភពពិត (Truth value) ៃនសំេណើ ។ ឧទហរណ៍ទី១ "3 4 5 " ជសំេណើ មយួ ( សំេណើ ពិត ) ។ " េគបនត ៉ ្របឆងំេថែក " ជសំេណើ មយួ។ " េតើេ កេធ្វើដេំណើ រេទទី ? " មនិែមនជសំេណើ ( មនិ ចសេ្រមចបនថ ឬមយួពតិ ឬមយួមនិពតិ ) ។ និយមន័យ ករផ ំ(ឬភជ ប)់ ៃនពីរ ឬេ្រចើនសំេណើ េ យឈន បនិ់ង ( ) ឬ ឈន បឬ់ ( ) ជ សំេណើ មយួេ ថ សំេណើ សមស (Compound Statements) ។ ឧទហរណ៍ទី២ " 5 3 ឬ 5 3 " ជសំេណើ សមស។ " ពូសុកលួចេគ នងិពូេ ជួយ េគ " ជសំេណើ សមស។

េដើមបសិីក តៃម្លភពពិតៃនសំេណើ ទងំ យ េយើងេ្របើសញញ និង ងភពពិតដូចខង េ្រកម៖

p p T ពិត 1 ពិត F មនិពិត 0 មនិពិត

១.២ ឈន ប់និង (Conjunction, p q) និយមន័យ េយើងមនពីរសំេណើ p, q សំេណើ សមស " p នងិ q " ងេ យ "p q " ជសំេណើ មយួពតិែតកនុងករណីែដល p និង q ជសំេណើ ពិត្រពមគន ។

p q qp 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

″Ŭ₣ļĮĮЊĳ

ι



ឧទហរណ៍ទី៣ p : " 24 ែចក ចន់ឹង 4 " ជសំេណើ ពិត, q : " 7 > 5 " ជសំេណើ ពិត េគបន qp : " 24 ែចក ចន់ឹង 4 និង 7 > 5 " ជសំេណើ ពិត។

ឧទហរណ៍ទី៤ p : " ែផនដីមន ងមូល" ជសំេណើ ពិត, q : " េគមនេជើងដប ់" ជសំេណើ មនិពិត។ េគបន qp : " ែផនដីមន ងមូល និង េគមនេជើងដប ់" ជសំេណើ មនិពិត។

១.៣ ឈន ប់ឬ (Disjunction, qp ) និយមន័យ េយើងមនពីរសំេណើ p, q សំេណើ សមស " p ឬ q " ងេ យ "p q " ជសំេណើ មយួមនិពតិែតកនុងករណីែដល p នងិ q ជសំេណើ មនិពិត្រពមគន ។ ងភពពិត

p q qp1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

ឧទហរណ៍ទី៥ p : " 25 > 5 " ជសំេណើ ពិត, q : " 25 = 5 " ជសំេណើ មនិពិត េគបន qp : " 25 > 5 ឬ 25 = 5 " ជសំេណើ ពិត។

ឧទហរណ៍ទី៦ p : " មនុស មនៃដ្រប ំ" ជសំេណើ មនិពិត, q : " មនុស មនែភនក្របមំយួ " ជសំេណើ មនិពិត េគបន qp : " មនុស មនៃដ្រប ំឬ មនុស មនែភនក្របមំយួ " ជសំេណើ មនិពិត។

១.៤ ឈន ប់មិន (Negation, p ) និយមន័យ ឈន បម់និជ្របមណវធិេីលើប ្ដ សំេណើ ទងំ យែដលពីសំេណើ p មយួពិត េយើងបនសំេណើ "មនិ p" មនិពិត និងផទុយេទវញិ។ ងេ យ p ឬ p នថ " មនិ p "។ ងភពពិត

p p1 0 0 1

ឧទហរណ៍ទី៧ េបើ p : " ខញុ ំសិក ចបប ់" េគបន p : " ខញុ ំមនិសិក ចបប ់" ។



១.៥ សេំណើនឱំយ និងសេំណើសមមូល (Conditional and Biconditional Statements, p ) និយមន័យ េគមនពីរសំេណើ p និង q េយើងកំណតសំ់េណើ ថមី " p នឱំយ q " ( " If p then q " ) េ ថ សំេណើ នឱំយ ឬសំេណើ លកខខណ្ឌ កំណតស់រេសរេ យ qp ( Read " p implies q ", " p only if q " ) ជសំេណើ មយួែដលមនិពិតែតកនុងករណី p ជសំេណើ ពតិ និង q ជសំេណើ មនិពិត។ ងភពពិត

p q qp 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

ឧទហរណ៍ទី៨ ពិនតិយសំេណើ លកខខណ្ឌ បនួខងេ្រកម៖

១- សំេណើ “ េបើភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសកមពុជ េនះ 3 + 3 = 6 ” ។ ២- សំេណើ “ េបើភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសកមពុជ នឱំយ 3 + 3 = 7 ” ។ ៣- សំេណើ “ េបើភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសប ងំ េនះ 3 + 3 = 6 ” ។ ៤- សំេណើ “ េបើភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសប ងំ នឱំយ 3 + 3 = 5 ” ។ និយមន័យ េគមនពីរសំេណើ p និង q េយើងកំណតសំ់េណើ ថមី " p សមមូល q " ( " p if and only if q ") េ ថ សំេណើ សមមូល ឬសំេណើ េទ្វលកខខណ្ឌ កំណតស់រេសរេ យ

qp ជសំេណើ មយួែដលពិតែតកនុងករណី p និង q ជសំេណើ ែដលមនតៃម្លភពពតិដូចគន ។ ងភពពិត

p q qp 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

ឧទហរណ៍ទី៩ ពិនតិយសំេណើ សមមូលខងេ្រកម៖

១- សំេណើ “ ភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសកមពុជ សមមូល 3 + 3 = 6 ” ។



ũЮĠЬĠ◦Бơ

២- សំេណើ “ ភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសកមពុជ លុះ្រ ែត 3 + 3 = 7 ” ។ ៣- សំេណើ “ ភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសប ងំ សមមូល 3 + 3 = 6 ” ។ ៤- សំេណើ “ ភនេំពញជទី្រកុងៃន្របេទសប ងំ លុះ្រ ែត 3 + 3 = 5 ” ។ ១.៦ Proposition និង ងភពពិត (Proposition and Truth Tables)

េ យេ្របើឈន ប ់ , , , , និងសំេណើ p, q, r, ... េគ ចបេងកើតបនសំេណើ សមស P(p, q, r, ...) ែដល្រតូវបនេគេ ថ Proposition េហើយសំេណើ p, q, r, .... ្រតូវបនេគេ ថអេថរ ( Variables ) ។ សមគ ល់ ពកយ Proposition ជួនកល េគបកែ្របថជសំេណើ ។

េគ ចបញជ កត់ៃម្លភពពតិៃន P(p, q, r, ...) េ យ ងភពពិត។

ឧទហរណ៍ទី១០ ងភពពិតៃន Proposition )( qp ។ p q q qp )( qp 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1

រេបៀបទី២ េយើងគូស ងដូចខងេ្រកម៖ េគបនតៃម្លភពពតិៃន Proposition )( qp ជតៃម្លភពពតិកនុងជួរឈរ Step iv ែដលជ Step ចុងេ្រកយៃន ងភពពតិ។

ឧទហរណ៍ទី១១ សង់ ងភពពតិៃន Proposition ( p q ) (q p ) ។ ឧទហរណ៍ទី១២ សង់ ងភពពតិៃន Proposition (p q ) (q p ) ។

p q ( p q ) 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

Step iv i iii ii i



១.៧ TAUTOLOGIES និង CONTRADICTIONS និយមន័យ Proposition P(p, q, r, ...) េ ថ Tautology កល P(p, q, r, ...) ពិតចំេពះ្រគបត់ៃម្លភពពិតៃនៃនអេថរ p, q, r, ... (បននយ័ថកនុងជួរឈរ Step ចុងេ្រកយៃន ងភពពតិសុទធែត 1 ទងំអស់) ។ ដូចគន Proposition P(p, q, r, ...) េ ថ Contradiction កល P(p, q, r, ...) មនិពិតចំេពះ្រគបត់ៃម្លភពពតិៃនអេថរ p, q, r, ... (បននយ័ថកនុងជួរឈរ Step ចុងេ្រកយៃន ងភពពតិសុទធែត 0 ទងំអស់) ។ ឧទហរណ៍ទី១៣ សង់ ងភពពតិៃនសំេណើ pp និង pp ។

p p pp pp 1 0 1 0 0 1 1 0

ម ងភពពិត េគបន Proposition pp ជ Tautology និងអនុគមនសំ៍េណើ pp ជ Contradiction ។

្រទឹស្ដីបទទី១៖ េបើ P(p, q, r, ...) ជ Tautology េនះេគបន ,...),,( rqpP ជ Contradiction និងផទុយមកវញិ។ ្រទឹស្ដីបទទី២៖ េបើ P(p, q, r, ...) ជ Tautology េនះេគបន ,...),,( 321 PPPP ជ Tautology ចំេពះ្រគប ់Proposition ,...,, 321 PPP ។

១.៨ សមមូលតកកវិទយ (Logical Equivalence) និយមន័យ េគថពីរ Proposition P(p, q, r, ...), Q(p, q, r, ...) សមមូលតកកវទិយ ឬេសមើគន កំណតស់រេសរេ យ ,...),,(,...),,( rqpQrqpP កល Proposition P(p, q, r, ...), Q(p, q, r, ...) ទងំពីរមនតៃម្លភពពតិដូចគន (បននយ័ថកនុងជួរឈរ Step ចុងេ្រកយៃន ងភពពិតទងំពីរមនតំៃលភពពិតដូចគន ) ។

ឧទហរណ៍ទី១៤ បង្ហ ញថ qpqp )( ។ p q qp )( qp 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

p q p q qp 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1



ម ងភពពិតទងំពីរខងេលើ េគបន qpqp )( ។

ឧទហរណ៍ទី១៥ បង្ហ ញថ pqqpqp ។

១.៩ ទឡ្ហកីរណ៍ (Arguments)

ទឡ្ហីករណ៍ ជអំណះអំ ងែដលពីសំណំុៃន Proposition nPPP ,..., 21 េ ថ សមមតកិមម (Premises) ទញបន Proposition Q មយួេផ ងេទៀត េ ថ េសចក្ដីសនិ ្ឋ ន (Conclusion) ។ ទឡ្ហីករណ៍កំណតស់រេសរេ យ nPPP ,...,, 21 Q ។ ្របសិនេបើេសចក្ដីសនិ ្ឋ ន Q ពតិចំេពះ្រគបស់មមតកិមម nPPP ,...,, 21 ពិត្រពមគន េនះេគ ថទឡ្ហីករណ៍ nPPP ,...,, 21 Q ្រតឹម្រតូវ (Valid) ។ ទឡ្ហីករណ៍ ែដលមនិ្រតឹម្រតូវ េ ថ Fallacy ។ េគមន្រគប ់ Proposition nPPP ,...,, 21 ពតិ្រពមគន លុះ្រ ែត Proposition

nPPP 21 ពិត។ េគបនទឡ្ហីករណ៍ nPPP ,...,, 21 Q ជទឡ្ហីករណ៍្រតឹម្រតូវលុះ្រ ែត ល់ដង nPPP 21 ពិត េគបន Q ពតិ ឬលុះ្រ ែត Proposition ( nPPP ...21 ) Q ជ Tautology។ ្រទឹស្ដីបទទី៤ ទឡ្ហីករណ៍ nPPP ,...,, 21 Q ជទឡ្ហីករណ៍្រតឹម្រតូវ លុះ្រ ែត Proposition ( nPPP ...21 ) Q ជ Tautology ។ ឧទហរណ៍ទី១៦ ្រ យបំភ្លថឺ ទឡ្ហីករណ៍ p q, q r rp ជទឡ្ហកីរណ៍ ្រតឹម្រតូវ។ េយើងនឹង្រ យថ Proposition )()]()[( rprqqp ជ Tautology ។

p q r [(p q ) (q r)] ( p r )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Step i ii i iii i ii i iv i ii i



ម ងភពពតិ (Step iv) េគបនអនុគមន ៍ )()]()[( rprqqp ជ Tautology។ េគបនទឡ្ហីករណ៍េនះ្រតឹម្រតូវ។

ឧទហរណ៍ទី១៧ Consider the following argument: S1 : If a man is a bachelor, he is unhappy. S2 : If a man is unhappy, he dies young.

Q : Bachelor die young. កនុងេនះសំេណើ Q េនខងេ្រកមបនទ ត់ ងឱយករសននិ ្ឋ នៃនទឡ្ហីករណ៍ េហើយសំេណើ S1, S2 េនខងេលើបនទ ត់ ងឱយសមមតកិមមៃនទឡ្ហីករណ៍។ ង p : "He is a bachelor", q : "He is unhappy", r : "He dies young"។

េគបនទឡ្ហីករណ៍ S1, S2 Q មនទ្រមង ់ p q, q r p r ។ មឧទហរណ៍ទី១៦ េគបនទឡ្ហីករណ៍ែដលឱយ្រតឹម្រតូវ។



លំ ត់ (Exercises) ១- េបើ P ជសំេណើ “ េភ្ល ង”, Q ជសំេណើ “ មនៃថង ” និង R ជសំេណើ “ ្រតជក”់ ។

ក. ចូរ ងសំេណើ ខងេ្រកមេ យេ្របើនិមតិ្ដសញញ ៖ (a). េភ្ល ង និង ្រតជក។់ (b). មនៃថង និង្រតជក ់ប៉ុែន្ដមនិេភ្ល ងេទ។ (c). មនិ្រតជក ់ប៉ុែន្ដ េភ្ល ង។ ខ. ចូរសរេសរជឃ្ល ចេំពះសំេណើ P R Q ។

២- េបើ p ជសំេណើ មនិពិត q ជសំេណើ ពិត និង r ជសំេណើ ពិត ចូរកំណតត់ៃម្លភពពតិៃន Proposition នីមយួៗខងេ្រកម៖ ក. (p q) r ខ. (q p) r

គ. p (q r ) ឃ. q (p r) ។

៣- សង់ ងភពពតិៃន Proposition ខងេ្រកម មពីររេបៀប៖ ក. (p q) ខ. p (q s) គ. (a b) (a b) ឃ. (a b) c

ង. [(a b) (a c)] [a (b c)] ច. (a b) [b (a b)]។

៤- បង្ហ ញថ Proposition ខងេ្រកម ជ Tautology ៖ ក. (p q) (p q) ខ. (p q) ( q p) គ. p ( p q ) ឃ. [(p q) p] q ង. ( p q ) (p q) ។ ៥- បង្ហ ញថ Proposition ខងេ្រកម ជ Contradiction ៖ ក. p ( p q ) ខ. (p q) ( q p ) គ. (p q) (p q) ។

៦- បង្ហ ញថ៖ ក. p q p q ខ. (p q) p p q គ. p q (p q) ឃ. (p q) p p q ។

៧- ង P, Q និង R ជសំេណើ ។ បង្ហ ញថ៖ ក. P (Q R) (P Q) (P R)

ខ. (P Q) R P (Q R) គ. (P Q) R (P R) (Q R) ។



៨- កំណតសុ់ពលភពៃនទឡ្ហីករណ៍ខងេ្រកម៖ ក. p q, p q ខ. p q, q r, r p គ. p q, p q p r ។

ចូរវភិគនូវទឡ្ហីករណ៍ខងេ្រកម៖ ៩- េបើខញុមំនិេនកនុង្របេទសកមពុជ េនះខញុ ំមនិសបបយចិត្ដ។ េបើខញុសំបបយចតិ្ដ េនះខញុ ំេ្រច ង។ ខញុ ំមនិេ្រច ងេទ។ ដូេចនះ ខញុ ំេនកនុង្របេទសកមពុជ។ ១០- េបើខញុ េំធ្វើករ េនះខញុ ំនឹងមនិ ចសិក ។ ខញុ ំសិក ឬមយួខញុ្ំរបឡងជបកុ់ពំយទូរ័។ ខញុ ំបន ្របឡងជបកុ់ំពយទូរ័។ … … ។ ដូេចនះ ខញុ ំបនសិក ។ ១១- េបើសិនេ កអនកមនិសិក េនះេ កអនកនឹង្របឡងធ្ល ក។់ េ កអនក្របឡងធ្ល ក ់ដូេចនះ េ កអនកមនិសិក ។

១២- េបើេ កអនកមនិមនសញញ ប្រត េនះេ កអនកនឹងមនិមនករងរេធ្វើេទ។ េ កអនក មនករងរេធ្វើ ដូេចនះេ កអនក្រតូវែតមនសញញ ប្រត។

១៣- ចរយិជអនកចេ្រម ង ឬជអនករប។ំ េបើសិននងជអនកចេ្រម ងមន ក ់ េនះនងនឹងមន សំេឡងដព៏ិេ ះ។ េបើសិននងជអនករបមំន ក ់ េនះនងនឹងមនេជើងែវងដ្៏រសឡូន។ ចរយិមន សំេឡងដព៏ិេ ះ និងមនេជើងែវង ដូេចនះនងជអនកចេ្រម ង និងជអនករប។ំ ១៤- េបើសិនគតម់និមនករពនយល់េទ េនះគតន់ឹងមនកំហុស។ គតម់នករពនយល់ ឬមយួ គតប់នេធ្វើគេ្រមង។ ដូចេនះ េបើសិនគតប់នេធ្វើគេ្រមង េនះគតន់ឹងមនកំហុស។ ១៥- េ ក្រគូមន កគ់រួឱយចូលចិត្ដបន ស់ឱយខញុ ំភញ កេ់ឡើង។ ខញុ ំបនភញ កេ់ឡើងេនកនុងថន កកុ់ពំយទូរ័។ ដូចេនះ េ ក្រគូកុំពយទូរ័របស់ខញុ ំគួរឱយចូលចតិ្ដ។ ១៦- េបើសិនប៉ូលីសមនិេដញចបេ់ចរ េនះេចរនឹងរចួខ្លួន។ េចរមនិបនរចួខ្លួន ដូេចនះ ប៉ូលីស េដញចបេ់ចរបន។

PHNOM PENH INTERNATIONAL UNIVERSITY FUNCTIONS and GRAPHS


ជំពកូទ២ី អនគុមន៍ នងិ្រកហ្វ (Functions and Graphs)

២.១ អនុគមន៍ (Functions) ២.១.១ និយមន័យ (Definition)

េគឱយ f ជទំនកទំ់នងេទ្វធតុពីសំនំុ A េទសំនុំ B ។ េបើ្រគបធ់តុ x ៃន A ទកទ់ង េទនឹងធតុ y មយួយ៉ងេ្រចើនៃន B េនះទំនកទ់ំនងេទ្វធតុ f េ ថអនុគមនពី៍ A េទ B ។

កំណតស់រេសរេ យ BAf : “ f ជអនុគមនព៍ី A េទ B ” )(xfyx “ xឱយរបូភព )(xfy ” សមគ ល់ x េ ថអេថរមនិទកទ់ង ឬអេថរមនិ ្រស័យ (Independent Variable) ។

y េ ថអេថរទកទ់ង ឬអេថរ ្រស័យ (Dependent Variable) ។ A េ ថសំណំុេដើម េហើយ B េ ថសំណំុចុង។ ឧទហរណ៍ទី១

f ជអនុគមនព៍ី A េទ B ។ g មនិែមនជអនុគមនពី៍ A េទ B េទ។ ឧទហរណ៍ទី២ IRIRf : ជអនុគមនព៍ហុធដឹេ្រកទី៣។

3 2x y f (x) 3x 4x 5x 7

ឧទហរណ៍ទី៣ g : IR IR ជអនុគមន្៍រតីេកណម្រត។ 2x y g(x) 6sin x 2cos x 7 tan x

ឧទហរណ៍ទី៤ េគឱយអនុគមនៃ៍ថ្លេដើមសរបុ(Total Cost Function) 5002)( 2 qqqC (គិតជដុ ្ល រ) ែដល q ជបរមិណផលិតផល (Production

Quantity )។ ក- ចូររកៃថ្លេដើមៃន 50 ឯក ដំបូងៃនផលិតផល ។ ខ- ចូររកៃថ្លេដើមៃនឯក ទី៥០ ៃនផលិតផល។

A B A B f g



ដំេ ះ្រ យ ក- ៃថ្លេដើមៃន 50 ឯក ដំបូងៃនផលិតផលគឺ

5450$5005050.2)50( 2 C ។ ខ- ៃថ្លេដើមៃនឯក ទី៥០ ៃនផលិតផលគឺ

197$52535450)49()50( CC ។

២.១.២ ែដនកំណត់ៃនអនុគមន៍ (The Domain of a Function) និយមនយ័ េគឱយអនុគមន៍ BAf : មួយ ។ ែដនកំណតៃ់នអនុគមន៍ f គឺជសំនុំ D ៃនធតុ x ទងំ យរបស់ A ែដលមនធតុ y របស់ B េហើយ )(xfy (ឬសំណំុតៃម្លៃន x ែដលេធ្វើឱយ អនុគមន៍ f មននយ័) ។ េគបន )}(,:{ xfyByAxD ។ ឧទហរណ៍ទី៥ រកែដនកំណតៃ់នអនុគមន ៍ 5 22 11)( xxxf ។

ដំេ ះ្រ យ អនុគមន ៍ f មននយ័លុះ្រ ែត xxx 11012 ។ ដូចេនះេគបន ,11,D ។ ឧទហរណ៍ទី៦ រកែដនកំណតៃ់នអនុគមន ៍ 2g(x) ln(x 3x 2) ។

ដំេ ះ្រ យ អនុគមន ៍ g មននយ័លុះ្រ ែត xxxx 210232 ។ ដូចេនះេគបន ,21,D ។ ២.១.៣ ប ្ត ក់ៃនអនុគមន៍ (Composition of Functions) និយមនយ័ េគឱយបីសំណំុ E, F, G និងអនុគមន ៍ FEf : , GFg : ។ ប ្ដ កៃ់នអនុគមន ៍f និង g កំណតស់រេសរេ យ fg ជអនុគមនព៍ីសំណំុ GE កំណតេ់ យ )]([))(( xfgxfg ។ ឧទហរណ៍ទី៧ េគឱយអនុគមន៍ 12)( xxf និង xexg )( ។

េគបន 12)()]([))(( xxf eexfgxfg ។ ឧទហរណ៍ទី៨ េគឱយអនុគមន្៍របកច់ំណូលសរបុ (Total revenue function)

qqqR 22)( (គិតជពនដុ់ ្ល រ) ែដល q ជបរមិណផលិផលែដលបនលក ់និង ttq 2)( ជអនុគមនប៍រមិណ ផលិតផលែដលលកប់នកនុងរយៈេពល t េម៉ង។

E G

Ff g

gof



ក- សរេសរអនុគមន្៍របកច់ំណូលសរបុជអនុគមនន៍ឹងរយៈេពលែដលបនលក។់ ខ- េតើេគលកក់នុងរយៈេពលប៉ុនម នេម៉ងេទើបេគរកបន្របកចំ់ណូល $1512000?

ដំេ ះ្រ យ ក- អនុគមន្៍របកច់ំណូលសរបុជអនុគមនន៍ឹងរយៈេពលែដលបនលកគឺ់

tttttqtqtqR 282)2(2)()]([2)]([ 222 (គិតជពនដុ់ ្ល រ) ែដល t គិតជ h ។ ខ- រក t ែដល 1512)]([ tqR ៖ សមីករ 075641512281512)]([ 22 tttttqR

េគមន 1 4 4 756 12097 13.871 1209713.628

tt

t

ដូចេនះ េគលកក់នុងរយៈេពល 13.87េម៉ងេទើបេគរកបន្របកច់ណូំល $1512000។

លកខណៈ ប ្ដ កៃ់នអនុគមនម៍នលកខណៈផ្ដុ ំ គឺថ fghfgh )()( ។ ២.២ ្រកហ្វៃនអនុគមន៍ (Graph of a Function) និយមនយ័ េគឱយអនុគមន៍ BAf : មនែដនកំណត ់ D ។ ្រកហ្វៃនអនុគមន៍ f គឺជ សំណំុចំណុច M(x, y) ែដល Dx និង )(xfy ។ េគ ង (C) ជ្រកហ្វៃន f េគបន (C) {M(x, y) : x D, y f (x)} ។

ឧទហរណ៍ទី៩ សង្់រកហ្វៃនអនុគមន ៍ f (x) x ។ ងតៃម្ល x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 3 2 1 0 1 2 3

មនិយក។

0 1

1

-1 2

2

-2 3

3

-3 x

y '

x '

y

(C)



ឧទហរណ៍ទី១០ សង្់រកហ្វៃនអនុគមន៍

3231

1)( 2

xxxx

xxxf ។

2xy

២.៣ អនុគមន៍លេីនែអ៊រ (Linear Function) ២.៣.១ និយមន័យ (Definition)

អនុគមនលី៍េនែអរ៊ ជអនុគមនែ៍ដលមនសមកីរ ង baxy មននយ័ថ ជ អនុគមនែ៍ដលែ្រប្របួលេ យអ្រ េថរ a េនេពលែដលអេថរ x េកើន1ឯក ។ ្រកហ្វៃនអនុគមន ៍លីេនែអរ៊ ជបនទ ត។់ ឧទហរណ៍ទី១១ េ ងច្រកមយួចំ យេផ ងៗេថរចំនួន $300 បែនថមេលើៃថ្លផលិតកមម $50 កនុងមយួឯក ។ រកអនុគមនៃ៍ថ្លេដើមសរបុ។

ដំេ ះ្រ យ ង x ចំននួឯក ែដល្រតូវបនផលិត។

េគមនៃថ្លេដើមសរបុ C(x) = (ៃថ្លេដើមកនុងមយួឯក ចំននួឯក ) + ចំ យេផ ងៗ ។ េ យៃថ្លេដើមមយួឯក $50 និងចំ យេផ ងៗ $300 ។ េគបន 30050)( xxC ។

ebIebI

1 2 3 -2 x

y '

x '

y

(C)

1

-1

2y x

2xy

xy

ebI

100

0

300

500

1 2 3 4

C(x)

x

y



២.៣.២ េមគុណ្របប់ទិសៃនបនទ ត់ (The Slope of a Line) េបើបនទ ត ់(D) កត់ មចំណុចពីរេផ ងគន ),( 11 yxA និង ),( 22 yxB េនះេគបន េមគុណៃនបនទ ត ់(D) គឺ

2 1

2 1

y y ySlope tanx x x

។

េបើបនទ ត ់(D) មនសមកីរ baxy កត់ មចំណុចពរីេផ ងគន ),( 11 yxA និង

),( 22 yxB េនះេគបន

Slopexy

xxyyaxxayy

baxybaxy

12

121212

22

11 )( ។

ដូចេនះ េគបនេមគុណៃនបនទ ត ់(D) គ ឺ a ។ ឧទហរណ៍ទី១២ ចប់ ងំពីេដើមឆន ំ2005 តៃម្លេ្របង ំង 1L េកើនេឡើងេ យអ្រ េថរ 100៛ កនុងមយួែខ។ េនៃថងទី1 ែខវចិជកិ ឆន ំ2005 តៃម្លេ្របង ំង 1L េឡើងដល់ 3800៛ ។ សរេសរ តៃម្លៃនេ្របង ំងកនុង 1L ជអនុគមនៃ៍នេពល និងកំណតត់ៃម្លៃនេ្របង ំង 1L កលពេីន េដើមឆន ំ2005 ។

ដំេ ះ្រ យ ង x ជរយៈេពល (គិតជែខ) គិតចបព់េីដើមឆន ំ2005 ។ ង y ជតៃម្លៃនេ្របង ំង 1L បនទ បព់ ីx ែខ ចបព់េីដើមឆន ំ2005 ។

-េ យតៃម្លេ្របង ំង 1L េកើនេឡើងេ យអ្រ េថរ 100៛ កនុងមយួែខ េគបន 100a ។ -េ យេនៃថងទី 1 ែខវចិជិក ឆន ំ2005 តៃម្លេ្របង ំង 1 l េឡើងដល់ 3800៛ េនះមននយ័ថេពល 10x េគបន 3800y ។ េគមន 280010003800101003800 bbbaxy ។ ដូចេនះេគបន 2800100 xy (គិតជេរៀល) ជតៃម្លៃនេ្របង ំង 1 l បនទ បព់ ីx ែខ ចបព់េីដើមឆន ំ2005 ។ -តៃម្លៃនេ្របង ំង 1 l េនេដើមឆន ំ2005 គឺជតៃម្ល y េពលែដល x = 0 ។ េគមន 2800100 xy េគបន 280028000100 y ។ ដូចេនះ តៃម្លៃនេ្របង ំង 1 l េនេដើមឆន ំ2005 គ ឺ2800៛ ។

x1 x2

y1

y2

A

B

x 0

x

y

y



២.៤ អនុគមន៍គំរ ូ (Functional Models) ២.៤.១ អនុគមន៍គំរ ូ ករ ង មែបបគណិតវទិយៃន ថ នភពជកែ់ស្ដងមយួេ ថ គំរ ូឬម៉ូែដលគណិតវទិយ (Mathematical model) ។ េនកនុងែផនកេនះ េយើងនឹងបនេឃើញនូវឧទហរណ៍ែដលគូស បញជ កពី់វធិី ្រស្ដេដើមបសីងគ់ំរគូណិតវទិយ។

ឧទហរណ៍ទី១៣ េ ងច្រកមយួចំ យេផ ងៗេថរចំនួន $3000 បែនថមេលើៃថ្លផលិតកមម $40 កនុងមយួឯក ។ រកអនុគមនៃ៍ថ្លេដើមសរបុ។

ដំេ ះ្រ យ ង x ចំននួឯក ែដល្រតូវបនផលិត។

េគមនៃថ្លេដើមសរបុ C(x) = (ៃថ្លេដើមកនុងមយួឯក ចំនួនឯក ) + ចំ យេផ ងៗ។ េ យៃថ្លេដើមមយួឯក $40 និងចំ យេផ ងៗ $3000 េគបន 300040)( xxC ។ ឧទហរណ៍ទី១៤ េ ងច្រកកតេ់ដរមយួេ្របើអស់ៃថ្លេដើម $2 េដើមបផីលិតឱយបន វមយួ។ ម ធមម េបើេ ងច្រកលក់ វមយួតៃម្ល $5 េនះេ ងច្រកលកអ់ស់ 4000 វកនុងមយួែខ។ េ ង ច្រកមនគេ្រមងលកដ់ំេឡើងៃថ្ល េហើយសិក ដឹងថ េបើ វមយួ្រតូវបនដំេឡើងៃថ្ល $1 េនះករ លកន់ងឹថយចុះអស់ 400 វកនុងមយួែខ។ រកអនុគមន្៍របកចំ់េណញ។

ដំេ ះ្រ យ ង x ជតៃម្លលកថ់មៃីន វមយួ និង P(x) ជអនុគមន្៍របកច់ំេណញកនុងមយួែខ។

េគមន្របកច់ំេណញសរបុ P(x) = ្របកចំ់េណញកនុងមយួឯក ចំននួឯក ែដលបនលក។់ -ចំននួ វែដលបនលកក់នុងមយួែខកនុងតៃម្ល x ដុ ្ល រគឺ )15(400)5(4004000 xx ។ -្របកច់ំេណញៃនករលក់ វមយួគឺ៖ x – 2 ។ ដូចេនះ េគបន )2)(15(400)( xxxP ។

ឧទហរណ៍ទី១៥ េ ងច្រកអគគិសនីកមពុជបនកំណតៃ់ថ្លលកអ់គគិសនីដូចតេទ៖ កនុងបរមិណ 50kw ដំបូងលកក់នុងតៃម្ល 350 េរៀលកនុង 1kw, កនុងបរមិណ 50kw បនទ បល់ក ់កនុងតៃម្ល 550េរៀលកនុង 1kw េហើយកនុងបរមិណេលើសពីេនះលកក់នុងតៃម្ល 650 េរៀលកនុង 1kw។ ចូរកណំត្់របកច់ំ យកនុងករេ្របើអគគិសនចីំេពះបរមិណទងំអស់។

ដំេ ះ្រ យ ង x ជបរមិណអគគិសនី(គិតជ kw) ែដល្រតូវេ្របើនិង C(x) ជទឹក្របកែ់ដល្រតូវចំ យ។

-េបើ 500 x េនះេគបន xxC 350)( ។ -េបើ 10050 x េនះេគបន 1000055050350)50(550)( xxxC ។ -េបើ x100 េនះេគបន 5035050550)100(650)( xxC 20000650 x ។



ដូចេនះ េគបន

xxxx

xxxC

100,2000065010050,10000550

500,350)( ។

២.៤.២ សមម្រត (Proportionallity) i- សមម្រតផទ ល់ (Direct proportionality) េគថ Q សមម្រតផទ ល់ចំេពះ x លុះ្រ ែតមនចំនួនេថរ k > 0 ែដល Q = k x ។ ii- ្រចសសមម្រត ( Inverse proportionality) េគថ Q ្រចសសមម្រតចំេពះ x លុះ្រ ែតមនចំនួនេថរ k > 0 ែដល Q

xk

។

iii- សមម្រតភជ ប ់(Joint proportionality) េគថ Q សមម្រតភជ បច់េំពះ x និង y លុះ្រ ែតមនចំនួនេថរ k > 0 ែដល Q = k x y ។

២.៤.៣ ករវិភគភពរចួេដើម (Break-even analysis) ង x ជចំនួនឯក ែដលបនផលិត និងបនលក ់។ ង C(x) ជអនុគមនៃ៍ថ្លេដើមសរបុ។ ង R(x) ជអនុគមន្៍របកចំ់នូលសរបុ។

ខង ្ដ ំជែខ េកង ងឱយអនុគមនៃ៍ថ្លេដើមសរបុ និង្របក ់ចំណូលសរបុ។ េ យចំ យេផ ងៗេថរ េនះែខ េកងៃនអនុគមនៃ៍ថ្លេដើម សរបុដំបូងខពស់ជងែខ េកងៃនអនុគមន្៍របកច់ំណូលសរបុ។ ដូចេនះ ្រតងក់្រមតិទបៃនផលិតកមម េ ងច្រករងនូវករខតបង ់េហើយ្រតង ់ក្រមតិខពស់ៃនផលិតកមម េ ងច្រក្រតូវទទួលបននូវ្របកច់ំនណញ។ ចំណុចែដលែខ េកងទងំពីរកតគ់ន េ ថ ចំណុចរចួេដើម(Break-even point) េ្រពះ្រតង ់ចំណុចេនះ្របកច់ំណូលសរបុេសមើនឹងៃថ្លេដើមសរបុ។ ឧទហរណ៍ទី១៦ េ ងច្រកមយួ ចលកផ់លិតផលមយួ្របេភទតៃម្ល $110 កនុងមយួឯក ។ ៃថ្ល េដើមសរបុមនទងំករចំ យេថរេផ ងៗគឺ $7500 េហើយបែនថមៃថ្លេដើមផលិត $60 កនុងមយួ ឯក ។

ក- េតើេ ងច្រក្រតូវលកផ់លិតផលអស់ប៉ុនម នឯក េដើមបឱីយរចួេដើម? ខ- េតើេ ងច្រកចំេណញ ឬខតអស់្របកប់៉ុនម ន េបើេ ងច្រកលកអ់ស់ផលិតផល 100

ឯក ? គ- េតើេ ងច្រក្រតូវលកអ់ស់ប៉ុនម នឯក េដើមបឱីយចំេណញ្របកច់ំនួន $1250?

R(x)

C(x) P . Break-even point

Profit

Loss

x

y

0



ដំេ ះ្រ យ

ង x ចំនួនឯក ៃនផលិតផលែដលបនផលិត និងបនលក។់ េគបនអនុគមន្៍របកច់ណូំលសរបុ xxR 110)( និងអនុគមនៃ៍ថ្លេដើមសរបុ 750060)( xxC ។ ក- េដើមបឱីយេ ងច្រករចួេដើមលុះ្រ ែត )()( xCxR

150750060110 xxx ។ ដូចេនះ េ ងច្រក្រតូវលកផ់លិតផល 150 ឯក េដើមបឱីយបនរចួេដើម។ ខ- ង P(x) ជអនុគមន្៍របកចំ់េណញសរបុ។ េគបន 750050)750060(110)()()( xxxxCxRxP និង 2500750010050)100( P ។ ដូចេនះ េ ងច្រកនឹងខតអស់ $2500 េបើេ ងច្រកលកអ់ស់ 100 ឯក ។ គ- េ ងច្រកទទួលបន្របកចំ់េណញ $1250 កល

1250)( xP 1751250750050 xx ។ ដូចេនះ េដើមបទីទួលបន្របកចំ់េណញ $1250 េ ងច្រក្រតូវលកផ់លិតផលអស់ 175 ឯក ។ ២.៤.៤ សម ទីផ រ (Market Equilibrium)ប ង p តៃម្លេលើទីផ រៃនផលិតផលមយួ។ ង S(p) ជអនុគមនផ៍គតផ់គងផ់លិតផល (Supply) ។ ង D(p) ជអនុគមនត៍្រមូវករផលិតផល (Demand) ។

ខងេលើជែខ េកងៃនអនុគមនផ៍គតផ់គង ់និងអនុគមនត៍្រមូវករ។

- អក័ អរេ េន ងឱយបរមិណ q ។ - អក័ បសីុ់ស ងឱយតៃម្លទីផ រ p ។ េនកនុងករណីជេ្រចើន ករផគតផ់គងរ់បស់េ ងច្រក S(p) េកើនេឡើង េហើយត្រមូវកររបស់អតិថជិន D(p) ថយចុះ េនេពលែដលតៃម្លទីផ រ p េកើនេឡើង។

្រតងចំ់ណុច្របសព្វៃនែខ េកងអនុគមនផ៍គតផ់គង ់និងែខ េកងអនុគមនត៍្រមូវករ េ ថ ចំណុចសម ទីផ រ េហើយ បសីុ់ស p ៃនចំណុចសម េនះ (ៃថ្លសម Equilibrium price) គឺជតៃម្លទីផ រែដលករផគតផ់គងេ់សមើនឹងត្រមូវករ មននយ័ថជតៃម្លទីផ រែដលគម នករ ផគតផ់គងេ់លើស និងករផគតផ់គងខ់្វះ។

. q =S(p)

q =D(p)

Equilibrium point

Surplus Shortage

p

q

0



ចបបៃ់នករផគតផ់គង ់ និងត្រមូវករ (Law of supply and demand) េពលអះ ងថ េនកនុង ថ នភពៃនករ្របកួត្របែជងមយួ ផលិតផលមយួនឹងេទរេទរកករលក្់រតងៃ់ថ្លសម របស់ ។ -្របសិនេបើផលិតផល្រតូវបនលកក់នុងតៃម្លខពស់ជងៃថ្លសម នឹងមនផលិតផលសល់េ្រចើន េនេលើទផី រ េហើយឈមួញលក់ យនងឹបនទ បតៃម្លឱយទបជងតៃម្លរបស់ពួកេគ។ -មយង៉វញិេទៀត ្របសិនេបើផលិតផល្រតូវបនលកទ់បជងៃថ្លសម េនះត្រមូវករនឹងេកើន េលើសករផគតផ់គង ់េហើយឈមួញលក់ យនឹងបេងកើនតៃម្លរបស់ពួកេគ។ ឧទហរណ៍ទី១៧ រកៃថ្លសម និងចំនួនឯក ៃនផលិតផលែដល្រតូវផគតផ់គងក់នុងករណីេនះ េបើ េគមនអនុគមនផ៍គតផ់គង ់ 703)( 2 pppS និងអនុគមនត៍្រមូវករ ppD 410)( (p គិតជ $) ។

ដំេ ះ្រ យ ៃថ្លសម p ជឫសៃនសមកីរ )()( pDpS ។ េគបន ppppDpS 410703)()( 2 048042 pp ។ េគមន 2420222)22(4844804 2 ppp (មនិយក) នឱំយ 39020410)20()20( DS ។ ដូចេនះ ៃថ្លសម េសមើនឹង $20 េហើយផលិតផលែដល្រតូវផគតផ់គងគ់ ឺ390 ឯក ។



លំ ត់ (Exercises) ១- កនុងអំឡុងេពល្រពឹក េ្រកយរយៈេពល t េម៉ងចបព់េីម៉ង 8:00 AM េ ងច្រកផលិតបន

ttttQ 129)( 23 ឯក ផលិតផល។ ក- េតើរហូតដល់េម៉ង 11 AM េ ងច្រកផលិតបនប៉ុនម នឯក ៃនផលិតផល ? ខ- េតើេនអំឡុងេម៉ង 11 AM េ ងច្រកផលិតបនប៉ុនម នឯក ៃនផលិតផល ?

២- ករសិក អពីំបរ ិ ថ នៃនសហគមនម៍យួបនឱយដឹងថ ក្រមតិជមធយម្របចៃំថងៃនជតិកបូន ម៉ូណូអុីដកនុងខយល់មនក្រមតិ 15,0)( ppC ភគមយួ ន (Parts Per Million) េពល ែដល្របជជនមនចនំួន p ពនន់ក។់ េគបនប៉ន់ ម នថ រយៈេពល t ឆន ពីំឥឡូវចំននួ្របជ ជនៃនសហគមនេ៍នះនឹងមន 21,010)( ttp ពនន់ក។់ ក- បញជ កក់្រមតិៃនជតិកបូនម៉ូណូអុីដេនកនុងខយល់ជអនុគមនៃ៍នរយៈេពល t ។ ខ- េតើប៉ុនម នឆន ចំបព់ីឥឡូវេទើបក្រមតិកបូនម៉ូណូអីុដេកើនដល់ 6,8 ភគមយួ ន ?

៣- េដើមបផីលិតវទិយមុយួេ្រគ ង េ ងច្រកចំ យអស់ $10 េហើយេគប៉ន់ ម នថ េបើេ ងចករ្ លកវ់ទិយមុយួេ្រគ ងតៃម្ល x ដុ ្ល រ េនះអតិថជិន្របែហលជនឹងទិញអស់ចំននួ 80-x េ្រគ ងកនុង មយួែខ។ ក- ចូរសរេសរអនុគមន្៍របកច់េំណញសរបុ្របចែំខជអនុគមនៃ៍ន x ។ ខ- ចូរសង្់រកហ្វៃនអនុគមនខ៍ងេលើ េហើយកណំតត់ៃម្លៃនវទិយែុដលេ ងច្រកនឹងទទួលបន ្របកចំ់េណញអតបិរម។

៤- ចប់ ងំែតពីឆន ំ 2000 មកេគសេងកតេឃើញថ ពិនទុជមធយមៃនសិស ចំេពះមុខវជិច គណិត វទិយថយចុះេ យអ្រ េថរ។ េគដងឹថ កនុងឆន ំ 2000 ពិនទុគណិតវទិយជមធយមគឺ 88 េហើយកនុង ឆន ំ2003 គឺ 82 ។ ក- ចូរសរេសរអនុគមនព៍ិនទុជមធយមៃនគណិតវទិយជអនុគមនៃ៍នរយៈេពល កនុងករណីែដល និនន ករេនះេចះែតបន្ដ។ ខ- េបើនិនន ករេនះេចះែតបន្ដ េតើពនិទុជមធយមៃនគណិតវទិយរបស់សិស កនុងឆន 2ំ005 េសមើប៉ុនម ន? គ- េបើនិនន ករេនះេចះែតបន្ដ េតើដល់ឆន ំ េទើបពិនទុជមធយមៃនគណិតវទិយរបស់សិស េសមើនិង 50 ?

៥- េ ងច្រកផលិតវទិយមុយួចំ យអស់ $10 េដើមបផីលិតវទិយមុយួេ្រគ ង និងចំ យេថរ (Fixed cost) េសមើនឹង $2000 ។ េគលកេ់ទវញិតៃម្ល $50 កនុងមយួេ្រគ ង។ ក- សរេសរអនុគមន្៍របកចំ់េណញ េបើេគលកវ់ទិយអុស់ចំនួន x េ្រគ ង។ ខ- េតើេ ងច្រក្រតូវលកអ់ស់ចបពី់ប៉ុនម នេ្រគ ងេទើបទទួលបន្របកច់ំេណញ ?



គ- រក្របកចំ់េណញពីករលកវ់ទិយអុស់ ១០០ េ្រគ ង។ ឃ- រក្របកចំ់េណញពីករលកវ់ទិយទីុ១០០ ។

៦- មនភន កង់រជួលរថយន្ដពីរែដលកនុងេនះ ភន កង់រទី១ជួលតៃម្ល $25 ែថមតៃម្ល $0,60 កនុង 1km េហើយភន កង់រទី២ជួលតៃម្ល $30 ែថមតៃម្ល $0,50 កនុង 1km ។ េតើកនុងចមង យមយួ ែដលេគគួរជួលភន កង់រ មយួេដើមបឱីយករចំ យអស់តិចជង?

PHNOM PENH INTERNATIONAL UNIVERSITY COMPOUND INTEREST


ជំពកូទ៣ី ករ្របក់សមស (Compound Interest)

៣.១ ករ្របក់ (Interest) និយមន័យ ករ្របក ់ជ្របកែ់ដលអនកេ្របើទុន (អនកខចី) ្រតូវបងឱ់យមច ស់ទុន (អនកឱយខចី) េដើមប ីេ្របើ្របស់ទុនេនះកនុងរយៈេពលកំណតម់យួ ឬជ្របកច់ំេណញបនមកពទឹីក្របកែ់ដល កឱ់យ ខចីកនុងរយៈេពលកំណតម់យួ។

៣.២ អ្រ ករ្របក់ (Interest Rate) និយមន័យ អ្រ ករ្របក ់គឺជផលេធៀបករ្របកែ់ដលបងក់នុងមយួឆន ំនិងទុនែដលបនខចី។ អ្រ ករ្របក្់រតូវបនគតិជភគរយ (%) ឬជចំននួទសភគ។ ឧទហរណ៍ទី១ អ្រ ករ្របក ់3% = 0,03 ។ ្របេភទៃនករ្របកម់នពីរ្របេភទគឺ ករ្របកេ់ទល ឬករ្របកធ់មម និងករ្របកផ់គួប ឬករ្របកស់មស ។

៣.៣ ករ្របក់េទល (Simple Interest) និយមន័យ ករ្របកេ់ទល គឺជករ្របកែ់ដលគិតេលើ្របកេ់ដើមកនុង្រគបរ់យៈេពល។ កនុង ករណីេនះ ករ្របករ់បស់រយៈេពលនីមយួៗមនិបនបូកបញចូ លជមយួ្របកេ់ដើម េដើមបយីកករ កនុងរយៈេពលេ្រកយេឡើយ។

របូមន្ដ្រគឹះ េបើ I ជករ្របកក់នុងរយៈេពល t ខួប C0 ជ្របកវ់និិេយគ្រគដំបូង (្របកេ់ដើម) i ជអ្រ ករ្របក ់ t ជចំននួខបួែដលបនវនិិេយគ (ចំនួនរយៈេពល)

េគបន 0I C t i ។ សមគ ល់ ឯក របស់ t គឺគតិជឆន ;ំ ឆមស; ្រតីមស; ែខ; ... េហើយ ចខ់ត្រតូវមនឯក ដូចឯក របស់ i ។

កនុងករណីែដលឯក របស់ t និង i មនិដូចគន េគ្រតូវបែម្លងដូចខងេ្រកម៖ េបើ i គិត មឆន ំនិង t គិតជែខេនះេគបន 0C t iI 12 ។



េបើ i គិត មឆន ំនិង t គិតជៃថងេនះេគបន 0C t iI 360 ។ េបើ i គិត មែខ និង t គិតជៃថងេនះេគបន 0C t iI 30 ។ ឧទហរណ៍ទី២ េគមន្របក ់$150 000 ជ្របកេ់ដើមស្រមប់ កយ់កករែដលជ្របេភទ ករ្របកេ់ទលមនអ្រ ្របចឆំន ំ5% ។ គណនករ្របកែ់ដលបនទទួលកនុងរយៈេពល

ក- 120 ៃថង ខ- 6 ែខ គ- 5 ឆន ំ។ ដំេ ះ្រ យ

ក- េគមន 0C t iI360

េគបន 2500$360

05,0120150000

I ។

ខ- េគមន 0C t iI12

េគបន 3750$12

05,06150000

I ។

គ- េគមន 0I C t i េគបន 37500$05,05150000 I ។ តៃម្លអនគត ឬសមតុលយ (Future value or Balance) េបើេគេ្របើ្របស់្របកេ់ដើម 0C េដើមប ី កយ់កករែដលមនអ្រ ករ្របកធ់មម ្របចឆំន ំ i កនុងរយៈេពល t ឆន ំេនះេនចុងឆន នីំមយួៗេគទទួលបន៖ ឆន ទីំ១៖ - ករ្របក ់ iC .0 - ្របកែ់ដលទទលួបនចុងឆន ទំី១ )1(.)1( 000 iCiCCB ឆន ទីំ២៖ - ករ្របកឆ់ន ទំី១ iC .0

- ករ្របកឆ់ន ទំី២ iC .0 - ្របកែ់ដលទទលួបនចុងឆន ទំី២ )21(..)2( 0000 iCiCiCCB

ជទូេទ េគបនសមតុលយេ្រកយរយៈេពល t ឆន ំ(តៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល t ឆន )ំ គឺ 0B(t) C (1 t i) ។

ឧទហរណ៍ទី៣ សហ្រគសមយួបនខច្ីរបកព់ធីនគរមយួែដលមនទឹក្របកច់ំននួ $15 000 000 កនុងរយៈេពល 40 ែខែដលមនអ្រ ករ្របកេ់ទល្របចឆំន ំ 15% ។ ចូររក តៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពលខងេលើ។


េគមន i = 15% = 0,15 និង 313

1240

t ឆន ំេហើយ 0C 15000000 ។ េគបនតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល

313 ឆន គឺំ

1 1B 3 15000000 1 3 0,15 $225000003 3

។



៣.៤ ករ្របក់សមស (Compound Interest) និយមន័យ ករ្របកស់មស គឺជ្របេភទករ្របកែ់ដលេ្របើកនុងភរកិចចហិរញញ វតថុរយៈេពលែវង។ កនុងេនះករ្របករ់បស់្រគមុនបន្រតូវបូកបញចូ លជមយួ្របកេ់ដើម េដើមបយីកករេន្រគបនទ ប ់មននយ័ថ ករ្របកប់េងកើតករ្របក។់ របូមន្ដ្រគឹះ

េបើេគេ្របើ្របស់្របកេ់ដើម 0C េដើមប ី កយ់កករជមយួអ្រ ករ្របក្់របចឆំន ំi មករ ្របកស់មសកនុងរយៈេពល t ឆន ំេនះេនចុងឆន នំីមយួៗេគបន៖ ឆន ទំី១៖ - ករ្របក ់ iC .0 - ្របកែ់ដលទទលួបនចុងឆន ទំី១ )1(.)1( 000 iCiCCB ឆន ទំី២៖ - ករ្របកឆ់ន ទំី២ iB ).1( - ្របកែ់ដលទទលួបនចុងឆន ទំី២

20 )1()1)(1().1()1()2( iCiBiBBB

ឆន ទំី៣៖ - ករ្របកឆ់ន ទំី៣ iB ).2( - ្របកែ់ដលទទលួបនចុងឆន ទំ៣ី 3

0 )1()1)(2().2()2()3( iCiBiBBB ជទូេទ េគបនសមតុលយេ្រកយរយៈេពល t ឆន ំ(តៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល t ឆន )ំ គឺ tiCtB )1()( 0 ។

ឧទហរណ៍ទី៤ ឧបមថ្របកចំ់នួន $210 000 ជ្របកេ់ដើមស្រមប់ កយ់កករែដលមន អ្រ ្របចឆំន ំ 8% មករ្របកស់មស។ ចូររកសមតុលយេ្រកយរយៈេពល 5ឆន ។ំ រចួរកករ ្របកែ់ដលបនទទួលកនុងរយៈេពល 5 ឆន ។ំ

ដំេ ះ្រ យ េគមន 0i 8% 0,08 , C 210000 និង 5t ។ េគបនសមតុលយេ្រកយរយៈេពល 5 ឆន គឺំ 89,308558$)08,01(210000)5( 5 B ។ ឧទហរណ៍ទី៥ េបើេគ ក្់របក ់$10 000 េទកនុងធនគរមយួកនុងរយៈេពល 4 ឆន ំ3 ែខជមយួ អ្រ ករ្របក្់របចឆំន ំ5% មករ្របកស់មស។ េ្រកយរយៈេពលេនះ េតើេគទទួលបន្របក ់ប៉ុនម ន? រកករ្របកស់មសេនឆន ទំី៤។


េគមន 0i 5% 0,05 , C 10000 និង 25,41234 t ។ េ្រកយរយៈេពល 4 ឆន ំ3 ែខ េគទទួលបន្របកច់ំនួន

4,25B(4,25) 10000(1 0,05) $12304,23 ។



៣.៥ អ្រ ករ្របក់សមមូល (Equivalent Rate) អ្រ សមមូលកនងុករ្របក់េទល

អ្រ ករ្របកព់រីែដល្រតូវគន នឹងរយៈេពលពីរេផ ងគន ្រតូវបនចតទុ់កថជ អ្រ សម មូលគន េបើផលេធៀបៃនអ្រ ទងំពរីេសមើនឹង ផលេធៀបៃនរយៈេពលវនិិេយគ្រតូវគន និងអ្រ ទងំ ពីរ។

េបើ i ជអ្រ ករ្របក្់របចឆំន ំនិង ik ជអ្រ ករ្របកក់នុងមយួខួប ឬមយួ្រគ (តិច ជងមយួឆន ំមននយ័ថ មយួឆន មំន k ្រគ) េនះេគបន i និង ik សមមូលគន េបើ

kiik

ii

kk

1

។

ឧទហរណ៍ទី៦ អ្រ ករ្របក ់32% កនុង១ឆន ំនិងអ្រ ករ្របក ់16% កនុង១ឆមស មករ ្របកធ់មម សមមូលគន ពីេ្រពះ

612

%16%32

។ អ្រ សមមូលកនងុករ្របក់សមស

កនុងករ្របកស់មស អ្រ ករ្របកព់រី្រតូវគន នឹងរយៈេពលពីរេផ ងគន សមមូលគន លុះ ្រ ែត តៃម្លអនគត (សមតុលយ) របស់ េសមើគន ចំេពះ្របកេ់ដើម (តៃម្លបចចុបបនន) េសមើគន ។ ឧបមថ 0C ្រតូវបនវនិិេយគកនុងរយៈេពល t ្រគ (1ឆន ំ= t ្រគ) ជមយួអ្រ ករ្របក ់it មករ្របកស់មស េគបន 0( ) (1 )ttB t C i ។

ឧបមថ 0C ្រតូវបនវនិិេយគកនុងរយៈេពល k ្រគ (1 ឆន ំ= k ្រគ) ជមយួអ្រ ករ្របក ់ik មករ្របកស់មស េគបន kkiCkB )1()( 0 ។

អ្រ ករ្របក ់it និង ik សមមូលគន លុះ្រ ែត B(t) = B(k) 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

t k t kt k t kC i C i i i

(1 ) 1kt

t ki i ឬ (1 ) 1tk

k ti i ។

ឧទហរណ៍ទី៧ េគឱយអ្រ ករ្របក ់ i = 15% កនុង១ឆន ំ មករ្របកស់មស។ រកអ្រ ករ ្របកស់មមូលកនុងរយៈេពល១ឆមស ១្រតីមស និង១ែខ។


- េ យ១ឆមស 12

ឆន ំនឱំយអ្រ ករ្របកស់មមូលគឺ 12

2i (1 0,15) 1 0,07238 7,238% ។ - េ យ១្រតីមស 14 ឆន ំនឱំយអ្រ ករ្របកស់មមូលគឺ

14

4i (1 0,15) 1 003555 3,555% ។



- េ យ១ែខ 112

ឆន ំនឱំយអ្រ ករ្របកស់មមូលគឺ 1

1212i (1 0,15) 1 0,01171 1,171% ។

៣.៦ ករ្របក់សមសបន្តបនទ ប់ ឬករ្របក់សមសនិរន្ត (Continuos Compounding Interest)

កនុងករណីេនះ េគអនុវត្ដេគលនេយបយករ្របកផ់គួបជេ្រចើន្រគកនុង១ឆន ។ំ េបើេគយក ្របកេ់ដើម C0 េទ កយ់កករែដលមនអ្រ ្របចឆំន ំ i េហើយករ្របកេ់នះ្រតូវបនគិត ម ករ្របកស់មសចំននួ k ្រគកនុង១ឆន ំ េនះអ្រ ករ្របកក់នុងមយួ្រគៗគ ឺ ki និងេគបនតៃម្ល អនគតេ្រកយរយៈេពល t ឆន គំឺ៖

tk

kiCtB

.

0 1)(

។

េបើ k េនះតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល t ឆន គំឺ៖ it

it

k

kt

keC

ik

ik

CkiCtB .11lim.1lim)( 000

ែដល ...71828,2e ។ ដូចេនះ កល ចំនួន្រគេចះែតេកើនេឡើងៗ េនះេគបនតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈ

េពល t ឆន គំឺ៖ iteCtB .)( 0 ែដល ...71828,2e ។ ឧទហរណ៍ទី៨ េគេផញើ្របក ់$15000 កនុងធនគរមយួជមយួអ្រ ករ្របក្់របចឆំន ំ4% ។ រក តៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល 10 ឆន កំនុងករណី៖

ក- ករ្របកជ់្របេភទករ្របកស់មស េហើយគិតេរៀង ល់បីែខម្ដង។ ខ- ករ្របកជ់្របេភទករ្របកស់មសនិរន្ដែដលចនំួន្រគេចះែតេកើនេឡើង។

ដំេ ះ្រ យ ក- េគមន C0 = 15000, i = 0,04 , t = 10, k = 4 (មយួ្រគមនបីែខ េគបន១ឆន ំ

12 43

្រគ ) ។ េគបនតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល 10 ឆន កំនុងករណីេនះគឺ៖

4 100,04B(10) 15000 1 $22332,956

4

។ ខ- េគមន C0 = 15000 , i = 0,04 , t = 10 និង k ។ េគបនតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល 10 ឆន គឺំ៖ 0,04 10B(10) 15000.e $22377,370 ។



៣.៧ តៃម្លបចចុបបននៃនលយុអនគត (Present Value of Future Money) េបើអ្រ ករ្របក ់i ្រតូវបនគតិ មករ្របកធ់មម េនះតៃម្លបចចុបបននៃនលុយចនំួន B (ឯក ្របក)់ ែដលចំ យេ្រកយរយៈេពលល t ឆន ពំីឥឡូវគឺ៖ itBC 10 ។ េបើអ្រ ករ្របក ់i ្រតូវបនគតិ មករ្របកស់មស េនះតៃម្លបចចុបបននៃនលុយចនំួន B (ឯក ្របក)់ ែដលចំ យេ្រកយរយៈេពលល t ឆន ពំីឥឡូវគឺ៖ tiBC )1(0 ។ េបើអ្រ ករ្របក់ ់i ្រតូវបនគតិ មករ្របកស់មស k ្រគកនុង១ឆន ំេនះតៃម្លបចចុបបននៃន លុយចនំួន B(ឯក ្របក)់ ែដលចំ យេ្រកយរយៈេពល t ឆន ពំីឥឡូវគឺ៖

kt

kiBC

10 ។

េបើអ្រ ករ្របក់ ់i ្រតូវបនគតិ មករ្របកស់មសែដលចនំួន្រគេចះែតេកើនេឡើង េនះតៃម្ល បចចុបបននៃនលុយចំនួន B (ឯក ្របក)់ ែដលចំ យេ្រកយរយៈេពល t ឆន ពំីឥឡូវគឺ៖

iteBC .0 ។ ឧទហរណ៍ទី៩ េតើឥឡូវេនះេ កអនកគួរែតយកលុយប៉ុនម ន េដើមបេីធ្វើវនិេិយគទុនចំេពះអ្រ ករ ្របក្់របចឆំន ំ5% េដើមបឱីយសមតុលយេ្រកយរយៈេពល១៥ឆន មំនចំនួន $20 000 េបើ៖

ក- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកធ់មម ។ ខ- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកស់មស។ គ- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកស់មសែដលគតិេរៀង ល់៣ែខម្ដង។ ឃ- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកស់មសែដលចំនួន្រគេចះែតេកើនេឡើង។

ដំេ ះ្រ យ ក- ចំននួលុយែដល្រតូវេធ្វើវនិិេយគគឺ៖

571,11428$1505,01

2000010

it

BC ។

ខ- ចំននួលុយែដល្រតូវេធ្វើវនិិេយគគឺ៖ 341,9620$)05,01(20000)1( 150 tiBC ។ គ- ចំននួលុយែដល្រតូវេធ្វើវនិិេយគគឺ៖

352,9491$405,01200001

154

0

kt

kiBC ។

ឃ- ចំនួនលុយែដល្រតូវេធ្វើវនិិេយគគឺ៖ 331,9447$.20000. 1505,00 eeBC it ។



៣.៨ អ្រ ករ្របក់្របសទិធភព (Effective Interest Rate) និយមន័យ អ្រ ករ្របក្់របសិទធភព គឺជអ្រ ករ្របកធ់មម ែដលសមមូលនឹងអ្រ ករ ្របកស់មស។ េបើ C0 ជ្របកេ់ដើម នងិ i ជអ្រ ករ្របក្់របចឆំន គំិត មករ្របកស់មសចំននួ k ្រគ កនុង១ឆន ំេនះតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល១ឆន គឺំ៖

k

kiCB

10 ។

េបើ C0 ជ្របកេ់ដើម នងិ x ជអ្រ ករ្របក្់របចឆំន គំិត មករ្របកធ់មម េនះតៃម្ល អនគតេ្រកយរយៈេពល១ឆន គំ៖ឺ )1(0 xCB ។

រកតៃម្លៃន x េដើមបឱីយតៃម្លអនគតទងំពរីេសមើគន គ៖ឺ 11)1(1 00

kk

kixxC

kiC ។

េបើ C0 ជ្របកេ់ដើម នងិ i ជអ្រ ករ្របក្់របចឆំន គំិត មករ្របកស់មសែដលចំនួន្រគ េចះែតេកើនេឡើង េនះតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល១ឆន គំឺ៖ ieCB 0 ។ រកតៃម្លៃន x េដើមបឱីយតៃម្លអនគតទងំពរីេសមើគន គ៖ឺ 1)1(. 00 ii exxCeC ។ ឧទហរណ៍ទី៩ ធនគរ A ផ្ដល់អ្រ ករ្របក្់របចឆំន ំ6,1% ជករ្របកស់មសគិត ល់បី ែខម្ដង េហើយធនគរ B ែដលជៃដគូ្របែជងកំណតអ់្រ ្របចឆំន ំ6% ជករ្របកស់មសែដល ចំននួ្រគេចះែតេកើនេឡើង។ េតើធនគរ មយួផ្ដល់េស ល្អជង?

ដំេ ះ្រ យ េយើងមន

- អ្រ ករ្របក្់របសិទធភពៃនធនគរ A គឺ៖ 0624,014061,014

Ax ។

- អ្រ ករ្របក្់របសិទធភពៃនធនគរ B គឺ៖ 0618,0106,0 exB ។ ដូចេនះធនគរ A ផ្ដល់េស ល្អជងធនគរ B ។



លំ ត់ (Exercises) ១- ឧបមថ្របក ់ $1000 ជ្របកេ់ដើមស្រមប់ កយ់កករែដលមនអ្រ ្របចឆំន ំ 8% ។ ចូរ រកតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល១២ឆន កំនុងករណីនីមយួៗដូចខងេ្រកម៖

ក- ករ្របកជ់្របេភទករ្របកធ់មម ។ ខ- ករ្របកជ់្របេភទករ្របកស់មស។ គ- ករ្របកជ់្របេភទករ្របកស់មសែដលគតិេរៀង ល់ពីរែខ។ ឃ- ករ្របកជ់្របេភទករ្របកស់មសែដលចំនួន្រគេចះែតេកើនេឡើង។

២- ចូររករយះេពលៃនេទ្វគុណ្របកេ់ដើមេធៀបនឹងតៃម្លអនគតែដលមនអ្រ ្របចឆំន ំ 5% និង ្រតូវបនគិត ម្របេភទករ្របកស់មស្រសប មលកខខណខ ខងេ្រកម៖

ក- គិតេរៀង ល់បែីខ។ ខ- ចំននួ្រគេចះែតេកើនេឡើង។ ៣- េតើឥឡូវេនះេ កអនកគួរែតយកលុយប៉ុនម ន េដើមបេីធ្វើវនិេិយគទុនចំេពះអ្រ ករ្របក្់របច ំឆន ំ8% េដើមបឱីយតៃម្លអនគតេ្រកយរយៈេពល៨ឆន មំនចំនួន $15 000 េបើ៖

ក- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកធ់មម ។ ខ- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកស់មស។ គ- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកស់មសែដលគតិេរៀង ល់៦ែខម្ដង។ ឃ- ករ្របក្់រតូវបនគិតជ្របេភទករ្របកស់មសែដលចំនួន្រគេចះែតេកើនេឡើង។

៤- េរៀង ល់ៃថងទី 01 ែខមក េ ក A បនយក្របក ់ $5200 េទ កក់នុងធនគរែដលមន អ្រ ្របក្់របចឆំន ំ 8% េហើយជ្របេភទករ្របកស់មសនិរន្ដែដលចំននួ្រគេចះែតេកើនេឡើង។ េតើេ ក A ទទលួបន្របកប់៉ុនម នេនេ្រកយរយៈេពលបីឆន ?ំ

៥- ធនគរមយួមនអ្រ ករ្របក្់របចឆំន ំ7,5% គិតជករ្របកស់មសែដល្រតូវបនគតិ ល់ ៣ែខ។ េតើេ កអនកគួរែតយក្របកប់៉ុនម នេទ កធ់នគរេនះេដើមបឱីយទទលួបន្របក ់ $500 េសមើៗគន េនបំ ចឆ់ន ទំី៣គិតពីឥឡូវ (ៃថងទ0ី1 ែខមក ៃនឆន ទីំ១) ចំេពះចំែណកៃន្របកេ់ដើម ែដលបន កេ់រៀង ល់ៃថងទ0ី1 ែខមក (ៃថងទ0ី1 មក ឆន ទំី១ កម់្ដង ៃថងទ0ី1 មក ឆន ទីំ២ កម់្ដង ៃថងទ0ី1 មក ឆន ទីំ៣ កម់្ដង)។

៦- ឧបមថ េ កអនកទញិដីមយួកបលែដលតៃម្លទីផ រេ្រកយរយៈេពល t ឆន ចំបព់ីេពលទិញ មនតៃម្ល tetV 20000)( ដុ ្ល រ និងអ្រ ករ្របក្់របចឆំន ទូំេទមនតៃម្លេថរ 7% េហើយ ករ្របកេ់នះគិតជករ្របកស់មសនរិន្ដែដលចំននួ្រគេចះែតេក�

Documents

Cover of Basic Math Unicode · 2020. 6. 13. · PHNOM PENH INTERNATIONAL UNIVERSITY BASIC CONCEPT LOGIC By Chhim Meng and Yim Ayuvathanak Vichea 2 ឧទហរណ៍ទី៣ p :"